यदि एक माध्यम में कई तरंगें एक साथ फैलती हैं, तो माध्यम के कणों का दोलन उन दोलनों का ज्यामितीय योग बन जाता है जो कण प्रत्येक तरंग के अलग-अलग प्रसार के दौरान बनाते हैं। नतीजतन, लहरें एक दूसरे को परेशान किए बिना बस एक दूसरे को ओवरलैप करती हैं। इस कथन को तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत कहा जाता है। सुपरपोजिशन का सिद्धांत बताता है कि एक साथ कई तरंगों के प्रसार के कारण होने वाली गति फिर से एक निश्चित तरंग प्रक्रिया है। ऐसी प्रक्रिया, उदाहरण के लिए, एक ऑर्केस्ट्रा की आवाज है। यह अलग-अलग संगीत वाद्ययंत्रों द्वारा हवा के ध्वनि कंपन के एक साथ उत्तेजना से उत्पन्न होता है। यह उल्लेखनीय है कि जब तरंगों को आरोपित किया जाता है, तो विशेष घटनाएं उत्पन्न हो सकती हैं। उन्हें जोड़ के प्रभाव या, जैसा कि वे कहते हैं, तरंगों का सुपरपोजिशन कहा जाता है। इन प्रभावों में सबसे महत्वपूर्ण हैं व्यतिकरण और विवर्तन।

हस्तक्षेप अंतरिक्ष में कंपन की ऊर्जा के समय-निरंतर पुनर्वितरण की एक घटना है, जिसके परिणामस्वरूप कंपन कुछ स्थानों पर बढ़ जाते हैं और दूसरों में कमजोर हो जाते हैं। यह घटना तब होती है जब एक चरण अंतर के साथ तरंगों को जोड़ते हैं जो समय के साथ बनी रहती हैं, तथाकथित सुसंगत तरंगें। बड़ी संख्या में तरंगों के हस्तक्षेप को आमतौर पर विवर्तन कहा जाता है। व्यतिकरण और विवर्तन में कोई मूलभूत अंतर नहीं है। इन घटनाओं की प्रकृति समान है। हम केवल एक बहुत ही महत्वपूर्ण हस्तक्षेप प्रभाव पर चर्चा करने के लिए खुद को सीमित रखते हैं, जो स्थायी तरंगों का निर्माण है।

खड़ी तरंगों के निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त उन सीमाओं की उपस्थिति है जो उन पर आपतित तरंगों को दर्शाती हैं। स्थायी तरंगें आपतित और परावर्तित तरंगों के योग के परिणामस्वरूप बनती हैं। इस तरह की घटनाएं काफी आम हैं। तो, किसी भी संगीत वाद्ययंत्र की ध्वनि का प्रत्येक स्वर एक खड़ी लहर से उत्साहित होता है। यह तरंग या तो एक तार (तार वाले यंत्र) में या वायु के एक स्तंभ (पवन यंत्र) में बनती है। इन मामलों में परावर्तक सीमाएं स्ट्रिंग के लगाव के बिंदु और पवन उपकरणों की आंतरिक गुहाओं की सतह हैं।

प्रत्येक खड़ी तरंग में निम्नलिखित गुण होते हैं। अंतरिक्ष का पूरा क्षेत्र जिसमें तरंग उत्तेजित होती है, को कोशिकाओं में इस तरह विभाजित किया जा सकता है कि कोशिकाओं की सीमाओं पर दोलन पूरी तरह से अनुपस्थित हों। इन सीमाओं पर स्थित बिन्दुओं को स्थायी तरंग की गाँठें कहते हैं। प्रत्येक कोशिका के आंतरिक बिंदुओं पर दोलनों के चरण समान होते हैं। पड़ोसी कोशिकाओं में दोलन एक दूसरे की ओर, यानी एंटीफेज में होते हैं। एक सेल के भीतर, दोलनों का आयाम अंतरिक्ष में भिन्न होता है और किसी स्थान पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है। जिन बिंदुओं पर यह देखा जाता है, उन्हें स्टैंडिंग वेव के एंटीनोड कहा जाता है। अंत में, खड़ी तरंगों का एक विशिष्ट गुण उनके आवृत्ति स्पेक्ट्रम की विसंगति है। एक खड़ी लहर में, दोलन केवल कड़ाई से परिभाषित आवृत्तियों के साथ हो सकते हैं, और उनमें से एक से दूसरे में संक्रमण एक छलांग में होता है।

एक खड़ी लहर के एक सरल उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि सीमित लंबाई की एक स्ट्रिंग अक्ष के साथ फैली हुई है; इसके सिरे कठोर रूप से स्थिर होते हैं, और बायां सिरा निर्देशांक के मूल में होता है। तब दाहिने सिरे का निर्देशांक होगा। आइए एक स्ट्रिंग में एक लहर को उत्तेजित करें

,

बाएं से दाएं फैल रहा है। तरंग डोरी के दाहिने सिरे से परावर्तित होगी। आइए मान लें कि यह ऊर्जा हानि के बिना होता है। इस मामले में, परावर्तित तरंग का आयाम और आवृत्ति घटना तरंग के समान होगी। इसलिए, परावर्तित तरंग का रूप होना चाहिए:

इसके चरण में एक स्थिरांक होता है जो प्रतिबिंब पर चरण परिवर्तन को निर्धारित करता है। चूँकि परावर्तन डोरी के दोनों सिरों पर होता है और ऊर्जा की हानि के बिना, समान आवृत्ति की तरंगें एक साथ डोरी में फैलती हैं। इसलिए, जोड़ते समय, हस्तक्षेप होना चाहिए। आइए परिणामी तरंग का पता लगाएं।

यह स्थायी तरंग समीकरण है। इससे यह पता चलता है कि स्ट्रिंग के प्रत्येक बिंदु पर आवृत्ति के साथ कंपन होता है। इस मामले में, एक बिंदु पर दोलनों का आयाम बराबर है

.

चूंकि डोरी के सिरे स्थिर होते हैं, इसलिए वहां कोई कंपन नहीं होता है। यह इस शर्त से होता है कि . तो हम इसके साथ समाप्त होते हैं:

.

अब यह स्पष्ट है कि जिन बिंदुओं पर दोलन बिल्कुल नहीं होते हैं। ये बिंदु स्थायी तरंग के नोड हैं। उसी स्थान पर, जहां दोलन आयाम अधिकतम होता है, यह जोड़े गए दोलनों के आयाम के दोगुने मान के बराबर होता है। ये बिंदु स्टैंडिंग वेव के एंटीनोड हैं। एंटीनोड्स और नॉट्स की उपस्थिति ठीक हस्तक्षेप है: कुछ जगहों पर दोलनों को बढ़ाया जाता है, जबकि अन्य में वे गायब हो जाते हैं। एक पड़ोसी नोड और एक एंटीनोड के बीच की दूरी स्पष्ट स्थिति से पाई जाती है:। क्योंकि तब । इसलिए, आसन्न नोड्स के बीच की दूरी है।

यह स्थायी तरंग समीकरण से देखा जा सकता है कि कारक शून्य से गुजरने पर यह संकेत बदल देता है। इसके अनुसार, नोड के विभिन्न पक्षों पर दोलनों का चरण भिन्न होता है। इसका मतलब है कि नोड के विपरीत किनारों पर स्थित बिंदु एंटीफेज में दोलन करते हैं। दो पड़ोसी नोड्स के बीच संलग्न सभी बिंदु एक ही चरण में दोलन करते हैं।

इस प्रकार, घटना और परावर्तित तरंगों को जोड़ने पर, तरंग गति का पैटर्न प्राप्त करना वास्तव में संभव है जो पहले की विशेषता थी। इस मामले में, एक-आयामी मामले में जिन कोशिकाओं पर चर्चा की गई थी, वे पड़ोसी नोड्स के बीच संलग्न और लंबाई वाले खंड हैं।

अंत में, आइए हम सुनिश्चित करें कि जिस तरंग पर हमने विचार किया है वह केवल कड़ाई से परिभाषित दोलन आवृत्तियों पर ही मौजूद हो सकती है। आइए हम इस तथ्य का उपयोग करें कि स्ट्रिंग के दाहिने छोर पर कोई कंपन नहीं है, अर्थात। इसलिए यह पता चला है। यह समानता संभव है यदि , जहां एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक है।

6.1 लोचदार माध्यम में स्थायी तरंगें

सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, जब कई तरंगें एक साथ एक लोचदार माध्यम में फैलती हैं, तो उनका सुपरपोजिशन होता है, और तरंगें एक-दूसरे को परेशान नहीं करती हैं: माध्यम के कणों के दोलन दोलनों का वेक्टर योग होते हैं जो कण करेंगे प्रत्येक तरंग के अलग-अलग प्रसार के दौरान।

वे तरंगें जो माध्यम के दोलनों का निर्माण करती हैं, जिनके बीच के चरण अंतर अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर स्थिर होते हैं, कहलाते हैं सुसंगत.

सुसंगत तरंगों को जोड़ने पर घटना उत्पन्न होती है दखल अंदाजी, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि अंतरिक्ष में कुछ बिंदुओं पर तरंगें एक दूसरे को मजबूत करती हैं, और अन्य बिंदुओं पर वे कमजोर होती हैं। हस्तक्षेप का एक महत्वपूर्ण मामला तब देखा जाता है जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो विपरीत समतल तरंगें आरोपित होती हैं। परिणामी दोलनों को कहा जाता है खड़ी लहर. सबसे अधिक बार, खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब एक यात्रा तरंग एक बाधा से परावर्तित होती है। इस मामले में, आपतित तरंग और इसकी ओर परावर्तित तरंग, जब एक साथ जुड़ते हैं, तो एक खड़ी तरंग देते हैं।

हमें स्थायी तरंग समीकरण मिलता है। आइए हम अक्ष के अनुदिश एक दूसरे की ओर प्रसार करने वाली दो समतल आवर्त तरंगें लें एक्सऔर समान आवृत्ति और आयाम वाले:

कहाँ पे - पहली लहर के पारित होने के दौरान माध्यम के बिंदुओं के दोलनों का चरण;

- दूसरी लहर के पारित होने के दौरान माध्यम के बिंदुओं के दोलनों का चरण।

अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर चरण अंतर एक्सनेटवर्क समय पर निर्भर नहीं करेगा, अर्थात। स्थिर रहेगा:

इसलिए, दोनों तरंगें सुसंगत होंगी।

विचारित तरंगों के योग से उत्पन्न माध्यम के कणों का दोलन इस प्रकार होगा:

हम नियम (4.4) के अनुसार कोणों की कोज्याओं के योग को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम मूल का चयन करते हैं ताकि प्रावस्था अंतर और समय की उत्पत्ति, ताकि चरणों का योग शून्य के बराबर हो: .

तब तरंगों के योग का समीकरण रूप लेगा:

समीकरण (6.6) कहलाता है स्थायी तरंग समीकरण. इससे यह देखा जा सकता है कि खड़ी तरंग की आवृत्ति यात्रा तरंग की आवृत्ति के बराबर होती है, और आयाम, यात्रा तरंग के विपरीत, मूल से दूरी पर निर्भर करता है:

. (6.7)

खाते (6.7) को ध्यान में रखते हुए, स्थायी तरंग समीकरण रूप लेता है:

. (6.8)

इस प्रकार, माध्यम के बिंदु एक आवृत्ति के साथ यात्रा तरंग की आवृत्ति के साथ मेल खाते हैं, और एक आयाम के साथ ए, अक्ष पर बिंदु की स्थिति के आधार पर एक्स. तदनुसार, आयाम कोज्या नियम के अनुसार बदलता है और इसकी अपनी अधिकतम और न्यूनतम होती है (चित्र। 6.1)।

आयाम के मिनिमा और मैक्सिमा के स्थान की कल्पना करने के लिए, हम (5.29) के अनुसार, तरंग संख्या को उसके मान से प्रतिस्थापित करते हैं:

तब आयाम के लिए व्यंजक (6.7) रूप लेता है

(6.10)

इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि विस्थापन आयाम अधिकतम है , अर्थात। उन बिंदुओं पर जिनका निर्देशांक शर्त को पूरा करता है:

, (6.11)

कहाँ पे

यहां से हम उन बिंदुओं के निर्देशांक प्राप्त करते हैं जहां विस्थापन आयाम अधिकतम होता है:

; (6.12)

वे बिंदु जहाँ माध्यम के दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, कहलाते हैं वेव एंटीनोड्स.

तरंग आयाम उन बिंदुओं पर शून्य होता है जहां . ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक, कहलाते हैं लहर गांठ, शर्त को संतुष्ट करता है:

, (6.13)

कहाँ पे

(6.13) से यह देखा जा सकता है कि नोड्स के निर्देशांक के मान हैं:

, (6.14)

अंजीर पर। 6.2 एक स्थायी लहर का अनुमानित दृश्य दिखाता है, नोड्स और एंटीनोड्स का स्थान चिह्नित किया जाता है। यह देखा जा सकता है कि विस्थापन के पड़ोसी नोड्स और एंटीनोड्स एक दूसरे से समान दूरी पर स्थित हैं।

आसन्न एंटीनोड्स और नोड्स के बीच की दूरी का पता लगाएं। (6.12) से हम एंटिनोड्स के बीच की दूरी प्राप्त करते हैं:

(6.15)

नोड्स के बीच की दूरी (6.14) से प्राप्त की जाती है:

(6.16)

प्राप्त संबंधों (6.15) और (6.16) से, यह देखा जा सकता है कि पड़ोसी नोड्स के साथ-साथ पड़ोसी एंटिनोड के बीच की दूरी स्थिर और बराबर है; नोड्स और एंटीनोड एक दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित होते हैं (चित्र 6.3)।

तरंग दैर्ध्य की परिभाषा से, हम खड़े तरंग की लंबाई के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं: यह यात्रा तरंग की आधी लंबाई के बराबर है:

आइए, खाते (6.17) को ध्यान में रखते हुए, नोड्स और एंटिनोड्स के निर्देशांकों के लिए व्यंजक लिखें:

, (6.18)

, (6.19)

गुणक, जो स्थायी तरंग के आयाम को निर्धारित करता है, शून्य मान से गुजरते समय अपना संकेत बदल देता है, जिसके परिणामस्वरूप नोड के विपरीत पक्षों पर दोलनों का चरण भिन्न होता है। नतीजतन, नोड के विभिन्न किनारों पर स्थित सभी बिंदु एंटी-फेज में दोलन करते हैं। पड़ोसी नोड्स के बीच के सभी बिंदु चरण में दोलन करते हैं।

नोड्स सशर्त रूप से माध्यम को स्वायत्त क्षेत्रों में विभाजित करते हैं जिसमें हार्मोनिक दोलन स्वतंत्र रूप से होते हैं। क्षेत्रों के बीच गति का स्थानांतरण नहीं होता है, और इसलिए, क्षेत्रों के बीच कोई ऊर्जा प्रवाह नहीं होता है। अर्थात् अक्ष के अनुदिश विक्षोभ का संचरण नहीं होता है। इसलिए, लहर को खड़ा कहा जाता है।

तो, समान आवृत्तियों और आयामों की दो विपरीत निर्देशित यात्रा तरंगों से एक खड़ी लहर बनती है। इन तरंगों में से प्रत्येक के उमोव वैक्टर मापांक में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं, और जब जोड़ा जाता है तो वे शून्य देते हैं। इसलिए, एक खड़ी लहर ऊर्जा को स्थानांतरित नहीं करती है।

6.2 खड़ी तरंगों के उदाहरण

6.2.1 एक डोरी में खड़ी तरंग

लंबाई की एक स्ट्रिंग पर विचार करें ली, दोनों सिरों पर स्थिर है (चित्र 6.4)।

आइए अक्ष को स्ट्रिंग के साथ रखें एक्सताकि स्ट्रिंग के बाएँ सिरे में निर्देशांक हो एक्स = 0, और अधिकार एक्स = एल. समीकरण द्वारा वर्णित स्ट्रिंग में कंपन होते हैं:

आइए विचार की गई स्ट्रिंग के लिए सीमा शर्तों को लिखें। चूँकि इसके सिरे स्थिर हैं, तो निर्देशांक वाले बिंदुओं पर एक्स = 0और एक्स = एलबिना हिचकिचाहट:

(6.22)

आइए हम लिखित सीमा शर्तों के आधार पर स्ट्रिंग कंपन के समीकरण को खोजें। हम (6.21) को ध्यान में रखते हुए, स्ट्रिंग के बाएं छोर के लिए समीकरण (6.20) लिखते हैं:

संबंध (6.23) किसी भी समय के लिए धारण करता है टीदो मामलों में:

1. . यह तभी संभव है जब डोरी () में कोई कंपन न हो। यह मामला कोई दिलचस्पी का नहीं है, और हम इस पर विचार नहीं करेंगे।

2.. यहाँ चरण है। यह मामला हमें स्ट्रिंग कंपन के लिए समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देगा।

आइए हम प्राप्त चरण मान को स्ट्रिंग के दाहिने छोर के लिए सीमा स्थिति (6.22) में प्रतिस्थापित करें:

. (6.25)

मान लीजिये

, (6.26)

(6.25) से हम पाते हैं:

दोबारा, दो मामले सामने आते हैं जिनमें संबंध (6.27) संतुष्ट होता है। मामला जब स्ट्रिंग () में कोई कंपन नहीं होता है, तो हम विचार नहीं करेंगे।

दूसरे मामले में, समानता होनी चाहिए:

और यह तभी संभव है जब साइन तर्क एक पूर्णांक का गुणज हो:

हम मूल्य को त्याग देते हैं, क्योंकि इस मामले में, जिसका अर्थ होगा या तो शून्य स्ट्रिंग लंबाई ( एल = 0) या लहर-नई संख्या कश्मीर = 0. तरंग संख्या और तरंग दैर्ध्य के बीच संबंध (6.9) को ध्यान में रखते हुए, यह स्पष्ट है कि तरंग संख्या शून्य के बराबर होने के लिए, तरंग दैर्ध्य को अनंत होना होगा, और इसका मतलब दोलनों की अनुपस्थिति होगा।

यह (6.28) से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों पर तय की गई एक स्ट्रिंग के कंपन के दौरान तरंग संख्या केवल कुछ असतत मान ले सकती है:

(6.9) को ध्यान में रखते हुए, हम (6.30) इस प्रकार लिखते हैं:

जहाँ से हम स्ट्रिंग में संभावित तरंग दैर्ध्य के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

दूसरे शब्दों में, स्ट्रिंग की लंबाई से अधिक लीपूर्णांक होना चाहिए एनआधा लहर:

संबंधित दोलन आवृत्तियों को (5.7) से निर्धारित किया जा सकता है:

यहां तरंग का चरण वेग है, जो (5.102) के अनुसार, स्ट्रिंग के रैखिक घनत्व और स्ट्रिंग तनाव बल पर निर्भर करता है:

(6.34) को (6.33) में प्रतिस्थापित करने पर, हम स्ट्रिंग के संभावित कंपन आवृत्तियों का वर्णन करने वाला एक व्यंजक प्राप्त करते हैं:

, (6.36)

आवृत्तियों को कहा जाता है प्राकृतिक आवृत्तियोंतार। आवृत्ति (जब एन = 1):

(6.37)

बुलाया मौलिक आवृत्ति(या मुख्य स्वर) तार। पर निर्धारित फ़्रीक्वेंसी एन> 1बुलाया मकसदया हार्मोनिक्स. हार्मोनिक संख्या है एन-1. उदाहरण के लिए, आवृत्ति:

पहले हार्मोनिक से मेल खाती है, और आवृत्ति:

दूसरे हार्मोनिक से मेल खाती है, और इसी तरह। चूंकि एक स्ट्रिंग को एक असतत प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें अनंत संख्या में स्वतंत्रता होती है, प्रत्येक हार्मोनिक होता है पहनावास्ट्रिंग कंपन। सामान्य स्थिति में, स्ट्रिंग कंपन मोड का एक सुपरपोजिशन होता है।

प्रत्येक हार्मोनिक की अपनी तरंग दैर्ध्य होती है। मुख्य स्वर के लिए (साथ एन = 1) तरंग दैर्ध्य:

पहले और दूसरे हार्मोनिक्स के लिए, क्रमशः (at .) एन = 2 और एन = 3) तरंग दैर्ध्य होगा:

चित्र 6.5 एक स्ट्रिंग द्वारा किए गए कई कंपन मोड का एक दृश्य दिखाता है।

इस प्रकार, निश्चित सिरों वाली एक स्ट्रिंग शास्त्रीय भौतिकी के ढांचे के भीतर एक असाधारण मामले का एहसास करती है - दोलन आवृत्ति (या तरंग दैर्ध्य) का एक असतत स्पेक्ट्रम। एक या दोनों क्लैंप्ड सिरों वाली एक लोचदार छड़ उसी तरह से व्यवहार करती है, जैसे पाइपों में वायु स्तंभ में उतार-चढ़ाव करती है, जिसकी चर्चा बाद के खंडों में की जाएगी।

6.2.2 गति पर प्रारंभिक स्थितियों का प्रभाव

निरंतर स्ट्रिंग। फूरियर विश्लेषण

कंपन आवृत्तियों के एक असतत स्पेक्ट्रम के अलावा, क्लैंप किए गए सिरों के साथ एक स्ट्रिंग के कंपन में एक और महत्वपूर्ण गुण होता है: स्ट्रिंग के कंपन का विशिष्ट रूप कंपन के उत्तेजना की विधि पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रारंभिक स्थितियों से। आइए अधिक विस्तार से विचार करें।

समीकरण (6.20), जो एक स्ट्रिंग में एक स्थायी तरंग के एक मोड का वर्णन करता है, अंतर तरंग समीकरण (5.61) का एक विशेष समाधान है। चूंकि एक स्ट्रिंग के कंपन में सभी संभावित मोड होते हैं (एक स्ट्रिंग के लिए - एक अनंत संख्या), तो तरंग समीकरण (5.61) के सामान्य समाधान में अनंत संख्या में विशेष समाधान होते हैं:

, (6.43)

कहाँ पे मैंदोलन मोड संख्या है। व्यंजक (6.43) इस बात को ध्यान में रखते हुए लिखा गया है कि डोरी के सिरे स्थिर हैं:

और आवृत्ति कनेक्शन को भी ध्यान में रखते हुए मैंवें मोड और इसकी तरंग संख्या:

(6.46)

यहां - तरंग संख्या मैंवें फैशन;

पहली मोड की तरंग संख्या है;

आइए हम प्रत्येक दोलन मोड के लिए प्रारंभिक चरण का मान ज्ञात करें। इसके लिए उस समय टी = 0आइए स्ट्रिंग को फ़ंक्शन द्वारा वर्णित एक आकार दें एफ 0 (एक्स), वह व्यंजक जिसके लिए हम (6.43) से प्राप्त करते हैं:

. (6.47)

अंजीर पर। 6.6 मेरे फ़ंक्शन द्वारा वर्णित स्ट्रिंग के आकार का एक उदाहरण दिखाता है एफ 0 (एक्स).

समय के बिंदु पर टी = 0स्ट्रिंग अभी भी आराम पर है, अर्थात। इसके सभी बिंदुओं की गति शून्य के बराबर है। (6.43) से हम स्ट्रिंग बिंदुओं की गति के लिए एक व्यंजक पाते हैं:

और इसमें प्रतिस्थापित करके टी = 0, हम समय के प्रारंभिक क्षण में स्ट्रिंग के बिंदुओं की गति के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं:

. (6.49)

चूँकि प्रारंभिक समय में गति शून्य के बराबर है, तो व्यंजक (6.49) स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं के लिए शून्य के बराबर होगा, यदि । इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी विधाओं के लिए प्रारंभिक चरण भी शून्य () है। इसे ध्यान में रखते हुए, व्यंजक (6.43), जो डोरी की गति का वर्णन करता है, रूप लेता है:

, (6.50)

और व्यंजक (6.47), जो स्ट्रिंग के प्रारंभिक आकार का वर्णन करता है, ऐसा दिखता है:

. (6.51)

एक स्ट्रिंग में एक स्थायी तरंग को एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है जो अंतराल पर आवधिक होता है, जहां दो स्ट्रिंग लंबाई के बराबर होता है (चित्र 6.7):

यह इस तथ्य से देखा जा सकता है कि अंतराल पर आवधिकता का अर्थ है:

इसलिये,

जो हमें अभिव्यक्ति में लाता है (6.52)।

गणितीय विश्लेषण से यह ज्ञात होता है कि किसी भी आवधिक कार्य को उच्च सटीकता के साथ फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है:

, (6.57)

जहां , फूरियर गुणांक हैं।

एक ही आयाम और आवृत्ति के विपरीत दिशाओं में फैलने वाली दो साइनसॉइडल समतल तरंगों के हस्तक्षेप के परिणाम पर विचार करें। तर्क की सरलता के लिए, हम मानते हैं कि इन तरंगों के समीकरणों का रूप है:

इसका मतलब यह है कि मूल रूप से दोनों तरंगें एक ही चरण में दोलन करती हैं। बिंदु A पर निर्देशांक x के साथ, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार दोलन मात्रा का कुल मूल्य है (देखें 19), है

इस समीकरण से पता चलता है कि माध्यम के प्रत्येक बिंदु पर (एक निश्चित समन्वय के साथ) आगे और पीछे की तरंगों के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप एक ही आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन होता है, लेकिन एक आयाम के साथ

x-निर्देशांक के मान पर निर्भर करता है। माध्यम के उन बिन्दुओं पर जहाँ बिल्कुल भी कम्पन नहीं होते: इन बिन्दुओं को कम्पन के नोड कहते हैं।

उन बिंदुओं पर जहां दोलनों के आयाम का सबसे बड़ा मूल्य होता है, इन बिंदुओं को दोलनों के एंटिनोड्स कहा जाता है। यह दिखाना आसान है कि पड़ोसी नोड्स या पड़ोसी एंटीनोड्स के बीच की दूरी एंटीनोड के बीच की दूरी के बराबर है और निकटतम नोड बराबर है जब एक्स सूत्र में कोसाइन द्वारा बदलता है (5.16), यह अपने संकेत को उलट देता है (इसका तर्क इतना बदल जाता है यदि एक अर्ध-लहर के भीतर - एक नोड से दूसरे में - माध्यम के कण एक दिशा में विचलित हो जाते हैं, तो पड़ोसी अर्ध-तरंग के भीतर, माध्यम के कण विपरीत दिशा में विक्षेपित हो जाएंगे।

सूत्र (5.16) द्वारा वर्णित माध्यम में तरंग प्रक्रिया को स्थायी तरंग कहा जाता है। चित्रमय रूप से, एक खड़ी लहर को चित्र में दिखाया जा सकता है। 1.61. आइए मान लें कि y में संतुलन की स्थिति से माध्यम के बिंदुओं का विस्थापन है; तब सूत्र (5.16) एक "स्थायी विस्थापन तरंग" का वर्णन करता है। किसी समय में, जब माध्यम के सभी बिंदुओं में अधिकतम विस्थापन होता है, जिसकी दिशा, x निर्देशांक के मान के आधार पर, संकेत द्वारा निर्धारित की जाती है। ये विस्थापन चित्र में दिखाए गए हैं। 1.61 ठोस तीरों के साथ। एक चौथाई अवधि के बाद, जब माध्यम के सभी बिंदुओं का विस्थापन शून्य के बराबर होता है; माध्यम के कण अलग-अलग गति से रेखा से गुजरते हैं। अवधि के एक और तिमाही के बाद, जब माध्यम के कणों में फिर से अधिकतम विस्थापन होगा, लेकिन विपरीत दिशा में; इन ऑफसेट्स को दिखाया गया है

चावल। 1.61 धराशायी तीर। बिंदु स्थायी विस्थापन तरंग के एंटिनोड हैं; इस तरंग के बिंदु नोड्स।

एक पारंपरिक प्रसार, या यात्रा के विपरीत, एक स्थायी लहर की विशेषता विशेषताएं इस प्रकार हैं (अर्थात् क्षीणन के अभाव में समतल तरंगें):

1) एक स्थायी तरंग में, सिस्टम के विभिन्न भागों में दोलन आयाम भिन्न होते हैं; सिस्टम में दोलनों के नोड और एंटीनोड हैं। एक "यात्रा" तरंग में, ये आयाम हर जगह समान होते हैं;

2) प्रणाली के क्षेत्र में एक नोड से पड़ोसी एक तक, माध्यम के सभी बिंदु एक ही चरण में दोलन करते हैं; पड़ोसी खंड में जाने पर, दोलनों के चरण उलट जाते हैं। एक यात्रा तरंग में, दोलनों के चरण, सूत्र (5.2) के अनुसार, बिंदुओं के निर्देशांक पर निर्भर करते हैं;

3) एक स्थायी तरंग में ऊर्जा का एकतरफा हस्तांतरण नहीं होता है, जैसा कि एक यात्रा तरंग में होता है।

लोचदार प्रणालियों में ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय, दोलन मूल्य y को न केवल सिस्टम के कणों के विस्थापन या वेग के रूप में लिया जा सकता है, बल्कि सापेक्ष विरूपण के मूल्य या संपीड़न, तनाव, या में तनाव के मूल्य के रूप में भी लिया जा सकता है। कतरनी, आदि। एक ही समय में, एक खड़ी लहर में, उन जगहों पर जहां कण वेग के एंटीनोड्स बनते हैं, विरूपण नोड्स स्थित होते हैं, और इसके विपरीत, वेग नोड्स विरूपण एंटीनोड्स के साथ मेल खाते हैं। ऊर्जा का गतिज से विभव में परिवर्तन और इसके विपरीत प्रणाली के खंड के भीतर एंटीनोड से पड़ोसी नोड तक होता है। हम यह मान सकते हैं कि ऐसा प्रत्येक खंड पड़ोसी वर्गों के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है। ध्यान दें कि गतिमान कणों की गतिज ऊर्जा का माध्यम के विकृत वर्गों की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन एक आवर्त में दो बार होता है।

ऊपर, सीधी और पश्च तरंगों के व्यतिकरण को देखते हुए (व्यंजक (5.16 देखें) देखें), हमें इन तरंगों की उत्पत्ति में कोई दिलचस्पी नहीं थी। आइए अब मान लें कि जिस माध्यम में कंपन फैलता है, उसके सीमित आयाम होते हैं, उदाहरण के लिए, किसी ठोस शरीर में कंपन होता है - एक छड़ या तार में, तरल या गैस के स्तंभ में, आदि। ऐसे माध्यम में फैलने वाली तरंग ( शरीर), सीमाओं से परिलक्षित होता है, इसलिए, इस शरीर के आयतन के भीतर, बाहरी स्रोत के कारण तरंगों का हस्तक्षेप और सीमाओं से परावर्तित होता रहता है।

सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें; मान लीजिए, किसी छड़ या डोरी के एक बिंदु (चित्र 1.62) पर, एक आवृत्ति के साथ एक दोलन गति बाहरी साइनसोइडल स्रोत की मदद से उत्तेजित होती है; हम समय संदर्भ के मूल को चुनते हैं ताकि इस बिंदु पर विस्थापन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सके

जहां बिंदु पर दोलन आयाम रॉड में प्रेरित तरंग रॉड के दूसरे छोर से 0% परावर्तित होगी और विपरीत दिशा में जाएगी

दिशा। आइए निर्देशांक x के साथ छड़ के किसी बिंदु पर प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों के व्यतिकरण का परिणाम ज्ञात करें। तर्क की सरलता के लिए, हम मानते हैं कि छड़ में कंपन ऊर्जा का अवशोषण नहीं होता है और इसलिए प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों के आयाम समान होते हैं।

किसी बिंदु पर, जब एक बिंदु पर दोलन कणों का विस्थापन y के बराबर होता है, तो छड़ पर दूसरे बिंदु पर, एक सीधी तरंग के कारण होने वाला विस्थापन, तरंग सूत्र के अनुसार, बराबर होगा

परावर्तित तरंग भी उसी बिंदु A से होकर गुजरती है। परावर्तित तरंग द्वारा बिंदु A पर होने वाले विस्थापन का पता लगाने के लिए (उसी समय उस समय की गणना करना आवश्यक है जिसके दौरान तरंग एक बिंदु से वापस बिंदु तक जाएगी क्योंकि परावर्तित तरंग द्वारा बिंदु पर होने वाला विस्थापन होगा के बराबर

इस मामले में, यह माना जाता है कि प्रतिबिंब की प्रक्रिया में छड़ के परावर्तक छोर पर दोलन चरण में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है; कुछ मामलों में, ऐसा चरण परिवर्तन (जिसे चरण हानि कहा जाता है) होता है और इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।

प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों द्वारा छड़ के विभिन्न बिंदुओं पर होने वाले कंपनों का योग एक स्थायी तरंग देता है; वास्तव में,

जहां कुछ स्थिर चरण है, x निर्देशांक और मात्रा से स्वतंत्र है

बिंदु पर दोलन आयाम है; यह x निर्देशांक पर निर्भर करता है, अर्थात यह छड़ के विभिन्न स्थानों में भिन्न होता है।

आइए हम छड़ के उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जिन पर स्थायी तरंग के नोड और एंटीनोड बनते हैं। कोसाइन शून्य में बदल जाता है या एक तर्क मानों पर होता है जो के गुणज होते हैं

एक पूर्णांक कहाँ है। इस संख्या के विषम मान के लिए, कोसाइन गायब हो जाता है और सूत्र (5.19) स्थायी तरंग के नोड्स के निर्देशांक देता है; यहां तक ​​कि हमें एंटीनोड्स के निर्देशांक भी मिलते हैं।

ऊपर, केवल दो तरंगें जोड़ी गईं: एक सीधी, से आ रही है और एक परावर्तित, से फैल रही है। हालाँकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि छड़ की सीमा पर परावर्तित तरंग फिर से परावर्तित होगी और दिशा में जाएगी सीधी लहर। ऐसे प्रतिबिंब

छड़ के सिरों से बहुत कुछ होगा, और इसलिए दो के नहीं, बल्कि छड़ में मौजूद सभी तरंगों के हस्तक्षेप का परिणाम खोजना आवश्यक है।

आइए मान लें कि कंपन के बाहरी स्रोत ने कुछ समय के लिए छड़ में तरंगें पैदा कीं, जिसके बाद बाहर से कंपन ऊर्जा का प्रवाह बंद हो गया। इस समय के दौरान, छड़ में परावर्तन हुआ, वह समय कहाँ है जिसके दौरान तरंग छड़ के एक छोर से दूसरे छोर तक जाती है। नतीजतन, रॉड में एक साथ आगे की दिशा में यात्रा करने वाली तरंगें और विपरीत दिशा में यात्रा करने वाली तरंगें मौजूद होंगी।

आइए मान लें कि एक जोड़ी तरंगों (प्रत्यक्ष और परावर्तित) के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप, बिंदु A पर विस्थापन y के बराबर निकला। आइए हम वह स्थिति ज्ञात करें जिसके तहत प्रत्येक जोड़ी तरंगों के कारण होने वाले सभी विस्थापन y की छड़ के बिंदु A पर समान दिशाएँ होती हैं और इसलिए योग होता है। इसके लिए, एक बिंदु पर प्रत्येक जोड़ी तरंगों के कारण होने वाले दोलनों के चरण अगले जोड़ी तरंगों के कारण होने वाले दोलनों के चरण से भिन्न होने चाहिए। लेकिन प्रत्येक तरंग फिर से एक समय के बाद ही प्रसार की समान दिशा के साथ बिंदु A पर लौटती है, अर्थात, इस अंतराल को बराबर करके चरण में पिछड़ जाती है, जहां एक पूर्णांक है, हम प्राप्त करते हैं

यानी, आधी-तरंगों की एक पूर्णांक संख्या छड़ की लंबाई के साथ फिट होनी चाहिए। ध्यान दें कि इस स्थिति के तहत, आगे की दिशा से यात्रा करने वाली सभी तरंगों के चरण एक दूसरे से भिन्न होते हैं जहां एक पूर्णांक होता है; ठीक उसी तरह, विपरीत दिशा से यात्रा करने वाली सभी तरंगों के चरण एक दूसरे से भिन्न होंगे। केवल दोलनों का आयाम बढ़ेगा। यदि सूत्र (5.18) के अनुसार दो तरंगों के व्यतिकरण के दौरान दोलनों का अधिकतम आयाम समान है, तो कई तरंगों के व्यतिकरण के साथ यह अधिक होगा। आइए हम इसे निरूपित करें क्योंकि तब अभिव्यक्ति (5.18) के बजाय छड़ के साथ दोलन आयाम का वितरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा

व्यंजक (5.19) और (5.20) उन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं जिन पर कोसाइन का मान या 1 होता है:

एक पूर्णांक कहाँ है स्थायी तरंग के नोड्स के निर्देशांक इस सूत्र से विषम मानों के लिए प्राप्त किए जाएंगे, फिर रॉड की लंबाई के आधार पर, यानी मान

एंटीनोड निर्देशांक सम मानों के साथ प्राप्त किए जाएंगे

अंजीर पर। 1.63 एक छड़ में एक स्थायी तरंग को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है, जिसकी लंबाई; बिंदु एंटीनोड हैं, बिंदु इस स्थायी तरंग के नोड हैं।

इंच। यह दिखाया गया था कि आवधिक बाहरी प्रभावों की अनुपस्थिति में, सिस्टम में कोडिंग गति की प्रकृति और सबसे ऊपर, मुख्य मात्रा - दोलन आवृत्ति - सिस्टम के आयामों और भौतिक गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रत्येक ऑसिलेटरी सिस्टम की अपनी, अंतर्निहित ऑसिलेटरी गति होती है; यह उतार-चढ़ाव देखा जा सकता है यदि सिस्टम को संतुलन से बाहर कर दिया जाता है और फिर बाहरी प्रभाव समाप्त हो जाते हैं।

इंच। 4 घंटे मैंने मुख्य रूप से गांठदार मापदंडों के साथ दोलन प्रणाली पर विचार किया, जिसमें कुछ निकायों (बिंदु) में जड़त्वीय द्रव्यमान था, और अन्य निकायों (स्प्रिंग्स) में लोचदार गुण थे। इसके विपरीत, दोलन प्रणाली जिसमें प्रत्येक प्राथमिक आयतन में द्रव्यमान और लोच निहित होते हैं, वितरित मापदंडों वाले सिस्टम कहलाते हैं। इनमें ऊपर चर्चा की गई छड़ें, तार, साथ ही तरल या गैस के स्तंभ (पवन संगीत वाद्ययंत्र में) आदि शामिल हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, खड़ी तरंगें प्राकृतिक कंपन हैं; इन तरंगों की मुख्य विशेषता - तरंग दैर्ध्य या नोड्स और एंटीनोड्स का वितरण, साथ ही दोलनों की आवृत्ति - केवल सिस्टम के आकार और गुणों से निर्धारित होती है। सिस्टम पर बाहरी (आवधिक) कार्रवाई की अनुपस्थिति में स्थायी तरंगें भी मौजूद हो सकती हैं; यह क्रिया केवल तंत्र में खड़ी तरंगों को उत्पन्न करने या बनाए रखने के लिए या दोलनों के आयाम को बदलने के लिए आवश्यक है। विशेष रूप से, यदि वितरित मापदंडों के साथ एक प्रणाली पर एक बाहरी क्रिया उसके प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति पर होती है, अर्थात, एक स्थायी तरंग की आवृत्ति, तो प्रतिध्वनि घटना होती है, जिसे चैप में माना जाता था। 5. विभिन्न आवृत्तियों के लिए समान है।

इस प्रकार, वितरित मापदंडों वाले सिस्टम में, प्राकृतिक दोलन - स्थायी तरंगें - आवृत्तियों के एक पूरे स्पेक्ट्रम की विशेषता होती हैं जो एक दूसरे के गुणक होते हैं। सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य के अनुरूप इन आवृत्तियों में से सबसे छोटी आवृत्ति को मौलिक आवृत्ति कहा जाता है; बाकी) ओवरटोन या हार्मोनिक्स हैं।

प्रत्येक प्रणाली को न केवल दोलनों के ऐसे स्पेक्ट्रम की उपस्थिति की विशेषता है, बल्कि विभिन्न आवृत्तियों के दोलनों के बीच ऊर्जा के एक निश्चित वितरण द्वारा भी। संगीत वाद्ययंत्रों के लिए, यह वितरण ध्वनि को एक विशिष्ट विशेषता देता है, तथाकथित ध्वनि समय, जो विभिन्न उपकरणों के लिए अलग है।

उपरोक्त गणना एक मुक्त दोलन "लंबाई की छड़ को संदर्भित करती है। हालांकि, हमारे पास आमतौर पर एक या दोनों सिरों पर छड़ें तय होती हैं (उदाहरण के लिए, कंपन तार), या छड़ के साथ एक या अधिक बिंदु होते हैं। आंदोलनों को मजबूर विस्थापन नोड्स होते हैं। उदाहरण के लिए,

यदि रॉड में एक, दो, तीन फिक्सिंग पॉइंट आदि पर स्टैंडिंग वेव्स प्राप्त करना आवश्यक है, तो इन पॉइंट्स को मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है, लेकिन रॉड के साथ स्थित होना चाहिए ताकि वे गठित स्टैंडिंग वेव के नोड्स पर हों। . यह दिखाया गया है, उदाहरण के लिए, अंजीर में। 1.64. इसी आकृति में, धराशायी रेखा कंपन के दौरान छड़ के बिंदुओं के विस्थापन को दर्शाती है; विस्थापन एंटिनोड हमेशा मुक्त सिरों पर बनते हैं, और विस्थापन नोड्स निश्चित सिरों पर बनते हैं। पाइपों में वायु स्तंभों को दोलन करने के लिए, ठोस दीवारों को परावर्तित करने पर विस्थापन नोड्स (और वेग) प्राप्त होते हैं; ट्यूबों के खुले सिरों पर विस्थापन और वेग के एंटीनोड बनते हैं।

यदि माध्यम में एक साथ कई तरंगें फैलती हैं, तो माध्यम के कणों का दोलन उन दोलनों का ज्यामितीय योग बन जाता है जो कण प्रत्येक तरंग के अलग-अलग प्रसार के दौरान बनाते हैं। नतीजतन, लहरें एक दूसरे को परेशान किए बिना बस एक दूसरे को ओवरलैप करती हैं। इस कथन को तरंगों के अध्यारोपण (सुपरपोजिशन) का सिद्धांत कहा जाता है।

उस स्थिति में जब माध्यम के प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग तरंगों के कारण होने वाले दोलनों में निरंतर चरण अंतर होता है, तरंगों को सुसंगत कहा जाता है। (सुसंगति की एक अधिक कठोर परिभाषा 120 में दी जाएगी।) जब सुसंगत तरंगों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो हस्तक्षेप की घटना उत्पन्न होती है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि कुछ बिंदुओं पर दोलन मजबूत होते हैं, और अन्य बिंदुओं पर वे एक दूसरे को कमजोर करते हैं।

हस्तक्षेप का एक बहुत ही महत्वपूर्ण मामला तब देखा जाता है जब एक ही आयाम के साथ दो काउंटरप्रोपेगेटिंग विमान तरंगों को आरोपित किया जाता है। परिणामी दोलन प्रक्रिया को एक स्थायी तरंग कहा जाता है। व्यावहारिक रूप से खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब तरंगें बाधाओं से परावर्तित होती हैं। बैरियर पर पड़ने वाली लहर और उसकी ओर दौड़ती हुई परावर्तित लहर, एक दूसरे पर आरोपित होकर, एक खड़ी लहर देती है।

आइए x-अक्ष के अनुदिश विपरीत दिशाओं में फैलने वाली दो समतल तरंगों के समीकरण लिखें:

इन समीकरणों को एक साथ रखने और कोज्या के योग के सूत्र का उपयोग करके परिणाम को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण (99.1) स्थायी तरंग समीकरण है। इसे सरल बनाने के लिए, हम मूल को चुनते हैं ताकि अंतर शून्य के बराबर हो जाए, और मूल - ताकि योग शून्य हो जाए। इसके अलावा, हम तरंग संख्या k को इसके मान से बदलते हैं

तब समीकरण (99.1) रूप लेता है

(99.2) से यह देखा जा सकता है कि खड़ी तरंग के प्रत्येक बिंदु पर, समान आवृत्ति के दोलन होते हैं जैसे कि काउंटर तरंगों में होते हैं, और आयाम x पर निर्भर करता है:

दोलन आयाम अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है। इन बिंदुओं को स्टैंडिंग वेव के एंटीनोड कहा जाता है। से (99.3) एंटीनोड निर्देशांक के मान प्राप्त होते हैं:

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एंटीनोड एक बिंदु नहीं है, बल्कि एक विमान है, जिसके बिंदुओं में सूत्र (99.4) द्वारा निर्धारित एक्स-समन्वय मान हैं।

उन बिंदुओं पर जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं

दोलन आयाम गायब हो जाता है। इन बिंदुओं को स्टैंडिंग वेव के नोड कहा जाता है। नोड्स पर स्थित माध्यम के बिंदु दोलन नहीं करते हैं। नोड पदार्थ का समन्वय करता है

एक नोड, एक एंटीनोड की तरह, एक बिंदु नहीं है, बल्कि एक विमान है, जिसके बिंदुओं में सूत्र (99.5) द्वारा निर्धारित x-निर्देशांक मान होते हैं।

सूत्रों (99.4) और (99.5) से यह इस प्रकार है कि पड़ोसी एंटिनोड्स के बीच की दूरी, साथ ही साथ पड़ोसी नोड्स के बीच की दूरी के बराबर है। तरंगदैर्घ्य के एक चौथाई द्वारा एंटिनोड्स और नोड्स को एक दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित कर दिया जाता है।

आइए हम फिर से समीकरण (99.2) की ओर मुड़ें। गुणक शून्य से गुजरने पर संकेत बदलता है। इसके अनुसार, नोड के विपरीत पक्षों पर दोलनों का चरण भिन्न होता है इसका मतलब है कि नोड के विपरीत पक्षों पर स्थित बिंदु एंटीफ़ेज़ में दोलन करते हैं। दो पड़ोसी नोड्स के बीच संलग्न सभी बिंदु चरण में (यानी, एक ही चरण में) दोलन करते हैं। अंजीर पर। 99.1 संतुलन की स्थिति से बिंदुओं के विचलन के "स्नैपशॉट्स" की एक श्रृंखला दी गई है।

पहला "फोटो" उस क्षण से मेल खाता है जब विचलन अपने सबसे बड़े निरपेक्ष मूल्य तक पहुंच जाता है। बाद की "तस्वीरें" तिमाही-अवधि के अंतराल पर ली गईं। तीर कण वेग दिखाते हैं।

अवकल समीकरण (99.2) एक बार t के संबंध में और दूसरी बार x के संबंध में, हम कण वेग के लिए और माध्यम के विरूपण के लिए व्यंजक पाते हैं:

समीकरण (99.6) वेग की एक स्थायी लहर का वर्णन करता है, और (99.7) - विरूपण की एक स्थायी लहर।

अंजीर पर। 99.2 समय के क्षणों के लिए विस्थापन, वेग और विकृति के "स्नैपशॉट" 0 और तुलना की जाती है। रेखांकन से यह देखा जा सकता है कि वेग के नोड्स और एंटीनोड्स विस्थापन के नोड्स और एंटीनोड्स के साथ मेल खाते हैं; विरूपण के नोड्स और एंटीनोड्स क्रमशः विस्थापन के एंटीनोड्स और नोड्स के साथ मेल खाते हैं। अधिकतम मूल्यों तक पहुँचने पर, यह गायब हो जाता है, और इसके विपरीत।

तदनुसार, एक अवधि में दो बार स्थायी तरंग की ऊर्जा या तो पूरी तरह से संभावित में बदल जाती है, मुख्य रूप से लहर के नोड्स (जहां विरूपण के एंटीनोड्स स्थित होते हैं) के पास केंद्रित होती है, फिर पूरी तरह से गतिज में, मुख्य रूप से एंटीनोड्स के पास केंद्रित होती है। तरंग (जहां वेग के एंटिनोड स्थित हैं)। नतीजतन, प्रत्येक नोड से उसके आस-पास के एंटीनोड्स में ऊर्जा का स्थानांतरण होता है और इसके विपरीत। तरंग के किसी भी भाग में समय-औसत ऊर्जा प्रवाह शून्य के बराबर होता है।