समस्या B9 में, एक फलन या अवकलज का एक आलेख दिया गया है, जिससे निम्नलिखित में से किसी एक मात्रा का निर्धारण करना आवश्यक है:

1. किसी बिंदु x 0 पर अवकलज का मान,
2. उच्च या निम्न अंक (चरम बिंदु),
3. बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल (एकरसता के अंतराल)।

इस समस्या में प्रस्तुत कार्य और व्युत्पन्न हमेशा निरंतर होते हैं, जो समाधान को बहुत सरल करते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य गणितीय विश्लेषण के अनुभाग से संबंधित है, यह सबसे कमजोर छात्रों की शक्ति के भीतर भी है, क्योंकि यहां किसी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।

व्युत्पन्न, चरम बिंदुओं और एकरसता अंतराल के मूल्य को खोजने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम हैं - उन सभी पर नीचे चर्चा की जाएगी।

समस्या B9 की स्थिति को ध्यान से पढ़ें ताकि मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न हों: कभी-कभी काफी मात्रा में ग्रंथ सामने आते हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण शर्तें हैं जो समाधान के पाठ्यक्रम को प्रभावित करती हैं।

व्युत्पन्न के मूल्य की गणना। दो बिंदु विधि

यदि समस्या को किसी बिंदु x 0 पर इस ग्राफ के स्पर्शरेखा f(x) फ़ंक्शन का ग्राफ दिया जाता है, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य को खोजने की आवश्यकता होती है, तो निम्न एल्गोरिदम लागू होता है:

1. स्पर्शरेखा ग्राफ़ पर दो "पर्याप्त" बिंदु खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए। आइए इन बिंदुओं को A (x 1 ; y 1) और B (x 2 ; y 2) के रूप में निरूपित करें। निर्देशांक को सही ढंग से लिखें - यह समाधान का मुख्य बिंदु है, और यहां कोई भी गलती गलत उत्तर की ओर ले जाती है।
2. निर्देशांकों को जानने के बाद, तर्क Δx = x 2 - x 1 की वृद्धि की गणना करना और y = y 2 - y 1 फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करना आसान है।
3. अंत में, हम अवकलज D = y/Δx का मान पाते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको तर्क वृद्धि से फ़ंक्शन वृद्धि को विभाजित करने की आवश्यकता है - और यह उत्तर होगा।

एक बार फिर, हम ध्यान दें: बिंदु ए और बी को स्पर्शरेखा पर सटीक रूप से खोजा जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ़ पर, जैसा कि अक्सर होता है। स्पर्शरेखा में आवश्यक रूप से कम से कम दो ऐसे बिंदु होंगे, अन्यथा समस्या गलत तरीके से तैयार की गई है।

अंक A (−3; 2) और B (−1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

आइए अवकलज का मान ज्ञात करें: D = y/Δx = 4/2 = 2।

काम। यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है और बिंदु पर स्पर्शरेखा x 0 के साथ स्पर्श करता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

अंक ए (0; 3) और बी (3; 0) पर विचार करें, वेतन वृद्धि खोजें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3।

अब हम अवकलज का मान ज्ञात करते हैं: D = y/Δx = −3/3 = −1।

काम। यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है और बिंदु पर स्पर्शरेखा x 0 के साथ स्पर्श करता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

अंक ए (0; 2) और बी (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि खोजें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

यह व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना बाकी है: D = y/Δx = 0/5 = 0।

पिछले उदाहरण से, हम नियम बना सकते हैं: यदि स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है, तो संपर्क के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। इस मामले में, आपको कुछ भी गणना करने की आवश्यकता नहीं है - बस ग्राफ़ को देखें।

उच्च और निम्न अंक की गणना

कभी-कभी समस्या B9 में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के बजाय, एक व्युत्पन्न ग्राफ दिया जाता है और फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इस परिदृश्य में, दो-बिंदु विधि बेकार है, लेकिन एक और भी सरल एल्गोरिथम है। सबसे पहले, आइए शब्दावली को परिभाषित करें:

1. बिंदु x 0 को फलन f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि निम्नलिखित असमानता इस बिंदु के कुछ पड़ोस में होती है: f(x 0) f(x)।
2. बिंदु x 0 को फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि निम्न असमानता इस बिंदु के कुछ पड़ोस में होती है: f(x 0) f(x)।

व्युत्पन्न के ग्राफ पर अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करना पर्याप्त है:

1. सभी अनावश्यक जानकारी को हटाते हुए, व्युत्पन्न का ग्राफ फिर से बनाएं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अतिरिक्त डेटा केवल निर्णय में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम निर्देशांक अक्ष पर व्युत्पन्न के शून्य को चिह्नित करते हैं - और यही वह है।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि f'(x 0) 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: f'(x 0) 0 या f'(x 0) 0. व्युत्पन्न का चिन्ह है मूल ड्राइंग से निर्धारित करना आसान है: यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, तो f'(x) 0. इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के नीचे है, तो f'(x) 0.
3. हम फिर से व्युत्पन्न के शून्य और संकेतों की जांच करते हैं। जहां साइन माइनस से प्लस में बदलता है, वहां एक न्यूनतम बिंदु होता है। इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। गिनती हमेशा बाएं से दाएं की जाती है।

यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - समस्या B9 में कोई अन्य नहीं है।

काम। यह आंकड़ा खंड [−5; 5]। इस खंड पर फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं - हम केवल सीमाओं को छोड़ देंगे [−5; 5] और व्युत्पन्न x = −3 और x = 2.5 के शून्यक। संकेतों पर भी ध्यान दें:

जाहिर है, बिंदु x = −3 पर, व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से प्लस में बदल जाता है। यह न्यूनतम बिंदु है।

काम। चित्र खंड [−3;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है 7]। इस खंड पर फलन f(x) का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए केवल सीमाओं [−3; को छोड़कर, ग्राफ़ को फिर से बनाएं; 7] और व्युत्पन्न x = −1.7 और x = 5 के शून्यक। परिणामी ग्राफ पर अवकलज के चिह्नों पर ध्यान दें। हमारे पास है:

जाहिर है, बिंदु x = 5 पर, व्युत्पन्न का संकेत प्लस से माइनस में बदल जाता है - यह अधिकतम बिंदु है।

काम। यह आंकड़ा खंड [−6; 4]. फ़ंक्शन f(x) के उन अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो अंतराल [−4] से संबंधित हैं; 3]।

यह समस्या की स्थितियों का अनुसरण करता है कि यह खंड [−4; 3]। इसलिए, हम एक नया ग्राफ बनाते हैं, जिस पर हम केवल सीमाएं [−4; 3] और इसके अंदर व्युत्पन्न के शून्य। अर्थात्, बिंदु x = −3.5 और x = 2। हम प्राप्त करते हैं:

इस ग्राफ पर, केवल एक अधिकतम बिंदु x = 2 है। यह इसमें है कि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है।

गैर-पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में एक छोटा नोट। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में, बिंदु x = −3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ हम x = −3.4 ले सकते हैं। यदि समस्या को सही ढंग से तैयार किया गया है, तो ऐसे परिवर्तनों से उत्तर प्रभावित नहीं होना चाहिए, क्योंकि "निवास के एक निश्चित स्थान के बिना" बिंदु सीधे समस्या को हल करने में शामिल नहीं हैं। बेशक, पूर्णांक बिंदुओं के साथ ऐसी चाल काम नहीं करेगी।

किसी फलन के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना

ऐसी समस्या में, अधिकतम और न्यूनतम के बिंदुओं की तरह, उन क्षेत्रों को खोजने का प्रस्ताव है जिनमें व्युत्पन्न के ग्राफ से फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता या घटता है। सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि आरोही और अवरोही क्या हैं:

1. एक फलन f(x) को एक खंड पर बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए कथन सत्य है: x 1 x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2)। दूसरे शब्दों में, तर्क का मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन का मान उतना ही बड़ा होगा।
2. एक फलन f(x) को एक खंड पर घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए कथन सत्य है: x 1 x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2)। वे। तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

हम बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त शर्तें तैयार करते हैं:

1. एक सतत फलन f(x) के लिए खंड पर वृद्धि करने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) 0.
2. एक सतत फलन f(x) खंड पर घटने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) 0.

हम बिना सबूत के इन दावों को स्वीकार करते हैं। इस प्रकार, हमें वृद्धि और कमी के अंतराल खोजने के लिए एक योजना मिलती है, जो कई मायनों में चरम बिंदुओं की गणना के लिए एल्गोरिथ्म के समान है:

1. सभी अनावश्यक जानकारी निकालें। व्युत्पन्न के मूल ग्राफ पर, हम मुख्य रूप से फ़ंक्शन के शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देते हैं।
2. व्युत्पत्ति के चिह्नों को शून्य के बीच के अंतराल पर चिह्नित करें। जहाँ f'(x) 0, फलन बढ़ता है, और जहाँ f'(x) 0, यह घटता है। यदि समस्या में चर x पर प्रतिबंध हैं, तो हम उन्हें नए चार्ट पर अतिरिक्त रूप से चिह्नित करते हैं।
3. अब जब हम फ़ंक्शन के व्यवहार और बाधा को जानते हैं, तो समस्या में आवश्यक मान की गणना करना बाकी है।

काम। चित्र खंड [−3;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है 7.5]। घटते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इन अंतरालों में शामिल पूर्णांकों का योग लिखिए।

हमेशा की तरह, हम ग्राफ को फिर से खींचते हैं और सीमाओं को चिह्नित करते हैं [−3; 7.5], साथ ही व्युत्पन्न x = -1.5 और x = 5.3 के शून्य। फिर हम व्युत्पन्न के संकेतों को चिह्नित करते हैं। हमारे पास है:

चूंकि व्युत्पन्न अंतराल (- 1.5) पर ऋणात्मक है, यह घटते फलन का अंतराल है। यह उन सभी पूर्णांकों का योग है जो इस अंतराल के अंदर हैं:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

काम। चित्र खंड [−10;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है 4]. बढ़ते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में उनमें से सबसे बड़े की लंबाई लिखिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। हम केवल सीमाएं छोड़ते हैं [−10; 4] और व्युत्पन्न के शून्य, जो इस बार चार निकले: x = −8, x = −6, x = −3 और x = 2. व्युत्पन्न के संकेतों पर ध्यान दें और निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:

हम बढ़ते फलन के अंतरालों में रुचि रखते हैं, अर्थात्। जहां f'(x) 0. ग्राफ पर ऐसे दो अंतराल हैं: (−8; −6) और (−3; 2)। आइए उनकी लंबाई की गणना करें:
एल 1 = -6 - (−8) = 2;
एल 2 = 2 - (-33) = 5।

चूँकि सबसे बड़े अंतराल की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए हम प्रत्युत्तर में मान l 2 = 5 लिखते हैं।

एक समारोह का व्युत्पन्न स्कूल पाठ्यक्रम में सबसे कठिन विषयों में से एक है। हर स्नातक इस सवाल का जवाब नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? छह महीने में कोस्त्या की आय दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन बस थोड़ी सी। और मैथ्यू की आय घटकर शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, अर्थात। यौगिक, - को अलग। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?

हम वास्तव में जो देख रहे हैं वह यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन का व्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - अर्थात, यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए दिखाते हैं कि ग्राफ का उपयोग करके कैसे खोजा जाए।

किसी फलन का आलेख खींचा जाता है। उस पर एक एब्सिस्सा के साथ एक बिंदु लें। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक उपयोगी मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें इस खंड में ग्राफ के साथ एकमात्र सामान्य बिंदु है, इसके अलावा, जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्श रेखा जैसा दिखता है।

हमे पता करने दें । हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न पैर के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन के सूत्र को जाने बिना भी ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। इस तरह के कार्य अक्सर गणित में परीक्षा में अंक के तहत मिलते हैं।

एक और महत्वपूर्ण सहसंबंध है। याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह सीधी रेखा के अक्ष पर झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

.

हमें वह मिलता है

आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस फ़ंक्शन को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, और दूसरों में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन को अधिकतम और न्यूनतम अंक दें।

एक बिंदु पर, समारोह बढ़ रहा है। बिंदु पर खींची गई ग्राफ़ की स्पर्शरेखा, अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है। तो व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।

इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाती है। चूँकि अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, इसलिए बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" के बिंदु पर बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर होता है, लेकिन इसका चिन्ह "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में रुचिकर लगता है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और साइन को माइनस से प्लस में बदलता है।

हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

	बढ़ती है	अधिकतम बिंदु	कम हो जाती है	न्यूनतम बिंदु	बढ़ती है
+	0	-	0	+

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण करें। परीक्षा की समस्याओं को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। एक और - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम होता है। यह तथाकथित :

एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अवकलज शून्य होता है। हालाँकि, बिंदु से पहले फ़ंक्शन बढ़ता है - और बिंदु के बाद यह बढ़ता रहता है। व्युत्पत्ति का चिह्न नहीं बदलता है - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक बना हुआ है।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है।

लेकिन व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया हो? इस मामले में, यह लागू होता है

सर्गेई निकिफोरोव

यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अंतराल पर निरंतर संकेत का है, और फ़ंक्शन स्वयं अपनी सीमाओं पर निरंतर है, तो सीमा बिंदु बढ़ते और घटते दोनों अंतरालों से जुड़े होते हैं, जो पूरी तरह से बढ़ते और घटते कार्यों की परिभाषा से मेल खाते हैं।

फ़रित यामेव 26.10.2016 18:50

नमस्ते। कैसे (किस आधार पर) यह तर्क दिया जा सकता है कि जिस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, वहां फलन बढ़ता है। कारण दीजिये। वरना ये तो बस किसी की सनक है। किस प्रमेय द्वारा? और प्रमाण भी। धन्यवाद।

सपोर्ट सेवा

एक बिंदु पर अवकलज का मान सीधे अंतराल पर फलन की वृद्धि से संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, कार्यों पर विचार करें - वे सभी अंतराल पर बढ़ते हैं

व्लादलेन पिसारेव 02.11.2016 22:21

यदि कोई फलन अंतराल (a;b) पर बढ़ रहा है और बिंदुओं a और b पर परिभाषित और निरंतर है, तो यह अंतराल पर बढ़ रहा है। वे। दिए गए अंतराल में बिंदु x=2 शामिल है।

हालांकि, एक नियम के रूप में, वृद्धि और कमी को एक खंड पर नहीं, बल्कि एक अंतराल पर माना जाता है।

लेकिन बहुत ही बिंदु x=2 पर, फ़ंक्शन का स्थानीय न्यूनतम होता है। और बच्चों को कैसे समझाएं कि जब वे वृद्धि (कमी) के बिंदुओं की तलाश कर रहे हैं, तो हम स्थानीय चरम के बिंदुओं की गणना नहीं करते हैं, बल्कि वे वृद्धि (कमी) के अंतराल में प्रवेश करते हैं।

यह देखते हुए कि परीक्षा का पहला भाग "किंडरगार्टन के मध्य समूह" के लिए है, तो ऐसी बारीकियां शायद अधिक हैं।

अलग-अलग, सभी कर्मचारियों को "मैं परीक्षा हल करूंगा" के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद - एक उत्कृष्ट मार्गदर्शक।

सर्गेई निकिफोरोव

यदि हम बढ़ते/घटते फलन की परिभाषा से शुरू करते हैं तो एक सरल व्याख्या प्राप्त की जा सकती है। मैं आपको याद दिला दूं कि यह इस तरह लगता है: एक फ़ंक्शन को अंतराल पर बढ़ाना/घटाना कहा जाता है यदि फ़ंक्शन का बड़ा तर्क फ़ंक्शन के बड़े/छोटे मान से मेल खाता है। ऐसी परिभाषा किसी भी तरह से व्युत्पन्न की अवधारणा का उपयोग नहीं करती है, इसलिए उन बिंदुओं के बारे में प्रश्न नहीं हो सकते हैं जहां व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

इरिना इश्माकोवा 20.11.2017 11:46

नमस्कार। यहां टिप्पणियों में मुझे विश्वास है कि सीमाओं को शामिल किया जाना चाहिए। मान लीजिए कि मैं इससे सहमत हूं। लेकिन, कृपया, समस्या 7089 के अपने समाधान पर गौर करें। वहां, बढ़ते अंतराल को निर्दिष्ट करते समय, सीमाएं शामिल नहीं होती हैं। और यह प्रतिक्रिया को प्रभावित करता है। वे। 6429 और 7089 कार्यों के समाधान एक दूसरे के विपरीत हैं। कृपया इस स्थिति को स्पष्ट करें।

अलेक्जेंडर इवानोव

टास्क 6429 और 7089 में अलग-अलग प्रश्न हैं।

एक में, वृद्धि के अंतराल होते हैं, और दूसरे में, एक सकारात्मक व्युत्पन्न के साथ अंतराल होते हैं।

कोई विरोधाभास नहीं है।

एक्स्ट्रेमा वृद्धि और कमी के अंतराल में शामिल है, लेकिन जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, वे अंतराल में प्रवेश नहीं करते हैं जिस पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।

ए ज़ू 28.01.2019 19:09

साथियों, एक बिंदु पर बढ़ने की अवधारणा है

(उदाहरण के लिए फिचटेनहोल्ट्ज़ देखें)

और बिंदु x=2 पर वृद्धि के बारे में आपकी समझ शास्त्रीय परिभाषा के विपरीत है।

बढ़ना और घटाना एक प्रक्रिया है और मैं इस सिद्धांत का पालन करना चाहूंगा।

किसी भी अंतराल में जिसमें बिंदु x=2 हो, फलन नहीं बढ़ रहा है। इसलिए, दिए गए बिंदु x=2 का समावेश एक विशेष प्रक्रिया है।

आमतौर पर भ्रम से बचने के लिए अंतराल के सिरों को शामिल करने को अलग से कहा जाता है।

अलेक्जेंडर इवानोव

फ़ंक्शन y=f(x) को कुछ अंतराल पर बढ़ाना कहा जाता है यदि इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

बिंदु x = 2 पर, फ़ंक्शन अवकलनीय है, और अंतराल (2; 6) पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि इसके मान अंतराल पर सख्ती से सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन केवल में बढ़ता है यह खंड, इसलिए बाएं छोर पर फ़ंक्शन का मान एक्स = −3 दायें छोर पर इसके मान से कम एक्स = −2.

जवाब: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) प्रतिअवकलन के ग्राफ का उपयोग करना Φ 2 (एक्स ) (हमारे मामले में यह एक नीला ग्राफ है), यह निर्धारित करें कि फ़ंक्शन के 2 में से कौन सा मान अधिक है φ 2 (-1) या φ 2 (4)?

प्रतिअवकलन के ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि बिंदु एक्स = −1 बढ़ते हुए क्षेत्र में है, इसलिए संगत अवकलज का मान धनात्मक होता है। दूरसंचार विभाग एक्स = 4 घटते क्षेत्र में है और संगत अवकलज का मान ऋणात्मक है। चूँकि धनात्मक मान ऋणात्मक मान से अधिक होता है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अज्ञात फलन का मान, जो कि वास्तव में व्युत्पन्न है, बिंदु -1 की तुलना में बिंदु 4 पर कम है।

जवाब: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

आप लापता ग्राफ़ पर बहुत सारे समान प्रश्न पूछ सकते हैं, जो एक ही योजना के अनुसार बनाए गए संक्षिप्त उत्तर के साथ कई तरह की समस्याओं की ओर ले जाता है। उनमें से कुछ को हल करने का प्रयास करें।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुसार व्युत्पन्न की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए कार्य।

चित्र 1।

चित्र 2।

कार्य 1

आप = एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−10.5;19)। पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उन क्षेत्रों में सकारात्मक होता है जहां फ़ंक्शन बढ़ता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि ये अंतराल (−10.5;-7.6), (−1;8.2) और (15.7;19) हैं। आइए इन अंतरालों के अंदर पूर्णांक बिंदुओं को सूचीबद्ध करें: "−10", "−9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6" , "7", "8", "16", "17", "18"। कुल 15 अंक हैं।

जवाब: 15

टिप्पणियों।
1. जब फ़ंक्शन ग्राफ़ के बारे में कार्यों में "अंक" नाम की आवश्यकता होती है, तो एक नियम के रूप में, केवल तर्क के मूल्यों का मतलब होता है एक्स , जो ग्राफ़ पर स्थित संगत बिंदुओं के भुज हैं। इन बिंदुओं के निर्देशांक फ़ंक्शन के मान हैं, वे निर्भर हैं और यदि आवश्यक हो तो आसानी से गणना की जा सकती है।
2. बिंदुओं को सूचीबद्ध करते समय, हमने अंतराल के किनारों को ध्यान में नहीं रखा, क्योंकि इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन बढ़ता या घटता नहीं है, लेकिन "प्रकट" होता है। ऐसे बिंदुओं पर अवकलज न तो धनात्मक होता है और न ही ऋणात्मक, यह शून्य के बराबर होता है, इसलिए इन्हें स्थिर बिंदु कहा जाता है। इसके अलावा, हम यहां डोमेन की सीमाओं पर विचार नहीं करते हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि यह एक अंतराल है।

टास्क 2

चित्र 1 फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है आप = एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−10.5;19)। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है एफ" (एक्स ) नकारात्मक है।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उन क्षेत्रों में ऋणात्मक होता है जहां फ़ंक्शन घट रहा होता है। चित्र दर्शाता है कि ये अंतराल (−7.6;−1) और (8.2;15.7) हैं। इन अंतरालों के अंदर पूर्णांक अंक: "−7", "−6", "−5", "−4", "−3", "−2", "9", "10", "11", "12" ", "13", "14", "15"। कुल 13 अंक हैं।

जवाब: 13

पिछली समस्या पर नोट्स देखें।

निम्नलिखित समस्याओं को हल करने के लिए, हमें एक और परिभाषा याद रखनी होगी।

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को एक सामान्य नाम से जोड़ा जाता है - चरम बिंदु .

इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न या तो गायब हो जाता है या मौजूद नहीं होता है ( चरम के लिए आवश्यक शर्त).
हालांकि, एक आवश्यक शर्त एक संकेत है, लेकिन फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व की गारंटी नहीं है। एक चरम के लिए पर्याप्त स्थितिव्युत्पन्न का संकेत परिवर्तन है: यदि एक बिंदु पर व्युत्पन्न चिह्न "+" से "-" में बदलता है, तो यह फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है; यदि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न चिह्न "-" से "+" में बदलता है, तो यह फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है; यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, या मौजूद नहीं है, लेकिन इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न विपरीत में नहीं बदलता है, तो निर्दिष्ट बिंदु फ़ंक्शन का चरम बिंदु नहीं है। यह एक फ़ंक्शन ग्राफ़ में एक विभक्ति बिंदु, एक विराम बिंदु या एक विराम बिंदु हो सकता है।

टास्क 3

चित्र 1 फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है आप = एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−10.5;19)। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहां फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर होती है आप = 6 या इसके साथ मेल खाता है।

याद रखें कि एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है आप = केएक्स + बी , कहाँ पे क- अक्ष पर इस सीधी रेखा के झुकाव का गुणांक बैल. हमारे मामले में क= 0, यानी। सीधा आप = 6 झुका हुआ नहीं, बल्कि अक्ष के समानांतर बैल. तो वांछित स्पर्शरेखा भी अक्ष के समानांतर होनी चाहिए बैलऔर 0 का ढलान गुणांक भी होना चाहिए। स्पर्शरेखा में यह गुण कार्यों के चरम बिंदुओं पर होता है। इसलिए, प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको चार्ट पर सभी चरम बिंदुओं को गिनने की आवश्यकता है। उनमें से 4 हैं - दो अधिकतम अंक और दो न्यूनतम अंक।

जवाब: 4

टास्क 4

कार्यों आप = एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−11;23)। खंड पर फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात कीजिए।

निर्दिष्ट खंड पर, हम 2 चरम बिंदु देखते हैं। फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु बिंदु पर पहुंच जाता है एक्स 1 = 4, न्यूनतम बिंदु . पर एक्स 2 = 8.
एक्स 1 + एक्स 2 = 4 + 8 = 12.

जवाब: 12

टास्क 5

चित्र 1 फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है आप = एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−10.5;19)। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ" (एक्स ) 0 के बराबर है।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न चरम बिंदुओं पर शून्य के बराबर है, जिसमें से 4 को ग्राफ़ पर देखा जा सकता है:
2 उच्च और 2 निम्न।

जवाब: 4

किसी फ़ंक्शन की विशेषताओं को उसके व्युत्पन्न के ग्राफ़ से निर्धारित करने के लिए कार्य।

चित्र 1।

चित्र 2।

टास्क 6

चित्र 2 एक ग्राफ दिखाता है एफ" (एक्स ) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−11;23)। खंड के किस बिंदु पर [−6;2] फलन है एफ (एक्स ) सबसे बड़ा मूल्य लेता है।

निर्दिष्ट खंड पर, व्युत्पन्न कहीं भी सकारात्मक नहीं था, इसलिए, फ़ंक्शन में वृद्धि नहीं हुई। यह घट गया या स्थिर बिंदुओं से होकर गुजरा। इस प्रकार, फ़ंक्शन खंड की बाईं सीमा पर अपने अधिकतम मूल्य पर पहुंच गया: एक्स = −6.

जवाब: −6

टिप्पणी: व्युत्पन्न के ग्राफ से, यह देखा जा सकता है कि खंड [−6;2] पर यह तीन बार शून्य के बराबर है: बिंदुओं पर एक्स = −6, एक्स = −2, एक्स = 2. लेकिन बिंदु पर एक्स = −2, इसने चिन्ह नहीं बदला, जिसका अर्थ है कि इस बिंदु पर फलन का चरम नहीं हो सकता। सबसे अधिक संभावना है कि मूल कार्य के ग्राफ में एक विभक्ति बिंदु था।

टास्क 7

चित्र 2 एक ग्राफ दिखाता है एफ" (एक्स ) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−11;23)। खंड पर किस बिंदु पर फ़ंक्शन सबसे छोटा मान लेता है।

खंड पर, व्युत्पन्न सख्ती से सकारात्मक है, इसलिए, केवल इस खंड पर फ़ंक्शन में वृद्धि हुई है। इस प्रकार, फ़ंक्शन खंड की बाईं सीमा पर अपने निम्नतम मान पर पहुंच गया: एक्स = 3.

जवाब: 3

टास्क 8

चित्र 2 एक ग्राफ दिखाता है एफ" (एक्स ) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−11;23)। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें एफ (एक्स ) अंतराल [−5;10] से संबंधित है।

आवश्यक चरम स्थिति के अनुसार, अधिकतम कार्य शायदउन बिंदुओं पर जहां इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। किसी दिए गए खंड पर, ये बिंदु हैं: एक्स = −2, एक्स = 2, एक्स = 6, एक्स = 10. लेकिन पर्याप्त शर्त के अनुसार, यह यह निश्चित रूप से होगाकेवल उनमें से जहां व्युत्पन्न का चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है। व्युत्पन्न के ग्राफ पर, हम देखते हैं कि सूचीबद्ध बिंदुओं में से केवल बिंदु ही ऐसा है एक्स = 6.

जवाब: 1

टास्क 9

चित्र 2 एक ग्राफ दिखाता है एफ" (एक्स ) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−11;23)। किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की संख्या पाएं एफ (एक्स ) खंड से संबंधित है।

फ़ंक्शन का चरम उन बिंदुओं पर हो सकता है जहां इसका व्युत्पन्न 0 के बराबर है। व्युत्पन्न ग्राफ के दिए गए खंड पर, हम ऐसे 5 बिंदु देखते हैं: एक्स = 2, एक्स = 6, एक्स = 10, एक्स = 14, एक्स = 18. लेकिन बिंदु पर एक्स = 14 व्युत्पत्ति ने संकेत नहीं बदला है, इसलिए इसे विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, 4 अंक शेष हैं।

जवाब: 4

टास्क 10

चित्र 1 एक ग्राफ दिखाता है एफ" (एक्स ) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−10.5;19)। बढ़ते फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए एफ (एक्स ) अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई लिखिए।

फ़ंक्शन की वृद्धि के अंतराल व्युत्पन्न की सकारात्मकता के अंतराल के साथ मेल खाते हैं। ग्राफ पर, हम उनमें से तीन देखते हैं - (−9;−7), (4;12), (18;19)। उनमें से सबसे लंबा दूसरा है। इसकी लंबाई मैं = 12 − 4 = 8.

जवाब: 8

टास्क 11

चित्र 2 एक ग्राफ दिखाता है एफ" (एक्स ) - फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ (एक्स ) अंतराल पर परिभाषित (−11;23)। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा होती है एफ (एक्स ) रेखा के समानांतर है आप = −2एक्स − 11 या उससे मेल खाता है।

किसी दी गई सीधी रेखा k = -2 का ढलान गुणांक (ढलान कोण की स्पर्शरेखा के रूप में जाना जाता है)। हम समानांतर या संयोग स्पर्शरेखा में रुचि रखते हैं, अर्थात। एक ही ढलान के साथ सीधी रेखाएँ। व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के आधार पर - फ़ंक्शन के ग्राफ के विचार बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढलान, हम उन बिंदुओं की पुनर्गणना करते हैं जिन पर व्युत्पन्न -2 है। चित्र 2 में ऐसे 9 बिंदु हैं। उन्हें ग्राफ के चौराहों और अक्ष पर मान -2 से गुजरने वाली ग्रिड लाइन पर गिनना सुविधाजनक है। ओए.

जवाब: 9

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही ग्राफ का उपयोग करके, आप किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और उसके व्युत्पन्न के बारे में कई तरह के प्रश्न पूछ सकते हैं। साथ ही, एक ही प्रश्न को विभिन्न कार्यों के रेखांकन के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। परीक्षा में इस समस्या को हल करते समय सावधान रहें, और आपको यह बहुत आसान लगेगा। इस कार्य के अन्य प्रकार के कार्य - प्रतिकारक के ज्यामितीय अर्थ पर - दूसरे खंड में विचार किया जाएगा।