वितरण फलन में यादृच्छिक चर के बारे में पूरी जानकारी होती है। व्यवहार में, आवंटन कार्य हमेशा स्थापित नहीं किया जा सकता है; कभी-कभी ऐसे संपूर्ण ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। एक यादृच्छिक चर के बारे में आंशिक जानकारी संख्यात्मक विशेषताओं द्वारा दी जाती है, जो सूचना के प्रकार के आधार पर निम्नलिखित समूहों में विभाजित होती है।
1. संख्यात्मक अक्ष पर एक यादृच्छिक चर की स्थिति के लक्षण (मोड .) एमओ, माध्यिका मैं, अपेक्षित मूल्य एम (एक्स)).
2. माध्य मान (फैलाव) के चारों ओर एक यादृच्छिक चर के प्रसार के लक्षण डी (एक्स), मानक विचलन σ( एक्स)).
3. वक्र आकार के लक्षण आप = φ( एक्स) (विषमता जैसा, कुर्टोसिस भूतपूर्व).
आइए इन विशेषताओं में से प्रत्येक पर करीब से नज़र डालें।
अपेक्षित मूल्य अनियमित चर एक्सकुछ औसत मूल्य को इंगित करता है जिसके चारों ओर सभी संभावित मूल्यों को समूहीकृत किया जाता है एक्स. एक असतत यादृच्छिक चर के लिए जो संभावित मूल्यों की केवल एक सीमित संख्या ले सकता है, गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों का योग है और इन मूल्यों की संभावना है:
. (2.4)
एक सतत यादृच्छिक चर के लिए एक्स, जिसका वितरण घनत्व दिया गया है ( एक्स) गणितीय अपेक्षा निम्नलिखित अभिन्न है:
. (2.5)
यहाँ यह माना जाता है कि अनुचित समाकलन पूर्णतः अभिसरण करता है, अर्थात्। मौजूद।
गणितीय अपेक्षा के गुण:
1. एमएस) = सी, कहाँ पे साथ में = स्थिरांक;
2. एम (सी∙एक्स) = सी∙एम (एक्स);
3. एम (एक्स ± वाई) = एम (एक्स) ± मेरे), कहाँ पे एक्सऔर यू- कोई यादृच्छिक चर;
4. एम (एक्स∙यू)=एम (एक्स)∙मेरे), कहाँ पे एक्सऔर यूस्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।
दो यादृच्छिक चर कहलाते हैं स्वतंत्र , यदि उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरे मूल्य ने क्या संभावित मूल्य लिए हैं।
पहनावा असतत यादृच्छिक चर, निरूपित एमओ, इसका सबसे संभावित मान कहलाता है (चित्र 2.3), और एक सतत यादृच्छिक चर का बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2.4)।



चावल। 2.3 अंजीर। 2.4
मंझला निरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसका मान मुझे ऐसा कहा जाता है, जिसके लिए यह समान रूप से संभावित है कि यादृच्छिक चर कम होगा या अधिक मैं, अर्थात।
पी(एक्स < मैं) = पी(एक्स > मैं)
माध्यिका की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि पी(एक्स<मैं) = 0.5, यानी। एफ (मैं) = 0.5। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका की व्याख्या भुज के रूप में की जा सकती है, जिसमें कोटि φ( एक्स) वितरण वक्र से घिरे क्षेत्र को समद्विभाजित करता है (चित्र 2.5)। सममित बंटन के मामले में, माध्यिका बहुलक और गणितीय अपेक्षा के साथ मेल खाती है (चित्र 2.6)।

चावल। 2.5 अंजीर। 2.6

फैलाव।

यादृच्छिक चर का प्रसरण- किसी दिए गए यादृच्छिक चर के प्रसार का एक उपाय, अर्थात्, गणितीय अपेक्षा से इसका विचलन। लक्षित डी[एक्स] रूसी साहित्य में और (इंग्लैंड। झगड़ा) विदेशों में। सांख्यिकी में, पदनाम या अक्सर प्रयोग किया जाता है। विचरण का वर्गमूल, के बराबर, मानक विचलन, मानक विचलन या मानक प्रसार कहलाता है। मानक विचलन को उन्हीं इकाइयों में मापा जाता है जो यादृच्छिक चर के रूप में होती हैं, और विचरण को उस इकाई के वर्गों में मापा जाता है।

यह चेबीशेव की असमानता का अनुसरण करता है कि एक यादृच्छिक चर अपनी गणितीय अपेक्षा से अधिक से अधिक दूर चला जाता है क 1/ से कम प्रायिकता वाले मानक विचलन क. इसलिए, उदाहरण के लिए, कम से कम 75% मामलों में, एक यादृच्छिक चर को इसके माध्य से दो मानक विचलन से अधिक नहीं हटा दिया जाता है, और लगभग 89% में - तीन से अधिक नहीं।

फैलाव यादृच्छिक चर को गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है
डी (एक्स) = एम (एक्स –एम (एक्स)) 2 .
यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्ससूत्र द्वारा गणना करना सुविधाजनक है:
a) असतत मात्रा के लिए
; (2.6)
बी) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए
जे( एक्स)डी एक्स – 2 . (2.7)
फैलाव में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. डी (सी) = 0, जहाँ साथ में = स्थिरांक;
2. डी (सी× एक्स) = सी 2 डी (एक्स);
3. डी(एक्स± यू) = डी(एक्स) + डी(यू), अगर एक्सऔर यूस्वतंत्र यादृच्छिक चर।
मानक विचलन अनियमित चर एक्सप्रसरण का अंकगणितीय मूल कहलाता है, अर्थात्।
σ( एक्स) = .
ध्यान दें कि आयाम ( एक्स) यादृच्छिक चर के आयाम के साथ ही मेल खाता है एक्स, इसलिए मानक विचलन बिखराव लक्षण वर्णन के लिए अधिक सुविधाजनक है।
यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं का एक सामान्यीकरण यादृच्छिक चर के क्षणों की अवधारणा है।
kth क्रम का प्रारंभिक क्षण α कअनियमित चर एक्समात्रा की गणितीय अपेक्षा कहलाती है एक्स के, अर्थात। α क = एम (एक्स के).
पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है।
kth क्रम का केंद्रीय क्षण μ कअनियमित चर एक्समात्रा की गणितीय अपेक्षा कहलाती है ( एक्स–एम (एक्स))क, अर्थात। μ क = एम (एक्स–एम (एक्स))क.
दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर का विचरण है।
असतत यादृच्छिक चर के लिए, प्रारंभिक क्षण योग α . द्वारा व्यक्त किया जाता है क= , और केंद्रीय योग μ . है क = कहाँ पे पी मैं = पी (एक्स=एक्स मैं) एक सतत यादृच्छिक चर के प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों के लिए, निम्नलिखित समानताएं प्राप्त की जा सकती हैं:
α क = ,  μ क = ,
जहां ( एक्स) यादृच्छिक चर X का वितरण घनत्व है।
मूल्य जैसा= μ 3 / 3 कहा जाता है विषमता गुणांक .
यदि विषमता गुणांक नकारात्मक है, तो यह एम 3 नकारात्मक विचलन के मूल्य पर एक बड़े प्रभाव को इंगित करता है। इस मामले में, वितरण वक्र (चित्र 2.7) . के बाईं ओर अधिक सपाट है एम (एक्स) यदि गुणांक अस सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि सकारात्मक विचलन का प्रभाव प्रबल होता है, तो वितरण वक्र (चित्र। 2.7) दाईं ओर चापलूसी करता है। व्यवहार में, विषमता का संकेत मोड के सापेक्ष वितरण वक्र के स्थान (अंतर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु) द्वारा निर्धारित किया जाता है।


चावल। 2.7
कुकुदता इकमात्रा कहा जाता है
इक\u003d μ 4 / 4 - 3।

प्रश्न 24: सहसंबंध

सह - संबंध (सहसंबंध निर्भरता) - दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर का सांख्यिकीय संबंध (या वेरिएबल्स जिन्हें कुछ स्वीकार्य डिग्री सटीकता के साथ माना जा सकता है)। इस मामले में, इनमें से एक या अधिक मात्राओं के मूल्यों में परिवर्तन के साथ-साथ दूसरी या अन्य मात्राओं के मूल्यों में एक व्यवस्थित परिवर्तन होता है। दो यादृच्छिक चरों के सहसंबंध का गणितीय माप है सहसंबंध संबंध, या सहसंबंध गुणांक (या ) . यदि एक यादृच्छिक चर में परिवर्तन से दूसरे यादृच्छिक चर में नियमित परिवर्तन नहीं होता है, लेकिन इस यादृच्छिक चर की एक अन्य सांख्यिकीय विशेषता में परिवर्तन होता है, तो ऐसे संबंध को सहसंबंध नहीं माना जाता है, हालांकि यह सांख्यिकीय है।

पहली बार, "सहसंबंध" शब्द को 18 वीं शताब्दी में फ्रांसीसी जीवाश्म विज्ञानी जॉर्जेस कुवियर द्वारा वैज्ञानिक प्रचलन में पेश किया गया था। उन्होंने जीवित प्राणियों के अंगों और अंगों के "सहसंबंध का नियम" विकसित किया, जिसकी मदद से एक जीवाश्म जानवर की उपस्थिति को बहाल करना संभव है, जिसके पास उसके अवशेषों का केवल एक हिस्सा है। आंकड़ों में, "सहसंबंध" शब्द का प्रयोग पहली बार 19वीं शताब्दी के अंत में अंग्रेजी जीवविज्ञानी और सांख्यिकीविद् फ्रांसिस गैल्टन द्वारा किया गया था।

कुछ प्रकार के सहसंबंध गुणांक सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं (यह भी संभव है कि कोई सांख्यिकीय संबंध न हो - उदाहरण के लिए, स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए)। यदि यह मान लिया जाए कि चरों के मूल्यों पर एक सख्त आदेश संबंध दिया गया है, तो नकारात्मक सहसंबंध- सहसंबंध, जिसमें एक चर में वृद्धि दूसरे चर में कमी के साथ जुड़ी होती है, जबकि सहसंबंध गुणांक नकारात्मक हो सकता है; सकारात्मक संबंधऐसी स्थितियों में, एक सहसंबंध जिसमें एक चर में वृद्धि दूसरे चर में वृद्धि के साथ जुड़ी होती है, जबकि सहसंबंध गुणांक सकारात्मक हो सकता है।

प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक विशेष शाखा है जिसका अध्ययन केवल उच्च शिक्षण संस्थानों के छात्र ही करते हैं। क्या आपको गणना और सूत्र पसंद हैं? क्या आप सामान्य वितरण, पहनावा की एन्ट्रापी, गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के विचरण के साथ परिचित होने की संभावनाओं से डरते नहीं हैं? तब यह विषय आपके लिए बहुत रुचिकर होगा। आइए विज्ञान के इस खंड की कुछ सबसे महत्वपूर्ण बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हों।

आइए मूल बातें याद रखें

यहां तक ​​कि अगर आपको संभाव्यता सिद्धांत की सबसे सरल अवधारणाएं याद हैं, तो लेख के पहले पैराग्राफ की उपेक्षा न करें। तथ्य यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के बिना, आप नीचे चर्चा किए गए सूत्रों के साथ काम करने में सक्षम नहीं होंगे।

तो, कुछ यादृच्छिक घटना है, कुछ प्रयोग है। किए गए कार्यों के परिणामस्वरूप, हम कई परिणाम प्राप्त कर सकते हैं - उनमें से कुछ अधिक सामान्य हैं, अन्य कम सामान्य हैं। किसी घटना की प्रायिकता एक प्रकार के वास्तव में प्राप्त परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। केवल इस अवधारणा की शास्त्रीय परिभाषा को जानने के बाद, आप निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव का अध्ययन करना शुरू कर सकते हैं।

औसत

स्कूल में वापस, गणित के पाठों में, आपने अंकगणितीय माध्य के साथ काम करना शुरू किया। इस अवधारणा का व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, और इसलिए इसे अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस समय हमारे लिए मुख्य बात यह है कि हम गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के विचरण के सूत्रों में इसका सामना करेंगे।

हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है और हम अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। हमें जो कुछ भी आवश्यक है वह सब कुछ उपलब्ध है और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करना है। मान लीजिए हमारे पास 1 से 9 तक की संख्याएँ हैं। तत्वों का योग 45 होगा, और हम इस मान को 9 से विभाजित करेंगे। उत्तर: - 5।

फैलाव

वैज्ञानिक शब्दों में, विचरण अंकगणित माध्य से प्राप्त विशेषता मानों के विचलन का औसत वर्ग है। एक को बड़े लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। इसकी गणना करने के लिए क्या आवश्यक है? अनुक्रम के प्रत्येक तत्व के लिए, हम उपलब्ध संख्या और अंकगणितीय माध्य के बीच के अंतर की गणना करते हैं और इसे वर्ग करते हैं। जिस घटना पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए उतने ही मूल्य होंगे जितने परिणाम हो सकते हैं। अगला, हम प्राप्त सभी चीजों को सारांशित करते हैं और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करते हैं। यदि हमारे पास पांच संभावित परिणाम हैं, तो पांच से विभाजित करें।

विचरण में ऐसे गुण भी होते हैं जिन्हें समस्याओं को हल करते समय इसे लागू करने के लिए आपको याद रखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि यादृच्छिक चर को X गुना बढ़ा दिया जाता है, तो विचरण वर्ग के X गुना बढ़ जाता है (अर्थात, X*X)। यह कभी भी शून्य से कम नहीं होता है और मूल्यों को एक समान मान ऊपर या नीचे स्थानांतरित करने पर निर्भर नहीं करता है। साथ ही, स्वतंत्र परीक्षणों के लिए, योग का प्रसरण, प्रसरणों के योग के बराबर होता है।

अब हमें निश्चित रूप से एक असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के उदाहरणों पर विचार करने की आवश्यकता है।

मान लीजिए कि हम 21 प्रयोग चलाते हैं और 7 अलग-अलग परिणाम प्राप्त करते हैं। हमने उनमें से प्रत्येक को क्रमशः 1,2,2,3,4,4 और 5 बार देखा। भिन्नता क्या होगी?

सबसे पहले, हम अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: तत्वों का योग, निश्चित रूप से, 21 है। हम इसे 7 से विभाजित करते हैं। 3 प्राप्त करते हैं। अब हम मूल क्रम में प्रत्येक संख्या से 3 घटाते हैं, प्रत्येक मान को वर्ग करते हैं, और परिणाम एक साथ जोड़ते हैं . यह 12 निकला। अब हमारे लिए संख्या को तत्वों की संख्या से विभाजित करना बाकी है, और, ऐसा प्रतीत होता है, बस। लेकिन वहां एक जाल है! आइए इसकी चर्चा करते हैं।

प्रयोगों की संख्या पर निर्भरता

यह पता चला है कि विचरण की गणना करते समय, हर दो संख्याओं में से एक हो सकता है: या तो एन या एन -1। यहां एन अनुक्रम में किए गए प्रयोगों की संख्या या तत्वों की संख्या है (जो अनिवार्य रूप से वही बात है)। यह किस पर निर्भर करता है?

यदि परीक्षणों की संख्या सैकड़ों में मापी जाती है, तो हमें N को हर में रखना चाहिए। यदि इकाइयों में, तो N-1। वैज्ञानिकों ने सीमा को काफी प्रतीकात्मक रूप से खींचने का फैसला किया: आज यह संख्या 30 के साथ चलती है। यदि हमने 30 से कम प्रयोग किए हैं, तो हम राशि को एन -1 से विभाजित करेंगे, और यदि अधिक है, तो एन द्वारा।

काम

आइए विचरण और अपेक्षा की समस्या को हल करने के अपने उदाहरण पर वापस जाएं। हमें 12 की एक मध्यवर्ती संख्या मिली, जिसे N या N-1 से विभाजित करना था। चूंकि हमने 21 प्रयोग किए, जो कि 30 से कम हैं, हम दूसरा विकल्प चुनेंगे। तो उत्तर है: विचरण 12/2 = 2 है।

अपेक्षित मूल्य

आइए दूसरी अवधारणा पर चलते हैं, जिस पर हमें इस लेख में विचार करना चाहिए। गणितीय अपेक्षा संगत संभावनाओं से गुणा किए गए सभी संभावित परिणामों को जोड़ने का परिणाम है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्राप्त मूल्य, साथ ही विचरण की गणना का परिणाम, पूरे कार्य के लिए केवल एक बार प्राप्त किया जाता है, चाहे उसमें कितने भी परिणाम क्यों न माने जाएं।

गणितीय अपेक्षा सूत्र काफी सरल है: हम परिणाम लेते हैं, इसे इसकी संभावना से गुणा करते हैं, इसे दूसरे, तीसरे परिणाम आदि के लिए जोड़ते हैं। इस अवधारणा से संबंधित हर चीज की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षाओं का योग योग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है। काम के लिए भी यही सच है। संभाव्यता सिद्धांत में प्रत्येक मात्रा ऐसे सरल कार्यों को करने की अनुमति नहीं देती है। आइए एक कार्य लें और उन दो अवधारणाओं के मूल्य की गणना करें जिनका हमने एक साथ अध्ययन किया है। इसके अलावा, हम सिद्धांत से विचलित थे - यह अभ्यास करने का समय है।

एक और उदाहरण

हमने 50 परीक्षण चलाए और 10 प्रकार के परिणाम प्राप्त किए - संख्या 0 से 9 - अलग-अलग प्रतिशत में दिखाई दे रहे हैं। ये क्रमशः हैं: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। याद रखें कि संभावनाएं प्राप्त करने के लिए, आपको प्रतिशत मानों को 100 से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमें 0.02 मिलता है; 0.1 आदि आइए हम एक यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।

हम प्राथमिक विद्यालय से याद किए गए सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: 50/10 = 5।

आइए अब संभावनाओं को "टुकड़ों में" परिणामों की संख्या में अनुवाद करें ताकि इसे गिनना अधिक सुविधाजनक हो सके। हमें 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 और 9 मिलते हैं। प्राप्त प्रत्येक मान से अंकगणितीय माध्य घटाएं, जिसके बाद हम प्राप्त परिणामों में से प्रत्येक का वर्ग करते हैं। उदाहरण के रूप में पहले तत्व के साथ इसे कैसे करें देखें: 1 - 5 = (-4)। आगे: (-4) * (-4) = 16. अन्य मूल्यों के लिए, ये ऑपरेशन स्वयं करें। अगर आपने सब कुछ ठीक किया, तो सब कुछ जोड़ने के बाद आपको 90 मिलते हैं।

आइए 90 को N से विभाजित करके विचरण और माध्य की गणना जारी रखें। हम N को क्यों चुनते हैं और N-1 को नहीं? यह सही है, क्योंकि किए गए प्रयोगों की संख्या 30 से अधिक है। तो: 90/10 = 9। हमें फैलाव मिला। अगर आपको कोई दूसरा नंबर मिलता है, तो निराश न हों। सबसे अधिक संभावना है, आपने गणना में एक सामान्य त्रुटि की है। आपने जो लिखा है उसे दोबारा जांचें, और निश्चित रूप से सब कुछ ठीक हो जाएगा।

अंत में, आइए गणितीय अपेक्षा सूत्र को याद करें। हम सभी गणना नहीं देंगे, हम केवल वही उत्तर लिखेंगे जिसके साथ आप सभी आवश्यक प्रक्रियाओं को पूरा करने के बाद जांच कर सकते हैं। अपेक्षित मान 5.48 होगा। हम केवल याद करते हैं कि पहले तत्वों के उदाहरण का उपयोग करके संचालन कैसे किया जाता है: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... और इसी तरह। जैसा कि आप देख सकते हैं, हम परिणाम के मूल्य को इसकी संभावना से गुणा करते हैं।

विचलन

फैलाव और गणितीय अपेक्षा से निकटता से संबंधित एक अन्य अवधारणा मानक विचलन है। इसे या तो लैटिन अक्षरों sd द्वारा, या ग्रीक लोअरकेस "सिग्मा" द्वारा दर्शाया जाता है। यह अवधारणा दिखाती है कि कैसे, औसतन, मूल्य केंद्रीय विशेषता से विचलित होते हैं। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको विचरण के वर्गमूल की गणना करनी होगी।

यदि आप एक सामान्य वितरण की साजिश रचते हैं और उस पर सीधे वर्ग विचलन देखना चाहते हैं, तो यह कई चरणों में किया जा सकता है। छवि के आधे हिस्से को मोड (केंद्रीय मान) के बाईं या दाईं ओर ले जाएं, क्षैतिज अक्ष पर एक लंबवत खींचें ताकि परिणामी आंकड़ों के क्षेत्र समान हों। वितरण के मध्य और क्षैतिज अक्ष पर परिणामी प्रक्षेपण के बीच के खंड का मान मानक विचलन होगा।

सॉफ्टवेयर

जैसा कि सूत्रों के विवरण और प्रस्तुत उदाहरणों से देखा जा सकता है, विचरण और गणितीय अपेक्षा की गणना अंकगणित की दृष्टि से सबसे आसान प्रक्रिया नहीं है। समय बर्बाद न करने के लिए, उच्च शिक्षा में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रम का उपयोग करना समझ में आता है - इसे "आर" कहा जाता है। इसमें ऐसे कार्य हैं जो आपको सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से कई अवधारणाओं के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, आप मानों के वेक्टर को परिभाषित करते हैं। यह निम्नानुसार किया जाता है: वेक्टर<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

आखिरकार

फैलाव और गणितीय अपेक्षाएं हैं जिनके बिना भविष्य में कुछ भी गणना करना मुश्किल है। विश्वविद्यालयों में व्याख्यान के मुख्य पाठ्यक्रम में, उन्हें विषय के अध्ययन के पहले महीनों में ही माना जाता है। इन सरल अवधारणाओं की समझ की कमी और उनकी गणना करने में असमर्थता के कारण ही कई छात्र तुरंत कार्यक्रम में पिछड़ने लगते हैं और बाद में सत्र में खराब अंक प्राप्त करते हैं, जो उन्हें छात्रवृत्ति से वंचित करता है।

इस लेख में प्रस्तुत किए गए समान कार्यों को हल करते हुए, दिन में कम से कम एक सप्ताह में आधे घंटे का अभ्यास करें। फिर, किसी भी संभाव्यता सिद्धांत परीक्षण पर, आप बिना बाहरी युक्तियों और चीट शीट के उदाहरणों का सामना करेंगे।

प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य पूरी तरह से उसके वितरण कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। साथ ही, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, कई संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है, जिसके लिए एक यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताओं को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत करना संभव हो जाता है।

ये मात्राएँ मुख्य रूप से हैं अपेक्षित मूल्यऔर फैलाव .

अपेक्षित मूल्य- संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य। के रूप में नामित ।

सबसे सरल तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू), के रूप में पाए जाते हैं अभिन्नलेबेस्ग्यूसंभाव्यता माप के संबंध में आर प्रारंभिक संभाव्यता स्थान

आप किसी मान की गणितीय अपेक्षा इस प्रकार भी प्राप्त कर सकते हैं: लेबेस्ग इंटीग्रलसे एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा आर एक्समात्रा एक्स:

सभी संभावित मूल्यों का सेट कहां है एक्स.

यादृच्छिक चर से कार्यों की गणितीय अपेक्षा एक्सवितरण के माध्यम से है आर एक्स. उदाहरण के लिए, अगर एक्स- और . में मानों के साथ यादृच्छिक चर एफ (एक्स)- स्पष्ट बोरेलीसमारोह एक्स , तब:

यदि एक एफ (एक्स)- वितरण समारोह एक्स, तो गणितीय अपेक्षा प्रतिनिधित्व योग्य है अभिन्नलेबेस्ग्यू - स्टिल्टजेस (या रीमैन - स्टिल्टजेस):

जबकि अभिन्नता एक्सकिस तरीके से ( * ) अभिन्न की परिमितता से मेल खाती है

विशिष्ट मामलों में, यदि एक्ससंभावित मूल्यों के साथ एक असतत वितरण है एक्स के, के = 1, 2,। , और संभावनाएं , तब

अगर एक्ससंभाव्यता घनत्व के साथ एक बिल्कुल निरंतर वितरण है पी (एक्स), तब

इस मामले में, गणितीय अपेक्षा का अस्तित्व संबंधित श्रृंखला या अभिन्न के पूर्ण अभिसरण के बराबर है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण।

• स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस मान के बराबर है:

सी- लगातार;

• एम = सीएम [एक्स]

• यादृच्छिक रूप से लिए गए मानों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा = उनकी गणितीय अपेक्षाओं का उत्पाद:

एम = एम [एक्स] + एम [वाई]

अगर एक्सऔर यूस्वतंत्र।

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है:

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिदम।

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुन: क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को गैर-शून्य संभावना के साथ समान करें।

1. जोड़े को बारी-बारी से गुणा करें: एक्स मैंपर अनुकरणीय.

2. प्रत्येक जोड़ी का गुणनफल जोड़ें एक्स आई पी आई.

उदाहरण के लिए, के लिए एन = 4 :

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यचरणबद्ध रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाओं का सकारात्मक संकेत होता है।

उदाहरण:सूत्र द्वारा गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

एक असतत प्रायिकता स्थान पर दिए गए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा (औसत मान), संख्या m =M[X]=∑x i p i है, यदि श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

सेवा असाइनमेंट. एक ऑनलाइन सेवा के साथ गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें)। इसके अतिरिक्त, वितरण फलन F(X) का एक आलेख आलेखित किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: M[C]=C , C एक स्थिरांक है;
2. एम = सी एम [एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: M=M[X]+M[Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: M=M[X] M[Y] यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का फैलाव शून्य के बराबर होता है: D(c)=0.
2. अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न के नीचे से चुकता करके निकाला जा सकता है: D(k*X)= k 2 D(X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का विचरण, प्रसरणों के योग के बराबर है: D(X+Y)=D(X)+D(Y)।
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y निर्भर हैं: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. विचरण के लिए, कम्प्यूटेशनल सूत्र मान्य है:
   डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2

उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ और प्रसरण ज्ञात हैं: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 । यादृच्छिक चर Z=9X-8Y+7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
फेसला। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
फैलाव गुणों के आधार पर: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिथ्म

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा पुन: क्रमांकित किया जा सकता है; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना असाइन करें।

1. युग्मों को एक-एक करके गुणा करें: x i को p i से।
2. हम प्रत्येक जोड़ी x i p i का गुणनफल जोड़ते हैं।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यक्रमिक रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं।

उदाहरण 1।

एक्स मैं	1	3	4	7	9
अनुकरणीय	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

गणितीय अपेक्षा सूत्र m = x i p i द्वारा ज्ञात की जाती है।
गणितीय अपेक्षा एम [एक्स].
एम [एक्स] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
फैलाव सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 द्वारा ज्ञात किया जाता है।
फैलाव डी [एक्स].
डी [एक्स] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन (x).
= वर्ग (डी [एक्स]) = वर्ग (7.69) = 2.78

उदाहरण # 2। एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एक्स	-10	-5	0	5	10
आर	ए	0,32	2ए	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान a, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

फेसला। मान a संबंध से पाया जाता है: p i = 1
p i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 या 0.24=3 a , जहां से a = 0.08

उदाहरण #3। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का निर्धारण करें यदि इसका विचरण ज्ञात है, और x 1 एक्स 1 =6; x2=9; एक्स3 = एक्स; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3
डी (एक्स) = 12.96

फेसला।
यहाँ आपको प्रसरण d (x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाने की आवश्यकता है:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
जहाँ अपेक्षा m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
हमारे डेटा के लिए
एम(एक्स)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x+96)=0
तदनुसार, समीकरण की जड़ों को खोजना आवश्यक है, और उनमें से दो होंगे।
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
हम उसे चुनते हैं जो शर्त को संतुष्ट करता है x 1 x3=12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 =6; x2=9; एक्स 3 \u003d 12; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3

गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता रखते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर का फैलाव।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:

उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

फेसला। हम औसत जीत पाएंगे यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाता है। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्न रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी अदायगी के आकार के उत्पादों के योग और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के बराबर है।

उदाहरण 2प्रकाशक ने एक नई पुस्तक प्रकाशित करने का निर्णय लिया। वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियों को बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

फेसला। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है - लाभ:

संख्या	लाभ एक्समैं	संभावना पीमैं	एक्समैं पीमैं
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
कुल:		1,00	25000

इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करने वाले गोले की खपत का निर्धारण करें।

फेसला। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .

संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

उम्मीद गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से कमी (वृद्धि) साथ में, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रह सकते हैं

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।

यादृच्छिक चर दें एक्सऔर यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

अर्थ एक्स	संभावना
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

अर्थ यू	संभावना
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़े अलग हैं यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का न्याय करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:

.

उदाहरण 5यादृच्छिक चरों के प्रसरणों और मानक विचलनों की गणना करें एक्सऔर यू, जिनके वितरण नियम ऊपर दी गई तालिका में दिए गए हैं।

फेसला। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सऔर यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सऔर यूगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- सार्थक। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में संबंधित संभावना के साथ अपेक्षित लाभ पर डेटा को सारांशित करती है।

प्रोजेक्ट 1	परियोजना 2	परियोजना 3	परियोजना 4
500, पी=1	1000, पी=0,5	500, पी=0,5	500, पी=0,5
	0, पी=0,5	1000, पी=0,25	10500, पी=0,25
		0, पी=0,25	9500, पी=0,25

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

फेसला। आइए दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।

फैलाव गुण

आइए हम परिक्षेपण के गुणों को प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:

,

कहाँ पे .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

फेसला। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	−3	7
पी	0,3	0,7

हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की प्रायिकता के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

फेसला। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	0	1	2	3
पी	1/30	3/10	1/2	1/6

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

एक सतत यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के अंकगणितीय औसत को कहा जाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।