सही दांव चुनने के लिए ऑड्स के आधार पर किसी घटना की संभावना का अनुमान लगाने का तरीका जानना आवश्यक है। यदि आप यह नहीं समझ पा रहे हैं कि बेटिंग ऑड्स को ऑड्स में कैसे बदला जाए, तो आप कभी भी यह निर्धारित नहीं कर पाएंगे कि बेटिंग ऑड्स की तुलना किसी इवेंट के वास्तविक ऑड्स से कैसे की जाती है। यह समझा जाना चाहिए कि यदि सट्टेबाजों के अनुसार किसी घटना की संभावना आपके अपने संस्करण के अनुसार उसी घटना की संभावना से कम है, तो इस घटना पर एक शर्त मूल्यवान होगी। आप Odds.ru वेबसाइट पर विभिन्न घटनाओं के लिए ऑड्स की तुलना कर सकते हैं।

1.1. गुणांक प्रकार

सट्टेबाज आमतौर पर तीन प्रकार की ऑड्स देते हैं - दशमलव, भिन्नात्मक और अमेरिकी। आइए प्रत्येक किस्मों पर एक नज़र डालें।

1.2. दशमलव बाधाओं

दशमलव ऑड्स, जब बेट के आकार से गुणा किया जाता है, तो आप उस पूरी राशि की गणना कर सकते हैं जो आपको जीतने पर आपके हाथ में मिलेगी। उदाहरण के लिए, यदि आप 1.80 के ऑड्स पर $1 की बेट लगाते हैं, यदि आप जीतते हैं, तो आपको $1.80 प्राप्त होंगे ($1 बेट की वापसी है, $0.80 बेट पर जीत है, जो कि आपका शुद्ध लाभ भी है)।

यानी, सट्टेबाजों के अनुसार, परिणाम की संभावना 55% है।

1.3. भिन्नात्मक बाधाएं

भिन्नात्मक ऑड्स सबसे पारंपरिक प्रकार की ऑड्स हैं। अंश शुद्ध जीत की संभावित राशि को दर्शाता है। डिनोमिनेटर बेट की वह राशि है जिसे इसी जीत को प्राप्त करने के लिए लगाने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, 7/2 के ऑड्स का मतलब है कि $7 की शुद्ध जीत पाने के लिए, आपको $2 का दांव लगाना होगा।

दशमलव गुणांक के आधार पर किसी घटना की प्रायिकता की गणना करने के लिए, एक साधारण गणना की जानी चाहिए - हर को अंश और हर के योग से विभाजित किया जाता है। उपरोक्त गुणांक 7/2 के लिए, गणना इस प्रकार होगी:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

यानी, सट्टेबाजों के अनुसार, परिणाम की संभावना 22% है।

1.4. अमेरिकन ऑड्स

इस प्रकार के ऑड्स उत्तरी अमेरिका में लोकप्रिय हैं। पहली नज़र में, वे बल्कि जटिल और समझ से बाहर लगते हैं, लेकिन डरो मत। अमेरिकी बाधाओं को समझना उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, अमेरिकी कैसीनो में खेलते समय, उत्तर अमेरिकी खेल प्रसारण में दिखाए गए उद्धरणों को समझने के लिए। आइए जानें कि अमेरिकी बाधाओं के आधार पर किसी परिणाम की संभावना का मूल्यांकन कैसे करें।

सबसे पहले, आपको यह समझने की जरूरत है कि अमेरिकी संभावनाएं सकारात्मक और नकारात्मक हैं। नकारात्मक अमेरिकी ऑड्स हमेशा प्रारूप में होते हैं, उदाहरण के लिए, "-150"। इसका मतलब है कि शुद्ध लाभ (जीतने) में $ 100 प्राप्त करने के लिए, आपको $ 150 का दांव लगाना होगा।

एक सकारात्मक अमेरिकी गुणांक की गणना रिवर्स में की जाती है। उदाहरण के लिए, हमारे पास "+120" का गुणांक है। इसका मतलब है कि $120 शुद्ध लाभ (जीतने) प्राप्त करने के लिए, आपको $100 का दांव लगाना होगा।

नकारात्मक अमेरिकी बाधाओं के आधार पर संभाव्यता गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

(-(नकारात्मक यूएस ऑड्स)) / ((-(नकारात्मक यूएस ऑड्स)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

अर्थात्, उस घटना की प्रायिकता जिसके लिए "-150" का ऋणात्मक अमेरिकी गुणांक दिया गया है, 60% है।

अब सकारात्मक अमेरिकी गुणांक के लिए समान गणनाओं पर विचार करें। इस मामले में संभावना की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

100 / (सकारात्मक यूएस ऑड्स + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

अर्थात्, उस घटना की प्रायिकता जिसके लिए "+120" का धनात्मक अमेरिकी गुणांक दिया गया है, 45% है।

1.5. गुणांक को एक प्रारूप से दूसरे प्रारूप में कैसे बदलें?

बाधाओं को एक प्रारूप से दूसरे प्रारूप में अनुवाद करने की क्षमता बाद में आपकी अच्छी सेवा कर सकती है। अजीब तरह से, अभी भी ऐसे सट्टेबाज हैं जिनमें ऑड्स परिवर्तित नहीं होते हैं और केवल एक प्रारूप में दिखाए जाते हैं, जो हमारे लिए असामान्य है। आइए उदाहरण देखें कि यह कैसे करना है। लेकिन पहले, हमें यह सीखना होगा कि हमें दिए गए गुणांक के आधार पर किसी परिणाम की प्रायिकता की गणना कैसे करें।

1.6. प्रायिकता के आधार पर दशमलव गुणांक की गणना कैसे करें?

यहाँ सब कुछ बहुत सरल है। घटना की प्रायिकता से 100 को प्रतिशत के रूप में विभाजित करना आवश्यक है। अर्थात्, यदि किसी घटना की अनुमानित संभावना 60% है, तो आपको यह करना होगा:

60% की घटना की अनुमानित संभावना के साथ, दशमलव अंतर 1.66 होगा।

1.7. संभाव्यता के आधार पर भिन्नात्मक गुणांक की गणना कैसे करें?

इस मामले में, किसी घटना की संभावना से 100 को विभाजित करना और प्राप्त परिणाम से घटाना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, किसी घटना की संभावना 40% है:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

अर्थात्, हम 1.5/1 का भिन्नात्मक गुणांक प्राप्त करते हैं या, गिनती की सुविधा के लिए, - 3/2।

1.8. संभावित परिणाम के आधार पर अमेरिकी गुणांक की गणना कैसे करें?

यहां, घटना की संभावना पर बहुत कुछ निर्भर करेगा - चाहे वह 50% से अधिक या उससे कम हो। यदि किसी घटना की प्रायिकता 50% से अधिक है, तो गणना निम्न सूत्र के अनुसार की जाएगी:

- ((प्रायिकता) / (100 - प्रायिकता)) * 100

उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की प्रायिकता 80% है, तो:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

80% की घटना की अनुमानित संभावना के साथ, हमें "-400" का नकारात्मक अमेरिकी गुणांक मिला।

यदि किसी घटना की प्रायिकता 50 प्रतिशत से कम है, तो सूत्र इस प्रकार होगा:

((100 - प्रायिकता) / प्रायिकता) * 100

उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की प्रायिकता 40% है, तो:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

40% की घटना की अनुमानित संभावना के साथ, हमें "+150" का सकारात्मक अमेरिकी गुणांक मिला।

ये गणना आपको बेट्स और ऑड्स की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगी, और यह सीखेगी कि किसी विशेष बेट के सही मूल्य का मूल्यांकन कैसे किया जाता है।

N घटनाओं के एक संघ (तार्किक योग) को घटना कहा जाता है , जो हर बार होने पर मनाया जाता है कम से कम एकआयोजन . विशेष रूप से, घटनाओं ए और बी का मिलन घटना है ए+ बी(कुछ लेखक
), जो तब मनाया जाता है जब आता हेया ए,या बीया ये दोनों घटनाएँ एक ही समय में(चित्र 7)। घटनाओं के पाठ्य योगों में प्रतिच्छेदन का संकेत संघ है "या".

चावल। 7. ए + बी घटनाओं का संयोजन

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटना की संभावना पी (ए) अंजीर में छायांकित के बाएं हिस्से से मेल खाती है। 7 अंक, और इसका मध्य भाग, के रूप में चिह्नित
. और घटना B के संगत परिणाम छायांकित आकृति के दाईं ओर और लेबल किए गए दोनों में स्थित हैं
मध्य भाग। इस प्रकार, जोड़ते समय और खेल का मैदान
वास्तव में इस राशि में दो बार प्रवेश करता है, और छायांकित आकृति के क्षेत्र के लिए सटीक अभिव्यक्ति का रूप है
.

इसलिए, एसोसिएशन की संभावनादो घटनाएँ A और B है

बड़ी संख्या में घटनाओं के लिए, क्षेत्रों के पारस्परिक ओवरलैप के लिए कई विकल्पों को ध्यान में रखने की आवश्यकता के कारण सामान्य गणना अभिव्यक्ति बेहद बोझिल हो जाती है। हालांकि, यदि संयुक्त घटनाएं असंगत हैं (पृष्ठ 33 देखें), तो क्षेत्रों का पारस्परिक ओवरलैप असंभव है, और अनुकूल क्षेत्र सीधे व्यक्तिगत घटनाओं के अनुरूप क्षेत्रों के योग से निर्धारित होता है।

संभावना संघोंमनमाना संख्या असंगतआयोजन अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

कोरोलरी 1: घटनाओं के एक पूरे समूह में असंगत घटनाएँ होती हैं, जिनमें से एक को प्रयोग में अनिवार्य रूप से महसूस किया जाता है। नतीजतन, अगर घटनाएं …
,एक पूरा समूह बनाएं, तो उनके लिए

इस प्रकार,

साथ मेंपरिणाम 3हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि कथन के विपरीत "कम से कम एक घटना घटित होगी" …
' कथन है 'कोई भी घटना नहीं' …
लागू नहीं किया गया है।" यानी दूसरे शब्दों में, "घटनाओं को अनुभव में देखा जाएगा" , और , और और ”, जो पहले से ही उन घटनाओं का प्रतिच्छेदन है जो मूल सेट के विपरीत हैं। इसलिए, घटनाओं की एक मनमानी संख्या को संयोजित करने के लिए (2 .0) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

कोरोलरीज 2, 3 से पता चलता है कि उन मामलों में जहां किसी घटना की संभावना की प्रत्यक्ष गणना समस्याग्रस्त है, इसके विपरीत एक घटना के अध्ययन की जटिलता का अनुमान लगाना उपयोगी होता है। आखिर मतलब जानते हुए भी
, से प्राप्त करें (2 .0) वांछित मान
ज्यादा काम नहीं।

1. जटिल घटनाओं की संभावनाओं की गणना के उदाहरण

उदाहरण 1 : दो छात्र (इवानोव और पेट्रोव) एक साथ Iप्रयोगशाला के काम का बचाव करने के लिए कर्ल किया गया, पहले 8 कोन सीख लियाइस कार्य के लिए ट्रोलिंग प्रश्न उपलब्ध 10 में से। तत्परता की जाँच,शिक्षक सभी से केवल एक ही पूछता हैn बेतरतीब ढंग से चयनित प्रश्न। निम्नलिखित घटनाओं की संभावना निर्धारित करें:

ए= "इवानोव अपने प्रयोगशाला कार्य का बचाव करेगा";

बी= "पेट्रोव अपने प्रयोगशाला कार्य का बचाव करेंगे";

सी= "दोनों प्रयोगशाला के काम की रक्षा करेंगे";

डी= "कम से कम एक छात्र काम का बचाव करेगा";

इ= "छात्रों में से केवल एक ही कार्य का बचाव करेगा";

एफ= "उनमें से कोई भी कार्य का बचाव नहीं करेगा।"

फेसला। ध्यान दें कि इवानोव के रूप में काम की रक्षा करने की क्षमता, टीजैसे पेत्रोव व्यक्तिगत रूप से केवल महारत हासिल प्रश्नों की संख्या से निर्धारित होता है, कविपर. (नोट: इस उदाहरण में, गणना परिणामों की तुलना को सरल बनाने के लिए परिणामी अंशों के मूल्यों को जानबूझकर कम नहीं किया गया था।)

घटनासी"इवानोव और पेट्रोव दोनों काम की रक्षा करेंगे" के रूप में अलग तरह से तैयार किया जा सकता है, अर्थात। क्या होगाऔर प्रतिस्पर्धाए, और प्रतिस्पर्धाबी. इस प्रकार घटनासीघटनाओं का प्रतिच्छेदन हैएऔरबी, और के अनुसार (2 .0)

जहां कारक "7/9" इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि घटना का घटित होनाएइसका मतलब है कि इवानोव को एक "अच्छा" प्रश्न मिला, जिसका अर्थ है कि शेष 9 प्रश्नों में से, पेट्रोव के पास अब केवल 7 "अच्छे" प्रश्न हैं।

घटनाडीतात्पर्य है कि "काम सुरक्षित रहेगा"या इवानोव,या पेट्रोव,या वे दोनों एक साथ हैं", अर्थात। घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगाएऔरबी. तो घटनाडीघटनाओं का एक संघ हैएऔरबी, और के अनुसार (2 .0)

जो उम्मीदों के अनुरूप है, क्योंकि यहां तक ​​कि प्रत्येक छात्र के लिए व्यक्तिगत रूप से, सफलता की संभावना काफी अधिक है।

साथ मेंघटना ई का अर्थ है कि "या तो काम इवानो द्वारा बचाव किया जाएगा"सी, और पेट्रोव "एनढह जाता है",या इवानोव असफल हो जाएगापेशेवरों, और पेट्रोव रक्षा के साथ सामना करेंगे। दो विकल्प परस्पर अनन्य (असंगत) हैं, इसलिए

अंत में, कथनएफकेवल सच होगा अगरऔर इवानोव,और सुरक्षा के साथ पेट्रोवनहीं सामना करना।" इसलिए,

यह समस्या के समाधान को पूरा करता है, लेकिन निम्नलिखित बातों पर ध्यान देना उपयोगी है:

1. प्राप्त संभावनाओं में से प्रत्येक शर्त (1 .0), n . को संतुष्ट करता हैओ अगर के लिए
और
संघर्ष प्राप्त करेंसाथ(1 .0) सिद्धांत रूप में असंभव है, फिर के लिए
कोशिश करो और(2 .0) के बजाय (2 .0) का उपयोग करने से स्पष्ट रूप से गलत होगापरियोजना मूल्य
. यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि संभाव्यता का ऐसा मूल्य मौलिक रूप से असंभव है, और जब ऐसा विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है, तो तुरंत एक त्रुटि की खोज करना शुरू करें।

2. पाई गई संभावनाएं संबंधों को संतुष्ट करती हैंएम

.

इतो यह काफी अपेक्षित है, क्योंकि आयोजनसी, इऔरएफएक पूर्ण बनाओवें समूह, और घटनाएंडीऔरएफएक दूसरे के विपरीत हैं। इनके लिए लेखांकनएक ओर अनुपात का उपयोग किया जा सकता हैगणनाओं की पुन: जाँच के लिए वैन, और दूसरी स्थिति में यह समस्या को हल करने के वैकल्पिक तरीके के आधार के रूप में काम कर सकता है।

पी टिप्पणी : लेखन की उपेक्षा न करेंघटना का सटीक शब्दांकन, अन्यथा, समस्या को हल करने के दौरान, आप अनजाने में इस घटना के अर्थ की एक अलग व्याख्या पर स्विच कर सकते हैं, जिससे तर्क में त्रुटियां हो सकती हैं।

उदाहरण 2 : माइक्रोक्रिकिट्स के एक बड़े बैच में, जो आउटपुट गुणवत्ता नियंत्रण को पारित नहीं करता है, 30% उत्पाद खराब हैं।यदि इस बैच में से किन्हीं दो माइक्रोक्रिकिटों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो वह क्या है?संभावना है कि उनमें से:

ए= "दोनों फिट";

बी= "बिल्कुल 1 अच्छी चिप";

सी= "दोनों दोषपूर्ण"।

आइए तर्क के निम्नलिखित प्रकार का विश्लेषण करें (सावधान, इसमें एक त्रुटि है):

चूंकि हम उत्पादों के एक बड़े बैच के बारे में बात कर रहे हैं, इसमें से कई माइक्रोक्रिकिट को हटाने से व्यावहारिक रूप से अच्छे और दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या के अनुपात को प्रभावित नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि इस बैच से कुछ माइक्रोक्रिकिट को लगातार कई बार चुनने से, हम मान सकते हैं कि प्रत्येक मामले में अपरिवर्तित संभावनाएं हैं

= पी(एक दोषपूर्ण उत्पाद चुना गया है) = 0.3 और

= पी(अच्छा उत्पाद चयनित) = 0.7.

किसी घटना के घटित होने के लिएएयह जरूरी है किऔर प्रथम,और दूसरी बार, एक उपयुक्त उत्पाद चुना गया था, और इसलिए (एक दूसरे से पहले और दूसरे माइक्रोक्रिकिट को चुनने की सफलता की स्वतंत्रता को ध्यान में रखते हुए), हमारे पास होने वाली घटनाओं के प्रतिच्छेदन के लिए

इसी तरह, घटना सी होने के लिए, दोनों उत्पादों को दोषपूर्ण होना चाहिए, और बी प्राप्त करने के लिए, आपको एक बार एक अच्छा उत्पाद और एक दोषपूर्ण उत्पाद एक बार चुनना होगा।

त्रुटि संकेत। एक्सहालांकि ऊपर प्राप्त सभी संभावनाएंऔर प्रशंसनीय दिखते हैं, जब उनका एक साथ विश्लेषण किया जाता है, तो यह आसान होता हैध्यान दें कि .हालांकि, मामलेए, बीऔरसीएक पूर्ण बनाओघटनाओं का समूह जिसके लिए .यह विरोधाभास तर्क में कुछ त्रुटि की उपस्थिति को इंगित करता है।

साथ में यूटी त्रुटियां। आइए हम दो सहायक का परिचय देंआयोजन:

= "पहली चिप अच्छी है, दूसरी खराब है";

= "पहली चिप खराब है, दूसरी अच्छी है"।

यह स्पष्ट है कि, हालांकि, घटना की संभावना प्राप्त करने के लिए ऊपर केवल ऐसे गणना विकल्प का उपयोग किया गया थाबी, हालांकि घटनाओंबीऔर ई नहीं हैंसमकक्ष. वास्तव में,
, क्योंकि शब्दोंआयोजनबीकी आवश्यकता है कि बिल्कुल microcircuits के बीचएक , लेकिन पूरी तरह सेजरूरी नहीं कि पहला अच्छा था (और दूसरा खराब था)। इसलिए, यद्यपि प्रतिस्पर्धा डुप्लिकेट घटना नहीं है , लेकिन ध्यान में रखा जाना चाहिएस्वतंत्र रूप से लटकाओ। घटनाओं की असंगति को देखते हुए और , उनके तार्किक योग की संभावना बराबर होगी

गणना के इस सुधार के बाद, हमारे पास है

जो परोक्ष रूप से मिली संभावनाओं की शुद्धता की पुष्टि करता है।

टिप्पणी : "केवल" जैसी घटनाओं के शब्दों में अंतर पर विशेष ध्यान देंप्रथम सूचीबद्ध तत्वों में से…” और “केवलएक सूचीबद्ध वस्तुओं में सेईन्ट्स चाहिए ..."। अंतिम घटना स्पष्ट रूप से व्यापक है और इसमें शामिल हैंटीइसकी रचना में सबसे पहले (संभवतः असंख्य .) में से एक के रूप मेंएक्स) विकल्प। इन विकल्पों (भले ही उनकी संभावनाएँ मेल खाती हों) को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से ध्यान में रखा जाना चाहिए।

पी टिप्पणी : शब्द "प्रतिशत" शब्द "प्रतिशत" से आया हैप्रति प्रतिशत", अर्थात।"सौ"। प्रतिशत के रूप में आवृत्तियों और संभावनाओं का प्रतिनिधित्व आपको बड़े मूल्यों के साथ काम करने की अनुमति देता है, जो कभी-कभी "कान से" मूल्यों की धारणा को सरल बनाता है। हालांकि, सही सामान्यीकरण के लिए गणना में "100%" से गुणा या भाग का उपयोग करना बोझिल और अक्षम है। इस संबंध में नउल्लेख करके मूल्यों का उपयोग करने से बचेंप्रतिशत के रूप में, उन्हें परिकलित व्यंजकों में प्रतिस्थापित करेंया एक इकाई के अंश के रूप में (उदाहरण के लिए, गणना में 35% लिखा जाता हैपरिणामों के गलत सामान्यीकरण के जोखिम को कम करने के लिए i "0.35") के रूप में।

उदाहरण 3 : रोकनेवाला सेट में एक रोकनेवाला n . होता है4 kOhm का नाममात्र मूल्य, 8 kOhm के तीन प्रतिरोधक और छह प्रतिरोधक15 kOhm के प्रतिरोध के साथ ओरोव। यादृच्छिक रूप से चुने गए तीन प्रतिरोधक समानांतर में जुड़े हुए हैं। 4 kOhm से अनधिक अंतिम प्रतिरोध प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

रेशो आयन समानांतर कनेक्शन प्रतिरोध resइतिहास की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

यह आपको इस तरह की घटनाओं पर विचार करने की अनुमति देता है

ए= "तीन 15 kΩ प्रतिरोधक चुने गए" = "
”;

बी= "में15 kOhm के दो प्रतिरोधक और एक प्रतिरोध के साथएम 8 कोहम" = "
”…

समस्या की स्थिति के अनुरूप घटनाओं के पूरे समूह में कई विकल्प शामिल हैं, और यह ठीक वही है जोजो 4 kOhm से अधिक का प्रतिरोध प्राप्त करने की उन्नत आवश्यकता के अनुरूप नहीं है। हालांकि, हालांकि "प्रत्यक्ष" समाधान पथ, जिसमें गणना शामिल है (और बाद में योगआईएनजी) संभावनाएं जो इन सभी घटनाओं की विशेषता हैं, और सही है, इस तरह से कार्य करना उचित नहीं है।

ध्यान दें कि 4 kOhm d . से कम का अंतिम प्रतिरोध प्राप्त करने के लिएयह रहता है कि प्रयुक्त सेट में प्रतिरोध के साथ कम से कम एक रोकनेवाला शामिल है15 kOhm से कम खाएं। इस प्रकार, केवल मामले मेंएकार्य की आवश्यकता पूरी नहीं होती है, अर्थात। प्रतिस्पर्धाएएकविलोम शोध किया। हालांकि,

.

इस प्रकार, ।

पी आरआई पटकना : किसी घटना की प्रायिकता की गणना करनाए, निर्धारण की जटिलता का विश्लेषण करना न भूलेंमुझे इसके विपरीत किसी घटना की संभावना है। अगर रसोपढ़ना
आसान है, तो इसके साथ ही हमें शुरुआत करनी चाहिए।अन्य कार्य, संबंध लागू करके इसे पूरा करना (2 .0).

पी उदाहरण 4 : वहाँ हैंएनसफेद,एमकाली रेतकलाल गेंदें। गेंदों को बॉक्स से एक-एक करके निकाला जाता है।और प्रत्येक निष्कर्षण के बाद वापस आ गया। संभावना निर्धारित करेंआयोजनए= "सफेद गेंद"काला से पहले निकाला जाएगा” .

रेशो आयन घटनाओं के निम्नलिखित सेट पर विचार करें

= "पहले प्रयास में सफेद गेंद को हटा दिया गया";

= "पहले एक लाल गेंद निकाली गई, और फिर एक सफेद गेंद";

= "एक लाल गेंद को दो बार और एक सफेद गेंद को तीसरी बार निकाला गया"”…

ऐसा करने के लिएजैसे ही गेंदें लौटती हैं, फिर घटनाओं का क्रमयतियो औपचारिक रूप से असीम रूप से बढ़ाया जा सकता है।

ये घटनाएँ असंगत हैं और एक साथ उन स्थितियों के समूह का निर्माण करती हैं जिनमें घटना घटित होती है।ए. इस प्रकार,

यह देखना आसान है कि योग के रूप में शामिल शब्दज्यामितीय अनुक्रम प्रारंभिक तत्व के साथ
और हर
. लेकिन रकमऔर एक अनंत ज्यामितीय प्रगति के तत्व बराबर हैं

.

इस प्रकार, । लीयह उत्सुक है कि यह संभावना (प्राप्त से निम्नानुसार हैव्यंजक) डिब्बे में लाल गेंदों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है।

प्रायिकता एक बहुत ही आसान विषय है यदि आप समस्याओं के अर्थ पर ध्यान केंद्रित करते हैं, न कि सूत्रों पर। लेकिन संभाव्यता समस्याओं को कैसे हल करें। सबसे पहले, संभावना क्या है? यह मौका है कि कोई घटना घटेगी। यदि हम कहें कि किसी घटना की प्रायिकता 50% है, तो इसका क्या अर्थ है? यह होगा या नहीं होगा यह दो चीजों में से एक है। इस प्रकार, संभाव्यता मूल्य की गणना करना बहुत सरल है - आपको हमारे लिए उपयुक्त विकल्पों की संख्या लेने और सभी संभावित विकल्पों की संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने पर पट आने की प्रायिकता ½ होती है। हम ½ कैसे प्राप्त करते हैं? कुल मिलाकर, हमारे पास दो संभावित विकल्प (सिर और पूंछ) हैं, जिनमें से एक हमें (पूंछ) सूट करता है, इसलिए हमें संभावना ½ मिलती है।

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, प्रायिकता को प्रतिशत और सामान्य दोनों संख्याओं में व्यक्त किया जा सकता है। महत्वपूर्ण: परीक्षा में आपको उत्तर संख्याओं में लिखना होगा, न कि प्रतिशत में। यह माना जाता है कि प्रायिकता 0 (कभी नहीं होती) से 1 (बिल्कुल घटित होगी) से भिन्न होती है। आप यह भी कह सकते हैं कि हमेशा

उपयुक्त घटनाओं की प्रायिकता + अनुपयुक्त घटनाओं की प्रायिकता = 1

अब हम ठीक से समझते हैं कि किसी एक घटना की संभावना की गणना कैसे की जाती है, और यहां तक ​​​​कि ऐसे कार्य भी FIPI बैंक में हैं, लेकिन यह स्पष्ट है कि यह वहाँ समाप्त नहीं होता है। जीवन को और अधिक मज़ेदार बनाने के लिए, संभाव्यता समस्याओं में आमतौर पर कम से कम दो घटनाएँ होती हैं, और आपको उनमें से प्रत्येक को ध्यान में रखते हुए प्रायिकता की गणना करने की आवश्यकता होती है।

हम प्रत्येक घटना की अलग-अलग संभावना की गणना करते हैं, फिर भिन्नों के बीच चिह्न लगाते हैं:

1. अगर आपको पहली और दूसरी घटना चाहिए, तो गुणा करें।

2. अगर आपको पहली या दूसरी घटना चाहिए, तो जोड़ें।

संभाव्यता पर समस्याओं और समस्याओं का समाधान

कार्य 1। 23 से 37 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह 5 से विभाज्य नहीं है।

फेसला:

प्रायिकता अनुकूल विकल्पों का उनकी कुल संख्या से अनुपात है।

इस अंतराल में 15 अंक होते हैं। इनमें से केवल 3 ही 5 से विभाज्य हैं, इसलिए 12 विभाज्य नहीं है।

संभावना तब:

उत्तर: 0.8.

कार्य 2.कक्षा में दो छात्रों को भोजन कक्ष में सेवा करने के लिए यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि कक्षा में 7 लड़के और 8 लड़कियां हैं, तो दो लड़कों के ड्यूटी पर होने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:प्रायिकता अनुकूल विकल्पों का उनकी कुल संख्या से अनुपात है। 7 लड़कों की कक्षा में, ये अनुकूल विकल्प हैं। और केवल 15 छात्र।

संभावना है कि पहला कर्तव्य लड़का:

संभावना है कि दूसरा कर्तव्य लड़का:

चूँकि दोनों लड़के होने चाहिए, हम प्रायिकताओं को गुणा करते हैं:

उत्तर : 0.2.

कार्य 3.आपातकालीन निकास के बगल में विमान में 12 सीटें हैं और केबिनों को अलग करने वाले विभाजन के पीछे 18 सीटें हैं। बाकी सीटें लंबे यात्री के लिए असुविधाजनक हैं। यात्री वी। लंबा है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चेक-इन पर, सीट के यादृच्छिक विकल्प के साथ, यात्री बी को एक आरामदायक सीट मिलेगी यदि विमान में 300 सीटें हैं।

फेसला:यात्री बी 30 सीटों (12 + 18 = 30) के साथ सहज है, और विमान में 300 सीटें हैं। इसलिए, यात्री B को आरामदायक सीट मिलने की प्रायिकता 30/300 यानी 0.1 है।

कार्य 4.गणित में टिकटों के संग्रह में केवल 25 टिकट हैं, उनमें से 10 में असमानताओं पर एक प्रश्न है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षा में यादृच्छिक रूप से चुने गए टिकट में किसी छात्र को असमानताओं पर कोई प्रश्न नहीं मिलेगा।

फेसला: 25 टिकटों में से, 15 में असमानताओं पर कोई प्रश्न नहीं है, इसलिए यादृच्छिक रूप से चुने गए टिकट में एक छात्र को असमानताओं पर एक प्रश्न नहीं मिलने की संभावना 15/25, यानी 0.6 है।

टास्क 5. रसायन शास्त्र के टिकटों के संग्रह में केवल 35 टिकट हैं, उनमें से 7 में एसिड पर एक प्रश्न है।

परीक्षा में यादृच्छिक रूप से चुने गए टिकट में किसी छात्र को एसिड पर कोई प्रश्न नहीं मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला: 35 टिकटों में से, 28 में एसिड पर कोई प्रश्न नहीं है, इसलिए परीक्षा में यादृच्छिक रूप से चुने गए टिकट में एक छात्र को एसिड पर एक प्रश्न नहीं मिलने की संभावना 28/35, यानी 0.8 है।

कार्य 6.औसतन 500 गार्डन पंपों में से 2 लीक हुए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित पंप लीक नहीं होता है।

फेसला:अगर 500 में से 2 पंप लीक हो रहे हैं, तो 498 लीक नहीं हो रहे हैं। इसलिए, एक अच्छा पंप चुनने की संभावना 498/500, यानी 0.996 है।

टास्क 7.एक वर्ष के भीतर एक नए वैक्यूम क्लीनर की मरम्मत की संभावना 0.065 है। एक निश्चित शहर में, वर्ष के दौरान बेचे गए 1000 वैक्यूम क्लीनर में से 70 पीस वारंटी वर्कशॉप में पहुंचे।

"वारंटी मरम्मत" घटना की आवृत्ति इस शहर में इसकी संभावना से कितनी भिन्न है?

फेसला:"वारंटी मरम्मत" घटना की आवृत्ति 70/1000, यानी 0.07 है। यह अनुमानित प्रायिकता से 0.005 (0.07 - 0.065 = 0.005) से भिन्न है।

टास्क 8.जिम्नास्टिक चैंपियनशिप में 50 एथलीट भाग लेते हैं: रूस से 18, यूक्रेन से 14, शेष बेलारूस से। जिस क्रम में जिमनास्ट प्रदर्शन करते हैं वह बहुत से निर्धारित होता है।

इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले प्रदर्शन करने वाला खिलाड़ी बेलारूस से होगा।

फेसला:चैंपियनशिप में 50 प्रतिभागी हैं, और बेलारूस के 18 एथलीट (50 - 18 - 14 = 18) हैं।

संभावना है कि बेलारूस का एक एथलीट सबसे पहले प्रदर्शन करेगा, 50 में से 18, यानी 18/50, या 0.36 है।

कार्य 9.वैज्ञानिक सम्मेलन 5 दिनों में आयोजित किया जाता है। कुल 80 रिपोर्ट की योजना बनाई गई है - पहले तीन दिन, 12 रिपोर्ट प्रत्येक, बाकी को चौथे और पांचवें दिनों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। रिपोर्ट का क्रम एक ड्रा द्वारा निर्धारित किया जाता है।

इस बात की क्या प्रायिकता है कि सम्मेलन के अंतिम दिन प्रोफेसर एम. की रिपोर्ट निर्धारित की जाएगी?

फेसला:पहले तीन दिनों के दौरान, 36 रिपोर्ट पढ़ी जाएंगी (12 3 = 36), पिछले दो दिनों के लिए 44 रिपोर्ट की योजना बनाई गई है। इसलिए, 22 रिपोर्ट्स अंतिम दिन (44: 2 = 22) के लिए निर्धारित हैं। इसका मतलब यह है कि सम्मेलन के अंतिम दिन प्रोफेसर एम. की रिपोर्ट निर्धारित होने की संभावना 22/80, यानी 0.275 है।

टास्क 10.

शतरंज चैंपियनशिप के पहले दौर की शुरुआत से पहले, प्रतिभागियों को यादृच्छिक रूप से बहुत से ड्रॉ करके खेल जोड़े में विभाजित किया जाता है। चैंपियनशिप में कुल मिलाकर 26 शतरंज खिलाड़ी भाग लेते हैं, जिसमें येगोर कोसोव सहित रूस के 14 प्रतिभागी शामिल हैं।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि येगोर कोसोव पहले दौर में रूस के किसी शतरंज खिलाड़ी के साथ खेलेंगे?

फेसला:पहले दौर में, येगोर कोसोव 25 शतरंज खिलाड़ियों (26 - 1 = 25) के साथ खेल सकते हैं, जिनमें से 13 रूस के हैं। इसका मतलब यह है कि रूस के किसी भी शतरंज खिलाड़ी के साथ पहले दौर में ईगोर कोसोव के खेलने की संभावना 13/25 या 0.52 है।

टास्क 11.

वर्ल्ड चैंपियनशिप में 16 टीमें हिस्सा लेती हैं। लॉट निकालकर, उन्हें चार-चार टीमों के चार समूहों में विभाजित किया जाना चाहिए। बॉक्स में मिश्रित समूह संख्या वाले कार्ड हैं: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4।

टीम के कप्तान एक-एक कार्ड निकालते हैं। क्या संभावना है कि रूसी टीम दूसरे समूह में होगी?

फेसला:रूसी टीम के दूसरे समूह में होने की प्रायिकता संख्या 2 वाले ताश के पत्तों की कुल संख्या, यानी 4/16, या 0.25 के अनुपात के बराबर है।

कार्य 12.पर्यटकों के एक समूह में 5 लोग हैं। लॉट की मदद से वे दो ऐसे लोगों को चुनते हैं जिन्हें खाने के लिए गांव जाना होगा। पर्यटक ए स्टोर पर जाना चाहता है, लेकिन वह बहुत कुछ प्रस्तुत करता है। A के दुकान पर जाने की प्रायिकता क्या है?

फेसला:पांच में से दो पर्यटक चुनें। अतः चुने जाने की प्रायिकता 2/5 अर्थात 0.4 है।

टास्क 13.पर्यटकों के एक समूह में 30 लोग हैं। उन्हें हेलीकॉप्टर द्वारा कई चरणों में एक दूरस्थ क्षेत्र में फेंक दिया जाता है, प्रति उड़ान 6 लोग। जिस क्रम में हेलीकॉप्टर पर्यटकों को ले जाता है वह यादृच्छिक है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पर्यटक P. पहली हेलीकॉप्टर उड़ान भरेगा।

फेसला:पहली उड़ान में 6 सीटें हैं, कुल 30 सीटें। फिर पहली हेलीकॉप्टर उड़ान पर पर्यटक के उड़ान भरने की प्रायिकता 6/30, या 0.2 है।

कार्य 14.इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से 10 से 19 तक चुनी गई प्राकृत संख्या 3 से विभाज्य है?

फेसला: 10 से 19 तक दस प्राकृत संख्याएँ हैं, जिनमें से तीन संख्याएँ 3:12, 15 और 18 से विभाज्य हैं। इसलिए, अपेक्षित प्रायिकता 3/10, अर्थात् 0.3 है।

कई घटनाओं की संभावना

कार्य 1।वॉलीबॉल मैच शुरू होने से पहले, टीम के कप्तान यह निर्धारित करने के लिए उचित लॉट निकालते हैं कि कौन सी टीम बॉल गेम शुरू करेगी। "स्टार्टर" टीम बारी-बारी से "रोटर", "मोटर" और "स्ट्रेटर" टीमों के साथ खेलती है। संभावना खोजें कि "स्टार्टर" केवल दूसरा गेम शुरू करेगा।

फेसला:

निम्नलिखित विकल्प हमें सूट करेगा: स्टेटर पहला गेम शुरू नहीं करता है, दूसरा गेम शुरू करता है, तीसरा गेम शुरू नहीं करता है। घटनाओं के इस तरह के विकास की संभावना इन घटनाओं में से प्रत्येक की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है। उनमें से प्रत्येक की संभावना 0.5 है, इसलिए: 0.5 0.5 0.5 = 0.125।

कार्य 2.प्रतियोगिता के अगले दौर में आगे बढ़ने के लिए, एक फुटबॉल टीम को दो मैचों में कम से कम 4 अंक हासिल करने की आवश्यकता होती है। यदि कोई टीम जीतती है, तो उसे 3 अंक मिलते हैं, ड्रॉ की स्थिति में - 1 अंक, हारने पर - 0 अंक। इस संभावना का पता लगाएं कि टीम प्रतियोगिता के अगले दौर में आगे बढ़ने में सक्षम होगी। विचार करें कि प्रत्येक गेम में जीतने और हारने की संभावनाएं समान हैं और 0.4 के बराबर हैं।

फेसला:

प्रश्न प्रकार: घटनाओं का संयोजन।

इन 3 विकल्पों में से किसी की उत्पत्ति की संभावना प्रत्येक विकल्प की संभावनाओं के योग के बराबर है: 0.08 + 0.08 + 0.16 = 0.32।

कार्य 3.कक्षा में 21 छात्र हैं। उनमें से दो दोस्त हैं: अन्या और नीना। कक्षा को यादृच्छिक रूप से 3 लोगों के 7 समूहों में विभाजित किया गया है। अन्या और नीना के एक ही समूह में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:

प्रश्न प्रकार: समूह कम करें।

अन्या के किसी एक समूह में गिरने की प्रायिकता 1 है। नीना के उसी समूह में गिरने की प्रायिकता 20 में से 2 (समूह में 2 शेष स्थान, और 20 लोग शेष) हैं। 2/20 = 1/10 = 0.1।

कार्य 4.पेट्या की जेब में 4 रूबल के सिक्के और 2 दो रूबल के सिक्के थे। पेट्या ने बिना देखे कुछ 3 सिक्के दूसरी जेब में डाल दिए। दो रूबल के दोनों सिक्के एक ही जेब में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:

विधि संख्या 1

कार्य प्रकार: समूह में कमी।

कल्पना कीजिए कि छह सिक्के तीन सिक्कों के दो समूहों में विभाजित हैं। संभावना है कि पहला एक-रूबल सिक्का जेब (समूहों) में से एक में गिर जाएगा = 1।

दो दो रूबल के सिक्के एक ही जेब में गिरने की प्रायिकता = इस जेब में शेष स्थानों की संख्या / दोनों जेबों में शेष स्थानों की संख्या = 2/5 = 0.4।

विधि संख्या 2

प्रश्न प्रकार: घटनाओं का संयोजन।

कार्य कई तरीकों से किया जाता है:

यदि पेट्या ने चार रूबल के सिक्कों में से तीन को दूसरी जेब में स्थानांतरित कर दिया (उसने दो रूबल के सिक्कों को स्थानांतरित नहीं किया), या यदि उसने दो रूबल के सिक्के और एक रूबल के सिक्के को तीन तरीकों में से एक में दूसरी जेब में स्थानांतरित किया: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. आप इसे एक आरेख में चित्रित कर सकते हैं (पीटर इसे पॉकेट 2 में रखता है, इसलिए हम "पॉकेट 2" कॉलम में संभावनाओं की गणना करेंगे):

टास्क 5. पेट्या की जेब में 5 रूबल के 2 सिक्के और 10 रूबल के 4 सिक्के थे। पेट्या ने बिना देखे कुछ 3 सिक्के दूसरी जेब में डाल दिए। पांच रूबल के सिक्के अब अलग-अलग जेबों में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:

कार्य प्रकार: समूह में कमी।

विधि संख्या 1

कल्पना कीजिए कि छह सिक्के तीन सिक्कों के दो समूहों में विभाजित हैं। पहले दो रूबल का सिक्का किसी एक जेब (समूह) में गिरने की प्रायिकता = 1. दूसरा सिक्का दूसरी जेब में गिरने की प्रायिकता = दूसरे में शेष स्थानों की संख्या / दोनों में शेष स्थानों की संख्या जेब = 3/5 = 0.6।

विधि संख्या 2

प्रश्न प्रकार: घटनाओं का संयोजन।

कार्य कई विकल्पों द्वारा किया जाता है:

पांच रूबल के सिक्के अलग-अलग जेबों में समाप्त होने के लिए, पेट्या को अपनी जेब से एक पांच-रूबल और दो दस-रूबल के सिक्के लेने होंगे। यह तीन तरीकों से किया जा सकता है: 5, 10, 10; 10, 5, 10 या 10, 10, 5। आप इसे एक आरेख में चित्रित कर सकते हैं (पीटर इसे पॉकेट 2 में रखता है, इसलिए हम "पॉकेट 2" कॉलम में संभावनाओं की गणना करेंगे):

इन 4 विकल्पों में से किसी के भी आने की प्रायिकता प्रत्येक विकल्प की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

कार्य 6.एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। इसके ठीक दो बार शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:प्रश्न प्रकार: वांछित और वास्तविक संयोजन घटनाओं को खोजना हम तीन विकल्पों से संतुष्ट हैं:

ईगल - पूंछ - ईगल;

ईगल - ईगल - पूंछ;

पूंछ - चील - चील;

प्रत्येक स्थिति की प्रायिकता 1/2 है, और प्रत्येक विकल्प की 1/8 (1/2 1/2 ∙ 1/2 = 1/8) है।

हम या तो पहले, या दूसरे, या तीसरे विकल्प से संतुष्ट होंगे। इसलिए, हम उनकी संभावनाओं को जोड़ते हैं और 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), यानी 0.375 प्राप्त करते हैं।

टास्क 7.यदि ग्रैंडमास्टर ए सफेद खेलता है, तो वह 0.5 की संभावना के साथ ग्रैंडमास्टर बी जीतता है। यदि ए काला खेलता है, तो ए 0.34 की संभावना के साथ बी को हरा देता है। ग्रैंडमास्टर ए और बी दो गेम खेलते हैं, और दूसरे गेम में वे टुकड़ों का रंग बदलते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि A. दोनों बार जीतता है।

फेसला:

प्रश्न प्रकार: घटनाओं का संयोजन।

किसी भी स्थिति में, A. सफेद और काले दोनों तरह से खेलेगा, इसलिए हम उस विकल्प से संतुष्ट होंगे जब ग्रैंडमास्टर A. सफेद खेल (संभाव्यता 0.5) और साथ ही काला (प्रायिकता 0.34) खेलता है। इसलिए, इन दो घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करना आवश्यक है: 0.5 0.34 = 0.17।

टास्क 8.बैटरी के खराब होने की प्रायिकता 0.02 है। स्टोर में ग्राहक इनमें से दो बैटरी वाले यादृच्छिक पैकेज का चयन करता है। दोनों बैटरियां अच्छी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:

प्रश्न प्रकार: घटनाओं का संयोजन।

बैटरी के अच्छे होने की प्रायिकता 0.98 है। खरीदार को अच्छी क्रम में होने के लिए पहली और दूसरी दोनों बैटरी की आवश्यकता होती है: 0.98 0.98 = 0.9604।

कार्य 9.समूह रॉक फेस्टिवल में प्रदर्शन करते हैं - प्रत्येक घोषित देशों में से एक। प्रदर्शन का क्रम बहुत से निर्धारित होता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यूएसए का कोई बैंड कनाडा के बैंड के बाद और चीन के बैंड के बाद परफॉर्म करेगा? परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।

फेसला:

प्रश्न प्रकार: घटनाओं का संयोजन।

उत्सव में प्रदर्शन करने वाले समूहों की कुल संख्या प्रश्न का उत्तर देने के लिए कोई मायने नहीं रखती। चाहे कितने भी हों, इन देशों के लिए वक्ताओं के बीच आपसी व्यवस्था के 6 तरीके हैं (KIT - China, CAN = Canada):

…यूएसए, कैन, चीन…

…यूएसए, चीन, कर सकते हैं…

… किट, यूएसए, कर सकते हैं…

... कर सकते हैं, अमेरिका, चीन ...

... कान, किट, यूएसए ...

… किट, कैन, यूएसए…

पिछले दो मामलों में अमेरिका चीन और कनाडा से पीछे है। इसलिए, इस तरह से समूहों को बेतरतीब ढंग से वितरित किए जाने की संभावना बराबर है:

पूरक संभावना

कार्य 1।

स्वचालित लाइन बैटरी बनाती है। समाप्त बैटरी के खराब होने की प्रायिकता 0.02 है। पैकेजिंग से पहले, प्रत्येक बैटरी एक नियंत्रण प्रणाली से गुजरती है। संभावना है कि सिस्टम खराब बैटरी को अस्वीकार कर देगा 0.97 है। संभावना है कि सिस्टम गलती से एक अच्छी बैटरी को अस्वीकार कर देगा 0.05 है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई बैटरी अस्वीकृत हो जाएगी।

फेसला:

2 विकल्प हैं जो हमें सूट करते हैं:

विकल्प ए: बैटरी खारिज कर दी गई है, यह खराब है;

विकल्प बी: बैटरी खारिज कर दी गई है, यह काम कर रही है।

विकल्प A की प्रायिकता: 0.02 0.97 = 0.0194;

विकल्प B की प्रायिकता: 0.05 0.98 = 0.049;

या तो पहला या दूसरा विकल्प हमारे अनुकूल होगा: 0.0194 + 0.049 = 0.0684।

कार्य 2.दो कारखाने कार हेडलाइट्स के लिए एक ही ग्लास का उत्पादन करते हैं। पहला कारखाना इनमें से 60% चश्मे का उत्पादन करता है, दूसरा - 40%। पहला कारखाना 3% दोषपूर्ण चश्मे का उत्पादन करता है, और दूसरा - 5%। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गलती से एक दुकान में खरीदा गया गिलास खराब हो जाएगा।

फेसला:

संभावना है कि कांच पहले कारखाने में खरीदा गया था और यह दोषपूर्ण है: 0.6 0.03 = 0.018।

संभावना है कि कांच दूसरे कारखाने में खरीदा गया था और यह दोषपूर्ण है: 0.4 0.05 = 0.02।

किसी स्टोर में गलती से खरीदा गया गिलास खराब होने की प्रायिकता 0.018 + 0.02 = 0.038 है।

कार्य 3.सिरेमिक टेबलवेयर कारखाने में, उत्पादित प्लेटों में से 10% दोषपूर्ण हैं। उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान, 80% दोषपूर्ण प्लेटों का पता लगाया जाता है। बाकी प्लेट बिक्री के लिए हैं। खरीद के समय बेतरतीब ढंग से चुनी गई प्लेट में कोई खराबी नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। परिणाम को हज़ारवें में गोल करें।

फेसला:

मान लीजिए कि हमारे पास शुरू में x प्लेट हैं (आखिरकार, हम लगातार प्रतिशत के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए कुछ भी हमें विशिष्ट मूल्यों के साथ काम करने से नहीं रोकता है)।

फिर 0.1x दोषपूर्ण प्लेट हैं, और 0.9x सामान्य हैं, जो तुरंत स्टोर पर जाएंगी। दोषपूर्ण लोगों में से, 80%, यानी 0.08x, हटा दिया जाता है, और 0.02x रहता है, जो स्टोर में भी जाएगा। इस प्रकार, स्टोर में अलमारियों पर प्लेटों की कुल संख्या होगी: 0.9x + 0.02x = 0.92x। इनमें से 0.9x सामान्य रहेगा। तदनुसार, सूत्र के अनुसार, संभावना 0.9x / 0.92x 0.978 होगी।

कार्य 4.ग्राहक समीक्षाओं के अनुसार, इगोर इगोरविच ने दो ऑनलाइन स्टोर की विश्वसनीयता का आकलन किया। स्टोर ए से वांछित उत्पाद की डिलीवरी की संभावना 0.91 है। इस उत्पाद के स्टोर B से डिलीवर होने की प्रायिकता 0.89 है। इगोर इगोरविच ने दोनों दुकानों में एक ही बार में सामान का ऑर्डर दिया। यह मानते हुए कि ऑनलाइन स्टोर एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से संचालित होते हैं, इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कोई भी स्टोर माल की डिलीवरी नहीं करेगा।

फेसला।संभावना है कि पहला स्टोर माल वितरित नहीं करेगा 1 - 0.91 = 0.09। संभावना है कि दूसरा स्टोर सामान वितरित नहीं करेगा 1 - 0.89 = 0.11 है। इन दो घटनाओं के एक ही समय में घटित होने की प्रायिकता उनमें से प्रत्येक की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है: 0.09 0.11 = 0.0099।

कार्य 5. 70 मिमी के व्यास के साथ बीयरिंगों का निर्माण करते समय, व्यास निर्दिष्ट एक से 0.01 मिमी से कम होने की संभावना 0.961 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक बेयरिंग का व्यास 69.99 मिमी से कम या 70.01 मिमी से अधिक होगा।

फेसला:हमें एक घटना की संभावना दी गई है जिसमें व्यास 69.99 मिमी और 70.01 मिमी के बीच होगा, और यह 0.961 के बराबर है। हम पूरक प्रायिकता के सिद्धांत का उपयोग करके अन्य सभी विकल्पों की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं: 1 - 0.961 = 0.039।

कार्य 6.इतिहास की परीक्षा में एक छात्र द्वारा 9 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करने की प्रायिकता 0.68 है। 8 से अधिक समस्याओं के सही ढंग से हल होने की प्रायिकता 0.78 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ठीक 9 समस्याओं को ठीक से हल किया जाएगा।

फेसला:संभावना है कि टी। 8 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करता है, इसमें 9 समस्याओं को हल करने की संभावना शामिल है। साथ ही, जिन घटनाओं में O. 9 से अधिक समस्याओं का समाधान करता है, वे हमें शोभा नहीं देतीं। इसलिए, 9 से अधिक कार्यों को हल करने की संभावना से 8 से अधिक कार्यों को हल करने की संभावना घटाकर, हम केवल 9 कार्यों को हल करने की संभावना पाएंगे: 0.78 - 0.68 = 0.1।

टास्क 7.जिला केंद्र से गांव के लिए प्रतिदिन एक बस चलती है। सोमवार को बस में 21 से कम यात्री होने की प्रायिकता 0.88 है। 12 से कम यात्रियों के होने की प्रायिकता 0.66 है। यात्रियों की संख्या 12 से 20 के बीच होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला।संभावना है कि एक बस में 21 से कम यात्री होंगे, इसमें 12 से 20 यात्रियों के बीच होने की संभावना शामिल है। वहीं, ऐसे आयोजन जिनमें 12 से कम यात्री होंगे हमारे लिए उपयुक्त नहीं हैं। इसलिए, पहली प्रायिकता (21 से कम) से दूसरी प्रायिकता (12 से कम) को घटाकर, हम 12 से 20 यात्रियों के होने की प्रायिकता पाएंगे: 0.88 - 0.66 = 0.22।

टास्क 8.फेयरीलैंड में दो प्रकार के मौसम होते हैं: अच्छा और उत्कृष्ट, और मौसम, सुबह बसने के बाद, पूरे दिन अपरिवर्तित रहता है। मालूम हो कि 0.9 की संभावना के साथ कल मौसम आज जैसा ही रहेगा। 10 अप्रैल को फेयरीलैंड में मौसम अच्छा है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 13 अप्रैल को मैजिकलैंड में अच्छा मौसम होगा।

फेसला:

कार्य कई विकल्पों ("X" - अच्छा मौसम, "O" - महान मौसम) द्वारा किया जाता है:

इन 4 विकल्पों में से किसी की उत्पत्ति की प्रायिकता प्रत्येक विकल्प की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है: 0.081 + 0.081 + 0.081 + 0.001 = 0.244।

कार्य 9.फेयरीलैंड में दो प्रकार के मौसम होते हैं: अच्छा और उत्कृष्ट, और मौसम, सुबह बसने के बाद, पूरे दिन अपरिवर्तित रहता है। ज्ञात हो कि 0.8 की संभावना के साथ कल मौसम आज जैसा ही रहेगा। आज 3 जुलाई है, फेयरीलैंड में मौसम ठीक है। 6 जुलाई को मैजिकलैंड में अच्छा मौसम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला:

कार्य कई विकल्पों ("X" - अच्छा मौसम, "O" - महान मौसम) द्वारा किया जाता है:

इन 4 - x विकल्पों में से किसी की उत्पत्ति की प्रायिकता प्रत्येक विकल्प की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है: 0.128 + 0.128 + 0.128 + 0.008 = 0.392।

संभाव्यता सिद्धांत घटनाओं के प्रकार और उनके घटित होने की संभावनाओं का अध्ययन करता है। संभाव्यता सिद्धांत का उद्भव 17 वीं शताब्दी के मध्य में हुआ, जब गणितज्ञों को जुआरियों द्वारा उत्पन्न समस्याओं में दिलचस्पी हो गई और उन्होंने जीत की उपस्थिति जैसी घटनाओं का अध्ययन करना शुरू कर दिया। इन समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता और गणितीय अपेक्षा जैसी अवधारणाएँ क्रिस्टलीकृत हो गईं। उस समय के वैज्ञानिक - ह्यूजेंस (1629-1695), पास्कल (1623-1662), फ़र्मेट (1601-1665) और बर्नौली (1654-1705) इस बात से आश्वस्त थे कि बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के आधार पर स्पष्ट पैटर्न उत्पन्न हो सकते हैं। साथ ही, प्राथमिक अंकगणितीय और संयोजनीय संचालन अनुसंधान के लिए पर्याप्त थे।

तो, संभाव्यता का सिद्धांत उन विभिन्न पैटर्नों की व्याख्या और अन्वेषण करता है जिनके लिए यादृच्छिक घटनाएं और यादृच्छिक चर विषय हैं। प्रतिस्पर्धा कोई भी तथ्य है जिसे अवलोकन या अनुभव से पता लगाया जा सकता है। अवलोकन या अनुभव कुछ शर्तों की प्राप्ति है जिसके तहत कोई घटना हो सकती है।

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए आपको क्या जानना आवश्यक है

वे सभी घटनाएँ जिन्हें लोग स्वयं देखते हैं या बनाते हैं, उनमें विभाजित हैं:

• विश्वसनीय घटनाएँ;
• असंभव घटनाएं;
• यादृच्छिक घटनाएँ।

विश्वसनीय घटनाएं हमेशा आते हैं जब परिस्थितियों का एक निश्चित सेट बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम काम करते हैं, हमें इसके लिए पारिश्रमिक मिलता है, यदि हमने परीक्षा उत्तीर्ण की और प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, तो हम छात्रों की संख्या में शामिल होने पर भरोसा कर सकते हैं। भौतिकी और रसायन विज्ञान में विश्वसनीय घटनाओं को देखा जा सकता है। अर्थशास्त्र में, कुछ घटनाएं मौजूदा सामाजिक संरचना और कानून से जुड़ी होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमने किसी जमा के लिए बैंक में पैसा निवेश किया है और एक निश्चित अवधि के भीतर इसे प्राप्त करने की इच्छा व्यक्त की है, तो हमें धन प्राप्त होगा। इसे एक विश्वसनीय घटना के रूप में गिना जा सकता है।

असंभव घटनाएं निश्चित रूप से ऐसा नहीं होता है यदि शर्तों का एक निश्चित सेट बनाया गया है। उदाहरण के लिए, यदि तापमान प्लस 15 डिग्री सेल्सियस है, तो पानी जमता नहीं है, बिजली के बिना उत्पादन नहीं होता है।

यादृच्छिक घटनाएं जब शर्तों का एक निश्चित सेट महसूस किया जाता है, तो वे हो भी सकते हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, यदि हम एक बार सिक्का उछालते हैं, तो प्रतीक गिर सकता है या नहीं, लॉटरी टिकट जीत सकता है या नहीं, उत्पादित उत्पाद खराब हो सकता है या नहीं। एक दोषपूर्ण उत्पाद की उपस्थिति एक यादृच्छिक घटना है, जो अच्छे उत्पादों के उत्पादन की तुलना में अधिक दुर्लभ है।

यादृच्छिक घटनाओं की घटना की अपेक्षित आवृत्ति संभाव्यता की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। यादृच्छिक घटनाओं की घटना और गैर-घटना के पैटर्न का अध्ययन संभाव्यता के सिद्धांत द्वारा किया जाता है।

यदि आवश्यक शर्तों का सेट केवल एक बार लागू किया जाता है, तो हमें एक यादृच्छिक घटना के बारे में अपर्याप्त जानकारी मिलती है, क्योंकि यह हो भी सकती है और नहीं भी। यदि शर्तों का एक सेट कई बार लागू किया जाता है, तो कुछ नियमितताएं दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, यह जानना कभी संभव नहीं है कि अगले ग्राहक को स्टोर में किस कॉफी मशीन की आवश्यकता होगी, लेकिन यदि लंबे समय से सबसे अधिक मांग वाली कॉफी मशीनों के ब्रांड ज्ञात हों, तो इस डेटा के आधार पर, यह संभव है मांग को पूरा करने के लिए उत्पादन या वितरण को व्यवस्थित करने के लिए।

बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं को नियंत्रित करने वाले पैटर्न को जानने से यह अनुमान लगाना संभव हो जाता है कि ये घटनाएं कब होंगी। उदाहरण के लिए, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक सिक्के को पहले से उछालने के परिणाम का पूर्वाभास करना असंभव है, लेकिन यदि एक सिक्का कई बार फेंका जाता है, तो हथियारों के एक कोट के नुकसान का अनुमान लगाया जा सकता है। त्रुटि छोटी हो सकती है।

संभाव्यता सिद्धांत विधियों का व्यापक रूप से प्राकृतिक विज्ञान, सैद्धांतिक भौतिकी, भूगणित, खगोल विज्ञान, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, त्रुटि अवलोकन सिद्धांत और कई अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक विज्ञान की विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत का व्यापक रूप से उत्पादन योजना और संगठन, उत्पाद गुणवत्ता विश्लेषण, प्रक्रिया विश्लेषण, बीमा, जनसंख्या सांख्यिकी, जीव विज्ञान, बैलिस्टिक और अन्य उद्योगों में उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिक घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला ए, बी, सी, आदि के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।

यादृच्छिक घटनाएं हो सकती हैं:

• असंगत;
• संयुक्त।

घटनाएँ A, B, C... कहलाती हैं असंगत यदि, एक परीक्षण के परिणामस्वरूप, इनमें से एक घटना हो सकती है, लेकिन दो या अधिक घटनाओं का होना असंभव है।

यदि एक यादृच्छिक घटना की घटना दूसरी घटना की घटना को बाहर नहीं करती है, तो ऐसी घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त . उदाहरण के लिए, यदि कन्वेयर बेल्ट से दूसरा भाग हटा दिया जाता है और ईवेंट A का अर्थ है "भाग मानक को पूरा करता है", और ईवेंट B का अर्थ है "भाग मानक को पूरा नहीं करता", तो A और B असंगत ईवेंट हैं। यदि ईवेंट C का अर्थ "ग्रेड II भाग लिया गया" है, तो यह ईवेंट ईवेंट A के साथ है, लेकिन ईवेंट B के साथ नहीं है।

यदि प्रत्येक अवलोकन (परीक्षण) में असंगत यादृच्छिक घटनाओं में से एक और केवल एक ही घटित होना चाहिए, तो ये घटनाएं हैं घटनाओं का पूरा सेट (सिस्टम) .

एक निश्चित घटना घटनाओं के पूरे सेट से कम से कम एक घटना की घटना है।

यदि वे घटनाएँ जो घटनाओं का पूरा समूह बनाती हैं जोड़ीवार असंगत , तो अवलोकन के परिणामस्वरूप इनमें से केवल एक घटना हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक छात्र को दो परीक्षण हल करने होते हैं। निम्नलिखित में से एक और केवल एक घटना निश्चित रूप से घटित होगी:

• पहला कार्य हल हो जाएगा और दूसरा कार्य हल नहीं होगा;
• दूसरा कार्य हल हो जाएगा और पहला कार्य हल नहीं होगा;
• दोनों कार्यों को हल किया जाएगा;
• किसी भी समस्या का समाधान नहीं होगा।

ये घटनाएँ बनती हैं असंगत घटनाओं का पूरा सेट .

यदि घटनाओं के पूरे सेट में केवल दो असंगत घटनाएं होती हैं, तो उन्हें कहा जाता है परस्पर विपरीत या विकल्प आयोजन।

घटना के विपरीत घटना को द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्के के एक बार उछालने की स्थिति में, एक मूल्यवर्ग () या हथियारों का कोट () गिर सकता है।

घटनाओं को कहा जाता है समान रूप से संभव यदि उनमें से किसी के भी वस्तुनिष्ठ लाभ नहीं हैं। इस तरह की घटनाएं भी घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं। इसका मतलब यह है कि अवलोकन या परीक्षण के परिणामस्वरूप समान रूप से संभावित घटनाओं में से कम से कम एक निश्चित रूप से घटित होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, घटनाओं का एक पूरा समूह एक सिक्के के एक उछाल के दौरान संप्रदाय और हथियारों के कोट के नुकसान से बनता है, पाठ के एक मुद्रित पृष्ठ पर 0, 1, 2, 3 और 3 से अधिक त्रुटियों की उपस्थिति।

शास्त्रीय और सांख्यिकीय संभावनाएं। संभाव्यता सूत्र: शास्त्रीय और सांख्यिकीय

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा।अवसर या अनुकूल मामले को मामला कहा जाता है, जब घटना की परिस्थितियों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन में लेकिनहो रहे हैं। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में अनुकूल मामलों या अवसरों की संख्या की सीधे गणना करना शामिल है।

किसी घटना की प्रायिकता लेकिनइस घटना के अनुकूल अवसरों की संख्या के अनुपात को सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या कहा जाता है एनजो एक परीक्षण या अवलोकन के परिणामस्वरूप हो सकता है। प्रायिकता सूत्र आयोजन लेकिन:

यदि यह पूरी तरह से स्पष्ट हो कि किस घटना की प्रायिकता प्रश्न में है, तो प्रायिकता को एक छोटे अक्षर से दर्शाया जाता है पी, ईवेंट पदनाम निर्दिष्ट किए बिना।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार संभाव्यता की गणना करने के लिए, सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या का पता लगाना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कितने घटना की परिभाषा के लिए अनुकूल हैं। लेकिन.

उदाहरण 1एक पासे को फेंकने पर संख्या 5 प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। हम जानते हैं कि सभी छह चेहरों के शीर्ष पर रहने की संभावना समान है। 5 अंक केवल एक तरफ अंकित है। सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की संख्या 6 है, जिनमें से संख्या 5 के घटित होने के लिए केवल एक अनुकूल अवसर है ( एम= 1)। इसका मतलब है कि संख्या 5 के गिरने की वांछित संभावना

उदाहरण 2एक डिब्बे में समान आकार की 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। बिना देखे एक गेंद ली जाती है। लाल गेंद लिए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। वांछित संभावना

संभावनाओं को स्वयं खोजें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 3एक पासा फेंका जाता है। घटना बी- एक सम संख्या गिराना। इस घटना की संभावना की गणना करें।

उदाहरण 5एक कलश में 5 सफेद और 7 काली गेंदें हैं। 1 गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। घटना ए- एक सफेद गेंद खींची जाती है। घटना बी- एक काली गेंद खींची जाती है। इन घटनाओं की संभावनाओं की गणना करें।

शास्त्रीय संभाव्यता को पूर्व संभाव्यता भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी गणना परीक्षण या अवलोकन की शुरुआत से पहले की जाती है। शास्त्रीय संभाव्यता की एक प्राथमिक प्रकृति इसका मुख्य दोष है: केवल दुर्लभ मामलों में, अवलोकन की शुरुआत से पहले भी, अनुकूल घटनाओं सहित सभी समान रूप से संभव असंगत घटनाओं की गणना करना संभव है। ऐसे अवसर आमतौर पर खेलों से संबंधित स्थितियों में उत्पन्न होते हैं।

संयोजन।यदि घटनाओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, तो संभावित घटनाओं की संख्या की गणना संयोजनों की संख्या के रूप में की जाती है:

उदाहरण 6एक समूह में 30 विद्यार्थी हैं। तीन छात्रों को कंप्यूटर विज्ञान विभाग में एक कंप्यूटर और एक प्रोजेक्टर लेने और लाने के लिए जाना चाहिए। इस संभावना की गणना करें कि तीन विशिष्ट छात्र ऐसा करेंगे।

फेसला। संभावित घटनाओं की संख्या की गणना सूत्र (2) का उपयोग करके की जाती है:

तीन विशिष्ट छात्रों के विभाग में जाने की प्रायिकता है:

उदाहरण 7बिक्री के लिए 10 मोबाइल फोन। इनमें से 3 में खामियां हैं। खरीदार ने 2 फोन चुने। इस प्रायिकता की गणना कीजिए कि दोनों चयनित फोन खराब होंगे।

फेसला। सभी समान रूप से संभावित घटनाओं की संख्या सूत्र (2) द्वारा ज्ञात की जाती है:

उसी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम घटना के लिए अनुकूल अवसरों की संख्या पाते हैं:

वांछित संभावना है कि दोनों चयनित फोन खराब होंगे:

प्रायिकता स्वयं ज्ञात कीजिए और फिर हल देखिए

उदाहरण 8परीक्षा कार्ड में 40 प्रश्न हैं, जिन्हें दोहराया नहीं जाता है। छात्र ने उनमें से 30 के उत्तर तैयार किए। प्रत्येक टिकट में 2 प्रश्न होते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी टिकट पर दोनों प्रश्नों के उत्तर जानता है?

सही दांव चुनना न केवल अंतर्ज्ञान, खेल ज्ञान, सट्टेबाजी बाधाओं पर निर्भर करता है, बल्कि घटना के अंतर अनुपात पर भी निर्भर करता है। सट्टेबाजी में ऐसे संकेतक की गणना करने की क्षमता आगामी घटना की भविष्यवाणी करने में सफलता की कुंजी है जिस पर दांव लगाया जाना चाहिए।
सट्टेबाजों में, तीन प्रकार की बाधाएं होती हैं (अधिक विवरण के लिए, लेख देखें), जिनमें से विविधता यह निर्धारित करती है कि किसी खिलाड़ी के लिए किसी घटना की संभावना की गणना कैसे की जाए।

दशमलव बाधाओं

इस मामले में किसी घटना की संभावना की गणना सूत्र के अनुसार होती है: 1/घटना का गुणांक। = v.i, जहां सिसकना का गुणांक। घटना का गुणांक है, और c.i परिणाम की संभावना है। उदाहरण के लिए, हम एक डॉलर के दांव पर 1.80 की घटना ऑड्स लेते हैं, सूत्र के अनुसार गणितीय क्रिया करते हुए, खिलाड़ी को यह मिलता है कि सट्टेबाज के अनुसार घटना के परिणाम की संभावना 0.55 प्रतिशत है।

भिन्नात्मक बाधाएं

भिन्नात्मक बाधाओं का उपयोग करते समय, संभाव्यता गणना सूत्र भिन्न होगा। तो 7/2 के गुणांक के साथ, जहां पहले अंक का मतलब शुद्ध लाभ की संभावित राशि है, और दूसरा आवश्यक दर का आकार है, इस लाभ को प्राप्त करने के लिए, समीकरण इस तरह दिखेगा:। यहाँ zn.coef गुणांक का हर है, chs.coef गुणांक का अंश है, s.i परिणाम की संभावना है। इस प्रकार, 7/2 के भिन्नात्मक ऑड्स के लिए, समीकरण 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22 जैसा दिखता है, इसलिए, सट्टेबाज के अनुसार घटना के परिणाम की संभावना का 0.22 प्रतिशत।

अमेरिकन ऑड्स

अमेरिकी ऑड्स सट्टेबाजों के बीच बहुत लोकप्रिय नहीं हैं और आमतौर पर संयुक्त राज्य अमेरिका में एक जटिल और जटिल संरचना वाले विशेष रूप से उपयोग किए जाते हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए: "इस तरह से किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें?", आपको यह जानना होगा कि ऐसे गुणांक नकारात्मक और सकारात्मक हो सकते हैं।

"-" चिह्न वाला गुणांक, जैसे -150, इंगित करता है कि एक खिलाड़ी को $100 का शुद्ध लाभ कमाने के लिए $150 का दांव लगाना होगा। किसी घटना की प्रायिकता की गणना उस सूत्र के आधार पर की जाती है जहाँ आपको ऋणात्मक ऑड्स को ऋणात्मक ऑड्स और 100 के योग से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। यह -150 के दांव के उदाहरण जैसा दिखता है, इसलिए (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150/(150 + 100) = 150/250 = 0.6, जहां 0.6 को 100 से गुणा किया जाता है और घटना का परिणाम 60 प्रतिशत होता है। सकारात्मक अमेरिकी बाधाओं पर भी यही सूत्र लागू होता है।