द्विघात समीकरण पर विचार करें।

आइए इसकी जड़ों को परिभाषित करें।

ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग -1 हो। लेकिन अगर सूत्र ऑपरेटर को परिभाषित करता है मैंएक काल्पनिक इकाई के रूप में, तो इस समीकरण का हल रूप में लिखा जा सकता है . जिसमें और - सम्मिश्र संख्याएँ, जिनमें -1 वास्तविक भाग है, 2 या दूसरी स्थिति में -2 काल्पनिक भाग है। काल्पनिक भाग भी एक वास्तविक (वास्तविक) संख्या है। काल्पनिक इकाई द्वारा गुणा किए गए काल्पनिक भाग का अर्थ है पहले से ही काल्पनिक संख्या.

सामान्य तौर पर, एक जटिल संख्या का रूप होता है

जेड = एक्स + मैं ,

कहाँ पे एक्स, वाईवास्तविक संख्याएँ हैं, एक काल्पनिक इकाई है। कई अनुप्रयुक्त विज्ञानों में, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, सिग्नल थ्योरी में, काल्पनिक इकाई द्वारा निरूपित किया जाता है जे. वास्तविक संख्या एक्स = रे (जेड)और वाई =मैं हूँ(जेड)बुलाया वास्तविक और काल्पनिक भागनंबर जेडअभिव्यक्ति कहा जाता है बीजीय रूपएक जटिल संख्या का अंकन।

कोई भी वास्तविक संख्या एक सम्मिश्र संख्या का एक विशेष मामला है . एक काल्पनिक संख्या भी एक सम्मिश्र संख्या का एक विशेष मामला है। .

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय की परिभाषा C

यह अभिव्यक्ति इस प्रकार है: सेट साथ में, ऐसे तत्वों से मिलकर बना है कि एक्सऔर आपवास्तविक संख्याओं के समूह से संबंधित हैं आरऔर काल्पनिक इकाई है। ध्यान दें कि आदि।

दो सम्मिश्र संख्या और समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हैं, अर्थात। और ।

जटिल संख्याओं और कार्यों का व्यापक रूप से विज्ञान और प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यांत्रिकी, एसी सर्किट के विश्लेषण और गणना, एनालॉग इलेक्ट्रॉनिक्स, सिग्नल सिद्धांत और प्रसंस्करण, स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत और अन्य अनुप्रयुक्त विज्ञान में।

1. सम्मिश्र संख्याओं का अंकगणित

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ने में होता है, अर्थात्।

तदनुसार, दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर

जटिल संख्या बुलाया जटिल संयुग्मसंख्या जेड =एक्स +मैं

जटिल संयुग्म संख्या z और z * काल्पनिक भाग के संकेतों में भिन्न हैं। जाहिर सी बात है

.

जटिल अभिव्यक्तियों के बीच कोई भी समानता वैध रहती है यदि इस समानता में हर जगह मैंद्वारा प्रतिस्थापित - मैं, अर्थात। संयुग्म संख्याओं की समानता पर जाएं। नंबर मैंऔर – मैंबीजगणितीय रूप से अप्रभेद्य हैं क्योंकि .

दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल (गुणा) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन:

उदाहरण:

1. जटिल विमान

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक जटिल संख्या को ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। आइए हम समतल में एक आयताकार समन्वय प्रणाली स्थापित करें (एक्स, वाई)।

धुरी पर बैलहम वास्तविक भागों की व्यवस्था करेंगे एक्स, यह कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) अक्ष, अक्ष पर ओए- काल्पनिक भाग आपजटिल आंकड़े। वह नाम धारण करती है काल्पनिक धुरी. इसके अलावा, प्रत्येक सम्मिश्र संख्या विमान के एक निश्चित बिंदु से मेल खाती है, और ऐसे विमान को कहा जाता है जटिल विमान. बिंदु लेकिनजटिल विमान वेक्टर के अनुरूप होगा ओए.

संख्या एक्सबुलाया सूच्याकार आकृति का भुजजटिल संख्या, संख्या आप – तालमेल.

जटिल संयुग्म संख्याओं की एक जोड़ी को वास्तविक अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थित बिंदुओं के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

अगर प्लेन सेट पर ध्रुवीय समन्वय प्रणाली, फिर प्रत्येक सम्मिश्र संख्या जेडध्रुवीय निर्देशांक द्वारा निर्धारित। जिसमें मापांकनंबर बिंदु की ध्रुवीय त्रिज्या है, और कोण - इसका ध्रुवीय कोण या सम्मिश्र संख्या तर्क जेड.

जटिल संख्या मापांक हमेशा गैर-नकारात्मक। एक सम्मिश्र संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। तर्क का मुख्य मूल्य शर्त को पूरा करना चाहिए . जटिल तल का प्रत्येक बिंदु भी तर्क के कुल मूल्य से मेल खाता है। तर्क जो 2π के गुणज से भिन्न होते हैं, समान माने जाते हैं। संख्या तर्क शून्य परिभाषित नहीं है।

तर्क का मुख्य मूल्य भावों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जाहिर सी बात है

जिसमें
, .

जटिल संख्या प्रतिनिधित्व जेडजैसा

बुलाया त्रिकोणमितीय रूपजटिल संख्या।

उदाहरण.

1. सम्मिश्र संख्याओं का घातीय रूप

में अपघटन मैकलॉरिन श्रृंखलावास्तविक तर्क कार्यों के लिए की तरह लगता है:

एक जटिल तर्क के घातीय कार्य के लिए जेडअपघटन समान है

.

काल्पनिक तर्क के घातीय कार्य के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

परिणामी पहचान कहलाती है यूलर सूत्र.

एक नकारात्मक तर्क के लिए, ऐसा लगता है

इन व्यंजकों को मिलाकर हम ज्या और कोज्या के लिए निम्नलिखित व्यंजकों को परिभाषित कर सकते हैं:

.

जटिल संख्याओं के प्रतिनिधित्व के त्रिकोणमितीय रूप से यूलर सूत्र का उपयोग करना

आप ये पा सकते हैं ठोस(घातीय, ध्रुवीय) एक सम्मिश्र संख्या का रूप, अर्थात्। फॉर्म में इसका प्रतिनिधित्व

,

कहाँ पे - आयताकार निर्देशांक वाले बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक ( एक्स,आप).

एक सम्मिश्र संख्या के संयुग्म को घातीय रूप में निम्नानुसार लिखा जाता है।

घातांकीय रूप के लिए, सम्मिश्र संख्याओं के गुणन और विभाजन के लिए निम्नलिखित सूत्रों को परिभाषित करना आसान है

अर्थात्, घातीय रूप में, जटिल संख्याओं का गुणनफल और विभाजन बीजीय रूप की तुलना में आसान है। गुणा करते समय, कारकों के मॉड्यूल गुणा किए जाते हैं, और तर्क जोड़े जाते हैं। यह नियम कई कारकों पर लागू होता है। विशेष रूप से, किसी सम्मिश्र संख्या को गुणा करते समय जेडपर मैंवेक्टर जेड 90 . से वामावर्त घुमाता है

भाग में, अंश मापांक को हर मापांक द्वारा विभाजित किया जाता है, और हर तर्क को अंश तर्क से घटाया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं के घातांकीय रूप का उपयोग करके, प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के लिए व्यंजक प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहचान से

यूलर सूत्र का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं

इस व्यंजक में वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करने पर, हम कोणों के योग की कोज्या और ज्या के व्यंजक प्राप्त करते हैं

1. सम्मिश्र संख्याओं के घात, मूल और लघुगणक

एक जटिल संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति में बढ़ाना एनसूत्र के अनुसार उत्पादित

उदाहरण. गणना करना .

एक संख्या की कल्पना करो त्रिकोणमितीय रूप में

’

घातांक सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

व्यंजक में मान डालना आर= 1, हम तथाकथित प्राप्त करते हैं डी मोइवर का सूत्र, जिससे आप अनेक कोणों की ज्या और कोज्या के लिए व्यंजक निर्धारित कर सकते हैं।

जड़ एनएक सम्मिश्र संख्या की शक्ति जेडयह है एनअभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित विभिन्न मूल्य

उदाहरण. हमे पता करने दें ।

ऐसा करने के लिए, हम सम्मिश्र संख्या () को त्रिकोणमितीय रूप में व्यक्त करते हैं

.

एक सम्मिश्र संख्या के मूल की गणना के सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

एक सम्मिश्र संख्या का लघुगणक जेडएक संख्या है वू, जिसके लिए । एक जटिल संख्या के प्राकृतिक लघुगणक में अनंत संख्या में मान होते हैं और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है

वास्तविक (कोसाइन) और काल्पनिक (साइन) भागों से मिलकर बनता है। इस तरह के तनाव को लंबाई के वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है यू एम, प्रारंभिक चरण (कोण), कोणीय वेग के साथ घूर्णन ω .

इसके अलावा, यदि जटिल कार्यों को जोड़ा जाता है, तो उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग जोड़े जाते हैं। यदि किसी सम्मिश्र फलन को अचर या वास्तविक फलन से गुणा किया जाता है, तो उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों को उसी गुणनखंड से गुणा किया जाता है। इस तरह के एक जटिल कार्य का विभेदन/एकीकरण वास्तविक और काल्पनिक भागों के विभेदन/एकीकरण के लिए कम हो जाता है।

उदाहरण के लिए, जटिल तनाव अभिव्यक्ति का विभेदन

से गुणा करना है iω फलन f(z) का वास्तविक भाग है, और समारोह का काल्पनिक हिस्सा है। उदाहरण: .

अर्थ जेडजटिल z तल में एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है, और संबंधित मान वू- जटिल तल में एक बिंदु वू. प्रदर्शित होने पर डब्ल्यू = एफ (जेड)समतल रेखाएं जेडविमान की पंक्तियों में गुजरें वू, एक तल की आकृतियों को दूसरे तल की आकृतियों में बदलना, लेकिन रेखाओं या आकृतियों के आकार में महत्वपूर्ण रूप से परिवर्तन हो सकता है।