अर्थमिति में सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स। युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स को देखते हुए

समरेखीय कारक हैं...

फेसला:

यह माना जाता है कि दो चर स्पष्ट रूप से संरेख हैं, अर्थात्। रैखिक रूप से एक दूसरे से संबंधित हैं यदि . हमारे मॉडल में, कारकों के बीच केवल युग्मित रैखिक प्रतिगमन का गुणांक और 0.7 से अधिक है। , इसलिए कारक और संरेख हैं।

4. बहु प्रतीपगमन मॉडल में, कारकों के बीच युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारक, और शून्य के करीब होता है। इसका मतलब है कि कारक, और ...

बहुसंकेत

स्वतंत्र

मात्रात्मक

फेसला:

कारकों की बहुसंरेखीयता का आकलन करने के लिए, कारकों के बीच युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का उपयोग किया जा सकता है। यदि कारक एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध नहीं हैं, तो कारकों के बीच जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स एकल होगा। चूंकि सभी ऑफ-विकर्ण तत्व शून्य के बराबर होगा।
, क्योंकि = = और == = = 0।
यदि कारकों के बीच पूर्ण रैखिक निर्भरता है और सभी जोड़ी सहसंबंध गुणांक एक के बराबर हैं, तो ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

इंटरफैक्टोरियल सहसंबंध मैट्रिक्स के निर्धारक शून्य के करीब, कारकों की बहुविकल्पीयता जितनी मजबूत होगी और कई प्रतिगमन के परिणाम उतने ही अविश्वसनीय होंगे। इसके विपरीत, इंटरफैक्टोरियल सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक एक के जितना करीब होता है, कारकों की बहुरूपता उतनी ही कम होती है।

5. एक रैखिक बहु समाश्रयण समीकरण के अर्थमितीय मॉडल के लिए, युग्मित रैखिक सहसंबंध गुणांक का एक मैट्रिक्स ( आपआश्रित चर है; एक्स (1),एक्स (2), एक्स (3), एक्स(4)- स्वतंत्र चर):

समरेख (निकट से संबंधित) स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर नहीं हैं …

एक्स(2)और एक्स(3)

एक्स(1)और एक्स(3)

एक्स(1)और एक्स(4)

एक्स(2)और एक्स(4)

फेसला:

एकाधिक प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करते समय, स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर के बीच घनिष्ठ रैखिक संबंध की संभावना को बाहर करना आवश्यक है, जो बहुसंकेतन की समस्या की ओर जाता है। उसी समय, स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर के प्रत्येक जोड़े के लिए रैखिक सहसंबंध गुणांक की जाँच की जाती है। ये मान जोड़ीदार रैखिक सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स में परिलक्षित होते हैं। यह माना जाता है कि निरपेक्ष मान में 0.7 से अधिक व्याख्यात्मक चर के बीच जोड़ी सहसंबंध गुणांक की उपस्थिति इन चरों के बीच घनिष्ठ संबंध को दर्शाती है (चर के साथ संबंध की निकटता) आपइस मामले में विचार नहीं किया गया)। ऐसे स्वतंत्र चरों को संरेख कहा जाता है। यदि व्याख्यात्मक चरों के बीच युग्म सहसंबंध गुणांक का मान निरपेक्ष मान में 0.7 से अधिक नहीं है, तो ऐसे व्याख्यात्मक चर संरेख नहीं हैं। आइए इंटरफैक्टोरियल सहसंबंध के जोड़ी गुणांक के मूल्यों पर विचार करें: बीच एक्स(1)और एक्स(2)मान 0.45 है; के बीच एक्स(1)और एक्स(3)- 0.82 के बराबर; के बीच एक्स(1)और एक्स(4)- 0.94 के बराबर; के बीच एक्स(2)और एक्स(3)- 0.3 के बराबर; के बीच एक्स(2)और एक्स(4)- 0.7 के बराबर; के बीच एक्स(3)और एक्स(4) 0.12 के बराबर है। इस प्रकार, मान , , , 0.7 से अधिक नहीं है। इसलिए, संरेख नहीं हैंकारकों एक्स(1)और एक्स(2), एक्स(2)और एक्स(3), एक्स(3)और एक्स(4). अंतिम सूचीबद्ध युग्मों में से उत्तर विकल्पों में एक युग्म है एक्स(2)और एक्स(3)सही उत्तर है। अन्य जोड़ों के लिए: एक्स(1और एक्स(3), एक्स(1)और एक्स(4), एक्स(2)और एक्स(4)- अंतःक्रियात्मक सहसंबंध के युग्म गुणांकों का मान 0.7 से अधिक है, और ये कारक संरेख हैं।

विषय 3: डमी चर

1. अर्थमितीय प्रतिगमन मॉडल के निर्माण के लिए प्रारंभिक डेटा की एक तालिका दी गई है:

डमी चर नहीं हैं …

काम का अनुभव

श्रम उत्पादकता

शिक्षा का स्तर

कर्मचारी कौशल स्तर

फेसला:

प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करते समय, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब समीकरण में मात्रात्मक चर के अलावा, चर जो कुछ गुणकारी विशेषताओं (लिंग, शिक्षा, क्षेत्र, आदि) को दर्शाते हैं, को शामिल करना आवश्यक हो। ऐसे गुणात्मक चरों को "डमी" चर कहा जाता है। कार्य विवरण में निर्दिष्ट मॉडल बनाने के लिए, डमी चर का उपयोग किया जाता है: शिक्षा का स्तर और कर्मचारी की योग्यता का स्तर। अन्य चर नहीं हैंकाल्पनिक, प्रस्तावित विकल्पों में से सेवा की लंबाई और श्रम उत्पादकता है।

2. उपभोक्ता की आय और लिंग के स्तर पर मांस की खपत की निर्भरता का अध्ययन करते समय, हम सिफारिश कर सकते हैं ...

एक डमी चर का उपयोग करें - उपभोक्ता का लिंग

जनसंख्या को दो भागों में विभाजित करें: महिला उपभोक्ताओं के लिए और पुरुष उपभोक्ताओं के लिए

एक डमी चर का उपयोग करें - आय स्तर

उपभोक्ता के लिंग को विचार से बाहर करें, क्योंकि इस कारक को मात्रात्मक रूप से नहीं मापा जा सकता है

फेसला:

प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करते समय, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब समीकरण में मात्रात्मक चर के अलावा, चर जो कुछ गुणकारी विशेषताओं (लिंग, शिक्षा, क्षेत्र, आदि) को दर्शाते हैं, को शामिल करना आवश्यक हो। ऐसे गुणात्मक चरों को "डमी" चर कहा जाता है। वे अध्ययन के तहत सांख्यिकीय आबादी की विविधता को दर्शाते हैं और अवलोकन की ऐसी विषम वस्तुओं में निर्भरता के बेहतर मॉडलिंग के लिए उपयोग किए जाते हैं। विषम डेटा पर व्यक्तिगत निर्भरता की मॉडलिंग करते समय, आप विषम डेटा के पूरे संग्रह को कई अलग-अलग संग्रहों में विभाजित करने की विधि का भी उपयोग कर सकते हैं, जिनमें से संख्या डमी चर के राज्यों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार, सही उत्तर हैं: "एक डमी चर का उपयोग करें - उपभोक्ता का लिंग" और "जनसंख्या को दो में विभाजित करें: महिला उपभोक्ताओं के लिए और पुरुष उपभोक्ताओं के लिए।"

3. हम अपार्टमेंट की कीमत की निर्भरता का अध्ययन करते हैं ( पर) उसके रहने वाले क्षेत्र से ( एक्स) और घर का प्रकार। मॉडल में डमी चर शामिल हैं जो घरों के प्रकार को दर्शाते हैं: अखंड, पैनल, ईंट। प्रतिगमन समीकरण प्राप्त होता है: ,
कहाँ पे ,
ईंट और अखंड के लिए विशेष प्रतिगमन समीकरण हैं ...

घर के प्रकार की ईंट के लिए

घर के प्रकार के लिए अखंड

घर के प्रकार की ईंट के लिए

घर के प्रकार के लिए अखंड

फेसला:

ईंट और अखंड घरों के लिए निजी प्रतिगमन समीकरण का पता लगाना आवश्यक है। एक ईंट के घर के लिए, डमी चर के मान इस प्रकार हैं,। समीकरण का रूप लेगा: or ईंट के घर के प्रकार के लिए।
एक अखंड घर के लिए, डमी चर के मान इस प्रकार हैं। समीकरण का रूप लेगा
या अखंड घर के प्रकार के लिए।

सहसंबंध गुणांक दो संकेतकों के बीच संबंध की डिग्री को दर्शाता है। हमेशा -1 से 1 तक मान लेता है। यदि गुणांक 0 के पास स्थित है, तो वे कहते हैं कि चर के बीच कोई संबंध नहीं है।

यदि मान एक के करीब है (उदाहरण के लिए 0.9 से), तो प्रेक्षित वस्तुओं के बीच एक मजबूत सीधा संबंध है। यदि गुणांक सीमा (-1) के दूसरे चरम बिंदु के करीब है, तो चर के बीच एक मजबूत व्युत्क्रम संबंध होता है। जब मान 0 से 1 या 0 से -1 के बीच में कहीं होता है, तो हम एक कमजोर संबंध (आगे या पीछे) के बारे में बात कर रहे हैं। इस संबंध को आमतौर पर ध्यान में नहीं रखा जाता है: ऐसा माना जाता है कि यह मौजूद नहीं है।

एक्सेल में सहसंबंध गुणांक की गणना

उदाहरण के लिए, सहसंबंध गुणांक की गणना के तरीकों पर विचार करें, चर के बीच प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम संबंध की विशेषताएं।

संकेतक x और y के मान:

Y स्वतंत्र चर है, x आश्रित चर है। उनके बीच संबंध की ताकत (मजबूत/कमजोर) और दिशा (आगे/पीछे) का पता लगाना आवश्यक है। सहसंबंध गुणांक का सूत्र इस तरह दिखता है:

इसकी समझ को सरल बनाने के लिए, हम इसे कई सरल तत्वों में विभाजित करेंगे।

चरों के बीच एक मजबूत सीधा संबंध है।

अंतर्निहित CORREL फ़ंक्शन जटिल गणनाओं से बचा जाता है। आइए इसका उपयोग करके एक्सेल में जोड़ी सहसंबंध गुणांक की गणना करें। हम कार्यों के मास्टर कहते हैं। हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए। फ़ंक्शन तर्क y मानों की एक सरणी और x मानों की एक सरणी है:

आइए चार्ट पर वेरिएबल के मान दिखाते हैं:

y और x के बीच एक मजबूत संबंध है, क्योंकि रेखाएँ लगभग एक दूसरे के समानांतर चलती हैं। संबंध प्रत्यक्ष है: बढ़ते हुए y - बढ़ते हुए x, घटते हुए y - घटते हुए x।

एक्सेल में जोड़ीदार सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स

सहसंबंध मैट्रिक्स एक तालिका है, जिसमें पंक्तियों और स्तंभों के चौराहे पर संबंधित मूल्यों के बीच सहसंबंध गुणांक होते हैं। इसे कई चर के लिए बनाना समझ में आता है।

एक्सेल में सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स "डेटा विश्लेषण" पैकेज से "सहसंबंध" उपकरण का उपयोग करके बनाया गया है।

y और x1 के मूल्यों के बीच एक मजबूत सीधा संबंध पाया गया। X1 और x2 के बीच एक मजबूत प्रतिक्रिया है। x3 कॉलम में मानों के साथ व्यावहारिक रूप से कोई संबंध नहीं है।

	आप	एक्स (1)	एक्स (2)	एक्स (3)	एक्स (4)	एक्स (5)
आप	1.00	0.43	0.37	0.40	0.58	0.33
एक्स (1)	0.43	1.00	0.85	0.98	0.11	0.34
एक्स (2)	0.37	0.85	1.00	0.88	0.03	0.46
एक्स (3)	0.40	0.98	0.88	1.00	0.03	0.28
एक्स (4)	0.58	0.11	0.03	0.03	1.00	0.57
एक्स (5)	0.33	0.34	0.46	0.28	0.57	1.00

युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के विश्लेषण से पता चलता है कि प्रदर्शन संकेतक संकेतक से सबसे अधिक निकटता से संबंधित है एक्स(4) - प्रति 1 हेक्टेयर () में प्रयुक्त उर्वरकों की मात्रा।

इसी समय, सुविधाओं-तर्कों के बीच संबंध काफी करीब है। तो, पहिएदार ट्रैक्टरों की संख्या के बीच व्यावहारिक रूप से एक कार्यात्मक संबंध है ( एक्स(1) और सतह जुताई के औजारों की संख्या .

बहुसंरेखण की उपस्थिति भी सहसम्बन्ध गुणांकों और . संकेतकों के घनिष्ठ संबंध को देखते हुए एक्स (1) , एक्स(2) और एक्स(3) उनमें से केवल एक ही यील्ड रिग्रेशन मॉडल में प्रवेश कर सकता है।

बहुसंकेतन के नकारात्मक प्रभाव को प्रदर्शित करने के लिए, सभी इनपुट सहित एक यील्ड रिग्रेशन मॉडल पर विचार करें:

फोब्स = 121।

कोष्ठक में समीकरण के गुणांकों के अनुमानों के मानक विचलन के सही अनुमानों के मान हैं .

प्रतिगमन समीकरण के तहत, निम्नलिखित पर्याप्तता पैरामीटर प्रस्तुत किए जाते हैं: निर्धारण के कई गुणांक; अवशिष्ट विचरण का सही अनुमान, औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि और -मानदंड Fobs = 121 का परिकलित मान।

प्रतीपगमन समीकरण महत्वपूर्ण है क्योंकि F obl = 121 > F kp = 2.85 तालिका से पाया गया एफ- एक = 0.05 पर वितरण; एन 1 =6 और एन 2 =14।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि Q¹0, अर्थात, और समीकरण q . के गुणांकों में से कम से कम एक जे (जे= 0, 1, 2, ..., 5) शून्य के बराबर नहीं है।

व्यक्तिगत प्रतिगमन गुणांक H0: q j = 0 के महत्व के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, जहां जे=1,2,3,4,5, महत्वपूर्ण मान की तुलना करें टीकेपी = 2.14, तालिका से पाया गया टीमहत्व स्तर पर -वितरण a=2 क्यू= 0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n=14, परिकलित मान के साथ । समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि समाश्रयण गुणांक सांख्यिकीय रूप से तभी महत्वपूर्ण होता है जब एक्स(4) ½ . के बाद से टी 4½=2.90 > टीकेपी = 2.14।

प्रतिगमन गुणांक के नकारात्मक संकेत एक्स(1) और एक्स(5) . गुणांक के नकारात्मक मूल्यों से, यह इस प्रकार है कि पहिएदार ट्रैक्टरों के साथ कृषि की संतृप्ति में वृद्धि ( एक्स(1)) और पादप स्वास्थ्य उत्पाद ( एक्स(5) उपज को नकारात्मक रूप से प्रभावित करता है। इस प्रकार, परिणामी प्रतिगमन समीकरण अस्वीकार्य है।

महत्वपूर्ण गुणांक वाले प्रतिगमन समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम चरण-दर-चरण प्रतिगमन विश्लेषण एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं। प्रारंभ में, हम चर के उन्मूलन के साथ चरण-दर-चरण एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

मॉडल से एक चर बहिष्कृत करें एक्स(1) , जो ½ . के न्यूनतम निरपेक्ष मान से मेल खाती है टी 1½ = 0.01। शेष चर के लिए, हम फिर से प्रतिगमन समीकरण का निर्माण करेंगे:

परिणामी समीकरण महत्वपूर्ण है, क्योंकि एफ ओब्स = 155> एफ केपी = 2.90, एक महत्व स्तर पर पाया गया a=0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n 1 =5 और n 2 =15 तालिका के अनुसार एफ-वितरण, अर्थात्। वेक्टर q¹0। हालांकि, समीकरण में केवल प्रतिगमन गुणांक महत्वपूर्ण है एक्स(4)। परिकलित मान ½ टी j ½ से कम अन्य गुणांकों के लिए टी kr = 2.131 तालिका में पाया गया टी-वितरण a=2 . के लिए क्यू= 0.05 और एन = 15।

मॉडल से एक चर को छोड़कर एक्स(3) , जो न्यूनतम मूल्य से मेल खाती है टी 3 = 0.35 और प्रतिगमन समीकरण प्राप्त करें:

(2.9)

परिणामी समीकरण में, यह सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं है और हम आर्थिक रूप से गुणांक की व्याख्या नहीं कर सकते हैं एक्स(5) . के सिवा एक्स(5) हमें प्रतिगमन समीकरण मिलता है:

(2.10)

हमने सार्थक और व्याख्यात्मक गुणांकों के साथ एक सार्थक प्रतिगमन समीकरण प्राप्त किया है।

हालांकि, परिणामी समीकरण हमारे उदाहरण में केवल "अच्छा" या "सर्वश्रेष्ठ" उपज मॉडल नहीं है।

आइए दिखाते हैं कि बहुसंरेखण की स्थिति में, चरों के समावेश के साथ चरण-दर-चरण एल्गोरिथम अधिक कुशल है।उपज मॉडल में पहला कदम आपएक चर शामिल है एक्स(4) , जिसका के साथ उच्चतम सहसंबंध गुणांक है आप, चर द्वारा समझाया गया - आर(आप,एक्स(4) = 0.58। दूसरे चरण में, समीकरण सहित एक्स(4) चर एक्स(1) या एक्स(3) हमें ऐसे मॉडल मिलेंगे जो आर्थिक कारणों और सांख्यिकीय विशेषताओं के लिए (2.10) से बेहतर हैं:

(2.11)

(2.12)

शेष तीन चरों में से किसी को भी समीकरण में शामिल करने से इसके गुण बिगड़ जाते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण (2.9) देखें।

इस प्रकार, हमारे पास तीन "अच्छे" उपज मॉडल हैं, जिनमें से एक को आर्थिक और सांख्यिकीय कारणों से चुना जाना चाहिए।

सांख्यिकीय मानदंड के अनुसार, मॉडल (2.11) सबसे पर्याप्त है। यह अवशिष्ट विचरण के न्यूनतम मूल्यों = 2.26 और औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि और सबसे बड़े मूल्यों और फोब्स = 273 से मेल खाती है।

मॉडल (2.12) में पर्याप्तता के कुछ बदतर संकेतक हैं, और फिर मॉडल (2.10)।

अब हम सबसे अच्छे मॉडल (2.11) और (2.12) का चयन करेंगे। ये मॉडल चर में एक दूसरे से भिन्न होते हैं एक्स(1) और एक्स(3) . हालांकि, उपज मॉडल में, चर एक्स(1) (प्रति 100 हेक्टेयर में पहिए वाले ट्रैक्टरों की संख्या) चर के लिए बेहतर है एक्स(3) (सतह जुताई के औजारों की संख्या प्रति 100 हेक्टेयर), जो कुछ हद तक गौण है (या से प्राप्त) एक्स (1)).

इस संबंध में आर्थिक कारणों से मॉडल (2.12) को वरीयता दी जानी चाहिए। इस प्रकार, चरों को शामिल करने के साथ चरणबद्ध प्रतिगमन विश्लेषण एल्गोरिथ्म को लागू करने के बाद और इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि तीन संबंधित चरों में से केवल एक को समीकरण में प्रवेश करना चाहिए ( एक्स (1) , एक्स(2) या एक्स(3) अंतिम प्रतिगमन समीकरण चुनें:

समीकरण a=0.05 पर सार्थक है, क्योंकि F obl = 266 > F kp = 3.20 तालिका से पाया गया एफएक = . के लिए -वितरण क्यू= 0.05; एन 1 =3 और एन 2 =17। सभी समाश्रयण गुणांक समीकरण ½ . में भी महत्वपूर्ण हैं टीजम्मू आधा> टीकेपी (ए = 2 क्यू= 0.05; एन = 17) = 2.11। प्रतिगमन गुणांक q 1 को आर्थिक कारणों से महत्वपूर्ण (q 1 0) के रूप में पहचाना जाना चाहिए, जबकि टी 1 =2.09 केवल थोड़ा कम टीकेपी = 2.11.

यह प्रतिगमन समीकरण से निम्नानुसार है कि प्रति यूनिट कृषि योग्य भूमि के प्रति 100 हेक्टेयर ट्रैक्टरों की संख्या में वृद्धि (एक निश्चित मूल्य के साथ) एक्स(4) अनाज की पैदावार में औसतन 0.345 c/ha की वृद्धि होती है।

लोच के गुणांक की अनुमानित गणना ई 1 "0.068 और ई 2" 0.161 से पता चलता है कि संकेतकों में वृद्धि के साथ एक्स(1) और एक्स(4) 1% से, अनाज की उपज में क्रमशः 0.068% और 0.161% की औसत वृद्धि होती है।

निर्धारण का बहु गुणांक इंगित करता है कि मॉडल में शामिल संकेतकों द्वारा केवल 46.9% उपज भिन्नता को समझाया गया है ( एक्स(1) और एक्स(4), यानी ट्रैक्टर और उर्वरकों के साथ फसल उत्पादन की संतृप्ति। शेष भिन्नता कारकों के लिए बेहिसाब कार्रवाई के कारण है ( एक्स (2) , एक्स (3) , एक्स(5), मौसम की स्थिति, आदि)। औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि मॉडल की पर्याप्तता के साथ-साथ अवशिष्ट विचरण के मूल्य की विशेषता है। प्रतिगमन समीकरण की व्याख्या करते समय, सापेक्ष सन्निकटन त्रुटियों के मान रुचि के होते हैं . याद रखें कि - प्रभावी संकेतक का मॉडल मूल्य माना क्षेत्रों की समग्रता के लिए औसत उपज मूल्य की विशेषता है, बशर्ते कि व्याख्यात्मक चर के मान एक्स(1) और एक्स(4) एक ही स्तर पर तय, अर्थात् एक्स (1) = एक्स मैं(1) और एक्स (4) = एक्स आई(4)। फिर d . के मानों के लिए मैंउपज की तुलना की जा सकती है। क्षेत्र जो d मानों के अनुरूप हैं मैं> 0, औसत से अधिक उपज है, और d मैं<0 - ниже среднего.

हमारे उदाहरण में, d . के अनुरूप क्षेत्र में फसल उत्पादन सबसे अधिक कुशल है 7 \u003d 28%, जहां उपज क्षेत्र के लिए औसत से 28% अधिक है, और सबसे कम कुशल - d वाले क्षेत्र में 20 =-27,3%.

कार्य और अभ्यास

2.1. आम जनता से ( आप, एक्स (1) , ..., एक्स(पी)), जहां आपसशर्त गणितीय अपेक्षा और विचरण s 2 के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, मात्रा का एक यादृच्छिक नमूना एन, जाने दो ( यी, एक्स मैं (1) , ..., एक्स मैं(पी)) - परिणाम मैंवें अवलोकन ( मैं=1, 2, ..., एन) निर्धारित करें: ए) वेक्टर के कम से कम वर्ग अनुमान की गणितीय अपेक्षा क्यू; बी) वेक्टर के कम से कम वर्ग अनुमान के सहप्रसरण मैट्रिक्स क्यू; ग) अनुमान की गणितीय अपेक्षा।

2.2. समस्या 2.1 की स्थिति के अनुसार, प्रतिगमन के कारण वर्ग विचलन के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए, अर्थात्। ईक्यू आर, कहाँ पे

2.3. समस्या 2.1 की स्थिति के अनुसार, प्रतिगमन रेखाओं के सापेक्ष अवशिष्ट भिन्नता के कारण वर्ग विचलन के योग की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें, अर्थात। eq केओस्ट जहां

2.4. सिद्ध कीजिए कि परिकल्पना के तहत Н 0: q=0 आंकड़े

स्वतंत्रता की डिग्री के साथ एक एफ-वितरण है n 1 =p+1 और n 2 =n-p-1।

2.5. सिद्ध करें कि जब परिकल्पना H 0: q j =0 पूरी होती है, तो आँकड़ों का t-वितरण होता है जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n=n-p-1 होती है।

2.6. चारे की ब्रेड सिकुड़न की निर्भरता पर डेटा (तालिका 2.3) के आधार पर ( आप) भंडारण की अवधि पर ( एक्स) इस धारणा के तहत सशर्त गणितीय अपेक्षा का एक बिंदु अनुमान खोजें कि सामान्य प्रतिगमन समीकरण रैखिक है।

तालिका 2.3।

यह आवश्यक है: ए) अनुमान और अवशिष्ट विचरण s 2 को इस धारणा के तहत खोजने के लिए कि सामान्य प्रतिगमन समीकरण का रूप है; ख) समाश्रयण समीकरण के महत्व के लिए a=0.05 की जाँच करें, अर्थात। परिकल्पना एच 0: क्यू = 0; ग) विश्वसनीयता के साथ g=0.9 मापदंडों के अंतराल अनुमानों को निर्धारित करें q 0 , q 1 ; डी) विश्वसनीयता के साथ जी = 0.95 सशर्त अपेक्षा के अंतराल अनुमान को निर्धारित करें एक्स 0=6; ई) जी = 0.95 बिंदु पर भविष्यवाणी का विश्वास अंतराल निर्धारित करें एक्स=12.

2.7. तालिका में दिए गए 5 महीनों के लिए शेयर की कीमत की वृद्धि दर की गतिशीलता के आंकड़ों के आधार पर। 2.4.

तालिका 2.4.

महीने ( एक्स)
आप (%)

और यह धारणा कि सामान्य प्रतिगमन समीकरण का रूप है, यह आवश्यक है: क) प्रतिगमन समीकरण और अवशिष्ट विचरण के अनुमानों और मापदंडों को निर्धारित करने के लिए s 2; b) a=0.01 पर समाश्रयण गुणांक के महत्व की जाँच करें, अर्थात। परिकल्पना एच 0: क्यू 1 = 0;

ग) विश्वसनीयता के साथ g=0.95 पैरामीटर q 0 और q 1 के अंतराल अनुमान खोजें; डी) विश्वसनीयता के साथ जी = 0.9, सशर्त गणितीय अपेक्षा का अंतराल अनुमान स्थापित करें एक्स 0=4; ई) बिंदु पर भविष्यवाणी का विश्वास अंतराल g=0.9 पर निर्धारित करें एक्स=5.

2.8. युवा जानवरों में वजन बढ़ने की गतिशीलता के अध्ययन के परिणाम तालिका 2.5 में दिए गए हैं।

तालिका 2.5.

यह मानते हुए कि सामान्य प्रतिगमन समीकरण रैखिक है, यह आवश्यक है: क) प्रतिगमन समीकरण और अवशिष्ट विचरण के अनुमानों और मापदंडों को निर्धारित करने के लिए s 2; ख) समाश्रयण समीकरण के महत्व के लिए a=0.05 की जाँच करें, अर्थात। परिकल्पना एच 0: क्यू = 0;

ग) विश्वसनीयता के साथ g=0.8 पैरामीटर q 0 और q 1 के अंतराल अनुमानों को खोजने के लिए; डी) विश्वसनीयता के साथ जी = 0.98 सशर्त गणितीय अपेक्षा के अंतराल अनुमानों को निर्धारित और तुलना करें एक्स 0 =3 और एक्स 1 =6;

ई) बिंदु पर भविष्यवाणी का विश्वास अंतराल g=0.98 पर निर्धारित करें एक्स=8.

2.9. लागत मूल्य ( आप) प्रचलन के आधार पर पुस्तक की एक प्रति ( एक्स) (हजार प्रतियां) पब्लिशिंग हाउस (तालिका 2.6) द्वारा एकत्र किए गए डेटा की विशेषता है। हाइपरबोलिक प्रतिगमन समीकरण के कम से कम वर्ग अनुमान और पैरामीटर निर्धारित करें, विश्वसनीयता के साथ g=0.9 पैरामीटर q 0 और q 1 के लिए आत्मविश्वास अंतराल बनाएं, साथ ही सशर्त अपेक्षा पर एक्स=10.

तालिका 2.6.

प्रकार के प्रतिगमन समीकरण के अनुमान और पैरामीटर निर्धारित करें एक्स=20.

2.11. तालिका में। 2.8 ने निम्नलिखित व्यापक आर्थिक संकेतकों की वृद्धि दर (%) की सूचना दी एन\u003d 1992 के लिए दुनिया के 10 विकसित देश: जीएनपी - एक्स(1) औद्योगिक उत्पादन - एक्स(2) मूल्य सूचकांक - एक्स (3) .

तालिका 2.8.

देशों

एक्स और प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटर, अवशिष्ट विचरण का अनुमान; बी) एक = 0.05 पर प्रतिगमन गुणांक के महत्व की जांच करें, अर्थात। एच 0: क्यू 1 = 0; ग) विश्वसनीयता के साथ g=0.9 अंतराल अनुमान q 0 और q 1 खोजें; डी) जी = 0.95 पर बिंदु पर विश्वास अंतराल खोजें एक्स 0 =एक्स मैं, कहाँ पे मैं=5; ई) प्रतिगमन समीकरणों की सांख्यिकीय विशेषताओं की तुलना करें: 1, 2 और 3।

2.12. व्याख्या किए जाने वाले मान को लेकर समस्या 2.11 को हल करें ( पर) संकेतक एक्स(1) , और व्याख्यात्मक के लिए ( एक्स) चर एक्स (3) .

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8. मखितरन वी.एस., डबरोव एएम, ट्रोशिन एल.आई. अर्थशास्त्र में बहुआयामी सांख्यिकीय विधियाँ। एम।, एमईएसआई, 1995, 149पी।;

9. डबरोव ए.एम., मखितरन वी.एस., ट्रोशिन एल.आई. व्यवसायियों और प्रबंधकों के लिए गणितीय आँकड़े। एम।, एमईएसआई, 2000, 140 एस।;

10. लुकाशिन यू.आई. प्रतिगमन और अनुकूली पूर्वानुमान के तरीके: पाठ्यपुस्तक, एम।, एमईएसआई, 1997।

11. लुकाशिन यू.आई. अल्पकालिक पूर्वानुमान के अनुकूली तरीके। - एम।, सांख्यिकी, 1979।

ऐप्स

परिशिष्ट 1. स्वतंत्र कंप्यूटर अनुसंधान के लिए कार्यों के विकल्प।

1. युग्मित सहसंबंध गुणांकों के मैट्रिक्स की गणना करें; परिणामी विशेषता के संबंध की जकड़न और दिशा का विश्लेषण करें यूप्रत्येक कारक के साथ। एक्स; सहसंबंध गुणांक के सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन करें आर(यू,एक्समैं); सबसे जानकारीपूर्ण कारक चुनें।

2. सबसे जानकारीपूर्ण कारक के साथ एक युग्मित प्रतिगमन मॉडल बनाएं; प्रतीपगमन गुणांक की आर्थिक व्याख्या कीजिए।

3. सन्निकटन की औसत सापेक्ष त्रुटि, निर्धारण के गुणांक और एफ - फिशर के मानदंड का उपयोग करके मॉडल की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें (महत्व स्तर α = 0.05 लें)।

4. एक आत्मविश्वास संभावना के साथ =80% संकेतक के औसत मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए यू(कारकों के पूर्वानुमान मूल्य परिशिष्ट 6 में दिए गए हैं)। ग्राफिक रूप से वास्तविक और मॉडल मान प्रस्तुत करें यू, भविष्यवाणी परिणाम।

5. समावेशन पद्धति का उपयोग करते हुए, दो-कारक मॉडल बनाएं, उनमें सबसे अधिक जानकारीपूर्ण कारक रखें; कारकों की पूरी सूची के साथ तीन-कारक मॉडल का निर्माण करें।

6. निर्मित कई मॉडलों में से सर्वश्रेष्ठ चुनें। इसके गुणांकों की आर्थिक व्याख्या कीजिए।

7. का उपयोग करके बहु समाश्रयण गुणांकों के महत्व की जाँच करें टी-छात्र का परीक्षण (महत्व स्तर α = 0.05 स्वीकार करें)। क्या जोड़ी मॉडल की तुलना में कई मॉडल की गुणवत्ता में सुधार हुआ है?

8. लोच गुणांक, बीटा और डेल्टा गुणांक का उपयोग करके परिणाम पर कारकों के प्रभाव का आकलन करें।

कार्य 2. एक-आयामी समय श्रृंखला की मॉडलिंग

परिशिष्ट 7 समय श्रृंखला को दर्शाता है वाई (टी) 2000 से 2011 की अवधि के लिए अल्ताई क्षेत्र के लिए सामाजिक-आर्थिक संकेतक। कार्य संस्करण के अनुरूप संकेतक की गतिशीलता का अध्ययन करना आवश्यक है।

विकल्प	पदनाम, नाम, संकेतक की माप की इकाई
	Y1	प्रति व्यक्ति औसत उपभोक्ता खर्च (प्रति माह), रगड़।
	Y2	वायुमंडलीय वायु में प्रदूषकों का उत्सर्जन, हजार टन
	Y3	द्वितीयक आवास बाजार में औसत मूल्य (वर्ष के अंत में, कुल क्षेत्रफल का प्रति वर्ग मीटर), रुब
	वाई4	प्रति व्यक्ति भुगतान सेवाओं की मात्रा, रूबल
	Y5	अर्थव्यवस्था में कार्यरत लोगों की औसत वार्षिक संख्या, हजार लोग
	Y6	प्रति 1000 लोगों पर अपनी कारों की संख्या (वर्ष के अंत में), टुकड़े
	Y7	औसत प्रति व्यक्ति नकद आय (प्रति माह), रुब
	Y8	उपभोक्ता मूल्य सूचकांक (पिछले वर्ष के दिसंबर से दिसंबर),%
	Y9	अचल संपत्तियों में निवेश (वास्तविक कीमतों में), मिलियन रूबल
	वाई10	प्रति व्यक्ति खुदरा व्यापार कारोबार (वास्तविक कीमतों में), रूबल

कार्य आदेश

1. समय श्रृंखला का एक रैखिक मॉडल बनाएं, जिसके मापदंडों का अनुमान सबसे कम वर्गों द्वारा लगाया जाता है। प्रतिगमन गुणांक का अर्थ स्पष्ट कीजिए।

2. यादृच्छिकता, स्वतंत्रता और सामान्य वितरण कानून के साथ अवशिष्ट घटक के अनुपालन के गुणों का उपयोग करके निर्मित मॉडल की पर्याप्तता का आकलन करें।

3. औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि के उपयोग के आधार पर मॉडल की सटीकता का मूल्यांकन करें।

4. आने वाले वर्ष के लिए विचाराधीन संकेतक का पूर्वानुमान करें (70% के विश्वास स्तर के साथ पूर्वानुमान अंतराल की गणना करें)।

5. संकेतक के वास्तविक मूल्यों, मॉडलिंग और पूर्वानुमान के परिणामों को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें।

6. लघुगणक, बहुपद (द्वितीय डिग्री का बहुपद), शक्ति, घातांक और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रवृत्तियों के मापदंडों की गणना करें। ग्राफिक छवि और निर्धारण सूचकांक के मूल्य के आधार पर, सबसे उपयुक्त प्रकार की प्रवृत्ति का चयन करें।

7. सर्वोत्तम गैर-रेखीय मॉडल की सहायता से, आने वाले वर्ष के लिए सुविचारित संकेतक का बिंदु पूर्वानुमान करें। रैखिक मॉडल का उपयोग करके निर्मित भविष्य कहनेवाला विश्वास अंतराल के साथ प्राप्त परिणाम की तुलना करें।

उदाहरण

नियंत्रण कार्य करना

कार्य 1

कंपनी पुरानी कारों की बिक्री करती है। अर्थमितीय मॉडलिंग के लिए संकेतक और प्रारंभिक डेटा के नाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

वसूली मूल्य, हजार घन मीटर ( यू)	एक नई कार की कीमत, हजार सी.यू. ( X1)	सेवा जीवन, वर्ष ( X2)	लेफ्ट हैंड ड्राइव - 1, राइट हैंड ड्राइव - 0, ( X3)
8,33	13,99	3,8
10,40	19,05	2,4
10,60	17,36	4,5
16,58	25,00	3,5
20,94	25,45	3,0
19,13	31,81	3,5
13,88	22,53	3,0
8,80	16,24	5,0
13,89	16,54	2,0
11,03	19,04	4,5
14,88	22,61	4,6
20,43	27,56	4,0
14,80	22,51	3,3
26,05	31,75	2,3

आवश्यक:

1. युग्मित सहसंबंध गुणांकों के मैट्रिक्स की गणना करें; प्रत्येक कारक X के साथ परिणामी विशेषता Y के संबंध की जकड़न और दिशा का विश्लेषण करें; सहसंबंध गुणांक r(Y, X i) के सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन करें; सबसे जानकारीपूर्ण कारक चुनें।

एक्सेल (डेटा / डेटा विश्लेषण / सहसंबंध) का उपयोग करना:

आइए सभी उपलब्ध चरों के बीच जोड़ी सहसंबंध गुणांक का एक मैट्रिक्स प्राप्त करें:

	पर	X1	X2	X3
पर
X1	0,910987
X2	-0,4156	-0,2603
X3	0,190785	0,221927	-0,30308

आइए परिणामी विशेषता के बीच सहसंबंध गुणांक का विश्लेषण करें यूऔर प्रत्येक कारक एक्सजे:

> 0, इसलिए, चरों के बीच यूऔर एक्स 1 एक सीधा संबंध है: एक नई कार की कीमत जितनी अधिक होगी, बिक्री मूल्य उतना ही अधिक होगा।

> 0.7 - यह निर्भरता करीब है।

< 0, значит, между переменными यूऔर एक्स 2 मनाया

व्युत्क्रम सहसंबंध: ऑटो के लिए बिक्री मूल्य कम है-

लंबे समय तक सेवा जीवन वाले मोबाइल फोन।

- यह निर्भरता मध्यम है, कमजोर के करीब है।

> 0, तो चर के बीच यूऔर एक्स 3 एक सीधा संबंध दिखाता है: बाएं हाथ की ड्राइव कारों के लिए बिक्री मूल्य अधिक है।

< 0,4 – эта зависимость слабая.

पाए गए सहसंबंध गुणांक के महत्व की जांच करने के लिए, हम छात्र परीक्षण का उपयोग करते हैं।

प्रत्येक सहसंबंध गुणांक के लिए गणना करना टीसूत्र द्वारा सांख्यिकी और सहसंबंध तालिका के एक अतिरिक्त कॉलम में गणना परिणाम दर्ज करें:

	पर	X1	X2	X3	टी सांख्यिकी
पर
X1	0,910987				7,651524603
X2	-0,4156	-0,2603			1,582847988
X3	0,190785	0,221927	-0,30308		0,673265587

महत्व के स्तर पर छात्र के वितरण के महत्वपूर्ण बिंदुओं की तालिका के अनुसार और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, हम महत्वपूर्ण मूल्य (परिशिष्ट 1, या फ़ंक्शन STUDRSP) निर्धारित करते हैं। वाई और सेवा जीवन एक्स 2 विश्वसनीय है।

< , следовательно, коэффициент не является значимым. На основании выборочных данных нет оснований утверждать, что зависимость между ценой реализации यूऔर स्टीयरिंग व्हील की स्थिति एक्स 3 विश्वसनीय है।

इस प्रकार, बिक्री मूल्य के बीच निकटतम और सबसे महत्वपूर्ण संबंध देखा जाता है यूऔर एक नई कार की कीमत एक्सएक ; कारक एक्स 1 सबसे अधिक जानकारीपूर्ण है।

एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के परिवर्तन का परिणाम नहीं है:

-
;

-
.

रैखिककरण का तात्पर्य एक प्रक्रिया से है ...

- स्टीम रूम में मल्टीपल रिग्रेशन का समीकरण लाना;

+ एक अरेखीय समीकरण को एक रैखिक रूप में लाना;

- एक रैखिक समीकरण को एक गैर-रैखिक रूप में घटाना;

- परिणाम के संबंध में रैखिक होने वाले समीकरण के मापदंडों के संबंध में एक गैर-रेखीय समीकरण में कमी।

नहीं बदलता रहता है;

प्रेक्षणों की संख्या घटती है

एक मानकीकृत बहु प्रतीपगमन समीकरण में, चर हैं:

प्रारंभिक चर;

मानकीकृत पैरामीटर;

प्रारंभिक चर के माध्य मान;

मानकीकृत चर।

डमी चरों को संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करने की एक विधि है। . .

+ - रैंकिंग;

आरोही क्रम में संख्यात्मक मानों का संरेखण;

अवरोही क्रम में संख्यात्मक मानों का संरेखण;

माध्य का पता लगाना।

युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के बीच जोड़ीदार रैखिक सहसंबंध गुणांक के मूल्यों को प्रदर्शित करता है। . . .

चर;

पैरामीटर;

पैरामीटर और चर;

परिवर्तनीय और यादृच्छिक कारक।

विषमकोणीय अवशेषों वाले मॉडलों के प्राचलों का आकलन करने की विधि को _________ कम से कम वर्ग विधि कहा जाता है:

साधारण;

अप्रत्यक्ष;

सामान्यीकृत;

न्यूनतम।

प्रतिगमन समीकरण दिया गया है। मॉडल विनिर्देश को परिभाषित करें।

बहुपद युग्म प्रतिगमन समीकरण;

रैखिक सरल प्रतिगमन समीकरण;

बहु समाश्रयण का बहुपद समीकरण;

रैखिक एकाधिक प्रतिगमन समीकरण।

एक मानकीकृत समीकरण में, मुक्त पद है….

1 के बराबर;

एकाधिक निर्धारण के गुणांक के बराबर;

एकाधिक सहसंबंध गुणांक के बराबर;

अनुपस्थित है।

कई प्रतिगमन मॉडल में कारकों को डमी चर के रूप में शामिल किया गया है।

संभाव्य मूल्यों का होना;

मात्रात्मक मूल्यों का होना;

गुणात्मक मूल्य नहीं होना;

मात्रात्मक मूल्य नहीं होना।

अर्थमितीय मॉडल के गुणनखंड समरेखीय होते हैं यदि गुणांक ...

उनके बीच सहसंबंध 0.7 से अधिक मॉड्यूलो;

उनके बीच के निर्धारण निरपेक्ष मान में 0.7 से अधिक हैं;

उनके बीच का निर्धारण निरपेक्ष मान में 0.7 से कम है;

जीएलएस का उपयोग करते समय सामान्यीकृत कम से कम वर्ग विधि सामान्य से कम वर्ग विधि से भिन्न होती है ...

चर के मूल स्तर परिवर्तित हो जाते हैं;

नहीं बदलता रहता है;

शेष शून्य के बराबर है;

अवलोकनों की संख्या कम हो जाती है।

नमूना आकार निर्धारित किया जाता है ...

नमूने में चयनित चरों का संख्यात्मक मान;

सामान्य जनसंख्या की मात्रा;

स्वतंत्र चर के लिए मापदंडों की संख्या;

परिणाम चर की संख्या।

11. बहु समाश्रयण समीकरण के परिवर्तन का परिणाम नहीं है:

+-
;

-
;

-
.

डमी वेरिएबल्स के शुरुआती मान मान लेते हैं ...

गुणवत्ता;

मात्रात्मक रूप से मापने योग्य;

यह वही;

मान।

सामान्यीकृत कम से कम वर्ग विधि का तात्पर्य है ...

परिवर्तनीय रूपांतरण;

एकाधिक प्रतिगमन से जोड़ी प्रतिगमन में संक्रमण;

प्रतिगमन समीकरण का रैखिककरण;

कम से कम वर्ग विधि का दो-चरणीय अनुप्रयोग।

एकाधिक प्रतिगमन के रैखिक समीकरण का रूप है। निर्धारित करें कि कौन सा कारक या :

+- , 3.7>2.5 के बाद से;

उनका एक ही प्रभाव है;

- , 2.5>-3.7 के बाद से;

इस समीकरण के अनुसार, प्रश्न का उत्तर देना असंभव है, क्योंकि प्रतिगमन गुणांक आपस में अतुलनीय हैं।

मॉडल में एक कारक को शामिल करने की सलाह दी जाती है यदि इस कारक के लिए प्रतिगमन गुणांक है ...

शून्य;

महत्वहीन;

ज़रूरी;

महत्वहीन।

सामान्यीकृत कम से कम वर्ग विधि को लागू करते समय क्या रूपांतरित होता है?

मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक;

प्रभावी सुविधा का फैलाव;

चर के प्रारंभिक स्तर;

एक कारक चिह्न का फैलाव।

कई कारकों पर एक उद्यम कर्मचारी के उत्पादन की निर्भरता का एक अध्ययन किया जा रहा है। इस मॉडल में एक डमी चर का एक उदाहरण ______ कर्मचारी होगा।

आयु;

शिक्षा का स्तर;

वेतन।

बिंदु अनुमान से अंतराल अनुमान में संक्रमण संभव है यदि अनुमान हैं:

प्रभावी और दिवालिया;

अक्षम और धनी;

कुशल और निष्पक्ष;

अमीर और विस्थापित।

जोड़ीदार सहसंबंध गुणांक का एक मैट्रिक्स कोलिनियर और मल्टीकोलिनियर की पहचान करने के लिए बनाया गया है ...

पैरामीटर;

यादृच्छिक कारक;

महत्वपूर्ण कारक;

परिणाम।

सामान्यीकृत कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके चर के परिवर्तन के आधार पर, हम एक नया प्रतिगमन समीकरण प्राप्त करते हैं, जो है:

भारित प्रतिगमन जिसमें चर को भार के साथ लिया जाता है
;

;

नॉनलाइनियर रिग्रेशन जिसमें वेरिएबल को वेट के साथ लिया जाता है
;

भारित प्रतिगमन जिसमें चर को भार के साथ लिया जाता है .

यदि फिशर मानदंड का परिकलित मान सारणीबद्ध मान से कम है, तो समीकरण के सांख्यिकीय महत्व की परिकल्पना ...

अस्वीकार कर दिया;

महत्वहीन;

स्वीकार किए जाते हैं;

ज़रूरी नहीं।

यदि कारकों को उत्पाद के रूप में मॉडल में शामिल किया जाता है, तो मॉडल को कहा जाता है:

कुल;

व्युत्पन्न;

योजक;

गुणक।

प्रतिगमन समीकरण जो परिणामी विशेषता को औसत स्तर पर निर्धारित अन्य चरों के मान के साथ किसी एक कारक से जोड़ता है, कहलाता है:

एकाधिक;

ज़रूरी;

निजी;

महत्वहीन।

प्रतिगमन समीकरण में शामिल कारकों की संख्या के संबंध में, हैं ...

रैखिक और गैर-रेखीय प्रतिगमन;

प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष प्रतिगमन;

सरल और एकाधिक प्रतिगमन;

एकाधिक और बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन।

समाश्रयण समीकरणों की आवश्यकता, जिसके पैरामीटर न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके पाए जा सकते हैं, है:

गुणनखंड गुण 4 . के मानों की शून्य की समानता

मापदंडों की गैर-रैखिकता;

परिणामी चर के औसत मूल्यों के शून्य की समानता;

मापदंडों की रैखिकता।

न्यूनतम वर्ग विधि किसके लिए लागू नहीं होती है?...

जोड़ी प्रतिगमन के रैखिक समीकरण;

बहुपद बहु समाश्रयण समीकरण;

अनुमानित मापदंडों के संदर्भ में गैर-रैखिक समीकरण;

एकाधिक प्रतिगमन के रैखिक समीकरण।

जब डमी चर को मॉडल में शामिल किया जाता है, तो उन्हें असाइन किया जाता है ...

शून्य मान;

संख्यात्मक लेबल;

समान मूल्य;

गुणवत्ता लेबल।

यदि आर्थिक संकेतकों के बीच एक गैर-रैखिक संबंध है, तो...

गैर-रैखिक प्रतिगमन समीकरण के विनिर्देश का उपयोग करना व्यावहारिक नहीं है;

गैर-रैखिक प्रतिगमन समीकरण के विनिर्देशन का उपयोग करना उचित है;

एक रैखिक युग्मित प्रतिगमन समीकरण के विनिर्देश का उपयोग करना उचित है;

मॉडल में अन्य कारकों को शामिल करना और एक रेखीय एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का उपयोग करना आवश्यक है।

बहुपद समीकरणों के रैखिककरण का परिणाम है ...

अरेखीय जोड़ी प्रतिगमन समीकरण;

जोड़ी प्रतिगमन के रैखिक समीकरण;

अरैखिक बहु समाश्रयण समीकरण;

एकाधिक प्रतिगमन के रैखिक समीकरण।

मानकीकृत बहु समाश्रयण समीकरण में
0,3;
-2.1. निर्धारित करें कि कौन सा कारक या पर अधिक प्रभाव पड़ता है :

+- , 2.1>0.3 के बाद से;

इस समीकरण के अनुसार, प्रश्न का उत्तर देना असंभव है, क्योंकि "शुद्ध" प्रतिगमन गुणांक के मान अज्ञात हैं;

- , 0.3>-2.1 के बाद से;

इस समीकरण के अनुसार, प्रश्न का उत्तर देना असंभव है, क्योंकि मानकीकृत गुणांक एक दूसरे के साथ तुलनीय नहीं हैं।

गुणात्मक से मात्रात्मक में परिवर्तित एक बहु समाश्रयण समीकरण के कारक चर कहलाते हैं ...

विषम;

एकाधिक;

जोड़ा;

काल्पनिक।

विधि का उपयोग करके कई प्रतिगमन के रैखिक समीकरण के मापदंडों का अनुमान लगाया जा सकता है:

मध्यम वर्ग;

सबसे बड़ा वर्ग;

सामान्य वर्ग;

कम से कम वर्गों।

बहु प्रतीपगमन मॉडल में शामिल कारकों के लिए मुख्य आवश्यकता है:

परिणाम और कारक के बीच संबंध का अभाव;

कारकों के बीच संबंध का अभाव;

कारकों के बीच रैखिक संबंध का अभाव;

कारकों के बीच घनिष्ठ संबंध की उपस्थिति।

परिणाम पर सुविधाओं के प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए कई प्रतिगमन समीकरण में डमी चर शामिल किए गए हैं ...

गुणवत्ता चरित्र;

मात्रात्मक प्रकृति;

एक गैर-आवश्यक प्रकृति का;

यादृच्छिक चरित्र।

समरेखीय कारकों की एक जोड़ी से, अर्थमितीय मॉडल में कारक शामिल होता है

जो, परिणाम के साथ काफी निकट संबंध के साथ, अन्य कारकों के साथ सबसे बड़ा संबंध रखता है;

जो परिणाम के साथ संबंध के अभाव में अन्य कारकों के साथ अधिकतम संबंध रखता है;

जो, परिणाम के साथ संबंध के अभाव में, अन्य कारकों के साथ सबसे कम संबंध रखता है;

जो, परिणाम के साथ काफी करीबी संबंध के साथ, अन्य कारकों के साथ एक छोटा संबंध रखता है।

विषमलैंगिकता को संदर्भित करता है ...

कारक के मूल्य की परवाह किए बिना, अवशिष्टों के विचरण की स्थिरता;

कारक के मूल्य पर अवशिष्टों की गणितीय अपेक्षा की निर्भरता;

कारक के मूल्य पर अवशिष्टों के प्रसरण की निर्भरता;

कारक के मूल्य से अवशिष्टों की गणितीय अपेक्षा की स्वतंत्रता।

मॉडल में एक महत्वपूर्ण कारक शामिल होने पर अवशिष्ट विचरण का मान:

बदलेगा नहीं;

वृद्धि होगी;

शून्य होगा;

घटाएंगे।

यदि मॉडल का विनिर्देश आर्थिक संकेतकों के बीच निर्भरता का एक गैर-रेखीय रूप प्रदर्शित करता है, तो गैर-रेखीय समीकरण ...

प्रतिगमन;

निर्धारण;

सहसंबंध;

अनुमान।

निर्भरता की जांच की जाती है, जो एक रेखीय एकाधिक प्रतिगमन समीकरण द्वारा विशेषता है। समीकरण के लिए, परिणामी चर और कारकों के एक सेट के बीच संबंधों की जकड़न के मूल्य की गणना की जाती है। इस सूचक के रूप में, एक बहु गुणांक का उपयोग किया गया था ...

सहसंबंध;

लोच;

प्रतिगमन;

दृढ़ संकल्प।

कई कारकों पर मांग की निर्भरता का एक मॉडल बनाया जा रहा है। इस बहु समाश्रयण समीकरण में डमी चर _________उपभोक्ता नहीं है।

पारिवारिक स्थिति;

शिक्षा का स्तर;

एक आवश्यक पैरामीटर के लिए, छात्र की कसौटी का परिकलित मान ...

मानदंड के तालिका मूल्य से अधिक;

शून्य के बराबर;

विद्यार्थी की कसौटी के सारणीबद्ध मान से अधिक नहीं;

मानदंड के तालिका मान से कम।

एक रैखिक बहु प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए बनाया गया एक एलएसएम सिस्टम हल किया जा सकता है ...

चलती औसत विधि;

निर्धारकों की विधि;

पहले मतभेदों की विधि;

सिंप्लेक्स विधि।

एक संकेतक यह दर्शाता है कि परिणाम औसतन कितने सिग्मा बदलेगा जब संबंधित कारक एक सिग्मा द्वारा बदलता है, अन्य कारकों के स्तर के साथ अपरिवर्तित रहता है, ____________ प्रतिगमन गुणांक कहलाता है

मानकीकृत;

सामान्यीकृत;

संरेखित;

केंद्रित।

अर्थमितीय मॉडल के कारकों की बहुसंकेतनता का तात्पर्य है ...

दो कारकों के बीच एक गैर-रैखिक संबंध की उपस्थिति;

दो से अधिक कारकों के बीच एक रैखिक संबंध की उपस्थिति;

कारकों के बीच निर्भरता की कमी;

दो कारकों के बीच एक रैखिक संबंध की उपस्थिति।

_______ अवशिष्ट वाले मॉडल के लिए सामान्यीकृत न्यूनतम वर्गों का उपयोग नहीं किया जाता है।

स्वत: सहसंबद्ध और विषमलैंगिक;

समलिंगी;

विषमलैंगिक;

स्वत: सहसंबद्ध।

डमी चरों को अंकीय मान निर्दिष्ट करने की विधि नहीं है:

लेकर;

डिजिटल लेबल का असाइनमेंट;

औसत मूल्य ढूँढना;

मात्रात्मक मूल्यों का असाइनमेंट।

आम तौर पर वितरित अवशेष;

होमोसेडैस्टिक अवशेष;

ऑटोसहसंबंध अवशेष;

परिणामी विशेषता के स्वत: सहसंबंध।

समावेशन पद्धति का उपयोग करते हुए एक से अधिक प्रतिगमन मॉडल में कारकों का चयन मूल्यों की तुलना पर आधारित है ...

मॉडल में कारक को शामिल करने से पहले और बाद में कुल विचरण;

मॉडल में यादृच्छिक कारकों को शामिल करने से पहले और बाद में अवशिष्ट विचरण;

मॉडल में परिणाम शामिल करने से पहले और बाद में भिन्नताएं;

कारक मॉडल को शामिल करने से पहले और बाद में अवशिष्ट विचरण।

सामान्यीकृत कम से कम वर्ग विधि का उपयोग सही करने के लिए किया जाता है ...

गैर-रेखीय प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटर;

एकाधिक सहसंबंध के गुणांक का निर्धारण करने की सटीकता;

स्वतंत्र चर के बीच स्वत: सहसंबंध;

प्रतिगमन समीकरण में अवशेषों की विषमता।

सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग विधि को लागू करने के बाद, _________ अवशिष्टों से बचना संभव है

विषमलैंगिकता;

सामान्य वितरण;

शून्य राशि के बराबर;

यादृच्छिक चरित्र।

डमी चर _________प्रतिगमन समीकरणों में शामिल हैं

अनियमित;

भाप से भरा कमरा;

अप्रत्यक्ष;

एकाधिक।

अर्थमितीय मॉडल के कारकों की परस्पर क्रिया का अर्थ है कि…

परिणामी विशेषता पर कारकों का प्रभाव एक अन्य गैर-समरेखीय कारक के मूल्यों पर निर्भर करता है;

कारक मूल्यों के एक निश्चित स्तर से शुरू होकर, परिणामी विशेषता पर कारकों का प्रभाव बढ़ जाता है;

परिणाम पर कारक एक दूसरे के प्रभाव की नकल करते हैं;

परिणामी विशेषता पर एक कारक का प्रभाव दूसरे कारक के मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है।

विषय एकाधिक प्रतिगमन (समस्याएं)

15 अवलोकनों पर निर्मित प्रतिगमन समीकरण का रूप है:

लापता मान के साथ-साथ कॉन्फ़िडेंस इंटरवल for

0.99 की संभावना के साथ हैं:

20 अवलोकनों पर निर्मित प्रतिगमन समीकरण का रूप है:

0.9 की संभावना के साथ हैं:

16 अवलोकनों पर निर्मित प्रतिगमन समीकरण का रूप है:

लापता मान के साथ-साथ कॉन्फ़िडेंस इंटरवल for 0.99 की संभावना के साथ हैं: