विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, हमें अक्सर अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन करने पड़ते हैं। लेकिन ऐसा होता है कि कुछ मामलों में किसी प्रकार के परिवर्तन की अनुमति है, लेकिन दूसरों में नहीं। डीएचएस चल रहे परिवर्तनों की स्वीकार्यता की निगरानी के मामले में महत्वपूर्ण सहायता प्रदान करता है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

दृष्टिकोण का सार इस प्रकार है: मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर की तुलना समान परिवर्तन करने के परिणामस्वरूप प्राप्त अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर के साथ की जाती है, और तुलना के परिणामों के आधार पर, उपयुक्त निष्कर्ष निकाले जाते हैं।

सामान्य तौर पर, समान परिवर्तन कर सकते हैं

• ओडीजेड को प्रभावित न करें;
• डीएचएस के विस्तार के लिए नेतृत्व;
• ODZ के संकुचन का कारण बनता है।

आइए प्रत्येक मामले को एक उदाहरण के साथ समझाएं।

व्यंजक x 2 +x+3·x पर विचार करें, इस व्यंजक के लिए चर x का ODZ समुच्चय R है। अब इस व्यंजक के साथ निम्नलिखित समान परिवर्तन करते हैं - आइए समान पदों को लाते हैं, परिणामस्वरूप यह x 2 +4 x का रूप लेगा। जाहिर है, इस व्यंजक का ODZ चर x भी समुच्चय R है। इस प्रकार, परिवर्तन ने ODZ को नहीं बदला।

पर चलते हैं। व्यंजक x+3/x−3/x लें। इस मामले में, ODZ शर्त x≠0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो समुच्चय (−∞, 0)∪(0, +∞) से मेल खाती है। इस व्यंजक में भी ऐसे ही पद हैं, जिन्हें घटाकर हम व्यंजक x पर पहुंचते हैं, जिसके लिए ODZ R है। हम क्या देखते हैं: परिवर्तन के परिणामस्वरूप, ODZ का विस्तार हुआ है (मूल अभिव्यक्ति के लिए चर x के ODZ में संख्या शून्य जोड़ दी गई है)।

यह परिवर्तनों के बाद स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को कम करने के उदाहरण पर विचार करने के लिए बनी हुई है। अभिव्यक्ति लें . चर x का ODZ असमानता (x−1) (x−3)≥0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो इसके समाधान के लिए उपयुक्त है, उदाहरण के लिए, परिणामस्वरूप हमारे पास (−∞, 1]∪∪; S. A. Telyakovskii द्वारा संपादित किया गया है। - 17- ई एड. - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पीपी.: चित्रण - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।

मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 7 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 17 वां संस्करण।, जोड़ें। - एम .: मेनमोज़िना, 2013. - 175 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-02432-3।

मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।

मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 13 वां संस्करण, सीनियर। - एम .: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।

मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 11। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - दूसरा संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2008. - 287 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01027-2।

बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / [यू। एम। कोल्यागिन, एम। वी। तकाचेवा, एन। ई। फेडोरोवा, एम। आई। शबुनिन]; ईडी। ए बी झिझचेंको। - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2010.- 368 पी। : बीमार. - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1।

आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

आइए ढूँढ़कर शुरू करते हैं कार्यों के योग की परिभाषा का डोमेन. यह स्पष्ट है कि ऐसा फ़ंक्शन चर के ऐसे सभी मूल्यों के लिए समझ में आता है जिसके लिए योग बनाने वाले सभी कार्य समझ में आते हैं। इसलिए, निम्नलिखित कथन की वैधता के बारे में कोई संदेह नहीं है:

यदि फलन f, n फलनों f 1 , f 2 , …, f n का योग है, अर्थात फलन f सूत्र y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) द्वारा दिया गया है ) , तो फलन f का प्रांत f 1 , f 2 , …, f n के फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेदन है। आइए इसे के रूप में लिखें।

आइए पिछले वाले रिकॉर्ड का उपयोग जारी रखने के लिए सहमत हों, जिसका अर्थ है कि एक घुंघराले ब्रैकेट के अंदर लिखा गया है, या किसी भी शर्त की एक साथ पूर्ति। यह सुविधाजनक है और सिस्टम के अर्थ के साथ काफी स्वाभाविक रूप से प्रतिध्वनित होता है।

उदाहरण।

एक फ़ंक्शन दिया गया है y=x 7 +x+5+tgx , और हमें इसका डोमेन खोजने की आवश्यकता है।

फेसला।

फलन f को चार फलनों के योग द्वारा दर्शाया जाता है: f 1 एक घात फलन है जिसका घातांक 7 है, f 2 एक घात फलन है जिसका घातांक 1 है, f 3 एक स्थिर फलन है और f 4 एक स्पर्शरेखा फलन है।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों की परिभाषा के डोमेन की तालिका को देखते हुए, हम पाते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3) =(−∞, +∞) , और स्पर्शरेखा का प्रांत संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है .

फलन f का प्रांत f 1 , f 2 , f 3 और f 4 के फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेदन है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है .

जवाब:

को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय .

आइए खोजने के लिए आगे बढ़ें कार्यों के उत्पाद के डोमेन. इस मामले के लिए, एक समान नियम रखता है:

यदि फलन f, n फलनों f 1 , f 2 , …, f n का गुणनफल है, अर्थात फलन f सूत्र द्वारा दिया गया है वाई = एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स), तो फलन f का प्रांत f 1 , f 2 , …, f n के फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेदन है। इसलिए, ।

यह समझ में आता है, संकेतित क्षेत्र में उत्पाद के सभी कार्यों को परिभाषित किया गया है, और इसलिए फ़ंक्शन f स्वयं।

उदाहरण।

वाई=3 आर्कटीजीएक्स एलएनएक्स।

फेसला।

फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले सूत्र के दाईं ओर की संरचना को f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) के रूप में माना जा सकता है, जहां f 1 एक स्थिर कार्य है, f 2 चाप स्पर्शरेखा फ़ंक्शन है, और f 3 आधार e के साथ लघुगणकीय फलन है।

हम जानते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) और D(f 3)=(0, +∞) । फिर .

जवाब:

फलन का प्रांत y=3 arctgx lnx सभी वास्तविक धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।

आइए हम सूत्र y=C·f(x) द्वारा दिए गए फलन की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने पर अलग से ध्यान दें, जहां C कुछ वास्तविक संख्या है। यह दिखाना आसान है कि इस फ़ंक्शन का डोमेन और फ़ंक्शन f का डोमेन मेल खाता है। वास्तव में, फलन y=C f(x) एक स्थिर फलन और एक फलन f का गुणनफल है। एक स्थिर फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है, और फलन f का प्रांत D(f) होता है। तब फलन y=C f(x) का प्रांत है जो दिखाया जाना था।

तो, फलन y=f(x) और y=C·f(x) के प्रांत, जहां С कुछ वास्तविक संख्या है, मेल खाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि रूट का डोमेन है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि डी (एफ) फ़ंक्शन f 2 के डोमेन से सभी x का सेट है जिसके लिए f 2 (x) फ़ंक्शन f 1 के डोमेन में शामिल है। .

इस प्रकार, एक जटिल कार्य का डोमेन y=f 1 (f 2 (x)) दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: सभी x का समुच्चय ऐसा है कि x∈D(f 2) और ऐसे सभी x का समुच्चय जिसके लिए f 2 (x)∈D(f 1)। यानी हमारे नोटेशन में (यह अनिवार्य रूप से असमानताओं की एक प्रणाली है)।

आइए कुछ उदाहरण देखें। इस प्रक्रिया में, हम विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे, क्योंकि यह इस लेख के दायरे से बाहर है।

उदाहरण।

फलन y=lnx 2 का प्रांत ज्ञात कीजिए।

फेसला।

मूल फलन को y=f 1 (f 2 (x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां f 1 आधार e के साथ एक लघुगणक है, और f 2 घातांक 2 के साथ एक शक्ति फलन है।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों की परिभाषा के ज्ञात डोमेन की ओर मुड़ते हुए, हमारे पास D(f 1)=(0, +∞) और D(f 2)=(−∞, +∞) है।

फिर

तो हमें उस फलन की परिभाषा का क्षेत्र मिला जिसकी हमें आवश्यकता थी, यह शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

जवाब:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

उदाहरण।

समारोह का दायरा क्या है ?

फेसला।

यह फ़ंक्शन जटिल है, इसे y \u003d f 1 (f 2 (x)) के रूप में माना जा सकता है, जहां f 1 घातांक के साथ एक पावर फ़ंक्शन है, और f 2 आर्क्सिन फ़ंक्शन है, और हमें इसका डोमेन खोजने की आवश्यकता है।

आइए देखें कि हम क्या जानते हैं: D(f 1)=(0, +∞) और D(f 2)=[−1, 1] । यह मान x के सेटों के प्रतिच्छेदन को खोजने के लिए रहता है जैसे कि x∈D(f 2) और f 2 (x)∈D(f 1) :

arcsinx>0 के लिए, आइए arcsine फलन के गुणों को याद करें। आर्क्साइन पूरे डोमेन [−1, 1] पर बढ़ता है और x=0 पर गायब हो जाता है, इसलिए, अंतराल (0, 1] से किसी भी x के लिए arcsinx>0 होता है।

आइए सिस्टम पर वापस जाएं:

इस प्रकार, फलन की परिभाषा का वांछित क्षेत्र एक अर्ध-अंतराल (0, 1] है।

जवाब:

(0, 1] .

अब आइए जटिल सामान्य फलनों y=f 1 (f 2 (...f n (x))) पर चलते हैं। इस मामले में फ़ंक्शन f का डोमेन इस प्रकार पाया जाता है .

उदाहरण।

फ़ंक्शन का दायरा खोजें .

फेसला।

दिए गए जटिल फ़ंक्शन को y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ f 1 - sin, f 2 - चौथी डिग्री की जड़ का कार्य, f 3 - lg।

हम जानते हैं कि D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=∪∪/ एक्सेस मोड: साइटों की सामग्री www.fipi.ru, www.eg

मान्य सीमा - एक समाधान है [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] / एक्सेस मोड: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - स्वीकार्य मानों की श्रेणी, ODZ कैसे खोजें [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] / एक्सेस मोड: चतुर छात्र.ru›अभिव्यक्तियाँ/odz.html

स्वीकार्य सीमा: सिद्धांत और व्यवहार [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] / एक्सेस मोड: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ क्या है [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] / एक्सेस मोड: www.cleverstudents.ru›odz.html

ODZ क्या है और इसे कैसे देखें - एक स्पष्टीकरण और एक उदाहरण। इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]/ एक्सेस मोड: cos-cos.ru›गणित/82/

परिशिष्ट 1

व्यावहारिक कार्य "ओडीजेड: कब, क्यों और कैसे?"

विकल्प 1	विकल्प 2
│х+14│= 2 - 2х
	│3-х│=1 - 3х

अनुलग्नक 2

व्यावहारिक कार्य के कार्यों के उत्तर "ओडीजेड: कब, क्यों और कैसे?"

विकल्प 1	विकल्प 2
उत्तर: कोई जड़ नहीं	उत्तर: x=5 . को छोड़कर x कोई भी संख्या है
9x+ = +27 ओडीजेड: x≠3 उत्तर: कोई जड़ नहीं	ओडीजेड: एक्स = -3, एक्स = 5। उत्तर: -3;5।
y= -घटता है, y= -बढ़ता है अतः समीकरण का अधिकतम एक मूल है। उत्तर: एक्स = 6।	ओडीजेड: → →х≥5 उत्तर: x≥5, x≤-6।
+14│=2-2х ओडीजेड:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 ओडीजेड से संबंधित नहीं है	घटता - बढ़ता है समीकरण का अधिकतम एक मूल होता है। उत्तर: कोई जड़ नहीं।
0, ओडीजेड: x≥3, x≤2 उत्तर: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ओडीजेड: x≠-4। उत्तर: कोई जड़ नहीं।
एक्स = 7, एक्स = 1। उत्तर: कोई समाधान नहीं	बढ़ रहा है - घट रहा है उत्तर: एक्स = 2।
0 ओडीजेड: x≠15 उत्तर: x=15 को छोड़कर x कोई भी संख्या है।	│3-х│=1-3х, ओडीजेड: 1-3х≥0, x=-1, x=1 ओडीजेड से संबंधित नहीं है। उत्तर: एक्स = -1।