« भौतिकी - ग्रेड 10 "

रोटेशन के कोणीय वेग को बढ़ाने के लिए स्केटर रोटेशन की धुरी के साथ क्यों फैलता है।
क्या एक हेलीकॉप्टर को घूमना चाहिए जब उसका प्रोपेलर घूमता है?

पूछे गए प्रश्नों से पता चलता है कि यदि बाहरी बल शरीर पर कार्य नहीं करते हैं या उनकी कार्रवाई की भरपाई की जाती है और शरीर का एक हिस्सा एक दिशा में घूमना शुरू कर देता है, तो दूसरे भाग को दूसरी दिशा में घूमना चाहिए, जैसे कि जब ईंधन बाहर निकलता है एक रॉकेट, रॉकेट स्वयं विपरीत दिशा में चलता है।

आवेग का क्षण।

यदि हम एक घूर्णन डिस्क पर विचार करें, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि डिस्क का कुल संवेग शून्य है, क्योंकि शरीर का कोई भी कण निरपेक्ष मान में समान गति से गतिमान कण से मेल खाता है, लेकिन विपरीत दिशा में (चित्र। 6.9)।

लेकिन डिस्क गतिमान है, सभी कणों के घूर्णन का कोणीय वेग समान है। हालांकि, यह स्पष्ट है कि कण रोटेशन की धुरी से जितना दूर होगा, उसका संवेग उतना ही अधिक होगा। इसलिए, घूर्णी गति के लिए एक आवेग के समान एक और विशेषता पेश करना आवश्यक है, - कोणीय गति।

एक वृत्त में गतिमान कण का कोणीय संवेग, कण के संवेग और उससे घूर्णन अक्ष तक की दूरी का गुणनफल होता है (चित्र 6.10):

रैखिक और कोणीय वेग v = r से संबंधित हैं, फिर

एक कठोर पदार्थ के सभी बिंदु समान कोणीय वेग के साथ घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष गति करते हैं। एक कठोर शरीर को भौतिक बिंदुओं के संग्रह के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक कठोर पिंड का कोणीय संवेग जड़ता आघूर्ण और घूर्णन के कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है:

कोणीय संवेग एक सदिश राशि है, सूत्र (6.3) के अनुसार कोणीय संवेग उसी प्रकार निर्देशित होता है जैसे कोणीय वेग।

आवेगी रूप में घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल समीकरण।

एक पिंड का कोणीय त्वरण उस समय अंतराल से विभाजित कोणीय वेग में परिवर्तन के बराबर है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ: इस अभिव्यक्ति को घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें इसलिए I(ω 2 - ω 1) = MΔt, या IΔω = MΔt।

इस प्रकार,

L = M∆t। (6.4)

कोणीय गति में परिवर्तन शरीर या प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों के कुल क्षण और इन बलों की कार्रवाई के समय के उत्पाद के बराबर है।

कोणीय गति के संरक्षण का नियम:

यदि किसी पिंड या पिंडों के एक निश्चित घूर्णन अक्ष पर कार्य करने वाले बलों का कुल आघूर्ण शून्य है, तो कोणीय संवेग में परिवर्तन भी शून्य के बराबर होता है, अर्थात निकाय का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

∆एल = 0, एल = स्थिरांक.

निकाय के संवेग में परिवर्तन निकाय पर कार्यरत बलों के कुल संवेग के बराबर होता है।

कताई स्केटर अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाता है, जिससे घूर्णन के कोणीय वेग को कम करने के लिए जड़ता के क्षण में वृद्धि होती है।

कोणीय गति के संरक्षण के नियम को निम्नलिखित प्रयोग का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे "ज़ुकोवस्की बेंच के साथ प्रयोग" कहा जाता है। एक व्यक्ति एक बेंच पर खड़ा होता है जिसके केंद्र से गुजरने वाली घूर्णन की ऊर्ध्वाधर धुरी होती है। आदमी अपने हाथों में डम्बल रखता है। यदि बेंच को घुमाने के लिए बनाया गया है, तो एक व्यक्ति डम्बल को अपनी छाती पर दबाकर या अपनी बाहों को नीचे करके और फिर उन्हें अलग करके रोटेशन की गति को बदल सकता है। अपनी बाहों को फैलाते हुए, वह जड़ता के क्षण को बढ़ाता है, और रोटेशन का कोणीय वेग कम हो जाता है (चित्र 6.11, ए), अपने हाथों को कम करके, वह जड़ता के क्षण को कम कर देता है, और बेंच के रोटेशन का कोणीय वेग बढ़ जाता है (चित्र। 6.11, बी)।

एक व्यक्ति बेंच को उसके किनारे पर चलकर भी घुमा सकता है। इस मामले में, बेंच विपरीत दिशा में घूमेगी, क्योंकि कुल कोणीय गति शून्य के बराबर रहनी चाहिए।

जाइरोस्कोप नामक उपकरणों के संचालन का सिद्धांत कोणीय गति के संरक्षण के नियम पर आधारित है। जाइरोस्कोप की मुख्य संपत्ति रोटेशन की धुरी की दिशा का संरक्षण है, अगर बाहरी बल इस अक्ष पर कार्य नहीं करते हैं। 19 वीं सदी में जाइरोस्कोप का उपयोग नाविकों द्वारा समुद्र में नेविगेट करने के लिए किया जाता था।

एक घूर्णन कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा।

एक घूर्णन ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा उसके अलग-अलग कणों की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। आइए हम शरीर को छोटे-छोटे तत्वों में विभाजित करें, जिनमें से प्रत्येक को एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है। तब शरीर की गतिज ऊर्जा उन भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है जिनमें यह शामिल है:

शरीर के सभी बिंदुओं के घूर्णन का कोणीय वेग समान है, इसलिए,

कोष्ठक में मान, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, कठोर शरीर की जड़ता का क्षण है। अंत में, घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के साथ एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा के सूत्र का रूप है

एक कठोर पिंड की गति के सामान्य मामले में, जब रोटेशन की धुरी मुक्त होती है, तो इसकी गतिज ऊर्जा स्थानान्तरण और घूर्णी गतियों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। तो, एक पहिया की गतिज ऊर्जा, जिसका द्रव्यमान रिम में केंद्रित होता है, सड़क के साथ निरंतर गति से लुढ़कता है, के बराबर है

तालिका एक भौतिक बिंदु के अनुवाद गति के यांत्रिकी के सूत्रों की तुलना एक कठोर शरीर के घूर्णन गति के समान सूत्रों के साथ करती है।

आइए हम एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा निर्धारित करें। आइए इस शरीर को n भौतिक बिंदुओं में विभाजित करें। प्रत्येक बिंदु एक रैखिक गति के साथ चलता है i =ωr i , तो बिंदु की गतिज ऊर्जा

या

एक घूर्णन कठोर पिंड की कुल गतिज ऊर्जा उसके सभी भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:

(3.22)

(जे - रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण)

यदि सभी बिंदुओं के प्रक्षेप पथ समानांतर विमानों में स्थित हैं (जैसे एक झुके हुए विमान को लुढ़कता हुआ एक सिलेंडर, प्रत्येक बिंदु अपने स्वयं के समतल अंजीर में चलता है), यह है सपाट गति. यूलर के सिद्धांत के अनुसार, समतल गति को हमेशा अनंत तरीकों से अनुवादित और घूर्णी गति में विघटित किया जा सकता है। यदि गेंद झुके हुए तल पर गिरती है या फिसलती है, तो यह केवल आगे बढ़ती है; जब गेंद लुढ़कती है, तो वह भी घूमती है।

यदि कोई पिंड एक ही समय में स्थानांतरीय और घूर्णी गति करता है, तो उसकी कुल गतिज ऊर्जा बराबर होती है

(3.23)

स्थानांतरीय और घूर्णी गतियों के लिए गतिज ऊर्जा के सूत्रों की तुलना से, यह देखा जा सकता है कि घूर्णी गति के दौरान जड़ता का माप शरीर की जड़ता का क्षण होता है।

3.6 कठोर पिंड के घूर्णन के दौरान बाह्य बलों का कार्य

जब एक कठोर पिंड घूमता है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा नहीं बदलती है, इसलिए बाहरी बलों का प्रारंभिक कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है:

डीए = डीई या

यह ध्यान में रखते हुए कि Jβ = M, dr = dφ, हमारे पास एक परिमित कोण पर शरीर का α बराबर होता है।

(3.25)

जब एक कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो बाहरी बलों का कार्य किसी दिए गए अक्ष के बारे में इन बलों के क्षण की क्रिया से निर्धारित होता है। यदि अक्ष के परितः बलों का आघूर्ण शून्य है, तो ये बल कार्य उत्पन्न नहीं करते हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 2.1. चक्का द्रव्यमानएम=5 किग्रा और त्रिज्याआर= 0.2 मीटर क्षैतिज अक्ष के चारों ओर आवृत्ति के साथ घूमता हैν 0 =720 मिनट -1 और ब्रेक लगाने पर रुक जाता हैटी= 20 एस। रुकने से पहले ब्रेकिंग टॉर्क और क्रांतियों की संख्या का पता लगाएं।

ब्रेकिंग टॉर्क को निर्धारित करने के लिए, हम घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण लागू करते हैं

जहाँ I=mr 2 डिस्क की जड़ता का क्षण है; Δω \u003d ω - 0, और ω \u003d 0 अंतिम कोणीय वेग है, 0 \u003d 2πν 0 प्रारंभिक एक है। M डिस्क पर कार्य करने वाले बलों का ब्रेकिंग मोमेंट है।

सभी मात्राओं को जानकर, ब्रेकिंग टॉर्क को निर्धारित करना संभव है

श्री 2 2πν 0 = t (1)

(2)

घूर्णी गति के कीनेमेटीक्स से, डिस्क रोटेशन के दौरान रुकने के लिए रोटेशन के कोण को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

(3)

जहां β कोणीय त्वरण है।

समस्या की स्थिति के अनुसार: = 0 - βΔt, क्योंकि ω=0, 0 = βΔt

तब व्यंजक (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उदाहरण 2.2. एक ही त्रिज्या और द्रव्यमान के डिस्क के रूप में दो चक्का घूर्णन की गति तक घूमते थेएन= 480 आरपीएम और खुद पर छोड़ दिया। बीयरिंगों पर शाफ्ट के घर्षण बलों की कार्रवाई के तहत, पहले वाला बंद हो गयाटी\u003d 80 एस, और दूसरा कियाएन= 240 चक्कर बंद करने के लिए। किस चक्का में बेयरिंग पर शाफ्टों के घर्षण बल का आघूर्ण अधिक था और कितनी बार।

हम घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल समीकरण का उपयोग करके पहले चक्का के कांटों M 1 के बल का क्षण पाएंगे

एम 1 t \u003d मैंω 2 - मैंω 1

जहां t घर्षण बलों के क्षण की कार्रवाई का समय है, I \u003d mr 2 - चक्का की जड़ता का क्षण, 1 \u003d 2πν और ω 2 \u003d 0 चक्का के प्रारंभिक और अंतिम कोणीय वेग हैं

फिर

दूसरे चक्का के घर्षण बल M2 का क्षण घर्षण बलों के कार्य A और इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बीच संबंध के माध्यम से व्यक्त किया जाता है ΔE k:

जहाँ = 2πN घूर्णन कोण है, N चक्का के परिक्रमणों की संख्या है।

फिर कहाँ

हे अनुपात होगा

दूसरे चक्का का घर्षण बल 1.33 गुना अधिक है।

उदाहरण 2.3। एक सजातीय ठोस डिस्क का द्रव्यमान m, भार का द्रव्यमान m 1 और एम 2 (अंजीर.15)। सिलेंडर की धुरी में धागे की कोई पर्ची और घर्षण नहीं होता है। द्रव्यमान का त्वरण और धागे के तनाव का अनुपात ज्ञात कीजिएआंदोलन की प्रक्रिया में।

धागे का कोई फिसलन नहीं है, इसलिए, जब m 1 और m 2 स्थानांतरीय गति करेंगे, तो सिलेंडर बिंदु O से गुजरने वाली धुरी के बारे में घूमेगा। आइए निश्चित रूप से मान लें कि m 2 > m 1।

फिर लोड एम 2 कम हो जाता है और सिलेंडर दक्षिणावर्त घूमता है। आइए हम निकाय में शामिल पिंडों की गति के समीकरणों को लिखें

पहले दो समीकरण उन पिंडों के लिए लिखे गए हैं जिनका द्रव्यमान m 1 और m 2 ट्रांसलेशनल गति कर रहा है, और तीसरा समीकरण घूर्णन सिलेंडर के लिए है। तीसरे समीकरण में, बाईं ओर सिलेंडर पर कार्य करने वाले बलों का कुल क्षण है (बल T 1 का क्षण ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, क्योंकि बल T 1 सिलेंडर को वामावर्त घुमाता है)। दाईं ओर, I अक्ष O के परितः बेलन का जड़त्व आघूर्ण है, जो के बराबर है

जहाँ R बेलन की त्रिज्या है; β बेलन का कोणीय त्वरण है।

चूंकि कोई धागा पर्ची नहीं है,
. I और β के व्यंजकों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के समीकरणों को जोड़ने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

यहाँ से हम त्वरण पाते हैं एमाल

परिणामी समीकरण से यह देखा जा सकता है कि धागे का तनाव समान होगा, अर्थात। = 1 यदि बेलन का द्रव्यमान भार के द्रव्यमान से बहुत कम है।

उदाहरण 2.4. द्रव्यमान m = 0.5 kg वाली एक खोखली गेंद की बाहरी त्रिज्या R = 0.08m और आंतरिक त्रिज्या r = 0.06m है। गेंद अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमती है। एक निश्चित क्षण में, गेंद पर एक बल कार्य करना शुरू कर देता है, जिसके परिणामस्वरूप गेंद के घूमने का कोण कानून के अनुसार बदल जाता है।
. लागू बल का क्षण निर्धारित करें।

हम घूर्णी गति की गतिकी के मूल समीकरण का उपयोग करके समस्या का समाधान करते हैं
. मुख्य कठिनाई खोखले गेंद की जड़ता के क्षण को निर्धारित करना है, और कोणीय त्वरण β के रूप में पाया जाता है
. एक खोखली गेंद का जड़त्व आघूर्ण R त्रिज्या की गेंद और r त्रिज्या की गेंद के जड़त्व आघूर्ण के बीच के अंतर के बराबर होता है:

जहां गेंद सामग्री का घनत्व है। हम एक खोखले गेंद के द्रव्यमान को जानकर घनत्व पाते हैं

यहाँ से हम गेंद के पदार्थ का घनत्व ज्ञात करते हैं

बल M के क्षण के लिए हम निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.5. एक पतली छड़ जिसका द्रव्यमान 300 g है और जिसकी लंबाई 50 cm है, 10 s . के कोणीय वेग से घूमती है -1 रॉड के बीच से गुजरने वाले एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक क्षैतिज तल में। कोणीय वेग ज्ञात कीजिए, यदि एक ही तल में घूर्णन के दौरान छड़ इस प्रकार गति करती है कि घूर्णन की धुरी छड़ के अंत से होकर गुजरती है।

हम कोणीय गति के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं

(1)

(जे मैं - रोटेशन की धुरी के सापेक्ष रॉड की जड़ता का क्षण)।

निकायों की एक पृथक प्रणाली के लिए, कोणीय गति का वेक्टर योग स्थिर रहता है। इस तथ्य के कारण कि रोटेशन की धुरी के सापेक्ष रॉड के द्रव्यमान का वितरण बदलता है, रॉड की जड़ता का क्षण भी (1) के अनुसार बदलता है:

जे 0 1 = जे 2 ω 2। (2)

यह ज्ञात है कि छड़ के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण और छड़ के लंबवत के बराबर है

जे 0 \u003d एमℓ 2 / 12। (3)

स्टीनर प्रमेय के अनुसार

जे = जे 0 + एम ए 2

(J घूर्णन की एक मनमानी धुरी के बारे में रॉड की जड़ता का क्षण है; J 0 द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली समानांतर धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है; ए- द्रव्यमान के केंद्र से रोटेशन के चयनित अक्ष तक की दूरी)।

आइए इसके सिरे से गुजरने वाली धुरी और छड़ के लंबवत के बारे में जड़ता का क्षण ज्ञात करें:

जे 2 \u003d जे 0 + एम ए 2 , जे 2 = एमℓ 2 /12 +एम(ℓ/2) 2 = एमℓ 2/3। (4)

आइए हम सूत्र (3) और (4) को (2) में प्रतिस्थापित करें:

एमℓ 2 1 /12 = एमℓ 2 ω 2 /3

2 \u003d ω 1/4 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

उदाहरण 2.6 . मास मैनएम= 60 किग्रा, द्रव्यमान M के साथ मंच के किनारे पर खड़ा है = 120 किग्रा, आवृत्ति ν के साथ एक निश्चित ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर जड़ता से घूमता है 1 =12मिनट -1 , इसके केंद्र में जाता है। प्लेटफ़ॉर्म को एक गोल सजातीय डिस्क के रूप में और व्यक्ति को एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में देखते हुए, यह निर्धारित करें कि किस आवृत्ति के साथ ν 2 इसके बाद प्लेटफॉर्म घूमेगा।

दिया गया:एम = 60 किग्रा, एम = 120 किग्रा, 1 = 12 मिनट -1 = 0.2 एस -1 .

ढूँढ़ने के लिए:वी 1

फेसला:समस्या की स्थिति के अनुसार, व्यक्ति के साथ मंच जड़ता से घूमता है, अर्थात। घूर्णन प्रणाली पर लागू सभी बलों का परिणामी क्षण शून्य है। इसलिए, "प्लेटफ़ॉर्म-मैन" प्रणाली के लिए, संवेग के संरक्षण का नियम पूरा होता है

मैं 1 1 = मैं 2 2

कहाँ पे
- सिस्टम की जड़ता का क्षण जब कोई व्यक्ति प्लेटफॉर्म के किनारे पर खड़ा होता है (हमने ध्यान में रखा कि प्लेटफॉर्म की जड़ता का क्षण बराबर है (R त्रिज्या p . है
प्लेटफॉर्म), प्लेटफॉर्म के किनारे पर एक व्यक्ति की जड़ता का क्षण एमआर 2 है)।

- सिस्टम की जड़ता का क्षण जब कोई व्यक्ति प्लेटफॉर्म के केंद्र में खड़ा होता है (हमने ध्यान में रखा कि प्लेटफॉर्म के केंद्र में खड़े व्यक्ति का क्षण शून्य के बराबर है)। कोणीय वेग 1 = 2π 1 और ω 1 = 2π 2।

लिखित व्यंजकों को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जहां से वांछित घूर्णन गति

जवाब: वी 2 =24 मिनट -1।

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक बिल्कुल कठोर शरीर पर विचार करें। आइए मानसिक रूप से इस शरीर को असीम रूप से छोटे आकार और द्रव्यमान के साथ असीम रूप से छोटे टुकड़ों में तोड़ दें। एम वी टी।, टी 3 ,... दूरियों पर आर वी आर 0 , आर 3 ,... अक्ष से। घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जाहम इसके छोटे भागों की गतिज ऊर्जाओं के योग के रूप में पाते हैं:

- निष्क्रियता के पलदिए गए अक्ष के सापेक्ष कठोर पिंड 00,. स्थानांतरीय और घूर्णन गतियों की गतिज ऊर्जा के सूत्रों की तुलना से, यह स्पष्ट है कि घूर्णी गति में जड़ता का क्षण अनुवाद गति में द्रव्यमान के अनुरूप होता है।व्यक्तिगत सामग्री बिंदुओं से युक्त सिस्टम की जड़ता के क्षण की गणना के लिए फॉर्मूला (4.14) सुविधाजनक है। ठोस निकायों की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए, अभिन्न की परिभाषा का उपयोग करके, आप इसे रूप में बदल सकते हैं

यह देखना आसान है कि जड़ता का क्षण धुरी की पसंद पर निर्भर करता है और इसके समानांतर अनुवाद और रोटेशन के साथ बदलता है। आइए हम कुछ सजातीय निकायों के लिए जड़ता के क्षणों के मूल्यों को खोजें।

सूत्र (4.14) से यह स्पष्ट है कि एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षणबराबरी

कहाँ पे टी -बिंदु द्रव्यमान; आर-रोटेशन की धुरी के लिए दूरी।

जड़ता के क्षण की गणना करना आसान है खोखली पतली दीवार वाला सिलेंडर(या छोटी ऊंचाई वाले सिलेंडर का एक विशेष मामला - पतली अंगूठी) RADIUS आरसमरूपता की धुरी के बारे में। इस तरह के एक शरीर के लिए सभी बिंदुओं के रोटेशन की धुरी की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है और इसे योग (4.14) के संकेत के तहत निकाला जा सकता है:

चावल। 4.5

ठोस सिलेंडर(या छोटी ऊंचाई वाले सिलेंडर का एक विशेष मामला - डिस्क) RADIUS आरसमरूपता की धुरी के बारे में जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए अभिन्न (4.15) की गणना की आवश्यकता होती है। यह पहले से समझा जा सकता है कि इस मामले में द्रव्यमान, औसतन, खोखले सिलेंडर के मामले की तुलना में धुरी के करीब केंद्रित है, और सूत्र (4.17) के समान होगा, लेकिन एक से कम गुणांक होगा उसमें दिखाई देते हैं। आइए इस गुणांक को खोजें। मान लीजिए एक ठोस बेलन का घनत्व p और ऊँचाई A है। आइए इसे मोटाई के खोखले बेलनों (पतली बेलनाकार सतहों) में विभाजित करें डॉ.(चित्र 4.5 सममिति के अक्ष के लंबवत प्रक्षेपण को दर्शाता है)। त्रिज्या r के ऐसे खोखले बेलन का आयतन, मोटाई से गुणा किए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है: डीवी = 2एनआरएचडीआर,वजन: डीएम = 2nphrdr,और सूत्र के अनुसार जड़ता का क्षण (4.17): डीजे =

= आर 2 डीएम = 2lr/?g Wr. एक ठोस बेलन का कुल जड़त्व आघूर्ण खोखले बेलनों के जड़त्व आघूर्णों को समाकलित (योग) करके प्राप्त किया जाता है:

इसी तरह खोजा एक पतली छड़ की जड़ता का क्षणलंबाई लीऔर जनता टी,यदि घूर्णन की धुरी छड़ के लंबवत है और इसके मध्य से होकर गुजरती है। आइए इसे तोड़ें

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि एक ठोस बेलन का द्रव्यमान सूत्र द्वारा घनत्व से संबंधित होता है टी = एनआर 2 एचपी,हमारे पास अंत में है एक ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण:

चावल। 4.6

अंजीर के अनुसार छड़ी। 4.6 टुकड़े मोटे डीएलऐसे टुकड़े का द्रव्यमान है डीएम = एमडीएल / एल,और सूत्र के अनुसार जड़ता का क्षण (4.6): डीजे = एल 2 डीएम = एल 2 एमडीएल / एल।एक पतली छड़ की जड़ता का कुल क्षण टुकड़ों की जड़ता के क्षणों को एकीकृत (योग) करके प्राप्त किया जाता है:

प्रारंभिक समाकलन लेने पर लम्बाई की एक पतली छड़ का जड़त्व आघूर्ण प्राप्त होता है लीऔर जनता टी

चावल। 4.7

खोज करते समय अभिन्न कुछ अधिक जटिल हो जाता है एक सजातीय गेंद की जड़ता का क्षण RADIUS आरऔर द्रव्यमान /77 समरूपता की धुरी के संबंध में। माना एक ठोस गेंद का घनत्व p है। आइए इसे अंजीर में दिखाए अनुसार तोड़ दें। 4.7 खोखले पतले सिलेंडर मोटाई के लिए डॉ,जिसकी सममिति अक्ष गेंद के घूर्णन के अक्ष के साथ मेल खाती है। त्रिज्या के ऐसे खोखले बेलन का आयतन जीमोटाई से गुणा सतह क्षेत्र के बराबर है:

सिलेंडर की ऊंचाई कहां है एचपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया गया:

तब खोखले बेलन का द्रव्यमान ज्ञात करना आसान है:

साथ ही सूत्र (4.15) के अनुसार जड़ता का क्षण:

एक ठोस गेंद की जड़ता का कुल क्षण खोखले सिलेंडरों की जड़ता के क्षणों को एकीकृत (योग) करके प्राप्त किया जाता है:

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि एक ठोस गेंद का द्रव्यमान आकृति के घनत्व से संबंधित होता है - 4 ।

लॉय टी = -एनपीआर ए yहमारे पास अंत में अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण है

त्रिज्या की एक सजातीय गेंद की समरूपता आरजनता टी:

आइए एक निश्चित अक्ष के चारों ओर पिंड के घूमने पर विचार करके शुरू करें, जिसे हम z-अक्ष कहेंगे (चित्र 41.1)। प्राथमिक द्रव्यमान की रैखिक गति वह है जहाँ अक्ष से द्रव्यमान की दूरी है। इसलिए, प्राथमिक द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा के लिए, व्यंजक प्राप्त होता है

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा उसके भागों की गतिज ऊर्जाओं से बनी होती है:

इस अनुपात के दाईं ओर का योग रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर 1 की जड़ता का क्षण है। इस प्रकार, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा है

मान लीजिए कि द्रव्यमान पर एक आंतरिक बल और एक बाहरी बल कार्य करते हैं (देखिए आकृति 41.1)। (20.5) के अनुसार, ये बल समय के दौरान काम करेंगे

वैक्टर के मिश्रित उत्पादों में कारकों का चक्रीय क्रमपरिवर्तन (देखें (2.34)), हम प्राप्त करते हैं:

जहाँ N बिंदु O के सापेक्ष आंतरिक बल का क्षण है, N बाहरी बल का समरूप क्षण है।

सभी प्रारंभिक द्रव्यमानों पर अभिव्यक्ति (41.2) का योग, हम समय के दौरान शरीर पर किए गए प्राथमिक कार्य को प्राप्त करते हैं:

आंतरिक बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर होता है (देखें (29.12))। इसलिए, N के माध्यम से बाहरी बलों के कुल क्षण को निरूपित करते हुए, हम व्यंजक पर पहुंचते हैं

(हमने फॉर्मूला (2.21) का इस्तेमाल किया)।

अंत में, यह ध्यान में रखते हुए कि एक कोण है जिसके माध्यम से शरीर समय में घूमता है, हम प्राप्त करते हैं:

कार्य का चिन्ह संकेत पर निर्भर करता है, अर्थात, वेक्टर की दिशा में वेक्टर N के प्रक्षेपण के संकेत पर

इसलिए, जब शरीर घूमता है, तो आंतरिक बल कार्य नहीं करते हैं, जबकि बाहरी बलों का कार्य सूत्र (41.4) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

सूत्र (41.4) इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि शरीर पर लागू सभी बलों द्वारा किया गया कार्य इसकी गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है (देखें (19.11))। समानता के दोनों पक्षों का अंतर (41.1) लेते हुए, हम संबंध पर पहुंचते हैं

समीकरण (38.8) के अनुसार, हम के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर सूत्र (41.4) पर आ जाएगा।

तालिका 41.1

तालिका में। 41.1, घूर्णी गति के यांत्रिकी के सूत्रों की तुलना अनुवाद गति के यांत्रिकी (एक बिंदु के यांत्रिकी) के समान सूत्रों से की जाती है। इस तुलना से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि सभी मामलों में जड़त्व के क्षण द्वारा द्रव्यमान की भूमिका निभाई जाती है, बल की भूमिका बल के क्षण द्वारा, संवेग की भूमिका संवेग के क्षण द्वारा निभाई जाती है, आदि।

सूत्र। (41.1) हम मामले के लिए प्राप्त करते हैं जब शरीर शरीर में निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। अब मान लेते हैं कि पिंड अपने द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाने वाले एक निश्चित बिंदु के बारे में मनमाने ढंग से घूमता है।

आइए हम कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को शरीर के साथ सख्ती से जोड़ते हैं, जिसका मूल शरीर के द्रव्यमान के केंद्र में रखा जाएगा। i-वें प्राथमिक द्रव्यमान की गति है इसलिए, शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए, हम व्यंजक लिख सकते हैं

सदिशों के बीच का कोण कहां है a को बदलकर और हमें जो मिलता है उसे ध्यान में रखते हुए:

हम शरीर से जुड़े समन्वय प्रणाली के अक्षों पर वैक्टर के अनुमानों के संदर्भ में अदिश उत्पाद लिखते हैं:

अंत में, कोणीय वेग के घटकों के समान उत्पादों के साथ शब्दों को मिलाकर और इन उत्पादों को योग के संकेतों से बाहर निकालने से, हम प्राप्त करते हैं: ताकि सूत्र (41.7) रूप ले ले (इसकी तुलना (41.1) से करें)। जब एक मनमाना शरीर जड़ता के मुख्य अक्षों में से एक के चारों ओर घूमता है, तो मान लीजिए कि कुल्हाड़ियों और सूत्र (41.7) में (41.10.1) जाता है।

इस प्रकार। एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा तीन मामलों में जड़ता के क्षण और कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है: 1) एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर के लिए; 2) जड़त्व के मुख्य अक्षों में से एक के चारों ओर घूमने वाले शरीर के लिए; 3) एक बॉल टॉप के लिए। अन्य मामलों में, गतिज ऊर्जा अधिक जटिल सूत्रों (41.5) या (41.7) द्वारा निर्धारित की जाती है।

पहले एक कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष OZ के चारों ओर घूमते हुए एक कठोर शरीर पर विचार करें ω (अंजीर.5.6)। आइए शरीर को प्राथमिक द्रव्यमान में तोड़ दें। एक प्राथमिक द्रव्यमान का रैखिक वेग होता है , जहां घूर्णन के अक्ष से इसकी दूरी होती है। गतिज ऊर्जा मैं-वह प्राथमिक द्रव्यमान के बराबर होगा

.

पूरे शरीर की गतिज ऊर्जा उसके अंगों की गतिज ऊर्जाओं से बनी होती है, इसलिए

.

यह देखते हुए कि इस संबंध के दाईं ओर का योग रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता के क्षण का प्रतिनिधित्व करता है, हम अंत में प्राप्त करते हैं

. (5.30)

एक घूर्णन पिंड (5.30) की गतिज ऊर्जा के सूत्र किसी पिंड की स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा के संगत सूत्रों के समान होते हैं। वे औपचारिक प्रतिस्थापन द्वारा उत्तरार्द्ध से प्राप्त किए जाते हैं .

सामान्य मामले में, एक कठोर शरीर की गति को गतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की गति के बराबर गति के साथ अनुवाद, और तात्कालिक अक्ष के चारों ओर एक कोणीय वेग के साथ घूर्णन। सेंटर ऑफ मास। इस मामले में, शरीर की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है

.

आइए अब हम किसी दृढ़ पिंड के घूर्णन के दौरान बाह्य बलों के आघूर्ण द्वारा किए गए कार्य को ज्ञात करें। समय में बाह्य बलों का प्रारंभिक कार्य डीटीशरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होगा

घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा से अंतर लेते हुए, हम इसकी वृद्धि पाते हैं

.

घूर्णी गति के लिए गतिकी के मूल समीकरण के अनुसार

इन संबंधों को ध्यान में रखते हुए, हम प्रारंभिक कार्य के लिए अभिव्यक्ति को रूप में कम करते हैं

ओजेड रोटेशन की धुरी की दिशा पर बाहरी बलों के परिणामी क्षण का प्रक्षेपण कहां है, समय की अवधि के लिए शरीर के घूर्णन का कोण है।

समाकलन (5.31), हम एक घूर्णन पिंड पर कार्य करने वाले बाह्य बलों के कार्य के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं

यदि , तो सूत्र सरल हो जाता है

इस प्रकार, एक निश्चित अक्ष के बारे में एक कठोर शरीर के रोटेशन के दौरान बाहरी बलों का कार्य किसी दिए गए अक्ष पर इन बलों के क्षण के प्रक्षेपण की क्रिया से निर्धारित होता है।

जाइरोस्कोप

जाइरोस्कोप एक तेजी से घूमने वाला सममितीय पिंड है, जिसके घूमने की धुरी अंतरिक्ष में अपनी दिशा बदल सकती है। ताकि जाइरोस्कोप की धुरी अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूम सके, जाइरोस्कोप को तथाकथित जिम्बल सस्पेंशन (चित्र। 5.13) में रखा गया है। जाइरोस्कोप का चक्का गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हुए C 1 C 2 अक्ष के चारों ओर आंतरिक कुंडलाकार पिंजरे में घूमता है। आंतरिक पिंजरा, बदले में, बाहरी पिंजरे में धुरी B 1 B 2 लंबवत C 1 C 2 के चारों ओर घूम सकता है। अंत में, बाहरी दौड़ अक्ष के चारों ओर अकड़ बीयरिंगों में स्वतंत्र रूप से घूम सकती है A 1 A 2 कुल्हाड़ियों के लंबवत C 1 C 2 और B 1 B 2 । तीनों अक्ष एक निश्चित बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे निलंबन का केंद्र या जाइरोस्कोप का आधार कहा जाता है। जिम्बल में जाइरोस्कोप में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है और इसलिए, जिम्बल के केंद्र के चारों ओर कोई भी घुमाव कर सकता है। यदि जाइरोस्कोप का निलंबन केंद्र गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो निलंबन केंद्र के सापेक्ष जाइरोस्कोप के सभी हिस्सों के गुरुत्वाकर्षण का परिणामी क्षण शून्य के बराबर होता है। ऐसे जाइरोस्कोप को संतुलित कहा जाता है।

आइए अब जाइरोस्कोप के सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करें, जिन्होंने विभिन्न क्षेत्रों में इसके लिए व्यापक आवेदन पाया है।

1) स्थिरता।

संतुलित जाइरोस्कोप रैक के किसी भी रोटेशन के साथ, इसके रोटेशन की धुरी संदर्भ के प्रयोगशाला फ्रेम के संबंध में एक ही दिशा में रहती है। यह इस तथ्य के कारण है कि सभी बाहरी बलों का क्षण, घर्षण बल के क्षण के बराबर, बहुत छोटा है और व्यावहारिक रूप से जाइरोस्कोप के कोणीय गति में परिवर्तन नहीं करता है, अर्थात।

चूंकि कोणीय गति जाइरोस्कोप के रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित होती है, इसलिए इसका अभिविन्यास अपरिवर्तित रहना चाहिए।

यदि कोई बाह्य बल थोड़े समय के लिए कार्य करता है, तो कोणीय संवेग की वृद्धि को निर्धारित करने वाला समाकल छोटा होगा

. (5.34)

इसका मतलब यह है कि बड़ी ताकतों के अल्पकालिक प्रभावों के तहत, संतुलित जाइरोस्कोप की गति में थोड़ा बदलाव होता है। जाइरोस्कोप, जैसा कि यह था, अपने कोणीय गति के परिमाण और दिशा को बदलने के सभी प्रयासों का विरोध करता है। इसके साथ जुड़ा उल्लेखनीय स्थिरता है कि जाइरोस्कोप की गति इसे तेजी से घुमाने के बाद प्राप्त करती है। जाइरोस्कोप की इस संपत्ति का व्यापक रूप से विमान, जहाजों, रॉकेट और अन्य वाहनों की गति को स्वचालित रूप से नियंत्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि, हालांकि, जाइरोस्कोप पर लंबे समय तक बाहरी बलों के एक पल की दिशा में काम किया जाता है, तो जाइरोस्कोप की धुरी अंततः बाहरी बलों के क्षण की दिशा में सेट हो जाती है। इस घटना का उपयोग जाइरोकोमपास में किया जाता है। यह उपकरण एक जाइरोस्कोप है, जिसकी धुरी एक क्षैतिज तल में स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। पृथ्वी के दैनिक घूर्णन और केन्द्रापसारक बलों के क्षण की क्रिया के कारण, जाइरोस्कोप की धुरी घूमती है ताकि बीच का कोण न्यूनतम हो जाए (चित्र 5.14)। यह मध्याह्न तल में जाइरोस्कोप अक्ष की स्थिति से मेल खाती है।

2))। जाइरोस्कोपिक प्रभाव।

यदि बलों की एक जोड़ी और एक घूर्णन जाइरोस्कोप पर लागू किया जाता है, जो इसे घूर्णन की धुरी के लंबवत अक्ष के बारे में घुमाता है, तो यह तीसरे अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो पहले दो के लंबवत होता है (चित्र 5.15)। जाइरोस्कोप के इस असामान्य व्यवहार को जाइरोस्कोपिक प्रभाव कहा जाता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि बलों की एक जोड़ी का क्षण ओ 1 ओ 1 अक्ष के साथ निर्देशित होता है और समय के साथ वेक्टर में एक मूल्य के परिवर्तन की दिशा समान होगी। नतीजतन, नया वेक्टर ओ 2 ओ 2 अक्ष के बारे में घूमेगा। इस प्रकार, जाइरोस्कोप का प्रतीत होने वाला अप्राकृतिक व्यवहार पूरी तरह से घूर्णी गति की गतिशीलता के नियमों से मेल खाता है

3))। जाइरो प्रिसिजन।

जाइरोस्कोप की पूर्वता उसकी धुरी की शंक्वाकार गति है। यह तब होता है जब बाहरी बलों का क्षण, परिमाण में स्थिर रहता है, जाइरोस्कोप की धुरी के साथ एक साथ घूमता है, हर समय इसके साथ एक समकोण बनाता है। पूर्वता प्रदर्शित करने के लिए, एक विस्तारित धुरी के साथ एक साइकिल पहिया, तेजी से घूर्णन में लाया जा सकता है (चित्र 5.16), सेवा कर सकता है।

यदि पहिया को धुरा के विस्तारित छोर से निलंबित कर दिया जाता है, तो इसका धुरा अपने स्वयं के वजन की कार्रवाई के तहत ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना शुरू कर देगा। तेजी से घूमने वाला शीर्ष भी पूर्वता के प्रदर्शन के रूप में काम कर सकता है।

जाइरोस्कोप के पूर्वता के कारणों का पता लगाएं। एक असंतुलित जाइरोस्कोप पर विचार करें, जिसकी धुरी एक निश्चित बिंदु O के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकती है (चित्र 5.16)। जाइरोस्कोप पर लागू गुरुत्वाकर्षण का क्षण परिमाण में बराबर होता है

जाइरोस्कोप का द्रव्यमान कहाँ है, बिंदु O से जाइरोस्कोप के द्रव्यमान के केंद्र की दूरी है, जाइरोस्कोप के अक्ष द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है। वेक्टर को जाइरोस्कोप की धुरी से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर विमान के लंबवत निर्देशित किया जाता है।

इस क्षण के प्रभाव में, जाइरोस्कोप की कोणीय गति (इसकी शुरुआत बिंदु O पर रखी गई है) को समय में वृद्धि प्राप्त होगी, और जाइरोस्कोप की धुरी से गुजरने वाला ऊर्ध्वाधर विमान एक कोण से घूमेगा। सदिश सदैव लम्बवत होता है, इसलिए, परिमाण में परिवर्तन किए बिना, सदिश केवल दिशा में बदलता है। इस मामले में, थोड़ी देर के बाद, वैक्टर की सापेक्ष स्थिति और प्रारंभिक क्षण के समान ही होगी। नतीजतन, जाइरोस्कोप की धुरी एक शंकु का वर्णन करते हुए लगातार ऊर्ध्वाधर के चारों ओर घूमती रहेगी। इस आंदोलन को पूर्वसर्ग कहा जाता है।

आइए हम पूर्वगामी के कोणीय वेग का निर्धारण करें। चित्र 5.16 के अनुसार, शंकु के अक्ष और जाइरोस्कोप के अक्ष से गुजरने वाले समतल का घूर्णन कोण बराबर होता है

जाइरोस्कोप की कोणीय गति कहाँ है, और समय के साथ इसकी वृद्धि है।

उपरोक्त संबंधों और परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए विभाजित करके, हम पूर्वता का कोणीय वेग प्राप्त करते हैं

. (5.35)

प्रौद्योगिकी में प्रयुक्त जाइरोस्कोप के लिए, पूर्वगामी का कोणीय वेग जाइरोस्कोप की घूर्णी गति से लाखों गुना कम है।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति के कारण परमाणुओं में भी पूर्वता की घटना देखी जाती है।

गतिकी के नियमों को लागू करने के उदाहरण

घुमाते समय

1. कोणीय गति के संरक्षण के कानून के कुछ उदाहरणों पर विचार करें, जिन्हें ज़ुकोवस्की बेंच का उपयोग करके लागू किया जा सकता है। सबसे सरल मामले में, ज़ुकोवस्की बेंच एक डिस्क के आकार का प्लेटफॉर्म (कुर्सी) है जो बॉल बेयरिंग पर एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है (चित्र। 5.17)। प्रदर्शनकर्ता बेंच पर बैठता है या खड़ा होता है, जिसके बाद उसे घूर्णी गति में लाया जाता है। इस तथ्य के कारण कि बीयरिंगों के उपयोग के कारण घर्षण बल बहुत कम हैं, सिस्टम की कोणीय गति जिसमें एक बेंच और रोटेशन की धुरी के बारे में एक प्रदर्शनकर्ता शामिल है, समय में नहीं बदल सकता है अगर सिस्टम को खुद पर छोड़ दिया जाए। यदि प्रदर्शनकर्ता अपने हाथों में भारी डम्बल रखता है और अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाता है, तो वह सिस्टम की जड़ता के क्षण को बढ़ा देगा, और इसलिए रोटेशन का कोणीय वेग कम होना चाहिए ताकि कोणीय गति अपरिवर्तित रहे।

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, हम इस स्थिति के लिए एक समीकरण बनाते हैं

व्यक्ति और बेंच की जड़ता का क्षण कहाँ है, और पहली और दूसरी स्थिति में डम्बल की जड़ता का क्षण है, और सिस्टम के कोणीय वेग हैं।

पक्ष में डम्बल प्रजनन करते समय सिस्टम के रोटेशन का कोणीय वेग बराबर होगा

.

डम्बल को हिलाने पर एक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य को सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है

2. आइए ज़ुकोवस्की की बेंच के साथ एक और प्रयोग करें। प्रदर्शनकर्ता एक बेंच पर बैठता है या खड़ा होता है और उसे एक लंबवत निर्देशित अक्ष के साथ तेजी से घूमने वाला पहिया दिया जाता है (चित्र 5.18)। प्रदर्शक फिर पहिया को 180 0 घुमाता है। इस मामले में, पहिया के कोणीय गति में परिवर्तन पूरी तरह से बेंच और प्रदर्शनकर्ता को स्थानांतरित कर दिया जाता है। नतीजतन, बेंच, प्रदर्शनकर्ता के साथ, कोणीय गति के संरक्षण के कानून के आधार पर निर्धारित कोणीय वेग के साथ रोटेशन में आता है।

प्रारंभिक अवस्था में निकाय का कोणीय संवेग केवल पहिए के कोणीय संवेग से निर्धारित होता है और इसके बराबर होता है

पहिए का जड़त्व आघूर्ण कहाँ है, इसके घूर्णन का कोणीय वेग है।

पहिया को 180 0 के कोण पर घुमाने के बाद, सिस्टम के संवेग का क्षण पहले से ही व्यक्ति के साथ बेंच के संवेग के योग और पहिया के संवेग के क्षण द्वारा निर्धारित किया जाएगा। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि पहिया के गति वेक्टर ने अपनी दिशा विपरीत दिशा में बदल दी है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नकारात्मक हो गया है, हम प्राप्त करते हैं

,

"मैन-प्लेटफ़ॉर्म" प्रणाली की जड़ता का क्षण कहाँ है, व्यक्ति के साथ बेंच के रोटेशन का कोणीय वेग है।

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार

और .

नतीजतन, हम बेंच के रोटेशन की गति पाते हैं

3. पतली छड़ द्रव्यमान एमऔर लंबाई मैंएक कोणीय वेग के साथ घूमता है =10 s -1 छड़ के बीच से गुजरने वाले एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक क्षैतिज तल में। एक ही तल में घूमना जारी रखते हुए, छड़ चलती है ताकि घूर्णन की धुरी अब छड़ के अंत से होकर गुजरे। दूसरी स्थिति में कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

इस समस्या में, इस तथ्य के कारण कि घूर्णन की धुरी के सापेक्ष छड़ के द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है, छड़ की जड़ता का क्षण भी बदल जाता है। एक विलगित निकाय के कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, हमारे पास है

यहाँ - छड़ के बीच से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण; - इसके छोर से गुजरने वाली धुरी के बारे में छड़ की जड़ता का क्षण और स्टीनर के प्रमेय द्वारा पाया जाता है।

इन व्यंजकों को कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

,

.

4. रॉड की लंबाई ली=1.5 मीटर और वजन एम 1=10 किग्रा ऊपरी सिरे पर टिका होता है। एक गोली रॉड के केंद्र में द्रव्यमान के साथ हिट करती है एम2=10 g, क्षैतिज रूप से =500 m/s की गति से उड़ता है, और छड़ में फंस जाता है। प्रभाव के बाद छड़ किस कोण से विचलित होगी?

आइए अंजीर में कल्पना करें। 5.19. बातचीत निकायों की प्रणाली "रॉड-बुलेट"। प्रभाव के क्षण में बाहरी बलों (गुरुत्वाकर्षण, अक्ष प्रतिक्रिया) के क्षण शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए हम कोणीय गति के संरक्षण के नियम का उपयोग कर सकते हैं

प्रभाव से पहले प्रणाली का कोणीय संवेग निलंबन बिंदु के सापेक्ष बुलेट के कोणीय संवेग के बराबर होता है

एक अकुशल प्रभाव के बाद प्रणाली का कोणीय संवेग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

,

निलंबन बिंदु के सापेक्ष रॉड की जड़ता का क्षण कहां है, गोली की जड़ता का क्षण है, प्रभाव के तुरंत बाद गोली के साथ रॉड का कोणीय वेग है।

प्रतिस्थापन के बाद परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं

.

आइए अब हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का प्रयोग करें। आइए हम रॉड की गतिज ऊर्जा की बराबरी करते हैं जब गोली अपनी संभावित ऊर्जा के साथ चढ़ाई के उच्चतम बिंदु पर टकराती है:

,

दिए गए सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की ऊंचाई कहां है।

आवश्यक परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

रॉड का विक्षेपण कोण अनुपात द्वारा मान से संबंधित होता है

.

गणना करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं =0,1p=18 0 ।

5. यह मानते हुए कि एटवुड मशीन पर पिंडों के त्वरण और धागे के तनाव का निर्धारण करें (चित्र 5.20)। रोटेशन की धुरी के बारे में ब्लॉक की जड़ता का क्षण है मैं, ब्लॉक त्रिज्या आर. धागे के द्रव्यमान पर ध्यान न दें।

आइए भार और ब्लॉक पर अभिनय करने वाले सभी बलों को व्यवस्थित करें, और उनके लिए गतिकी समीकरणों की रचना करें

यदि ब्लॉक के अनुदिश धागा फिसलता नहीं है, तो रैखिक और कोणीय त्वरण संबंध द्वारा संबंधित हैं

इन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

तब हम T 1 और T 2 पाते हैं।

6. ओबरबेक क्रॉस (चित्र 5.21) की चरखी से एक धागा जुड़ा होता है, जिसमें द्रव्यमान का भार होता है एम= 0.5 किग्रा. निर्धारित करें कि भार को ऊंचाई से गिरने में कितना समय लगता है एच=1 मी नीचे की स्थिति में। चरखी त्रिज्या आर\u003d 3 सेमी। द्रव्यमान के चार भार एम=250g प्रत्येक दूरी पर आर= अपने अक्ष से 30 सेमी. भार की जड़ता के क्षण की तुलना में स्वयं क्रॉस और चरखी की जड़ता के क्षण की उपेक्षा करें।