प्रथम अवकलज यदि किसी अंतराल में किसी फलन का अवकलज धनात्मक (ऋणात्मक) है, तो इस अंतराल में फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है (एकरस रूप से घट रहा है)। यदि किसी अंतराल में अवकलज फलन धनात्मक (ऋणात्मक) है, तो इस अंतराल में फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है (नीरस रूप से घट रहा है)। आगे
परिभाषा एक वक्र को एक बिंदु पर उत्तल कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में यह एक बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित होता है एक वक्र को एक बिंदु पर उत्तल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह एक बिंदु बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित होता है , यह एक बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित होता है एक वक्र को एक बिंदु पर अवतल कहा जाता है, यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में, यह एक बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित होता है
अवतलता और उत्तलता का चिह्न यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फलन का द्वितीय अवकलज धनात्मक है, तो इस अंतराल में वक्र अवतल होता है, और यदि ऋणात्मक है, तो इस अंतराल में उत्तल होता है। यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है, तो इस अंतराल में वक्र अवतल होता है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो इस अंतराल में उत्तल होता है। परिभाषा
फलन पर शोध करने और उसके ग्राफ की रचना करने की योजना 1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए और विराम बिंदु, यदि कोई हो, ज्ञात कीजिए या अजीब; इसकी आवर्तता की जाँच करें 2. पता करें कि फलन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जाँच करें 3. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें 3. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें 4. पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें 4. पहले के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें प्रकार 5. फलन की एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतरालों का निर्धारण करें। 5. एकरसता अंतराल और फलन के एक्स्ट्रेमा का निर्धारण करें 6. उत्तलता और अवतलता के अंतरालों को निर्धारित करें और विभक्ति बिंदु खोजें 6. उत्तलता और अवतलता के अंतरालों को निर्धारित करें और विभक्ति बिंदु खोजें 7 अध्ययन के परिणामों का उपयोग करके, एक चिकनी वक्र के प्राप्त बिंदुओं को कनेक्ट करें। अध्ययन के परिणामों का उपयोग करके, एक चिकनी वक्र के प्राप्त बिंदुओं को कनेक्ट करें।
एक व्युत्पन्न क्या है?
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा और अर्थ
एक चर और उसके अनुप्रयोगों के एक समारोह के व्युत्पन्न पर मेरे लेखक के पाठ्यक्रम में इस लेख के अप्रत्याशित स्थान से बहुत से लोग आश्चर्यचकित होंगे। आखिरकार, जैसा कि स्कूल से था: एक मानक पाठ्यपुस्तक, सबसे पहले, एक व्युत्पन्न की परिभाषा देती है, इसका ज्यामितीय, यांत्रिक अर्थ। इसके बाद, छात्र परिभाषा के अनुसार कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और वास्तव में, केवल तभी भेदभाव तकनीक का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है व्युत्पन्न सारणी.
लेकिन मेरे दृष्टिकोण से, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक व्यावहारिक है: सबसे पहले, अच्छी तरह से समझने की सलाह दी जाती है कार्य सीमा, और विशेष रूप से अतिसूक्ष्मजीव. तथ्य यह है कि व्युत्पन्न की परिभाषा एक सीमा की अवधारणा पर आधारित है, जिसे स्कूल के पाठ्यक्रम में खराब माना जाता है। यही कारण है कि ग्रेनाइट ज्ञान के युवा उपभोक्ताओं का एक महत्वपूर्ण हिस्सा व्युत्पन्न के बहुत सार में खराब रूप से प्रवेश करता है। इस प्रकार, यदि आप डिफरेंशियल कैलकुलस से अच्छी तरह वाकिफ नहीं हैं, या बुद्धिमान मस्तिष्क ने वर्षों से इस सामान से सफलतापूर्वक छुटकारा पा लिया है, तो कृपया इसके साथ शुरू करें कार्य सीमा. उसी समय मास्टर / उनके निर्णय को याद रखें।
वही व्यावहारिक अर्थ बताता है कि यह पहले लाभदायक है डेरिवेटिव खोजना सीखें, समेत जटिल कार्यों के व्युत्पन्न. सिद्धांत एक सिद्धांत है, लेकिन, जैसा कि वे कहते हैं, आप हमेशा अंतर करना चाहते हैं। इस संबंध में, सूचीबद्ध बुनियादी पाठों पर काम करना बेहतर है, और हो सकता है भेदभाव मास्टरअपने कार्यों के सार को महसूस किए बिना भी।
मैं लेख पढ़ने के बाद इस पृष्ठ पर सामग्री शुरू करने की सलाह देता हूं। व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल समस्याएं, जहां, विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की समस्या पर विचार किया जाता है। लेकिन इसमें देरी हो सकती है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न के कई अनुप्रयोगों को इसे समझने की आवश्यकता नहीं है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है कि सैद्धांतिक पाठ काफी देर से दिखाई दिया - जब मुझे समझाने की आवश्यकता थी वृद्धि / कमी और चरम सीमा के अंतराल का पता लगानाकार्य। इसके अलावा, वह इस विषय में काफी लंबे समय से थे " कार्य और रेखांकन”, जब तक मैंने इसे पहले डालने का फैसला नहीं किया।
इसलिए, प्रिय चायदानी, भूखे जानवरों की तरह व्युत्पन्न के सार को अवशोषित करने के लिए जल्दी मत करो, क्योंकि संतृप्ति बेस्वाद और अधूरी होगी।
किसी फ़ंक्शन के बढ़ने, घटने, अधिकतम, न्यूनतम की अवधारणा
कई ट्यूटोरियल कुछ व्यावहारिक समस्याओं की मदद से व्युत्पन्न की अवधारणा की ओर ले जाते हैं, और मैं एक दिलचस्प उदाहरण भी लेकर आया हूं। कल्पना कीजिए कि हमें एक ऐसे शहर की यात्रा करनी है जहां विभिन्न तरीकों से पहुंचा जा सकता है। हम घुमावदार घुमावदार रास्तों को तुरंत त्याग देते हैं, और हम केवल सीधी रेखाओं पर विचार करेंगे। हालांकि, सीधी-रेखा वाली दिशाएं भी भिन्न हैं: आप एक फ्लैट ऑटोबान के साथ शहर में जा सकते हैं। या पहाड़ी राजमार्ग पर - ऊपर और नीचे, ऊपर और नीचे। एक और सड़क केवल ऊपर की ओर जाती है, और दूसरी हर समय नीचे की ओर जाती है। रोमांच चाहने वाले एक खड़ी चट्टान और एक खड़ी चढ़ाई के साथ कण्ठ के माध्यम से एक मार्ग का चयन करेंगे।
लेकिन आपकी पसंद जो भी हो, क्षेत्र को जानना वांछनीय है, या कम से कम इसका स्थलाकृतिक मानचित्र होना चाहिए। क्या होगा अगर ऐसी कोई जानकारी नहीं है? आखिरकार, आप चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक सपाट रास्ता, लेकिन परिणामस्वरूप, मज़ेदार फिन्स के साथ स्की ढलान पर ठोकर खाते हैं। ऐसा नहीं है कि नेविगेटर और यहां तक कि एक उपग्रह छवि भी विश्वसनीय डेटा देगी। इसलिए, गणित के माध्यम से पथ की राहत को औपचारिक रूप देना अच्छा होगा।
कुछ सड़क पर विचार करें (साइड व्यू): 
बस मामले में, मैं आपको एक प्राथमिक तथ्य की याद दिलाता हूं: यात्रा होती है बाएं से दाएं. सादगी के लिए, हम मानते हैं कि फ़ंक्शन निरंतरविचाराधीन क्षेत्र में।
इस ग्राफ की विशेषताएं क्या हैं?
अंतरालों पर 
समारोह बढ़ती है, यानी, इसके अगले मूल्य में से प्रत्येक अधिकपिछला वाला। मोटे तौर पर, शेड्यूल चला जाता है नीचे ऊपर(हम पहाड़ी पर चढ़ते हैं)। और अंतराल पर समारोह घटते- प्रत्येक अगला मान छोटेपिछला वाला, और हमारा शेड्यूल चला जाता है उपर से नीचे(ढलान के नीचे जा रहा है)।
आइए विशेष बिंदुओं पर भी ध्यान दें। जिस बिंदु पर हम पहुँचते हैं ज्यादा से ज्यादा, अर्थात मौजूदपथ का ऐसा भाग जिस पर मान सबसे बड़ा (उच्चतम) होगा। उसी बिंदु पर, न्यूनतम, और मौजूदऐसा उसका पड़ोस, जिसमें मान सबसे छोटा (निम्नतम) हो।
पाठ में अधिक कठोर शब्दावली और परिभाषाओं पर विचार किया जाएगा। समारोह के चरम के बारे में, लेकिन अभी के लिए आइए एक और महत्वपूर्ण विशेषता का अध्ययन करें: अंतराल पर 
समारोह बढ़ रहा है, लेकिन यह बढ़ रहा है अलग-अलग गति से. और पहली चीज़ जो आपकी नज़र में आती है वह यह है कि चार्ट अंतराल पर ऊपर चढ़ता है बहुत अधिक शांतअंतराल की तुलना में। क्या गणितीय उपकरणों का उपयोग करके सड़क की ढलान को मापना संभव है?
फ़ंक्शन परिवर्तन दर
विचार यह है: कुछ मूल्य लें (पढ़ें "डेल्टा एक्स"), जिसे हम कहेंगे तर्क वृद्धि, और आइए अपने पथ के विभिन्न बिंदुओं पर "इस पर प्रयास करना" शुरू करें: 
1) आइए सबसे बाईं ओर देखें: दूरी को दरकिनार करते हुए, हम ढलान पर एक ऊँचाई (हरी रेखा) पर चढ़ते हैं। मान कहा जाता है समारोह वृद्धि, और इस मामले में यह वृद्धि सकारात्मक है (अक्ष के साथ मानों का अंतर शून्य से अधिक है)। चलो अनुपात बनाते हैं, जो हमारी सड़क की खड़ीपन का माप होगा। जाहिर है, एक बहुत ही विशिष्ट संख्या है, और चूंकि दोनों वेतन वृद्धि सकारात्मक हैं, इसलिए .
ध्यान! पदनाम हैं एकप्रतीक, अर्थात्, आप "x" से "डेल्टा" को "फाड़" नहीं सकते हैं और इन अक्षरों पर अलग से विचार कर सकते हैं। बेशक, टिप्पणी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि प्रतीक पर भी लागू होती है।
आइए परिणामी भिन्न की प्रकृति का अधिक अर्थपूर्ण अन्वेषण करें। मान लीजिए शुरू में हम 20 मीटर (बाएं काले बिंदु में) की ऊंचाई पर हैं। मीटर की दूरी (बाएं लाल रेखा) को पार करने के बाद, हम 60 मीटर की ऊंचाई पर होंगे। तब फ़ंक्शन की वृद्धि होगी 
मीटर (हरी रेखा) और: . इस प्रकार, हर मीटर . परसड़क का यह खंड ऊंचाई बढ़ जाती है औसत 4 मीटर . से... क्या आप अपने चढ़ाई उपकरण भूल गए? =) दूसरे शब्दों में, निर्मित अनुपात फ़ंक्शन के परिवर्तन की औसत दर (इस मामले में, वृद्धि) को दर्शाता है।
टिप्पणी : प्रश्न में उदाहरण के संख्यात्मक मान केवल चित्र के अनुपात के अनुरूप हैं।
2) अब सबसे दाहिने काले बिंदु से उतनी ही दूरी पर चलते हैं। यहां वृद्धि अधिक कोमल है, इसलिए वृद्धि (क्रिमसन लाइन) अपेक्षाकृत छोटी है, और पिछले मामले की तुलना में अनुपात काफी मामूली होगा। सापेक्षिक रूप से बोल रहे, 
मीटर और कार्य विकास दरहै । यानी यहां सड़क के हर मीटर के लिए है औसतआधा मीटर ऊपर।
3) पहाड़ पर थोड़ा रोमांच। आइए y-अक्ष पर स्थित शीर्ष काले बिंदु को देखें। मान लीजिए कि यह 50 मीटर का निशान है। फिर से हम दूरी को पार करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हम खुद को कम पाते हैं - 30 मीटर के स्तर पर। जब से आंदोलन किया गया है उपर से नीचे(अक्ष के "विपरीत" दिशा में), फिर अंतिम फ़ंक्शन की वृद्धि (ऊंचाई) ऋणात्मक होगी: 
मीटर (ड्राइंग में भूरी रेखा)। और इस मामले में हम बात कर रहे हैं क्षय दरविशेषताएँ: 
, यानी इस खंड के पथ के प्रत्येक मीटर के लिए ऊंचाई घट जाती है औसत 2 मीटर से। पांचवें बिंदु पर कपड़ों का ध्यान रखें।
अब प्रश्न पूछते हैं: उपयोग करने के लिए "मापने के मानक" का सर्वोत्तम मूल्य क्या है? यह स्पष्ट है कि 10 मीटर बहुत उबड़-खाबड़ है। एक दर्जन अच्छे धक्कों उन पर आसानी से फिट हो सकते हैं। धक्कों क्यों हैं, नीचे एक गहरी खाई हो सकती है, और कुछ मीटर के बाद - इसके दूसरी तरफ एक और खड़ी चढ़ाई के साथ। इस प्रकार, दस-मीटर एक के साथ, हमें अनुपात के माध्यम से पथ के ऐसे वर्गों की एक समझदार विशेषता नहीं मिलेगी।
उपरोक्त चर्चा से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: मूल्य जितना छोटा होगा, उतना ही सटीक रूप से हम सड़क की राहत का वर्णन करेंगे। इसके अलावा, निम्नलिखित तथ्य सत्य हैं:
– किसी के लिएउठाने के बिंदु 
आप एक मूल्य (यद्यपि बहुत छोटा) चुन सकते हैं जो एक या दूसरे वृद्धि की सीमाओं के भीतर फिट बैठता है। और इसका मतलब यह है कि संबंधित ऊंचाई वृद्धि को सकारात्मक होने की गारंटी दी जाएगी, और असमानता इन अंतरालों के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन के विकास को सही ढंग से इंगित करेगी।
- वैसे ही, किसी के लिएढलान बिंदु, एक मूल्य है जो पूरी तरह से इस ढलान पर फिट होगा। इसलिए, ऊंचाई में संबंधित वृद्धि असमान रूप से नकारात्मक है, और असमानता दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन में कमी को सही ढंग से दिखाएगी।
- विशेष रूप से ब्याज की स्थिति तब होती है जब फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर शून्य होती है:। सबसे पहले, एक शून्य ऊंचाई वृद्धि () एक सम पथ का संकेत है। और दूसरी बात, अन्य जिज्ञासु स्थितियाँ हैं, जिनके उदाहरण आप चित्र में देख सकते हैं। कल्पना कीजिए कि भाग्य हमें एक पहाड़ी की चोटी पर उड़ते हुए चील के साथ ले गया है या एक खड्ड के नीचे मेंढकों के साथ। यदि आप किसी भी दिशा में एक छोटा कदम उठाते हैं, तो ऊंचाई में परिवर्तन नगण्य होगा, और हम कह सकते हैं कि फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर वास्तव में शून्य है। बिंदुओं पर भी यही पैटर्न देखा जाता है।
इस प्रकार, हमने किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को पूरी तरह से सटीक रूप से चित्रित करने के लिए एक अद्भुत अवसर का रुख किया है। आखिरकार, गणितीय विश्लेषण हमें तर्क की वृद्धि को शून्य पर निर्देशित करने की अनुमति देता है: यानी इसे बनाने के लिए बहुत छोता.
नतीजतन, एक और तार्किक सवाल उठता है: क्या सड़क और उसके कार्यक्रम को खोजना संभव है? एक और समारोह, कौन सा हमें बताएंगेसभी फ्लैटों, चढ़ावों, ढलानों, चोटियों, तराई क्षेत्रों के साथ-साथ पथ के प्रत्येक बिंदु पर वृद्धि/कमी की दर के बारे में?
एक व्युत्पन्न क्या है? व्युत्पन्न की परिभाषा।
व्युत्पन्न और अंतर का ज्यामितीय अर्थ
कृपया सोच-समझकर पढ़ें और बहुत जल्दी नहीं - सामग्री सरल और सभी के लिए सुलभ है! कोई बात नहीं अगर कुछ जगहों पर कुछ बहुत स्पष्ट नहीं लगता है, तो आप लेख पर बाद में कभी भी लौट सकते हैं। मैं और कहूंगा, सभी बिंदुओं को गुणात्मक रूप से समझने के लिए सिद्धांत का कई बार अध्ययन करना उपयोगी है (सलाह "तकनीकी" छात्रों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है, जिनके लिए उच्च गणित शैक्षिक प्रक्रिया में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है)।
स्वाभाविक रूप से, एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा में, हम इसे इसके साथ बदल देंगे:
हम क्या आए हैं? और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि कानून के अनुसार समारोह के लिए 
संरेखित है अन्य समारोह, इससे कहते है व्युत्पन्न कार्य(या केवल व्युत्पन्न).
व्युत्पन्न विशेषताएँ परिवर्तन की दरकार्य। कैसे? लेख की शुरुआत से ही विचार लाल धागे की तरह चला जाता है। कुछ बिंदु पर विचार करें डोमेनकार्य। किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन को अवकलनीय होने दें। फिर:
1) यदि, तो बिंदु पर फलन बढ़ता है। और जाहिर है वहाँ मध्यान्तर(भले ही बहुत छोटा हो) जिसमें वह बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ता है, और इसका ग्राफ "नीचे से ऊपर तक" जाता है।
2) यदि , तो बिंदु पर फलन घटता है। और एक अंतराल होता है जिसमें एक बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन घटता है (ग्राफ "ऊपर से नीचे तक" जाता है)।
3) अगर, तो असीम रूप से करीबबिंदु के निकट, फलन अपनी गति स्थिर रखता है। ऐसा होता है, जैसा कि नोट किया गया है, एक फ़ंक्शन-स्थिरांक के लिए और समारोह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, विशेष रूप से न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं पर.
कुछ शब्दार्थ। व्यापक अर्थ में "विभेद" क्रिया का क्या अर्थ है? अंतर करने का अर्थ है किसी विशेषता को अलग करना। फ़ंक्शन को विभेदित करते हुए, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में इसके परिवर्तन की दर को "चयन" करते हैं। और वैसे, "व्युत्पन्न" शब्द का क्या अर्थ है? समारोह हो गईसमारोह से।
शब्द व्युत्पन्न के यांत्रिक अर्थ की बहुत सफलतापूर्वक व्याख्या करते हैं
:
आइए समय के आधार पर शरीर के निर्देशांक के परिवर्तन के नियम और दिए गए शरीर की गति के वेग के कार्य पर विचार करें। फ़ंक्शन शरीर समन्वय के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, इसलिए यह समय के संबंध में फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:। यदि प्रकृति में "शरीर गति" की अवधारणा मौजूद नहीं होती, तो अस्तित्व में नहीं होता यौगिक"वेग" की अवधारणा।
शरीर का त्वरण गति के परिवर्तन की दर है, इसलिए: . यदि "बॉडी मूवमेंट" और "बॉडी मूवमेंट स्पीड" की मूल अवधारणाएँ प्रकृति में मौजूद नहीं होतीं, तो वहाँ नहीं होता यौगिकशरीर के त्वरण की अवधारणा।
यदि हम परिभाषा का पालन करते हैं, तो एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के वृद्धि अनुपात की सीमा है आपतर्क की वृद्धि के लिए एक्स:
ऐसा लगता है कि सब कुछ स्पष्ट हो गया है। लेकिन इस सूत्र द्वारा गणना करने का प्रयास करें, मान लीजिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+ 3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप परिभाषा के अनुसार सब कुछ करते हैं, तो गणना के कुछ पन्नों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।
आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि तथाकथित प्राथमिक कार्यों को विभिन्न प्रकार के कार्यों से अलग किया जा सकता है। ये अपेक्षाकृत सरल भाव हैं, जिनके डेरिवेटिव की गणना लंबे समय से की गई है और उन्हें तालिका में दर्ज किया गया है। इस तरह के कार्यों को उनके डेरिवेटिव के साथ याद रखना काफी आसान है।
प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न
प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सब कुछ हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्न को दिल से जाना जाना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद करना मुश्किल नहीं है - इसलिए वे प्राथमिक हैं।
तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:
| नाम | समारोह | यौगिक |
| नियत | एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर | 0 (हाँ, हाँ, शून्य!) |
| तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री | एफ(एक्स) = एक्स एन | एन · एक्स एन − 1 |
| साइनस | एफ(एक्स) = पाप एक्स | क्योंकि एक्स |
| कोज्या | एफ(एक्स) = कोस एक्स | - पाप एक्स(माइनस साइन) |
| स्पर्शरेखा | एफ(एक्स) = टीजी एक्स | 1/कोस 2 एक्स |
| कोटैंजेंट | एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स | - 1/पाप2 एक्स |
| प्राकृतिक | एफ(एक्स) = लॉग एक्स | 1/एक्स |
| मनमाना लघुगणक | एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स | 1/(एक्सएलएन ए) |
| घातांक प्रकार्य | एफ(एक्स) = इ एक्स | इ एक्स(कुछ नहीं बदला) |
यदि एक प्राथमिक फलन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फलन का व्युत्पन्न भी आसानी से परिकलित किया जाता है:
(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.
सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए:
(2एक्स 3)' = 2 ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .
जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और बहुत कुछ। इस तरह से नए कार्य दिखाई देंगे, जो अब बहुत प्राथमिक नहीं हैं, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार अलग-अलग भी हैं। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।
योग और अंतर का व्युत्पन्न
कार्यों को करने दें एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिनके डेरिवेटिव हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। तब आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:
- (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
- (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’
तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.
कड़ाई से बोलते हुए, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की अवधारणा है। इसलिए, अंतर एफ − जीयोग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र शेष रहता है - योग का व्युत्पन्न।
एफ(एक्स) = एक्स 2 + सिनक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.
समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:
एफ ’(एक्स) = (एक्स 2+ पाप एक्स)’ = (एक्स 2)'+ (पाप .) एक्स)’ = 2एक्स+ कॉक्स;
हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क देते हैं जी(एक्स) केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):
जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).
जवाब:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ कॉक्स;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स
2 + 1).
किसी उत्पाद का व्युत्पन्न
गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल"\u003e डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन आपके लिए अंजीर! उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:
(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’
सूत्र सरल है, लेकिन अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 कॉक्स; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स .
समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का एक उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:
एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' कोस एक्स + एक्स 3 (कोस एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (-sin एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)
समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना इससे नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला गुणक जी(एक्स) एक बहुपद है, और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:
जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स- 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) ( इ एक्स)’ = (2एक्स+ 7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स- 7) · इ एक्स = इ एक्स(2 .) एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+ 9) · इ एक्स .
जवाब:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+ 9) · इ
एक्स
.
ध्यान दें कि अंतिम चरण में, व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, यह आवश्यक नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन का पता लगाने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो जाएगा, इसके संकेत मिल जाएंगे, और इसी तरह। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करना बेहतर है।
यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) 0 हमारे लिए रुचि के सेट पर, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स) ऐसे फ़ंक्शन के लिए, आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:
कमजोर नहीं, है ना? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? लेकिन इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:
प्रत्येक अंश के अंश और हर में प्राथमिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें केवल भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है:
परंपरा से, हम अंश को कारकों में विभाजित करते हैं - यह उत्तर को बहुत सरल करेगा:
एक जटिल फलन जरूरी नहीं कि आधा किलोमीटर लंबा एक सूत्र हो। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर चर बदलें एक्स, कहना, पर एक्स 2+एलएन एक्स. यह पता चला है एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स) एक जटिल कार्य है। उसके पास एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन यह ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इसे खोजने के लिए काम नहीं करेगा।
कैसे बनें? ऐसे मामलों में, एक चर के प्रतिस्थापन और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र मदद करता है:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).
एक नियम के रूप में, इस सूत्र की समझ के साथ स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसकी व्याख्या करना भी बेहतर है।
काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2+एलएन एक्स)
ध्यान दें कि यदि समारोह में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 . के बजाय एक्स+3 आसान हो जाएगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: मान लीजिए 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र द्वारा एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’
और अब - ध्यान! एक रिवर्स प्रतिस्थापन करना: टी = 2एक्स+ 3. हमें मिलता है:
एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+ 3 (2 .) एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3
अब फंक्शन को देखते हैं जी(एक्स) जाहिर है प्रतिस्थापित करने की जरूरत है। एक्स 2+एलएन एक्स = टी. हमारे पास है:
जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = कोस टी · टी ’
रिवर्स रिप्लेसमेंट: टी = एक्स 2+एलएन एक्स. फिर:
जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · ( एक्स 2+एलएन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स) · (2 .) एक्स + 1/एक्स).
बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या को योग के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कम कर दिया गया है।
जवाब:
एफ ’(एक्स) = 2 इ
2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2+एलएन एक्स).
बहुत बार मेरे पाठों में, "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय, मैं "स्ट्रोक" शब्द का उपयोग करता हूं। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर है। क्या यह स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।
इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार इन बहुत स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए व्युत्पन्न की गणना नीचे आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक परिमेय घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर लौटते हैं:
(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1
कम ही लोग जानते हैं कि भूमिका में एनएक भिन्नात्मक संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. लेकिन क्या होगा अगर जड़ के नीचे कुछ मुश्किल है? फिर से, एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षण और परीक्षा में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।
काम। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:
सबसे पहले, आइए रूट को एक परिमेय घातांक के साथ एक घात के रूप में फिर से लिखें:
एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .
अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: let एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं:
एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' टी' = 0.5 टी-0.5 टी ’.
हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं: टी = एक्स 2 + 8एक्स- 7. हमारे पास है:
एफ ’(एक्स) = 0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7) -0.5 ( एक्स 2 + 8एक्स- 7)' = 0.5 (2 .) एक्स+ 8) ( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .
अंत में, वापस जड़ों की ओर:
परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध लिखें \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है जहां उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y \u003d f (x).
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के एक बिंदु पर भुज x \u003d a के साथ खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।
और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, लगभग समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक किसी दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) सत्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।
यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।
आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M, अर्थात् फलन x पर सतत होना चाहिए।
यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए अधिक कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.
इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।
एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f "(0) \) या तो मौजूद नहीं है
इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।
विभेदन नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि सी एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अलग-अलग कार्य हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
एक समारोह का व्युत्पन्न स्कूल पाठ्यक्रम में सबसे कठिन विषयों में से एक है। हर स्नातक इस सवाल का जवाब नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।
यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।
आइए परिभाषा याद रखें:
व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।
आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?
उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।
यहाँ एक और उदाहरण है।
कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:
आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? छह महीने में कोस्त्या की आय दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन बस थोड़ी सी। और मैथ्यू की आय घटकर शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, अर्थात। यौगिक, - को अलग। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।
सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?
हम वास्तव में जो देख रहे हैं वह यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन का व्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - अर्थात, यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को द्वारा दर्शाया जाता है।
आइए दिखाते हैं कि ग्राफ का उपयोग करके कैसे खोजा जाए।
किसी फलन का आलेख खींचा जाता है। उस पर एक एब्सिस्सा के साथ एक बिंदु लें। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक उपयोगी मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण लेते हैं।
कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें इस खंड में ग्राफ के साथ एकमात्र सामान्य बिंदु है, इसके अलावा, जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्श रेखा जैसा दिखता है।
हमे पता करने दें । हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्श रेखा विपरीत टांग के आसन्न पैर के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:
हमने फ़ंक्शन के सूत्र को जाने बिना भी ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। इस तरह के कार्य अक्सर गणित में परीक्षा में अंक के तहत मिलते हैं।
एक और महत्वपूर्ण सहसंबंध है। याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है
इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह सीधी रेखा के अक्ष पर झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।
.
हमें वह मिलता है
आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।
दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।
हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।
आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस फ़ंक्शन को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, और दूसरों में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन को अधिकतम और न्यूनतम अंक दें।
एक बिंदु पर, समारोह बढ़ रहा है। बिंदु पर खींची गई ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक न्यून कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। तो व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।
इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। चूँकि एक अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, इस बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।
यहाँ क्या होता है:
यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।
यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।
और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।
बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" के बिंदु पर बदल जाता है।
बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर होता है, लेकिन इसका चिन्ह "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।
निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में रुचिकर लगता है।
यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।
यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।
अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है।
न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और साइन को माइनस से प्लस में बदलता है।
हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:
| बढ़ती है | अधिकतम बिंदु | घटते | न्यूनतम बिंदु | बढ़ती है | |
| + | 0 | - | 0 | + |
आइए दो छोटे स्पष्टीकरण करें। समस्या को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। एक और - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।
एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम होता है। यह तथाकथित :
एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अवकलज शून्य होता है। हालाँकि, बिंदु से पहले फ़ंक्शन बढ़ता है - और बिंदु के बाद यह बढ़ता रहता है। व्युत्पत्ति का चिह्न नहीं बदलता है - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक बना हुआ है।
ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है।
लेकिन व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें यदि फ़ंक्शन एक ग्राफ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया है? इस मामले में, यह लागू होता है
