पिछले साल के मई के दिनों में से एक, मैं कक्षा 10 में गणित की परीक्षा में सहायक के रूप में बैठा था। ऊब, मैंने शिक्षक की मेज से काम का "अतिरिक्त" संस्करण लिया और इसे हल करना शुरू कर दिया। काम गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के प्रारूप में किया गया था, जिसे मैंने 1989 में हाई स्कूल से स्नातक होने के बाद वापस पढ़ना समाप्त कर दिया था। हालांकि, बिना अधिक प्रयास के, मैं भाग बी में 11 कार्यों को हल करने में सफल रहा।- उस दिन काम लिखने वाले कई लोगों से ज्यादा. छात्रों में से एक + यूलिया सोबोलेवा , आश्चर्य के साथ देखा जैसा कि मैंने फैसला किया, और फिर मेरे पास आया:
— यह पहली बार है जब मैंने एक सहायक को देखा जो गणित का शिक्षक नहीं है और बैठकर निर्णय लेता है। प्रश्न के लिए क्षमा करें, लेकिन क्या यह आपके जीवन में किसी तरह काम आया?
दसवीं कक्षा के छात्र के प्रश्न ने मुझे चकित नहीं किया। तथ्य यह है कि स्कूल में गणित के साथ मुझे पारस्परिकता के बिना प्यार था: इस अर्थ में कि गणित मुझसे प्यार करता था, और मैं उससे प्यार करता था- नहीं। यानी गणित मेरे लिए हमेशा आसान था, कोई समस्या नहीं थी, मुझे अपने सभी गणित के शिक्षक भी गर्मजोशी से याद हैं ... लेकिन मुझे गणित पसंद नहीं था, और बस! ऐसा ही होता है। और, एक उदार कला विश्वविद्यालय (मैं शिक्षा द्वारा इतिहास का शिक्षक हूं) में प्रवेश करने के बाद, मुझे अचानक गणित की कमी महसूस होने लगी। मुझे लगने लगा था कि मैं दिन के हिसाब से नहीं, बल्कि घंटे के हिसाब से मूर्ख होता जा रहा हूं। इसलिए, 1 . पर-2 पाठ्यक्रम, इस शून्य को भरने के लिए, उसने (!) ओलंपियाड की समस्याओं का संग्रह लिया और हल किया, स्नातक कक्षा के लिए पूरी पाठ्यपुस्तक को नए तरीके से हल किया। और- ओह, चमत्कार! मन की स्पष्टता और तार्किक सोच धीरे-धीरे वापस आने लगी। और फिर, पहले से ही तीसरे वर्ष में पढ़ रहे हैं,एल कैरोल की पुस्तक "द लॉजिक गेम" पढ़ें (धन्यवाद सर्गेई माइकलसन), तर्क में रुचि हो गई और गणित की कक्षाओं की आवश्यकता किसी तरह गायब हो गई। और जब ग्रेजुएशन के कुछ साल बाद मैंने अर्थशास्त्र पढ़ाना शुरू किया, तो गणित मेरे दिमाग में बस गया- समस्याओं को किसी तरह हल करने की जरूरत है।
मैंने यह सब क्यों लिखा? इतनी लंबी प्रस्तावना यह समझाने के लिए है: मैंने इस प्रस्ताव को सहर्ष स्वीकार क्यों किया +नतालिया शनीना, सहायक परियोजना प्रबंधक, प्रकाशन गृह +मान, इवानोव और फेरबेर, समीक्षा के लिए "द प्लेजर ऑफ एक्स" पुस्तक लें (ऐसा मौखिक वाक्य निकला)।
मुझे पहले पन्नों से किताब पसंद आई: जब वे दिखाते हैं तो मुझे यह पसंद है सुंदरताअंक शास्त्र। मुझे यह भी अच्छा लगता है जब साधारण में पैटर्न होते हैं। इसलिए, पहले अध्याय में, मैं खोज से चौंक गया था: यदि हम लगातार विषम संख्याओं को जोड़ते हैं, तो कुल मिलाकर हमें श्रृंखला में ली गई विषम संख्याओं की संख्या के अनुरूप संख्याओं का वर्ग मिलेगा। फिर- वह विषम संख्याएँ कोने बनाती हैं जिनसे आप एक वर्ग बना सकते हैं, उदाहरण के लिए:
जैसे ही मैंने किताब पढ़ी, मैंने अपने लिए नई खोजें कीं। अलग-अलग एल्गोरिदम के लिए प्यार होने के कारण (मैं कुछ रचनात्मक और निकट-रचनात्मक प्रक्रियाओं में भी एक एल्गोरिदम प्राप्त करने का प्रयास करता हूं), मैं मदद नहीं कर सका लेकिन 50 तक की संख्याओं के वर्ग के लिए एक सरल एल्गोरिदम नोट कर सकता था। मुझे यह इतना पसंद आया कि मैंने इसे स्केच भी किया एक नोटबुक में।
द्विघात समीकरणों को हल करने की ज्यामितीय पद्धति ने मुझे प्रसन्न किया: ऐसा लगता था कि मैंने उन्हें हल करने में कभी कठिनाइयों का अनुभव नहीं किया, लेकिन, इस बीच, विभेदक और मूल सूत्र कुछ अमूर्त लग रहे थे। लेकिन, यदि आप ज्यामिति को जोड़ दें, तो सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है।
कार्यों के बारे में क्या? ओह, इन कार्यों के लिए तर्क और ध्यान के रूप में इतना गणित नहीं चाहिए। आप में से कौन इस तरह की पहेलियों से नहीं मिला है: "यदि आप नल को ठंडे पानी से चालू करते हैं, तो स्नान आधे घंटे में भर जाएगा, यदि गर्म पानी से, तो एक घंटे में। दोनों नल चालू होने पर स्नान को भरने में कितना समय लगेगा?" कार्य की स्पष्ट सादगी आमतौर पर "45 मिनट" के उत्तर की ओर ले जाती है। जवाब, ज़ाहिर है, गलत है। क्या आप बता सकते हैं कि सही उत्तर क्यों है- "20 मिनट"? और इसे अलग-अलग तरीकों से करें? लेकिन किताब के लेखक इसे शानदार ढंग से करते हैं।
यहां तक कि किताब के उन हिस्सों को पढ़ना जो मेरे लिए मुश्किल हो गया था (ठीक है, मुझे इतनी मात्रा में गणित याद नहीं है) आसान था। मुझे सब कुछ समझ में नहीं आया, लेकिन इस मामले में भी मुझे इसे पढ़ने में मज़ा आया। क्योंकि लेखक हर चीज में आसपास की वास्तविकता में गणितीय कानूनों का एक ठोस अनुप्रयोग देखता है। सांख्यिकी, ऑन्कोलॉजी, यहां तक कि शादी में एक साथी की पसंद - हर जगह गणित के निशान हैं। और यह उद्धरण विशेष रूप से छू रहा था: "उन दिनों में जब Google मौजूद नहीं था, वेब पर खोज करना एक निराशाजनक प्रयास था".
केवल दो चीजें थीं जो रास्ते में आईं।
- खैर, मुझे इलेक्ट्रॉनिक फॉर्मेट में पढ़ना पसंद नहीं है। इसके अलावा, गणित के मामले में, आप तुरंत कुछ हल / गणना करना चाहते हैं। अगर मैं एक कागज़ की किताब पढ़ता, तो मैं सीधे हाशिये पर और मुफ्त पन्नों पर लिखता - पब्लिशिंग हाउस की किताबें +मान, इवानोव और फेरबेरइस तरह से प्रकाशित किया जाता है कि वे शुरू में यह मान लेते हैं कि ऐसे पाठक होंगे जो न केवल पुस्तक पढ़ेंगे, बल्कि उसमें लिखेंगे भी।
- किताब में बहुत सारे नोट्स हैं। प्रकाशक परंपरागत रूप से पुस्तक के पाठ में केवल संक्षिप्त जानकारी के साथ लिंक छोड़ता है, और एंडनोट्स के रूप में विस्तृत नोट्स बनाता है। मेरे लिए, यह पठन प्रारूप असुविधाजनक है (और इलेक्ट्रॉनिक प्रारूप में दोगुना असुविधाजनक है)। मुझे किताब में आगे-पीछे कूदना पसंद नहीं है। और मुख्य पाठ को पढ़ने के बाद नोट्स पढ़ना अतार्किक है। अंत में, मैंने बस उन्हें देखा। यद्यपि वे मुख्य पाठ का हिस्सा बनने के योग्य हैं: वे एक दिलचस्प तरीके से लिखे गए हैं, उसी शैली में जिस तरह से पुस्तक का पाठ है।
मैं न केवल गणित प्रेमियों को बल्कि हाई स्कूल के छात्रों और छात्रों को भी इस पुस्तक की सिफारिश करूंगा। कुछ चीजों की समझ प्रदान करने के लिए जो स्कूल या विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रम में बहुत सारगर्भित लगती हैं। खैर, और गणित के शिक्षक, बिल्कुल। यहां +नतालिया लवोवापहले से ही पढ़ा (समीक्षा)। मैं इस पुस्तक की सिफारिश करना चाहता हूं और +डायना सोनिनालेकिन अफसोस! बेटी भी मां के समान मार्ग पर चलती है। गणित आसान है, वह नगरपालिका ओलंपियाड की विजेता है, और वे अपने गणित शिक्षक के साथ शोध कार्य में डिग्री के साथ क्या करते हैं (जिसके साथ उसने एक से अधिक बार पुरस्कार जीते हैं)विभिन्न सम्मेलनों में), हाई स्कूल के छात्रों के लिए ओलंपियाड की समस्याओं को हल करना, मेरे लिए समझना मुश्किल है। लेकिन साथ ही वह गणित के बारे में सुनना भी नहीं चाहता। ज़रूरी- करता है, लेकिन आनंद के बिना।और, इस बीच, मेरे विद्यार्थी के प्रश्न का उत्तर देते समय कि जीवन में गणित मेरे लिए कैसे उपयोगी था, कुछ व्यावहारिक बातों के अलावा, मेरे पास हमेशा एक उत्तर होता है: मदद करने में सक्षम होने के लिए आपको स्कूल में अच्छी तरह से अध्ययन करने की आवश्यकता है उनके बच्चे सीखते हैं। लेकिन मेरी बेटी को वास्तव में मेरी मदद की जरूरत नहीं है।- खुद को संभालती है। यही कारण है कि सवाल खुला रहता है: क्यों, उत्कृष्ट प्रारंभिक स्थितियों के साथ - एक अच्छा शिक्षक, विषय में अच्छी योग्यता, ऐसे बच्चे क्यों हैं जिन्हें गणित पसंद नहीं है? दूसरे दिन इस पर चर्चा की +मरीना कुर्वित्स, अन्य "परिचित गणितज्ञों" के साथ इस पर चर्चा करने के लिए तैयार -+जुरी कुर्वित्सऔर +लजुदमिला रोज़्देस्टेवेन्स्काजा. क्या कारण है? मेंक्या स्थिति को बदलने का कोई तरीका है? यहाँ मैंने इसे अपनी युवावस्था में हल किया है। लेकिन मैं अभी भी इस विचार से प्रेतवाधित हूं कि, पहले गणित से प्यार नहीं हुआ, मैंने अपने जीवन में कुछ अवसरों को याद किया ...
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यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:
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ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
से खुशी एक्स
दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
प्रकाशक से जानकारी
पहली बार रूसी में प्रकाशित
स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।
स्ट्रोगेट्स, पी।
से खुशी एक्स. दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा / स्टीफन स्ट्रोगेट्स; प्रति. अंग्रेज़ी से। - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
आईएसबीएन 978-500057-008-1
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
सर्वाधिकार सुरक्षित।
कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक का कोई भी भाग किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।
प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है
© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित
© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014
प्रस्तावना
मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।
दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।
और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।
हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।
गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएं हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।
जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "फंडामेंटल्स ऑफ मैथमेटिक्स" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां आईं, जिनमें कई छात्र और शिक्षक थे। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान की समझ में "अपना रास्ता भटक गए"; अब उन्हें लगता है कि उन्होंने कुछ याद किया है। के विषय मेंऔर फिर से कोशिश करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि मेरी मदद से वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे साथियों और साथियों ने, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरी संतानों को सुधारने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।
लोकप्रिय धारणा के बावजूद, समाज में गणित में स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना मुश्किल होगा।
यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं, और वास्तव में एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख लगे, अगले अध्याय को लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को और अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और सिफारिशों के साथ नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।
चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषय के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।
भाग I "नंबर" किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करता है। यह दिखाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और कैसे वे हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में जादुई रूप से प्रभावी हैं।
भाग II "अनुपात" संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने के लिए पहला उपकरण है कि एक दूसरे को कैसे प्रभावित करता है, विभिन्न चीजों के कारण संबंध को दर्शाता है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार के रिश्ते जो दुनिया को बनाते हैं इतना विविध और समृद्ध ..
भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं है, बल्कि आंकड़ों और स्थान के बारे में है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। ये विषय, तार्किक तर्क और प्रमाणों की सहायता से रूपों के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ, गणित को सटीकता के एक नए स्तर तक बढ़ाते हैं।
भाग IV "परिवर्तन का समय" में हम गणित को देखेंगे - गणित का सबसे प्रभावशाली और बहुआयामी क्षेत्र। कलन ग्रहों के प्रक्षेपवक्र, ज्वार के चक्रों की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, और ब्रह्मांड में और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में एक महत्वपूर्ण स्थान अनंत के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसकी शांति एक सफलता थी जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी। कम्प्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की, और इसने अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति ला दी।
भाग V "डेटा के कई पहलू" संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा प्रोसेसिंग से संबंधित है - ये अभी भी अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के हमेशा क्रमबद्ध पहलुओं से उत्पन्न नहीं होते हैं, जैसे अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम, अस्थिरता, यादृच्छिकता , परस्पर निर्भरता। सही गणित उपकरण और सही डेटा प्रकारों का उपयोग करके, हम पैटर्न को यादृच्छिकता की धारा में खोजना सीखेंगे।
हमारी यात्रा के अंत में, भाग VI "द लिमिट्स ऑफ द पॉसिबल" में, हम गणितीय ज्ञान की सीमा तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी भी मायावी है और ज्ञात नहीं है, के बीच का सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों के बारे में जानेंगे जिन्हें हम पहले से जानते हैं: संख्याएं, अनुपात, आकार, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को अपने आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से विचार करेंगे।
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
- नाम: एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
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एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
पहली बार रूसी में प्रकाशित हुआ।
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़
ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी
स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।
© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित
© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014
सर्वाधिकार सुरक्षित। इस पुस्तक के इलेक्ट्रॉनिक संस्करण का कोई भी भाग किसी भी रूप में या किसी भी माध्यम से पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जिसमें इंटरनेट पर या किसी कॉर्पोरेट में पोस्ट करना शामिल है...
हमारे आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता क्या है, अभिन्न गणनाएं कितनी सुंदर हैं, और आंकड़े कितने महत्वपूर्ण हैं? स्टीवन स्ट्रोगेट्स ने अपनी पुस्तक द प्लेजर ऑफ एक्स में इस सब के बारे में बात की है। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है। साइट मान, इवानोव और फेरबर पब्लिशिंग हाउस द्वारा प्रकाशित पुस्तक के एक अध्याय को प्रकाशित करती है।
सांख्यिकी अचानक से ट्रेंडी हो गई है। इंटरनेट, ई-कॉमर्स, सोशल मीडिया, मानव जीनोम अनुक्रमण परियोजना और सामान्य रूप से डिजिटल संस्कृति के उदय के साथ, दुनिया डेटा से भर गई है। विपणक हमारे स्वाद और आदतों का अध्ययन करते हैं। खुफिया सेवाएं हमारे स्थान, ईमेल और फोन कॉल के बारे में जानकारी एकत्र करती हैं। खेल सांख्यिकीविद यह तय करने के लिए संख्याओं को जोड़ते हैं कि किस खिलाड़ी को खरीदना है, किसे भर्ती करना है और किसे बेंच देना है। हर कोई बिंदुओं को एक ग्राफ में संयोजित करने और डेटा के अराजक संचय में एक पैटर्न की खोज करने का प्रयास करता है।
आश्चर्य नहीं कि ये रुझान सीखने में परिलक्षित होते हैं। न्यू यॉर्क टाइम्स के कॉलम में हार्वर्ड यूनिवर्सिटी के अर्थशास्त्री ग्रेग मैनकीव ने कहा, "आइए आंकड़ों के लिए नीचे उतरें।"
"हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम यूक्लिडियन ज्यामिति और त्रिकोणमिति जैसे पारंपरिक विषयों के लिए बहुत अधिक समय समर्पित करता है। एक सामान्य व्यक्ति के लिए उपयोगी ये मानसिक व्यायाम, हालांकि, रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत कम उपयोग होते हैं। छात्रों के लिए संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी के बारे में अधिक जानना अधिक उपयोगी होगा।" डेविड ब्रूक्स और भी आगे जाते हैं। एक सभ्य शिक्षा प्राप्त करने के लिए ध्यान देने योग्य विषयों पर अपने लेख में, वे लिखते हैं: “आंकड़े लें। आप देखेंगे, यह पता चला है कि मानक विचलन क्या है, यह जानना आपके लिए जीवन में बहुत उपयोगी होगा।
यह काफी संभव है, और यह समझना भी अच्छा है कि वितरण क्या है। यह पहली बात है जिसके बारे में मैं बात करना चाहता हूं। और मैं इस पर ध्यान केंद्रित करना चाहूंगा, क्योंकि यह आंकड़ों के मुख्य पाठों में से एक है: व्यक्तिगत रूप से विचार करने पर चीजें निराशाजनक रूप से यादृच्छिक और अप्रत्याशित लगती हैं, लेकिन कुल मिलाकर वे नियमितता और पूर्वानुमेयता को प्रकट करते हैं।
आपने किसी विज्ञान संग्रहालय में इस सिद्धांत का प्रदर्शन देखा होगा (यदि नहीं, तो वीडियो ऑनलाइन मिल सकते हैं)। एक विशिष्ट प्रदर्शनी एक कोंटरापशन है जिसे गैल्टन बोर्ड कहा जाता है, जो कुछ हद तक पिनबॉल मशीन के समान होता है, केवल फ्लिपर्स के बिना। इसके अंदर नियमित अंतराल पर पिनों की भी पंक्तियाँ होती हैं।
गैल्टन बोर्ड
प्रयोग गैल्टन बोर्ड के शीर्ष में सैकड़ों गेंदों को लॉन्च करने के साथ शुरू होता है। जब वे गिरते हैं, तो वे पिनों से टकराते हैं और समान संभावना के साथ या तो दाईं ओर या बाईं ओर उछलते हैं, और फिर उन्हें समान चौड़ाई के डिब्बों में गिरते हुए बोर्ड के निचले भाग में वितरित किया जाता है। गेंदों के स्तंभ की ऊंचाई उस संभावना को दर्शाती है जिसके साथ गेंद किसी निश्चित स्थान पर हो सकती है। अधिकांश गेंदें लगभग बीच में रखी जाती हैं, किनारों पर पहले से ही कम होती हैं, और किनारों पर भी कम होती हैं।
सामान्य तौर पर, तस्वीर बेहद अनुमानित है: गेंदें हमेशा घंटी के आकार का वितरण बनाती हैं, हालांकि यह अनुमान लगाना असंभव है कि प्रत्येक व्यक्तिगत गेंद कहां समाप्त होगी।
व्यक्तिगत दुर्घटनाएं सामान्य पैटर्न में कैसे बदल जाती हैं? लेकिन इस तरह यादृच्छिकता काम करती है। मध्य कॉलम में, अधिकांश गेंदें जमा हो गई हैं, क्योंकि नीचे लुढ़कने से पहले, उनमें से कई दाईं और बाईं ओर लगभग समान संख्या में छलांग लगाएंगे, और परिणामस्वरूप वे बीच में कहीं होंगे। किनारों के साथ स्थित कई एकल गेंदें वितरण पूंछ बनाती हैं - ये वे गेंदें हैं जो पिन से टकराने पर हमेशा एक ही दिशा में उछलती हैं। इस तरह के उछाल की संभावना नहीं है, यही वजह है कि किनारों के आसपास इतनी कम गेंदें हैं।
जिस प्रकार प्रत्येक गेंद का स्थान कई यादृच्छिक घटनाओं के योग से निर्धारित होता है, वैसे ही इस दुनिया में कई घटनाएं कई छोटी परिस्थितियों का परिणाम हैं और घंटी वक्र का भी पालन करती हैं। इस तरह बीमा कंपनियां काम करती हैं। वे हर साल मरने वाले अपने ग्राहकों की संख्या का सही-सही नाम बता सकते हैं। हालांकि, वे नहीं जानते कि इस बार वास्तव में कौन भाग्यशाली नहीं होगा।
या, उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की ऊंचाई को लें। यह आनुवंशिकी, जैव रसायन, पोषण और पर्यावरण से संबंधित अनगिनत दुर्घटनाओं पर निर्भर करता है। इसलिए, यह संभावना है कि, जब एक साथ विचार किया जाए, तो वयस्क पुरुषों और महिलाओं की ऊंचाई घंटी के आकार की वक्र होगी।
"झूठे डेटा लोग अपने बारे में ऑनलाइन रिपोर्ट करते हैं" शीर्षक से एक ब्लॉग पोस्ट में, डेटिंग साइट के आँकड़े OkCupid ने हाल ही में अपने ग्राहकों की वृद्धि का एक ग्राफ पोस्ट किया है, या उनके द्वारा बताए गए मूल्यों का। यह पाया गया कि दोनों लिंगों की वृद्धि दर, अपेक्षा के अनुरूप, घंटी के आकार का वक्र बनाती है। आश्चर्यजनक रूप से, हालांकि, दोनों वितरण अपेक्षित मूल्यों से लगभग दो इंच दाईं ओर तिरछे थे।
स्ट्रोगेट्स एस। एच। - एम से खुशी: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
इस प्रकार, या तो OkCupid द्वारा सर्वेक्षण किए गए ग्राहकों की ऊंचाई औसत से अधिक है, या वे खुद को ऑनलाइन वर्णन करते समय अपनी ऊंचाई में कुछ इंच जोड़ते हैं।
इन घंटी वक्रों का एक आदर्श संस्करण वह है जिसे गणितज्ञ सामान्य वितरण कहते हैं। यह सांख्यिकी में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है, जिसका सैद्धांतिक औचित्य है। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण बड़ी संख्या में छोटे यादृच्छिक कारकों के योग से उत्पन्न होता है, जिनमें से प्रत्येक दूसरों से स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। और इस तरह से बहुत सी चीजें होती हैं।
लेकिन सब नहीं। और यह दूसरा बिंदु है जिस पर मैं ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा। सामान्य वितरण उतना सर्वव्यापी नहीं है जितना लगता है। सौ वर्षों से, और विशेष रूप से पिछले कुछ दशकों में, वैज्ञानिकों और सांख्यिकीविदों ने कई घटनाओं के अस्तित्व को नोट किया है जो इस वक्र से विचलित होती हैं और अपने स्वयं के कार्यक्रम का पालन करती हैं। यह उत्सुक है कि प्राथमिक आंकड़ों पर पाठ्यपुस्तकों में इस प्रकार के वितरण का व्यावहारिक रूप से उल्लेख नहीं किया गया है, और यदि वे होते हैं, तो उन्हें आमतौर पर किसी प्रकार की विकृति माना जाता है।
यह अजीब है। मैं यह समझाने की कोशिश करूंगा कि अगर इन "पैथोलॉजिकल" वितरणों को समझा जाए तो आधुनिक जीवन की कई घटनाएं अधिक समझ में आती हैं। यह नया सामान्य है। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में शहर के आकार का वितरण लें। कुछ औसत घंटी वक्र के आसपास क्लस्टर करने के बजाय, अधिकांश शहर छोटे हैं और इसलिए ग्राफ के बाईं ओर क्लस्टर हैं।
स्ट्रोगेट्स एस। एच। - एम से खुशी: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
और शहर की आबादी जितनी बड़ी होती है, ऐसे शहर उतने ही कम मिलते हैं। दूसरे शब्दों में, कुल मिलाकर, वितरण घंटी वक्र के बजाय एल-आकार का वक्र होगा।
और इसमें आश्चर्य की कोई बात नहीं है। सभी जानते हैं कि छोटे शहरों की तुलना में बहुत कम मेगासिटी हैं। हालांकि यह इतना स्पष्ट नहीं है, शहरों के आकार एक साधारण सुंदर वितरण का अनुसरण करते हैं - यदि आप उन्हें लघुगणकीय पैमाने पर देखते हैं।
हम मान लेंगे कि दो शहरों के बीच का अंतर समान है यदि उनकी जनसंख्या समान संख्या में भिन्न होती है (जैसे कि एक सप्तक द्वारा अलग की गई कोई भी दो पियानो कुंजियाँ हमेशा आवृत्ति में दो बार भिन्न होती हैं)। और हम ऊर्ध्वाधर अक्ष पर भी ऐसा ही करेंगे।
स्ट्रोगेट्स एस। एच। - एम से खुशी: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
अब डेटा एक वक्र पर है जो लगभग एक पूर्ण सीधी रेखा है। लॉगरिदम के गुणों के आधार पर, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि मूल एल-आकार का वक्र एक शक्ति निर्भरता है, जिसे फॉर्म के एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है
जहाँ x शहर की जनसंख्या है, y उन शहरों की संख्या है जिनका आकार है, c एक स्थिरांक है, और घातांक a (पावर-लॉ एक्सपोनेंट) सीधी रेखा के ऋणात्मक ढलान को निर्धारित करता है।
पारंपरिक आँकड़ों, गुणों के दृष्टिकोण से बिजली वितरण में कुछ अतार्किक हैं। उदाहरण के लिए, एक सामान्य वितरण के विपरीत, उनके मोड, माध्यिकाएं और साधन L-आकार के वक्रों के तिरछे, तिरछे आकार के कारण मेल नहीं खाते हैं।
राष्ट्रपति बुश को इससे बहुत फायदा हुआ, 2003 में यह घोषणा करते हुए कि कर कटौती से प्रत्येक परिवार को औसतन $1,586 की बचत हुई। हालांकि गणितीय रूप से सही, यहां उन्होंने अपने लाभ के लिए औसत कटौती को आधार के रूप में लिया, जिसने देश की सबसे अमीर आबादी के 0.1% द्वारा प्राप्त सैकड़ों-हजारों डॉलर की भारी कटौती को छिपा दिया। यह ज्ञात है कि आय वितरण के दाईं ओर "पूंछ" एक शक्ति कानून का पालन करता है, और ऐसी स्थिति में, औसत मूल्य का उपयोग भ्रामक है, क्योंकि यह इसके वास्तविक मूल्य से बहुत दूर है। वास्तव में, अधिकांश परिवारों को $650 से कम वापस प्राप्त हुआ। इस वितरण में माध्यिका माध्य से बहुत छोटी होती है।
यह उदाहरण शक्ति-कानून वितरण की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति को प्रदर्शित करता है: उनके पास सामान्य वितरण के कम से कम छोटे "द्रव पूंछ" की तुलना में "भारी पूंछ" होती है। इस तरह की बड़ी पूंछ, हालांकि दुर्लभ हैं, नियमित घंटी वक्रों की तुलना में डेटा वितरण में अधिक आम हैं।
ब्लैक मंडे, 19 अक्टूबर, 1987 को डॉव जोन्स इंडस्ट्रियल एवरेज 22% गिर गया। शेयर बाजार में अस्थिरता के सामान्य स्तर की तुलना में, यह गिरावट बीस मानक विचलन से अधिक थी। पारंपरिक आँकड़ों (जो सामान्य वितरण का उपयोग करते हैं) के अनुसार, ऐसी घटना लगभग असंभव है: इसकी संभावना 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (10 की शक्ति से 50) में एक से कम है। हालांकि, ऐसा हुआ - क्योंकि शेयर बाजार में कीमतों में उतार-चढ़ाव सामान्य वितरण का पालन नहीं करता था।
"भारी पूंछ" वाले वितरण उनका वर्णन करने के लिए बेहतर अनुकूल हैं। यह भूकंप, आग और बाढ़ के साथ होता है, जिससे बीमा कंपनियों के लिए जोखिम का प्रबंधन करना मुश्किल हो जाता है।
वही गणितीय मॉडल युद्धों और आतंकवादी हमलों में मौतों की संख्या के साथ-साथ अन्य, बहुत अधिक शांतिपूर्ण चीजों का वर्णन करता है, जैसे कि उपन्यास में शब्दों की संख्या या किसी व्यक्ति के यौन साझेदारों की संख्या।
हालांकि लंबी पूंछ का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले विशेषण उन्हें बहुत अनुकूल प्रकाश में नहीं डालते हैं, "पूंछ" वितरण गर्व से अपनी पूंछ लेते हैं। बोल्ड, भारी और लंबा? हां यह है। लेकिन इस मामले में, मुझे दिखाओ कि कौन सा सामान्य है?
यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:
क्वांटा
स्कॉट पैटरसन
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शेयर बाजार का भौतिकी
जेम्स वेदरॉली
एक्स की खुशी
ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़
दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
प्रकाशक से जानकारी
पहली बार रूसी में प्रकाशित
स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c/o ब्रोकमैन, इंक. की अनुमति से प्रकाशित।
स्ट्रोगेट्स, पी।
द प्लेजर ऑफ एक्स। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक / स्टीवन स्ट्रोगेट्स से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा; प्रति. अंग्रेज़ी से। - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।
आईएसबीएन 978-500057-008-1
यह पुस्तक गणित के प्रति आपके दृष्टिकोण को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता को समझें, अभिन्न कलन की सुंदरता से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत से संपर्क करें। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण ढंग से समझाता है, ऐसे शानदार उदाहरण देता है जिन्हें हर कोई समझ सकता है।
सर्वाधिकार सुरक्षित।
कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक का कोई भी भाग किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।
प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है
© स्टीवन स्ट्रोगेट्ज, 2012 सर्वाधिकार सुरक्षित
© रूसी में अनुवाद, रूसी में संस्करण, डिजाइन। एलएलसी "मान, इवानोव और फेरबर", 2014
प्रस्तावना
मेरा एक दोस्त है, जो अपने व्यापार के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह उत्साहपूर्वक मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम विकास के बारे में बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित की बात करते हैं, उसे अपने घुटनों में कंपन महसूस होता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।
दरअसल, गणित के प्रति उनकी नापसंदगी का कारण कहीं ज्यादा गहरा है। वह कभी नहीं समझ पाएगा कि गणितज्ञ आमतौर पर क्या करते हैं और उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि यह प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठ जाना चाहिए और उसे मूल बातें सिखाना शुरू कर देना चाहिए, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2 से, और जितना हो सके गणित में जाना चाहिए।
और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, मैं इस पुस्तक में इसे लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान की सभी प्रमुख शाखाओं के माध्यम से मार्गदर्शन करूंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसे ले सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ता है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।
हम सीखेंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम जीवन के कुछ बड़े और छोटे रहस्यों की तह तक जाने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी खेलने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।
गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप एक ज़ेबरा के पीछे साइनसॉइड देख सकते हैं, आप स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएं हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करने वाले रेस्तरां की तलाश करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार में भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।
जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "फंडामेंटल्स ऑफ मैथमेटिक्स" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां आईं, जिनमें कई छात्र और शिक्षक थे। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से, गणितीय विज्ञान की समझ में "अपना रास्ता भटक गए"; अब उन्हें लगता है कि उन्होंने कुछ याद किया है और फिर से प्रयास करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि मेरी मदद से वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे स्वयं इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लगता था कि मेरे साथियों और साथियों ने, जो इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक थे, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरी संतानों को सुधारने के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।
लोकप्रिय धारणा के बावजूद, समाज में गणित में स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल गणित के डर के बारे में सुनते हैं, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना मुश्किल होगा।
यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के सबसे जटिल और उन्नत विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं, और वास्तव में एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की उस पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको थोड़ी गणितीय भूख लगे, अगले अध्याय को लेने में संकोच न करें। यदि आप उस मुद्दे को और अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और सिफारिशों के साथ नोट्स हैं कि आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।
चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने विषय के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।
भाग I "नंबर" किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करता है। यह दिखाता है कि संख्याएँ कितनी उपयोगी हो सकती हैं और कैसे वे हमारे आसपास की दुनिया का वर्णन करने में जादुई रूप से प्रभावी हैं।
भाग II "अनुपात" संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के संबंधों की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने के लिए पहला उपकरण है कि एक दूसरे को कैसे प्रभावित करता है, विभिन्न चीजों के कारण संबंध को दर्शाता है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार के रिश्ते जो दुनिया को बनाते हैं इतना विविध और समृद्ध ..
भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं है, बल्कि आंकड़ों और स्थान के बारे में है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। ये विषय, तार्किक तर्क और प्रमाणों की सहायता से रूपों के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ, गणित को सटीकता के एक नए स्तर तक बढ़ाते हैं।
भाग IV "परिवर्तन का समय" में हम गणित को देखेंगे - गणित का सबसे प्रभावशाली और बहुआयामी क्षेत्र। कलन ग्रहों के प्रक्षेपवक्र, ज्वार के चक्रों की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, और ब्रह्मांड में और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में एक महत्वपूर्ण स्थान अनंत के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसकी शांति एक सफलता थी जिसने गणनाओं को काम करने की अनुमति दी। कम्प्यूटिंग ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की, और इसने अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में क्रांति ला दी।
भाग V "डेटा के कई पहलू" संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा प्रोसेसिंग से संबंधित है - ये अभी भी अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र हैं, जो हमारे जीवन के हमेशा क्रमबद्ध पहलुओं से उत्पन्न नहीं होते हैं, जैसे अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम, अस्थिरता, यादृच्छिकता , परस्पर निर्भरता। सही गणित उपकरण और सही डेटा प्रकारों का उपयोग करके, हम पैटर्न को यादृच्छिकता की धारा में खोजना सीखेंगे।
हमारी यात्रा के अंत में, भाग VI "द लिमिट्स ऑफ द पॉसिबल" में, हम गणितीय ज्ञान की सीमा तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी भी मायावी है और ज्ञात नहीं है, के बीच का सीमा क्षेत्र। हम फिर से उन विषयों के बारे में जानेंगे जिन्हें हम पहले से जानते हैं: संख्याएं, अनुपात, आकार, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को अपने आधुनिक अवतार में अधिक गहराई से विचार करेंगे।
मुझे आशा है कि आप इस पुस्तक के सभी विचारों को रोमांचक पाएंगे और आपको एक से अधिक बार "अच्छा, अच्छा!" कहने पर मजबूर करेंगे। लेकिन आपको हमेशा कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होती है, तो चलिए गिनती जैसी सरल लेकिन आकर्षक क्रिया से शुरू करते हैं।
1. संख्या मूल बातें: मछली जोड़ना
संख्याओं की अवधारणा का सबसे अच्छा प्रदर्शन जो मैंने कभी देखा है (संख्याएं क्या हैं और हमें उनकी आवश्यकता क्यों है इसका सबसे स्पष्ट और सबसे मजेदार स्पष्टीकरण) मैंने लोकप्रिय बच्चों के शो सेसम स्ट्रीट के एक एपिसोड में देखा जिसे 123: काउंटिंग टुगेदर »(123 मेरे साथ काउंटर)। एक्स...
