मुख्य प्रकार की असमानताएँ प्रस्तुत की जाती हैं, जिनमें बर्नौली, कॉची-बन्याकोवस्की, मिन्कोवस्की, चेबीशेव असमानताएँ शामिल हैं। असमानताओं के गुण और उन पर कार्रवाई पर विचार किया जाता है। असमानताओं को हल करने की मुख्य विधियाँ दी गई हैं।
बुनियादी असमानताओं के लिए सूत्र
सार्वभौमिक असमानताओं के सूत्र
सार्वभौमिक असमानताएं उनमें शामिल मात्राओं के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं। सार्वभौम असमानताओं के मुख्य प्रकार नीचे सूचीबद्ध हैं।
1) | ए बी | |ए| + |बी| ; | ए 1 ए 2 ... ए एन | मैं |ए 1 | + |ए 2 | + ... + |ए एन |
2) |ए| + |बी| | ए-बी | | |ए| - |बी| |
3)
समानता तभी होती है जब a 1 = a 2 = ... = a n ।
4)
कॉची-बन्याकोवस्की असमानता
सभी k = 1, 2, ..., n और कुछ α, β, |α| + |β| > 0।
5)
मिंकोव्स्की की असमानता, पी 1 . के लिए
संतोषजनक असमानताओं के लिए सूत्र
उनमें शामिल मात्राओं के कुछ मूल्यों के लिए संतोषजनक असमानताएं संतुष्ट हैं।
1)
बर्नौली की असमानता:
.
आम तौर पर अधिक:
,
जहाँ , एक ही चिन्ह की संख्या और उससे अधिक -1
:
.
बर्नौली का लेम्मा:
.
देखें "असमानताओं के प्रमाण और बर्नौली की प्रमेयिका"।
2)
a i 0 (i = 1, 2, ..., n) के लिए।
3)
चेबीशेव की असमानता
पर 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
और 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
पर 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
और बी 1 ≥ बी 2 ≥ ... ≥ बी एन > 0
.
4)
सामान्यीकृत चेबीशेव असमानताएं
पर 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
और 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
और कश्मीर प्राकृतिक
.
पर 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
और बी 1 ≥ बी 2 ≥ ... ≥ बी एन > 0
.
असमानताओं के गुण
असमानताओं के गुण उन नियमों का समुच्चय हैं जो रूपांतरित होने पर पूरे होते हैं। नीचे असमानताओं के गुण हैं। यह माना जाता है कि कुछ पूर्व निर्धारित अंतराल से संबंधित मानों x i (i = 1, 2, 3, 4) के लिए प्रारंभिक असमानताएं संतुष्ट हैं।
1) भुजाओं के क्रम को बदलते समय, असमानता का चिन्ह उलट जाता है।
अगर एक्स 1< x 2
,
то x 2 >एक्स 1।
यदि x 1 x 2, तो x 2 x 1।
यदि x 1 x 2, तो x 2 x 1।
यदि x 1 > x 2 तो x 2< x 1
.
2) एक समानता अलग-अलग चिन्ह की दो गैर-सख्त असमानताओं के बराबर है।
यदि x 1 = x 2, तो x 1 x 2 और x 1 x 2।
यदि x 1 x 2 और x 1 x 2, तो x 1 = x 2।
3) ट्रांजिटिविटी की संपत्ति
अगर एक्स 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
अगर एक्स 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
यदि x 1 x 2 और x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
यदि x 1 x 2 और x 2 x 3 तो x 1 x 3 ।
4) आप असमानता के दोनों भागों में एक ही संख्या को जोड़ (घटाना) कर सकते हैं।
अगर एक्स 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
यदि x 1 x 2 तो x 1 + A ≤ x 2 + A ।
यदि x 1 x 2 तो x 1 + A ≥ x 2 + A ।
यदि x 1 > x 2, तो x 1 + A > x 2 + A.
5) यदि एक ही दिशा के चिन्ह के साथ दो या दो से अधिक असमानताएँ हों, तो उनके बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ा जा सकता है।
अगर एक्स 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
अगर एक्स 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
यदि x 1 x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
यदि x 1 x 2 , x 3 ≤ x 4 , तो x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 ।
इसी तरह के भाव , > के संकेतों के लिए होते हैं।
यदि प्रारंभिक असमानताओं में गैर-सख्त असमानताओं के संकेत हैं और कम से कम एक सख्त असमानता है (लेकिन सभी संकेतों की एक ही दिशा है), तो जोड़ एक सख्त असमानता में परिणाम देता है।
6) असमानता के दोनों भागों को एक धनात्मक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है।
अगर एक्स 1< x 2
и A >0 , फिर A x 1< A · x 2
.
यदि x 1 x 2 और A > 0 , तो A x 1 ≤ A x 2 ।
यदि x 1 x 2 और A > 0, तो A x 1 A x 2।
यदि x 1 > x 2 और A > 0, तो A x 1 > A x 2।
7) असमानता के दोनों भागों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है। इस मामले में, असमानता का संकेत विपरीत में बदल जाएगा।
अगर एक्स 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >ए · एक्स 2।
यदि x 1 x 2 और A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
यदि x 1 x 2 और A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
यदि x 1 > x 2 और A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) यदि एक ही दिशा के संकेत के साथ सकारात्मक शब्दों के साथ दो या दो से अधिक असमानताएं हैं, तो उनके बाएं और दाएं भागों को एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है।
अगर एक्स 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 फिर x 1 x 3< x 2 · x 4
.
अगर एक्स 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 फिर x 1 x 3< x 2 · x 4
.
यदि x 1 x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 फिर x 1 x 3< x 2 · x 4
.
यदि x 1 x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 तो x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 ।
इसी तरह के भाव , > के संकेतों के लिए होते हैं।
यदि प्रारंभिक असमानताओं में गैर-सख्त असमानताओं के संकेत होते हैं और कम से कम एक सख्त असमानता (लेकिन सभी संकेतों की एक ही दिशा होती है), तो गुणा के परिणामस्वरूप सख्त असमानता होती है।
9) मान लीजिए f(x) एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन है। अर्थात्, किसी भी x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) के लिए। फिर इस फ़ंक्शन को असमानता के दोनों हिस्सों पर लागू किया जा सकता है, जिससे असमानता का संकेत नहीं बदलता है।
अगर एक्स 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
यदि x 1 x 2 तो f(x 1) f(x 2) ।
यदि x 1 x 2, तो f(x 1) f(x 2) ।
यदि x 1 > x 2, तो f(x 1) > f(x 2) ।
10) मान लीजिए f (x) एक नीरस रूप से घटता हुआ फलन है, अर्थात किसी x 1 > x 2, f (x 1) के लिए< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
अगर एक्स 1< x 2
,
то f(x 1) >एफ (एक्स 2)।
यदि x 1 x 2 तो f(x 1) f(x 2) ।
यदि x 1 x 2 तो f(x 1) f(x 2) ।
यदि x 1 > x 2, तो f(x 1)< f(x 2)
.
असमानताओं को हल करने के तरीके
अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करना
अंतराल विधि लागू होती है यदि असमानता में एक चर शामिल है, जिसे हम x के रूप में निरूपित करते हैं, और इसका रूप है:
एफ (एक्स)> 0
जहाँ f(x) एक निरंतर फलन है जिसमें एक सीमित संख्या में असंततता बिंदु होते हैं। असमानता का चिन्ह कुछ भी हो सकता है: >, ,<, ≤
.
अंतराल विधि इस प्रकार है।
1) फलन f(x) का प्रांत ज्ञात कीजिए और इसे वास्तविक अक्ष पर अंतरालों से चिह्नित कीजिए।
2) फलन f(x) के असंततता के बिंदु ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि यह एक भिन्न है, तो हम उन बिंदुओं का पता लगाते हैं, जिन पर हर गायब हो जाता है। हम इन बिंदुओं को संख्यात्मक अक्ष पर चिह्नित करते हैं।
3) समीकरण हल करें
एफ (एक्स) = 0।
इस समीकरण के मूल संख्या रेखा पर अंकित हैं।
4) परिणामस्वरूप, संख्यात्मक अक्ष को बिंदुओं द्वारा अंतराल (खंडों) में विभाजित किया जाएगा। परिभाषा के क्षेत्र में शामिल प्रत्येक अंतराल के भीतर, हम किसी भी बिंदु का चयन करते हैं और इस बिंदु पर हम फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं। यदि यह मान शून्य से अधिक है, तो हम खंड (अंतराल) पर "+" चिह्न लगाते हैं। यदि यह मान शून्य से कम है, तो हम खंड (अंतराल) के ऊपर "-" चिह्न लगाते हैं।
5) यदि असमानता का रूप f(x) > 0 है, तो "+" चिह्न वाले अंतरालों को चुनें। असमानता का समाधान इन अंतरालों का मिलन है जिसमें उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं।
यदि असमानता का रूप f(x) 0 है, तो हम हल में उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जहां f(x) = 0 । अर्थात्, कुछ अंतरालों की बंद सीमाएँ हो सकती हैं (सीमाएँ अंतराल की होती हैं)। दूसरे भाग में खुली सीमाएँ हो सकती हैं (सीमा अंतराल से संबंधित नहीं है)।
इसी प्रकार, यदि असमानता है: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
यदि असमानता इस तरह दिखती है: f(x) 0 , तो हम हल में उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जहां f(x) = 0 ।
असमानताओं को उनके गुणों को लागू करके हल करना
यह विधि किसी भी जटिलता की असमानताओं पर लागू होती है। इसमें असमानताओं को सरल रूप में कम करने और समाधान प्राप्त करने के लिए गुणों (ऊपर प्रस्तुत) को लागू करना शामिल है। यह बहुत संभव है कि इसका परिणाम एक नहीं, बल्कि असमानताओं की व्यवस्था में होगा। यह एक सार्वभौमिक तरीका है। यह किसी भी असमानता पर लागू होता है।
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।
विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्यात्मक असमानताओं के मुख्य गुण और उन्हें कैसे हल करें।"
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संयोजन और संभाव्यता सिद्धांत समीकरण और असमानताएं
संख्यात्मक असमानताओं का परिचय
दोस्तों, हम पहले ही असमानताओं का सामना कर चुके हैं, उदाहरण के लिए, जब हमने वर्गमूल की अवधारणा से परिचित होना शुरू किया। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि असमानताओं की सहायता से यह अनुमान लगाना संभव है कि दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्या अधिक या कम है। गणितीय विवरण के लिए, एक विशेष प्रतीक जोड़ने के लिए पर्याप्त है जिसका अर्थ या तो कम या ज्यादा होगा।गणितीय भाषा में व्यंजक $a>b$ लिखने का अर्थ है कि संख्या $a$, संख्या $b$ से अधिक है। बदले में, इसका अर्थ है कि $a-b$ एक धनात्मक संख्या है। लगभग सभी गणितीय वस्तुओं की तरह, असमानताओं में भी कुछ गुण होते हैं। हम इस पाठ में इन गुणों का अध्ययन करेंगे। संपत्ति 1. प्रमाण। एक संख्या रेखा का उपयोग करके इस गुण को अधिक स्पष्ट रूप से दिखाया जा सकता है। यदि $a>b$, तो वास्तविक रेखा पर $a$ की संख्या $b$ के दाईं ओर होगी। तदनुसार, यदि $b>c$, तो संख्या $b$ संख्या $c$ के दाईं ओर स्थित होगी। संपत्ति 2. संपत्ति 3. संपत्ति 4. प्रमाण। संपत्ति 5. प्रमाण। परिभाषा। फिर संपत्ति 5 को फिर से लिखा जा सकता है। समान अर्थ की असमानताओं को गुणा करने पर, जिसमें बाएँ और दाएँ भाग धनात्मक होते हैं, समान अर्थ की असमानता प्राप्त होती है। संपत्ति 6. संपत्ति 7. प्रमाण। हम जानते हैं कि $a-b$ एक धनात्मक संख्या है, और दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी एक धनात्मक संख्या है, अर्थात्। $ab>0$। संपत्ति 8. प्रमाण। संपत्ति 9.कॉची की असमानता (अंकगणितीय माध्य ज्यामितीय माध्य से अधिक या उसके बराबर है)। प्रमाण। फेसला। बी) आइए संपत्ति का उपयोग करें 3. एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करें, जिसका अर्थ है कि असमानता का संकेत बदल जाता है। डी) असमानता के सभी भागों को गुणा करें $3.1 ई) असमानता के सभी भाग सकारात्मक हैं, उन्हें चुकता करने पर हमें समान अर्थ की असमानता मिलती है। ई) असमानता की डिग्री विषम है, तो आप सुरक्षित रूप से एक शक्ति को बढ़ा सकते हैं और संकेत नहीं बदल सकते। जी) आइए संपत्ति 7 का उपयोग करें। उदाहरण 2 फेसला। वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में क्रम का गुण होता है (आइटम 6, पृ. 35): किसी भी संख्या के लिए a, b, एक और तीन में से केवल एक संबंध धारण करता है: या । इस मामले में, संकेतन a > b का अर्थ है कि अंतर सकारात्मक है, और संकेतन अंतर ऋणात्मक है। वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र का आदेश नहीं दिया जाता है: सम्मिश्र संख्याओं के लिए, "से बड़ा" और "से कम" की अवधारणाएँ परिभाषित नहीं हैं; इसलिए, यह अध्याय केवल वास्तविक संख्याओं से संबंधित है। हम संबंधों को असमानता कहते हैं, संख्या ए और बी असमानता के सदस्य (या भाग) हैं, संकेत> (इससे अधिक) और असमानताएं ए> बी और सी> डी समान (या समान) अर्थ की असमानताएं कहलाती हैं; असमानताएँ a> b और c असमानता की परिभाषा से यह तुरंत अनुसरण करता है कि 1) शून्य से बड़ी कोई धनात्मक संख्या; 2) शून्य से कम कोई ऋणात्मक संख्या; 3) कोई भी धनात्मक संख्या किसी ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है; 4) दो ऋणात्मक संख्याओं में से जिसका निरपेक्ष मान छोटा है वह अधिक है। ये सभी कथन एक सरल ज्यामितीय व्याख्या स्वीकार करते हैं। मान लीजिए कि संख्या अक्ष की धनात्मक दिशा प्रारंभिक बिंदु के दाईं ओर जाती है; फिर, संख्याओं के चिह्न जो भी हों, उनमें से बड़ी संख्या को छोटी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु के दाईं ओर स्थित एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। असमानताओं में निम्नलिखित मुख्य गुण होते हैं। 1. विषमता (अपरिवर्तनीयता): यदि , तो , और इसके विपरीत। दरअसल, अगर अंतर सकारात्मक है, तो अंतर नकारात्मक है। वे कहते हैं कि जब असमानता की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो असमानता के अर्थ को विपरीत में बदलना होगा। 2. सकर्मकता : यदि , तो । दरअसल, मतभेदों की सकारात्मकता का तात्पर्य सकारात्मकता से है असमानता के संकेतों के अलावा, असमानता के संकेत और भी उपयोग किए जाते हैं। उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है: एक रिकॉर्ड का मतलब है कि या तो या इसलिए, उदाहरण के लिए, आप लिख सकते हैं और भी। आमतौर पर, संकेतों के साथ लिखी गई असमानताओं को सख्त असमानता कहा जाता है, और जो संकेतों के साथ लिखी जाती हैं उन्हें गैर-सख्त असमानता कहा जाता है। तदनुसार, संकेतों को स्वयं सख्त या गैर-सख्त असमानता के संकेत कहा जाता है। ऊपर चर्चा की गई गुण 1 और 2 गैर-सख्त असमानताओं के लिए भी सही हैं। अब उन संक्रियाओं पर विचार करें जो एक या अधिक असमानताओं पर की जा सकती हैं। 3. असमानता के सदस्यों में समान संख्या जोड़ने से असमानता का अर्थ नहीं बदलता है। प्रमाण। मान लीजिए कि एक असमानता और एक मनमाना संख्या दी गई है। परिभाषा के अनुसार, अंतर सकारात्मक है। हम इस संख्या में दो विपरीत संख्याएँ जोड़ते हैं जिनसे यह नहीं बदलेगी, अर्थात्। इस समानता को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है: इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अंतर धनात्मक है, अर्थात् और यह साबित किया जाना था। यह असमानता के किसी भी पद को उसके एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिन्ह के साथ तिरछा करने की संभावना का आधार है। उदाहरण के लिए, असमानता से उसका अनुसरण करता है 4. असमानता के पदों को समान धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का अर्थ नहीं बदलता है; जब असमानता के पदों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का अर्थ विपरीत में बदल जाता है। प्रमाण। मान लीजिए तब यदि धनात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक है। पिछली असमानता के बाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं, अर्थात। मामले को इसी तरह से माना जाता है। कुछ गैर-शून्य संख्या द्वारा असमानता के हिस्सों के विभाजन के संबंध में बिल्कुल वही निष्कर्ष निकाला जा सकता है, क्योंकि किसी संख्या से विभाजन एक संख्या से गुणा करने के बराबर होता है और संख्याओं के समान संकेत होते हैं। 5. मान लीजिए कि असमानता के पद धनात्मक हैं। फिर, जब इसके सदस्यों को एक ही सकारात्मक शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो असमानता का अर्थ नहीं बदलता है। प्रमाण। चलो इस मामले में, संक्रमणीयता की संपत्ति से, और . फिर, पावर फ़ंक्शन के मोनोटोनिक वृद्धि और सकारात्मक के कारण, हमारे पास है विशेष रूप से, यदि एक प्राकृत संख्या कहाँ है, तो हमें प्राप्त होता है यानी असमानता के दोनों हिस्सों से सकारात्मक शब्दों के साथ जड़ निकालने पर असमानता का अर्थ नहीं बदलता है। असमानता की शर्तों को नकारात्मक होने दें। फिर यह सिद्ध करना आसान है कि जब इसके सदस्यों को एक विषम प्राकृतिक शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो असमानता का अर्थ नहीं बदलता है, और जब इसे एक समान प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो यह विपरीत में बदल जाता है। ऋणात्मक पदों वाली असमानताओं से आप विषम अंश का मूल भी निकाल सकते हैं। आइए, आगे, असमानता की शर्तों के अलग-अलग संकेत हैं। फिर, जब इसे एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो असमानता का अर्थ नहीं बदलता है, और जब इसे एक सम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो परिणामी असमानता के अर्थ के बारे में सामान्य मामले में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है। दरअसल, जब किसी संख्या को विषम घात तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या का चिह्न संरक्षित रहता है और इसलिए असमानता का अर्थ नहीं बदलता है। असमानता को एक समान शक्ति तक बढ़ाते समय, सकारात्मक शब्दों के साथ एक असमानता बनती है, और इसका अर्थ मूल असमानता की शर्तों के पूर्ण मूल्यों पर निर्भर करेगा, मूल असमानता के समान अर्थ की असमानता, की असमानता विपरीत अर्थ, और समानता भी! निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके किसी शक्ति की असमानताओं को बढ़ाने के बारे में कही गई हर बात की जाँच करना उपयोगी है। उदाहरण 1. निम्नलिखित असमानताओं को संकेतित घात में उठाएँ, यदि आवश्यक हो तो असमानता चिह्न को विपरीत या समान चिह्न में बदल दें। क) 3 > 2 से 4 की घात; बी) 3 की शक्ति के लिए; ग) 3 की शक्ति के लिए; डी) 2 की शक्ति के लिए; ई) 5 की शक्ति के लिए; ई) 4 की शक्ति के लिए; छ) 2 > -3 2 की शक्ति के लिए; ज) 2 की शक्ति के लिए, 6. असमानता से, आप असमानता के बीच जा सकते हैं यदि असमानता की शर्तें सकारात्मक या दोनों नकारात्मक हैं, तो उनके पारस्परिक के बीच विपरीत अर्थ की असमानता है: प्रमाण। यदि a और b एक ही चिन्ह के हैं, तो उनका गुणनफल धनात्मक होता है। असमानता से विभाजित करें यानी, जिसे प्राप्त करना आवश्यक था। यदि असमानता की शर्तों के विपरीत संकेत हैं, तो उनके पारस्परिकों के बीच असमानता का एक ही अर्थ है, क्योंकि व्युत्क्रम के संकेत स्वयं मात्राओं के संकेतों के समान हैं। उदाहरण 2. निम्नलिखित असमानताओं पर अंतिम गुण 6 की जाँच करें: 7. असमानताओं का लघुगणक केवल तभी किया जा सकता है जब असमानताओं के पद धनात्मक हों (ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य में लघुगणक नहीं होते)। रहने दो । फिर कब होगा और कब होगा इन कथनों की शुद्धता लघुगणकीय फलन की एकरसता पर आधारित है, जो आधार होने पर बढ़ती है और यदि घटती है इसलिए, जब एक असमानता के लघुगणक को सकारात्मक शब्दों से युक्त, एक से अधिक आधार के साथ, एक ही अर्थ की असमानता के रूप में लिया जाता है, और जब इसके लघुगणक को एक से कम सकारात्मक आधार के साथ लिया जाता है, तो असमानता की असमानता विपरीत अर्थ बनता है। 8. अगर , तो अगर , लेकिन , तो . यह तुरंत घातीय फ़ंक्शन (सेक 42) के एकरसता गुणों से अनुसरण करता है, जो मामले में बढ़ता है और घट जाता है यदि समान अर्थ वाले पद की असमानताओं को पद से जोड़ने पर, डेटा के समान अर्थ की असमानता बनती है। प्रमाण। आइए हम इस कथन को दो असमानताओं के लिए सिद्ध करें, हालांकि यह किसी भी संख्या में योग असमानताओं के लिए सही है। चलो असमानताओं परिभाषा के अनुसार, संख्याएँ धनात्मक होंगी; तो उनका योग भी धनात्मक हो जाता है, अर्थात् शब्दों को अलग-अलग समूहित करने पर, हम प्राप्त करते हैं और इसलिए और यह साबित किया जाना था। विभिन्न अर्थों की दो या दो से अधिक असमानताओं को जोड़ने से उत्पन्न असमानता के अर्थ के बारे में सामान्य मामले में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है। 10. यदि विपरीत अर्थ की एक और असमानता को एक असमानता से पद दर पद घटाया जाता है, तो पहले वाले के समान अर्थ की एक असमानता बनती है। प्रमाण। विभिन्न अर्थों की दो असमानताएँ दी गई हैं। उनमें से दूसरा, अपरिवर्तनीयता की संपत्ति से, निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: डी> सी। आइए अब हम एक ही अर्थ की दो असमानताओं को जोड़ते हैं और असमानता प्राप्त करते हैं एक ही अर्थ। उत्तरार्द्ध से हम पाते हैं और यह साबित किया जाना था। एक असमानता में से समान अर्थ की दूसरी असमानता को घटाकर प्राप्त की गई असमानता के अर्थ के बारे में सामान्य स्थिति में कुछ भी निश्चित नहीं कहा जा सकता है। गणित में असमानताएँ एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। स्कूल में, हम मुख्य रूप से व्यवहार करते हैं संख्यात्मक असमानता, जिसकी परिभाषा के साथ हम इस लेख की शुरुआत करेंगे। और फिर हम सूचीबद्ध करते हैं और औचित्य देते हैं संख्यात्मक असमानताओं के गुण, जिस पर असमानताओं के साथ काम करने के सभी सिद्धांत आधारित हैं। हम तुरंत ध्यान दें कि संख्यात्मक असमानताओं के कई गुण समान हैं। इसलिए, हम सामग्री को उसी योजना के अनुसार प्रस्तुत करेंगे: हम संपत्ति तैयार करते हैं, इसका औचित्य और उदाहरण देते हैं, और फिर अगली संपत्ति पर आगे बढ़ते हैं। पृष्ठ नेविगेशन। जब हमने असमानता की अवधारणा को पेश किया, तो हमने देखा कि असमानताओं को अक्सर उनके लिखे जाने के तरीके से परिभाषित किया जाता है। इसलिए हम असमानताओं को सार्थक बीजीय व्यंजक कहते हैं जिनमें के बराबर नहीं, से कम के चिह्न हों<, больше >, से कम या बराबर या से बड़ा या बराबर। उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, संख्यात्मक असमानता को परिभाषित करना सुविधाजनक है: 1 से 9 तक की पहली प्राकृतिक संख्याओं से परिचित होने और तुलना ऑपरेशन से परिचित होने के तुरंत बाद पहली कक्षा में गणित के पाठों में संख्यात्मक असमानताओं के साथ बैठक होती है। सच है, वहां उन्हें "संख्यात्मक" की परिभाषा को छोड़कर, केवल असमानताएं कहा जाता है। स्पष्टता के लिए, उनके अध्ययन के उस चरण से सरलतम संख्यात्मक असमानताओं के कुछ उदाहरण देने में कोई दिक्कत नहीं होती है: 1<2
, 5+2>3
. और प्राकृतिक संख्याओं से आगे, ज्ञान अन्य प्रकार की संख्याओं (पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक संख्या) तक फैलता है, उनकी तुलना के नियमों का अध्ययन किया जाता है, और यह संख्यात्मक असमानताओं की प्रजातियों की विविधता को महत्वपूर्ण रूप से विस्तारित करता है: −5> −72, 3> - 0.275 (7−5, 6) , . व्यवहार में, असमानताओं के साथ काम करने से कई संख्यात्मक असमानताओं के गुण. वे हमारे द्वारा शुरू की गई असमानता की अवधारणा का पालन करते हैं। संख्याओं के संबंध में, यह अवधारणा निम्नलिखित कथन द्वारा दी गई है, जिसे संख्याओं के सेट पर "से कम" और "इससे अधिक" संबंधों की परिभाषा माना जा सकता है (इसे अक्सर असमानता की अंतर परिभाषा कहा जाता है): परिभाषा।
इस परिभाषा को इससे कम या इसके बराबर और इससे अधिक या इसके बराबर की परिभाषा में पुनर्गठित किया जा सकता है। यहाँ इसकी शब्दावली है: परिभाषा।
हम इन परिभाषाओं का उपयोग संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को सिद्ध करने में करेंगे, जिनकी अब हम समीक्षा करते हैं। हम असमानताओं के तीन बुनियादी गुणों के साथ अपनी समीक्षा शुरू करते हैं। वे क्यों जरूरी हैं? क्योंकि वे सबसे सामान्य अर्थों में असमानताओं के गुणों का प्रतिबिंब हैं, न कि केवल संख्यात्मक असमानताओं के संबंध में। संकेतों का उपयोग करके लिखी गई संख्यात्मक असमानताएँ< и >, विशेष रूप से: गैर-सख्त असमानताओं ≤ और ≥ के संकेतों का उपयोग करके लिखी गई संख्यात्मक असमानताओं के लिए, उनके पास रिफ्लेक्सिविटी की संपत्ति है (बजाय एंटी-रिफ्लेक्सिविटी के), क्योंकि असमानताओं a≤a और a≥a में समानता का मामला शामिल है a=a . उन्हें एंटीसिमेट्री और ट्रांज़िटिविटी की भी विशेषता है। तो, और के संकेतों के साथ लिखी गई संख्यात्मक असमानताओं में निम्नलिखित गुण हैं: उनके प्रमाण पहले से दिए गए प्रमाणों से बहुत मिलते-जुलते हैं, इसलिए हम उन पर ध्यान नहीं देंगे, बल्कि संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुणों की ओर बढ़ेंगे। आइए हम संख्यात्मक असमानताओं के मूल गुणों को महान व्यावहारिक महत्व के परिणामों की एक श्रृंखला के साथ पूरक करें। भावों के मूल्यों का मूल्यांकन करने के तरीके उन पर आधारित हैं, के सिद्धांत असमानताओं का समाधानआदि। इसलिए उनके साथ अच्छा व्यवहार करने की सलाह दी जाती है। इस उपधारा में, हम असमानताओं के गुणों को केवल सख्त असमानता के एक संकेत के लिए तैयार करेंगे, लेकिन यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि समान गुण विपरीत संकेत के साथ-साथ गैर-सख्त असमानताओं के संकेतों के लिए भी मान्य होंगे। आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं। नीचे हम असमानताओं का निम्नलिखित गुणधर्म बनाते और सिद्ध करते हैं: यदि a
सुविधा के लिए, हम संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को एक सूची के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जबकि संबंधित बयान देते हैं, औपचारिक रूप से अक्षरों का उपयोग करते हैं, एक प्रमाण देते हैं, और फिर उपयोग के उदाहरण दिखाते हैं। और लेख के अंत में हम एक तालिका में संख्यात्मक असमानताओं के सभी गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत करेंगे। जाना! एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों पक्षों में किसी भी संख्या को जोड़ने (या घटाने) से एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्याएँ a और b ऐसी हैं कि a
इसे साबित करने के लिए, आइए हम अंतिम संख्यात्मक असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच अंतर की रचना करें, और यह दिखाएं कि यह एक शर्त के तहत ऋणात्मक है (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. चूंकि शर्त के अनुसार a
हम संख्या c के घटाव के लिए संख्यात्मक असमानताओं के इस गुण के प्रमाण पर ध्यान नहीं देते हैं, क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर घटाव को −c जोड़कर बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप सही संख्यात्मक असमानता 7>3 के दोनों भागों में संख्या 15 जोड़ते हैं, तो आपको सही संख्यात्मक असमानता 7+15>3+15, जो समान है, 22>18 मिलती है। यदि सही संख्यात्मक असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या c से गुणा (या विभाजित) किया जाए, तो सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होगी। यदि असमानता के दोनों भागों को एक ऋणात्मक संख्या c से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, और असमानता का चिन्ह उलट दिया जाता है, तो सही असमानता प्राप्त होगी। शाब्दिक रूप में: यदि संख्याएँ a और b असमानता को संतुष्ट करते हैं a ई.पू. प्रमाण। आइए मामले से शुरू करें जब c>0 । सिद्ध की जा रही संख्यात्मक असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच अंतर लिखें: a·c−b·c=(a−b)·c । चूंकि शर्त के अनुसार a 0 है, तो गुणनफल (a−b) c ऋणात्मक संख्या a−b के गुणनफल के रूप में एक ऋणात्मक संख्या होगी और एक धनात्मक संख्या c (जो से अनुसरण करती है)। इसलिए, a c−b c<0
, откуда a·c हम एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता के दोनों भागों को समान संख्या c से विभाजित करने के लिए मानी गई संपत्ति के प्रमाण पर ध्यान नहीं देते हैं, क्योंकि विभाजन को हमेशा 1/c से गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आइए हम विश्लेषण किए गए गुण को ठोस संख्याओं पर लागू करने का एक उदाहरण दिखाते हैं। उदाहरण के लिए, आप सही संख्यात्मक असमानता के दोनों भाग कर सकते हैं 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. एक संख्यात्मक समानता के दोनों पक्षों को एक संख्या से गुणा करने की जांच की गई संपत्ति से, दो व्यावहारिक रूप से मूल्यवान परिणाम सामने आते हैं। इसलिए हम उन्हें उपफलों के रूप में बनाते हैं। इस अनुच्छेद में ऊपर चर्चा की गई सभी गुण इस तथ्य से एकजुट हैं कि पहले एक सही संख्यात्मक असमानता दी जाती है, और इससे, असमानता के कुछ हिस्सों और संकेत के साथ कुछ जोड़तोड़ के माध्यम से, एक और सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त की जाती है। अब हम गुणों का एक खंड देंगे जिसमें एक नहीं, बल्कि कई सही संख्यात्मक असमानताएँ दी गई हैं, और उनके भागों को जोड़ने या गुणा करने के बाद उनके संयुक्त उपयोग से एक नया परिणाम प्राप्त होता है। यदि संख्या a , b , c और d के लिए असमानताएँ a
आइए हम सिद्ध करें कि (a+c)−(b+d) एक ऋणात्मक संख्या है, इससे सिद्ध होगा कि a+c प्रेरण द्वारा, यह संपत्ति तीन, चार, और सामान्य रूप से, संख्यात्मक असमानताओं की किसी भी सीमित संख्या के टर्म-बाय-टर्म जोड़ तक फैली हुई है। अतः, यदि संख्याओं a 1 , a 2 , …, a n और b 1 , b 2 , …, b n असमानताओं a 1 के लिए ए 1 +ए 2 +…+ए एन . उदाहरण के लिए, हमें एक ही चिन्ह -5 . की तीन सही संख्यात्मक असमानताएँ दी गई हैं<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. आप एक ही चिन्ह के पद को संख्यात्मक असमानताओं से गुणा कर सकते हैं, जिसके दोनों भाग धनात्मक संख्याओं द्वारा दर्शाए जाते हैं। विशेष रूप से, दो असमानताओं के लिए a
इसे सिद्ध करने के लिए, हम असमानता के दोनों पक्षों को गुणा कर सकते हैं a
यह गुण धनात्मक भागों के साथ किसी भी परिमित संख्या में मान्य संख्यात्मक असमानताओं के गुणन के लिए भी मान्य है। अर्थात्, यदि a 1 , a 2 , …, a n और b 1 , b 2 , …, b n धनात्मक संख्याएँ हैं, और a 1 ए 1 ए 2 ... ए एन . अलग-अलग, यह ध्यान देने योग्य है कि यदि संख्यात्मक असमानताओं के संकेतन में गैर-धनात्मक संख्याएँ होती हैं, तो उनका पद-दर-गुणन गलत संख्यात्मक असमानताओं को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक असमानताएँ 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. परिणाम। फॉर्म की समान वास्तविक असमानताओं का टर्म-बाय-टर्म गुणन a
लेख के अंत में, जैसा कि वादा किया गया था, हम सभी अध्ययन की गई संपत्तियों को एकत्र करेंगे संख्यात्मक असमानताओं की संपत्ति तालिका: ग्रंथ सूची।
एक व्यंजक $a . लिखना
यदि $a>b$ और $b>c$, तो $a>c$।
यह स्पष्ट है कि $10>5$, और $5>2$, और निश्चित रूप से $10>2$। लेकिन गणित को सबसे सामान्य मामले के लिए कठोर प्रमाण पसंद हैं।
यदि $a>b$, तो $a-b$ एक धनात्मक संख्या है। यदि $b>c$, तो $b-c$ एक धनात्मक संख्या है। आइए दो सकारात्मक संख्याओं को जोड़ें।
$ए-बी+बी-सी=ए-सी$।
दो धनात्मक संख्याओं का योग एक धनात्मक संख्या है, लेकिन फिर $a-c$ भी एक धनात्मक संख्या है। जिससे यह इस प्रकार है कि $a>c$। संपत्ति साबित हुई है।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, हमारे मामले में बिंदु $a$ बिंदु $c$ के दाईं ओर स्थित है, जिसका अर्थ है कि $a>c$।
यदि $a>b$, तो $a+c>b+c$।
दूसरे शब्दों में, यदि संख्या $a$, संख्या $b$ से अधिक है, तो हम इन संख्याओं में जो भी संख्या (धनात्मक या ऋणात्मक) जोड़ते हैं, असमानता चिन्ह भी संरक्षित रहेगा। यह गुण बहुत आसानी से सिद्ध हो जाता है। आपको एक घटाव करना है। जोड़ा गया चर गायब हो जाएगा और मूल असमानता सही होगी।
a) यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता चिन्ह संरक्षित रहता है।
अगर $a>b$ और $c>0$ तो $ac>bc$।
b) यदि असमानता के दोनों भागों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता के चिन्ह को उलट दिया जाना चाहिए।
यदि $a>b$ और $c यदि $a
विभाजित करते समय, आपको उसी तरह कार्य करना चाहिए (एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करें - संकेत संरक्षित है, एक नकारात्मक संख्या से विभाजित करें - संकेत बदलता है)।
यदि $a>b$ और $c>d$, तो $a+c>b+d$।
शर्त से: $a-b$ एक धनात्मक संख्या है और $c-d$ एक धनात्मक संख्या है।
तब योग $(a-b)+(c-d)$ भी एक धनात्मक संख्या है।
आइए कुछ शर्तों को स्वैप करें $(a+с)-(b+d)$।
पदों के स्थानों में परिवर्तन से, योग नहीं बदलता है।
तो $(a+c)-(b+d)$ एक सकारात्मक संख्या है और $a+c>b+d$।
संपत्ति साबित हुई है।
यदि $a, b ,c, d$ धनात्मक संख्याएँ हैं और $a>b$, $c>d$, तो $ac>bd$ हैं।
$a>b$ और $c>0$ के बाद से, संपत्ति 3 का उपयोग करके, हमारे पास $ac>bc$ है।
चूंकि $c>d$ और $b>0$, फिर, संपत्ति 3 का उपयोग करके, हमारे पास $cb>bd$ है।
तो $ac>bc$ और $bc>bd$।
फिर, संपत्ति 1 का उपयोग करके, हमें $ac>bd$ मिलता है। क्यू.ई.डी.
$a>b$ और $c>d$ ($a .) फॉर्म की असमानताएं
यदि $a>b$ ($a>0$, $b>0$), तो $a^n>b^n$, जहां $n$ कोई भी प्राकृत संख्या है।
यदि असमानता के दोनों भाग धनात्मक संख्याएँ हैं और उन्हें एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, तो समान अर्थ की असमानता प्राप्त होगी।
ध्यान दें कि यदि $n$ एक विषम संख्या है, तो गुण 6 किसी भी संकेत के साथ किसी भी पूर्णांक $a$ और $b$ के लिए धारण करता है।
यदि $a>b$ ($a>0$, $b>0$), तो $\frac(1)(a)
इस गुण को सिद्ध करने के लिए ऋणात्मक संख्या प्राप्त करने के लिए $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ घटाना आवश्यक है।
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$।
तब $\frac(-(a-b))(ab)$ एक ऋणात्मक संख्या है। संपत्ति साबित हुई है।
यदि $a>0$, तो निम्न असमानता है: $a+\frac(1)(a)≥2$।
आइए अंतर पर विचार करें।
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
संपत्ति साबित हुई है।
अगर $a$ और $b$ गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं, तो निम्नलिखित असमानता रखती है: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$।
अंतर पर विचार करें:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) ))^2)(2)$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।
संपत्ति साबित हुई है।असमानताओं को हल करने के उदाहरण
उदाहरण 1
यह ज्ञात है कि $-1.5
बी) $ -2 बी $।
ग) $ए+बी$।
डी) $ ए-बी $।
ई) $बी^2$।
च) $a^3$।
जी) $\frac(1)(बी)$।
ए) हम संपत्ति का उपयोग करते हैं 3. हम एक सकारात्मक संख्या से गुणा करते हैं, जिसका अर्थ है कि असमानता का संकेत नहीं बदलता है।
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$।
$-10.3
c) समान अर्थ की असमानताओं को जोड़ने पर, हम समान अर्थ की असमानता प्राप्त करते हैं।
$-1.5+3.1
अब अतिरिक्त ऑपरेशन करते हैं।
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
संख्याओं की तुलना करें:
ए) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ और $2+\sqrt(8)$।
बी) $π+\sqrt(8)$ और $4+\sqrt(10)$।
a) आइए प्रत्येक संख्या का वर्ग करें।
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$।
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$।
आइए हम इन वर्गों के वर्गों के अंतर की गणना करें।
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
स्पष्ट रूप से एक सकारात्मक संख्या मिली, जिसका अर्थ है:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
चूँकि दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, तो:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$।स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य
1. यह ज्ञात है कि $-2.2
ए) $4a$।
बी) $ -3 बी $।
ग) $ए+बी$।
डी) $ ए-बी $।
ई) $बी^4$।
च) $a^3$।
जी) $\frac(1)(बी)$।
2. संख्याओं की तुलना करें:
ए) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ और $3+\sqrt(7)$।
बी) $π+\sqrt(5)$ और $2+\sqrt(3)$। 
संख्यात्मक असमानताएं: परिभाषा, उदाहरण
संख्यात्मक असमानताओं के गुण
मूल गुण
संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुण
