यह चित्र अंतराल [-5; 6]. ग्राफ़ f (x) के उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक में फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा संपाती होती है या x-अक्ष के समानांतर होती है
चित्र एक अवकलनीय फलन y = f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें, खंड से संबंधित[–7; 7], जिसमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा समीकरण y = -3x द्वारा दी गई सीधी रेखा के समानांतर होती है।
सामग्री बिंदु M बिंदु A से शुरू होता है और 12 सेकंड के लिए एक सीधी रेखा में चलता है। ग्राफ दिखाता है कि समय के साथ बिंदु A से बिंदु M तक की दूरी कैसे बदल गई। भुज सेकंड में समय t दिखाता है, कोटि मीटर में दूरी s दिखाता है। निर्धारित करें कि आंदोलन के दौरान कितनी बार बिंदु M की गति शून्य हो गई (आंदोलन की शुरुआत और अंत को अनदेखा करें)।
यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ के वर्गों और एब्सिसा x \u003d 0 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा को दर्शाता है। यह ज्ञात है कि यह स्पर्शरेखा के बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समानांतर है एब्सिसस x \u003d -2 और x \u003d 3 के साथ ग्राफ। इसका उपयोग करके, व्युत्पन्न f "(o) का मान ज्ञात करें।
यह आंकड़ा एक ग्राफ y = f'(x) दिखाता है - खंड (−11; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न। उस बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए जहाँ फलन y = f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर या संपाती होती है।
सामग्री बिंदु कानून के अनुसार सीधा चलता है x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, कहा पे x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, t सेकंड में मापा गया समय है आंदोलन की शुरुआत से। किस समय (सेकंड में) उसकी गति 2 मीटर/सेकेंड के बराबर थी?
भौतिक बिंदु प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक एक सीधी रेखा के साथ चलता है। यह आंकड़ा इसके आंदोलन का एक ग्राफ दिखाता है। भुज सेकंड में समय दिखाता है, कोटि से दूरी दिखाता है प्रारंभिक स्थितिअंक (मीटर में)। पाना औसत गतिबिंदु आंदोलन। अपना उत्तर मीटर प्रति सेकेंड में दें।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [-4; 4]. आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ में बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें, स्पर्शरेखा जिसमें ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ 45 ° का कोण बनता है।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) को खंड [-2] पर परिभाषित किया गया है; 4]. आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ बिंदु का भुज ज्ञात करें, जिस पर यह लेता है सबसे छोटा मानअंतराल पर [-2; -0.001]।
यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को बिंदु x0 पर दिखाता है। स्पर्शरेखा समीकरण y = -2x + 15 द्वारा दी गई है। फ़ंक्शन y = -(1/4)f(x) + 5 के बिंदु x0 पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें।
अवकलनीय फलन y = f(x): x1,..,x7 के ग्राफ पर सात बिंदु अंकित हैं। सभी चिह्नित बिंदु खोजें जहां फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है। अपने उत्तर में इन बिंदुओं की संख्या दर्ज करें।
यह आंकड़ा अंतराल (-10; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ y \u003d f "(x) दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं, जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है f (x) रेखा y \u003d -2x-11 के समानांतर है या इससे मेल खाता है।
यह आंकड़ा y \u003d f "(x) का ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। x-अक्ष पर नौ बिंदु चिह्नित हैं: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , एक्स 8, एक्स 9।
इनमें से कितने बिंदु घटते फलन f(x) के अंतराल से संबंधित हैं?
यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को बिंदु x0 पर दिखाता है। स्पर्शरेखा समीकरण y = 1.5x + 3.5 द्वारा दी गई है। फ़ंक्शन y \u003d 2f (x) - 1 के व्युत्पन्न का मान बिंदु x0 पर ज्ञात करें।
चित्र y=F(x) में से एक का ग्राफ दिखाता है व्युत्पन्न कार्यएफ (एक्स)। ग्राफ पर भुज x1, x2, ..., x6 के साथ छह बिंदु अंकित हैं। इनमें से कितने बिंदुओं पर फलन y=f(x) ऋणात्मक मान लेता है?
यह आंकड़ा मार्ग के साथ कार का शेड्यूल दिखाता है। समय को भुज अक्ष (घंटों में) पर, कोर्डिनेट अक्ष पर - तय की गई दूरी (किलोमीटर में) पर प्लॉट किया जाता है। इस मार्ग पर कार की औसत चाल ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर km/h . में दें
भौतिक बिंदु कानून के अनुसार सीधा चलता है x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, कहा पे x संदर्भ बिंदु (मीटर में) से दूरी है, t समय है गति (सेकंड में)। समय t=6 s . पर इसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए
यह आंकड़ा कुछ फ़ंक्शन y \u003d f (x) के एंटीडेरिवेटिव y \u003d F (x) का ग्राफ दिखाता है, जिसे अंतराल (-6; 7) पर परिभाषित किया गया है। आकृति का प्रयोग करते हुए दिए गए अंतराल में फलन f(x) के शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।
यह चित्र अंतराल (-7; 5) पर परिभाषित किसी फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक का ग्राफ y = F(x) दिखाता है। आकृति का उपयोग करके, खंड [- 5; पर समीकरण f(x) = 0 के समाधान की संख्या निर्धारित करें; 2].
चित्र एक अवकलनीय फलन y=f(x) का ग्राफ दिखाता है। x-अक्ष पर नौ बिंदु अंकित हैं: x1, x2, ... x9। उन सभी चिह्नित बिंदुओं को खोजें जहां f(x) का अवकलज ऋणात्मक है। अपने उत्तर में इन बिंदुओं की संख्या दर्ज करें।
भौतिक बिंदु कानून के अनुसार सीधा चलता है x(t)=12t^3−3t^2+2t, जहां x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, t आंदोलन की शुरुआत से मापा गया सेकंड में समय है। समय t=6 s पर इसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए।
यह आंकड़ा फंक्शन y=f(x) के ग्राफ और बिंदु x0 पर खींचे गए इस ग्राफ की स्पर्शरेखा को दर्शाता है। स्पर्शरेखा समीकरण चित्र में दिखाया गया है। फ़ंक्शन y=4*f(x)-3 के बिंदु x0 पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
(चित्र .1)
चित्र 1. व्युत्पन्न का ग्राफ
व्युत्पन्न प्लॉट गुण
- बढ़ते अंतराल पर, व्युत्पन्न धनात्मक होता है। यदि कुछ अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न है सकारात्मक मूल्य, तो इस अंतराल पर फलन का ग्राफ बढ़ जाता है।
- घटते अंतराल पर, अवकलज ऋणात्मक होता है (ऋण चिह्न के साथ)। यदि कुछ अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न है नकारात्मक अर्थ, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ घटता है।
- बिंदु x पर अवकलज है कोणीय गुणांकएक ही बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा।
- फ़ंक्शन के अधिकतम-न्यूनतम बिंदुओं पर, व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है।
उदाहरण 1
व्युत्पन्न के ग्राफ (चित्र 2) के अनुसार, खंड [-3] पर किस बिंदु पर निर्धारित करें; 5] फ़ंक्शन अधिकतम है।
चित्रा 2. व्युत्पन्न का ग्राफ
समाधान: पर यह खंडव्युत्पन्न ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि फलन बाएं से दाएं की ओर घटता है, और उच्चतम मूल्यबाईं ओर बिंदु -3 पर स्थित है।
उदाहरण 2
व्युत्पन्न के ग्राफ (चित्र 3) के अनुसार, खंड पर अधिकतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें [-11; 3]।
चित्रा 3. व्युत्पन्न का ग्राफ
समाधान: अधिकतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है। इस अंतराल पर, फ़ंक्शन साइन को दो बार प्लस से माइनस में बदलता है - बिंदु -10 पर और बिंदु -1 पर। तो अधिकतम अंकों की संख्या दो है।
उदाहरण 3
व्युत्पन्न के ग्राफ (चित्र 3) के अनुसार, खंड में न्यूनतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें [-11; -एक]।
समाधान: न्यूनतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है। इस खंड पर केवल -7 ऐसा बिंदु है। इसका मतलब है कि न्यूनतम अंकों की संख्या दिया गया खंड-- एक।
उदाहरण 4
व्युत्पन्न के ग्राफ (चित्र 3) के अनुसार, चरम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें।
हल: चरम न्यूनतम और अधिकतम दोनों का बिंदु है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिन पर अवकलज परिवर्तन चिह्न लगाते हैं।
बी8. उपयोग
1. यह चित्र फलन y=f(x) का एक ग्राफ और इस ग्राफ की एक स्पर्शरेखा को दिखाता है, जो भुज x0 के साथ एक बिंदु पर खींचा गया है। बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: 2
2.
उत्तर: -5
3.
अंतराल पर (-9; 4)।
उत्तर: 2
4.
बिंदु x0 . पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए उत्तर: 0.5
5. रेखा y = 3x + 8 और फलन y = x3+x2-5x-4 के ग्राफ के बीच संपर्क बिंदु ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इस बिंदु के भुज को इंगित करें। उत्तर: -2
6.
तर्क के पूर्णांक मानों की संख्या निर्धारित करें जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है। उत्तर - 4
7.
उत्तर: 2
8.
उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y=5–x के समांतर या संपाती होती है। उत्तर: 3
9.
अंतराल (-8; 3)।
प्रत्यक्ष y = -20। उत्तर: 2
10.
उत्तर: -0.5
11
उत्तर 1
12. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: 0.5
13. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: -0.25
14.
उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y = x+7 के समांतर या संपाती होती है। उत्तर - 4
15
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: -2
16.
अंतराल (-14; 9)।
अंतराल [-12;7] पर फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। उत्तर: 3
17
अंतराल पर (-10; 8)।
अंतराल [-9;7] पर फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। जवाब: 4
18. रेखा y = 5x-7, फलन y = 6x2 + bx-1 के ग्राफ को 0 से कम भुज वाले बिंदु पर स्पर्श करती है। b ज्ञात कीजिए। जवाब: 17
19
जवाब:-0,25
20
जवाब: 6
21. फंक्शन y=x2+6x-7, लाइन y=5x+11 के समानांतर के ग्राफ के स्पर्शरेखा को खोजें। अपने उत्तर में, संपर्क बिंदु के भुज को इंगित करें। जवाब: -0,5
22.
जवाब: 4
23. एफ "(x) अंतराल पर (-16; 4)।
खंड पर [-11; 0] फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। जवाब: 1
बी8 कार्यों के रेखांकन, कार्यों के व्युत्पन्न। समारोह अनुसंधान . उपयोग
1.
यह चित्र फलन y=f(x) का एक ग्राफ और इस ग्राफ की एक स्पर्शरेखा को दिखाता है, जो भुज x0 के साथ एक बिंदु पर खींचा गया है। बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
2. यह आंकड़ा अंतराल (-6; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।
खंड के किस बिंदु पर [-5; -1] f(x) सबसे छोटा मान लेता है?
3. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y = f(x), परिभाषित के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है
अंतराल पर (-9; 4)।
उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है
y = 2x-17 या समान।
4. यह आंकड़ा फलन y = f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 . पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए
5. रेखा y = 3x + 8 और फलन y = x3+x2-5x-4 के ग्राफ के बीच संपर्क बिंदु ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इस बिंदु के भुज को इंगित करें।
6. यह आंकड़ा अंतराल (-7; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है।
तर्क के पूर्णांक मानों की संख्या निर्धारित करें जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।
7. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है, जिसे अंतराल (-8; 8) पर परिभाषित किया गया है।
खंड [-4] से संबंधित फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 6].
8. आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है, जिसे अंतराल (-8; 4) पर परिभाषित किया गया है।
उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y=5–x के समांतर या संपाती होती है।
9. चित्र y = f(x) पर परिभाषित फलन के अवकलज का ग्राफ दिखाता है
अंतराल (-8; 3)।
उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा समानांतर है
प्रत्यक्ष y = -20।
10. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
11 . यह आंकड़ा अंतराल (-9; 9) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।
खंड [-6;8] पर फ़ंक्शन $f(x)$ के न्यूनतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। 1
12. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
13. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
14. यह आंकड़ा अंतराल (-6; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।
उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y = x+7 के समांतर या संपाती होती है।
15 . यह आंकड़ा फलन y = f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
16. चित्र f(x) पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है
अंतराल (-14; 9)।
अंतराल [-12;7] पर फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
17 . यह आंकड़ा परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है
अंतराल पर (-10; 8)।
अंतराल [-9;7] पर फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
18. रेखा y = 5x-7, फलन y = 6x2 + bx-1 के ग्राफ को 0 से कम भुज वाले बिंदु पर स्पर्श करती है। b ज्ञात कीजिए।
19 . यह चित्र फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ और भुज x0 वाले बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है।
बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
20 . अंतराल (-1;12) में बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां ग्राफ पर दिखाए गए फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न 0 के बराबर है।
21. फंक्शन y=x2+6x-7, लाइन y=5x+11 के समानांतर के ग्राफ के स्पर्शरेखा को खोजें। अपने उत्तर में, संपर्क बिंदु के भुज को इंगित करें।
22. यह आंकड़ा फंक्शन y=f(x) का ग्राफ दिखाता है। अंतराल (-2;11) में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जहां फलन f(x) का अवकलज धनात्मक है।
23. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y= . का ग्राफ दिखाता हैएफ "(x) अंतराल पर (-16; 4)।
खंड पर [-11; 0] फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें।
