कार्य और इसे सेट करने के तरीके।

फ़ंक्शन सेट करने का अर्थ है एक नियम (कानून) स्थापित करना, जिसकी सहायता से स्वतंत्र चर के दिए गए मानों के अनुसार, फ़ंक्शन के संबंधित मानों को खोजना चाहिए। आइए कार्यों को परिभाषित करने के कुछ तरीकों को देखें।

सारणीबद्ध तरीका। काफी सामान्य, इसमें अलग-अलग तर्क मानों और उनके संबंधित फ़ंक्शन मानों की तालिका सेट करना शामिल है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब फ़ंक्शन का डोमेन एक असतत परिमित सेट होता है।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की सारणीबद्ध विधि के साथ, उस फ़ंक्शन के मानों की गणना करना संभव है जो तालिका में शामिल नहीं हैं, तर्क के मध्यवर्ती मूल्यों के अनुरूप। ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप की विधि का उपयोग करें।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के सारणीबद्ध तरीके के लाभ यह हैं कि यह अतिरिक्त माप या गणना के बिना, एक ही बार में कुछ विशिष्ट मानों को निर्धारित करना संभव बनाता है। हालांकि, कुछ मामलों में, तालिका फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित नहीं करती है, लेकिन केवल तर्क के कुछ मूल्यों के लिए और तर्क में परिवर्तन के आधार पर फ़ंक्शन में परिवर्तन की प्रकृति का एक दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान नहीं करती है।

ग्राफिक तरीका। फलन y = f(x) का आलेख तल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का चित्रमय तरीका हमेशा तर्क के संख्यात्मक मानों को सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं बनाता है। हालांकि, अन्य तरीकों - दृश्यता पर इसका एक बड़ा फायदा है। इंजीनियरिंग और भौतिकी में, फ़ंक्शन सेट करने की एक ग्राफिकल विधि अक्सर उपयोग की जाती है, और इसके लिए एक ग्राफ़ ही एकमात्र तरीका उपलब्ध है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफिकल असाइनमेंट को गणितीय दृष्टिकोण से काफी सही होने के लिए, ग्राफ के सटीक ज्यामितीय निर्माण को इंगित करना आवश्यक है, जो कि अक्सर समीकरण द्वारा दिया जाता है। यह किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के निम्नलिखित तरीके की ओर जाता है।

विश्लेषणात्मक तरीका। अक्सर, तर्क और फ़ंक्शन के बीच संबंध स्थापित करने वाला कानून सूत्रों के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के इस तरीके को विश्लेषणात्मक कहा जाता है।

यह विधि तर्क x के प्रत्येक संख्यात्मक मान के लिए फ़ंक्शन y के संगत संख्यात्मक मान को बिल्कुल या कुछ सटीकता के साथ खोजना संभव बनाती है।

यदि x और y के बीच संबंध एक सूत्र द्वारा दिया जाता है जिसे y के संबंध में हल किया जाता है, अर्थात। का रूप y = f(x) है, तो हम कहते हैं कि x का फलन स्पष्ट रूप से दिया गया है।

यदि मान x और y, F(x,y) = 0 के रूप के किसी समीकरण से संबंधित हैं, अर्थात्। y के संबंध में सूत्र की अनुमति नहीं है, जिसका अर्थ है कि फलन y = f(x) परोक्ष रूप से परिभाषित है।

एक फ़ंक्शन को उसके कार्य क्षेत्र के विभिन्न भागों में विभिन्न सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

कार्यों को परिभाषित करने के लिए विश्लेषणात्मक विधि सबसे आम तरीका है। कॉम्पैक्टनेस, संक्षिप्तता, परिभाषा के क्षेत्र से तर्क के मनमाने मूल्य के लिए फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने की क्षमता, किसी दिए गए फ़ंक्शन पर गणितीय विश्लेषण के तंत्र को लागू करने की क्षमता परिभाषित करने की विश्लेषणात्मक विधि के मुख्य लाभ हैं। समारोह। नुकसान में दृश्यता की कमी शामिल है, जिसकी भरपाई एक ग्राफ बनाने की क्षमता और कभी-कभी बहुत बोझिल गणना करने की आवश्यकता से होती है।

मौखिक तरीका। इस पद्धति में यह तथ्य शामिल है कि कार्यात्मक निर्भरता शब्दों में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण 1: फलन E(x) संख्या x का पूर्णांक भाग है। सामान्य तौर पर, E(x) = [x] सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो x से अधिक नहीं है। दूसरे शब्दों में, यदि x = r + q, जहाँ r एक पूर्णांक है (ऋणात्मक हो सकता है) और q अंतराल = r से संबंधित है। फलन E(x) = [x] अंतराल = r पर स्थिर है।

उदाहरण 2: फलन y = (x) - किसी संख्या का भिन्नात्मक भाग। अधिक सटीक रूप से, y =(x) = x - [x], जहां [x] संख्या x का पूर्णांक भाग है। यह फ़ंक्शन सभी x के लिए परिभाषित है। यदि x एक मनमाना संख्या है, तो इसे x = r + q (r = [x]) के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ r एक पूर्णांक है और q अंतराल में स्थित है। = 2["वर्ग ="link_thumb"> 7एक फ़ंक्शन जो शर्तों से निर्धारित होता है: f (x) एक पूर्णांक है; एफ (एक्स) एक्स; एक्स; f+1>x,x, संख्या के पूर्णांक भाग को संख्या का पूर्णांक भाग कहते हैं। डी (एफ) \u003d (-;+), ई (एफ) \u003d जेड (पूर्णांक का सेट) संख्या x के पूर्णांक भाग के लिए, संकेतन [ x ] का उपयोग किया जाता है। = 2 = 47 [-0.23] = - 1 x,x, संख्या के पूर्णांक भाग को संख्या का पूर्णांक भाग कहते हैं। डी (एफ) \u003d (-;+), ई (एफ) \u003d जेड (पूर्णांक का सेट) संख्या x के पूर्णांक भाग के लिए, संकेतन [ x ] का उपयोग किया जाता है। \u003d 2 ["\u003e x, x, संख्या के पूर्णांक भाग को संख्या का पूर्णांक भाग कहा जाता है। D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (पूर्णांक का सेट) संख्या x के पूर्णांक भाग के लिए, संकेतन [x] का उपयोग किया जाता है। रेखावृत्त। डी (एफ) \u003d (-;+), ई (एफ) \u003d जेड (पूर्णांक का सेट) संख्या x के पूर्णांक भाग के लिए, संकेतन [ x ] का उपयोग किया जाता है। = 2 ["शीर्षक="(!LANG: शर्तों द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन: f (x) एक पूर्णांक है; f (x) x; x; f + 1 > x,x, संख्या का पूर्णांक भाग संख्या का पूर्णांक भाग कहलाता है। D (f) = (-;+), E (f) = Z (पूर्णांकों का समूह) संख्या x के पूर्णांक भाग के लिए, संकेतन [ x ] का प्रयोग करें। = 2 ["> title="एक फ़ंक्शन जो शर्तों से निर्धारित होता है: f (x) एक पूर्णांक है; एफ (एक्स) एक्स; एक्स; f+1>x,x, संख्या के पूर्णांक भाग को संख्या का पूर्णांक भाग कहते हैं। डी (एफ) \u003d (-;+), ई (एफ) \u003d जेड (पूर्णांक का सेट) संख्या x के पूर्णांक भाग के लिए, संकेतन [ x ] का उपयोग किया जाता है। = 2["> !}

किसी फ़ंक्शन को सेट करने के उपरोक्त सभी तरीकों में से, विश्लेषणात्मक विधि गणितीय विश्लेषण के उपकरण का उपयोग करने के लिए सबसे बड़ा अवसर प्रदान करती है, और ग्राफिक विधि में सबसे बड़ी स्पष्टता है। इसलिए गणितीय विश्लेषण विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय विधियों के गहन संश्लेषण पर आधारित है। विश्लेषणात्मक रूप से दिए गए कार्यों का अध्ययन बहुत आसान है और यदि हम समानांतर में इन कार्यों के ग्राफ पर विचार करते हैं तो यह स्पष्ट हो जाता है।

एक्स वाई = एक्स

महान गणितज्ञ - डिरिचलेट 1855 के गॉटिंगेन विश्वविद्यालय से बर्लिन में प्रोफेसर हैं। संख्या सिद्धांत और गणितीय विश्लेषण पर मुख्य कार्य। गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में, डिरिचलेट ने पहली बार एक श्रृंखला के सशर्त अभिसरण की अवधारणा को सटीक रूप से तैयार और अध्ययन किया, एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक मानदंड स्थापित किया (तथाकथित डिरिचलेट मानदंड, 1862), और (1829) दिया मैक्सिमा और मिनिमा की एक सीमित संख्या वाले फूरियर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार की संभावना का एक कठोर प्रमाण। Dirichlet के महत्वपूर्ण कार्य यांत्रिकी और गणितीय भौतिकी (हार्मोनिक फ़ंक्शन के सिद्धांत में Dirichlet के सिद्धांत) के लिए समर्पित हैं। डिरिचलेट पीटर गुस्ताव लेज्यून () जर्मन गणितज्ञ, विदेशी संगत सदस्य। सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज (सी), रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन के सदस्य (1855), पेरिसियन एकेडमी ऑफ साइंसेज (1854), बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज। डिरिचलेट ने पूर्णांकों की किसी भी अंकगणितीय प्रगति में असीम रूप से बड़ी संख्या में अभाज्य संख्याओं के अस्तित्व पर एक प्रमेय सिद्ध किया, पहला पद और अंतर जो सहअभाज्य संख्याएँ हैं और अध्ययन (1837) के संबंध में अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम का अध्ययन किया। जिसमें उन्होंने एक विशेष रूप (तथाकथित डिरिचलेट श्रृंखला) की कार्यात्मक श्रृंखला पेश की।

किसी फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक परिभाषा

फंक्शन %%y = f(x), x \in X%% दिया गया एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि कोई सूत्र दिया जाता है जो गणितीय संक्रियाओं के अनुक्रम को इंगित करता है जिसे इस फ़ंक्शन का मान %%f(x)%% प्राप्त करने के लिए तर्क %%x%% के साथ निष्पादित किया जाना चाहिए।

उदाहरण

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भौतिकी में, समान रूप से त्वरित सीधी गति के साथ, एक पिंड की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है t%% को इस प्रकार लिखा जाता है: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%।

टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य

कभी-कभी विचाराधीन फ़ंक्शन को कई फ़ार्मुलों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसकी परिभाषा के डोमेन के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, जिसमें फ़ंक्शन तर्क बदलता है। उदाहरण के लिए: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

इस प्रकार के कार्यों को कभी-कभी कहा जाता है घटकया खंड अनुसार. ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण %%y = |x|%% है

फंक्शन स्कोप

यदि फ़ंक्शन को एक सूत्र का उपयोग करके एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन सेट %%D%% के रूप में फ़ंक्शन का दायरा निर्दिष्ट नहीं है, तो %%D%% से हमारा मतलब हमेशा मानों का सेट होगा तर्क %%x%% जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। तो फ़ंक्शन %%y = x^2%% के लिए, परिभाषा का डोमेन सेट %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%% है, क्योंकि तर्क %%x% % कोई भी मान ले सकता है संख्या रेखा. और फ़ंक्शन %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% के लिए, परिभाषा का डोमेन %%x%% असमानता को संतुष्ट करने वाले मानों का सेट होगा %% 1 - x^2 > 0%%, मी. %%D = (-1, 1)%%।

स्पष्ट विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषा के लाभ

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीका काफी कॉम्पैक्ट है (सूत्र, एक नियम के रूप में, बहुत कम जगह लेता है), आसानी से पुन: प्रस्तुत किया जाता है (सूत्र को लिखना आसान है), और गणितीय संचालन और परिवर्तनों को करने के लिए सबसे अधिक अनुकूलित है कार्य।

इनमें से कुछ संक्रियाएँ - बीजगणितीय (जोड़, गुणा, आदि) - स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से जानी जाती हैं, अन्य (विभेदन, एकीकरण) का अध्ययन भविष्य में किया जाएगा। हालांकि, यह विधि हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, क्योंकि तर्क पर फ़ंक्शन की निर्भरता की प्रकृति हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, और कभी-कभी फ़ंक्शन के मूल्यों (यदि आवश्यक हो) को खोजने के लिए बोझिल गणना की आवश्यकता होती है।

निहित कार्य विनिर्देश

फ़ंक्शन %%y = f(x)%% परिभाषित किया गया है एक निहित विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि संबंध $$F(x,y) = 0 दिया गया है, ~~~~~~~~~(1)$$ फ़ंक्शन %%y%% और तर्क %% के मूल्यों से संबंधित एक्स%%। यदि तर्क मान दिए गए हैं, तो %%x%% के एक विशेष मूल्य के अनुरूप %%y%% का मान ज्ञात करने के लिए, %%y%% के संबंध में समीकरण %%(1)%% को हल करना आवश्यक है %%x%% के उस विशेष मूल्य पर।

%%x%% के मान को देखते हुए, समीकरण %%(1)%% का कोई समाधान या एक से अधिक समाधान नहीं हो सकता है। पहले मामले में, निर्दिष्ट मान %%x%% निहित कार्य के दायरे में नहीं है, और दूसरे मामले में यह निर्दिष्ट करता है बहुमूल्य समारोह, जिसमें किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक से अधिक मान हैं।

ध्यान दें कि यदि समीकरण %%(1)%% को %%y = f(x)%% के संबंध में स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, तो हम वही फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, लेकिन पहले से ही एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से परिभाषित किया गया है। तो, समीकरण %%x + y^5 - 1 = 0%%

और समानता %%y = \sqrt(1 - x)%% समान फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

जब %%y%% की %%x%% पर निर्भरता सीधे नहीं दी जाती है, बल्कि इसके बजाय दोनों चर %%x%% और %%y%% की निर्भरता किसी तीसरे सहायक चर %%t%% पर दी जाती है फार्म में

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$वे बात करते हैं पैरामीट्रिकफ़ंक्शन सेट करने की विधि;

तब सहायक चर %%t%% को पैरामीटर कहा जाता है।

यदि समीकरण %%(2)%% से %%t%% पैरामीटर को बाहर करना संभव है, तो वे %%x%% पर %%y%% की स्पष्ट या निहित विश्लेषणात्मक निर्भरता द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर पहुंचते हैं . उदाहरण के लिए, संबंधों से $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ को छोड़कर पैरामीटर % %t%% के लिए हमें निर्भरता %%y = 2 x + 2%% मिलती है, जो %%xOy%% समतल में एक सीधी रेखा सेट करती है।

ग्राफिकल तरीका

किसी फ़ंक्शन की चित्रमय परिभाषा का एक उदाहरण

उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का विश्लेषणात्मक तरीका इसके अनुरूप है ग्राफिक छवि, जिसे किसी फ़ंक्शन का वर्णन करने का एक सुविधाजनक और दृश्य रूप माना जा सकता है। कभी-कभी इस्तेमाल किया जाता है ग्राफिक तरीकाएक फ़ंक्शन को परिभाषित करना जब %%x%% पर %%y%% की निर्भरता %%xOy%% विमान पर एक पंक्ति द्वारा दी जाती है। हालांकि, इसकी सभी स्पष्टता के लिए, यह सटीकता में खो देता है, क्योंकि तर्क के मान और फ़ंक्शन के संबंधित मान केवल ग्राफ़ से ही प्राप्त किए जा सकते हैं। परिणामी त्रुटि ग्राफ़ के अलग-अलग बिंदुओं के भुज और कोटि को मापने के पैमाने और सटीकता पर निर्भर करती है। भविष्य में, हम केवल फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाने के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की भूमिका प्रदान करेंगे, और इसलिए हम स्वयं को ग्राफ़ के "स्केच" के निर्माण तक सीमित रखेंगे जो फ़ंक्शन की मुख्य विशेषताओं को दर्शाते हैं।

सारणीबद्ध तरीका

टिप्पणी सारणीबद्ध तरीकाफ़ंक्शन असाइनमेंट, जब कुछ तर्क मान और उनके संबंधित फ़ंक्शन मान एक निश्चित क्रम में तालिका में रखे जाते हैं। इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों की सुप्रसिद्ध सारणी, लघुगणक सारणी आदि का निर्माण किया जाता है। एक तालिका के रूप में, प्रयोगात्मक अध्ययनों, टिप्पणियों और परीक्षणों में मापी गई मात्राओं के बीच संबंध आमतौर पर प्रस्तुत किया जाता है।

इस पद्धति का नुकसान तर्क के मूल्यों के लिए फ़ंक्शन के मूल्यों को सीधे निर्धारित करने की असंभवता है जो तालिका में शामिल नहीं हैं। यदि विश्वास है कि तालिका में प्रस्तुत नहीं किए गए तर्क के मान विचार किए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के संबंधित मानों की गणना लगभग प्रक्षेप और एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके की जा सकती है।

उदाहरण

कार्यों को निर्दिष्ट करने के एल्गोरिथम और मौखिक तरीके

समारोह सेट किया जा सकता है एल्गोरिथम(या कार्यक्रम संबंधी) एक तरह से जो कंप्यूटर गणना में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंत में, यह नोट किया जा सकता है वर्णनात्मक(या मौखिक) किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का एक तरीका, जब फ़ंक्शन के मानों को तर्क के मानों से मिलान करने का नियम शब्दों में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन %%[x] = m~\forall (x \in । हालांकि, और यह जोर देना महत्वपूर्ण है कि, जैसे-जैसे विश्लेषण पर हमारी जानकारी विकसित होती है, अन्य कार्यों को उनकी संख्या में जोड़ा जाएगा, सबसे पहले, उस सीमा तक का मार्ग, जिससे पाठक पहले से ही अध्याय I से परिचित है।

इस प्रकार, "विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति" या "सूत्र" शब्द की पूरी सामग्री केवल धीरे-धीरे ही प्रकट होगी।

2° दूसरी टिप्पणी एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति या सूत्र द्वारा किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है।

प्रत्येक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति जिसमें तर्क x होता है, बोलने के लिए, आवेदन का एक प्राकृतिक क्षेत्र है: यह x के उन सभी मानों का सेट है जिसके लिए यह एक अर्थ रखता है, यानी, एक अच्छी तरह से परिभाषित, सीमित है, वास्तविक कीमत। आइए इसे सरल उदाहरणों के साथ समझाएं।

अत: व्यंजक के लिए ऐसा क्षेत्रफल वास्तविक संख्याओं का पूर्ण समुच्चय होगा। एक व्यंजक के लिए, यह क्षेत्र एक बंद अंतराल में कम हो जाएगा जिसके आगे इसका मान वास्तविक नहीं रह जाएगा। इसके विपरीत, अभिव्यक्ति को अपने प्राकृतिक दायरे के रूप में एक खुले अंतराल को शामिल करना होगा, क्योंकि सिरों पर इसका हर 0 हो जाता है। कभी-कभी मूल्यों की श्रेणी जिसके लिए अभिव्यक्ति अर्थ को बरकरार रखती है, बिखरे हुए अंतराल होते हैं: इनके लिए वहां होगा अंतराल के लिए - अंतराल, आदि।

अंतिम उदाहरण के रूप में, अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग पर विचार करें

यदि तब, जैसा कि हम जानते हैं, यह सीमा मौजूद है और इसका मान है। के लिए, सीमा या तो बराबर है या बिल्कुल मौजूद नहीं है। इस प्रकार, उपरोक्त विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के लिए, प्राकृतिक दायरा खुला अंतराल होगा

निम्नलिखित प्रस्तुति में, हमें अधिक जटिल और अधिक सामान्य विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों दोनों पर विचार करना होगा, और हम पूरे क्षेत्र में एक समान अभिव्यक्ति द्वारा दिए गए कार्यों के गुणों का एक से अधिक बार अध्ययन करेंगे, जहां यह अर्थ बरकरार रखता है, यानी अध्ययन का अध्ययन विश्लेषणात्मक उपकरण ही।

हालाँकि, एक अन्य स्थिति भी संभव है, जिसकी ओर हम पहले से ही पाठक का ध्यान आकर्षित करना आवश्यक समझते हैं। आइए हम कल्पना करें कि कुछ विशेष प्रश्न, जिसमें चर एक्स अनिवार्य रूप से एक्स की सीमा तक सीमित है, एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति को स्वीकार करने वाले फ़ंक्शन पर विचार करता है। हालांकि ऐसा हो सकता है कि यह अभिव्यक्ति एक्स क्षेत्र के बाहर समझ में आता है, निश्चित रूप से, इससे आगे जाना असंभव है। यहां विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति एक अधीनस्थ, सहायक भूमिका निभाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, पृथ्वी की सतह से ऊपर की ऊँचाई से किसी भारी बिंदु के मुक्त रूप से गिरने की जाँच करते हुए, हम सूत्र का सहारा लेते हैं

टी के नकारात्मक मूल्यों या के लिए से अधिक मूल्यों पर विचार करना बेतुका होगा, क्योंकि यह देखना आसान है, बिंदु पहले से ही जमीन पर गिर जाएगा। और यह इस तथ्य के बावजूद है कि अभिव्यक्ति स्वयं - सभी के लिए अपने अर्थ को बरकरार रखती है।

3° ऐसा हो सकता है कि किसी फ़ंक्शन को तर्क के सभी मानों के लिए एक ही सूत्र द्वारा परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन कुछ के लिए एक सूत्र द्वारा और दूसरों के लिए दूसरे द्वारा परिभाषित किया जाता है। बीच में ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण निम्नलिखित तीन सूत्रों द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन है:

और अंत में अगर।

हम Dirichlet फ़ंक्शन (P. G. Lejeune-Dinchlet) का भी उल्लेख करते हैं, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

अंत में, Kronecker (L. Kroneckcf) के साथ हम उस फ़ंक्शन पर विचार करेंगे, जिसे उन्होंने "साइनम" कहा और द्वारा दर्शाया गया