सांख्यिकीय समग्रता में इकाइयों, वस्तुओं या घटनाओं का एक समूह होता है जो कुछ मामलों में सजातीय होते हैं और साथ ही आकार की विशेषताओं में भिन्न होते हैं। प्रत्येक वस्तु की विशेषताओं का मूल्य जनसंख्या की सभी इकाइयों के लिए सामान्य और उसकी व्यक्तिगत विशेषताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
क्रमबद्ध वितरण श्रृंखला (रैंकिंग, अंतराल, आदि) का विश्लेषण करते हुए, कोई यह देख सकता है कि सांख्यिकीय आबादी के तत्व कुछ केंद्रीय मूल्यों के आसपास स्पष्ट रूप से केंद्रित हैं। कुछ केंद्रीय मूल्यों के आसपास एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की ऐसी एकाग्रता, एक नियम के रूप में, सभी सांख्यिकीय वितरणों में होती है। अध्ययन की गई विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की आवृत्ति वितरण केंद्र के आसपास समूह बनाने की प्रवृत्ति को कहा जाता है केंद्रीय प्रवृत्ति।वितरण की केंद्रीय प्रवृत्ति को चिह्नित करने के लिए, सामान्यीकरण संकेतकों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें औसत मूल्य कहा जाता है।
औसत मूल्यआँकड़ों में, वे एक सामान्यीकरण संकेतक कहते हैं जो स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में गुणात्मक रूप से सजातीय आबादी में एक विशेषता के विशिष्ट आकार की विशेषता है और जनसंख्या की प्रति इकाई एक चर विशेषता के मूल्य को दर्शाता है। अधिकांश मामलों में औसत मान की गणना सुविधा के कुल आयतन को इस विशेषता वाली इकाइयों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। यदि, उदाहरण के लिए, मासिक वेतन बिल और प्रति माह श्रमिकों की संख्या ज्ञात हो, तो औसत मासिक वेतन को श्रमिकों की संख्या से मजदूरी बिल को विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है।
औसत मूल्य ऐसे संकेतक हैं जैसे कार्य दिवस की औसत लंबाई, सप्ताह, वर्ष, श्रमिकों की औसत मजदूरी श्रेणी, श्रम उत्पादकता का औसत स्तर, प्रति व्यक्ति औसत राष्ट्रीय आय, देश में औसत फसल उपज, प्रति व्यक्ति औसत भोजन की खपत, आदि। डी।
औसत मूल्यों की गणना निरपेक्ष और सापेक्ष दोनों मूल्यों से की जाती है, उन्हें संकेतक कहा जाता है और माप की समान इकाइयों में औसत विशेषता के रूप में मापा जाता है। वे एक संख्या के साथ अध्ययन की गई आबादी के मूल्य की विशेषता रखते हैं। औसत मूल्य सामाजिक-आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं के उद्देश्य और विशिष्ट स्तर को दर्शाते हैं।
प्रत्येक औसत कुछ संकेतों में से एक के अनुसार अध्ययन की गई आबादी की विशेषता है, लेकिन किसी भी आबादी को चिह्नित करने के लिए, इसकी विशिष्ट विशेषताओं और गुणात्मक विशेषताओं का वर्णन करने के लिए, औसत संकेतकों की एक प्रणाली की आवश्यकता होती है। इसलिए, घरेलू आंकड़ों के अभ्यास में, सामाजिक-आर्थिक घटनाओं का अध्ययन करने के लिए, एक नियम के रूप में, इसका उपयोग किया जाता है औसत की प्रणाली।इसलिए, उदाहरण के लिए, औसत मजदूरी के संकेतकों का मूल्यांकन श्रम उत्पादकता (कार्य समय की प्रति इकाई औसत उत्पादन), पूंजी-श्रम अनुपात और ऊर्जा संरक्षण, मशीनीकरण के स्तर और काम के स्वचालन आदि के संकेतकों के साथ किया जाता है।
सांख्यिकीय विज्ञान और अभ्यास में, औसत अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। औसत विधि सबसे महत्वपूर्ण सांख्यिकीय विधियों में से एक है, और औसत सांख्यिकीय विज्ञान की मुख्य श्रेणियों में से एक है। औसत का सिद्धांत सांख्यिकी के सिद्धांत में केंद्रीय स्थानों में से एक है। औसत मान भिन्नता (धारा 5), नमूना त्रुटियों (धारा 6), एनोवा (धारा 8) और सहसंबंध विश्लेषण (धारा 9) के संकेतकों की गणना के लिए आधार हैं।
इंडेक्स के बिना आंकड़े प्रस्तुत करना भी असंभव है, और बाद वाले अनिवार्य रूप से औसत हैं। सांख्यिकीय समूहों की पद्धति के उपयोग से औसत मूल्यों का भी उपयोग होता है।
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समूहीकरण विधि आँकड़ों के मुख्य तरीकों में से एक है। समूहों की विधि के साथ संयोजन में औसत की विधि वैज्ञानिक रूप से विकसित सांख्यिकीय पद्धति का एक अभिन्न अंग है। औसत संकेतक व्यवस्थित रूप से सांख्यिकीय समूहों की पद्धति के पूरक हैं।
औसत वृद्धि और विकास दर की गणना करने के लिए, समय के साथ घटना में परिवर्तन को चिह्नित करने के लिए औसत मूल्यों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, श्रम उत्पादकता की औसत वृद्धि दर और एक निश्चित अवधि (कई वर्षों) के लिए इसके पारिश्रमिक की तुलना अध्ययन की अवधि, अलग-अलग श्रम उत्पादकता और अलग-अलग मजदूरी के दौरान घटना के विकास की प्रकृति को प्रकट करती है। इन दो घटनाओं की वृद्धि दर की तुलना से निश्चित अवधि के लिए इसके भुगतान के सापेक्ष श्रम उत्पादकता में वृद्धि या कमी के अनुपात की प्रकृति और ख़ासियत का अंदाजा मिलता है।
सभी मामलों में, जब एक संख्या द्वारा विशेषता के मूल्यों की समग्रता को बदलना आवश्यक हो जाता है, तो इसका औसत मूल्य उपयोग किया जाता है।
सांख्यिकीय जनसंख्या में, विशेषता का मूल्य वस्तु से वस्तु में बदल जाता है, अर्थात यह भिन्न होता है। इन मूल्यों का औसत और जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य को विशेषता मान का स्तर प्रदान करके, हम विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों से अलग हो जाते हैं, इस प्रकार, विशेषता मानों के वितरण की श्रृंखला को प्रतिस्थापित करते हैं औसत मूल्य के बराबर समान मूल्य। हालांकि, इस तरह का अमूर्तन केवल तभी उचित है जब औसत पूरी तरह से दी गई विशेषता के संबंध में मुख्य संपत्ति को नहीं बदलता है। यह सांख्यिकीय जनसंख्या की मुख्य संपत्ति है, जो विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों से जुड़ी है, और जिसे औसत होने पर अपरिवर्तित रखा जाना चाहिए, अध्ययन के तहत विशेषता के संबंध में औसत की परिभाषित संपत्ति कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, औसत, विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की जगह, घटना की कुल मात्रा को नहीं बदलना चाहिए, अर्थात। अनिवार्य ऐसी समानता: घटना की मात्रा जनसंख्या के आकार से औसत मूल्य के उत्पाद के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि तीन जौ उपज मूल्यों (x, = 20.0; 23.3; 23.6 सेंटीमीटर / हेक्टेयर) से, औसत (20.0 + 23.3 + 23.6) की गणना की जाती है: 3 = 22.3 सेंटीमीटर / हेक्टेयर, तो परिभाषित संपत्ति के अनुसार माध्य की, निम्नलिखित समानता देखी जानी चाहिए:
जैसा कि उपरोक्त उदाहरण से देखा जा सकता है, जौ की औसत उपज किसी एक व्यक्ति के साथ मेल नहीं खाती है, क्योंकि किसी भी खेत में प्राप्त उपज 22.3 c/ha है। हालाँकि, यदि हम कल्पना करें कि प्रत्येक खेत को 22.3 c/ha प्राप्त हुआ, तो कुल उपज में कोई परिवर्तन नहीं होगा और यह 66.9 c/ha के बराबर होगा। नतीजतन, औसत, व्यक्तिगत व्यक्तिगत संकेतकों के वास्तविक मूल्य की जगह, अध्ययन किए गए गुण के मूल्यों के पूरे योग का आकार नहीं बदल सकता है।
औसत मूल्यों का मुख्य मूल्य उनका सामान्यीकरण कार्य है, अर्थात। एक विशेषता के विभिन्न व्यक्तिगत मूल्यों के एक सेट को एक औसत मूल्य के साथ बदलने में जो घटना के पूरे सेट की विशेषता है। औसत की संपत्ति व्यक्तिगत इकाइयों को नहीं, बल्कि जनसंख्या की प्रत्येक इकाई में विशेषता के स्तर को व्यक्त करने के लिए इसकी विशिष्ट क्षमता है। यह विशेषता औसत को अलग-अलग विशेषताओं के स्तर का एक सामान्यीकरण संकेतक बनाती है, अर्थात। एक संकेतक जो जनसंख्या की अलग-अलग इकाइयों में विशेषता के मूल्य के व्यक्तिगत मूल्यों से अलग होता है। लेकिन यह तथ्य कि औसत अमूर्त है, इसे वैज्ञानिक अनुसंधान से वंचित नहीं करता है। अमूर्तता किसी भी वैज्ञानिक अनुसंधान की एक आवश्यक डिग्री है। औसत मूल्य में, किसी भी अमूर्तता की तरह, व्यक्ति और सामान्य की द्वंद्वात्मक एकता का एहसास होता है। औसत विशेषताओं के औसत और व्यक्तिगत मूल्यों के बीच संबंध व्यक्ति और सामान्य के बीच द्वंद्वात्मक संबंध की अभिव्यक्ति है।
औसत का उपयोग सामान्य और व्यक्ति, द्रव्यमान और व्यक्ति की द्वंद्वात्मक श्रेणियों की समझ और अंतर्संबंध पर आधारित होना चाहिए।
औसत मूल्य उस सामान्य को दर्शाता है जो प्रत्येक व्यक्ति, एकल वस्तु में बनता है। इसके कारण, सामूहिक सामाजिक घटनाओं में निहित पैटर्न को प्रकट करने के लिए औसत का बहुत महत्व हो जाता है और एकल घटनाओं में ध्यान देने योग्य नहीं होता है।
घटना के विकास में आवश्यकता को अवसर के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए, औसत बड़ी संख्या के कानून से संबंधित हैं। इस संबंध का सार इस तथ्य में निहित है कि औसत मूल्य की गणना करते समय, विभिन्न दिशाओं के साथ यादृच्छिक उतार-चढ़ाव, बड़ी संख्या के कानून के संचालन के कारण, परस्पर संतुलित, रद्द, और मुख्य नियमितता, आवश्यकता और प्रभाव होते हैं। इस आबादी की सामान्य स्थितियों की विशेषता औसत मूल्य में स्पष्ट रूप से प्रदर्शित होती है। औसत अध्ययन की गई घटनाओं के विशिष्ट, वास्तविक स्तर को दर्शाता है। इन स्तरों का अनुमान लगाना और उन्हें समय और स्थान में बदलना औसत की मुख्य समस्याओं में से एक है। इसलिए, औसत के माध्यम से, उदाहरण के लिए, श्रम उत्पादकता, फसल की पैदावार और पशु उत्पादकता में वृद्धि का पैटर्न प्रकट होता है। नतीजतन, औसत मूल्य संकेतकों का सामान्यीकरण कर रहे हैं जिसमें सामान्य परिस्थितियों की कार्रवाई, अध्ययन के तहत घटना की नियमितता, इसकी अभिव्यक्ति पाती है।
औसत मूल्यों की सहायता से, वे समय और स्थान में घटनाओं में परिवर्तन, उनके विकास में रुझान, सुविधाओं के बीच संबंध और निर्भरता, उत्पादन, श्रम और प्रौद्योगिकी के संगठन के विभिन्न रूपों की प्रभावशीलता, वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति की शुरूआत का अध्ययन करते हैं। , कुछ सामाजिक और आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं के विकास में एक नए, प्रगतिशील की पहचान।
सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के सांख्यिकीय विश्लेषण में औसत मूल्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह उनमें है कि सामूहिक सामाजिक घटनाओं के विकास में पैटर्न और रुझान जो समय और स्थान दोनों में भिन्न होते हैं, उनकी अभिव्यक्ति पाते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, अर्थव्यवस्था में श्रम उत्पादकता में वृद्धि का पैटर्न उत्पादन में नियोजित प्रति कर्मचारी औसत उत्पादन की वृद्धि, सकल उपज में वृद्धि - औसत फसल पैदावार की वृद्धि आदि में परिलक्षित होता है।
औसत मूल्य केवल एक आधार पर अध्ययन के तहत घटना की एक सामान्यीकृत विशेषता देता है, जो इसके सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक को दर्शाता है। इस संबंध में, अध्ययन के तहत घटना के व्यापक विश्लेषण के लिए, कई परस्पर संबंधित और पूरक आवश्यक विशेषताओं के लिए औसत मूल्यों की एक प्रणाली का निर्माण करना आवश्यक है।
औसत को प्रतिबिंबित करने के लिए कि अध्ययन की गई सामाजिक घटनाओं में वास्तव में क्या विशिष्ट और स्वाभाविक है, इसकी गणना करते समय, ऐसी स्थितियों का पालन करना आवश्यक है।
1. जिस चिह्न से औसत की गणना की जाती है वह महत्वपूर्ण होना चाहिए। अन्यथा, एक महत्वहीन या विकृत औसत प्राप्त किया जाएगा।
2. औसत की गणना केवल गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या के लिए की जानी चाहिए। इसलिए, औसत की प्रत्यक्ष गणना सांख्यिकीय समूह द्वारा पहले की जानी चाहिए, जिससे अध्ययन की गई आबादी को गुणात्मक रूप से सजातीय समूहों में विभाजित करना संभव हो जाता है। इस संबंध में, औसत की विधि का वैज्ञानिक आधार सांख्यिकीय समूहों की विधि है।
जनसंख्या की एकरूपता के प्रश्न को उसके वितरण के रूप में औपचारिक रूप से तय नहीं किया जाना चाहिए। यह, साथ ही औसत की विशिष्टता के प्रश्न को उन कारणों और स्थितियों के आधार पर हल किया जाना चाहिए जो कुल बनाते हैं। समुच्चय भी सजातीय है, जिसकी इकाइयाँ सामान्य मुख्य कारणों और स्थितियों के प्रभाव में बनती हैं जो इस विशेषता के सामान्य स्तर को निर्धारित करती हैं, संपूर्ण समुच्चय की विशेषता।
3. औसत मूल्य की गणना किसी दिए गए प्रकार की सभी इकाइयों या वस्तुओं के पर्याप्त बड़े सेट के कवरेज पर आधारित होनी चाहिए ताकि यादृच्छिक उतार-चढ़ाव परस्पर एक दूसरे को रद्द कर दें और अध्ययन किए गए गुण की नियमितता, विशिष्ट और विशिष्ट आकार दिखाई दें .
4. किसी भी प्रकार के औसत की गणना में सामान्य आवश्यकता कुल में विशेषता की कुल मात्रा का अनिवार्य संरक्षण है जब इसके व्यक्तिगत मूल्यों को औसत मूल्य (औसत की तथाकथित परिभाषित संपत्ति) के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है।
औसत मूल्य एक सामान्यीकरण संकेतक है जो घटना के विशिष्ट स्तर की विशेषता है। यह जनसंख्या की इकाई से संबंधित विशेषता के मूल्य को व्यक्त करता है।
औसत मूल्य है:
1) जनसंख्या के लिए विशेषता का सबसे विशिष्ट मूल्य;
2) जनसंख्या के चिन्ह का आयतन, जनसंख्या की इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित।
जिस विशेषता के लिए औसत मूल्य की गणना की जाती है उसे आंकड़ों में "औसत" कहा जाता है।
औसत हमेशा विशेषता की मात्रात्मक भिन्नता को सामान्य करता है, अर्थात। औसत मूल्यों में, यादृच्छिक परिस्थितियों के कारण जनसंख्या की इकाइयों में व्यक्तिगत अंतर को रद्द कर दिया जाता है। औसत के विपरीत, जनसंख्या की एक व्यक्तिगत इकाई की विशेषता के स्तर को दर्शाने वाला निरपेक्ष मान विभिन्न आबादी से संबंधित इकाइयों के लिए सुविधा के मूल्यों की तुलना करने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, यदि आपको दो उद्यमों में श्रमिकों के पारिश्रमिक के स्तरों की तुलना करने की आवश्यकता है, तो आप इस आधार पर विभिन्न उद्यमों के दो कर्मचारियों की तुलना नहीं कर सकते। तुलना के लिए चुने गए श्रमिकों की मजदूरी इन उद्यमों के लिए विशिष्ट नहीं हो सकती है। यदि हम विचाराधीन उद्यमों में वेतन निधि के आकार की तुलना करते हैं, तो कर्मचारियों की संख्या को ध्यान में नहीं रखा जाता है और इसलिए, यह निर्धारित करना असंभव है कि मजदूरी का स्तर कहाँ अधिक है। अंततः, केवल औसत की तुलना की जा सकती है, अर्थात। प्रत्येक कंपनी में एक कर्मचारी औसतन कितना कमाता है? इस प्रकार, जनसंख्या की सामान्यीकरण विशेषता के रूप में औसत मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि औसत की प्रक्रिया में, विशेषता स्तरों का कुल मूल्य या उसका अंतिम मूल्य (एक समय श्रृंखला में औसत स्तरों की गणना के मामले में) अपरिवर्तित रहना चाहिए। दूसरे शब्दों में, औसत मूल्य की गणना करते समय, अध्ययन के तहत विशेषता की मात्रा विकृत नहीं होनी चाहिए, और औसत की गणना करते समय किए गए भाव आवश्यक रूप से समझ में आने चाहिए।
औसत की गणना करना एक सामान्य सामान्यीकरण तकनीक है; औसत संकेतक उस सामान्य से इनकार करता है जो अध्ययन की गई आबादी की सभी इकाइयों के लिए विशिष्ट (विशिष्ट) है, साथ ही यह व्यक्तिगत इकाइयों के बीच के अंतरों की उपेक्षा करता है। प्रत्येक घटना और उसके विकास में संयोग और आवश्यकता का संयोग होता है। औसत की गणना करते समय, बड़ी संख्या के कानून के संचालन के कारण, यादृच्छिकता एक दूसरे को रद्द कर देती है, संतुलित हो जाती है, इसलिए आप प्रत्येक विशिष्ट मामले में विशेषता के मात्रात्मक मूल्यों से घटना की तुच्छ विशेषताओं से सार कर सकते हैं। व्यक्तिगत मूल्यों, उतार-चढ़ाव की यादृच्छिकता से अमूर्त करने की क्षमता में, औसत का वैज्ञानिक मूल्य समुच्चय की सामान्यीकरण विशेषताओं के रूप में निहित है।
औसत को सही मायने में टाइप करने के लिए, इसकी गणना कुछ सिद्धांतों को ध्यान में रखकर की जानी चाहिए।
आइए हम औसत के आवेदन के लिए कुछ सामान्य सिद्धांतों पर ध्यान दें।
1. गुणात्मक रूप से सजातीय इकाइयों वाली आबादी के लिए औसत निर्धारित किया जाना चाहिए।
2. औसत की गणना पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में इकाइयों वाली आबादी के लिए की जानी चाहिए।
3. औसत की गणना उस जनसंख्या के लिए की जानी चाहिए, जिसकी इकाइयाँ सामान्य, प्राकृतिक अवस्था में हों।
4. अध्ययन के तहत संकेतक की आर्थिक सामग्री को ध्यान में रखते हुए औसत की गणना की जानी चाहिए।
5.2. औसत के प्रकार और उनकी गणना के तरीके
आइए अब हम औसत के प्रकार, उनकी गणना की विशेषताओं और आवेदन के क्षेत्रों पर विचार करें। औसत मूल्यों को दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जाता है: शक्ति औसत, संरचनात्मक औसत।
पावर-लॉ औसत में सबसे प्रसिद्ध और आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले प्रकार शामिल हैं, जैसे कि ज्यामितीय माध्य, अंकगणितीय माध्य और माध्य वर्ग।
बहुलक और माध्यिका को संरचनात्मक औसत माना जाता है।
आइए हम बिजली औसत पर ध्यान दें। प्रारंभिक डेटा की प्रस्तुति के आधार पर पावर औसत, सरल और भारित हो सकता है। साधारण औसतअवर्गीकृत डेटा से गणना की जाती है और इसका सामान्य रूप निम्नलिखित है:
,
जहाँ X i औसत विशेषता का भिन्न (मान) है;
n विकल्पों की संख्या है।
भारित औसतसमूहीकृत डेटा द्वारा गणना की जाती है और इसका एक सामान्य रूप होता है
,
जहां X i औसत विशेषता का भिन्न (मान) है या अंतराल का मध्य मान है जिसमें भिन्न को मापा जाता है;
मी माध्य का घातांक है;
f i - आवृत्ति दर्शाती है कि औसत विशेषता का i-e मान कितनी बार आता है।
यदि हम एक ही प्रारंभिक डेटा के लिए सभी प्रकार के औसत की गणना करते हैं, तो उनका मान समान नहीं होगा। यहाँ औसत के प्रमुखता का नियम लागू होता है: घातांक m में वृद्धि के साथ, संगत औसत मान भी बढ़ता है:
सांख्यिकीय अभ्यास में, अन्य प्रकार के भारित औसतों की तुलना में अधिक बार अंकगणित और हार्मोनिक भारित औसत का उपयोग किया जाता है।
शक्ति के प्रकार साधन
|
शक्ति का प्रकार |
सूचक |
गणना सूत्र |
|
|
सरल |
भारित |
||
|
लयबद्ध |
|||
|
ज्यामितिक |
|
|
|
|
अंकगणित |
|||
|
द्विघात |
|||
|
घन |
|||
हार्मोनिक माध्य में अंकगणित माध्य की तुलना में अधिक जटिल संरचना होती है। हार्मोनिक माध्य का उपयोग गणना के लिए किया जाता है जब भार जनसंख्या की इकाइयाँ नहीं होते हैं - विशेषता के वाहक, लेकिन इन इकाइयों के उत्पाद और विशेषता के मान (यानी m = Xf)। औसत हार्मोनिक डाउनटाइम का उपयोग निर्धारित करने के मामलों में किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, श्रम की औसत लागत, समय, उत्पादन की प्रति यूनिट सामग्री, प्रति भाग दो (तीन, चार, आदि) उद्यमों, के निर्माण में लगे श्रमिकों के लिए एक ही प्रकार का उत्पाद, एक ही भाग, उत्पाद।
औसत मूल्य की गणना के लिए सूत्र की मुख्य आवश्यकता यह है कि गणना के सभी चरणों का एक वास्तविक सार्थक औचित्य हो; परिणामी औसत मूल्य को व्यक्तिगत और सारांश संकेतकों के बीच संबंध को तोड़े बिना प्रत्येक वस्तु के लिए विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को प्रतिस्थापित करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, औसत मूल्य की गणना इस तरह से की जानी चाहिए कि जब औसत संकेतक के प्रत्येक व्यक्तिगत मूल्य को उसके औसत मूल्य से बदल दिया जाता है, तो औसत संकेतक के साथ किसी न किसी तरह से जुड़ा कुछ अंतिम सारांश संकेतक अपरिवर्तित रहता है। इस परिणाम को कहा जाता है निर्धारित करनेचूंकि व्यक्तिगत मूल्यों के साथ इसके संबंध की प्रकृति औसत मूल्य की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र निर्धारित करती है। आइए इस नियम को ज्यामितीय माध्य के उदाहरण पर दिखाते हैं।
ज्यामितीय माध्य सूत्र
डायनामिक्स के व्यक्तिगत सापेक्ष मूल्यों के औसत मूल्य की गणना करते समय सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है।
ज्यामितीय माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब गतिशीलता के श्रृंखला सापेक्ष मूल्यों का एक क्रम दिया जाता है, उदाहरण के लिए, पिछले वर्ष के स्तर की तुलना में उत्पादन में वृद्धि: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n । जाहिर है, पिछले वर्ष में उत्पादन की मात्रा इसके प्रारंभिक स्तर (क्यू 0) और बाद के वर्षों में वृद्धि से निर्धारित होती है:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n ।
q n को एक परिभाषित संकेतक के रूप में लेते हुए और गतिकी संकेतकों के व्यक्तिगत मूल्यों को औसत के साथ बदलकर, हम संबंध पर पहुंचते हैं
यहां से
एक विशेष प्रकार के औसत मूल्य - संरचनात्मक औसत - का उपयोग विशेषता मूल्यों के वितरण की श्रृंखला की आंतरिक संरचना का अध्ययन करने के साथ-साथ औसत मूल्य (शक्ति प्रकार) का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, यदि उपलब्ध सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार, इसकी गणना नहीं की जा सकती (उदाहरण के लिए, यदि माना गया उदाहरण में कोई डेटा नहीं था) और उत्पादन की मात्रा पर, और उद्यमों के समूहों द्वारा लागत की मात्रा पर)।
संकेतकों को अक्सर संरचनात्मक औसत के रूप में उपयोग किया जाता है। पहनावा -सबसे बार-बार दोहराया जाने वाला फीचर मान - और माध्यिका -एक विशेषता का मान जो उसके मानों के क्रमित क्रम को संख्या के बराबर दो भागों में विभाजित करता है। नतीजतन, जनसंख्या इकाइयों के एक आधे में, विशेषता का मूल्य औसत स्तर से अधिक नहीं होता है, और दूसरे आधे में यह इससे कम नहीं होता है।
यदि अध्ययन के तहत विशेषता में असतत मान हैं, तो बहुलक और माध्यिका की गणना करने में कोई विशेष कठिनाई नहीं है। यदि विशेषता X के मानों पर डेटा को उसके परिवर्तन (अंतराल श्रृंखला) के क्रमबद्ध अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो बहुलक और माध्यिका की गणना कुछ अधिक जटिल हो जाती है। चूंकि माध्यिका मान संपूर्ण जनसंख्या को समान संख्या में दो भागों में विभाजित करता है, यह फीचर X के अंतराल में से एक में समाप्त होता है। प्रक्षेप का उपयोग करते हुए, माध्यिका मान इस माध्यिका अंतराल में पाया जाता है:
,
जहाँ X Me माध्यिका अंतराल की निचली सीमा है;
एच मैं इसका मूल्य है;
(योग एम) / 2 - प्रेक्षणों की कुल संख्या का आधा या संकेतक के आयतन का आधा जो औसत मूल्य (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में) की गणना के लिए सूत्रों में भार के रूप में उपयोग किया जाता है;
S Me-1 माध्यिका अंतराल की शुरुआत से पहले जमा हुए प्रेक्षणों (या वेटिंग फीचर का आयतन) का योग है;
मी मी प्रेक्षणों की संख्या या माध्यिका अंतराल में भार विशेषता का आयतन है (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में भी)।
अंतराल श्रृंखला के डेटा के अनुसार किसी सुविधा के मोडल मान की गणना करते समय, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि अंतराल समान हैं, क्योंकि फीचर मान X की आवृत्ति का संकेतक इस पर निर्भर करता है। समान अंतराल वाली एक अंतराल श्रृंखला, बहुलक मान इस प्रकार निर्धारित किया जाता है
,
जहाँ X Mo बहुलक अंतराल का निम्न मान है;
एम मो मोडल अंतराल (पूर्ण या सापेक्ष शब्दों में) में अवलोकनों की संख्या या वेटिंग फीचर की मात्रा है;
m Mo-1 - मोडल से पहले के अंतराल के लिए समान;
m Mo+1 - मोडल के बाद के अंतराल के लिए समान;
h समूहों में विशेषता के परिवर्तन के अंतराल का मान है।
कार्य 1
रिपोर्टिंग वर्ष के लिए औद्योगिक उद्यमों के समूह के लिए निम्नलिखित आंकड़े उपलब्ध हैं:
|
№ उद्यम |
उत्पादन की मात्रा, मिलियन रूबल |
कर्मचारियों की औसत संख्या, प्रति। |
लाभ, हजार रूबल |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
निम्नलिखित अंतराल लेते हुए, उत्पादों के आदान-प्रदान के लिए उद्यमों का एक समूह बनाना आवश्यक है:
400 से 600 मिलियन रूबल तक
प्रत्येक समूह के लिए और सभी के लिए, उद्यमों की संख्या, उत्पादन की मात्रा, कर्मचारियों की औसत संख्या, प्रति कर्मचारी औसत उत्पादन निर्धारित करें। समूहीकरण के परिणाम सांख्यिकीय तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाने चाहिए। एक निष्कर्ष तैयार करें।
फेसला
आइए उत्पादों के आदान-प्रदान के लिए उद्यमों का एक समूह बनाएं, उद्यमों की संख्या की गणना, उत्पादन की मात्रा, कर्मचारियों की औसत संख्या एक साधारण औसत के सूत्र के अनुसार। समूहीकरण और गणना के परिणामों को एक तालिका में संक्षेपित किया गया है।
उत्पादन मात्रा के अनुसार समूह
№
उद्यम
उत्पादन की मात्रा, मिलियन रूबल
अचल संपत्तियों की औसत वार्षिक लागत, मिलियन रूबल
औसत नींद
कर्मचारियों की रसदार संख्या, प्रति।
लाभ, हजार रूबल
प्रति कार्यकर्ता औसत उत्पादन
1 समूह
200 मिलियन रूबल तक
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
मध्य स्तर
198,3
24,9
2 समूह
200 से 400 मिलियन रूबल तक
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
मध्य स्तर
282,3
37,6
1530
64,0
3 समूह
400 से . तक
600 मिलियन
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
मध्य स्तर
512,9
34,4
1421
120,9
कुल मिलाकर
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
कुल औसत
379,6
59,9
1223,6
79,5
निष्कर्ष। इस प्रकार, विचाराधीन कुल में, उत्पादन के मामले में उद्यमों की सबसे बड़ी संख्या तीसरे समूह में गिर गई - सात, या आधे उद्यम। अचल संपत्तियों के औसत वार्षिक मूल्य का मूल्य भी इस समूह में है, साथ ही कर्मचारियों की औसत संख्या का बड़ा मूल्य - 9974 लोग, पहले समूह के उद्यम सबसे कम लाभदायक हैं।
टास्क 2
हमारे पास कंपनी के उद्यमों पर निम्नलिखित डेटा है
कंपनी से संबंधित उद्यम की संख्या
मैं तिमाही
द्वितीय तिमाही
आउटपुट, हजार रूबल
मानव-दिवस काम करके काम किया
प्रति कर्मचारी प्रति दिन औसत उत्पादन, रगड़।
59390,13
200 मिलियन रूबल तक
200 से 400 मिलियन रूबल तक
विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से औसत मूल्य सबसे मूल्यवान है और सांख्यिकीय संकेतकों की अभिव्यक्ति का सार्वभौमिक रूप है। सबसे सामान्य औसत - अंकगणितीय औसत - में कई गणितीय गुण होते हैं जिनका उपयोग इसकी गणना में किया जा सकता है। उसी समय, एक विशिष्ट औसत की गणना करते समय, हमेशा इसके तार्किक सूत्र पर भरोसा करने की सलाह दी जाती है, जो कि जनसंख्या की मात्रा के लिए विशेषता की मात्रा का अनुपात है। प्रत्येक माध्य के लिए, केवल एक वास्तविक संदर्भ अनुपात होता है, जिसे उपलब्ध आंकड़ों के आधार पर विभिन्न प्रकार के साधनों की आवश्यकता हो सकती है। हालांकि, सभी मामलों में जहां औसत मूल्य की प्रकृति वजन की उपस्थिति का तात्पर्य है, भारित औसत सूत्रों के बजाय उनके भारित सूत्रों का उपयोग करना असंभव है।
औसत मूल्य जनसंख्या के लिए विशेषता का सबसे विशिष्ट मूल्य है और जनसंख्या की इकाइयों के बीच समान शेयरों में वितरित जनसंख्या की विशेषता का आकार।
वह विशेषता जिसके लिए औसत मान की गणना की जाती है, कहलाती है औसतन .
औसत मूल्य एक संकेतक है जिसकी गणना निरपेक्ष या सापेक्ष मूल्यों की तुलना करके की जाती है। औसत मूल्य है
औसत मूल्य अध्ययन के तहत घटना को प्रभावित करने वाले सभी कारकों के प्रभाव को दर्शाता है, और उनके लिए परिणामी है। दूसरे शब्दों में, व्यक्तिगत विचलन को चुकाना और मामलों के प्रभाव को समाप्त करना, औसत मूल्य, इस क्रिया के परिणामों के सामान्य माप को दर्शाता है, अध्ययन के तहत घटना के सामान्य पैटर्न के रूप में कार्य करता है।
औसत के उपयोग के लिए शर्तें:
अध्ययन की गई जनसंख्या की एकरूपता। यदि यादृच्छिक कारक के प्रभाव के अधीन जनसंख्या के कुछ तत्वों में अध्ययन किए गए गुण के बाकी हिस्सों से काफी भिन्न मूल्य हैं, तो ये तत्व इस आबादी के औसत के आकार को प्रभावित करेंगे। इस मामले में, औसत जनसंख्या के लिए विशेषता के सबसे विशिष्ट मूल्य को व्यक्त नहीं करेगा। यदि अध्ययन की जा रही घटना विषमांगी है, तो उसे सजातीय तत्वों वाले समूहों में विभाजित करना आवश्यक है। इस मामले में, समूह औसत की गणना की जाती है - समूह औसत प्रत्येक समूह में घटना के सबसे विशिष्ट मूल्य को व्यक्त करता है, और फिर सभी तत्वों के लिए समग्र औसत मूल्य की गणना की जाती है, जो कि घटना को समग्र रूप से दर्शाती है। इसकी गणना समूह औसत के औसत के रूप में की जाती है, जिसे प्रत्येक समूह में शामिल जनसंख्या तत्वों की संख्या से भारित किया जाता है;
समुच्चय में पर्याप्त संख्या में इकाइयाँ;
अध्ययन की गई जनसंख्या में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्य।
औसत मूल्य (संकेतक)- यह स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में एक व्यवस्थित आबादी में एक विशेषता की सामान्यीकृत मात्रात्मक विशेषता है.
आँकड़ों में, औसत के निम्नलिखित रूपों (प्रकारों) का उपयोग किया जाता है, जिन्हें शक्ति और संरचनात्मक कहा जाता है:
Ø अंकगणित औसत(सरल और भारित);
सरल
पाठ्यक्रम कार्य
सांख्यिकी का सिद्धांत
विषय पर: औसत
द्वारा पूरा किया गया: समूह संख्या: एसटीपी - 72
यूनुसोवा गुलनाज़िया चमिलेवन
द्वारा चेक किया गया: कान की बाली ल्यूडमिला कोंस्टेंटिनोव्ना
परिचय
1. औसत का सार, आवेदन के सामान्य सिद्धांत
2. औसत के प्रकार और उनका दायरा
2.1 पावर औसत
2.1.1 अंकगणित माध्य
2.1.2 हार्मोनिक माध्य
2.1.3 ज्यामितीय माध्य
2.1.4 आरएमएस
2.2. संरचनात्मक औसत
2.2.1 माध्यिका
3. औसत की सही गणना के लिए बुनियादी पद्धति संबंधी आवश्यकताएं
निष्कर्ष
प्रयुक्त साहित्य की सूची
परिचय
औसत के व्यावहारिक अनुप्रयोग का इतिहास दसियों सदियों पीछे चला जाता है। औसत की गणना का मुख्य उद्देश्य मात्राओं के बीच अनुपात का अध्ययन करना था। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों के विकास के संबंध में औसत की गणना का महत्व बढ़ गया है। औसत की गणना और विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के उतार-चढ़ाव का आकलन किए बिना कई सैद्धांतिक और व्यावहारिक समस्याओं का समाधान असंभव होगा।
विभिन्न दिशाओं के वैज्ञानिकों ने औसत को परिभाषित करने की मांग की। उदाहरण के लिए, उत्कृष्ट फ्रांसीसी गणितज्ञ ओ एल कॉची (1789 - 1857) का मानना था कि कई मूल्यों का औसत एक नया मूल्य है, जो कि सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बीच है।
हालांकि, बेल्जियम के सांख्यिकीविद् ए। क्वेटलेट (1796 - 1874) को औसत के सिद्धांत का निर्माता माना जाना चाहिए। उन्होंने औसत मूल्यों की प्रकृति और उनमें प्रकट होने वाली नियमितताओं को निर्धारित करने का प्रयास किया। क्वेटलेट के अनुसार, अध्ययन के तहत प्रत्येक घटना पर स्थायी कारण उसी तरह (स्थायी रूप से) कार्य करते हैं। यह वे हैं जो इन घटनाओं को एक दूसरे के समान बनाते हैं, उन सभी के लिए सामान्य पैटर्न बनाते हैं।
सामान्य और व्यक्तिगत कारणों के बारे में ए। क्वेटलेट की शिक्षाओं का एक परिणाम सांख्यिकीय विश्लेषण की मुख्य विधि के रूप में औसत मूल्यों का आवंटन था। उन्होंने इस बात पर जोर दिया कि सांख्यिकीय औसत केवल गणितीय माप का माप नहीं है, बल्कि वस्तुनिष्ठ वास्तविकता की एक श्रेणी है। उन्होंने एक वास्तविक मूल्य के साथ एक विशिष्ट, वास्तव में मौजूदा औसत की पहचान की, विचलन जिसमें से केवल यादृच्छिक हो सकता है।
औसत के कथित दृष्टिकोण की एक विशद अभिव्यक्ति "औसत व्यक्ति" का उनका सिद्धांत है, अर्थात। औसत ऊंचाई, वजन, ताकत, औसत छाती की मात्रा, फेफड़ों की क्षमता, औसत दृश्य तीक्ष्णता और सामान्य रंग का व्यक्ति। औसत व्यक्ति के "सच्चे" प्रकार की विशेषता रखते हैं, इस प्रकार से सभी विचलन कुरूपता या बीमारी का संकेत देते हैं।
ए। क्वेटलेट के विचारों को जर्मन सांख्यिकीविद् वी। लेक्सिस (1837 - 1914) के कार्यों में और विकसित किया गया था।
औसत के आदर्शवादी सिद्धांत का दूसरा संस्करण माचिसवाद के दर्शन पर आधारित है। इसके संस्थापक अंग्रेजी सांख्यिकीविद् ए. बाउले (1869 - 1957) थे। औसतन, उन्होंने किसी घटना की मात्रात्मक विशेषताओं का वर्णन करने का सबसे सरल तरीका देखा। औसत के अर्थ को परिभाषित करने में, या, जैसा कि वे इसे कहते हैं, "उनका कार्य", बाउली सोच के मैकियन सिद्धांत को सामने लाते हैं। इस प्रकार, उन्होंने लिखा कि औसत का कार्य स्पष्ट है: इसमें कुछ अभाज्य संख्याओं की सहायता से एक जटिल समूह को व्यक्त करना शामिल है। मन तुरंत लाखों आँकड़ों के परिमाण को नहीं समझ सकता; उन्हें समूहीकृत, सरलीकृत, औसत किया जाना चाहिए।
ए। क्वेटलेट के अनुयायी इतालवी सांख्यिकीविद् सी। गिन्नी (1884-1965) थे, जो बड़े मोनोग्राफ "औसत मूल्य" के लेखक थे। के.गिनी ने सोवियत सांख्यिकीविद् ए.या द्वारा दी गई औसत की परिभाषा की आलोचना की। . बोयार्स्की, और अपना खुद का सूत्र तैयार किया: "कई मात्राओं का औसत इन मात्राओं पर एक निश्चित नियम के अनुसार किए गए कार्यों का परिणाम है, और या तो इन मात्राओं में से एक है, जो अन्य सभी से अधिक और कम नहीं है (औसत वास्तविक या प्रभावी), या कुछ नए मूल्य दिए गए मानों के सबसे छोटे और सबसे बड़े (औसत की गिनती) के बीच मध्यवर्ती।
इस पाठ्यक्रम कार्य में हम औसत के सिद्धांत की मुख्य समस्याओं पर विस्तार से विचार करेंगे। पहले अध्याय में, हम औसत के सार और आवेदन के सामान्य सिद्धांतों को प्रकट करेंगे। दूसरे अध्याय में, हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए औसत के प्रकार और उनके आवेदन के दायरे पर विचार करेंगे। तीसरा अध्याय औसत की गणना के लिए मुख्य पद्धति संबंधी आवश्यकताओं पर विचार करेगा।
1. औसत का सार, आवेदन के सामान्य सिद्धांत
औसत सबसे सामान्य सारांश आँकड़ों में से एक है। उनका उद्देश्य एक संख्या के आधार पर एक सांख्यिकीय आबादी को चिह्नित करना है जिसमें अल्पसंख्यक इकाइयां शामिल हैं। औसत मूल्य बड़ी संख्या के कानून से निकटता से संबंधित हैं। इस निर्भरता का सार इस तथ्य में निहित है कि बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, सामान्य आंकड़ों से यादृच्छिक विचलन एक दूसरे को रद्द कर देते हैं और औसतन, एक सांख्यिकीय नियमितता है अधिक स्पष्ट रूप से प्रकट हुआ।
औसत मूल्य एक सामान्यीकरण संकेतक है जो स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में घटना के विशिष्ट स्तर की विशेषता है। यह जनसंख्या की प्रत्येक इकाई के लिए विशिष्ट, विशेषता के स्तर को व्यक्त करता है।
औसत केवल सजातीय घटना के लिए एक उद्देश्य विशेषता है। विषम आबादी के औसत को व्यापक कहा जाता है और इसका उपयोग केवल सजातीय आबादी के आंशिक औसत के संयोजन में किया जा सकता है।
औसत का उपयोग सांख्यिकीय अध्ययनों में एक घटना के वर्तमान स्तर का आकलन करने के लिए, एक ही आधार पर कई आबादी की एक दूसरे के साथ तुलना करने के लिए, समय के साथ अध्ययन के तहत घटना के विकास की गतिशीलता का अध्ययन करने के लिए, घटना के संबंध का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
विभिन्न नियोजित, पूर्वानुमान, वित्तीय गणनाओं में औसत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
औसत मूल्यों का मुख्य मूल्य उनका सामान्यीकरण कार्य है, अर्थात। एक विशेषता के विभिन्न व्यक्तिगत मूल्यों के एक सेट को एक औसत मूल्य से बदलना जो घटना के पूरे सेट की विशेषता है। हर कोई आधुनिक लोगों के विकास की विशेषताओं को जानता है, जो अन्य बातों के अलावा, एक ही उम्र में माताओं की तुलना में पिता, बेटियों की तुलना में बेटों की उच्च वृद्धि में प्रकट होते हैं। लेकिन इस घटना को कैसे मापें?
विभिन्न परिवारों में, पुरानी और युवा पीढ़ियों की वृद्धि के अनुपात बहुत भिन्न होते हैं। हर बेटा अपने पिता से ऊंचा नहीं होता, और हर बेटी अपनी मां से ऊंची नहीं होती। लेकिन अगर हम कई हजारों लोगों की औसत ऊंचाई को मापते हैं, तो बेटे और पिता, बेटियों और माताओं की औसत ऊंचाई से, त्वरण के तथ्य और एक पीढ़ी में ऊंचाई में सामान्य औसत वृद्धि दोनों को सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता है।
एक निश्चित प्रकार और गुणवत्ता के सामान की समान मात्रा के उत्पादन के लिए, विभिन्न निर्माता (कारखाने, फर्म) श्रम और भौतिक संसाधनों की असमान मात्रा खर्च करते हैं। लेकिन बाजार इन लागतों को औसत करता है, और माल की लागत उत्पादन के लिए संसाधनों की औसत खपत से निर्धारित होती है।
अलग-अलग वर्षों में एक ही दिन ग्लोब के एक निश्चित बिंदु पर मौसम बहुत भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, 31 मार्च को सेंट पीटर्सबर्ग में, सौ से अधिक वर्षों के अवलोकन के लिए हवा का तापमान 1883 में -20.1 ° से 1920 में +12.24 ° तक था। वर्ष के अन्य दिनों में लगभग समान उतार-चढ़ाव होता है। किसी भी मनमाने वर्ष में ऐसे व्यक्तिगत मौसम के आंकड़ों के अनुसार, सेंट पीटर्सबर्ग की जलवायु का अंदाजा लगाना असंभव है। जलवायु विशेषताएँ लंबी अवधि में औसत मौसम विशेषताएँ हैं - हवा का तापमान, आर्द्रता, हवा की गति, वर्षा की मात्रा, प्रति सप्ताह धूप के घंटों की संख्या, महीने और पूरे वर्ष, आदि।
यदि औसत मूल्य किसी विशेषता के गुणात्मक रूप से सजातीय मूल्यों को सामान्यीकृत करता है, तो यह किसी दी गई आबादी में एक विशेषता की विशिष्ट विशेषता है। इसलिए, हम 1973 में पैदा हुई रूसी लड़कियों की विशिष्ट वृद्धि को मापने के बारे में बात कर सकते हैं जब वे 20 वर्ष की आयु तक पहुँचती हैं। एक विशिष्ट विशेषता स्तनपान के पहले वर्ष में प्रति दिन 12.5 फीड यूनिट की दर से श्वेत-श्याम गायों से औसत दूध की उपज होगी।
हालांकि, इस विशेषता के संदर्भ में सजातीय आबादी में सुविधाओं के विशिष्ट मूल्यों की विशेषताओं के लिए औसत मूल्यों की भूमिका को कम करना गलत है। व्यवहार में, अधिक बार आधुनिक आँकड़े औसत मूल्यों का उपयोग करते हैं जो स्पष्ट रूप से विषम घटनाओं को सामान्य करते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, पूरे रूस में सभी अनाज फसलों की उपज। या प्रति व्यक्ति मांस की औसत खपत के रूप में इस तरह के औसत पर विचार करें: आखिरकार, इस आबादी में एक वर्ष से कम उम्र के बच्चे हैं जो मांस का सेवन बिल्कुल नहीं करते हैं, और शाकाहारी, और नॉर्थईटर, और दक्षिणी, खनिक, एथलीट और पेंशनभोगी। प्रति व्यक्ति औसत राष्ट्रीय आय के रूप में इस तरह के औसत संकेतक की असामान्यता और भी अधिक स्पष्ट है।
औसत प्रति व्यक्ति राष्ट्रीय आय, पूरे देश में औसत अनाज उपज, विभिन्न खाद्य उत्पादों की औसत खपत - ये एक एकल आर्थिक प्रणाली के रूप में राज्य की विशेषताएं हैं, ये तथाकथित सिस्टम औसत हैं।
सिस्टम औसत दोनों स्थानिक या वस्तु प्रणालियों को चिह्नित कर सकते हैं जो एक साथ मौजूद हैं (राज्य, उद्योग, क्षेत्र, ग्रह पृथ्वी, आदि) और गतिशील सिस्टम समय (वर्ष, दशक, मौसम, आदि) में विस्तारित हैं।
सिस्टम औसत का एक उदाहरण समय की अवधि को दर्शाता है, 1992 के लिए सेंट पीटर्सबर्ग में औसत हवा का तापमान +6.3 डिग्री के बराबर है। यह औसत ठंढे सर्दियों के दिनों और रातों, गर्म गर्मी के दिनों, वसंत और शरद ऋतु के अत्यंत विषम तापमानों को सारांशित करता है। 1992 एक गर्म वर्ष था, इसका औसत तापमान सेंट पीटर्सबर्ग के लिए विशिष्ट नहीं है। शहर में एक सामान्य औसत वार्षिक वायु तापमान के रूप में, 1963 से 1992 तक 30 वर्षों के लिए दीर्घकालिक औसत का उपयोग करना चाहिए, जो +5.05° के बराबर है। यह औसत एक विशिष्ट औसत है, क्योंकि यह सजातीय मात्राओं का सामान्यीकरण करता है; एक ही भौगोलिक बिंदु का औसत वार्षिक तापमान, 1976 में +2.90° से 30 वर्षों में भिन्न होकर 1989 में +7.44° हो गया
सांख्यिकीय प्रसंस्करण के चरण में, विभिन्न प्रकार के शोध कार्य निर्धारित किए जा सकते हैं, जिनके समाधान के लिए उपयुक्त औसत चुनना आवश्यक है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है: औसत के अंश और हर का प्रतिनिधित्व करने वाले मान तार्किक रूप से एक दूसरे से संबंधित होने चाहिए।
- बिजली औसत;
- संरचनात्मक औसत।
आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
वे मान जिनके लिए औसत की गणना की जाती है;
औसत, जहां ऊपर की रेखा इंगित करती है कि व्यक्तिगत मूल्यों का औसत होता है;
आवृत्ति (व्यक्तिगत विशेषता मूल्यों की दोहराव)।
विभिन्न साधन सामान्य शक्ति माध्य सूत्र से प्राप्त होते हैं:
(5.1)
k = 1 के लिए - अंकगणितीय माध्य; के = -1 - हार्मोनिक माध्य; के = 0 - ज्यामितीय माध्य; k = -2 - मूल माध्य वर्ग।
औसत या तो सरल या भारित होते हैं।
भारित औसतवे मात्राएँ कहलाती हैं जो इस बात को ध्यान में रखती हैं कि विशेषता के मूल्यों के कुछ प्रकारों में भिन्न संख्याएँ हो सकती हैं, और इसलिए प्रत्येक संस्करण को इस संख्या से गुणा करना पड़ता है। दूसरे शब्दों में, "वजन" विभिन्न समूहों में जनसंख्या इकाइयों की संख्या है, अर्थात। प्रत्येक विकल्प इसकी आवृत्ति से "भारित" होता है। आवृत्ति f को सांख्यिकीय भार कहा जाता है या वजन औसत.
यह ज्ञात है कि लेनदेन 5 दिनों (5 लेनदेन) के भीतर किया गया था, बिक्री दर पर बेचे गए शेयरों की संख्या निम्नानुसार वितरित की गई थी:
1 - 800 ए.सी. - 1010 रूबल
2 - 650 ए.सी. - 990 रगड़।
3 - 700 एके। - 1015 रूबल।
4 - 550 ए.सी. - 900 रगड़।
5 - 850 एके। - 1150 रूबल।
औसत शेयर मूल्य निर्धारित करने के लिए प्रारंभिक अनुपात लेनदेन की कुल राशि (टीसीए) और बेचे गए शेयरों की संख्या (केपीए) का अनुपात है:
ओएसएस = 1010 800 + 990 650 + 1015 700+900 550+1150 850 = 3 634 500;
सीपीए = 800+650+700+550+850=3550।
इस मामले में, शेयरों की औसत कीमत बराबर थी:
अंकगणित माध्य के गुणों को जानना आवश्यक है, जो इसके उपयोग और गणना दोनों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। तीन मुख्य गुण हैं जो सबसे अधिक सांख्यिकीय और आर्थिक गणना में अंकगणितीय माध्य के व्यापक उपयोग के लिए प्रेरित करते हैं।
संपत्ति एक (शून्य): किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के उसके औसत मूल्य से सकारात्मक विचलन का योग नकारात्मक विचलन के योग के बराबर होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण गुण है, क्योंकि यह दर्शाता है कि यादृच्छिक कारणों से किसी भी विचलन (+ और साथ - दोनों) को पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया जाएगा।
प्रमाण:
संपत्ति दो (न्यूनतम): अंकगणित माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का योग किसी भी अन्य संख्या (ए) से कम है, अर्थात। न्यूनतम संख्या है।
प्रमाण।
चर a से वर्ग विचलन का योग लिखें:
(5.4)
इस फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, इसके व्युत्पन्न को शून्य के संबंध में समान करना आवश्यक है:
यहाँ से हमें मिलता है:
(5.5)
इसलिए, वर्ग विचलन के योग के चरम पर पहुँच जाता है। यह चरम न्यूनतम है, क्योंकि फ़ंक्शन में अधिकतम नहीं हो सकता है।
संपत्ति तीन: एक स्थिरांक का अंकगणितीय माध्य इस स्थिरांक के बराबर होता है: a = स्थिरांक पर।
अंकगणित माध्य के इन तीन सबसे महत्वपूर्ण गुणों के अलावा, तथाकथित हैं डिजाइन गुण, जो इलेक्ट्रानिक कम्प्यूटरों के प्रयोग के कारण धीरे-धीरे अपना महत्व खोते जा रहे हैं :
- यदि प्रत्येक इकाई की विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य को एक स्थिर संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य उसी राशि से बढ़ेगा या घटेगा;
- यदि प्रत्येक विशेषता मान के भार (आवृत्ति) को एक स्थिर संख्या से विभाजित किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा;
- यदि प्रत्येक इकाई की विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को एक ही राशि से घटाया या बढ़ाया जाए, तो अंकगणितीय माध्य उसी राशि से घटेगा या बढ़ेगा।
औसत हार्मोनिक. इस औसत को पारस्परिक अंकगणितीय औसत कहा जाता है, क्योंकि इस मान का उपयोग तब किया जाता है जब k = -1 होता है।
सरल हार्मोनिक माध्यका प्रयोग तब किया जाता है जब अभिलक्षणिक मानों का भार समान हो। इसका सूत्र k = -1 को प्रतिस्थापित करके आधार सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है:
उदाहरण के लिए, हमें दो कारों की औसत गति की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्होंने एक ही पथ पर यात्रा की है, लेकिन अलग-अलग गति से: पहली 100 किमी/घंटा पर, दूसरी 90 किमी/घंटा पर।
हार्मोनिक माध्य विधि का उपयोग करके, हम औसत गति की गणना करते हैं:
सांख्यिकीय अभ्यास में, हार्मोनिक भारित अधिक बार उपयोग किया जाता है, जिसका सूत्र है:
इस सूत्र का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां प्रत्येक विशेषता के लिए भार (या घटना की मात्रा) समान नहीं होते हैं। मूल अनुपात में, अंश औसत की गणना करने के लिए जाना जाता है, लेकिन भाजक अज्ञात है।
उदाहरण के लिए, औसत मूल्य की गणना करते समय, हमें बेची गई राशि के अनुपात का उपयोग बेची गई इकाइयों की संख्या से करना चाहिए। हम बेची गई इकाइयों की संख्या नहीं जानते (हम विभिन्न वस्तुओं के बारे में बात कर रहे हैं), लेकिन हम इन विभिन्न वस्तुओं की बिक्री का योग जानते हैं।
मान लीजिए कि आप बेची गई वस्तुओं की औसत कीमत का पता लगाना चाहते हैं:
हम पाते हैं
यदि आप यहां अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं, तो आप एक औसत मूल्य प्राप्त कर सकते हैं जो अवास्तविक होगा:
जियोमेट्रिक माध्य. सबसे अधिक बार, ज्यामितीय माध्य औसत विकास दर (औसत वृद्धि दर) निर्धारित करने में अपना आवेदन पाता है, जब विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को सापेक्ष मूल्यों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब किसी विशेषता के न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों (उदाहरण के लिए, 100 और 1000000 के बीच) के बीच औसत खोजना आवश्यक हो। सरल और भारित ज्यामितीय माध्य के लिए सूत्र हैं।
एक साधारण ज्यामितीय माध्य के लिए:
भारित ज्यामितीय माध्य के लिए:
आरएमएस. इसके आवेदन का मुख्य दायरा जनसंख्या में एक विशेषता की भिन्नता का माप है (मानक विचलन की गणना)।
सरल मूल माध्य वर्ग सूत्र:
भारित माध्य वर्ग सूत्र:
(5.11)
परिणामस्वरूप, हम कह सकते हैं कि सांख्यिकीय अनुसंधान की समस्याओं का सफल समाधान प्रत्येक विशिष्ट मामले में औसत मूल्य के प्रकार के सही चुनाव पर निर्भर करता है।
औसत का चुनाव निम्नलिखित अनुक्रम मानता है:
ए) जनसंख्या के सामान्यीकरण संकेतक की स्थापना;
बी) किसी दिए गए सामान्यीकरण संकेतक के लिए मूल्यों के गणितीय अनुपात का निर्धारण;
ग) औसत मूल्यों द्वारा व्यक्तिगत मूल्यों का प्रतिस्थापन;
डी) संबंधित समीकरण का उपयोग करके औसत की गणना।
