उनकी संभावनाओं और संबंधित सशर्त संभावनाओं को ज्ञात होने दें। तब घटना के घटित होने की प्रायिकता है:

इस सूत्र को कहा जाता है कुल संभावना सूत्र. पाठ्यपुस्तकों में, यह एक प्रमेय द्वारा तैयार किया जाता है, जिसका प्रमाण प्राथमिक है: के अनुसार घटना बीजगणित, (घटना हुई और याएक घटना हुई औरघटना आने के बाद याएक घटना हुई औरघटना आने के बाद या …. याएक घटना हुई औरघटना के बाद). परिकल्पनाओं के बाद से असंगत हैं, और घटना निर्भर है, तो के अनुसार असंगत घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय (पहला कदम)और आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय (दूसरा कदम):

शायद, कई लोग पहले उदाहरण की सामग्री का अनुमान लगाते हैं =)

जहाँ भी थूकते हो - हर जगह कलश:

कार्य 1

तीन समान कलश हैं। पहले कलश में 4 सफेद और 7 काली गेंदें हैं, दूसरे कलश में केवल सफेद गेंदें हैं, और तीसरे कलश में केवल काली गेंदें हैं। एक कलश यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। इस गेंद के काले होने की क्या प्रायिकता है?

फेसला: घटना पर विचार करें - बेतरतीब ढंग से चुने गए कलश से एक काली गेंद निकाली जाएगी। यह घटना निम्नलिखित में से किसी एक परिकल्पना के कार्यान्वयन के परिणामस्वरूप हो सकती है:
- पहले कलश का चयन किया जाएगा;
- दूसरा कलश चुना जाएगा;
- तीसरा कलश चुना जाएगा।

चूंकि कलश यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, इसलिए तीन कलशों में से किसी एक का चुनाव समान रूप से संभव, इस तरह:

ध्यान दें कि उपरोक्त परिकल्पनाएँ बनती हैं घटनाओं का पूरा समूह, अर्थात्, शर्त के अनुसार, एक काली गेंद केवल इन कलशों से प्रकट हो सकती है, और, उदाहरण के लिए, बिलियर्ड टेबल से नहीं उड़ सकती है। आइए एक साधारण मध्यवर्ती जाँच करें:
ठीक है, आगे बढ़ते हैं:

पहले कलश में 4 सफेद + 7 काली = 11 गेंदें हैं शास्त्रीय परिभाषा:
काली गेंद निकालने की प्रायिकता है मान लीजियेकि 1 कलश का चयन किया जाएगा।

दूसरे कलश में केवल सफेद गेंदें हैं, इसलिए अगर चुना गयाकाली गेंद का रूप बन जाता है असंभव: .

और, अंत में, तीसरे कलश में केवल काली गेंदें होती हैं, जिसका अर्थ है कि संबंधित सशर्त संभाव्यताकाली गेंद का निष्कर्षण होगा (घटना निश्चित है).

यादृच्छिक रूप से चुने गए कलश से एक काली गेंद निकाले जाने की प्रायिकता है।

जवाब:

विश्लेषित उदाहरण फिर बताता है कि स्थिति को समझना कितना महत्वपूर्ण है। आइए समान समस्याओं को कलश और गेंदों के साथ लें - उनकी बाहरी समानता के साथ, हल करने के तरीके पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं: कहीं न कहीं इसे केवल लागू करने की आवश्यकता होती है संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, कहीं घटना स्वतंत्र, कहीं आश्रित, और कहीं न कहीं हम परिकल्पनाओं के बारे में बात कर रहे हैं। साथ ही, समाधान पथ चुनने के लिए कोई स्पष्ट औपचारिक मानदंड नहीं है - आपको लगभग हमेशा इसके बारे में सोचने की आवश्यकता होती है। अपने कौशल में सुधार कैसे करें? हम हल करते हैं, हम हल करते हैं और हम फिर से हल करते हैं!

टास्क 2

शूटिंग रेंज में 5 अलग-अलग राइफलें हैं। किसी दिए गए शूटर के लिए लक्ष्य को मारने की संभावनाएं क्रमशः 0.5 के बराबर होती हैं; 0.55; 0.7; 0.75 और 0.4। यदि शूटर बेतरतीब ढंग से चुनी गई राइफल से एक शॉट फायर करता है तो लक्ष्य को मारने की संभावना क्या है?

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

अधिकांश विषयगत समस्याओं में, परिकल्पनाएँ, निश्चित रूप से, समान रूप से संभावित नहीं हैं:

टास्क 3

पिरामिड में 5 राइफलें हैं, जिनमें से तीन ऑप्टिकल दृष्टि से सुसज्जित हैं। दूरबीन की दृष्टि से राइफल से दागे जाने पर निशानेबाज के निशाने पर लगने की संभावना 0.95 है; एक दूरबीन दृष्टि के बिना राइफल के लिए, यह संभावना 0.7 है। यदि शूटर यादृच्छिक रूप से ली गई राइफल से एक शॉट फायर करता है तो लक्ष्य हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला: इस समस्या में, राइफलों की संख्या पिछले एक की तरह ही है, लेकिन केवल दो परिकल्पनाएं हैं:
- शूटर ऑप्टिकल दृष्टि से राइफल का चयन करेगा;
- शूटर बिना टेलीस्कोपिक दृष्टि के राइफल का चयन करेगा।
द्वारा संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा: .
नियंत्रण:

घटना पर विचार करें: - शूटर बेतरतीब ढंग से चुनी गई राइफल से लक्ष्य को हिट करता है।
शर्त के अनुसार: .

कुल संभावना सूत्र के अनुसार:

जवाब: 0,85

व्यवहार में, किसी कार्य को डिजाइन करने का एक छोटा तरीका, जिससे आप भी परिचित हैं, काफी स्वीकार्य है:

फेसला: शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार: क्रमशः ऑप्टिकल दृष्टि के साथ और बिना राइफल चुनने की प्रायिकताएँ हैं।

शर्त से, - संबंधित प्रकार की राइफलों से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता।

कुल संभावना सूत्र के अनुसार:
संभावना है कि शूटर बेतरतीब ढंग से चुनी गई राइफल से निशाने पर लगेगा।

जवाब: 0,85

एक स्वतंत्र समाधान के लिए निम्नलिखित कार्य:

टास्क 4

इंजन तीन मोड में काम करता है: सामान्य, मजबूर और निष्क्रिय। निष्क्रिय मोड में, इसकी विफलता की संभावना 0.05 है, सामान्य मोड में - 0.1, और मजबूर मोड में - 0.7। 70% बार इंजन सामान्य मोड में चलता है, और 20% मजबूर मोड में। ऑपरेशन के दौरान इंजन के खराब होने की प्रायिकता क्या है?

बस मामले में, मैं आपको याद दिला दूं - संभावनाएं प्राप्त करने के लिए, प्रतिशत को 100 से विभाजित किया जाना चाहिए। बहुत सावधान रहें! मेरी टिप्पणियों के अनुसार, कुल संभावना सूत्र के लिए समस्याओं की स्थितियों को अक्सर भ्रमित करने की कोशिश की जाती है; और मैंने विशेष रूप से ऐसा उदाहरण चुना है। मैं आपको एक रहस्य बताता हूँ - मैं लगभग खुद ही भ्रमित हो गया =)

पाठ के अंत में समाधान (संक्षेप में तैयार किया गया)

बेयस फ़ार्मुलों के लिए समस्याएं

सामग्री पिछले पैराग्राफ की सामग्री से निकटता से संबंधित है। घटना को एक परिकल्पना के कार्यान्वयन के परिणामस्वरूप घटित होने दें . किसी विशेष परिकल्पना के घटित होने की प्रायिकता का निर्धारण कैसे करें?

मान लीजियेवह घटना चुका है, परिकल्पना की संभावनाएं अधिक अनुमानितअंग्रेजी पुजारी थॉमस बेयस का नाम प्राप्त करने वाले सूत्रों के अनुसार:

- संभावना है कि परिकल्पना हुई थी;
- संभावना है कि परिकल्पना हुई थी;
…
संभावना है कि परिकल्पना सच थी।

पहली नज़र में, यह पूरी तरह से बेतुका लगता है - यदि वे पहले से ही ज्ञात हैं, तो परिकल्पनाओं की संभावनाओं की पुनर्गणना क्यों करें? लेकिन वास्तव में एक अंतर है:

- यह संभवतः(अनुमानित इससे पहलेपरीक्षण) संभावनाएं।

- यह वापस(अनुमानित बादपरीक्षण) एक ही परिकल्पना की संभावनाएं, "नई खोजी गई परिस्थितियों" के संबंध में पुनर्गणना - इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि घटना हो गई.

आइए इस अंतर को एक विशिष्ट उदाहरण के साथ देखें:

टास्क 5

गोदाम को उत्पादों के 2 बैच प्राप्त हुए: पहला - 4000 टुकड़े, दूसरा - 6000 टुकड़े। पहले बैच में गैर-मानक उत्पादों का औसत प्रतिशत 20% है, और दूसरे में - 10%। गोदाम से बेतरतीब ढंग से लिया गया, उत्पाद मानक निकला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह है: a) पहले बैच से, b) दूसरे बैच से।

पहला भाग समाधानकुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना शामिल है। दूसरे शब्दों में, गणना इस धारणा के तहत की जाती है कि परीक्षण अभी तक उत्पादित नहींऔर घटना "उत्पाद मानक निकला"जब तक यह नहीं आता।

आइए दो परिकल्पनाओं पर विचार करें:
- यादृच्छिक रूप से लिया गया उत्पाद पहले बैच से होगा;
- यादृच्छिक रूप से लिया गया उत्पाद दूसरे बैच का होगा।

कुल: 4000 + 6000 = 10000 आइटम स्टॉक में। शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
.

नियंत्रण:

आश्रित घटना पर विचार करें: - गोदाम से यादृच्छिक रूप से ली गई वस्तु मर्जीमानक।

पहले बैच में 100% - 20% = 80% मानक उत्पाद, इसलिए: मान लीजियेकि यह पहली पार्टी से संबंधित है।

इसी प्रकार दूसरे बैच में 100% - 10% = 90% मानक उत्पाद और संभावना है कि गोदाम में बेतरतीब ढंग से चुनी गई वस्तु एक मानक वस्तु होगी मान लीजियेकि यह 2nd पार्टी से संबंधित है।

कुल संभावना सूत्र के अनुसार:
संभावना है कि गोदाम से यादृच्छिक रूप से चुना गया उत्पाद एक मानक उत्पाद होगा।

भाग दो। मान लीजिए कि गोदाम से यादृच्छिक रूप से लिया गया उत्पाद मानक निकला। यह वाक्यांश सीधे शर्त में लिखा गया है, और यह इस तथ्य को बताता है कि घटना हो गई.

बेयस के सूत्रों के अनुसार:

ए) - संभावना है कि चयनित मानक उत्पाद 1 बैच से संबंधित है;

बी) - संभावना है कि चयनित मानक उत्पाद दूसरे बैच से संबंधित है।

बाद में पुनर्मूल्यांकनपरिकल्पनाएँ, निश्चित रूप से, अभी भी बनती हैं पूरा समूह:
(इंतिहान;-))

जवाब:

इवान वासिलीविच, जिन्होंने अपना पेशा फिर से बदल दिया और संयंत्र के निदेशक बन गए, हमें परिकल्पनाओं के पुनर्मूल्यांकन के अर्थ को समझने में मदद करेंगे। वह जानता है कि आज पहली दुकान ने 4000 आइटम गोदाम में भेजे हैं, और दूसरी दुकान - 6000 उत्पाद, और वह यह सुनिश्चित करने के लिए आता है। मान लीजिए कि सभी उत्पाद एक ही प्रकार के हैं और एक ही कंटेनर में हैं। स्वाभाविक रूप से, इवान वासिलीविच ने पहले गणना की थी कि अब वह जिस उत्पाद को सत्यापन के लिए हटा देगा, वह सबसे अधिक संभावना 1 कार्यशाला द्वारा और दूसरे द्वारा संभावना के साथ उत्पादित किया जाएगा। लेकिन चयनित वस्तु के मानक होने के बाद, वह कहता है: “क्या अच्छा बोल्ट है! - बल्कि इसे दूसरी कार्यशाला द्वारा जारी किया गया था। इस प्रकार, दूसरी परिकल्पना की संभावना को बेहतर के लिए कम करके आंका जाता है, और पहली परिकल्पना की संभावना को कम करके आंका जाता है:। और यह overestimation अनुचित नहीं है - आखिरकार, दूसरी कार्यशाला ने न केवल अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, बल्कि 2 गुना बेहतर काम भी किया!

आप कहते हैं, शुद्ध विषयवाद? आंशिक रूप से - हाँ, इसके अलावा, बेयस ने स्वयं व्याख्या की वापससंभावनाओं के रूप में विश्वास स्तर. हालांकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है - बायेसियन दृष्टिकोण में एक वस्तुनिष्ठ अनाज है। आखिरकार, उत्पाद के मानक होने की संभावना (क्रमशः पहली और दूसरी दुकानों के लिए 0.8 और 0.9)यह प्रारंभिक(एक प्राथमिकता) और मध्यमअनुमान। लेकिन, दार्शनिक रूप से बोलते हुए, सब कुछ बहता है, सब कुछ बदलता है, जिसमें संभावनाएं भी शामिल हैं। बहुत संभव है कि अध्ययन के समयअधिक सफल दूसरी दुकान ने मानक उत्पादों का प्रतिशत बढ़ाया (और/या पहली दुकान कम हो गई), और यदि आप स्टॉक में अधिक या सभी 10 हजार वस्तुओं की जांच करते हैं, तो अधिक अनुमानित मूल्य सच्चाई के बहुत करीब होंगे।

वैसे, अगर इवान वासिलीविच एक गैर-मानक भाग निकालता है, तो इसके विपरीत - वह पहली दुकान को कम से कम "संदिग्ध" करेगा - दूसरा। मेरा सुझाव है कि आप इसे अपने लिए देखें:

टास्क 6

गोदाम को उत्पादों के 2 बैच प्राप्त हुए: पहला - 4000 टुकड़े, दूसरा - 6000 टुकड़े। पहले बैच में गैर-मानक उत्पादों का औसत प्रतिशत 20% है, दूसरे में - 10%। गोदाम से यादृच्छिक रूप से लिया गया एक उत्पाद निकला नहींमानक। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह है: a) पहले बैच से, b) दूसरे बैच से।

स्थिति को दो अक्षरों से अलग किया जाएगा, जिन्हें मैंने बोल्ड में हाइलाइट किया है। समस्या को खरोंच से हल किया जा सकता है, या आप पिछली गणनाओं के परिणामों का उपयोग कर सकते हैं। नमूने में, मैंने एक पूर्ण समाधान किया, लेकिन कार्य संख्या 5 के साथ औपचारिक ओवरले से बचने के लिए, घटना "गोदाम से यादृच्छिक रूप से लिया गया उत्पाद गैर-मानक होगा"से चिह्नित ।

संभावनाओं के पुनर्मूल्यांकन की बायेसियन योजना हर जगह पाई जाती है, और इसका विभिन्न प्रकार के स्कैमर द्वारा सक्रिय रूप से शोषण भी किया जाता है। एक तीन-अक्षर वाली संयुक्त स्टॉक कंपनी पर विचार करें जो एक घरेलू नाम बन गई है, जो आबादी से जमा को आकर्षित करती है, कथित तौर पर उन्हें कहीं निवेश करती है, नियमित रूप से लाभांश का भुगतान करती है, आदि। क्या हो रहा है? दिन-ब-दिन, महीने दर महीने बीतते जाते हैं, और अधिक से अधिक नए तथ्य, विज्ञापन और वर्ड ऑफ माउथ के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं, केवल वित्तीय पिरामिड में आत्मविश्वास के स्तर को बढ़ाते हैं। (पिछली घटनाओं के कारण पश्च बायेसियन पुनर्मूल्यांकन!). यानी जमाकर्ताओं की नजर में इस बात की संभावना लगातार बढ़ रही है कि "यह एक गंभीर कार्यालय है"; जबकि विपरीत परिकल्पना की संभावना ("ये नियमित स्कैमर हैं")बेशक, घटता और घटता है। बाकी, मुझे लगता है, स्पष्ट है। यह उल्लेखनीय है कि अर्जित प्रतिष्ठा आयोजकों को इवान वासिलीविच से सफलतापूर्वक छिपाने का समय देती है, जो न केवल बोल्ट के एक बैच के बिना, बल्कि बिना पैंट के भी रह गए थे।

हम थोड़ी देर बाद कम दिलचस्प उदाहरणों पर लौटेंगे, लेकिन अभी के लिए, शायद तीन परिकल्पनाओं के साथ सबसे आम मामला अगली पंक्ति में है:

टास्क 7

बिजली के लैंप तीन कारखानों में निर्मित होते हैं। पहला संयंत्र लैंप की कुल संख्या का 30%, दूसरा - 55%, और तीसरा - बाकी का उत्पादन करता है। पहले संयंत्र के उत्पादों में 1% दोषपूर्ण लैंप, दूसरा - 1.5%, तीसरा - 2% होता है। स्टोर को तीनों कारखानों से उत्पाद प्राप्त होते हैं। मैंने जो लैम्प खरीदा वह खराब था। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संयंत्र 2 द्वारा उत्पादित किया गया था?

ध्यान दें कि स्थिति में बेयस सूत्रों की समस्याओं में आवश्यक रूप सेकुछ क्या हुआएक घटना, इस मामले में, एक दीपक की खरीद।

घटनाओं में वृद्धि हुई है और फेसला"तेज़" शैली में व्यवस्थित करना अधिक सुविधाजनक है।

एल्गोरिथ्म बिल्कुल वैसा ही है: पहले चरण में, हम इस संभावना को पाते हैं कि खरीदा हुआ दीपक होगा होगादोषपूर्ण।

प्रारंभिक डेटा का उपयोग करके, हम प्रतिशत को संभावनाओं में अनुवाद करते हैं:
इसकी प्रायिकता है कि लैम्प का उत्पादन क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी फैक्ट्रियों द्वारा किया जाता है।
नियंत्रण:

इसी प्रकार:- संबंधित कारखानों में खराब लैम्प के निर्माण की प्रायिकता।

कुल संभावना सूत्र के अनुसार:

- खरीदे गए लैंप के खराब होने की प्रायिकता।

दूसरा चरण। खरीदे गए लैंप को खराब होने दें (घटना हुई)

बेयस सूत्र के अनुसार:
- संभावना है कि खरीदा गया दोषपूर्ण लैंप दूसरे कारखाने द्वारा निर्मित है

जवाब:

पुनर्मूल्यांकन के बाद दूसरी परिकल्पना की प्रारंभिक संभावना क्यों बढ़ गई? आखिरकार, दूसरा संयंत्र औसत गुणवत्ता के लैंप का उत्पादन करता है (पहला वाला बेहतर है, तीसरा खराब है)। तो क्यों बढ़ गया वापसइसकी प्रायिकता है कि खराब लैम्प दूसरे कारखाने का है? यह अब "प्रतिष्ठा" के कारण नहीं है, बल्कि आकार के कारण है। चूंकि प्लांट नंबर 2 ने सबसे बड़ी संख्या में लैंप का उत्पादन किया, इसलिए वे इसे दोष देते हैं (कम से कम व्यक्तिपरक): "सबसे अधिक संभावना है, यह दोषपूर्ण दीपक वहीं से है".

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि पहली और तीसरी परिकल्पना की संभावनाओं को अपेक्षित दिशाओं में कम करके आंका गया और बराबर हो गई:

नियंत्रण: जिसका सत्यापन किया जाना था।

वैसे, कम करके आंका और कम करके आंका गया है:

टास्क 8

छात्र समूह में, 3 लोगों के पास उच्च स्तर का प्रशिक्षण है, 19 लोगों का औसत स्तर है और 3 लोगों का स्तर निम्न है। इन छात्रों के लिए सफलतापूर्वक परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकताएँ क्रमशः हैं: 0.95; 0.7 और 0.4। ज्ञात हुआ है कि किसी छात्र ने परीक्षा उत्तीर्ण की है। क्या संभावना है कि:

ए) वह बहुत अच्छी तरह से तैयार था;
बी) मध्यम रूप से तैयार किया गया था;
ग) खराब तरीके से तैयार किया गया था।

गणना करें और परिकल्पना के पुनर्मूल्यांकन के परिणामों का विश्लेषण करें।

कार्य वास्तविकता के करीब है और अंशकालिक छात्रों के एक समूह के लिए विशेष रूप से प्रशंसनीय है, जहां शिक्षक व्यावहारिक रूप से इस या उस छात्र की क्षमताओं को नहीं जानता है। इस मामले में, परिणाम काफी अप्रत्याशित परिणाम पैदा कर सकता है। (विशेषकर प्रथम सेमेस्टर की परीक्षा के लिए). यदि खराब तैयारी वाला छात्र टिकट पाने के लिए पर्याप्त भाग्यशाली है, तो शिक्षक उसे एक अच्छा छात्र या एक मजबूत छात्र भी मान सकता है, जो भविष्य में अच्छा लाभांश लाएगा। (बेशक, आपको "बार बढ़ाने" और अपनी छवि बनाए रखने की आवश्यकता है). यदि एक छात्र ने 7 दिनों और 7 रातों के लिए अध्ययन किया, तंग किया, दोहराया, लेकिन वह बस अशुभ था, तो आगे की घटनाएं सबसे खराब तरीके से विकसित हो सकती हैं - कई रीटेक और प्रस्थान के कगार पर संतुलन के साथ।

कहने की जरूरत नहीं है, प्रतिष्ठा सबसे महत्वपूर्ण पूंजी है, यह कोई संयोग नहीं है कि कई निगम अपने संस्थापक पिता के नाम रखते हैं, जिन्होंने 100-200 साल पहले व्यवसाय का नेतृत्व किया और अपनी त्रुटिहीन प्रतिष्ठा के लिए प्रसिद्ध हुए।

हाँ, बायेसियन दृष्टिकोण कुछ हद तक व्यक्तिपरक है, लेकिन ... इसी तरह जीवन काम करता है!

आइए सामग्री को एक अंतिम औद्योगिक उदाहरण के साथ समेकित करें, जिसमें मैं उस समाधान की तकनीकी सूक्ष्मताओं के बारे में बात करूंगा जो अभी तक सामने नहीं आई हैं:

टास्क 9

संयंत्र की तीन कार्यशालाएं एक ही प्रकार के भागों का उत्पादन करती हैं, जिन्हें असेंबली के लिए एक सामान्य कंटेनर में इकट्ठा किया जाता है। यह ज्ञात है कि पहली दुकान दूसरी दुकान से 2 गुना अधिक और तीसरी दुकान से 4 गुना अधिक उत्पादन करती है। पहली कार्यशाला में दोष 12% है, दूसरे में - 8%, तीसरे में - 4%। नियंत्रण के लिए कंटेनर से एक हिस्सा लिया जाता है। क्या संभावना है कि यह दोषपूर्ण होगा? इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए दोषपूर्ण भाग को तीसरी कार्यशाला द्वारा तैयार किया गया था?

तकी इवान वासिलीविच फिर से घोड़े पर सवार है =) फिल्म का सुखद अंत होना चाहिए =)

फेसला: कार्य संख्या 5-8 के विपरीत, यहां एक प्रश्न स्पष्ट रूप से पूछा जाता है, जिसे कुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है। लेकिन दूसरी ओर, स्थिति थोड़ी "एन्क्रिप्टेड" है, और सरलतम समीकरणों को लिखने का स्कूल कौशल हमें इस रिबस को हल करने में मदद करेगा। "X" के लिए सबसे छोटा मान लेना सुविधाजनक है:

आज्ञा देना तीसरी कार्यशाला द्वारा उत्पादित भागों का हिस्सा हो।

शर्त के अनुसार पहली वर्कशॉप तीसरी वर्कशॉप की तुलना में 4 गुना अधिक उत्पादन करती है, इसलिए पहली वर्कशॉप का हिस्सा है।

इसके अलावा, पहली कार्यशाला दूसरी कार्यशाला की तुलना में 2 गुना अधिक उत्पादों का उत्पादन करती है, जिसका अर्थ है कि बाद की हिस्सेदारी:।

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

इस प्रकार: - कंटेनर से निकाले गए भाग की प्रायिकता क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी कार्यशाला द्वारा जारी की गई थी।

नियंत्रण: । इसके अलावा, वाक्यांश को फिर से देखना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा "यह ज्ञात है कि पहली कार्यशाला दूसरी कार्यशाला की तुलना में 2 गुना अधिक और तीसरी कार्यशाला की तुलना में 4 गुना अधिक उत्पादों का उत्पादन करती है"और सुनिश्चित करें कि प्राप्त संभावनाएं वास्तव में इस स्थिति के अनुरूप हैं।

"X" के लिए शुरू में पहली या दूसरी दुकान का हिस्सा लेना संभव था - संभावनाएं समान होंगी। लेकिन, एक तरह से या किसी अन्य, सबसे कठिन खंड पारित किया गया है, और समाधान ट्रैक पर है:

स्थिति से हम पाते हैं:
- संबंधित कार्यशालाओं के लिए दोषपूर्ण भाग के निर्माण की संभावना।

कुल संभावना सूत्र के अनुसार:
संभावना है कि कंटेनर से बेतरतीब ढंग से निकाला गया हिस्सा गैर-मानक होगा।

प्रश्न दो: इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाला गया दोषपूर्ण भाग तीसरी दुकान द्वारा तैयार किया गया था? यह प्रश्न मानता है कि भाग पहले ही हटा दिया गया है और दोषपूर्ण पाया गया है। हम बेयस सूत्र का उपयोग करके परिकल्पना का पुनर्मूल्यांकन करते हैं:
वांछित संभावना है। काफी अपेक्षित - आखिरकार, तीसरी कार्यशाला न केवल भागों के सबसे छोटे हिस्से का उत्पादन करती है, बल्कि गुणवत्ता में भी आगे बढ़ती है!

इस मामले में, मुझे करना पड़ा चार मंजिला अंश को सरल बनाएं, जो बेयस फॉर्मूले की समस्याओं में काफी बार करना पड़ता है। लेकिन इस पाठ के लिए, मैंने किसी तरह गलती से ऐसे उदाहरण उठा लिए जिनमें साधारण अंशों के बिना कई गणनाएँ की जा सकती हैं।

चूंकि इस स्थिति में कोई "ए" और "बी" अंक नहीं हैं, इसलिए टेक्स्ट टिप्पणियों के साथ उत्तर देना बेहतर है:

जवाब: - संभावना है कि कंटेनर से हटाया गया हिस्सा खराब हो जाएगा; - संभावना है कि निकाले गए दोषपूर्ण भाग को तीसरी कार्यशाला द्वारा जारी किया गया था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुल संभाव्यता सूत्र और बेयस फ़ार्मुलों पर समस्याएं काफी सरल हैं, और, शायद, इस कारण से वे अक्सर उस स्थिति को जटिल बनाने की कोशिश करते हैं, जिसका मैंने पहले ही लेख की शुरुआत में उल्लेख किया था।

फ़ाइल में अतिरिक्त उदाहरण हैं F.P.V के लिए तैयार समाधान और बेयस सूत्र, इसके अलावा, शायद ऐसे लोग भी हैं जो अन्य स्रोतों में इस विषय से अधिक गहराई से परिचित होना चाहते हैं। और विषय वास्तव में बहुत दिलचस्प है - यह अकेले क्या लायक है बेयस विरोधाभास, जो रोज़मर्रा की सलाह की पुष्टि करता है कि यदि किसी व्यक्ति को एक दुर्लभ बीमारी का निदान किया जाता है, तो उसके लिए दूसरी और यहां तक ​​​​कि दो बार स्वतंत्र परीक्षाएं आयोजित करना समझ में आता है। ऐसा लगता है कि वे इसे पूरी तरह से हताशा में करते हैं ... - लेकिन नहीं! लेकिन दुख की बात नहीं करते।

संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र परीक्षा उत्तीर्ण करेगा।
छात्र को परीक्षा पास करने दें। बेयस के सूत्रों के अनुसार:
ए) - संभावना है कि परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्र ने बहुत अच्छी तरह से तैयार किया था। उद्देश्य प्रारंभिक संभावना को कम करके आंका गया है, क्योंकि लगभग हमेशा कुछ "औसत" प्रश्नों के साथ भाग्यशाली होते हैं और वे बहुत दृढ़ता से उत्तर देते हैं, जो त्रुटिहीन तैयारी की गलत धारणा देता है।
बी) यह संभावना है कि परीक्षा उत्तीर्ण करने वाला छात्र मध्यम रूप से तैयार था। प्रारंभिक संभावना थोड़ी अधिक अनुमानित हो जाती है, क्योंकि औसत स्तर की तैयारी वाले छात्र आमतौर पर बहुसंख्यक होते हैं, इसके अलावा, शिक्षक यहां असफल उत्तर "उत्कृष्ट छात्रों" और कभी-कभी खराब प्रदर्शन करने वाले छात्र को शामिल करेगा जो टिकट के साथ बहुत भाग्यशाली था।
में) - संभावना है कि परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्र खराब तरीके से तैयार हुए थे। बदतर के लिए प्रारंभिक संभावना को कम करके आंका गया था। आश्चर्य की बात नहीं।
इंतिहान:
जवाब :

दोनों मुख्य प्रमेयों का परिणाम - प्रायिकता योग प्रमेय और प्रायिकता गुणन प्रमेय - तथाकथित कुल प्रायिकता सूत्र है।

किसी एक घटना के साथ घटित होने वाली किसी घटना की प्रायिकता का निर्धारण करना आवश्यक है:

असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाना। हम इन घटनाओं को परिकल्पना कहेंगे।

आइए हम साबित करें कि इस मामले में

, (3.4.1)

वे। किसी घटना की प्रायिकता की गणना प्रत्येक परिकल्पना की प्रायिकता के गुणनफल और इस परिकल्पना के तहत घटना की प्रायिकता के योग के रूप में की जाती है।

सूत्र (3.4.1) को कुल प्रायिकता सूत्र कहा जाता है।

प्रमाण। चूंकि परिकल्पना एक पूर्ण समूह बनाती है, घटना केवल इनमें से किसी भी परिकल्पना के संयोजन में प्रकट हो सकती है:

चूंकि परिकल्पनाएं असंगत हैं, संयोजन असंगत भी; उन पर अतिरिक्त प्रमेय लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

घटना में गुणन प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

,

क्यू.ई.डी.

उदाहरण 1. तीन समान दिखने वाले कलश हैं; पहले कलश में दो सफेद और एक काली गेंद होती है; दूसरे में - तीन सफेद और एक काला; तीसरे में - दो सफेद और दो काली गेंदें। कोई यादृच्छिक रूप से कलशों में से एक चुनता है और उसमें से एक गेंद खींचता है। इस गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। आइए तीन परिकल्पनाओं पर विचार करें:

पहले कलश का चुनाव,

दूसरे कलश का चुनाव,

तीसरे कलश का चुनाव

और घटना एक सफेद गेंद की उपस्थिति है।

चूँकि परिकल्पना, समस्या की स्थिति के अनुसार, समान रूप से संभावित हैं, तो

.

इन परिकल्पनाओं के तहत घटना की सशर्त संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं:

कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार

.

उदाहरण 2. एक वायुयान पर तीन सिंगल शॉट दागे जाते हैं। पहले शॉट से टकराने की संभावना 0.4 है, दूसरे के साथ - 0.5, तीसरे के साथ 0.7। एक विमान को निष्क्रिय करने के लिए स्पष्ट रूप से तीन हिट पर्याप्त हैं; एक हिट के साथ, विमान 0.2 की संभावना के साथ, दो हिट के साथ, 0.6 की संभावना के साथ विफल हो जाता है। इस संभावना का पता लगाएं कि तीन शॉट्स के परिणामस्वरूप विमान को कार्रवाई से बाहर कर दिया जाएगा।

फेसला। आइए चार परिकल्पनाओं पर विचार करें:

विमान में एक भी गोला नहीं गिरा,

एक गोला विमान से टकराया

विमान पर दो गोले दागे गए।

विमान में तीन गोले लगे।

जोड़ और गुणा प्रमेयों का उपयोग करते हुए, हम इन परिकल्पनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात करते हैं:

इन परिकल्पनाओं के तहत घटना की सशर्त संभावनाएं (विमान विफलता) हैं:

कुल संभाव्यता सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

ध्यान दें कि पहली परिकल्पना पर विचार नहीं किया जा सकता था, क्योंकि कुल संभाव्यता सूत्र में संबंधित शब्द गायब हो जाता है। यह आम तौर पर असंगत परिकल्पनाओं के पूरे समूह पर विचार करते हुए कुल संभाव्यता सूत्र को लागू करते समय किया जाता है, लेकिन केवल उनमें से जिनके तहत कोई घटना संभव है।

उदाहरण 3. इंजन के संचालन को दो नियामकों द्वारा नियंत्रित किया जाता है। एक निश्चित अवधि पर विचार किया जाता है, जिसके दौरान इंजन के परेशानी मुक्त संचालन को सुनिश्चित करना वांछनीय है। यदि दोनों नियामक मौजूद हैं, तो संभावना के साथ इंजन विफल हो जाता है, यदि उनमें से केवल पहला काम कर रहा है, संभावना के साथ, यदि केवल दूसरा काम कर रहा है, यदि दोनों नियामक विफल हो जाते हैं, तो संभावना के साथ। नियामकों में से पहले की विश्वसनीयता है, दूसरी -। सभी तत्व एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से विफल होते हैं। इंजन की कुल विश्वसनीयता (विफलता मुक्त संचालन की संभावना) का पता लगाएं।

इवेंट फॉर्म पूरा समूह, यदि उनमें से कम से कम एक प्रयोग के परिणामस्वरूप अनिवार्य रूप से घटित होगा और जोड़ीवार असंगत हैं।

आइए मान लें कि घटना एकेवल एक साथ कई जोड़ीदार असंगत घटनाओं में से एक के साथ हो सकता है जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं। चलो घटनाओं को बुलाओ मैं= 1, 2,…, एन) परिकल्पनाअतिरिक्त अनुभव (एक प्राथमिकता)। घटना A के घटित होने की प्रायिकता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है पूर्ण संभावना :

उदाहरण 16तीन कलश हैं। पहले कलश में 5 सफेद और 3 काली गेंदें हैं, दूसरे कलश में 4 सफेद और 4 काली गेंदें हैं, और तीसरे कलश में 8 सफेद गेंदें हैं। कलशों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है (इसका मतलब यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक सहायक कलश से चयन किया जाता है जिसमें तीन गेंदों की संख्या 1, 2 और 3 होती है)। इस कलश से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह काला होगा?

फेसला।घटना ए- काली गेंद खींची जाती है। यदि यह ज्ञात हो कि गेंद किस कलश से निकाली गई है, तो प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार आवश्यक प्रायिकता की गणना की जा सकती है। आइए हम उन मान्यताओं (परिकल्पनाओं) का परिचय दें जिनके संबंध में गेंद को निकालने के लिए कलश का चयन किया जाता है।

गेंद को पहले कलश (परिकल्पना) से, या दूसरे (परिकल्पना) से, या तीसरे (परिकल्पना) से खींचा जा सकता है। चूँकि किसी भी कलश को चुनने के समान अवसर हैं, तो .

इसलिए यह इस प्रकार है कि

उदाहरण 17.बिजली के लैंप तीन कारखानों में निर्मित होते हैं। पहला संयंत्र बिजली के कुल लैंप का 30% उत्पादन करता है, दूसरा - 25%,
और बाकी के लिए तीसरा। पहले संयंत्र के उत्पादों में 1% दोषपूर्ण बिजली के लैंप हैं, दूसरे में - 1.5%, तीसरे में - 2%। स्टोर को तीनों कारखानों से उत्पाद प्राप्त होते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि स्टोर से खरीदा गया लैम्प खराब हो?

फेसला।अनुमानों को दर्ज किया जाना चाहिए कि किस कारखाने में प्रकाश बल्ब का निर्माण किया गया था। यह जानकर, हम संभावना पा सकते हैं कि यह दोषपूर्ण है। आइए घटनाओं के लिए संकेतन का परिचय दें: ए- ख़रीदा गया बिजली का लैम्प ख़राब निकला, - लैम्प का निर्माण पहली फ़ैक्टरी ने किया, - लैम्प का निर्माण दूसरी फ़ैक्टरी ने किया,
- लैम्प का निर्माण तीसरी फैक्ट्री द्वारा किया जाता है।

वांछित संभाव्यता कुल संभाव्यता सूत्र द्वारा पाई जाती है:

बेयस सूत्र। आज्ञा देना जोड़ीवार असंगत घटनाओं (परिकल्पनाओं) का एक पूरा समूह बनें। लेकिनएक यादृच्छिक घटना है। फिर,

अंतिम सूत्र जो आपको परीक्षण के परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना की संभावनाओं को कम करने की अनुमति देता है, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए दिखाई देती है, उसे कहा जाता है बेयस फॉर्मूला .

उदाहरण 18.रोग के औसतन 50% रोगियों को एक विशेष अस्पताल में भर्ती कराया जाता है सेवा, 30% रोग के साथ ली, 20 % –
रोग के साथ एम. रोग के पूर्ण इलाज की संभावना करोगों के लिए 0.7 के बराबर है लीऔर एमये संभावनाएं क्रमशः 0.8 और 0.9 हैं। अस्पताल में भर्ती मरीज को स्वस्थ्य छुट्टी दे दी गई। इस रोगी के रोग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए क.

फेसला।हम परिकल्पना का परिचय देते हैं: - रोगी एक बीमारी से पीड़ित है सेवा ली, रोगी रोग से पीड़ित एम.

फिर, समस्या की स्थिति से, हमारे पास . आइए एक घटना का परिचय दें लेकिनअस्पताल में भर्ती मरीज को स्वस्थ्य छुट्टी दे दी गई। शर्त के अनुसार

कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

बेयस सूत्र।

उदाहरण 19.मान लीजिए कि कलश में पाँच गेंदें हैं और सफेद गेंदों की संख्या के बारे में सभी धारणाएँ समान रूप से संभावित हैं। कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद ली जाती है और वह सफेद हो जाती है। कलश की प्रारंभिक संरचना के बारे में सबसे अधिक संभावना क्या है?

फेसला।माना कि सफेद गेंदों के कलश में , यानी छह धारणाएँ बनाना संभव है। फिर, समस्या की स्थिति से, हमारे पास .

आइए एक घटना का परिचय दें लेकिनबेतरतीब ढंग से खींची गई सफेद गेंद। आइए गणना करें। तब से, बेयस सूत्र के अनुसार हमारे पास है:

इस प्रकार, परिकल्पना सबसे संभावित है, क्योंकि .

उदाहरण 20.कंप्यूटिंग डिवाइस के तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्वों में से दो विफल हो गए। यदि पहले, दूसरे और तीसरे तत्वों की विफलता की संभावनाएं क्रमशः 0.2 के बराबर हैं, तो पहले और दूसरे तत्व के विफल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; 0.4 और 0.3।

फेसला।द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - दो तत्व विफल। निम्नलिखित परिकल्पनाएँ बनाई जा सकती हैं:

- पहला और दूसरा तत्व विफल रहा, और तीसरा तत्व सेवा योग्य है। चूंकि तत्व स्वतंत्र रूप से काम करते हैं, गुणन प्रमेय लागू होता है:

उदाहरण 1। एक कंप्यूटर निर्माण कंपनी तीन आपूर्तिकर्ताओं से समान पुर्जे प्राप्त करती है। पहला सभी घटकों का 50%, दूसरा - 20%, तीसरा - 30% भागों की आपूर्ति करता है।
यह ज्ञात है कि आपूर्ति किए गए भागों की गुणवत्ता अलग है, और पहले आपूर्तिकर्ता के उत्पादों में दोषों का प्रतिशत 4%, दूसरा - 5%, तीसरा - 2% है। प्रायिकता निर्धारित करें कि प्राप्त सभी में से यादृच्छिक रूप से चयनित एक भाग दोषपूर्ण होगा।

फेसला. आइए घटनाओं को नामित करें: ए - "चयनित भाग दोषपूर्ण है", एच i - "चयनित भाग आई-वें आपूर्तिकर्ता से प्राप्त हुआ था", i = 1, 2, 3 परिकल्पना एच 1, एच 2, एच 3 फॉर्म ए असंगत घटनाओं का पूरा समूह। शर्त के अनुसार
पी (एच 1) = 0.5; पी (एच 2) = 0.2; पी (एच 3) = 0.3
पी (ए | एच 1) = 0.04; पी (ए | एच 2) = 0.05; पी (ए | एच 3) = 0.02

कुल प्रायिकता सूत्र (1.11) के अनुसार, घटना A की प्रायिकता के बराबर है
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02=0.036
यादृच्छिक रूप से चुना गया एक हिस्सा खराब होने की संभावना 0.036 है।

मान लें कि घटना ए पिछले उदाहरण की स्थितियों में पहले ही घटित हो चुकी है: चयनित भाग दोषपूर्ण निकला। इसकी क्या प्रायिकता है कि इसे पहले आपूर्तिकर्ता से प्राप्त किया गया था? इस प्रश्न का उत्तर बेयस सूत्र द्वारा दिया गया है।
हमने केवल प्रारंभिक, घटनाओं की संभावनाओं के प्राथमिक मूल्यों के साथ संभावनाओं का विश्लेषण शुरू किया। फिर एक प्रयोग किया गया (एक भाग का चयन किया गया), और हमें रुचि की घटना के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त हुई। इस नई जानकारी के साथ, हम पिछली संभावनाओं के मूल्यों को परिष्कृत कर सकते हैं। समान घटनाओं की प्रायिकताओं के नए मान पहले से ही परिकल्पनाओं की पश्च (प्रयोगात्मक) प्रायिकताएँ होंगी (चित्र 1.5)।

परिकल्पना पुनर्मूल्यांकन योजना
घटना A को केवल एक परिकल्पना H 1, H 2, …, H n (असंगत घटनाओं का पूरा समूह) के साथ ही साकार किया जाए। हमने घटना A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n की परिकल्पना P(H i) की सशर्त संभावनाओं की एक प्राथमिक संभावनाओं को निरूपित किया। यदि प्रयोग पहले ही किया जा चुका है और इसके परिणामस्वरूप घटना A घटित हुई है, तो परिकल्पना की पश्च प्रायिकताएँ सशर्त प्रायिकताएँ P(H i |A), i = 1, 2,…, n होंगी। पिछले उदाहरण के संकेतन में, पी (एच 1 | ए) संभावना है कि चयनित भाग, जो दोषपूर्ण निकला, पहले आपूर्तिकर्ता से प्राप्त हुआ था।
हम घटना H k |A की प्रायिकता में रुचि रखते हैं घटनाओं H k और A की संयुक्त घटना पर विचार करें, अर्थात घटना AH k । गुणन सूत्रों (1.5) और (1.6) का उपयोग करके इसकी संभावना दो तरह से पाई जा सकती है:
पी (एएचके) = पी (एचके) पी (ए | एचके);
पी (एएच के) = पी (ए) पी (एच के | ए)।

इन सूत्रों के दाहिने पक्षों की बराबरी करें
पी (एच के) पी (ए | एच के) = पी (ए) पी (एच के | ए),

इसलिए परिकल्पना H k की पश्च प्रायिकता है

हर घटना ए की कुल संभावना है। पी (ए) के बजाय इसके मूल्य को कुल संभावना सूत्र (1.11) के अनुसार प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
(1.12)
सूत्र (1.12) कहलाता है बेयस फॉर्मूला और परिकल्पना की संभावनाओं का पुनर्मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है।
पिछले उदाहरण की स्थितियों में, हम इस संभावना को पाते हैं कि दोषपूर्ण हिस्सा पहले आपूर्तिकर्ता से प्राप्त हुआ था। आइए हम एक तालिका में उन परिकल्पनाओं P(H i) की एक प्राथमिक संभावनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करें जो हमें शर्त से ज्ञात हैं, सशर्त संभावनाएं P(A|H i) P(AH i) = को हल करने की प्रक्रिया में गणना की गई संयुक्त संभावनाएं = P(H i) P(A|H i) और सूत्र (1.12) द्वारा परिकलित एक पश्च प्रायिकता P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (सारणी 1.3)।

तालिका 1.3 - परिकल्पनाओं का पुनर्मूल्यांकन

परिकल्पनाहैलो	संभावनाओं
	पूर्व पी (एच मैं)	सशर्त पी (ए | एच i)	संयुक्त पी (एएच i)	एक पोस्टीरियरी पी (एच आई | ए)
1	2	3	4	5
एच 1 - पहले आपूर्तिकर्ता से प्राप्त भाग	0.5	0.04	0.02
एच 2 - दूसरे आपूर्तिकर्ता से प्राप्त भाग	0.2	0.05	0.01
एच 3 - तीसरे आपूर्तिकर्ता से प्राप्त भाग	0.3	0.02	0.006
जोड़	1.0	-	0.036	1

इस तालिका की अंतिम पंक्ति पर विचार करें। दूसरे कॉलम में असंगत घटनाओं की संभावनाओं का योग होता है एच 1 , एच 2 , एच 3 एक पूरा समूह बनाते हैं:
पी (Ω) = पी (एच 1 + एच 2 + एच 3) = पी (एच 1) + पी (एच 2) + पी (एच 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
चौथे कॉलम में, प्रत्येक पंक्ति में मान (संयुक्त संभावनाएं) दूसरे और तीसरे कॉलम में संबंधित मानों को गुणा करके संभावनाओं के गुणन के नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है, और अंतिम पंक्ति में 0.036 घटना ए की कुल संभावना है (कुल संभाव्यता सूत्र द्वारा)।
कॉलम 5 में, परिकल्पना की पश्च संभावनाओं की गणना बेयस सूत्र (1.12) का उपयोग करके की जाती है:

पिछली संभावनाओं पी (एच 2 | ए) और पी (एच 3 | ए) की गणना समान रूप से की जाती है, अंश के अंश के साथ कॉलम 4 की संबंधित पंक्तियों में दर्ज की गई संयुक्त संभावनाएं होती हैं, और हर की कुल संभावना होती है घटना ए कॉलम 4 की अंतिम पंक्ति में दर्ज की गई है।
प्रयोग के बाद परिकल्पना की प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होता है और इसे पांचवें स्तंभ की अंतिम पंक्ति में लिखा जाता है।
तो, पहले आपूर्तिकर्ता से दोषपूर्ण भाग प्राप्त होने की प्रायिकता 0.555 है। प्रायोगिक के बाद की संभाव्यता एक प्राथमिक (आपूर्ति की बड़ी मात्रा के कारण) से अधिक है। प्रयोग के बाद की संभावना है कि दूसरे आपूर्तिकर्ता से दोषपूर्ण हिस्सा प्राप्त हुआ था 0.278 है और पूर्व-प्रयोगात्मक एक से भी अधिक है (बड़ी संख्या में अस्वीकार के कारण)। प्रयोग के बाद की प्रायिकता कि तीसरे आपूर्तिकर्ता से एक दोषपूर्ण भाग प्राप्त किया गया था, 0.167 है।

उदाहरण #3। तीन समान कलश हैं; पहले कलश में दो सफेद और एक काली गेंद होती है; दूसरे में, तीन गोरे और एक काला; तीसरे में - दो सफेद और दो काली गेंदें। प्रयोग के लिए, एक कलश यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है। इस गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला।आइए तीन परिकल्पनाओं पर विचार करें: एच 1 - पहला कलश चुना जाता है, एच 2 - दूसरा कलश चुना जाता है, एच 3 - तीसरा कलश चुना जाता है और घटना ए - सफेद गेंद निकाली जाती है।
चूंकि परिकल्पना समस्या की स्थिति से समान रूप से संभावित हैं, तो

इन परिकल्पनाओं के तहत घटना ए की सशर्त संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं:
कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार

उदाहरण # 4। पिरामिड में 19 राइफलें हैं, जिनमें से 3 ऑप्टिकल दृष्टि से हैं। ऑप्टिकल दृष्टि से राइफल से शूटिंग करने वाला शूटर 0.81 की संभावना के साथ लक्ष्य को हिट कर सकता है, और बिना ऑप्टिकल दृष्टि के राइफल से 0.46 की संभावना के साथ शूटिंग कर सकता है। इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर बेतरतीब ढंग से चुनी गई राइफल से निशाना साधकर निशाना साधेगा।
फेसला।यहां पहला परीक्षण राइफल का यादृच्छिक विकल्प है, दूसरा लक्ष्य शूटिंग है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें: ए - निशानेबाज निशाने पर लगेगा; एच 1 - शूटर ऑप्टिकल दृष्टि से राइफल लेगा; एच 2 - शूटर बिना ऑप्टिकल दृष्टि के राइफल लेगा। हम कुल संभावना सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है

यह देखते हुए कि राइफलों को एक बार में चुना जाता है, और शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: पी (एच 1) = 3/19, पी (एच 2) = 16/19।
समस्या कथन में सशर्त संभावनाएं दी गई हैं: P(A|H 1) = 0;81 और P(A|H 2) = 0;46। इसलिये,

उदाहरण संख्या 5. 2 सफेद और 3 काली गेंदों वाले कलश से, दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं और 1 सफेद गेंद को कलश में जोड़ा जाता है। यादृच्छिक रूप से खींची गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला।घटना "एक सफेद गेंद खींची गई" को ए द्वारा दर्शाया जाएगा। घटना एच 1 - दो सफेद गेंद यादृच्छिक रूप से खींची जाती हैं; एच 2 - दो काली गेंदें यादृच्छया निकाली गईं; एच 3 - एक सफेद गेंद और एक काली गेंद खींची गई है। तब आगे रखी गई परिकल्पनाओं की प्रायिकताएँ

इन परिकल्पनाओं के तहत सशर्त संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं: पी (ए | एच 1) = 1/4 - एक सफेद गेंद खींचने की संभावना अगर कलश में वर्तमान में एक सफेद और तीन काली गेंदें हैं, पी (ए | एच 2) = 3/4 - यदि कलश में वर्तमान में तीन सफेद और एक काली गेंद हैं, तो एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता यदि वहाँ हैं कलश में दो सफेद और एक काली गेंद इस समय दो काली गेंदें। कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार

उदाहरण संख्या 6. निशाने पर दो गोलियां लगी हैं। पहले शॉट से टकराने की संभावना 0.2 है, दूसरे के साथ - 0.6। एक हिट के साथ लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना 0.3 है, दो के साथ - 0.9। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लक्ष्य नष्ट हो जाएगा।
फेसला। बता दें कि घटना ए लक्ष्य नष्ट हो गया है। ऐसा करने के लिए, दो में से एक शॉट के साथ हिट करने के लिए पर्याप्त है या बिना मिस के दो शॉट्स के साथ लगातार लक्ष्य को हिट करें। आइए आगे की परिकल्पना करें: एच 1 - दोनों शॉट लक्ष्य पर लगे। तब P(H 1) = 0.2 0.6 = 0;12। एच 2 - या तो पहली बार या दूसरी बार चूक हुई थी। फिर पी (एच 2) \u003d 0.2 0.4 + 0.8 0.6 \u003d 0.56। परिकल्पना एच 3 - दोनों शॉट चूक गए - ध्यान में नहीं रखा गया है, क्योंकि लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना शून्य है। फिर सशर्त संभावनाएं क्रमशः बराबर होती हैं: दोनों सफल शॉट्स की स्थिति के तहत लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना पी (ए | एच 1) = 0.9 है, और केवल एक सफल शॉट की स्थिति में लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना पी है ( ए | एच 2) = 0.3। तब कुल प्रायिकता सूत्र के अनुसार लक्ष्य को नष्ट करने की प्रायिकता के बराबर होती है।