समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली दो परस्पर लंबवत रेखाओं द्वारा दी गई है। सीधी रेखाओं को निर्देशांक अक्ष (या समन्वय अक्ष) कहा जाता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहा जाता है और इसे O अक्षर से निरूपित किया जाता है।

आमतौर पर एक रेखा क्षैतिज होती है, दूसरी लंबवत होती है। क्षैतिज रेखा को x (या ऑक्स) अक्ष के रूप में नामित किया गया है और इसे भुज अक्ष कहा जाता है, ऊर्ध्वाधर एक y (Oy) अक्ष है, जिसे कोटि अक्ष कहा जाता है। संपूर्ण समन्वय प्रणाली xOy द्वारा निरूपित की जाती है।

बिंदु O प्रत्येक अक्ष को दो अर्ध-अक्षों में विभाजित करता है, जिनमें से एक को सकारात्मक माना जाता है (इसे एक तीर द्वारा दर्शाया जाता है), दूसरे को नकारात्मक माना जाता है।

विमान के प्रत्येक बिंदु F को संख्याओं का एक जोड़ा (x;y) दिया जाता है - इसके निर्देशांक।

एक्स-निर्देशांक को भुज कहा जाता है। यह संबंधित चिन्ह के साथ लिए गए ऑक्स के बराबर है।

y निर्देशांक को कोटि कहा जाता है और यह बिंदु F से Oy अक्ष (संबंधित चिह्न के साथ) की दूरी के बराबर होता है।

एक्सल दूरियां आमतौर पर (लेकिन हमेशा नहीं) लंबाई की एक ही इकाई में मापी जाती हैं।

y-अक्ष के दायीं ओर के बिंदुओं में धनात्मक भुज होते हैं। उन बिंदुओं के लिए जो y-अक्ष के बाईं ओर स्थित हैं, भुज ऋणात्मक हैं। Oy-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, उसका x-निर्देशांक शून्य के बराबर होता है।

धनात्मक कोटि वाले बिंदु x-अक्ष के ऊपर स्थित होते हैं, और ऋणात्मक कोटि वाले बिंदु नीचे होते हैं। यदि कोई बिंदु x-अक्ष पर स्थित है, तो उसका y-निर्देशांक शून्य होता है।

निर्देशांक अक्ष समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें निर्देशांक क्वार्टर (या निर्देशांक कोण या चतुर्थांश) कहा जाता है।

1 समन्वय तिमाही xOy निर्देशांक तल के ऊपरी दाएं कोने में स्थित है। I तिमाही में स्थित बिंदुओं के दोनों निर्देशांक सकारात्मक हैं।

एक चौथाई से दूसरे में संक्रमण वामावर्त किया जाता है।

दूसरी तिमाहीऊपरी बाएँ कोने में स्थित है। दूसरी तिमाही में पड़े बिंदुओं में एक ऋणात्मक भुज और एक धनात्मक कोटि होती है।

तीसरी तिमाही xOy तल के निचले बाएँ चतुर्थांश में स्थित है। III निर्देशांक कोण से संबंधित बिंदुओं के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं।

चौथा समन्वय तिमाहीनिर्देशांक तल का निचला दायां कोना है। चतुर्थ तिमाही के किसी भी बिंदु का पहला सकारात्मक समन्वय और दूसरा नकारात्मक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के स्थान का एक उदाहरण:

गणित एक जटिल विज्ञान है। इसका अध्ययन करते हुए, किसी को न केवल उदाहरणों और समस्याओं को हल करना है, बल्कि विभिन्न आकृतियों और यहां तक ​​​​कि विमानों के साथ भी काम करना है। गणित में सबसे अधिक उपयोग में से एक विमान पर समन्वय प्रणाली है। बच्चों को सिखाया गया है कि एक वर्ष से अधिक समय तक इसके साथ सही तरीके से कैसे काम किया जाए। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है और इसके साथ सही तरीके से कैसे काम करना है।

आइए जानें कि यह प्रणाली क्या है, आप इसके साथ क्या कार्य कर सकते हैं, और इसकी मुख्य विशेषताओं और विशेषताओं का भी पता लगा सकते हैं।

अवधारणा परिभाषा

एक समन्वय विमान एक ऐसा विमान है जिस पर एक विशेष समन्वय प्रणाली परिभाषित की जाती है। इस तरह के एक विमान को दो सीधी रेखाओं द्वारा एक समकोण पर प्रतिच्छेद करने से परिभाषित किया जाता है। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निर्देशांकों का उद्गम है। निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु संख्याओं के एक युग्म द्वारा दिया जाता है, जिन्हें निर्देशांक कहते हैं।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, छात्रों को समन्वय प्रणाली के साथ काफी निकटता से काम करना होता है - उस पर आंकड़े और बिंदु बनाना, यह निर्धारित करना कि यह या वह समन्वय किस विमान से संबंधित है, और बिंदु के निर्देशांक भी निर्धारित करें और उन्हें लिखें या नाम दें। इसलिए, आइए निर्देशांक की सभी विशेषताओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करें। लेकिन पहले, आइए सृष्टि के इतिहास को स्पर्श करें, और फिर हम इस बारे में बात करेंगे कि समन्वय के स्तर पर कैसे काम किया जाए।

इतिहास संदर्भ

समन्वय प्रणाली बनाने के विचार टॉलेमी के दिनों में थे। तब भी, खगोलविद और गणितज्ञ इस बारे में सोच रहे थे कि कैसे एक विमान पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करना सीखें। दुर्भाग्य से, उस समय हमारे लिए कोई समन्वय प्रणाली ज्ञात नहीं थी, और वैज्ञानिकों को अन्य प्रणालियों का उपयोग करना पड़ता था।

प्रारंभ में, वे अक्षांश और देशांतर निर्दिष्ट करके अंक निर्धारित करते हैं। लंबे समय तक यह इस या उस जानकारी को मैप करने के सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले तरीकों में से एक था। लेकिन 1637 में, रेने डेसकार्टेस ने अपनी खुद की समन्वय प्रणाली बनाई, जिसे बाद में "कार्टेशियन" के नाम पर रखा गया।

पहले से ही XVII सदी के अंत में। "समन्वय तल" की अवधारणा का गणित की दुनिया में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि इस प्रणाली के निर्माण के बाद से कई शताब्दियां बीत चुकी हैं, यह अभी भी गणित और यहां तक ​​​​कि जीवन में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

निर्देशांक समतल उदाहरण

सिद्धांत के बारे में बात करने से पहले, हम समन्वय विमान के कुछ उदाहरण देंगे ताकि आप इसकी कल्पना कर सकें। निर्देशांक प्रणाली मुख्य रूप से शतरंज में प्रयोग की जाती है। बोर्ड पर, प्रत्येक वर्ग के अपने निर्देशांक होते हैं - एक अक्षर निर्देशांक, दूसरा - डिजिटल। इसकी सहायता से आप बोर्ड पर किसी विशेष टुकड़े की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

दूसरा सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण प्रिय खेल "युद्धपोत" है। याद रखें कि कैसे, खेलते समय, आप एक निर्देशांक का नाम देते हैं, उदाहरण के लिए, बी 3, इस प्रकार यह दर्शाता है कि आप कहाँ लक्ष्य कर रहे हैं। उसी समय, जहाजों को रखते समय, आप समन्वय विमान पर बिंदु निर्धारित करते हैं।

यह समन्वय प्रणाली व्यापक रूप से न केवल गणित, तर्क खेलों में, बल्कि सैन्य मामलों, खगोल विज्ञान, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों में भी उपयोग की जाती है।

समायोजन ध्रुव

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समन्वय प्रणाली में दो अक्षों को प्रतिष्ठित किया जाता है। आइए उनके बारे में थोड़ी बात करते हैं, क्योंकि वे काफी महत्व रखते हैं।

पहली धुरी - भुज - क्षैतिज है। इसे के रूप में दर्शाया गया है ( बैल) दूसरी धुरी कोटि है, जो संदर्भ बिंदु से लंबवत गुजरती है और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है ( ओए) यह दो अक्ष हैं जो विमान को चार तिमाहियों में विभाजित करते हुए समन्वय प्रणाली बनाते हैं। मूल इन दो अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है और मान लेता है 0 . केवल अगर विमान दो अक्षों द्वारा बनता है जो लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और एक संदर्भ बिंदु है, तो क्या यह एक समन्वय विमान है।

यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक कुल्हाड़ी की अपनी दिशा होती है। आमतौर पर, एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते समय, यह एक तीर के रूप में अक्ष की दिशा को इंगित करने के लिए प्रथागत है। इसके अलावा, समन्वय विमान का निर्माण करते समय, प्रत्येक अक्ष पर हस्ताक्षर किए जाते हैं।

तिमाहियों

अब आइए इस तरह की अवधारणा के बारे में कुछ शब्द कहें जो समन्वय विमान के क्वार्टर हैं। विमान को दो अक्षों द्वारा चार तिमाहियों में विभाजित किया गया है। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है, जबकि विमानों की संख्या वामावर्त होती है।

प्रत्येक क्वार्टर की अपनी विशेषताएं हैं। तो, पहली तिमाही में, भुज और कोटि सकारात्मक हैं, दूसरी तिमाही में, भुज ऋणात्मक है, कोटि धनात्मक है, तीसरे में, भुज और कोटि दोनों ऋणात्मक हैं, चौथे में, भुज है सकारात्मक है, और कोटि नकारात्मक है।

इन विशेषताओं को याद करके, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई विशेष बिंदु किस तिमाही का है। इसके अलावा, यह जानकारी आपके लिए उपयोगी हो सकती है यदि आपको कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग करके गणना करनी है।

समन्वय विमान के साथ कार्य करना

जब हमने एक विमान की अवधारणा का पता लगाया और उसके क्वार्टरों के बारे में बात की, तो हम इस प्रणाली के साथ काम करने जैसी समस्या पर आगे बढ़ सकते हैं, और यह भी बात कर सकते हैं कि इस पर अंक, निर्देशांक कैसे लगाए जाएं। समन्वय तल पर, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।

सबसे पहले, सिस्टम स्वयं बनाया गया है, सभी महत्वपूर्ण पदनाम उस पर लागू होते हैं। फिर अंक या अंकों के साथ सीधे काम होता है। इस मामले में, आंकड़े बनाते समय भी, पहले विमान पर अंक लगाए जाते हैं, और फिर आंकड़े पहले ही खींचे जाते हैं।

विमान बनाने के नियम

यदि आप कागज पर आकृतियों और बिंदुओं को चिह्नित करना शुरू करने का निर्णय लेते हैं, तो आपको एक समन्वय विमान की आवश्यकता होगी। इस पर बिंदुओं के निर्देशांक प्लॉट किए गए हैं। एक समन्वय विमान बनाने के लिए, आपको केवल एक शासक और एक कलम या पेंसिल की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, क्षैतिज भुज खींचा जाता है, फिर ऊर्ध्वाधर - कोर्डिनेट किया जाता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि कुल्हाड़ियाँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

अगला अनिवार्य आइटम अंकन है। दोनों दिशाओं में प्रत्येक अक्ष पर इकाइयों-खंडों को चिह्नित और हस्ताक्षरित किया जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आप विमान के साथ अधिकतम सुविधा के साथ काम कर सकें।

एक बिंदु चिह्नित करना

अब बात करते हैं कि निर्देशांक तल पर बिंदुओं के निर्देशांकों को कैसे प्लॉट किया जाए। समतल पर विभिन्न आकृतियों को सफलतापूर्वक स्थापित करने और यहां तक ​​कि समीकरणों को चिह्नित करने के लिए आपको यह मूलभूत बातें जानने की आवश्यकता है।

बिंदुओं का निर्माण करते समय, किसी को यह याद रखना चाहिए कि उनके निर्देशांक कैसे सही ढंग से दर्ज किए गए हैं। इसलिए, आमतौर पर एक बिंदु निर्धारित करते हुए, दो संख्याएं कोष्ठक में लिखी जाती हैं। पहला अंक एब्सिस्सा अक्ष के साथ बिंदु के समन्वय को इंगित करता है, दूसरा - कोर्डिनेट अक्ष के साथ।

बिंदु इस तरह बनाया जाना चाहिए। पहले अक्ष पर निशान लगाएं बैलदिए गए बिंदु, फिर अक्ष पर एक बिंदु चिह्नित करें ओए. इसके बाद, इन पदनामों से काल्पनिक रेखाएँ खींचिए और उनके प्रतिच्छेदन का स्थान ज्ञात कीजिए - यह दिया गया बिंदु होगा।

आपको बस इतना करना है कि इसे चिह्नित करें और हस्ताक्षर करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है और इसके लिए विशेष कौशल की आवश्यकता नहीं है।

एक आकार रखना

अब आइए ऐसे प्रश्न पर चलते हैं जैसे निर्देशांक तल पर आकृतियों का निर्माण। निर्देशांक तल पर किसी भी आकृति का निर्माण करने के लिए, आपको यह पता होना चाहिए कि उस पर बिंदुओं को कैसे रखा जाए। यदि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है, तो एक विमान पर एक आकृति रखना इतना मुश्किल नहीं है।

सबसे पहले, आपको आकृति के बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता होगी। यह उन पर है कि हम उन लोगों को लागू करेंगे जिन्हें आपने हमारे समन्वय प्रणाली में चुना है। आइए एक आयत, त्रिभुज और वृत्त खींचने पर विचार करें।

आइए एक आयत से शुरू करते हैं। इसे अप्लाई करना काफी आसान है। सबसे पहले, आयत के कोनों को इंगित करते हुए, समतल पर चार बिंदु लगाए जाते हैं। फिर सभी बिंदु क्रमिक रूप से एक दूसरे से जुड़े होते हैं।

त्रिभुज बनाना अलग नहीं है। केवल एक चीज यह है कि इसके तीन कोने हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु विमान पर लागू होते हैं, जो इसके शीर्षों को दर्शाते हैं।

वृत्त के संबंध में, यहाँ आपको दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होने चाहिए। पहला बिंदु वृत्त का केंद्र है, दूसरा बिंदु इसकी त्रिज्या को दर्शाता है। इन दो बिंदुओं को एक समतल पर प्लॉट किया गया है। फिर एक कंपास लिया जाता है, दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापा जाता है। कम्पास के बिंदु को केंद्र को दर्शाने वाले बिंदु पर रखा जाता है, और एक वृत्त का वर्णन किया जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि हमेशा एक शासक और एक कंपास हाथ में होता है।

अब आप जानते हैं कि आकृति निर्देशांक कैसे प्लॉट करें। समन्वय विमान पर, ऐसा करना इतना मुश्किल नहीं है, क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकता है।

जाँच - परिणाम

इसलिए, हमने आपके साथ गणित के लिए सबसे दिलचस्प और बुनियादी अवधारणाओं में से एक पर विचार किया है जिससे प्रत्येक छात्र को निपटना होगा।

हमने पाया है कि निर्देशांक तल दो अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित तल है। इसकी मदद से आप बिंदुओं के निर्देशांक सेट कर सकते हैं, उस पर आकृतियाँ डाल सकते हैं। विमान को क्वार्टरों में बांटा गया है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं हैं।

समन्वय विमान के साथ काम करते समय विकसित किया जाने वाला मुख्य कौशल उस पर दिए गए बिंदुओं को सही ढंग से प्लॉट करने की क्षमता है। ऐसा करने के लिए, आपको कुल्हाड़ियों के सही स्थान, क्वार्टर की विशेषताओं के साथ-साथ उन नियमों को जानना चाहिए जिनके द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं।

हम आशा करते हैं कि हमारे द्वारा प्रदान की गई जानकारी सुलभ और समझने योग्य थी, और आपके लिए भी उपयोगी थी और इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद की।

"कार्य ग्रेड 9" - वाई \u003d x3। फ़ंक्शन को सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: y=2x+5, S=at2/2, S=vt। प्राथमिक कार्यों में स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाए जाने वाले लगभग सभी कार्य शामिल होते हैं। हेड क्रायुचकोवा तात्याना बोरिसोव्ना शिक्षक, गणित। विषय-सूची: परिशिष्ट 3. Y=x2 Y=3x2. वाई = एक्स 2। आवेदन4. वाई \u003d 0.3x2. परिशिष्ट 1।

"फ़ंक्शन के गुण" - 0. 1. फ़ंक्शन की परिभाषा। 3. मूल्यों का दायरा। y=0, x=0 6. अचर चिह्न y > 0 पर (0; +) के अंतराल। 5. जीरो फंक्शन। समारोह गुण। 7. वृद्धि और कमी के अंतराल। वाई = एक्स, एन = 2 2. स्कोप डी (वाई) =। ऐसी राशियों को क्रमशः अचर और चर कहा जाता है। -पी। टी। वाई = एफ (एक्स)। -एक। आगे।

"कार्य अनुसंधान" - फ़ंक्शन अनुसंधान योजना का उपयोग करके, कार्य को पूरा करें: पृष्ठ 24; नंबर 296 (ए; बी), नंबर 299 (ए; बी)। सत्यापन कार्य: उत्तर: डी (एफ) = आर, विषम, बढ़ रहा है। मौखिक रूप से प्रदर्शन करें: फ़ंक्शन f(x)=х3 के लिए D(f), समता, वृद्धि, कमी निर्धारित करें। सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=x5+4x समुच्चय R पर बढ़ रहा है। 2) किसी फलन के अध्ययन का एक उदाहरण।

"समन्वय तल" - में एक सीधी रेखा का समीकरण। समन्वय तल पर समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाने के लिए। निर्देशांक रेखा, समन्वय कोण। टास्क नंबर 1. निर्देशांक पढ़ने का नियम। समन्वय क्वार्टर। एक विमान पर अंक कैसे चिह्नित किए जाते हैं। (2 रास्ते)। रेखा समीकरण ए. शिक्षण योजना। कुल्हाड़ियों पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक।

"फ़ंक्शन की वृद्धि" - फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए एल्गोरिदम। असमानता का समाधान विश्लेषणात्मक रूप से या अंतराल विधि द्वारा किया जाता है। हम f / (x) पाते हैं, हम फलन f(x) के क्रांतिक बिंदुओं को निर्धारित करते हैं, अर्थात्। ऐसे बिंदु जहां f / (x)=0 या f / (x) मौजूद नहीं है। व्युत्पन्न। विषय। टीजी (ए) = के, के-टच फैक्टर। व्युत्पन्न तालिका।

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यदि आप निर्देशांक तल पर एक इकाई संख्या वृत्त रखते हैं, तो आप इसके बिंदुओं के लिए निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं। संख्यात्मक वृत्त को इस प्रकार रखा जाता है कि उसका केंद्र तल के मूल बिंदु, अर्थात बिंदु O (0; 0) के साथ मेल खाता हो।

आमतौर पर, एक इकाई संख्या वृत्त पर, वृत्त पर मूल बिंदु के अनुरूप अंक अंकित किए जाते हैं

• क्वार्टर - 0 या 2π, π/2, , (2π)/3,
• मध्य तिमाही - /4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• तीसरी तिमाही - /6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6।

निर्देशांक तल पर, उस पर इकाई वृत्त की उपरोक्त व्यवस्था के साथ, वृत्त के इन बिंदुओं के संगत निर्देशांक ज्ञात किए जा सकते हैं।

तिमाहियों के सिरों के निर्देशांक खोजना बहुत आसान है। वृत्त के बिंदु 0 पर, x-निर्देशांक 1 है और y 0 है। हम A (0) = A (1; 0) लिख सकते हैं।

पहली तिमाही का अंत धनात्मक y-अक्ष पर स्थित होगा। इसलिए, बी (π/2) = बी (0; 1)।

दूसरी तिमाही का अंत ऋणात्मक भुज पर होता है: C (π) = C (-1; 0)।

तीसरी तिमाही का अंत: डी ((2π) / 3) = डी (0; -1)।

लेकिन तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक कैसे खोजें? ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज बनाएं। इसका कर्ण वृत्त के केंद्र (या मूल) से चौथाई वृत्त के मध्य बिंदु तक का एक खंड है। यह वृत्त की त्रिज्या है। चूँकि वृत्त इकाई है, कर्ण 1 के बराबर है। इसके बाद, वृत्त के एक बिंदु से किसी भी अक्ष पर एक लंब खींचा जाता है। इसे x-अक्ष पर होने दें। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है, जिसके पैरों की लंबाई वृत्त के बिंदु के x और y निर्देशांक हैं।

एक चौथाई वृत्त 90º है। और आधा चौथाई 45º है। चूंकि कर्ण को तिमाही के मध्य के बिंदु तक खींचा जाता है, कर्ण और मूल से निकलने वाले पैर के बीच का कोण 45º है। लेकिन किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180º होता है। इसलिए, कर्ण और दूसरे पैर के बीच का कोण भी 45º रहता है। यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज निकलता है।

पाइथागोरस प्रमेय से हम समीकरण x 2 + y 2 = 1 2 प्राप्त करते हैं। चूँकि x = y और 1 2 = 1 समीकरण सरल होकर x 2 + x 2 = 1 हो जाता है। इसे हल करने पर हमें x = √1 = 1/√2 = √2/2 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, बिंदु एम 1 (π/4) = एम 1 (√2/2; √2/2) के निर्देशांक।

अन्य तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक में, केवल संकेत बदल जाएंगे, और मूल्यों के मॉड्यूल समान रहेंगे, क्योंकि समकोण त्रिभुज केवल पलट जाएगा। हम पाते हैं:
एम 2 ((3π)/4) = एम 2 (-√2/2; √2/2)
एम 3 ((5π)/4) = एम 3 (-√2/2; -√2/2)
एम 4 ((7π)/4) = एम 4 (√2/2; -√2/2)

वृत्त के तिमाहियों के तीसरे भाग के निर्देशांक निर्धारित करते समय, एक समकोण त्रिभुज भी बनाया जाता है। यदि हम बिंदु π/6 लेते हैं और x-अक्ष पर एक लंब खींचते हैं, तो कर्ण और x-अक्ष पर स्थित टांग के बीच का कोण 30º होगा। यह ज्ञात है कि 30º के कोण के विपरीत लेटा पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है। तो हमने y निर्देशांक पाया है, यह ½ के बराबर है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा कर्ण की लंबाई और एक पैर की लंबाई जानने के बाद, हम दूसरा पैर पाते हैं:
x 2 + (½) 2 = 1 2
एक्स 2 \u003d 1 - \u003d
एक्स = 3/2

इस प्रकार टी 1 (π/6) = टी 1 (√3/2; ½)।

पहली तिमाही (π / 3) के दूसरे तीसरे बिंदु के लिए, अक्ष पर y अक्ष पर लंबवत खींचना बेहतर है। तब मूल बिन्दु पर कोण भी 30º होगा। यहां, x निर्देशांक पहले से ही ½, और y, क्रमशः √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2) के बराबर होगा।

अन्य तीसरी तिमाही के अंक के लिए, निर्देशांक मूल्यों के संकेत और क्रम बदल जाएगा। सभी बिंदु जो एक्स-अक्ष के करीब हैं, उनके पास एक्स-निर्देशांक का मॉड्यूल मान √3/2 के बराबर होगा। वे बिंदु जो y-अक्ष के करीब हैं, उनका मॉड्यूल y मान √3/2 के बराबर होगा।
टी 3 ((2π) / 3) = टी 3 (-½; √3/2)
टी 4 ((5π)/6) = टी 4 (-√3/2; ½)
टी 5 ((7π)/6) = टी 5 (-√3/2; -½)
टी 6 ((4π) / 3) = टी 6 (-½; -√3/2)
टी 7 ((5π)/3) = टी 7 (½; -√3/2)
टी 8 ((11π)/6) = टी 8 (√3/2; -½)