फंक्शन x 4 2x 2 3 को एक्सप्लोर करें। फंक्शन को कैसे एक्सप्लोर करें और इसका ग्राफ कैसे बनाएं? ODZ सीमाओं की जांच और लंबवत स्पर्शोन्मुख का पता लगाना

किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें और उसके ग्राफ को कैसे प्लॉट करें?

ऐसा लगता है कि मैं विश्व सर्वहारा के नेता के भावपूर्ण चेहरे को समझने लगा हूं, जो 55 खंडों में एकत्रित कार्यों के लेखक हैं .... लंबी यात्रा के बारे में प्राथमिक जानकारी के साथ शुरू हुआ कार्य और रेखांकन, और अब एक श्रमसाध्य विषय पर काम एक प्राकृतिक परिणाम के साथ समाप्त होता है - एक लेख पूर्ण कार्य अध्ययन के बारे में. लंबे समय से प्रतीक्षित कार्य निम्नानुसार तैयार किया गया है:

डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों से फंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर इसका ग्राफ बनाएं

या संक्षेप में: फ़ंक्शन की जांच करें और इसे प्लॉट करें।

क्यों एक्सप्लोर करें?साधारण मामलों में, हमारे लिए प्राथमिक कार्यों से निपटना मुश्किल नहीं होगा, इसका उपयोग करके प्राप्त एक ग्राफ बनाएं प्राथमिक ज्यामितीय परिवर्तनआदि। हालांकि, अधिक जटिल कार्यों के गुण और ग्राफिक प्रतिनिधित्व स्पष्ट नहीं हैं, यही वजह है कि एक संपूर्ण अध्ययन की आवश्यकता है।

समाधान के मुख्य चरणों को संदर्भ सामग्री में संक्षेपित किया गया है कार्य अध्ययन योजना, यह आपकी अनुभाग मार्गदर्शिका है। डमी को विषय के चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है, कुछ पाठकों को यह नहीं पता होता है कि कहां से शुरू करना है और अध्ययन को कैसे व्यवस्थित करना है, और उन्नत छात्रों को केवल कुछ बिंदुओं में रुचि हो सकती है। लेकिन आप जो भी हैं, प्रिय आगंतुक, विभिन्न पाठों के संकेत के साथ प्रस्तावित सारांश आपको कम से कम समय में रुचि की दिशा में उन्मुख और निर्देशित करेगा। रोबोट ने आंसू बहाए =) मैनुअल एक पीडीएफ फाइल के रूप में बनाया गया था और पेज पर अपना सही स्थान ले लिया था। गणितीय सूत्र और टेबल.

मैं फ़ंक्शन के अध्ययन को 5-6 बिंदुओं में विभाजित करता था:

6) अध्ययन के परिणामों के आधार पर अतिरिक्त अंक और ग्राफ।

जहां तक अंतिम कार्रवाई का सवाल है, मुझे लगता है कि हर कोई सब कुछ समझता है - यह बहुत निराशाजनक होगा यदि कुछ ही सेकंड में इसे काट दिया जाता है और कार्य को पुनरीक्षण के लिए वापस कर दिया जाता है। एक सही और सटीक ड्राइंग समाधान का मुख्य परिणाम है! यह विश्लेषणात्मक निरीक्षणों को "छिपाने" की बहुत संभावना है, जबकि एक गलत और/या मैला कार्यक्रम पूरी तरह से किए गए अध्ययन के साथ भी समस्याएं पैदा करेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अन्य स्रोतों में, शोध वस्तुओं की संख्या, उनके कार्यान्वयन का क्रम और डिजाइन शैली मेरे द्वारा प्रस्तावित योजना से काफी भिन्न हो सकती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह काफी पर्याप्त है। समस्या के सबसे सरल संस्करण में केवल 2-3 चरण होते हैं और इसे कुछ इस तरह तैयार किया जाता है: "व्युत्पन्न और प्लॉट का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें" या "पहली और दूसरी व्युत्पन्न, प्लॉट का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें"।

स्वाभाविक रूप से, यदि आपके प्रशिक्षण नियमावली में किसी अन्य एल्गोरिदम का विस्तार से विश्लेषण किया गया है या आपके शिक्षक को आपके व्याख्यानों का सख्ती से पालन करने की आवश्यकता है, तो आपको समाधान में कुछ समायोजन करना होगा। एक कांटा को चेनसॉ चम्मच से बदलने से ज्यादा मुश्किल नहीं है।

आइए फ़ंक्शन को सम / विषम के लिए जांचें:

इसके बाद एक टेम्प्लेट अनसब्सक्राइब होता है:
, इसलिए यह फलन न तो सम है और न ही विषम।

चूँकि फलन निरंतर चालू है, कोई लम्बवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख भी नहीं हैं।

टिप्पणी : मैं आपको याद दिलाता हूं कि उच्चतर वृद्धि का क्रमसे , इसलिए अंतिम सीमा बिल्कुल " प्लसअनन्त।"

आइए जानें कि फ़ंक्शन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है:

दूसरे शब्दों में, यदि हम दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ असीम रूप से बहुत ऊपर जाता है, यदि हम बाईं ओर जाते हैं, तो असीम रूप से बहुत नीचे। हाँ, एकल प्रविष्टि के अंतर्गत भी दो सीमाएँ हैं। यदि आपको संकेतों को समझने में कठिनाई होती है, तो कृपया इस बारे में पाठ देखें अतिसूक्ष्म कार्य.

तो समारोह ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं. यह देखते हुए कि हमारे पास विराम बिंदु नहीं हैं, यह स्पष्ट हो जाता है और फंक्शन रेंज: भी कोई वास्तविक संख्या है।

उपयोगी तकनीक

प्रत्येक कार्य चरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में नई जानकारी लाता है, इसलिए समाधान के दौरान एक प्रकार के लेआउट का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए मसौदे पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाएं। निश्चित रूप से क्या जाना जाता है? सबसे पहले, ग्राफ में कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है, इसलिए, सीधी रेखाएं खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है। दूसरा, हम जानते हैं कि फलन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है। विश्लेषण के अनुसार, हम पहला अनुमान लगाते हैं:

ध्यान दें कि प्रभाव में निरंतरतापर कार्य करता है और तथ्य यह है कि, ग्राफ को कम से कम एक बार अक्ष को पार करना चाहिए। या शायद चौराहे के कई बिंदु हैं?

3) फलन के शून्य और अचर चिह्न के अंतराल।

सबसे पहले, y-अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। यह आसान है। फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है जब:

समुद्र तल से आधा ऊपर।

अक्ष (फ़ंक्शन के शून्य) के साथ चौराहे के बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, और यहां हम एक अप्रिय आश्चर्य के लिए हैं:

अंत में, एक मुक्त सदस्य दुबक जाता है, जो कार्य को काफी जटिल करता है।

इस तरह के समीकरण में कम से कम एक वास्तविक मूल होता है, और अधिकतर यह मूल अपरिमेय होता है। सबसे खराब परियों की कहानी में, तीन छोटे सूअर हमारी प्रतीक्षा कर रहे हैं। समीकरण तथाकथित का उपयोग करके हल करने योग्य है कार्डानो के सूत्र, लेकिन कागज के नुकसान की तुलना लगभग पूरे अध्ययन से की जा सकती है। इस संबंध में, मौखिक रूप से या मसौदे पर कम से कम एक को लेने का प्रयास करना बुद्धिमानी है पूरा का पूराजड़। आइए देखें कि क्या ये नंबर हैं:
- योग्य नहीं;
- वहाँ है!

यहाँ यह भाग्यशाली है। विफलता के मामले में, आप परीक्षण भी कर सकते हैं और, और यदि ये संख्याएं फिट नहीं होती हैं, तो मुझे डर है कि समीकरण के लाभदायक समाधान के लिए बहुत कम संभावनाएं हैं। फिर शोध बिंदु को पूरी तरह से छोड़ देना बेहतर है - शायद अंतिम चरण में कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब अतिरिक्त बिंदु टूट जाएंगे। और अगर जड़ (जड़ें) स्पष्ट रूप से "खराब" हैं, तो संकेतों की स्थिरता के अंतराल के बारे में चुप रहना और ड्राइंग को अधिक सटीक रूप से पूरा करना बेहतर है।

हालांकि, हमारे पास एक सुंदर जड़ है, इसलिए हम बहुपद को विभाजित करते हैं शेष के लिए नहीं:

एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म पर पाठ के पहले उदाहरण में विस्तार से चर्चा की गई है। जटिल सीमाएं.

नतीजतन, मूल समीकरण के बाईं ओर एक उत्पाद में फैलता है:

और अब एक स्वस्थ जीवन शैली के बारे में थोड़ा। बेशक मैं समझता हूँ कि द्विघातीय समीकरणहर दिन हल करने की जरूरत है, लेकिन आज हम एक अपवाद करेंगे: समीकरण दो वास्तविक जड़ें हैं।

संख्या रेखा पर, हम पाए गए मानों को प्लॉट करते हैं और अंतराल विधिफ़ंक्शन के संकेतों को परिभाषित करें:

og इस प्रकार, अंतरालों पर चार्ट स्थित
एक्स-अक्ष के नीचे, और अंतराल पर - इस धुरी के ऊपर।

परिणामी निष्कर्ष हमें अपने लेआउट को परिष्कृत करने की अनुमति देते हैं, और ग्राफ़ का दूसरा सन्निकटन इस तरह दिखता है:

कृपया ध्यान दें कि फ़ंक्शन में अंतराल पर कम से कम एक अधिकतम और अंतराल पर कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। लेकिन हम यह नहीं जानते कि शेड्यूल कितनी बार, कहां और कब "घुमाएगा"। वैसे, एक फलन में अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं चरम सीमाओं.

4) फलन का बढ़ना, घटाना और चरम सीमा।

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

इस समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर रखें और अवकलज के चिह्न ज्ञात करें:

इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ जाता है और घट जाती है।
इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .
उस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुंच जाता है: .

स्थापित तथ्य हमारे खाके को एक कठोर ढांचे में ले जाते हैं:

कहने की जरूरत नहीं है, डिफरेंशियल कैलकुलस एक शक्तिशाली चीज है। आइए अंत में ग्राफ के आकार से निपटें:

5) उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु।

दूसरे व्युत्पन्न के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

फंक्शन ग्राफ उत्तल होता है और अवतल होता है। आइए विभक्ति बिंदु की कोटि की गणना करें: .

लगभग सब कुछ साफ हो गया।

6) यह अतिरिक्त बिंदुओं को खोजने के लिए बनी हुई है जो अधिक सटीक रूप से एक ग्राफ बनाने और आत्म-परीक्षण करने में मदद करेंगे। इस मामले में, वे कम हैं, लेकिन हम उपेक्षा नहीं करेंगे:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

विभक्ति बिंदु को हरे रंग में चिह्नित किया गया है, अतिरिक्त बिंदुओं को क्रॉस के साथ चिह्नित किया गया है। क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के बारे में सममित है, जो हमेशा अधिकतम और न्यूनतम के बीच में स्थित होता है।

सत्रीय कार्य के दौरान, मैंने तीन काल्पनिक मध्यवर्ती चित्र दिए। व्यवहार में, यह एक समन्वय प्रणाली बनाने के लिए पर्याप्त है, पाए गए बिंदुओं को चिह्नित करें, और अध्ययन के प्रत्येक बिंदु के बाद, मानसिक रूप से यह पता लगाएं कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिख सकता है। अच्छे स्तर की तैयारी वाले छात्रों के लिए इस तरह का विश्लेषण पूरी तरह से अपने दिमाग में मसौदे को शामिल किए बिना करना मुश्किल नहीं होगा।

एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं।

यहां सब कुछ तेज और अधिक मजेदार है, पाठ के अंत में खत्म करने का एक अनुमानित उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय कार्यों के अध्ययन से बहुत सारे रहस्य उजागर होते हैं:

उदाहरण 3

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर, इसके ग्राफ का निर्माण करें।

फेसलापरिभाषा क्षेत्र में एक छेद के अपवाद के साथ, अध्ययन का पहला चरण उल्लेखनीय कुछ भी अलग नहीं है:

1) बिंदु को छोड़कर पूरी संख्या रेखा पर फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है, कार्यक्षेत्र: .

, इसलिए यह फलन न तो सम है और न ही विषम।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो निरंतर शाखाएँ होती हैं जो बाएँ और दाएँ आधे-तल में स्थित होती हैं - यह शायद पहले पैराग्राफ का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

2) स्पर्शोन्मुख, अनंत पर एक फ़ंक्शन का व्यवहार।

ए) एकतरफा सीमाओं की मदद से, हम संदिग्ध बिंदु के पास फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करते हैं, जहां लंबवत स्पर्शोन्मुख स्पष्ट रूप से होना चाहिए:

वास्तव में, कार्य सहन करते हैं अंतहीन अंतरालबिंदु पर
और सीधी रेखा (अक्ष) है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटललित कलाएं ।

बी) जांचें कि क्या तिरछे स्पर्शोन्मुख मौजूद हैं:

हाँ, रेखा है तिरछा स्पर्शोन्मुखग्राफिक्स अगर।

सीमाओं का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि कार्य अपने तिरछे स्पर्शोन्मुख के साथ आलिंगन में है ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

अध्ययन का दूसरा बिंदु समारोह के बारे में बहुत सारी महत्वपूर्ण जानकारी लेकर आया। आइए एक मोटा स्केच करें:

निष्कर्ष संख्या 1 संकेत स्थिरता के अंतराल से संबंधित है। "माइनस इनफिनिटी" पर फ़ंक्शन का ग्राफ विशिष्ट रूप से एक्स-अक्ष के नीचे स्थित होता है, और "प्लस इनफिनिटी" पर यह इस अक्ष के ऊपर होता है। इसके अलावा, एकतरफा सीमा ने हमें बताया कि बिंदु के बाईं और दाईं ओर, फ़ंक्शन भी शून्य से बड़ा है। कृपया ध्यान दें कि बाएं आधे तल में, ग्राफ को कम से कम एक बार x-अक्ष को पार करना चाहिए। दाहिने आधे तल में, फलन का कोई शून्य नहीं हो सकता है।

निष्कर्ष संख्या 2 यह है कि फ़ंक्शन बिंदु के बाईं ओर बढ़ता है ("नीचे से ऊपर तक जाता है")। इस बिंदु के दाईं ओर, फ़ंक्शन घटता है ("ऊपर से नीचे तक जाता है")। ग्राफ की दाहिनी शाखा में निश्चित रूप से कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। बाईं ओर, चरम सीमाओं की गारंटी नहीं है।

निष्कर्ष संख्या 3 बिंदु के आसपास के क्षेत्र में ग्राफ की अंतराल के बारे में विश्वसनीय जानकारी देता है। अभी तक हम अनंत पर उत्तलता/अवतलता के बारे में कुछ नहीं कह सकते हैं, क्योंकि रेखा को ऊपर और नीचे दोनों तरफ से उसके स्पर्शोन्मुख के खिलाफ दबाया जा सकता है। सामान्यतया, अभी इसका पता लगाने का एक विश्लेषणात्मक तरीका है, लेकिन बाद के चरण में "मुक्त" ग्राफ का आकार स्पष्ट हो जाएगा।

इतने सारे शब्द क्यों? बाद के शोध बिंदुओं को नियंत्रित करने और गलतियों से बचने के लिए! आगे की गणना निकाले गए निष्कर्षों के विपरीत नहीं होनी चाहिए।

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु, फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को पार नहीं करता है।

अंतराल विधि का उपयोग करके, हम संकेत निर्धारित करते हैं:

, अगर ;
, अगर .

पैराग्राफ के परिणाम पूरी तरह से निष्कर्ष संख्या 1 के अनुरूप हैं। प्रत्येक चरण के बाद, मसौदे को देखें, मानसिक रूप से अध्ययन का संदर्भ लें, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ को आरेखित करना समाप्त करें।

इस उदाहरण में, अंश को हर द्वारा पद दर पद विभाजित किया जाता है, जो विभेदन के लिए बहुत फायदेमंद होता है:

दरअसल, स्पर्शोन्मुख खोजने पर यह पहले ही किया जा चुका है।

- महत्वपूर्ण बिंदु।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

द्वारा बढ़ता है और घट जाता है

उस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुंच जाता है: .

निष्कर्ष संख्या 2 के साथ भी कोई विसंगति नहीं थी, और, सबसे अधिक संभावना है, हम सही रास्ते पर हैं।

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ परिभाषा के पूरे डोमेन पर अवतल है।

बहुत बढ़िया - और आपको कुछ भी खींचने की ज़रूरत नहीं है।

कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।

अंतराल निष्कर्ष संख्या 3 के अनुरूप है, इसके अलावा, यह इंगित करता है कि अनंत पर (वहां और वहां दोनों) फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चतरइसका तिरछा स्पर्शोन्मुख।

6) हम कर्तव्यनिष्ठा से अतिरिक्त बिंदुओं के साथ कार्य को पिन करेंगे। यहां हमें कड़ी मेहनत करनी है, क्योंकि हमें अध्ययन से केवल दो बिंदु पता हैं।

और एक तस्वीर, जो शायद, बहुतों ने लंबे समय से प्रस्तुत की है:

असाइनमेंट के दौरान, यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि अध्ययन के चरणों के बीच कोई विरोधाभास न हो, लेकिन कभी-कभी स्थिति अत्यावश्यक या यहां तक कि बेहद डेड-एंड भी होती है। यहां विश्लेषिकी "अभिसरण नहीं करता है" - और यही वह है। इस मामले में, मैं एक आपातकालीन तकनीक की सलाह देता हूं: हम जितना संभव हो सके ग्राफ से संबंधित कई बिंदुओं को ढूंढते हैं (कितना धैर्य पर्याप्त है), और उन्हें समन्वय विमान पर चिह्नित करें। ज्यादातर मामलों में पाए गए मूल्यों का ग्राफिकल विश्लेषण आपको बताएगा कि सच्चाई कहां है और झूठ कहां है। इसके अलावा, ग्राफ को कुछ प्रोग्राम का उपयोग करके पूर्व-निर्मित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उसी एक्सेल में (यह स्पष्ट है कि इसके लिए कौशल की आवश्यकता होती है)।

उदाहरण 4

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की जांच करें और उसका ग्राफ बनाएं।

यह स्वयं का उदाहरण है। इसमें, फ़ंक्शन की समरूपता से आत्म-नियंत्रण बढ़ाया जाता है - ग्राफ अक्ष के बारे में सममित है, और यदि आपके अध्ययन में कुछ इस तथ्य का खंडन करता है, तो एक त्रुटि की तलाश करें।

एक सम या विषम फलन की केवल जांच की जा सकती है, और फिर ग्राफ की समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। यह समाधान इष्टतम है, लेकिन मेरी राय में, यह बहुत ही असामान्य लगता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर विचार करता हूं, लेकिन मुझे अभी भी केवल दाईं ओर अतिरिक्त अंक मिलते हैं:

उदाहरण 5

फलन का पूरा अध्ययन करें और उसका ग्राफ तैयार करें।

फेसला: जोर से दौड़ा:

1) फ़ंक्शन परिभाषित और संपूर्ण वास्तविक रेखा पर निरंतर है:।

इसका मतलब है कि यह फ़ंक्शन विषम है, इसका ग्राफ मूल के संबंध में सममित है।

जाहिर है, फ़ंक्शन गैर-आवधिक है।

2) स्पर्शोन्मुख, अनंत पर एक फ़ंक्शन का व्यवहार।

चूँकि फलन निरंतर चालू है, इसलिए कोई उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं हैं

एक घातांक वाले फ़ंक्शन के लिए, आमतौर पर अलग करना"प्लस" और "माइनस इनफिनिटी" का अध्ययन, हालांकि, हमारे जीवन को केवल ग्राफ की समरूपता द्वारा सुगम बनाया गया है - या तो बाईं ओर और दाईं ओर एक स्पर्शोन्मुख है, या यह नहीं है। इसलिए, दोनों अनंत सीमाओं को एक प्रविष्टि के तहत व्यवस्थित किया जा सकता है। समाधान के दौरान, हम उपयोग करते हैं ल अस्पताल का नियम:

सीधी रेखा (अक्ष) पर ग्राफ़ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।

ध्यान दें कि कैसे मैंने चतुराई से तिरछे स्पर्शोन्मुख खोजने के लिए पूर्ण एल्गोरिथ्म से परहेज किया: सीमा काफी कानूनी है और अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को स्पष्ट करती है, और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख पाया गया था "जैसे कि एक ही समय में।"

यह निरंतरता पर और एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व से निम्नानुसार है कि फ़ंक्शन ऊपर से सीमितऔर नीचे से सीमित.

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु, निरंतरता के अंतराल।

यहां हम समाधान को भी छोटा करते हैं:
ग्राफ मूल से होकर गुजरता है।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के कोई अन्य बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, निरंतरता के अंतराल स्पष्ट हैं, और अक्ष को खींचा नहीं जा सकता है: , जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का संकेत केवल "x" पर निर्भर करता है:
, अगर ;
, अगर ।

4) फलन का बढ़ना, घटाना, चरम सीमा।

महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

अंक शून्य के बारे में सममित हैं, जैसा कि होना चाहिए।

आइए व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करें:

अंतराल पर फलन बढ़ता है और अंतराल पर घटता है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .

संपत्ति के कारण (फ़ंक्शन की विषमता) न्यूनतम छोड़ा जा सकता है:

चूंकि अंतराल पर फलन घटता है, तो, जाहिर है, ग्राफ "माइनस इनफिनिटी" पर स्थित है नीचेइसके स्पर्शोन्मुख के साथ। अन्तराल पर फलन भी कम हो जाता है, परन्तु यहाँ विपरीत सत्य है - अधिकतम बिन्दु से गुजरने के बाद रेखा ऊपर से अक्ष पर पहुँचती है।

ऊपर से यह भी पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ "माइनस इनफिनिटी" पर उत्तल है और "प्लस इनफिनिटी" पर अवतल है।

अध्ययन के इस बिंदु के बाद, फ़ंक्शन के मूल्यों का क्षेत्र भी तैयार किया गया था:

यदि आपको किसी बिंदु के बारे में कोई गलतफहमी है, तो मैं आपसे एक बार फिर अपनी नोटबुक में निर्देशांक अक्ष बनाने और अपने हाथों में एक पेंसिल लेकर सत्रीय कार्य के प्रत्येक निष्कर्ष का पुन: विश्लेषण करने का आग्रह करता हूं।

5) ग्राफ की उत्तलता, अवतलता, विभक्ति।

महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

बिंदुओं की समरूपता संरक्षित है, और, सबसे अधिक संभावना है, हम गलत नहीं हैं।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल है और अवतल .

अत्यधिक अंतराल पर उत्तलता/अवतलता की पुष्टि की गई।

सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ग्राफ में विभक्ति होती है। आइए फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करते हुए, फिर से गणनाओं की संख्या को कम करते हुए, विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक खोजें:

यदि समस्या में इसके ग्राफ के निर्माण के साथ फ़ंक्शन f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 का पूरा अध्ययन करना आवश्यक है, तो हम इस सिद्धांत पर विस्तार से विचार करेंगे।

इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए, मुख्य प्राथमिक कार्यों के गुणों और रेखांकन का उपयोग करना चाहिए। अनुसंधान एल्गोरिथ्म में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

परिभाषा का डोमेन ढूँढना

चूंकि अनुसंधान कार्य के क्षेत्र में किया जाता है, इसलिए इस चरण से शुरू करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

दिए गए उदाहरण में हर के शून्य का पता लगाना शामिल है ताकि उन्हें डीपीवी से बाहर किया जा सके।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 x ∈ - ; - 1 2 - 1 2 ; 1 2 1 2 ; +∞

नतीजतन, आप जड़ें, लघुगणक, आदि प्राप्त कर सकते हैं। तब ODZ को असमानता g (x) 0 द्वारा g (x) 4 प्रकार के सम अंश के मूल के लिए खोजा जा सकता है, लघुगणक log a g (x) के लिए असमानता g (x) > 0 द्वारा।

ODZ सीमाओं की जांच और लंबवत स्पर्शोन्मुख का पता लगाना

फ़ंक्शन की सीमाओं पर लंबवत स्पर्शोन्मुख होते हैं, जब ऐसे बिंदुओं पर एकतरफा सीमाएं अनंत होती हैं।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, x = ± 1 2 के बराबर सीमा बिंदुओं पर विचार करें।

फिर एकतरफा सीमा खोजने के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना आवश्यक है। तब हम पाते हैं कि: लिम x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + लिम x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - लिम x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = लिम x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = +

इससे पता चलता है कि एकतरफा सीमाएं अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं x = ± 1 2 ग्राफ के लंबवत अनंतस्पर्शी हैं।

समारोह की जांच और सम या विषम के लिए

जब शर्त y (- x) = y (x) पूरी होती है, तो फलन को सम माना जाता है। इससे पता चलता है कि ग्राफ O y के सापेक्ष सममित रूप से स्थित है। जब शर्त y (- x) = - y (x) पूरी होती है, तो फलन को विषम माना जाता है। इसका मतलब यह है कि समरूपता निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में जाती है। यदि कम से कम एक असमानता विफल हो जाती है, तो हमें सामान्य रूप का एक फलन प्राप्त होता है।

समानता y (- x) = y (x) की पूर्ति इंगित करती है कि फलन सम है। निर्माण करते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि O y के संबंध में समरूपता होगी।

असमानता को हल करने के लिए, क्रमशः f "(x) 0 और f" (x) 0 शर्तों के साथ वृद्धि और कमी के अंतराल का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

स्थिर बिंदुऐसे बिंदु हैं जो व्युत्पन्न को शून्य में बदल देते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुडोमेन से आंतरिक बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

निर्णय लेते समय, निम्नलिखित बातों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

फॉर्म f "(x)> 0 की असमानता में वृद्धि और कमी के मौजूदा अंतराल के लिए, महत्वपूर्ण बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं;
जिन बिंदुओं पर परिमित व्युत्पन्न के बिना फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, उन्हें वृद्धि और कमी के अंतराल में शामिल किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, y \u003d x 3, जहां बिंदु x \u003d 0 फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, व्युत्पन्न में अनंत का मान होता है इस बिंदु पर, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = , x = 0 वृद्धि अंतराल में शामिल है);
असहमति से बचने के लिए, गणितीय साहित्य का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जिसकी सिफारिश शिक्षा मंत्रालय द्वारा की जाती है।

घटना के बढ़ने और घटने के अंतराल में महत्वपूर्ण बिंदुओं को शामिल करना कि वे फ़ंक्शन के डोमेन को संतुष्ट करते हैं।

परिभाषा 2

के लिए फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, यह ज्ञात करना आवश्यक है:

व्युत्पन्न;
महत्वपूर्ण बिंदु;
महत्वपूर्ण बिंदुओं की सहायता से परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल में तोड़ें;
प्रत्येक अंतराल पर अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए, जहाँ + वृद्धि है और - कमी है।

उदाहरण 3

डोमेन f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) पर अवकलज ज्ञात कीजिए। 2.

फेसला

हल करने के लिए आपको चाहिए:

स्थिर बिंदु ज्ञात कीजिए, इस उदाहरण में x = 0 है;
हर के शून्यक ज्ञात कीजिए, उदाहरण शून्य मान को x = ± 1 2 पर लेता है।

हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए संख्यात्मक अक्ष पर बिंदुओं को उजागर करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतराल से किसी भी बिंदु को लेने और गणना करने के लिए पर्याप्त है। यदि परिणाम सकारात्मक है, तो हम ग्राफ पर + खींचते हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन में वृद्धि, और - का अर्थ है इसकी कमी।

उदाहरण के लिए, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर के पहले अंतराल में + चिन्ह है। संख्या पर विचार करें रेखा।

जवाब:

अंतराल पर फलन में वृद्धि होती है - ; - 1 2 और (- 1 2 ; 0 ] ;
अंतराल पर कमी होती है [ 0 ; 1 2) और 1 2 ; +∞.

आरेख में, + और - का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की सकारात्मकता और नकारात्मकता को दर्शाया गया है, और तीर घटने और बढ़ने का संकेत देते हैं।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है और जिसके माध्यम से व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

उदाहरण 4

यदि हम एक उदाहरण पर विचार करते हैं जहां x \u003d 0 है, तो इसमें फ़ंक्शन का मान f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 है। जब व्युत्पन्न का चिह्न + से - में बदल जाता है और बिंदु x \u003d 0 से गुजरता है, तो निर्देशांक (0; 0) वाले बिंदु को अधिकतम बिंदु माना जाता है। जब चिह्न को - से + में बदल दिया जाता है, तो हमें न्यूनतम बिंदु प्राप्त होता है।

उत्तलता और अवतलता का निर्धारण f "" (x) 0 और f "" (x) 0 के रूप की असमानताओं को हल करके किया जाता है। कम बार वे अवतलता के बजाय उभार नाम का प्रयोग करते हैं, और उभार के बजाय उभार।

परिभाषा 3

के लिए उत्तलता और उत्तलता के अंतराल का निर्धारणज़रूरी:

दूसरा व्युत्पन्न खोजें;
दूसरे अवकलज के फलन के शून्य ज्ञात कीजिए;
परिभाषा के क्षेत्र को उन बिंदुओं से तोड़ें जो अंतराल में दिखाई देते हैं;
अंतराल का संकेत निर्धारित करें।

उदाहरण 5

परिभाषा के क्षेत्र से दूसरा अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

हम अंश और हर के शून्य पाते हैं, जहां, हमारे उदाहरण का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि हर के शून्य x = ± 1 2

अब आपको संख्या रेखा पर अंक लगाने और प्रत्येक अंतराल से दूसरे अवकलज का चिह्न निर्धारित करने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

जवाब:

फलन अंतराल से उत्तल है - 1 2 ; 12 ;
समारोह अंतराल से अवतल है - ; - 1 2 और 1 2; +∞.

परिभाषा 4

संक्रमण का बिन्दु x 0 के रूप का एक बिंदु है; एफ (एक्स 0)। जब यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रखता है, तो जब यह x 0 से होकर गुजरता है, तो फ़ंक्शन संकेत को विपरीत में बदल देता है।

दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा बिंदु है जिसके माध्यम से दूसरा व्युत्पन्न गुजरता है और संकेत बदलता है, और बिंदुओं पर स्वयं शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है। सभी बिंदुओं को फ़ंक्शन का डोमेन माना जाता है।

उदाहरण में, यह देखा गया कि कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन अंक x = ± 1 2 से गुजरते समय संकेत करता है। वे, बदले में, परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं।

क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी ढूँढना

अनंत पर एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते समय, किसी को क्षैतिज और तिरछी स्पर्शोन्मुख की तलाश करनी चाहिए।

परिभाषा 5

तिरछा स्पर्शोन्मुखसमीकरण y = k x + b द्वारा दी गई रेखाओं का उपयोग करके खींचे जाते हैं, जहाँ k = lim x → ∞ f (x) x और b = lim x → ∞ f (x) - k x ।

k = 0 और b अनंत के बराबर नहीं होने पर, हम पाते हैं कि तिरछी अनंतस्पर्शी बन जाती है क्षैतिज.

दूसरे शब्दों में, स्पर्शोन्मुख वे रेखाएँ हैं जिनसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनंत पर पहुँचता है। यह फ़ंक्शन के ग्राफ के तेजी से निर्माण में योगदान देता है।

यदि कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शन को दोनों अनंत पर परिभाषित किया गया है, तो यह समझने के लिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे व्यवहार करेगा, इन अनंत पर फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है।

उदाहरण 6

एक उदाहरण के रूप में, उस पर विचार करें

k = लिम x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 y = 1 4

एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है। फ़ंक्शन पर शोध करने के बाद, आप इसे बनाना शुरू कर सकते हैं।

मध्यवर्ती बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करना

प्लॉटिंग को सबसे सटीक बनाने के लिए, मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन के कई मान खोजने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 7

हमने जिस उदाहरण पर विचार किया है, उससे x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूंकि फ़ंक्शन सम है, हम पाते हैं कि मान इन बिंदुओं पर मानों के साथ मेल खाते हैं, अर्थात, हमें x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 मिलता है।

आइए लिखें और हल करें:

एफ (- 2) = एफ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 एफ (- 1) - एफ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 - 0.08

फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा को निर्धारित करने के लिए, विभक्ति बिंदु, मध्यवर्ती बिंदु, स्पर्शोन्मुख का निर्माण करना आवश्यक है। सुविधाजनक पदनाम के लिए, वृद्धि, कमी, उत्तलता, अवतलता के अंतराल निश्चित हैं। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से ग्राफ रेखाएं खींचना आवश्यक है, जो आपको तीरों का अनुसरण करते हुए स्पर्शोन्मुख के करीब पहुंचने की अनुमति देगा।

यह फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन समाप्त करता है। कुछ प्राथमिक कार्यों के निर्माण के मामले हैं जिनके लिए ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है।

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रेशेबनिक कुज़नेत्सोव।
III रेखांकन

टास्क 7. फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन करें और उसका ग्राफ बनाएं।

अपने विकल्पों को डाउनलोड करना शुरू करने से पहले, विकल्प 3 के लिए नीचे दिए गए नमूने के अनुसार समस्या को हल करने का प्रयास करें। कुछ विकल्प .rar प्रारूप में संग्रहीत हैं।

7.3 फलन का संपूर्ण अध्ययन करें और उसका आलेखन करें