जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, संभाव्यता वितरण के उदाहरण निरंतर यादृच्छिक चर एक्स हैं:
- एक सतत यादृच्छिक चर का एकसमान संभाव्यता वितरण;
- एक सतत यादृच्छिक चर का घातीय संभाव्यता वितरण;
- सामान्य वितरण एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाएं।
आइए हम समान और घातीय वितरण कानूनों की अवधारणा, संभाव्यता सूत्र और माने गए कार्यों की संख्यात्मक विशेषताओं को दें।
| सूचक | यादृच्छिक वितरण कानून | वितरण का घातीय नियम |
|---|---|---|
| परिभाषा | वर्दी कहा जाता है एक सतत यादृच्छिक चर X का प्रायिकता वितरण, जिसका घनत्व अंतराल पर स्थिर रहता है और इसका रूप होता है | एक घातांक (घातांक) कहलाता है एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण, जिसे एक घनत्व के रूप में वर्णित किया गया है |
 जहाँ एक स्थिर धनात्मक मान है |
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| वितरण समारोह |  |
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| संभावना अंतराल मारना |  |
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| अपेक्षित मूल्य |  |
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| फैलाव |  |
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| मानक विचलन |  |
"वितरण के समान और घातीय नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण
कार्य 1।
निर्धारित समय के अनुसार ही बसें चलती हैं। आंदोलन अंतराल 7 मिनट। खोजें: (ए) एक यात्री के स्टॉप पर आने की संभावना दो मिनट से कम समय के लिए अगली बस की प्रतीक्षा करेगी; बी) संभावना है कि स्टॉप पर पहुंचने वाला यात्री कम से कम तीन मिनट के लिए अगली बस की प्रतीक्षा करेगा; ग) गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर X का मानक विचलन - यात्री का प्रतीक्षा समय।
फेसला। 1. समस्या की स्थिति के अनुसार, एक सतत यादृच्छिक चर X=(यात्री प्रतीक्षा समय) समान रूप से वितरित दो बसों के आने के बीच यादृच्छिक चर X के वितरण अंतराल की लंबाई b-a=7 के बराबर है, जहां a=0, b=7.
2. यदि यादृच्छिक मान X अंतराल (5;7) के भीतर आता है, तो प्रतीक्षा समय दो मिनट से कम होगा। दिए गए अंतराल में गिरने की प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: पी (एक्स 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
पी(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. यदि यादृच्छिक मान X अंतराल (0; 4) में आता है, तो प्रतीक्षा समय कम से कम तीन मिनट (अर्थात तीन से सात मिनट तक) होगा। दिए गए अंतराल में गिरने की प्रायिकता सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: पी (एक्स 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
पी(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. एक निरंतर, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा - यात्री का प्रतीक्षा समय, हम सूत्र द्वारा पाते हैं: एम(एक्स)=(ए+बी)/2. एम (एक्स) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5।
5. एक सतत, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का मानक विचलन - यात्री का प्रतीक्षा समय, हम सूत्र द्वारा पाते हैं: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02।
कार्य 2.
घातांक वितरण x 0 के लिए घनत्व f(x) = 5e - 5x द्वारा दिया गया है। आवश्यक: ए) वितरण समारोह के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें; बी) संभावना का पता लगाएं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक्स अंतराल (1; 4) में आता है; ग) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण X 2 के परिणामस्वरूप; डी) एम (एक्स), डी (एक्स), σ (एक्स) की गणना करें।
फेसला। 1. चूंकि, शर्त के अनुसार, घातांकी रूप से वितरण , फिर यादृच्छिक चर X के संभाव्यता वितरण घनत्व के सूत्र से हम λ = 5 प्राप्त करते हैं। तब वितरण फ़ंक्शन का रूप होगा:
2. संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स अंतराल (1; 4) में आता है, सूत्र द्वारा पाया जाएगा:
पी(ए< X < b) = e −λa − e −λb
.
पी(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. संभावना है कि परीक्षण X 2 के परिणामस्वरूप सूत्र द्वारा पाया जाएगा: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
(Х≥2) = पी(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. हम घातांक वितरण के लिए पाते हैं:
- सूत्र M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2 के अनुसार गणितीय अपेक्षा;
- सूत्र डी (एक्स) \u003d 1 / 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04 के अनुसार फैलाव;
- सूत्र (X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 के अनुसार मानक विचलन।
इस मुद्दे का लंबे समय से विस्तार से अध्ययन किया गया है, और 1958 में जॉर्ज बॉक्स, मर्विन मुलर और जॉर्ज मार्सग्लिया द्वारा प्रस्तावित ध्रुवीय निर्देशांक की विधि का सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। यह विधि आपको गणितीय अपेक्षा 0 और विचरण 1 के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की एक जोड़ी प्राप्त करने की अनुमति देती है:
जहां Z 0 और Z 1 वांछित मान हैं, s \u003d u 2 + v 2, और u और v यादृच्छिक चर हैं जो समान रूप से खंड (-1, 1) पर वितरित किए जाते हैं, इस तरह से चुना जाता है कि स्थिति 0< s < 1.
कई लोग बिना सोचे-समझे भी इन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं, और कई को उनके अस्तित्व पर संदेह भी नहीं होता है, क्योंकि वे तैयार किए गए कार्यान्वयन का उपयोग करते हैं। लेकिन ऐसे लोग हैं जिनके पास सवाल हैं: “यह सूत्र कहाँ से आया? और आपको एक ही बार में मूल्यों की एक जोड़ी क्यों मिलती है? आगे मैं इन सवालों का स्पष्ट जवाब देने की कोशिश करूंगा।
सबसे पहले, मैं आपको याद दिला दूं कि प्रायिकता घनत्व, यादृच्छिक चर का वितरण फलन और प्रतिलोम फलन क्या है। मान लीजिए कि कोई यादृच्छिक चर है, जिसका वितरण घनत्व फलन f(x) द्वारा दिया जाता है, जिसका निम्न रूप है:
इसका मतलब है कि इस यादृच्छिक चर का मान अंतराल (ए, बी) में होने की संभावना छायांकित क्षेत्र के क्षेत्र के बराबर है। और परिणामस्वरूप, पूरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल एकता के बराबर होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्थिति में यादृच्छिक चर का मान फ़ंक्शन f के डोमेन में आ जाएगा।
यादृच्छिक चर का वितरण फलन घनत्व फलन का अभिन्न अंग है। और इस मामले में, इसका अनुमानित रूप इस प्रकार होगा:
यहाँ अर्थ यह है कि यादृच्छिक चर का मान प्रायिकता B के साथ A से कम होगा। और परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन कभी कम नहीं होता है, और इसके मान अंतराल में होते हैं।
एक उलटा फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो मूल फ़ंक्शन का तर्क देता है यदि आप इसमें मूल फ़ंक्शन का मान पास करते हैं। उदाहरण के लिए, फलन x 2 के लिए व्युत्क्रम मूल निष्कर्षण फलन होगा, sin (x) के लिए यह arcsin (x), आदि है।
चूंकि अधिकांश छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर आउटपुट पर केवल एक समान वितरण देते हैं, इसलिए अक्सर इसे किसी अन्य में परिवर्तित करना आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, एक सामान्य गाऊसी के लिए:
एक समान वितरण को किसी अन्य वितरण में बदलने के लिए सभी विधियों का आधार उलटा परिवर्तन विधि है। यह निम्नानुसार काम करता है। एक फ़ंक्शन पाया जाता है जो आवश्यक वितरण के कार्य के विपरीत होता है, और एक यादृच्छिक चर समान रूप से खंड (0, 1) पर वितरित किया जाता है, इसे एक तर्क के रूप में पारित किया जाता है। आउटपुट पर, हम आवश्यक वितरण के साथ एक मान प्राप्त करते हैं। स्पष्टता के लिए, यहाँ निम्न चित्र है।
इस प्रकार, एक समान खंड, जैसा कि यह था, नए वितरण के अनुसार स्मियर किया गया, एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन के माध्यम से दूसरे अक्ष पर प्रक्षेपित किया जा रहा है। लेकिन समस्या यह है कि गाऊसी वितरण के घनत्व का अभिन्न गणना करना आसान नहीं है, इसलिए उपरोक्त वैज्ञानिकों को धोखा देना पड़ा।
एक ची-वर्ग वितरण (पियर्सन वितरण) है, जो k स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण है। और मामले में जब k = 2, यह वितरण घातीय है।
इसका अर्थ यह है कि यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु में यादृच्छिक एक्स और वाई निर्देशांक सामान्य रूप से वितरित होते हैं, तो इन निर्देशांक को ध्रुवीय प्रणाली (आर, θ) में परिवर्तित करने के बाद, त्रिज्या का वर्ग (मूल से बिंदु तक की दूरी) घातीय रूप से वितरित किया जाएगा, क्योंकि त्रिज्या का वर्ग निर्देशांक के वर्गों का योग है (पायथागॉरियन कानून के अनुसार)। विमान पर ऐसे बिंदुओं का वितरण घनत्व इस तरह दिखेगा:
चूँकि यह सभी दिशाओं में समान है, कोण का 0 से 2π के परास में एकसमान वितरण होगा। इसका विलोम भी सत्य है: यदि आप दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर (कोण समान रूप से वितरित और त्रिज्या घातांकी रूप से वितरित) का उपयोग करके ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु निर्दिष्ट करते हैं, तो इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर होंगे। और समान उलटा परिवर्तन विधि का उपयोग करके, एक समान वितरण से घातीय वितरण प्राप्त करना पहले से ही बहुत आसान है। यह बॉक्स-मुलर ध्रुवीय पद्धति का सार है।
अब आइए सूत्र प्राप्त करें।
(1)
आर और θ प्राप्त करने के लिए, खंड (0, 1) पर समान रूप से वितरित दो यादृच्छिक चर उत्पन्न करना आवश्यक है (चलिए उन्हें यू और वी कहते हैं), जिनमें से एक का वितरण (मान लें वी) को घातीय में परिवर्तित किया जाना चाहिए त्रिज्या प्राप्त करें। घातीय वितरण फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:
इसका उलटा कार्य:
चूंकि समान वितरण सममित है, परिवर्तन फ़ंक्शन के साथ समान रूप से कार्य करेगा
यह ची-स्क्वायर वितरण सूत्र से निम्नानुसार है कि = 0.5। हम इस फ़ंक्शन में λ, v को प्रतिस्थापित करते हैं और त्रिज्या का वर्ग प्राप्त करते हैं, और फिर स्वयं त्रिज्या:
हम इकाई खंड को 2π तक खींचकर कोण प्राप्त करते हैं:
अब हम r और को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
(2)
ये सूत्र उपयोग के लिए तैयार हैं। एक्स और वाई स्वतंत्र होंगे और सामान्य रूप से 1 के विचरण और 0 के माध्य के साथ वितरित किए जाएंगे। अन्य विशेषताओं के साथ वितरण प्राप्त करने के लिए, मानक विचलन द्वारा फ़ंक्शन के परिणाम को गुणा करने और माध्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है।
लेकिन कोण को सीधे नहीं, बल्कि अप्रत्यक्ष रूप से एक सर्कल में एक यादृच्छिक बिंदु के आयताकार निर्देशांक के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों से छुटकारा पाना संभव है। फिर, इन निर्देशांकों के माध्यम से, त्रिज्या वेक्टर की लंबाई की गणना करना संभव होगा, और फिर क्रमशः x और y को विभाजित करके कोसाइन और साइन का पता लगाएं। यह कैसे और क्यों काम करता है?
हम इकाई त्रिज्या के वृत्त में समान रूप से वितरित से एक यादृच्छिक बिंदु चुनते हैं और इस बिंदु के त्रिज्या वेक्टर की लंबाई के वर्ग को अक्षर s द्वारा निरूपित करते हैं:
पसंद यादृच्छिक x और y आयताकार निर्देशांक को अंतराल (-1, 1) में समान रूप से वितरित करके बनाया जाता है, और उन बिंदुओं को त्यागना जो सर्कल से संबंधित नहीं हैं, साथ ही केंद्रीय बिंदु जिस पर त्रिज्या वेक्टर का कोण है परिभाषित नहीं। यानी शर्त 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
हमें सूत्र मिलते हैं, जैसा कि लेख की शुरुआत में है। इस पद्धति का नुकसान उन बिंदुओं की अस्वीकृति है जो सर्कल में शामिल नहीं हैं। यानी उत्पन्न यादृच्छिक चर के केवल 78.5% का उपयोग करना। पुराने कंप्यूटरों पर, त्रिकोणमितीय कार्यों की कमी अभी भी एक बड़ा फायदा था। अब, जब एक प्रोसेसर निर्देश एक साथ एक पल में साइन और कोसाइन की गणना करता है, तो मुझे लगता है कि ये विधियां अभी भी प्रतिस्पर्धा कर सकती हैं।
व्यक्तिगत रूप से, मेरे दो और प्रश्न हैं:
- s का मान समान रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
- दो सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों का योग घातीय रूप से क्यों वितरित किया जाता है?
यदि सामान्य यादृच्छिक चर के लिए एक समान परिवर्तन किया जाता है, तो इसके वर्ग का घनत्व कार्य हाइपरबोला के समान हो जाएगा। और सामान्य यादृच्छिक चर के दो वर्गों का जोड़ पहले से ही दोहरे एकीकरण से जुड़ी एक अधिक जटिल प्रक्रिया है। और तथ्य यह है कि परिणाम एक घातीय वितरण होगा, व्यक्तिगत रूप से, यह मेरे लिए एक व्यावहारिक विधि से जांचना या इसे एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार करना बाकी है। और रुचि रखने वालों के लिए, मेरा सुझाव है कि आप इन पुस्तकों से ज्ञान प्राप्त करते हुए अपने आप को इस विषय से परिचित कराएँ:
- वेंटजेल ई.एस. सिद्धांत संभावना
- नट डी.ई. प्रोग्रामिंग वॉल्यूम 2 की कला
अंत में, मैं जावास्क्रिप्ट में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या जनरेटर के कार्यान्वयन का एक उदाहरण दूंगा:
फ़ंक्शन गॉस () ( वर तैयार = झूठा; वर दूसरा = 0.0; यह। अगला = फ़ंक्शन (माध्य, देव) (माध्य = माध्य == अपरिभाषित? 0.0: माध्य; देव = देव == अपरिभाषित? 1.0: देव; अगर ( this.ready) (this.ready = false; return this.second * dev + माध्य;) और (var u, v, s; do (u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) जबकि (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; वापसी r * v * dev + माध्य;)); ) g = नया गॉस (); // एक ऑब्जेक्ट बनाएं a = g.next (); // मूल्यों की एक जोड़ी उत्पन्न करें और पहला प्राप्त करें b = g.next (); // दूसरा c = g.next () प्राप्त करें; // फिर से मूल्यों की एक जोड़ी उत्पन्न करें और पहला प्राप्त करें
माध्य (गणितीय अपेक्षा) और देव (मानक विचलन) पैरामीटर वैकल्पिक हैं। मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि लघुगणक स्वाभाविक है।
एक वितरण को एक समान माना जाता है यदि एक यादृच्छिक चर के सभी मान (इसके अस्तित्व के क्षेत्र में, उदाहरण के लिए, अंतराल में) समान रूप से संभावित हैं। ऐसे यादृच्छिक चर के वितरण फलन का रूप है:
वितरण घनत्व: 
1
चावल। वितरण फ़ंक्शन (बाएं) और वितरण घनत्व (दाएं) के ग्राफ़।
समान वितरण - अवधारणा और प्रकार। "वर्दी वितरण" 2017, 2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।
यादृच्छिक चर के मूल असतत वितरण परिभाषा 1. यादृच्छिक चर , मान 1, 2, ..., n लेते हुए, एक समान वितरण होता है यदि Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n . जाहिर है कि। निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।एक कलश में N गेंदें हैं, जिनमें से M सफेद हैं...।
निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण के नियम परिभाषा 5. एक सतत यादृच्छिक चर X, अंतराल पर एक मान लेते हुए, एक समान वितरण होता है यदि वितरण घनत्व का रूप है। (1) यह सत्यापित करना आसान है कि, . यदि एक यादृच्छिक चर ....
एक वितरण को एक समान माना जाता है यदि एक यादृच्छिक चर के सभी मान (इसके अस्तित्व के क्षेत्र में, उदाहरण के लिए, अंतराल में) समान रूप से संभावित हैं। ऐसे यादृच्छिक चर के वितरण फलन का रूप है: वितरण घनत्व: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... ।
सामान्य वितरण कानून एकसमान, घातीय और समान कानून का संभाव्यता घनत्व कार्य है: (10.17) जहां ए और बी संख्याएं दी गई हैं, ए< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
एकसमान संभाव्यता वितरण सबसे सरल है और या तो असतत या निरंतर हो सकता है। असतत समान वितरण एक ऐसा वितरण है जिसके लिए CB के प्रत्येक मान की प्रायिकता समान है, अर्थात: जहाँ N संख्या है ...।
परिभाषा 16. एक सतत यादृच्छिक चर का अंतराल पर एक समान वितरण होता है, यदि इस खंड पर इस यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व स्थिर है, और इसके बाहर शून्य के बराबर है, अर्थात (45) एक समान वितरण के लिए घनत्व ग्राफ है दिखाया गया...
एक सतत यादृच्छिक चर के उदाहरण के रूप में, एक यादृच्छिक चर X को अंतराल पर समान रूप से वितरित (a; b) पर विचार करें। हम कहते हैं कि यादृच्छिक चर X समान रूप से वितरित अंतराल (ए; बी) पर, यदि इसका वितरण घनत्व इस अंतराल पर स्थिर नहीं है:
सामान्यीकरण की स्थिति से, हम स्थिरांक c का मान निर्धारित करते हैं। वितरण घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र एक के बराबर होना चाहिए, लेकिन हमारे मामले में यह एक आधार (बी - α) और ऊंचाई सी (छवि 1) के साथ एक आयत का क्षेत्र है। 
चावल। 1 समान वितरण घनत्व
यहाँ से हम अचर c का मान ज्ञात करते हैं: 
तो, एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का घनत्व बराबर है 
आइए अब सूत्र द्वारा वितरण फलन ज्ञात करें:
1) के लिए 
2) के लिए
3) 0+1+0=1 के लिए।
इस प्रकार, 
वितरण फलन सतत है और घटता नहीं है (चित्र 2)। 
चावल। 2 समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य
हमे पता करने दें एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षासूत्र के अनुसार:
समान वितरण विचरणसूत्र द्वारा गणना की जाती है और बराबर है
उदाहरण 1। मापक यंत्र का स्केल डिवीजन मान 0.2 है। इंस्ट्रूमेंट रीडिंग को निकटतम पूरे डिवीजन में गोल किया जाता है। पढ़ने के दौरान त्रुटि होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) 0.04 से कम; बी) बड़ा 0.02
फेसला। गोलाई त्रुटि एक यादृच्छिक चर है जो समान रूप से आसन्न पूर्णांक विभाजनों के बीच अंतराल पर वितरित किया जाता है। इस तरह के एक विभाजन के रूप में अंतराल (0; 0.2) पर विचार करें (चित्र ए)। राउंडिंग को बाईं सीमा - 0, और दाईं ओर - 0.2 दोनों की ओर किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 0.04 से कम या उसके बराबर की त्रुटि दो बार की जा सकती है, जिसे संभाव्यता की गणना करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए: 
पी = 0.2 + 0.2 = 0.4
दूसरे मामले के लिए, दोनों डिवीजन सीमाओं पर त्रुटि मान 0.02 से अधिक हो सकता है, अर्थात यह 0.02 से अधिक या 0.18 से कम हो सकता है। 
फिर इस तरह की त्रुटि की संभावना:
उदाहरण # 2। यह मान लिया गया था कि पिछले 50 वर्षों में देश में आर्थिक स्थिति की स्थिरता (युद्धों, प्राकृतिक आपदाओं, आदि की अनुपस्थिति) को आयु के अनुसार जनसंख्या के वितरण की प्रकृति से आंका जा सकता है: एक शांत स्थिति में, यह होना चाहिए वर्दी. अध्ययन के परिणामस्वरूप, किसी एक देश के लिए निम्नलिखित डेटा प्राप्त किया गया था।
क्या यह मानने का कोई कारण है कि देश में अस्थिर स्थिति थी?हम कैलकुलेटर परिकल्पना परीक्षण का उपयोग करके निर्णय लेते हैं. संकेतकों की गणना के लिए तालिका।
| समूहों | अंतराल मध्य, x i | मात्रा, फाई | एक्स आई * एफ आई | संचयी आवृत्ति, एस | |एक्स - एक्स सीएफ |*एफ | (एक्स - एक्स एसआर) 2 * एफ | आवृत्ति, च मैं /एन |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
भारित औसत
विविधता संकेतक.
पूर्ण भिन्नता दर.
भिन्नता की सीमा प्राथमिक श्रृंखला की विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है।
आर = एक्स अधिकतम - एक्स मिनट
आर = 70 - 0 = 70
फैलाव- इसके माध्य मान के चारों ओर फैलाव के माप की विशेषता है (फैलाव का माप, यानी माध्य से विचलन)।
मानक विचलन.
श्रृंखला का प्रत्येक मान 43 के औसत मान से 23.92 . से अधिक नहीं भिन्न होता है
वितरण के प्रकार के बारे में परीक्षण परिकल्पना.
4. के बारे में परिकल्पना का परीक्षण वर्दी वितरणसामान्य जनसंख्या।
X के समान वितरण के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, अर्थात। कानून के अनुसार: f(x) = 1/(b-a) अंतराल में (a,b)
ज़रूरी:
1. पैरामीटर ए और बी का अनुमान लगाएं - अंतराल के अंत जिसमें एक्स के संभावित मान देखे गए थे, सूत्रों के अनुसार (* पैरामीटर अनुमानों को दर्शाता है):
2. अनुमानित वितरण का प्रायिकता घनत्व ज्ञात कीजिए f(x) = 1/(b * - a *)
3. सैद्धांतिक आवृत्तियों का पता लगाएं:
एन 1 \u003d एनपी 1 \u003d एन \u003d एन * 1 / (बी * - ए *) * (एक्स 1 - ए *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या मानते हुए, पियर्सन परीक्षण का उपयोग करके अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों की तुलना करें k = s-3, जहां s प्रारंभिक नमूना अंतराल की संख्या है; यदि, हालांकि, छोटी आवृत्तियों का संयोजन, और इसलिए स्वयं अंतराल बनाया गया था, तो संयोजन के बाद शेष अंतरालों की संख्या s है।
फेसला:
1. सूत्रों का उपयोग करके समान वितरण के पैरामीटर a * और b * का अनुमान लगाएं:
2. कल्पित समान वितरण का घनत्व ज्ञात कीजिए:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. सैद्धांतिक आवृत्तियों का पता लगाएं:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
शेष n s बराबर होंगे:
एन एस = एन * एफ (एक्स) (एक्स आई - एक्स आई -1)
| मैं | मैं | एन*आई | एन मैं - एन * मैं | (एन मैं - एन * मैं) 2 | (एन मैं - एन * मैं) 2 /एन * मैं |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6ई-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5ई-5 | 0.000199 |
| कुल | 1 | 0.0532 |
इसलिए, इस आँकड़ों के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्र हमेशा दाएँ हाथ का होता है: . यदि इस खंड पर यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व स्थिर है, अर्थात यदि अंतर वितरण कार्य एफ (एक्स) निम्नलिखित रूप है:
इस वितरण को कभी-कभी कहा जाता है एकसमान घनत्व का नियम. एक मात्रा के बारे में जिसका एक निश्चित खंड पर समान वितरण होता है, हम कहेंगे कि यह इस खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है।
स्थिरांक c का मान ज्ञात कीजिए। चूंकि वितरण वक्र और अक्ष से घिरा क्षेत्र ओह, 1 के बराबर है, तो
कहाँ पे साथ=1/(बी-ए)।
अब समारोह एफ (एक्स)के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
आइए वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें
एफ (एक्स ), जिसके लिए हम व्यंजक पाते हैंएफ (एक्स) अंतराल पर [ ए, बी]:
फ़ंक्शन f (x) और F (x) के ग्राफ़ इस तरह दिखते हैं:
आइए संख्यात्मक विशेषताओं को खोजें।
NSW की गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
इस प्रकार, अंतराल पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा [ए, बी] इस खंड के मध्य के साथ मेल खाता है।
एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
जिससे यह तुरंत इस प्रकार है कि मानक विचलन:
आइए अब प्रायिकता ज्ञात करें कि एक समान वितरण वाले यादृच्छिक चर का मान अंतराल पर पड़ता है(ए, बी), पूरी तरह से खंड से संबंधित [ए,बी
]:
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ज्यामितीय रूप से, यह संभावना छायांकित आयत का क्षेत्रफल है। नंबर एऔर
बीबुलाया वितरण पैरामीटरऔरएक समान वितरण को विशिष्ट रूप से परिभाषित करें।उदाहरण 1। एक निश्चित रूट की बसें शेड्यूल के अनुसार सख्ती से चलती हैं। आंदोलन अंतराल 5 मिनट। यात्री के बस स्टॉप पर पहुंचने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 3 मिनट से भी कम समय में अगली बस का इंतजार करेंगे।
फेसला:
एसटी - बस प्रतीक्षा समय में एक समान वितरण होता है। तब वांछित संभावना इसके बराबर होगी:
उदाहरण 2। घन x के किनारे को लगभग मापा जाता है। और
घन के किनारे को अंतराल में समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर के रूप में मानते हुए (
ए,बी), घन के आयतन की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।फेसला:
क्यूब का आयतन एक यादृच्छिक चर है जो अभिव्यक्ति Y \u003d X 3 द्वारा निर्धारित किया जाता है। तब गणितीय अपेक्षा है:
फैलाव:
ऑनलाइन सेवा:
