मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।
यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।
गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।
अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"
इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:
जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।
यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।
ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:
एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।
इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर टिकी हुई है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से समय में अलग-अलग बिंदुओं पर ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।
बुधवार, 4 जुलाई 2018
बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।
एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।
कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।
हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्य के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।
सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...
और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।
यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।
यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।
रविवार, 18 मार्च 2018
एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।
क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।
आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।
1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।
2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।
3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।
4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।
संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।
गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।
जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करना आपको पूरी तरह से अलग परिणाम देगा।
सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।
प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।
असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।
आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?
महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।
यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,
तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:
व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।
1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।
पाठ विषय: "कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ भावों में क्रियाओं के निष्पादन का क्रम।
पाठ का उद्देश्य: विभिन्न स्थितियों में कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ भावों में क्रियाओं को करने के क्रम के बारे में ज्ञान को लागू करने की क्षमता को मजबूत करने के लिए स्थितियां बनाएं, एक अभिव्यक्ति के साथ समस्याओं को हल करने की क्षमता।
पाठ मकसद।
शैक्षिक:
कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ भावों में क्रिया करने के नियमों के बारे में छात्रों के ज्ञान को समेकित करना; विशिष्ट अभिव्यक्तियों की गणना करते समय इन नियमों का उपयोग करने की उनकी क्षमता बनाने के लिए; कंप्यूटिंग कौशल में सुधार; गुणा और भाग के सारणीबद्ध मामलों को दोहराएं;
विकसित होना:
छात्रों के कम्प्यूटेशनल कौशल, तार्किक सोच, ध्यान, स्मृति, संज्ञानात्मक क्षमताओं का विकास करना,
संचार कौशल;
शैक्षिक:
एक दूसरे के प्रति सहिष्णु रवैया विकसित करें, आपसी सहयोग,
कक्षा में व्यवहार की संस्कृति, सटीकता, स्वतंत्रता, गणित में रुचि पैदा करने के लिए।
यूयूडी का गठन:
नियामक यूयूडी:
प्रस्तावित योजना, निर्देशों के अनुसार कार्य करना;
शैक्षिक सामग्री के आधार पर अपनी परिकल्पनाओं को सामने रखें;
आत्म-नियंत्रण व्यायाम करें।
संज्ञानात्मक यूयूडी:
संचालन के क्रम को जानें:
उनकी सामग्री की व्याख्या करने में सक्षम हो;
क्रियाओं के क्रम के नियम को समझ सकेंगे;
निष्पादन के क्रम के नियमों के अनुसार भावों के मूल्यों का पता लगाएं;
इसके लिए पाठ कार्यों का उपयोग करते हुए क्रियाएं;
एक व्यंजक के साथ समस्या का हल लिखिए;
कार्यों के क्रम के लिए नियम लागू करें;
नियंत्रण कार्य के प्रदर्शन में अर्जित ज्ञान को लागू करने में सक्षम हो।
संचारी यूयूडी:
दूसरों के भाषण को सुनें और समझें;
पर्याप्त पूर्णता और सटीकता के साथ अपने विचार व्यक्त करें;
विभिन्न दृष्टिकोणों की संभावना की अनुमति दें, वार्ताकार की स्थिति को समझने का प्रयास करें;
विभिन्न सामग्री (जोड़ी, छोटा समूह, पूरी कक्षा) की एक टीम में काम करना, चर्चाओं में भाग लेना, जोड़ियों में काम करना;
व्यक्तिगत यूयूडी:
गतिविधि के उद्देश्य और उसके परिणाम के बीच संबंध स्थापित करना;
सभी के लिए समान आचरण के नियमों को परिभाषित करना;
शैक्षिक गतिविधियों में सफलता की कसौटी के आधार पर स्व-मूल्यांकन की क्षमता को व्यक्त करना।
नियोजित परिणाम:
विषय:
कार्रवाई के आदेश के नियमों को जानें।
उनकी सामग्री की व्याख्या करने में सक्षम हो।
अभिव्यक्तियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने में सक्षम हो।
निजी:
शैक्षिक गतिविधियों की सफलता की कसौटी के आधार पर स्व-मूल्यांकन करने में सक्षम हो।
मेटासब्जेक्ट:
शिक्षक की सहायता से पाठ में लक्ष्य निर्धारित करने और तैयार करने में सक्षम हो; पाठ में क्रियाओं के क्रम का उच्चारण करें; सामूहिक योजना के अनुसार कार्य करना; पर्याप्त पूर्वव्यापी मूल्यांकन के स्तर पर कार्रवाई की शुद्धता का मूल्यांकन करें; कार्य के अनुसार अपनी कार्रवाई की योजना बनाएं; कार्रवाई के पूरा होने के बाद, उसके मूल्यांकन के आधार पर और की गई त्रुटियों की प्रकृति को ध्यान में रखते हुए आवश्यक समायोजन करना; अनुमान लगाना नियामक यूयूडी ).
अपने विचारों को मौखिक रूप से तैयार करने में सक्षम हो; दूसरों के भाषण को सुनें और समझें; स्कूल में व्यवहार और संचार के नियमों पर संयुक्त रूप से सहमत हों और उनका पालन करें ( संचारी यूयूडी ).
अपने ज्ञान की प्रणाली में नेविगेट करने में सक्षम होने के लिए: शिक्षक की मदद से नए को पहले से ज्ञात से अलग करना; नया ज्ञान प्राप्त करें: पाठ्यपुस्तक, अपने जीवन के अनुभव और पाठ में प्राप्त जानकारी का उपयोग करके प्रश्नों के उत्तर खोजें (संज्ञानात्मक यूयूडी ).
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण।
हमारे पाठ को उज्जवल बनाने के लिए,
हम अच्छा साझा करेंगे।
अपनी हथेलियों को फैलाएं
अपना प्यार उनमें डालें
और एक दूसरे को देखकर मुस्कुराएं।
अपनी नौकरी ले लो।
उन्होंने नोटबुक खोली, तारीख और क्लासवर्क लिखा।
2. ज्ञान की प्राप्ति।
पाठ में, हमें उस क्रम पर विस्तार से विचार करना होगा जिसमें अंकगणितीय संक्रियाएँ बिना कोष्ठक और कोष्ठक के व्यंजकों में की जाती हैं।
मौखिक गणना।
सही उत्तर का खेल खोजें।
(प्रत्येक छात्र के पास संख्याओं के साथ एक शीट है)
मैं असाइनमेंट पढ़ता हूं, और आपको अपने दिमाग में कार्यों को पूरा करने के बाद, एक क्रॉस के साथ परिणाम, यानी उत्तर को पार करना होगा।
मैंने एक संख्या की कल्पना की, उसमें से 80 घटाया, 18 प्राप्त किया। मैंने किस संख्या की कल्पना की? (98)
मैंने एक संख्या की कल्पना की, उसमें 12 जोड़ा, 70 प्राप्त किया। मैंने किस संख्या की कल्पना की? (58)
पहला पद 90 है, दूसरा पद 12 है। योग ज्ञात कीजिए। (102)
अपने परिणाम कनेक्ट करें।
आपको कौन सी ज्यामिति मिली? (त्रिकोण)
हमें बताएं कि आप इस ज्यामितीय आकृति के बारे में क्या जानते हैं। (3 भुजाएँ, 3 शीर्ष, 3 कोने हैं)
हम कार्ड पर काम करना जारी रखते हैं।
संख्या 100 और 22 . के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए . (78)
घटाए गए 99, घटाए गए 19. अंतर ज्ञात कीजिए। (80).
संख्या 25 को 4 बार लें। (100)
परिणामों को जोड़ते हुए, त्रिभुज के अंदर 1 और त्रिभुज बनाएं।
आपको कितने त्रिभुज मिले? (5)
3. पाठ के विषय पर काम करें। अंकगणितीय संक्रियाओं के क्रम के आधार पर व्यंजक के मान में परिवर्तन का अवलोकन करना
जीवन में, हम लगातार किसी न किसी प्रकार की क्रिया करते हैं: हम चलते हैं, पढ़ते हैं, पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, मुस्कुराते हैं, झगड़ते हैं और श्रृंगार करते हैं। हम इन चरणों को एक अलग क्रम में करते हैं। कभी-कभी उनकी अदला-बदली की जा सकती है, कभी-कभी वे नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, सुबह स्कूल जाना, आप पहले व्यायाम कर सकते हैं, फिर बिस्तर बना सकते हैं, या इसके विपरीत। लेकिन आप पहले स्कूल नहीं जा सकते और फिर कपड़े नहीं पहन सकते।
और गणित में, क्या एक निश्चित क्रम में अंकगणितीय संचालन करना आवश्यक है?
चलो देखते है
आइए भावों की तुलना करें:
8-3+4 और 8-3+4
हम देखते हैं कि दोनों भाव बिल्कुल समान हैं।
आइए एक अभिव्यक्ति में बाएं से दाएं, और दूसरे में दाएं से बाएं क्रिया निष्पादित करें। संख्याएं उस क्रम को इंगित कर सकती हैं जिसमें क्रियाएं की जाती हैं (चित्र 1)।
चावल। 1. प्रक्रिया
पहली अभिव्यक्ति में, हम पहले घटाव ऑपरेशन करेंगे, और फिर परिणाम में संख्या 4 जोड़ेंगे।
दूसरे व्यंजक में, हम पहले योग का मान ज्ञात करते हैं, और फिर परिणाम 7 को 8 से घटाते हैं।
हम देखते हैं कि भावों के मूल्य भिन्न हैं।
आइए निष्कर्ष निकालें: जिस क्रम में अंकगणितीय संचालन किया जाता है उसे बदला नहीं जा सकता है।.
कोष्ठक के बिना भावों में अंकगणितीय क्रम
आइए बिना कोष्ठक के व्यंजकों में अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का नियम सीखें।
यदि कोष्ठक के बिना अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव, या केवल गुणा और भाग शामिल हैं, तो क्रियाओं को उसी क्रम में किया जाता है जिसमें वे लिखे गए हैं।
चलो अभ्यास करें।
अभिव्यक्ति पर विचार करें
इस व्यंजक में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएँ हैं। इन क्रियाओं को कहा जाता है पहला कदम कार्रवाई.
हम क्रम में बाएं से दाएं क्रिया करते हैं (चित्र 2)।
चावल। 2. प्रक्रिया
दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें
इस व्यंजक में केवल गुणन और भाग की संक्रियाएँ होती हैं - ये दूसरे चरण की क्रियाएं हैं।
हम क्रम में बाएं से दाएं क्रिया करते हैं (चित्र 3)।
चावल। 3. प्रक्रिया
अंकगणितीय संक्रियाएँ किस क्रम में की जाती हैं यदि व्यंजक में न केवल जोड़ और घटा, बल्कि गुणा और भाग भी शामिल हैं?
यदि कोष्ठक के बिना व्यंजक में न केवल जोड़ और घटाव, बल्कि गुणा और भाग, या ये दोनों संक्रियाएँ भी शामिल हैं, तो पहले गुणा और भाग क्रम में (बाएँ से दाएँ), और फिर जोड़ और घटाव करें।
एक अभिव्यक्ति पर विचार करें।
हम इस तरह तर्क करते हैं। इस व्यंजक में जोड़ और घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ हैं। हम नियम के अनुसार कार्य करते हैं। पहले, हम क्रम में (बाएं से दाएं) गुणा और भाग करते हैं, और फिर जोड़ और घटाव करते हैं। आइए प्रक्रिया को पूरा करें।
आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
कोष्ठक के साथ भावों में अंकगणितीय संक्रियाओं के निष्पादन का क्रम
यदि व्यंजक में कोष्ठक हों तो अंकगणितीय संक्रियाएँ किस क्रम में की जाती हैं?
यदि व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में व्यंजकों के मान की गणना पहले की जाती है।
एक अभिव्यक्ति पर विचार करें।
30 + 6 * (13 - 9)
हम देखते हैं कि इस व्यंजक में कोष्ठकों में एक क्रिया है, जिसका अर्थ है कि हम इस क्रिया को पहले करेंगे, फिर, क्रम में, गुणा और जोड़ में। आइए प्रक्रिया को पूरा करें।
30 + 6 * (13 - 9)
आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ भावों में अंकगणितीय संचालन करने का नियम
एक संख्यात्मक व्यंजक में अंकगणितीय संक्रियाओं के क्रम को सही ढंग से स्थापित करने के लिए किसी को किस प्रकार तर्क करना चाहिए?
गणना के साथ आगे बढ़ने से पहले, अभिव्यक्ति पर विचार करना आवश्यक है (पता करें कि क्या इसमें कोष्ठक हैं, इसकी क्या क्रियाएं हैं) और उसके बाद ही निम्नलिखित क्रम में क्रियाएं करें:
1. कोष्ठक में लिखी गई क्रियाएं;
2. गुणा और भाग;
3. जोड़ और घटाव।
आरेख आपको इस सरल नियम को याद रखने में मदद करेगा (चित्र 4)।
चावल। 4. प्रक्रिया
4. समेकन सीखा नियम के लिए प्रशिक्षण कार्यों की पूर्ति
चलो अभ्यास करें।
भावों पर विचार करें, संचालन का क्रम स्थापित करें और गणना करें।
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
आइए नियमों का पालन करें। व्यंजक 43 - (20 - 7) +15 में कोष्ठकों में संक्रियाएँ हैं, साथ ही जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ भी हैं। आइए कार्रवाई का पाठ्यक्रम निर्धारित करें। पहला कदम कोष्ठक में क्रिया करना है, और फिर बाएं से दाएं, घटाव और जोड़ के क्रम में।
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
व्यंजक 32 + 9 * (19 - 16) में कोष्ठकों में संक्रियाएँ हैं, साथ ही गुणन और योग की संक्रियाएँ भी हैं। नियम के अनुसार, हम पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर गुणा (नंबर 9 को घटाव द्वारा प्राप्त परिणाम से गुणा किया जाता है) और जोड़।
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
व्यंजक 2*9-18:3 में कोई कोष्ठक नहीं हैं, लेकिन गुणा, भाग और घटाव के संचालन हैं। हम नियम के अनुसार कार्य करते हैं। पहले हम बाएँ से दाएँ गुणा और भाग करते हैं, और फिर गुणन द्वारा प्राप्त परिणाम से भाग द्वारा प्राप्त परिणाम को घटाते हैं। यानी पहली क्रिया है गुणा, दूसरी है भाग और तीसरी है घटाव।
2*9-18:3=18-6=12
आइए जानें कि निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में क्रियाओं का क्रम सही ढंग से परिभाषित किया गया है या नहीं।
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
हम इस तरह तर्क करते हैं।
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
इस व्यंजक में कोई कोष्ठक नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम पहले बाएँ से दाएँ गुणा या भाग करते हैं, फिर जोड़ या घटाव करते हैं। इस व्यंजक में पहली क्रिया भाग है, दूसरी है गुणन। तीसरी क्रिया जोड़ होनी चाहिए, चौथी - घटाव। निष्कर्ष: क्रियाओं का क्रम सही ढंग से परिभाषित किया गया है।
इस व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
हम बहस करना जारी रखते हैं।
दूसरे व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर बाएँ से दाएँ गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। हम जाँचते हैं: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी विभाजन है, तीसरी जोड़ है। निष्कर्ष: क्रियाओं का क्रम गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। त्रुटियों को ठीक करें, व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
इस व्यंजक में कोष्ठक भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर बाएँ से दाएँ गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। हम जांचते हैं: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी गुणा है, तीसरी घटाव है। निष्कर्ष: क्रियाओं का क्रम गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। त्रुटियों को ठीक करें, व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
चलिए टास्क पूरा करते हैं।
आइए अध्ययन किए गए नियम (चित्र 5) का उपयोग करके व्यंजक में क्रियाओं के क्रम को व्यवस्थित करें।
चावल। 5. प्रक्रिया
हम संख्यात्मक मान नहीं देखते हैं, इसलिए हम भावों का अर्थ नहीं खोज पाएंगे, लेकिन हम सीखे हुए नियम को लागू करने का अभ्यास करेंगे।
हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।
पहली अभिव्यक्ति में कोष्ठक होते हैं, इसलिए पहली क्रिया कोष्ठक में होती है। फिर बाएं से दाएं गुणा और भाग, फिर बाएं से दाएं घटाव और जोड़।
दूसरी अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि हम कोष्ठक में पहली क्रिया करते हैं। उसके बाद, बाएं से दाएं, गुणा और भाग, उसके बाद - घटाव।
आइए स्वयं की जाँच करें (चित्र 6)।
चावल। 6. प्रक्रिया
5. संक्षेप।
आज पाठ में हम बिना कोष्ठक और कोष्ठक के भावों में क्रियाओं के निष्पादन के क्रम के नियम से परिचित हुए। कार्यों को पूरा करने के दौरान, हमने यह निर्धारित किया कि क्या भावों का अर्थ उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें अंकगणितीय संक्रियाएं की जाती हैं, यह पता लगाया जाता है कि क्या अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम कोष्ठक के बिना भावों में भिन्न होता है और कोष्ठक के साथ, सीखे गए नियम को लागू करने का अभ्यास किया जाता है। और कार्यों के क्रम को निर्धारित करने में की गई गलतियों को सुधारा।
और भावों के मूल्यों की गणना करते समय, क्रियाओं को एक निश्चित क्रम में किया जाता है, दूसरे शब्दों में, आपको निरीक्षण करना चाहिए क्रियाओं का क्रम.
इस लेख में, हम यह पता लगाएंगे कि कौन सी क्रियाएं पहले की जानी चाहिए और कौन सी उनके बाद। आइए सबसे सरल मामलों से शुरू करें, जब व्यंजक में केवल संख्याएँ या चर होते हैं जो प्लस, माइनस, गुणा और विभाजित संकेतों से जुड़े होते हैं। अगला, हम बताएंगे कि कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के निष्पादन के किस क्रम का पालन किया जाना चाहिए। अंत में, उस क्रम पर विचार करें जिसमें शक्तियों, जड़ों और अन्य कार्यों वाले भावों में क्रियाएं की जाती हैं।
पृष्ठ नेविगेशन।
पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव
स्कूल निम्नलिखित प्रदान करता है एक नियम जो उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें बिना कोष्ठक के भावों में क्रियाएं की जाती हैं:
- क्रियाओं को बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है,
- जहां पहले गुणा और भाग किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।
कहा गया नियम काफी स्वाभाविक रूप से माना जाता है। बाएं से दाएं क्रम में कार्य करना इस तथ्य से समझाया गया है कि यह हमारे लिए बाएं से दाएं रिकॉर्ड रखने के लिए प्रथागत है। और तथ्य यह है कि जोड़ और घटाव से पहले गुणा और भाग किया जाता है, इस अर्थ से समझाया जाता है कि ये क्रियाएं अपने आप में होती हैं।
आइए इस नियम के लागू होने के कुछ उदाहरण देखें। उदाहरण के लिए, हम सबसे सरल संख्यात्मक भाव लेंगे ताकि गणनाओं से विचलित न हों, लेकिन उस क्रम पर ध्यान केंद्रित करें जिसमें क्रियाएं की जाती हैं।
उदाहरण।
चरणों का पालन करें 7−3+6 ।
फेसला।
मूल व्यंजक में कोष्ठक नहीं है, न ही इसमें गुणन और भाग है। इसलिए, हमें सभी क्रियाओं को बाएं से दाएं क्रम में करना चाहिए, यानी पहले हम 7 में से 3 घटाते हैं, हमें 4 मिलता है, उसके बाद हम परिणामी अंतर 4 में 6 जोड़ते हैं, हमें 10 मिलता है।
संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: 7−3+6=4+6=10 ।
जवाब:
7−3+6=10 .
उदाहरण।
उस क्रम को इंगित करें जिसमें क्रियाएँ 6:2·8:3 अभिव्यक्ति में की जाती हैं।
फेसला।
समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए उस नियम की ओर मुड़ें जो उस क्रम को इंगित करता है जिसमें कोष्ठक के बिना भावों में क्रियाएं की जाती हैं। मूल व्यंजक में केवल गुणन और भाग की संक्रियाएँ होती हैं और नियम के अनुसार उन्हें बाएँ से दाएँ क्रम में करना चाहिए।
जवाब:
सर्वप्रथम 6 को 2 से भाग देने पर इस भागफल को 8 से गुणा किया जाता है, अंत में परिणाम को 3 से भाग दिया जाता है।
उदाहरण।
व्यंजक 17−5·6:3−2+4:2 के मान की गणना करें।
फेसला।
सबसे पहले, आइए निर्धारित करें कि मूल अभिव्यक्ति में क्रियाओं को किस क्रम में किया जाना चाहिए। इसमें गुणा और भाग और जोड़ और घटाव दोनों शामिल हैं। सबसे पहले, बाएं से दाएं, आपको गुणा और भाग करने की आवश्यकता है। तो हम 5 को 6 से गुणा करते हैं, हमें 30 मिलते हैं, हम इस संख्या को 3 से भाग देते हैं, हमें 10 मिलता है। अब हम 4 को 2 से भाग देते हैं, हमें 2 प्राप्त होता है। हम मूल व्यंजक में 5 6:3 के स्थान पर पाया गया मान 10 स्थानापन्न करते हैं, और मान 2: 4:2 के बजाय, हमारे पास है 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
परिणामी व्यंजक में कोई गुणा और भाग नहीं है, इसलिए शेष क्रियाओं को बाएं से दाएं क्रम में करना बाकी है: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 ।
जवाब:
17−5 6:3−2+4:2=7 ।
सबसे पहले, किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते समय क्रियाओं को करने के क्रम को भ्रमित न करने के लिए, जिस क्रम में वे किए जाते हैं, उसके अनुरूप क्रियाओं के संकेतों के ऊपर संख्याओं को रखना सुविधाजनक होता है। पिछले उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखेगा: .
संचालन का एक ही क्रम - पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव - शाब्दिक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय पालन किया जाना चाहिए।
चरण 1 और 2
गणित पर कुछ पाठ्यपुस्तकों में, पहले और दूसरे चरण के संचालन में अंकगणितीय संक्रियाओं का विभाजन होता है। आइए इससे निपटें।
परिभाषा।
पहला कदम कार्रवाईजोड़ और घटाव कहलाते हैं, और गुणा और भाग को कहते हैं दूसरे चरण की कार्रवाई.
इन शर्तों में, पिछले पैराग्राफ से नियम, जो उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें क्रियाएं की जाती हैं, को निम्नानुसार लिखा जाएगा: यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक नहीं हैं, तो बाएं से दाएं क्रम में, दूसरे चरण की क्रियाएं ( गुणा और भाग) पहले किया जाता है, फिर पहले चरण (जोड़ और घटाव) की क्रियाएं।
कोष्ठक के साथ भावों में अंकगणितीय संक्रियाओं के निष्पादन का क्रम
अभिव्यक्तियों में अक्सर उस क्रम को इंगित करने के लिए कोष्ठक होते हैं जिसमें क्रियाओं को किया जाना है। इस मामले में एक नियम जो उस क्रम को निर्दिष्ट करता है जिसमें कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों में क्रियाएं की जाती हैं, निम्नानुसार तैयार किया गया है: सबसे पहले, कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं, जबकि गुणा और भाग भी बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है, फिर जोड़ और घटाव।
तो, कोष्ठक में भावों को मूल अभिव्यक्ति के घटक के रूप में माना जाता है, और हमें पहले से ज्ञात क्रियाओं का क्रम उनमें संरक्षित है। अधिक स्पष्टता के लिए उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।
उदाहरण।
दिए गए चरण 5+(7−2 3) (6−4):2 का पालन करें।
फेसला।
व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, तो आइए पहले इन कोष्ठकों में संलग्न व्यंजकों में क्रियाएँ करें। आइए व्यंजक 7−2 3 से शुरू करें। इसमें, आपको पहले गुणा करना होगा, और उसके बाद ही घटाव, हमारे पास 7−2 3=7−6=1 है। हम कोष्ठक 6−4 में दूसरे व्यंजक को पास करते हैं। यहां केवल एक ही क्रिया है - घटाव, हम इसे 6−4=2 करते हैं।
हम प्राप्त मूल्यों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. परिणामी व्यंजक में, पहले हम बाएँ से दाएँ गुणा और भाग करते हैं, फिर घटाव करते हैं, हमें 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 मिलता है। इस पर, सभी क्रियाएं पूरी हो जाती हैं, हमने उनके निष्पादन के निम्नलिखित क्रम का पालन किया: 5+(7−2 3) (6−4):2 ।
आइए एक संक्षिप्त समाधान लिखें: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
जवाब:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 ।
ऐसा होता है कि किसी व्यंजक में कोष्ठक के भीतर कोष्ठक होते हैं। आपको इससे डरना नहीं चाहिए, आपको केवल कोष्ठक के साथ भावों में क्रिया करने के लिए ध्वनि नियम को लगातार लागू करने की आवश्यकता है। आइए एक उदाहरण समाधान दिखाते हैं।
उदाहरण।
व्यंजक 4+(3+1+4·(2+3)) में क्रियाएं करें।
फेसला।
यह कोष्ठक के साथ एक अभिव्यक्ति है, जिसका अर्थ है कि क्रियाओं का निष्पादन कोष्ठक में अभिव्यक्ति के साथ शुरू होना चाहिए, अर्थात 3+1+4 (2+3) के साथ। इस व्यंजक में कोष्ठक भी हैं, इसलिए आपको पहले उनमें क्रियाएँ करनी होंगी। आइए इसे करते हैं: 2+3=5 । प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3+1+4 5 प्राप्त होता है। इस व्यंजक में, हम पहले गुणा करते हैं, फिर जोड़, हमारे पास 3+1+4 5=3+1+20=24 है। प्रारंभिक मान, इस मान को प्रतिस्थापित करने के बाद, 4+24 रूप लेता है, और यह केवल क्रियाओं को पूरा करने के लिए रहता है: 4+24=28 ।
जवाब:
4+(3+1+4 (2+3))=28 ।
सामान्य तौर पर, जब कोष्ठक के भीतर कोष्ठक एक अभिव्यक्ति में मौजूद होते हैं, तो आंतरिक कोष्ठक से शुरू करना और बाहरी लोगों के लिए अपना काम करना अक्सर सुविधाजनक होता है।
उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें व्यंजक (4+(4+(4−6:2))−1)−1 में संचालन करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, हम 4−6:2=4−3=1 के बाद से आंतरिक कोष्ठकों में क्रियाएं करते हैं, फिर उसके बाद मूल व्यंजक (4+(4+1)−1)−1 का रूप लेगा। फिर से, हम 4+1=5 के बाद से आंतरिक कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर हम निम्नलिखित व्यंजक (4+5−1)−1 पर पहुंचते हैं। फिर से, हम कोष्ठकों में क्रियाएं करते हैं: 4+5−1=8 , जबकि हम अंतर 8−1 पर पहुंचते हैं, जो 7 के बराबर है।
इस पाठ में, बिना कोष्ठक और कोष्ठक के व्यंजकों में अंकगणितीय संक्रियाओं को करने की प्रक्रिया पर विस्तार से विचार किया गया है। छात्रों को असाइनमेंट पूरा करने के दौरान यह निर्धारित करने का अवसर दिया जाता है कि क्या अभिव्यक्तियों का अर्थ उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें अंकगणितीय संचालन किया जाता है, यह पता लगाने के लिए कि क्या अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम बिना कोष्ठक और कोष्ठक के भावों में भिन्न होता है, आवेदन करने का अभ्यास करने के लिए सीखा नियम, क्रियाओं के क्रम को निर्धारित करने में की गई त्रुटियों को खोजने और ठीक करने के लिए।
जीवन में, हम लगातार किसी न किसी प्रकार की क्रिया करते हैं: हम चलते हैं, पढ़ते हैं, पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, मुस्कुराते हैं, झगड़ते हैं और श्रृंगार करते हैं। हम इन चरणों को एक अलग क्रम में करते हैं। कभी-कभी उनकी अदला-बदली की जा सकती है, कभी-कभी वे नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, सुबह स्कूल जाना, आप पहले व्यायाम कर सकते हैं, फिर बिस्तर बना सकते हैं, या इसके विपरीत। लेकिन आप पहले स्कूल नहीं जा सकते और फिर कपड़े नहीं पहन सकते।
और गणित में, क्या एक निश्चित क्रम में अंकगणितीय संचालन करना आवश्यक है?
चलो देखते है
आइए भावों की तुलना करें:
8-3+4 और 8-3+4
हम देखते हैं कि दोनों भाव बिल्कुल समान हैं।
आइए एक अभिव्यक्ति में बाएं से दाएं, और दूसरे में दाएं से बाएं क्रिया निष्पादित करें। संख्याएं उस क्रम को इंगित कर सकती हैं जिसमें क्रियाएं की जाती हैं (चित्र 1)।
चावल। 1. प्रक्रिया
पहली अभिव्यक्ति में, हम पहले घटाव ऑपरेशन करेंगे, और फिर परिणाम में संख्या 4 जोड़ेंगे।
दूसरे व्यंजक में, हम पहले योग का मान ज्ञात करते हैं, और फिर परिणाम 7 को 8 से घटाते हैं।
हम देखते हैं कि भावों के मूल्य भिन्न हैं।
आइए निष्कर्ष निकालें: जिस क्रम में अंकगणितीय संचालन किया जाता है उसे बदला नहीं जा सकता है।.
आइए बिना कोष्ठक के व्यंजकों में अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का नियम सीखें।
यदि कोष्ठक के बिना अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव, या केवल गुणा और भाग शामिल हैं, तो क्रियाओं को उसी क्रम में किया जाता है जिसमें वे लिखे गए हैं।
चलो अभ्यास करें।
अभिव्यक्ति पर विचार करें
इस व्यंजक में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएँ हैं। इन क्रियाओं को कहा जाता है पहला कदम कार्रवाई.
हम क्रम में बाएं से दाएं क्रिया करते हैं (चित्र 2)।
चावल। 2. प्रक्रिया
दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें
इस व्यंजक में केवल गुणन और भाग की संक्रियाएँ होती हैं - ये दूसरे चरण की क्रियाएं हैं।
हम क्रम में बाएं से दाएं क्रिया करते हैं (चित्र 3)।
चावल। 3. प्रक्रिया
अंकगणितीय संक्रियाएँ किस क्रम में की जाती हैं यदि व्यंजक में न केवल जोड़ और घटा, बल्कि गुणा और भाग भी शामिल हैं?
यदि कोष्ठक के बिना व्यंजक में न केवल जोड़ और घटाव, बल्कि गुणा और भाग, या ये दोनों संक्रियाएँ भी शामिल हैं, तो पहले गुणा और भाग क्रम में (बाएँ से दाएँ), और फिर जोड़ और घटाव करें।
एक अभिव्यक्ति पर विचार करें।
हम इस तरह तर्क करते हैं। इस व्यंजक में जोड़ और घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ हैं। हम नियम के अनुसार कार्य करते हैं। पहले, हम क्रम में (बाएं से दाएं) गुणा और भाग करते हैं, और फिर जोड़ और घटाव करते हैं। आइए प्रक्रिया को पूरा करें।
आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
यदि व्यंजक में कोष्ठक हों तो अंकगणितीय संक्रियाएँ किस क्रम में की जाती हैं?
यदि व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में व्यंजकों के मान की गणना पहले की जाती है।
एक अभिव्यक्ति पर विचार करें।
30 + 6 * (13 - 9)
हम देखते हैं कि इस व्यंजक में कोष्ठकों में एक क्रिया है, जिसका अर्थ है कि हम इस क्रिया को पहले करेंगे, फिर, क्रम में, गुणा और जोड़ में। आइए प्रक्रिया को पूरा करें।
30 + 6 * (13 - 9)
आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
एक संख्यात्मक व्यंजक में अंकगणितीय संक्रियाओं के क्रम को सही ढंग से स्थापित करने के लिए किसी को किस प्रकार तर्क करना चाहिए?
गणना के साथ आगे बढ़ने से पहले, अभिव्यक्ति पर विचार करना आवश्यक है (पता करें कि क्या इसमें कोष्ठक हैं, इसकी क्या क्रियाएं हैं) और उसके बाद ही निम्नलिखित क्रम में क्रियाएं करें:
1. कोष्ठक में लिखी गई क्रियाएं;
2. गुणा और भाग;
3. जोड़ और घटाव।
आरेख आपको इस सरल नियम को याद रखने में मदद करेगा (चित्र 4)।
चावल। 4. प्रक्रिया
चलो अभ्यास करें।
भावों पर विचार करें, संचालन का क्रम स्थापित करें और गणना करें।
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
आइए नियमों का पालन करें। व्यंजक 43 - (20 - 7) +15 में कोष्ठकों में संक्रियाएँ हैं, साथ ही जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ भी हैं। आइए कार्रवाई का पाठ्यक्रम निर्धारित करें। पहला कदम कोष्ठक में क्रिया करना है, और फिर बाएं से दाएं, घटाव और जोड़ के क्रम में।
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
व्यंजक 32 + 9 * (19 - 16) में कोष्ठकों में संक्रियाएँ हैं, साथ ही गुणन और योग की संक्रियाएँ भी हैं। नियम के अनुसार, हम पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर गुणा (नंबर 9 को घटाव द्वारा प्राप्त परिणाम से गुणा किया जाता है) और जोड़।
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
व्यंजक 2*9-18:3 में कोई कोष्ठक नहीं हैं, लेकिन गुणा, भाग और घटाव के संचालन हैं। हम नियम के अनुसार कार्य करते हैं। पहले हम बाएँ से दाएँ गुणा और भाग करते हैं, और फिर गुणन द्वारा प्राप्त परिणाम से भाग द्वारा प्राप्त परिणाम को घटाते हैं। यानी पहली क्रिया है गुणा, दूसरी है भाग और तीसरी है घटाव।
2*9-18:3=18-6=12
आइए जानें कि निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में क्रियाओं का क्रम सही ढंग से परिभाषित किया गया है या नहीं।
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
हम इस तरह तर्क करते हैं।
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
इस व्यंजक में कोई कोष्ठक नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम पहले बाएँ से दाएँ गुणा या भाग करते हैं, फिर जोड़ या घटाव करते हैं। इस व्यंजक में पहली क्रिया भाग है, दूसरी है गुणन। तीसरी क्रिया जोड़ होनी चाहिए, चौथी - घटाव। निष्कर्ष: क्रियाओं का क्रम सही ढंग से परिभाषित किया गया है।
इस व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
हम बहस करना जारी रखते हैं।
दूसरे व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर बाएँ से दाएँ गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। हम जाँचते हैं: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी विभाजन है, तीसरी जोड़ है। निष्कर्ष: क्रियाओं का क्रम गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। त्रुटियों को ठीक करें, व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
इस व्यंजक में कोष्ठक भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं, फिर बाएँ से दाएँ गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। हम जांचते हैं: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी गुणा है, तीसरी घटाव है। निष्कर्ष: क्रियाओं का क्रम गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। त्रुटियों को ठीक करें, व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
चलिए टास्क पूरा करते हैं।
आइए अध्ययन किए गए नियम (चित्र 5) का उपयोग करके व्यंजक में क्रियाओं के क्रम को व्यवस्थित करें।
चावल। 5. प्रक्रिया
हम संख्यात्मक मान नहीं देखते हैं, इसलिए हम भावों का अर्थ नहीं खोज पाएंगे, लेकिन हम सीखे हुए नियम को लागू करने का अभ्यास करेंगे।
हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।
पहली अभिव्यक्ति में कोष्ठक होते हैं, इसलिए पहली क्रिया कोष्ठक में होती है। फिर बाएं से दाएं गुणा और भाग, फिर बाएं से दाएं घटाव और जोड़।
दूसरी अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि हम कोष्ठक में पहली क्रिया करते हैं। उसके बाद, बाएं से दाएं, गुणा और भाग, उसके बाद - घटाव।
आइए स्वयं की जाँच करें (चित्र 6)।
चावल। 6. प्रक्रिया
आज पाठ में हम बिना कोष्ठक और कोष्ठक के भावों में क्रियाओं के निष्पादन के क्रम के नियम से परिचित हुए।
ग्रन्थसूची
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 1। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
- एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 2। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
- एम.आई. मोरो। गणित के पाठ: शिक्षकों के लिए दिशानिर्देश। ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
- नियामक दस्तावेज। सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम .: "ज्ञानोदय", 2011।
- "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम .: "ज्ञानोदय", 2011।
- एस.आई. वोल्कोव. गणित: परीक्षण कार्य। ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
- वी.एन. रुडनित्सकाया। परीक्षण। - एम .: "परीक्षा", 2012।
- महोत्सव.1सितंबर.ru ()।
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ()।
- Openclass.ru ()।
गृहकार्य
1. इन भावों में क्रियाओं का क्रम निर्धारित करें। भावों का अर्थ ज्ञात कीजिए।
2. निर्धारित करें कि क्रियाओं का यह क्रम किस अभिव्यक्ति में किया जाता है:
1. गुणन; 2. विभाजन;। 3. जोड़; 4. घटाव; 5. अतिरिक्त। इस व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
3. तीन अभिव्यक्तियों की रचना करें जिनमें क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम किया जाता है:
1. गुणन; 2. जोड़; 3. घटाव
1. जोड़; 2. घटाव; 3. अतिरिक्त
1. गुणन; 2. विभाजन; 3. अतिरिक्त
इन भावों के अर्थ ज्ञात कीजिए।
प्राइमरी स्कूल खत्म हो रहा है, जल्द ही बच्चा गणित की गहरी दुनिया में कदम रखेगा। लेकिन पहले से ही इस अवधि में छात्र को विज्ञान की कठिनाइयों का सामना करना पड़ रहा है। एक साधारण कार्य करते हुए, बच्चा भ्रमित हो जाता है, खो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप किए गए कार्य के लिए एक नकारात्मक चिह्न होता है। ऐसी परेशानियों से बचने के लिए, उदाहरणों को हल करते समय, आपको उस क्रम में नेविगेट करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें आपको उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है। गलत तरीके से क्रियाओं का वितरण, बच्चा कार्य को सही ढंग से नहीं करता है। लेख उन उदाहरणों को हल करने के लिए बुनियादी नियमों का खुलासा करता है जिनमें कोष्ठक सहित गणितीय गणनाओं की पूरी श्रृंखला शामिल है। गणित ग्रेड 4 में क्रियाओं का क्रम नियम और उदाहरण।
कार्य को पूरा करने से पहले, अपने बच्चे से उन कार्यों को गिनने के लिए कहें जो वह करने जा रहा है। अगर आपको कोई कठिनाई है तो कृपया मदद करें।
कोष्ठक के बिना उदाहरणों को हल करते समय पालन करने के लिए कुछ नियम:
यदि किसी कार्य को क्रियाओं की एक श्रृंखला करने की आवश्यकता है, तो आपको पहले विभाजन या गुणा करना होगा, फिर। सभी क्रियाएं लेखन के दौरान की जाती हैं। अन्यथा, समाधान का परिणाम सही नहीं होगा।
यदि उदाहरण में इसे निष्पादित करना आवश्यक है, तो हम बाएं से दाएं क्रम में निष्पादित करते हैं।
27-5+15=37 (उदाहरण को हल करते समय, हम नियम द्वारा निर्देशित होते हैं। पहले हम घटाव करते हैं, फिर जोड़)।
अपने बच्चे को हमेशा योजना बनाने और किए जाने वाले कार्यों की संख्या देना सिखाएं।
प्रत्येक हल की गई क्रिया के उत्तर उदाहरण के ऊपर लिखे गए हैं। तो बच्चे के लिए क्रियाओं को नेविगेट करना बहुत आसान हो जाएगा।
एक अन्य विकल्प पर विचार करें जहां क्रियाओं को क्रम में वितरित करना आवश्यक है:
जैसा कि आप देख सकते हैं, हल करते समय, नियम मनाया जाता है, पहले हम उत्पाद की तलाश करते हैं, उसके बाद - अंतर।
ये सरल उदाहरण हैं जिन्हें हल करने के लिए ध्यान देने की आवश्यकता है। कई बच्चे एक ऐसे कार्य को देखकर स्तब्ध हो जाते हैं जिसमें न केवल गुणा और भाग होता है, बल्कि कोष्ठक भी होते हैं। एक छात्र जो क्रिया करने के क्रम को नहीं जानता है उसके पास ऐसे प्रश्न होते हैं जो उसे कार्य पूरा करने से रोकते हैं।
जैसा कि नियम में कहा गया है, पहले हम एक काम या एक विशेष पाते हैं, और फिर बाकी सब कुछ। लेकिन फिर कोष्ठक हैं! इस मामले में कैसे आगे बढ़ें?
कोष्ठक के साथ उदाहरण हल करना
आइए एक विशिष्ट उदाहरण लें:
- इस कार्य को करते समय सबसे पहले कोष्ठक में संलग्न व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
- गुणा से शुरू करें, फिर जोड़ें।
- कोष्ठक में व्यंजक हल होने के बाद, हम उनके बाहर की क्रियाओं के लिए आगे बढ़ते हैं।
- संक्रियाओं के क्रम के अनुसार अगला चरण गुणन है।
- अंतिम चरण होगा।
जैसा कि आप उदाहरण के उदाहरण में देख सकते हैं, सभी क्रियाएं क्रमांकित हैं। विषय को समेकित करने के लिए, बच्चे को अपने दम पर कई उदाहरण हल करने के लिए आमंत्रित करें:
जिस क्रम में व्यंजक के मूल्य का मूल्यांकन किया जाना चाहिए वह पहले से ही निर्धारित है। बच्चे को केवल निर्णय को सीधे निष्पादित करना होगा।
आइए कार्य को जटिल करें। बच्चे को भावों का अर्थ स्वयं खोजने दें।
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
अपने बच्चे को ड्राफ्ट संस्करण में सभी कार्यों को हल करना सिखाएं। इस मामले में, छात्र के पास गलत निर्णय या धब्बा को ठीक करने का अवसर होगा। कार्यपुस्तिका में सुधार की अनुमति नहीं है। जब बच्चे स्वयं कार्य करते हैं तो उन्हें अपनी गलतियाँ दिखाई देती हैं।
बदले में माता-पिता को गलतियों पर ध्यान देना चाहिए, बच्चे को समझने और उन्हें सुधारने में मदद करनी चाहिए। छात्र के मस्तिष्क को बड़ी मात्रा में कार्यों के साथ लोड न करें। इस तरह के कार्यों से आप बच्चे की ज्ञान की इच्छा को हरा देंगे। हर चीज में अनुपात की भावना होनी चाहिए।
एक ब्रेक ले लो। बच्चे को विचलित होना चाहिए और कक्षाओं से आराम करना चाहिए। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि हर किसी की गणितीय मानसिकता नहीं होती है। हो सकता है कि आपका बच्चा बड़ा होकर एक प्रसिद्ध दार्शनिक बने।
