सामान्य तौर पर, यह मुद्दा विशेष ध्यान देने योग्य है, लेकिन यहां सब कुछ सरल है: डिग्री के कोण पर, साइन और कोसाइन दोनों सकारात्मक हैं (आंकड़ा देखें), फिर हम प्लस चिह्न लेते हैं।

अब उपरोक्त के आधार पर कोणों की ज्या और कोज्या ज्ञात करने का प्रयास करें: तथा

आप धोखा दे सकते हैं: विशेष रूप से डिग्री में कोण के लिए। चूँकि एक समकोण त्रिभुज का एक कोण डिग्री के बराबर होता है, तो दूसरा डिग्री के बराबर होता है। अब परिचित सूत्र लागू होते हैं:

तब से, तब से और। तब से, और। डिग्री के साथ, यह और भी सरल है: इसलिए यदि समकोण त्रिभुज का एक कोण डिग्री के बराबर है, तो दूसरा भी डिग्री के बराबर है, जिसका अर्थ है कि ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु है।

तो उसके पैर बराबर हैं। तो इसकी ज्या और कोज्या बराबर हैं।

अब अपने आप को नई परिभाषा (x और y के माध्यम से!) के अनुसार डिग्री और डिग्री में कोणों की साइन और कोज्या खोजें। यहाँ खींचने के लिए कोई त्रिकोण नहीं हैं! वे बहुत सपाट हैं!

आपको मिलना चाहिए था:

आप सूत्रों का उपयोग करके स्वयं स्पर्शरेखा और कोटंगेंट पा सकते हैं:

ध्यान दें कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

अब सभी प्राप्त संख्याओं को एक तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है:

यहां कोणों की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान दिए गए हैं मैं तिमाही. सुविधा के लिए, कोणों को डिग्री और रेडियन दोनों में दिया जाता है (लेकिन अब आप उनके बीच के संबंध को जानते हैं!) तालिका में 2 डैश पर ध्यान दें: अर्थात्, शून्य का कोटैंजेंट और डिग्री की स्पर्शरेखा। यह कोई दुर्घटना नहीं है!

विशेष रूप से:

आइए अब साइन और कोसाइन की अवधारणा को पूरी तरह से मनमाना कोण पर सामान्यीकृत करें। मैं यहां दो मामलों पर विचार करूंगा:

1. कोण डिग्री से लेकर डिग्री तक होता है
2. डिग्री से बड़ा कोण

सामान्यतया, मैंने "काफी सभी" कोनों के बारे में बात करते हुए अपनी आत्मा को थोड़ा मोड़ दिया। वे नकारात्मक भी हो सकते हैं! लेकिन हम इस मामले पर एक अन्य लेख में विचार करेंगे। आइए पहले पहले मामले पर ध्यान दें।

यदि कोण 1 चौथाई में है, तो सब कुछ स्पष्ट है, हमने पहले ही इस मामले पर विचार किया है और यहां तक ​​​​कि टेबल भी खींचे हैं।

अब मान लीजिए कि हमारा कोण डिग्री से बड़ा है और इससे ज्यादा नहीं। इसका मतलब है कि यह या तो दूसरी या तीसरी या चौथी तिमाही में स्थित है।

हम कैसे हैं? हाँ, बिल्कुल वैसा ही!

चलो गौर करते हैं ऐसा कुछ करने के बजाय ...

... इस तरह:

यानी दूसरी तिमाही में पड़े कोण पर विचार करें। हम उसके बारे में क्या कह सकते हैं?

वह बिंदु जो किरण का प्रतिच्छेदन बिंदु है और वृत्त में अभी भी 2 निर्देशांक हैं (कुछ भी अलौकिक नहीं है, है ना?) ये निर्देशांक हैं और

इसके अलावा, पहला निर्देशांक नकारात्मक है, और दूसरा सकारात्मक है! इसका मतलब है कि दूसरी तिमाही के कोनों पर, कोसाइन ऋणात्मक है, और ज्या धनात्मक है!

अद्भुत, है ना? इससे पहले, हमने कभी भी एक नकारात्मक कोसाइन का सामना नहीं किया है।

हाँ, और सिद्धांत रूप में ऐसा तब नहीं हो सकता जब हमने त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में माना। वैसे, सोचें कि किन कोणों का कोज्या बराबर होता है? और किसकी ज्या है?

इसी तरह, आप अन्य सभी तिमाहियों में कोणों पर विचार कर सकते हैं। मैं आपको केवल याद दिलाता हूं कि कोण को वामावर्त गिना जाता है! (जैसा कि पिछली तस्वीर में दिखाया गया है!)

बेशक, आप दूसरी दिशा में गिन सकते हैं, लेकिन ऐसे कोणों के लिए दृष्टिकोण कुछ अलग होगा।

उपरोक्त तर्क के आधार पर, सभी चार तिमाहियों के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट (साइन को कोसाइन से विभाजित) और कोटेंजेंट (साइन द्वारा विभाजित कोसाइन के रूप में) के संकेतों को रखना संभव है।

लेकिन एक बार फिर मैं दोहराता हूं, इस चित्र को याद रखने का कोई मतलब नहीं है। तुम्हें सिर्फ ज्ञान की आवश्यकता है:

चलिए आपके साथ थोड़ा अभ्यास करते हैं। बहुत ही सरल पहेली:

पता लगाएँ कि निम्नलिखित राशियों में कौन से चिन्ह हैं:

चलो देखते है?

1. डिग्री - यह एक कोण है, बड़ा और छोटा, जिसका अर्थ है कि यह 3 तिमाहियों में स्थित है। तीन तिमाहियों में कोई भी कोण बनाएं और देखें कि उसका y किस प्रकार का है। यह नकारात्मक निकलेगा। फिर।
   डिग्री - कोण 2 चौथाई। ज्या धनात्मक है और कोज्या ऋणात्मक है। प्लस माइनस से विभाजित माइनस है। माध्यम।
   डिग्री - कोण, बड़ा और छोटा। तो वह 4 तिमाहियों में झूठ बोलता है। चतुर्थ तिमाही "X" का कोई भी कोना धनात्मक होगा, जिसका अर्थ है
2. हम इसी तरह से रेडियन के साथ काम करते हैं: यह दूसरी तिमाही का कोण है (क्योंकि और। दूसरी तिमाही की साइन सकारात्मक है।
   .
   , यह चौथी तिमाही का कोना है। वहाँ कोसाइन सकारात्मक है।
   - चौथी तिमाही का कोना फिर से। कोज्या धनात्मक है और ज्या ऋणात्मक है। तब स्पर्शरेखा शून्य से कम होगी:

शायद आपको रेडियन में तिमाहियों का निर्धारण करना मुश्किल लगे। उस स्थिति में, आप हमेशा डिग्री पर जा सकते हैं। उत्तर, निश्चित रूप से, वही होगा।

अब मैं एक और बिंदु पर संक्षेप में बात करना चाहूंगा। आइए मूल त्रिकोणमितीय पहचान को फिर से याद करें।

जैसा कि मैंने कहा, इससे हम कोज्या या इसके विपरीत के माध्यम से ज्या व्यक्त कर सकते हैं:

संकेत का चुनाव केवल उस तिमाही से प्रभावित होगा जिसमें हमारा कोण अल्फा स्थित है। अंतिम दो सूत्रों के लिए, परीक्षा में बहुत सारे कार्य हैं, उदाहरण के लिए, ये हैं:

काम

खोजें अगर और।

वास्तव में, यह एक चौथाई के लिए एक कार्य है! देखें कि यह कैसे हल होता है:

फेसला

चूँकि, तब हम यहाँ मान को स्थानापन्न करते हैं। अब यह छोटे पर निर्भर है: संकेत से निपटें। इसके लिए हमें क्या चाहिए? जानिए हमारा कोना किस क्वार्टर में है। समस्या की स्थिति के अनुसार: . यह कौन सी तिमाही है? चौथा। चौथे चतुर्थांश में कोसाइन का चिन्ह क्या है? चौथे चतुर्थांश में कोसाइन धनात्मक है। फिर यह हमारे लिए रहता है कि हम पहले प्लस चिन्ह चुनें। , तब।

मैं अब ऐसे कार्यों पर ध्यान नहीं दूंगा, आप उनका विस्तृत विश्लेषण लेख "" में पा सकते हैं। मैं आपको केवल यह बताना चाहता हूं कि तिमाही के आधार पर यह या वह त्रिकोणमितीय कार्य किस चिन्ह का महत्व रखता है।

डिग्री से अधिक कोण

आखिरी बात जो मैं इस लेख में नोट करना चाहूंगा वह यह है कि डिग्री से अधिक कोणों से कैसे निपटें?

यह क्या है और आप इसे किसके साथ खा सकते हैं ताकि घुट न जाए? आइए, मान लें, डिग्री (रेडियन) में एक कोण लेते हैं और इससे वामावर्त चलते हैं ...

चित्र में, मैंने एक सर्पिल खींचा, लेकिन आप समझते हैं कि वास्तव में हमारे पास कोई सर्पिल नहीं है: हमारे पास केवल एक चक्र है।

तो अगर हम एक निश्चित कोण से शुरू करते हैं और पूरे सर्कल (डिग्री या रेडियन) से गुजरते हैं तो हमें कहां मिलेगा?

हम कहां जा रहे हैं? और हम एक ही कोने में आएंगे!

वही, निश्चित रूप से, किसी भी अन्य कोण के लिए सच है:

एक मनमाना कोण लेते हुए और पूरे वृत्त को पार करते हुए, हम उसी कोण पर लौट आएंगे।

यह हमें क्या देगा? यहाँ क्या है: यदि, तो

अंत में हम कहाँ से प्राप्त करते हैं:

किसी भी पूर्णांक के लिए। इसका मतलब है कि साइन और कोसाइन एक अवधि के साथ आवधिक कार्य हैं.

इस प्रकार, अब मनमाना कोण का संकेत खोजने में कोई समस्या नहीं है: हमें बस उन सभी "संपूर्ण मंडलियों" को त्यागने की आवश्यकता है जो हमारे कोने में फिट होते हैं और यह पता लगाते हैं कि शेष कोने किस तिमाही में स्थित है।

उदाहरण के लिए, एक संकेत खोजने के लिए:

हम जाँच:

1. डिग्री में समय डिग्री (डिग्री) में फिट बैठता है:
   डिग्री शेष। यह चौथा चौथाई कोण है। एक नकारात्मक साइन है, इसलिए
2. . डिग्री। यह तीसरा चौथाई कोण है। वहाँ कोसाइन ऋणात्मक है। फिर
3. . . तब से - पहली तिमाही का कोना। वहाँ कोसाइन सकारात्मक है। फिर कोस
4. . . चूंकि, तब हमारा कोण दूसरी तिमाही में होता है, जहां ज्या धनात्मक होती है।

हम स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए भी ऐसा ही कर सकते हैं। हालांकि, वास्तव में, उनके साथ यह और भी आसान है: वे आवधिक कार्य भी हैं, केवल उनकी अवधि 2 गुना कम है:

तो, आप समझते हैं कि त्रिकोणमितीय वृत्त क्या है और इसके लिए क्या है।

लेकिन हमारे पास अभी भी बहुत सारे प्रश्न हैं:

1. ऋणात्मक कोण क्या होते हैं?
2. इन कोणों में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना कैसे करें
3. अन्य तिमाहियों में कार्यों के मूल्यों को देखने के लिए पहली तिमाही के त्रिकोणमितीय कार्यों के ज्ञात मूल्यों का उपयोग कैसे करें (क्या आपको वास्तव में तालिका को रटना है?!)
4. त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए वृत्त का उपयोग कैसे करें?

मध्य स्तर

खैर, इस लेख में, हम त्रिकोणमितीय वृत्त का अध्ययन करना जारी रखेंगे और निम्नलिखित बिंदुओं पर चर्चा करेंगे:

1. ऋणात्मक कोण क्या होते हैं?
2. इन कोणों में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना कैसे करें?
3. अन्य तिमाहियों में कार्यों के मूल्यों को देखने के लिए पहली तिमाही के त्रिकोणमितीय कार्यों के ज्ञात मूल्यों का उपयोग कैसे करें?
4. स्पर्शरेखा अक्ष और सहस्पर्शी अक्ष क्या है?

यूनिट सर्कल (पिछले लेख) के साथ काम करने के बुनियादी कौशल को छोड़कर हमें किसी अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता नहीं होगी। आइए पहले प्रश्न पर आते हैं: नकारात्मक कोण क्या हैं?

ऋणात्मक कोण

त्रिकोणमिति में ऋणात्मक कोणदक्षिणावर्त गति की दिशा में शुरुआत से नीचे एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखे गए हैं:

आइए याद करें कि हमने पहले त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों को कैसे प्लॉट किया था: हम अक्ष की सकारात्मक दिशा से गए थे घड़ी की विपरीत दिशा में:

फिर हमारी आकृति में बराबर कोण का निर्माण किया जाता है। इसी तरह, हमने सभी कोनों का निर्माण किया।

हालाँकि, हमें धुरी की सकारात्मक दिशा से जाने के लिए कुछ भी मना नहीं करता है दक्षिणावर्त.

हमें अलग-अलग कोण भी मिलेंगे, लेकिन वे पहले से ही नकारात्मक होंगे:

निम्न चित्र दो कोणों को दिखाता है जो निरपेक्ष मान में बराबर हैं लेकिन संकेत में विपरीत हैं:

सामान्य तौर पर, नियम निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

• हम वामावर्त चलते हैं - हमें सकारात्मक कोण मिलते हैं
• हम दक्षिणावर्त जाते हैं - हमें ऋणात्मक कोण मिलते हैं

योजनाबद्ध रूप से, नियम इस आंकड़े में दिखाया गया है:

आप मुझसे एक उचित प्रश्न पूछ सकते हैं: ठीक है, हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के उनके मूल्यों को मापने के लिए कोणों की आवश्यकता होती है।

तो क्या कोई अंतर है जब हमारे पास एक सकारात्मक कोण होता है, और जब हमारे पास एक नकारात्मक कोण होता है? मैं आपको उत्तर दूंगा: एक नियम के रूप में है।

हालांकि, आप हमेशा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना को एक नकारात्मक कोण से कोण में फ़ंक्शन की गणना तक कम कर सकते हैंसकारात्मक ।

निम्न चित्र को देखें:

मैंने दो कोणों को प्लॉट किया, वे निरपेक्ष मान में बराबर हैं लेकिन विपरीत चिह्न हैं। प्रत्येक कोण के लिए अक्षों पर इसकी ज्या और कोज्या के लिए नोट करें।

आप और मैं क्या देखते हैं? और यहाँ क्या है:

• साइन्स कोनों पर हैं और साइन में विपरीत हैं! तो अगर
• कोनों के कोसाइन और संयोग! तो अगर
• तब से:
• तब से:

इस प्रकार, हम हमेशा किसी भी त्रिकोणमितीय फलन के भीतर ऋणात्मक चिन्ह से छुटकारा पा सकते हैं: या तो इसे केवल कोसाइन के साथ नष्ट करके, या इसे फंक्शन के सामने रखकर, जैसे कि साइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के साथ।

वैसे, याद रखें कि फ़ंक्शन का नाम क्या है, जिसमें किसी भी स्वीकार्य के लिए यह सत्य है: ?

ऐसे फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है।

और यदि किसी अनुज्ञेय के लिए वह पूरी हो: ? इस मामले में, फ़ंक्शन को भी कहा जाता है।

इस प्रकार, हमने अभी दिखाया है कि:

ज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट विषम फलन हैं, जबकि कोज्या सम है।

इस प्रकार, जैसा कि आप समझते हैं, इसमें कोई अंतर नहीं है कि हम एक सकारात्मक कोण से एक साइन की तलाश कर रहे हैं या एक नकारात्मक: एक माइनस से निपटना बहुत सरल है। इसलिए हमें ऋणात्मक कोणों के लिए अलग-अलग तालिकाओं की आवश्यकता नहीं है।

दूसरी ओर, आपको स्वीकार करना होगा, यह बहुत सुविधाजनक होगा, केवल पहली तिमाही के कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों को जानने के लिए, शेष तिमाहियों के लिए समान कार्यों की गणना करने में सक्षम होने के लिए। क्या यह किया जा सकता है? निःसंदेह तुमसे हो सकता है! आपके पास कम से कम 2 तरीके हैं: पहला त्रिभुज बनाना और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना है (इस तरह आपने और मैंने पहली तिमाही के मुख्य कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान पाए), और दूसरा - पहली तिमाही में कोणों के कार्यों के मूल्यों को याद रखना और कुछ सरल नियम, अन्य सभी तिमाहियों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करने में सक्षम होना।दूसरा तरीका आपको त्रिकोण और पाइथागोरस के साथ बहुत सारे झगड़े से बचाएगा, इसलिए मैं इसे और अधिक आशाजनक मानता हूं:

तो, इस विधि (या नियम) को - कमी सूत्र कहा जाता है।

कास्ट सूत्र

मोटे तौर पर, ये सूत्र आपको ऐसी तालिका को याद नहीं रखने में मदद करेंगे (इसमें 98 संख्याएँ हैं, वैसे!):

अगर आपको यह याद है (केवल 20 नंबर):

यानी आप पूरी तरह से अनावश्यक 78 नंबरों से खुद को परेशान नहीं कर सकते! आइए, उदाहरण के लिए, हमें गणना करने की आवश्यकता है। यह स्पष्ट है कि छोटी तालिका में ऐसा कुछ नहीं है। हम क्या करें? और यहाँ क्या है:

सबसे पहले, हमें निम्नलिखित ज्ञान की आवश्यकता है:

1. साइन और कोसाइन की अवधि (डिग्री) होती है, अर्थात।

   स्पर्शरेखा (कोटैंजेंट) की अवधि (डिग्री) होती है

   कोई पूर्णांक

2. ज्या और स्पर्शरेखा विषम फलन हैं, और कोज्या सम है:

हम आपके साथ पहले कथन को पहले ही साबित कर चुके हैं, और दूसरे की वैधता हाल ही में स्थापित की गई थी।

वास्तविक कास्टिंग नियम इस तरह दिखता है:

1. यदि हम ऋणात्मक कोण से त्रिकोणमितीय फलन के मान की गणना करते हैं, तो हम सूत्रों के समूह (2) का उपयोग करके इसे धनात्मक बनाते हैं। उदाहरण के लिए:
2. हम साइन और कोसाइन के लिए इसकी अवधियों को छोड़ देते हैं: (डिग्री में), और स्पर्शरेखा के लिए - (डिग्री)। उदाहरण के लिए:
3. यदि शेष "कोने" डिग्री से कम है, तो समस्या हल हो गई है: हम इसे "छोटी तालिका" में ढूंढ रहे हैं।
4. अन्यथा, हम देख रहे हैं कि हमारा कोना किस तिमाही में है: यह दूसरी, तीसरी या चौथी तिमाही होगी। हम तिमाही में वांछित कार्य के संकेत को देखते हैं। इस संकेत को याद रखें!
5. निम्नलिखित रूपों में से एक में कोण का प्रतिनिधित्व करें:

   (यदि दूसरी तिमाही में)
   (यदि दूसरी तिमाही में)
   (यदि तीसरी तिमाही में)
   (यदि तीसरी तिमाही में)
   
   (यदि चौथी तिमाही में)

   ताकि शेष कोण शून्य से अधिक और डिग्री से कम हो। उदाहरण के लिए:

   सिद्धांत रूप में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप प्रत्येक तिमाही के लिए दो वैकल्पिक रूपों में से किस कोने का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा।

6. अब देखते हैं कि हमें क्या मिला: यदि आपने थ्रू या डिग्री प्लस माइनस कुछ रिकॉर्ड करना चुना है, तो फ़ंक्शन का संकेत नहीं बदलेगा: आप बस शेष कोण के साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा को हटा दें या लिख ​​दें। यदि आपने थ्रू या डिग्रियों को लिखना चुना है, तो ज्या को कोज्या में, कोसाइन को ज्या में, स्पर्शरेखा को कोटेंगेंट में, कोटेंगेंट को स्पर्शरेखा में बदलें।
7. हम परिणामी व्यंजक के सामने पैराग्राफ 4 से चिह्न लगाते हैं।

आइए उपरोक्त सभी को उदाहरणों के साथ प्रदर्शित करें:

1. गणना
2. गणना
3. Find-di-these meanings you-ra-same-nia:

आइए क्रम में शुरू करें:

1. हम अपने एल्गोरिदम के अनुसार कार्य करते हैं। इसके लिए मंडलियों की पूर्णांक संख्या चुनें:

   सामान्य तौर पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि पूरे को कोने में 5 बार रखा गया है, लेकिन कितना बचा है? छोड़ दिया। फिर

   खैर, हमने अतिरिक्त त्याग दिया है। अब आइए संकेत से निपटें। 4 तिमाहियों में है। चौथी तिमाही की ज्या में ऋण चिह्न होता है, और मुझे इसे उत्तर में रखना नहीं भूलना चाहिए। इसके अलावा, हम कमी नियमों के पैराग्राफ 5 के दो सूत्रों में से एक के अनुसार प्रस्तुत करते हैं। मैं चयन करूंगा:

   अब हम देखते हैं कि क्या हुआ: हमारे पास डिग्री का मामला है, फिर हम इसे छोड़ देते हैं और ज्या को कोसाइन में बदल देते हैं। और उसके सामने एक माइनस साइन लगा दें!

   डिग्री पहली तिमाही में कोण है। हम जानते हैं (आपने मुझसे एक छोटी सी टेबल सीखने का वादा किया था !!) इसका अर्थ:

   तब हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

   जवाब:

2. सब कुछ समान है, लेकिन डिग्री के बजाय - रेडियन। ठीक है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि

   लेकिन आप रेडियन को डिग्री से नहीं बदल सकते। यह आपके स्वाद का मामला है। मैं कुछ नहीं बदलूंगा। मैं पूरी मंडलियों को हटाकर फिर से शुरू करूंगा:

   हम त्याग देते हैं - ये दो संपूर्ण वृत्त हैं। हिसाब करना बाकी है। यह कोण तीसरी तिमाही में है। तीसरी तिमाही की कोज्या ऋणात्मक है। अपने उत्तर में ऋण चिह्न लगाना न भूलें। के रूप में कल्पना की जा सकती है। फिर से, हम नियम को याद करते हैं: हमारे पास "पूर्णांक" संख्या (या) का मामला है, फिर फ़ंक्शन नहीं बदलता है:

   फिर।
   जवाब: ।

3. . आपको वही काम करने की ज़रूरत है, लेकिन दो कार्यों के साथ। मैं थोड़ा और संक्षिप्त हो जाऊंगा: और डिग्री दूसरी तिमाही के कोण हैं। दूसरी तिमाही की कोज्या में ऋण चिह्न होता है, और ज्या का धन चिह्न होता है। के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: लेकिन कैसे, तो

   दोनों मामले "एक पूरे के आधे" हैं। तब ज्या एक कोज्या बन जाती है, और कोज्या ज्या बन जाती है। इसके अलावा, कोसाइन के सामने एक ऋण चिह्न है:

जवाब: ।

अब निम्नलिखित उदाहरणों के साथ स्वयं अभ्यास करें:

और यहाँ समाधान हैं:

1. 
   सबसे पहले, आइए इसे साइन के सामने ले जाकर माइनस से छुटकारा पाएं (चूंकि साइन एक विषम कार्य है !!!)। फिर कोणों पर विचार करें:

   हम वृत्तों की एक पूर्णांक संख्या को त्याग देते हैं - अर्थात, तीन वृत्त ()।
   यह गणना करना बाकी है:।
   हम दूसरे कोने के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

   मंडलियों की एक पूर्णांक संख्या हटाएं - 3 मंडल () फिर:

   अब हम सोचते हैं: शेष कोना किस तिमाही में स्थित है? वह सब कुछ "पहुंच नहीं" देता है। फिर एक चौथाई क्या है? चौथा। चौथी तिमाही की कोज्या का चिन्ह क्या है? सकारात्मक। अब आइए कल्पना करें। चूँकि हम एक पूर्णांक से घटाते हैं, हम कोज्या का चिह्न नहीं बदलते हैं:

   हम सभी प्राप्त डेटा को सूत्र में बदलते हैं:

   जवाब: ।

2. 
   मानक: हम इस तथ्य का उपयोग करते हुए कोसाइन से माइनस निकालते हैं।
   यह डिग्री की कोसाइन गिनने के लिए बनी हुई है। आइए संपूर्ण मंडलियों को हटा दें: . फिर

   फिर।
   जवाब: ।

3. हम पिछले उदाहरण के रूप में कार्य करते हैं।

   चूँकि आपको याद है कि स्पर्शरेखा का आवर्त कोसाइन या ज्या के विपरीत (या) होता है, जिसमें यह 2 गुना बड़ा होता है, तो हम पूर्णांक को हटा देंगे।

   डिग्री दूसरी तिमाही में कोण है। दूसरी तिमाही की स्पर्शरेखा ऋणात्मक है, तो आइए अंत में "माइनस" के बारे में न भूलें! के रूप में लिखा जा सकता है। स्पर्शरेखा को स्पर्शरेखा में बदल देता है। अंत में हमें मिलता है:

   फिर।
   जवाब: ।

खैर, बहुत कम बचे हैं!

स्पर्शरेखाओं की धुरी और स्पर्शरेखाओं की धुरी

आखिरी चीज जिस पर मैं यहां ध्यान देना चाहूंगा वह है दो अतिरिक्त कुल्हाड़ियों पर। जैसा कि हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं, हमारे पास दो अक्ष हैं:

1. अक्ष - कोज्या अक्ष
2. अक्ष - ज्या अक्ष

वास्तव में, हमारे पास समन्वय अक्ष समाप्त हो गए हैं, है ना? लेकिन स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के बारे में क्या?

वास्तव में, उनके लिए कोई ग्राफिक व्याख्या नहीं है?

वास्तव में, यह है, आप इसे इस चित्र में देख सकते हैं:

विशेष रूप से, इन चित्रों से हम निम्नलिखित कह सकते हैं:

1. तिमाहियों में स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के समान चिह्न होते हैं
2. वे पहली और तीसरी तिमाही में सकारात्मक हैं
3. वे दूसरी और चौथी तिमाही में नकारात्मक हैं
4. स्पर्शरेखा कोणों में परिभाषित नहीं है
5. कोटैंजेंट कोणों में परिभाषित नहीं है

ये तस्वीरें और किस लिए हैं? आप एक उन्नत स्तर पर सीखेंगे, जहां मैं आपको बताऊंगा कि आप त्रिकोणमितीय वृत्त की सहायता से त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को कैसे सरल बना सकते हैं!

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

इस लेख में, मैं वर्णन करूँगा कि कैसे यूनिट सर्कल (त्रिकोणमितीय सर्कल)त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में उपयोगी हो सकता है।

मैं दो मामलों को उजागर कर सकता हूं जहां यह उपयोगी हो सकता है:

1. उत्तर में, हमें "सुंदर" कोण नहीं मिलता है, लेकिन फिर भी हमें जड़ों का चयन करने की आवश्यकता होती है
2. उत्तर जड़ों की बहुत अधिक श्रृंखला है

विषय के ज्ञान के अलावा आपको किसी विशिष्ट ज्ञान की आवश्यकता नहीं है:

मैंने एक वृत्त का सहारा लिए बिना "त्रिकोणमितीय समीकरण" विषय लिखने की कोशिश की। कई लोग इस तरह के दृष्टिकोण के लिए मेरी प्रशंसा नहीं करेंगे।

लेकिन मुझे फॉर्मूला पसंद है, तो आप क्या कर सकते हैं। हालाँकि, कुछ मामलों में सूत्र पर्याप्त नहीं होते हैं। निम्नलिखित उदाहरण ने मुझे यह लेख लिखने के लिए प्रेरित किया:

प्रश्न हल करें:

तो ठीक है। समीकरण को हल करना ही आसान है।

रिवर्स रिप्लेसमेंट:

इसलिए, हमारा मूल समीकरण चार सरल समीकरणों के बराबर है! क्या हमें वास्तव में जड़ों की 4 श्रृंखलाएँ लिखने की ज़रूरत है:

सिद्धांत रूप में, इसे रोका जा सकता था। लेकिन केवल इस लेख के पाठकों के लिए नहीं, जो किसी प्रकार की "जटिलता" होने का दावा करता है!

आइए पहले जड़ों की पहली श्रृंखला पर विचार करें। तो, हम एक इकाई वृत्त लेते हैं, अब इन मूलों को वृत्त पर लागू करते हैं (अलग-अलग के लिए और के लिए):

ध्यान दें: कोनों के बीच कौन सा कोण निकला और? यह कोना है। अब श्रृंखला के लिए भी ऐसा ही करते हैं: .

समीकरण के मूलों के बीच, कोण c फिर से प्राप्त होता है। अब इन दो चित्रों को मिलाते हैं:

हम क्या देखते हैं? और फिर, हमारी जड़ों के बीच के सभी कोण बराबर होते हैं। इसका क्या मतलब है?

अगर हम एक कोने से शुरू करते हैं और बराबर कोण लेते हैं (किसी भी पूर्णांक के लिए), तो हम हमेशा शीर्ष सर्कल पर चार बिंदुओं में से एक को हिट करेंगे! तो जड़ों की 2 श्रृंखला:

एक में जोड़ा जा सकता है:

काश, जड़ों की श्रृंखला के लिए:

ये तर्क अब मान्य नहीं हैं। एक चित्र बनाएं और समझें कि ऐसा क्यों है। हालाँकि, उन्हें इस तरह जोड़ा जा सकता है:

तब मूल समीकरण की जड़ें होती हैं:

जो काफी छोटा और संक्षिप्त जवाब है। और संक्षिप्तता और संक्षिप्तता का क्या अर्थ है? आपकी गणितीय साक्षरता के स्तर के बारे में।

यह पहला उदाहरण था जिसमें त्रिकोणमितीय वृत्त के प्रयोग से उपयोगी परिणाम प्राप्त हुए।

दूसरा उदाहरण समीकरण है जिसमें "बदसूरत जड़ें" हैं।

उदाहरण के लिए:

1. प्रश्न हल करें।
2. इसकी जड़ें खोजें जो अंतराल से संबंधित हों।

पहला भाग मुश्किल नहीं है।

चूंकि आप पहले से ही इस विषय से परिचित हैं, इसलिए मैं अपनी गणनाओं में खुद को संक्षिप्त होने की अनुमति दूंगा।

फिर या

इसलिए हमें अपने समीकरण की जड़ें मिलीं। कुछ भी जटिल नहीं है।

कार्य के दूसरे भाग को हल करना अधिक कठिन है, यह नहीं जानना कि माइनस वन क्वार्टर का आर्ककोसाइन बिल्कुल बराबर है (यह एक सारणीबद्ध मान नहीं है)।

हालाँकि, हम एक इकाई वृत्त पर जड़ों की मिली श्रृंखला को चित्रित कर सकते हैं:

हम क्या देखते हैं? सबसे पहले, आकृति ने हमें यह स्पष्ट कर दिया कि आर्ककोसाइन किस सीमा में निहित है:

यह दृश्य व्याख्या हमें उन जड़ों को खोजने में मदद करेगी जो खंड से संबंधित हैं: .

सबसे पहले, संख्या स्वयं उसमें प्रवेश करती है, फिर (अंजीर देखें।)

भी खंड के अंतर्गत आता है।

इस प्रकार, यूनिट सर्कल यह निर्धारित करने में मदद करता है कि "बदसूरत" कोने किस सीमा में आते हैं।

आपके पास कम से कम एक और प्रश्न शेष होना चाहिए: लेकिन स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के बारे में क्या?

वास्तव में, उनकी अपनी कुल्हाड़ियाँ भी होती हैं, हालाँकि उनका स्वरूप थोड़ा विशिष्ट होता है:

अन्यथा, उन्हें संभालने का तरीका साइन और कोसाइन जैसा ही होगा।

उदाहरण

एक समीकरण दिया गया है।

• इस समीकरण को हल कीजिए।
• इस समीकरण की जड़ों को इंगित करें जो अंतराल से संबंधित हैं।

फेसला:

हम एक इकाई वृत्त खींचते हैं और उस पर अपने समाधान अंकित करते हैं:

चित्र से यह समझा जा सकता है कि:

या इससे भी अधिक: तब से

तब हम खंड से संबंधित मूल पाते हैं।

, (जैसा)

मैं यह सुनिश्चित करने के लिए आप पर छोड़ता हूं कि हमारे समीकरण में अंतराल से संबंधित कोई अन्य जड़ें नहीं हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमिति का मुख्य उपकरण है त्रिकोणमितीय वृत्त,यह आपको कोणों को मापने, उनकी ज्या, कोज्या आदि खोजने की अनुमति देता है।

कोणों को मापने के दो तरीके हैं।

1. डिग्री के माध्यम से
2. रेडियन के माध्यम से

और इसके विपरीत: रेडियन से डिग्री तक:

किसी कोण की ज्या और कोज्या ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. एक इकाई वृत्त बनाएं जिसका केंद्र कोने के शीर्ष के साथ मेल खाता हो।
2. वृत्त के साथ इस कोण का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
3. इसका "x" निर्देशांक वांछित कोण की कोज्या है।
4. इसका "खेल" निर्देशांक वांछित कोण की ज्या है।

कास्ट सूत्र

ये ऐसे सूत्र हैं जो आपको त्रिकोणमितीय फलन के जटिल व्यंजकों को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

ये सूत्र आपको ऐसी तालिका याद न रखने में मदद करेंगे:

सारांश

आपने सीखा कि सार्वभौमिक त्रिकोणमिति स्पर कैसे बनाया जाता है।

आपने समस्याओं को बहुत आसान और तेज़ और सबसे महत्वपूर्ण रूप से त्रुटियों के बिना हल करना सीख लिया है।

आपने महसूस किया कि आपको किसी भी टेबल को रटने की आवश्यकता नहीं है और सामान्य तौर पर रटने के लिए बहुत कम है!

अब मैं आपसे सुनना चाहता हूँ!

क्या आपने इस जटिल विषय से निपटने का प्रबंधन किया?

तुम्हे क्या पसंद है? आपको क्या पसंद नहीं आया?

शायद आपको कोई गलती मिली हो?

टिप्पणियों में लिखें!

और परीक्षा में शुभकामनाएँ!

एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर, डिग्री में कोणों के अतिरिक्त, हम देखते हैं।

रेडियन के बारे में अधिक जानकारी:

एक रेडियन को एक चाप के कोणीय मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसकी लंबाई इसकी त्रिज्या के बराबर होती है। तदनुसार, चूंकि परिधि है , तो यह स्पष्ट है कि रेडियन वृत्त में फिट बैठता है, अर्थात

1 रेड 57.295779513° ≈ 57° 17′44.806″ ≈ 206265″।

हर कोई जानता है कि एक रेडियन है

तो, उदाहरण के लिए, ए। इस तरह हम रेडियन को कोण में बदलना सीखें.

अब इसके विपरीत डिग्री को रेडियन में बदलते हैं.

मान लीजिए कि हमें रेडियन में बदलने की जरूरत है। हमारी मदद करेंगे। हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

चूंकि, रेडियन, तो तालिका भरें:

हम एक सर्कल में साइन और कोसाइन के मूल्यों को खोजने के लिए प्रशिक्षित करते हैं

आइए निम्नलिखित को स्पष्ट करें।

खैर, यह अच्छा है अगर हमें गणना करने के लिए कहा जाए, कहें, - आमतौर पर यहां कोई भ्रम नहीं है - हर कोई पहले सर्कल पर देखना शुरू कर देता है।

और अगर उन्हें गणना करने के लिए कहा जाता है, उदाहरण के लिए, ... कई, अचानक, यह नहीं समझने लगते हैं कि इस शून्य को कहां देखना है ... अक्सर वे इसे मूल में ढूंढते हैं। क्यों?

1) आइए एक बार और सभी के लिए सहमत हों!तर्क के बाद क्या आता है या है = कोण, और हमारे कोने हैं वृत्त पर, उन्हें x अक्ष पर न देखें!(यह सिर्फ इतना है कि व्यक्तिगत बिंदु वृत्त और अक्ष दोनों पर पड़ते हैं ...) और साइन और कोसाइन के मान स्वयं - हम कुल्हाड़ियों की तलाश में हैं!

2) और भी बहुत कुछ!यदि हम प्रारंभिक बिंदु से प्रस्थान करते हैं घड़ी की विपरीत दिशा में(त्रिकोणमितीय वृत्त को बायपास करने की मुख्य दिशा), फिर हम कोणों के सकारात्मक मूल्यों को अलग करते हैं, जैसे-जैसे हम उस दिशा में आगे बढ़ते हैं, कोण बढ़ते जाते हैं।

यदि हम प्रारंभिक बिंदु से प्रस्थान करते हैं दक्षिणावर्त, फिर हम कोणों के नकारात्मक मूल्यों को अलग रखते हैं।

उदाहरण 1

मूल्य खोजें।

फेसला:

हम सर्कल पर पाते हैं। हम बिंदु को साइन अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं (अर्थात, हम बिंदु से साइन अक्ष (ओए) तक लंबवत खींचते हैं)।

हम 0 पर पहुंचते हैं। इसलिए, ।

उदाहरण 2

मूल्य खोजें।

फेसला:

हम सर्कल पर पाते हैं (हम वामावर्त और अधिक पास करते हैं)। हम साइन अक्ष पर एक बिंदु प्रोजेक्ट करते हैं (और यह पहले से हीसाइनस अक्ष पर स्थित है)।

हम साइन अक्ष के साथ -1 में आते हैं।

ध्यान दें कि "छिपे हुए" बिंदु के पीछे ऐसे बिंदु हैं (हम दक्षिणावर्त के रूप में चिह्नित बिंदु पर जा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि एक ऋण चिह्न दिखाई देता है), और असीम रूप से कई अन्य।

कोई निम्नलिखित सादृश्य बना सकता है:

स्टेडियम ट्रेडमिल के रूप में एक त्रिकोणमितीय सर्कल की कल्पना करें।

आखिरकार, आप "ध्वज" बिंदु पर समाप्त हो सकते हैं, मैं वामावर्त शुरू करता हूं, दौड़ना, कहना, 300 मीटर। या दौड़ना, कहते हैं, 100 मीटर दक्षिणावर्त (हम मानते हैं कि ट्रैक की लंबाई 400 मीटर है)।

और आप वामावर्त, 700 मीटर, 1100 मीटर, 1500 मीटर, आदि दौड़कर "ध्वज" बिंदु ("प्रारंभ" के बाद) पर भी समाप्त हो सकते हैं। आप शुरू से ही दक्षिणावर्त 500 मीटर या 900 मीटर आदि दौड़कर फ्लैग प्वाइंट तक पहुंच सकते हैं।

मानसिक रूप से स्टेडियम के ट्रेडमिल को एक संख्या रेखा में विस्तारित करें। कल्पना कीजिए कि इस रेखा पर कहाँ होगा, उदाहरण के लिए, मान 300, 700, 1100, 1500, आदि। हम संख्या रेखा पर एक दूसरे से समान दूरी पर बिंदु देखेंगे। चलो पीछे मुड़ें। डॉट्स एक में "एक साथ चिपके रहते हैं"।

तो यह त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ है। प्रत्येक बिंदु के पीछे असीम रूप से कई अन्य हैं।

मान लीजिए कोण , , , आदि। एकल बिंदु के रूप में दिखाया गया है। और साइन के मूल्य, उनमें कोसाइन, निश्चित रूप से समान हैं। (क्या आपने देखा कि हमने जोड़ा/घटाया या? यह साइन और कोसाइन फ़ंक्शन की अवधि है।)

उदाहरण 3

मूल्य खोजें।

फेसला:

आइए सादगी के लिए डिग्री में बदलें।

(बाद में, जब आप त्रिकोणमितीय वृत्त के अभ्यस्त हो जाते हैं, तो आपको रेडियन को डिग्री में बदलने की आवश्यकता नहीं होगी):

हम बिंदु से दक्षिणावर्त घूमेंगे आइए आधा वृत्त () और अधिक चलते हैं

हम समझते हैं कि ज्या का मान ज्या के मान के साथ मेल खाता है और बराबर होता है

ध्यान दें कि यदि हम, उदाहरण के लिए, या, आदि लेते हैं, तो हमें वही साइन मान प्राप्त होगा।

उदाहरण 4

मूल्य खोजें।

फेसला:

हालांकि, हम रेडियन को डिग्री में नहीं बदलेंगे, जैसा कि पिछले उदाहरण में है।

यही है, हमें आधे सर्कल के वामावर्त और आधे सर्कल के दूसरे चौथाई जाने की जरूरत है और परिणामी बिंदु को कोसाइन अक्ष (क्षैतिज अक्ष) पर प्रोजेक्ट करें।

उदाहरण 5

मूल्य खोजें।

फेसला:

त्रिकोणमितीय सर्कल पर कैसे प्लॉट करें?

यदि हम पास होते हैं या, हाँ, कम से कम, हम अभी भी उस बिंदु पर समाप्त होंगे जिसे हमने "प्रारंभ" के रूप में नामित किया है। इसलिए, आप तुरंत वृत्त के एक बिंदु पर जा सकते हैं

उदाहरण 6

मूल्य खोजें।

फेसला:

हम एक बिंदु पर समाप्त होंगे (हमें वैसे भी शून्य बिंदु पर ले जाएंगे)। हम सर्कल के बिंदु को कोसाइन अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं (त्रिकोणमितीय सर्कल देखें), हम अंदर जाते हैं। अर्थात ।

त्रिकोणमितीय वृत्त - आपके हाथों में

आप पहले ही समझ चुके हैं कि मुख्य बात पहली तिमाही के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को याद रखना है। शेष तिमाहियों में, सब कुछ समान है, आपको बस संकेतों का पालन करने की आवश्यकता है। और मुझे आशा है कि आप त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की "श्रृंखला-सीढ़ी" को नहीं भूलेंगे।

कैसे ढूंढें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मानमुख्य कोण।

उसके बाद, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बुनियादी मूल्यों से परिचित होने के बाद, आप पास कर सकते हैं

एक खाली सर्कल टेम्पलेट पर। रेल गाडी!

सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और तैयार परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पक्ष लेट्यूस को दर्शाता है, दूसरा पक्ष पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को दर्शाता है। इस तरह के "बोर्श" आयत का विकर्ण और क्षेत्र विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा है और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है।

गणित के संदर्भ में लेट्यूस और पानी कैसे बोर्स्ट में बदल जाते हैं? दो खंडों का योग त्रिकोणमिति में कैसे बदल सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोण फलन की आवश्यकता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोण फलन के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना गणित नहीं हो सकता। गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं चाहे हम जानते हों कि वे मौजूद हैं या नहीं।

रैखिक कोणीय कार्य जोड़ के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय कार्यों के बिना करना संभव है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना प्रबंधन करते हैं। गणितज्ञों की चाल इस बात में निहित है कि वे हमेशा हमें केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल कर सकते हैं, और हमें उन समस्याओं के बारे में कभी नहीं बताते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखो। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। हर चीज़। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते हैं और हम उन्हें हल करने में सक्षम नहीं हैं। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पदों को नहीं जानते हैं तो क्या करें? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, हम स्वयं चुनते हैं कि एक शब्द क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दिखाते हैं कि जोड़ के परिणाम के लिए दूसरा शब्द क्या होना चाहिए जो हमें चाहिए। ऐसे युग्मों की अनंत संख्या हो सकती है। दैनिक जीवन में हम बिना योग के बहुत अच्छा करते हैं, घटाना ही हमारे लिए काफी है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अध्ययन में योग का शब्दों में विस्तार बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल) के लिए माप की समान इकाई के लिए शर्तों की आवश्यकता होती है। लेट्यूस, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, लागत या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए दो स्तरों के अंतर को दर्शाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जो इंगित किया गया है ए, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाया गया है और पत्र द्वारा इंगित किया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के दायरे में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं की माप की इकाइयों के लिए एक ही अंकन में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम कह सकते हैं कि गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलती है। पत्र वूमैं पानी को अक्षर से चिह्नित करूंगा एसमैं सलाद को पत्र के साथ चिह्नित करूंगा बी- बोर्श। यहां बताया गया है कि बोर्स्ट के लिए लीनियर एंगल फंक्शन कैसा दिखेगा।

अगर हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद का कुछ हिस्सा लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्ट की एक सर्विंग में बदल जाएंगे। यहाँ मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि कैसे हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना सिखाया गया था? यह पता लगाना जरूरी था कि कितने जानवर निकलेंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित के लिए एक सीधा रास्ता है - हमें समझ में नहीं आता क्या, यह स्पष्ट नहीं है कि क्यों, और हम बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, तीन स्तरों के अंतर के कारण, गणितज्ञ केवल एक पर काम करते हैं। यह सीखना अधिक सही होगा कि माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है।

और बन्नी, और बत्तख, और छोटे जानवर टुकड़ों में गिने जा सकते हैं। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए इसी तरह की समस्या को देखें। जब आप बन्नी और पैसा जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं।

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध नकदी में जोड़ते हैं। हमें अपने धन का कुल मूल्य धन के रूप में मिला।

दूसरा विकल्प. आप हमारे पास जितने बैंक नोट हैं, उनमें खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की राशि टुकड़ों में मिलेगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट पर। अब हम देख सकते हैं कि रेखीय कोण फलन के कोण के विभिन्न मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। जीरो बोर्श जीरो सलाद (राइट एंगल) पर भी हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि . शून्य जोड़े जाने पर संख्या नहीं बदलता है। इसका कारण यह है कि यदि केवल एक पद हो और दूसरा पद लुप्त हो तो योग स्वयं असंभव है। आप जैसे चाहें इससे संबंधित हो सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय कार्यों का आविष्कार गणितज्ञों ने स्वयं किया था, इसलिए अपने तर्क को त्यागें और गणितज्ञों द्वारा आविष्कार की गई परिभाषाओं को मूर्खता से रट लें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा किया जाता है" बराबर शून्य", "बिंदु शून्य के पीछे" और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके पास कभी भी यह सवाल नहीं होगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर सभी अर्थ खो देता है: कोई ऐसी संख्या पर कैसे विचार कर सकता है जो एक संख्या नहीं है। . यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग से जोड़ा जाए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना पेंट के साथ पेंटिंग करने जैसा है जो मौजूद नहीं है। उन्होंने एक सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंट किया है।" लेकिन मैं थोड़ा पीछे हटता हूं।

कोण शून्य से बड़ा है लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास सलाद बहुत है, लेकिन थोड़ा पानी है। नतीजतन, हमें एक मोटा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास बराबर मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (रसोइया मुझे माफ कर सकता है, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी और थोड़ा सलाद है। तरल बोर्स्ट प्राप्त करें।

समकोण। हमारे पास पानी है। लेट्यूस की केवल यादें रह जाती हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो कभी लेट्यूस को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है। उस स्थिति में, रुकें और पानी उपलब्ध होने पर पीएं)))

यहां। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

दोनों दोस्तों के साझा कारोबार में उनके हिस्से थे। इनमें से एक की हत्या के बाद सब कुछ दूसरे पर चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उदय।

इन सभी कहानियों को रेखीय कोणीय फलन का उपयोग करके गणित की भाषा में बताया गया है। किसी और समय मैं आपको गणित की संरचना में इन फलनों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट के त्रिकोणमिति पर लौटते हैं और अनुमानों पर विचार करते हैं।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

बुधवार, अगस्त 7, 2019

के बारे में बातचीत को समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत सेट पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें दिया गया है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर काम करती है, जैसे खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर। अनंत की थरथराती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित करती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है। अल्फा एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिन्ह यह दर्शाता है कि यदि आप अनंत में एक संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अपने मामले को स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों से आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी विधियों को तंबूरा के साथ शेमस के नृत्य के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर नीचे आते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं है और उनमें नए मेहमान बसे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया जाता है (बहुत मानवीय)। मैंने ऐसे फैसलों पर अपने विचार गोरे लोगों के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किए। मेरा तर्क किस पर आधारित है? असीमित संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। हमारे द्वारा पहला अतिथि कक्ष खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा गलियारे के साथ अपने कमरे से अगले कमरे तक समय के अंत तक चलेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खता से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" की श्रेणी से होगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के साथ समायोजित करना या इसके विपरीत।

एक "अनंत होटल" क्या है? एक इन्फिनिटी सराय एक सराय है जिसमें हमेशा कितनी भी रिक्तियाँ होती हैं, चाहे कितने भी कमरे हों। यदि "आगंतुकों के लिए" अंतहीन दालान के सभी कमरों पर कब्जा कर लिया गया है, तो "मेहमानों" के लिए कमरों के साथ एक और अंतहीन दालान है। ऐसे गलियारों की अनंत संख्या होगी। साथ ही, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत मंजिलें हैं। दूसरी ओर, गणितज्ञ साधारण रोजमर्रा की समस्याओं से दूर नहीं जा पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही हैं, होटल एक है, गलियारा एक है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को हथकंडा करने की कोशिश कर रहे हैं, हमें विश्वास दिलाते हैं कि "बिना धक्का" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क दिखाऊंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, प्रकृति में कोई संख्या नहीं है। हां, प्रकृति गिनती में महान है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जो हमें परिचित नहीं हैं। जैसा प्रकृति सोचती है, मैं आपको दूसरी बार बताऊंगा। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं। दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि एक वास्तविक वैज्ञानिक के लिए उपयुक्त है।

विकल्प एक। "आइए हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो शांति से एक शेल्फ पर स्थित है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस इतना ही, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्याएँ नहीं बची हैं और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक नहीं जोड़ सकते, क्योंकि हमारे पास यह पहले से ही है। क्या होगा यदि आप वास्तव में चाहते हैं? कोई बात नहीं। हम पहले से लिए गए सेट से एक इकाई ले सकते हैं और इसे शेल्फ पर वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक इकाई ले सकते हैं और जो बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृत संख्याओं का अनंत समुच्चय प्राप्त होता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस तरह लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों को विस्तार से सूचीबद्ध करते हुए, बीजगणितीय संकेतन और सेट सिद्धांत संकेतन में संचालन लिखा है। सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक और केवल सेट है। यह पता चला है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।

विकल्प दो। शेल्फ पर हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृत संख्याओं के दूसरे समुच्चय से एक लेते हैं और उस समुच्चय में जोड़ते हैं जो हम पहले ही ले चुके हैं। हम प्राकृत संख्याओं के दो समुच्चय भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

सबस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत समुच्चय को दूसरे अनंत समुच्चय में जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत समुच्चय होता है जिसमें पहले दो समुच्चय के तत्व होते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का उपयोग उसी प्रकार गिनने के लिए किया जाता है जैसे मापन के लिए रूलर का होता है। अब कल्पना कीजिए कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ दिया है। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को स्वीकार करें या न करें - यह आपका अपना व्यवसाय है। लेकिन अगर आप कभी भी गणितीय समस्याओं में भाग लेते हैं, तो सोचें कि क्या आप झूठे तर्क के रास्ते पर हैं, गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा रौंदा गया है। आखिरकार, गणित की कक्षाएं, सबसे पहले, हम में सोच का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाते हैं, और उसके बाद ही वे हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ते हैं (या इसके विपरीत, वे हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करते हैं)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख के बारे में एक पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और विकिपीडिया पर इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं था और यह असमान तकनीकों के एक समूह में सिमट गया था, एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियों को हम कितनी अच्छी तरह देख सकते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी संदर्भ में देखना हमारे लिए कमजोर है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा समझाते हुए, व्यक्तिगत रूप से मुझे निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार का एक समग्र चरित्र नहीं है और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से अलग हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए प्रकाशनों का एक पूरा चक्र समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

सेट को सबसेट में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी, जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें।

क्या हमारे पास बहुत से हैं लेकिनचार लोगों से मिलकर। यह सेट "लोगों" के आधार पर बनता है आइए इस सेट के तत्वों को पत्र के माध्यम से नामित करें ए, एक संख्या के साथ सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगा। आइए माप की एक नई इकाई "यौन विशेषता" का परिचय दें और इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें बी. चूंकि सभी लोगों में यौन विशेषताएं निहित हैं, इसलिए हम सेट के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं लेकिनलिंग पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोग" सेट अब "लिंग वाले लोग" सेट बन गया है। उसके बाद, हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं का बीडब्ल्यूईलिंग विशेषताओं। अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इनमें से किसी एक यौन विशेषता का चयन करते हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि यह किसी व्यक्ति में मौजूद है, तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है, तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित को लागू करते हैं। देखिए क्या हुआ।

गुणा, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुष उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक सबसेट बीडब्ल्यूई. लगभग उसी तरह गणितज्ञ तर्क करते हैं जब वे व्यवहार में सेट सिद्धांत लागू करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण में नहीं जाने देते हैं, लेकिन हमें समाप्त परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक सबसेट और महिलाओं का एक सबसेट होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि वास्तव में परिवर्तन सही ढंग से किए गए हैं, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में कभी और बताऊंगा।

जहां तक ​​सुपरसेट का संबंध है, इन दो सेटों के तत्वों में मौजूद माप की एक इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना संभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। एक संकेत है कि सेट थ्योरी के साथ सब ठीक नहीं है, यह है कि गणितज्ञ अपनी भाषा और सेट थ्योरी के लिए अंकन के साथ आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो कभी जादूगर करते थे। केवल शेमस ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। यह "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं।

सोमवार, 7 जनवरी 2019

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया है ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि यह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि यह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, अत: यह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।
मैं एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "एक दाना में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और बिना धनुष के हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" के एक हिस्से का चयन करते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह शेमस अपने सेट थ्योरी को हकीकत से बांधकर अपना पेट भरते हैं।

चलिए अब एक छोटी सी ट्रिक करते हैं। चलो "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लेते हैं और लाल तत्वों का चयन करते हुए, इन "संपूर्ण" को रंग से एकजुट करते हैं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक मुश्किल सवाल: क्या प्राप्त सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका जवाब केवल शेमस ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही हो।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक धनुष के साथ लाल ठोस पिंपली" का एक सेट बनाया। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (एक टक्कर में), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है. यहाँ यह कैसा दिखता है।

विभिन्न सूचकांकों के साथ "ए" अक्षर माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। कोष्ठक में, माप की इकाइयों को हाइलाइट किया जाता है, जिसके अनुसार प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" आवंटित किया जाता है। माप की इकाई, जिसके अनुसार समुच्चय बनता है, कोष्ठक से निकाला जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम समुच्चय बनाने के लिए इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, न कि तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य। शमां "स्पष्ट रूप से" एक ही परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "स्पष्टता" के साथ बहस करते हुए, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों की मदद से एक को तोड़ना या कई सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

इस लेख में, हम एक संख्यात्मक वृत्त की परिभाषा का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, इसकी मुख्य संपत्ति का पता लगाएंगे और संख्या 1,2,3 आदि को व्यवस्थित करेंगे। वृत्त पर अन्य संख्याओं को अंकित करने के तरीके के बारे में (उदाहरण के लिए, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) समझता है।

नंबर सर्कल इकाई त्रिज्या के एक वृत्त को कॉल करें, जिसके बिंदु . के अनुरूप हों निम्नलिखित नियमों के अनुसार व्यवस्थित:

1) मूल वृत्त के सबसे दाहिने बिंदु पर है;

2) वामावर्त - सकारात्मक दिशा; दक्षिणावर्त - नकारात्मक;

3) यदि हम वृत्त पर दूरी \(t\) को सकारात्मक दिशा में प्लॉट करते हैं, तो हम उस बिंदु पर पहुंचेंगे जिसका मान \(t\) है;

4) यदि हम वृत्त पर दूरी \(t\) को ऋणात्मक दिशा में प्लॉट करते हैं, तो हम उस बिंदु पर पहुंचेंगे जिसका मान \(-t\) है।

वृत्त को संख्या क्यों कहते हैं?
क्योंकि उस पर नंबर होते हैं। इसमें वृत्त संख्या अक्ष के समान होता है - वृत्त पर, साथ ही अक्ष पर, प्रत्येक संख्या के लिए एक निश्चित बिंदु होता है।

क्यों जानें कि एक संख्या चक्र क्या है?
एक संख्यात्मक वृत्त की सहायता से, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट का मान निर्धारित किया जाता है। इसलिए, त्रिकोणमिति जानने और 60+ अंकों के साथ परीक्षा पास करने के लिए, यह समझना अनिवार्य है कि एक संख्या वृत्त क्या है और उस पर बिंदु कैसे लगाएं।

परिभाषा में "... की इकाई त्रिज्या ..." का क्या अर्थ है?
इसका अर्थ है कि इस वृत्त की त्रिज्या \(1\) है। और अगर हम मूल बिंदु पर केंद्रित एक ऐसा वृत्त बनाते हैं, तो यह अक्षों के साथ \(1\) और \(-1\) बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा।

इसे छोटा खींचना आवश्यक नहीं है, आप कुल्हाड़ियों के साथ विभाजनों के "आकार" को बदल सकते हैं, फिर चित्र बड़ा होगा (नीचे देखें)।

त्रिज्या बिल्कुल एक क्यों है? यह अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि इस मामले में, सूत्र \(l=2πR\) का उपयोग करके परिधि की गणना करते समय, हम प्राप्त करते हैं:

संख्या वृत्त की लंबाई \(2π\) या लगभग \(6,28\) है।

और "... जिन बिंदुओं के वास्तविक संख्या से मेल खाते हैं" का क्या अर्थ है?
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए संख्या वृत्त पर, निश्चित रूप से उसका "स्थान" होगा - एक बिंदु जो इस संख्या से मेल खाता है।

संख्या वृत्त पर मूल और दिशा का निर्धारण क्यों करते हैं?
संख्या वृत्त का मुख्य उद्देश्य प्रत्येक संख्या के लिए अपने बिंदु को विशिष्ट रूप से निर्धारित करना है। लेकिन आप यह कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि कहां समाप्त किया जाए यदि आप नहीं जानते कि कहां से गिनना है और कहां जाना है?

यहाँ यह महत्वपूर्ण है कि समन्वय रेखा और संख्या वृत्त पर मूल को भ्रमित न करें - ये दो अलग-अलग संदर्भ प्रणालियाँ हैं! साथ ही, \(1\) को \(x\) अक्ष और \(0\) पर भ्रमित न करें - ये विभिन्न वस्तुओं पर बिंदु हैं।

कौन से अंक \(1\), \(2\), आदि संख्याओं से मेल खाते हैं?

याद रखें, हमने मान लिया था कि एक संख्या वृत्त की त्रिज्या \(1\) है? यह हमारा एकल खंड होगा (संख्या अक्ष के अनुरूप), जिसे हम सर्कल पर रखेंगे।

संख्या 1 के अनुरूप संख्या वृत्त पर एक बिंदु को चिह्नित करने के लिए, आपको सकारात्मक दिशा में त्रिज्या के बराबर 0 से दूरी तय करनी होगी।

संख्या \(2\) के अनुरूप वृत्त पर एक बिंदु को चिह्नित करने के लिए, आपको मूल से दो त्रिज्या के बराबर दूरी तय करनी होगी, ताकि \(3\) तीन त्रिज्या के बराबर दूरी हो, आदि।

इस तस्वीर को देखकर आपके दो सवाल हो सकते हैं:
1. क्या होगा जब वृत्त "समाप्त हो जाता है" (अर्थात हम एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं)?
उत्तर: दूसरे दौर में चलते हैं! और जब दूसरा खत्म हो जाएगा, तो हम तीसरे पर जाएंगे और इसी तरह। इसलिए, एक वृत्त पर अनंत संख्याएँ लागू की जा सकती हैं।

2. ऋणात्मक संख्याएँ कहाँ होंगी?
उत्तर: वहीं! उन्हें रेडी की आवश्यक संख्या शून्य से गिनते हुए भी व्यवस्थित किया जा सकता है, लेकिन अब एक नकारात्मक दिशा में।

दुर्भाग्य से, संख्या वृत्त पर पूर्णांकों को निर्दिष्ट करना कठिन है। यह इस तथ्य के कारण है कि संख्यात्मक सर्कल की लंबाई एक पूर्णांक नहीं होगी: \ (2π \)। और सबसे सुविधाजनक स्थानों पर (कुल्हाड़ियों के साथ चौराहे के बिंदुओं पर) पूर्णांक नहीं, बल्कि अंश भी होंगे