द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 रूप का एक समीकरण है, जहां a,b,c कुछ मनमानी वास्तविक (वास्तविक) संख्याएं हैं, और x एक चर है। और संख्या ए = 0।
संख्याएँ a, b, c गुणांक कहलाती हैं। संख्या a - को प्रमुख गुणांक कहा जाता है, संख्या b x पर गुणांक है, और संख्या c को मुक्त सदस्य कहा जाता है।
द्विघात समीकरणों को हल करना
द्विघात समीकरण को हल करने का अर्थ है इसके सभी मूल ज्ञात करना, या इस तथ्य को स्थापित करना कि द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है। द्विघात समीकरण का मूल a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 चर x का कोई भी मान है, जैसे कि वर्ग त्रिपद a * x ^ 2 + b * x + c गायब हो जाता है। कभी-कभी x के ऐसे मान को वर्ग त्रिपद का मूल कहते हैं।
द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं। उनमें से एक पर विचार करें - सबसे बहुमुखी। इसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।
द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र
द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र है a*x^2 +b*x+c=0.
x=(-b±√D)/(2*a), कहा पे D =b^2-4*a*c.
यह सूत्र द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके समीकरण a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 को सामान्य रूप में हल करके प्राप्त किया जाता है।
द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र में, व्यंजक D (b^2-4*a*c) को द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 का विभेदक कहा जाता है। यह नाम लैटिन भाषा से आया है, जिसका अनुवाद "विभेदक" है। विभेदक के मूल्य के आधार पर, द्विघात समीकरण में दो या एक मूल होगा, या कोई मूल नहीं होगा।
यदि विवेचक शून्य से बड़ा है,तब द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं। (x=(-b±√D)/(2*a))
यदि विवेचक शून्य है,तब द्विघात समीकरण का एक मूल होता है। (एक्स=(-बी/(2*ए))
यदि विवेचक नकारात्मक है,तब द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिथम
पूर्वगामी के आधार पर, हम सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 को हल करने के लिए एक सामान्य एल्गोरिथ्म तैयार करते हैं:
1. सूत्र D =b^2-4*a*c का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात कीजिए।
2. विभेदक के मान के आधार पर, सूत्रों का उपयोग करके मूलों की गणना करें:
डी<0, корней нет.
डी = 0, एक्स = (-बी / (2 * ए)
डी>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
यह एल्गोरिथम सार्वभौमिक है और किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है। पूर्ण और अपूर्ण, उद्धृत और उद्धृत नहीं।
ग्रंथ सूची विवरण:गैसानोव ए.आर., कुरमशिन ए.ए., एल्कोव ए.ए., शिलनेकोव एन.वी., उलानोव डी.डी., श्मेलेवा ओ.वी. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके // युवा वैज्ञानिक। - 2016. - संख्या 6.1। - एस. 17-20..04.2019)।
हमारी परियोजना द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित है। परियोजना का उद्देश्य: द्विघात समीकरणों को ऐसे तरीकों से हल करना सीखना जो स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं हैं। कार्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सभी संभव तरीके खोजें और स्वयं उनका उपयोग करना सीखें और सहपाठियों को इन विधियों से परिचित कराएं।
"द्विघात समीकरण" क्या हैं?
द्विघात समीकरण- फॉर्म का समीकरण कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0, कहाँ पे ए, बी, सी- कुछ नंबर ( एक 0), एक्स- अनजान।
संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक कहलाती हैं।
- ए को पहला गुणांक कहा जाता है;
- बी को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
- सी - मुक्त सदस्य।
और द्विघात समीकरणों का "आविष्कार" करने वाला पहला व्यक्ति कौन था?
रेखीय और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजीय तकनीकों को प्राचीन बेबीलोन में 4000 साल पहले के रूप में जाना जाता था। 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच की प्राचीन बेबीलोनियाई मिट्टी की गोलियां, द्विघात समीकरणों के अध्ययन के शुरुआती प्रमाण हैं। उन्हीं गोलियों में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ होती हैं।
प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण थी। गणित ही।
बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए। बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीकों का अभाव है।
लगभग चौथी शताब्दी ई.पू. के बेबीलोन के गणितज्ञ। सकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग पूरक विधि का उपयोग किया। लगभग 300 ई.पू. यूक्लिड एक अधिक सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि के साथ आया। पहला गणितज्ञ जिसने बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों वाले समीकरण का हल खोजा वह एक भारतीय वैज्ञानिक थे। ब्रह्मगुप्त:(भारत, 7वीं शताब्दी ई.)
ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम की रूपरेखा तैयार की:
ax2 + bx = c, a>0
इस समीकरण में, गुणांक ऋणात्मक हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।
भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में कहा गया है: "जैसे सूरज अपनी चमक के साथ सितारों को चमकाता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक सभाओं में, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और हल करने में महिमा को चमकाएगा।" कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में तैयार किया जाता था।
एक बीजीय ग्रंथ में अल-ख्वारिज्मीरैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:
1) "वर्ग मूल के बराबर होते हैं", अर्थात ax2 = bx।
2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", यानी ax2 = c।
3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात ax2 = c।
4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात ax2 + c = bx।
5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात ax2 + bx = c।
6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर होती हैं", अर्थात bx + c == ax2।
अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबाला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनका निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाता है। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी, 17 वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य को ध्यान में नहीं रखते हैं। समाधान, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करता है, और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाण।
यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के रूपों को पहली बार "अबेकस की पुस्तक" में वर्णित किया गया था, जिसे 1202 में लिखा गया था। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फिबोनाची. लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे।
इस पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक के कई कार्यों को 14वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में स्थानांतरित कर दिया गया था। संकेत और गुणांक b, c के सभी संभावित संयोजनों के साथ एकल विहित रूप x2 + bx = c में घटाए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम यूरोप में 1544 में तैयार किया गया था। एम स्टीफेल।
Vieta के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेलि 16 वीं शताब्दी में पहली बार। सकारात्मक, और नकारात्मक जड़ों के अलावा, ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में। काम के लिए धन्यवाद गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटनऔर अन्य वैज्ञानिक, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।
द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर विचार करें।
स्कूली पाठ्यक्रम से द्विघात समीकरणों को हल करने के मानक तरीके:
- समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन।
- पूर्ण वर्ग चयन विधि।
- द्विघात समीकरणों का सूत्र द्वारा हल।
- द्विघात समीकरण का आलेखीय हल।
- विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।
आइए हम विएटा प्रमेय का उपयोग करके कम और गैर-घटित द्विघात समीकरणों के समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।
याद रखें कि दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, दो संख्याओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, जिसका उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर है।
उदाहरण।एक्स 2 -5x+6=0
आपको ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल 6 है और योग 5 है। ये संख्याएँ 3 और 2 होंगी।
उत्तर: x 1 =2, एक्स 2 =3.
लेकिन आप इस पद्धति का उपयोग उन समीकरणों के लिए कर सकते हैं जिनका पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है।
उदाहरण।3x 2 +2x-5=0
हम पहला गुणांक लेते हैं और इसे मुक्त पद से गुणा करते हैं: x 2 +2x-15=0
इस समीकरण के मूल वे संख्याएँ होंगी जिनका गुणनफल - 15 है, और योग - 2 है। ये संख्याएँ 5 और 3 हैं। मूल समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्राप्त मूलों को पहले गुणांक से विभाजित करते हैं।
उत्तर: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. "स्थानांतरण" की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान।
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें, जहाँ a≠0।
इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर, हमें समीकरण a 2 x 2 + abx + ac = 0 प्राप्त होता है।
माना कुल्हाड़ी = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण y 2 + by + ac = 0 पर पहुँचते हैं, जो दिए गए समीकरण के बराबर है। हम वियत प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें 1 और 2 पर पाते हैं।
अंत में हमें x 1 = y 1 /a और x 2 = y 2 /a मिलता है।
इस पद्धति के साथ, गुणांक a को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, इसलिए इसे "स्थानांतरण" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।
उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 = 0.
आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "स्थानांतरित करें" और प्रतिस्थापन करने पर हमें समीकरण y 2 - 11y + 30 = 0 प्राप्त होता है।
विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3।
उत्तर: x 1 =2.5; एक्स 2 = 3.
7. द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।
मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0, a 0 दिया गया है।
1. यदि a + b + c \u003d 0 (अर्थात, समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 \u003d 1.
2. यदि a - b + c \u003d 0, या b \u003d a + c, तो x 1 \u003d - 1.
उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 = 0.
चूंकि a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345।
उत्तर: x 1 = 1; एक्स 2 = -208/345 .
उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 = 0
क्योंकि a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), फिर x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132
उत्तर: x 1 = - 1; एक्स 2 =- 115/132
द्विघात समीकरण के गुणांकों के अन्य गुण भी होते हैं। लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल है।
8. एक नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।
अंजीर 1. नोमोग्राम
संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखे गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए यह एक पुरानी और वर्तमान में भूली हुई विधि है: ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। - एम।, शिक्षा, 1990।
तालिका XXII। समीकरण हल करने के लिए नामांकन z2 + pz + q = 0. यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, इसके गुणांकों द्वारा समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।
नॉमोग्राम का वक्रीय पैमाना सूत्रों (चित्र 1) के अनुसार बनाया गया है:
यह मानते हुए ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), अंजीर से। 1 त्रिभुजों की समानता सैनऔर सीडीएफहमें अनुपात मिलता है
जहां से, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण इस प्रकार है जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0,और पत्र जेडमतलब घुमावदार पैमाने पर किसी भी बिंदु का लेबल।
चावल। 2 एक नामांकित समीकरण का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना
उदाहरण।
1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9z + 8 = 0नॉमोग्राम जड़ों को z 1 = 8.0 और z 2 = 1.0 . देता है
उत्तर: 8.0; 1.0.
2) नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करें
2z 2 - 9z + 2 = 0.
इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करने पर हमें समीकरण z 2 - 4.5z + 1 = 0 प्राप्त होता है।
नॉमोग्राम जड़ों को z 1 = 4 और z 2 = 0.5 देता है।
उत्तर - 4; 0.5.
9. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय विधि।
उदाहरण।एक्स 2 + 10x = 39.
मूल में, इस समस्या को निम्नानुसार तैयार किया गया है: "वर्ग और दस जड़ें 39 के बराबर हैं।"
पक्ष x के साथ एक वर्ग पर विचार करें, इसके किनारों पर आयतें बनाई गई हैं ताकि उनमें से प्रत्येक का दूसरा भाग 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। परिणामी आकृति फिर एक नए वर्ग ABCD के पूरक है, कोनों में चार बराबर वर्गों को पूरा करते हुए, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 है
चावल। 3 समीकरण x 2 + 10x = 39 . को हल करने का ग्राफिकल तरीका
वर्ग एबीसीडी के क्षेत्र एस को क्षेत्रों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग x 2, चार आयत (4∙2.5x = 10x) और चार संलग्न वर्ग (6.25∙4 = 25), यानी। S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x को संख्या 39 से बदलने पर, हमें वह S \u003d 39 + 25 \u003d 64 मिलता है, जिसका अर्थ है कि वर्ग ABCD का पक्ष, अर्थात। खंड AB \u003d 8. मूल वर्ग के वांछित पक्ष x के लिए, हम प्राप्त करते हैं
10. Bezout के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का हल।
बेजआउट का प्रमेय। बहुपद P(x) को द्विपद x - α से विभाजित करने के बाद शेषफल P(α) के बराबर होता है (अर्थात x = α पर P(x) का मान)।
यदि संख्या α बहुपद P(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना शेषफल के x -α से विभाज्य है।
उदाहरण।x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) को (x-1) से भाग दें: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
एक्स-1 = 0; x=1, या x-3=0, x=3; उत्तर: x1 =2, एक्स2 =3.
निष्कर्ष:द्विघात समीकरणों को जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक जटिल समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, आंशिक तर्कसंगत समीकरण, उच्च शक्तियों के समीकरण, द्विघात समीकरण, और हाई स्कूल त्रिकोणमितीय, घातीय और लॉगरिदमिक समीकरणों में। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए पाई गई सभी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम सहपाठियों को मानक विधियों के अलावा, स्थानांतरण विधि (6) द्वारा हल करने और गुणांक (7) की संपत्ति द्वारा समीकरणों को हल करने की सलाह दे सकते हैं, क्योंकि वे समझने के लिए अधिक सुलभ हैं। .
साहित्य:
- ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। - एम।, शिक्षा, 1990।
- बीजगणित ग्रेड 8: कक्षा 8 के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान मकर्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. एड। एस ए तेल्याकोवस्की 15 वां संस्करण, संशोधित। - एम .: ज्ञानोदय, 2015
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। शिक्षकों के लिए एक गाइड। / ईडी। वी.एन. जवान। - एम .: ज्ञानोदय, 1964।
1. विभेदक का पता लगाएं डीसूत्र के अनुसार डी = -4ac.
2.अगर डी<0, то квадратное уравнение не имеет корней.
3. यदि D=0, तो समीकरण का एक मूल है:
4. यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं:
आइए अब अपने समीकरण को हल करना शुरू करते हैं 3 -10x+3=0,
जहां =3, बी=-10 और सी=3।
विभेदक ढूँढना:
डी = -4*3*3=64
चूँकि D>0, तो इस समीकरण के दो मूल हैं। हम उन्हें ढूंढते हैं:
;
.
इस प्रकार, बहुपद के मूल एफ(एक्स)=3 -10+3 संख्या 3 और होगी।
हॉर्नर की योजना
हॉर्नर की योजना(या हॉर्नर का नियम, हॉर्नर की विधि) - एक बहुपद के मूल्य की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म, एक चर के दिए गए मान के लिए बहुपद (एकपद) के योग के रूप में लिखा जाता है . बदले में, वह हमें यह पता लगाने में मदद करती है कि संख्या दिए गए बहुपद का मूल है या नहीं।
सबसे पहले, विचार करें कि बहुपद को कैसे विभाजित किया जाता है च (एक्स) द्विपद में जी (एक्स).
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: एफ (एक्स): जी (एक्स) = एन (एक्स),कहाँ पे च (एक्स) -लाभांश, जी (एक्स) -भाजक एन (एक्स) -निजी।
लेकिन मामले में जब एफ (एक्स)से विभाज्य नहीं है जी (एक्स)अभिव्यक्ति का एक सामान्य संकेतन है
यहाँ, डिग्री r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .
एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने पर विचार करें। रहने दो
, 
हम पाते हैं
जहाँ r एक संख्या है क्योंकि r की डिग्री (x-c) की डिग्री से कम होनी चाहिए।
आइए गुणा करें एस (एक्स)चालू करो और प्राप्त करो
इस प्रकार, द्विपद द्वारा विभाजित करते समय, प्राप्त सूत्रों से भागफल के गुणांकों को निर्धारित करना संभव है। गुणांकों को निर्धारित करने की इस पद्धति को हॉर्नर योजना कहा जाता है।
| ... | |||||
| + | ... | ||||
| सी | ... | आर |
अब आइए हॉर्नर योजना के अनुप्रयोग के कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण. बहुपद विभाजन करें एफ (एक्स) =पर एक्स+3.
फेसला।शुरुआत में लिखना जरूरी है एक्स+3)जैसा ( एक्स-(-3)), चूंकि बिल्कुल -3 योजना में ही भाग लेंगे। शीर्ष पंक्ति में हम गुणांक लिखेंगे, नीचे की रेखा में - क्रियाओं का परिणाम।
च (एक्स)=(x-2)(1)+16.
हॉर्नर योजना के अनुसार जड़ों का पता लगाना। जड़ के प्रकार
हॉर्नर की योजना के अनुसार, एक बहुपद के पूर्णांक मूल ज्ञात कर सकते हैं च (एक्स) आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।
उदाहरण. एक बहुपद के सभी पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए च (एक्स)= , हॉर्नर योजना का उपयोग करते हुए।
फेसला।इस बहुपद के गुणांक पूर्णांक हैं। उच्चतम डिग्री से पहले का गुणांक (हमारे मामले में पहले) एक के बराबर है। इसलिए, हम मुक्त पद (हमारे पास 15) के भाजक के बीच बहुपद की पूर्णांक जड़ों की तलाश करेंगे, ये संख्याएं हैं:
आइए नंबर 1 से शुरू करते हैं।
तालिका नंबर एक
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 |
परिणामी तालिका से यह देखा जा सकता है कि =1 के लिए बहुपद का बहुपद च (एक्स)= , हमें शेषफल r=192 मिला, न कि 0, जिसका अर्थ है कि इकाई जड़ नहीं है। इसलिए, हम जांच को = -1 पर जारी रखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक नई तालिका नहीं बनाएंगे, लेकिन पुराने में जारी रखेंगे, और उस डेटा को पार कर लेंगे जो अब आवश्यक नहीं है।
तालिका संख्या 2
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 |
जैसा कि हम तालिका से देख सकते हैं, अंतिम सेल शून्य निकला, जिसका अर्थ है कि r = 0। इसलिये? संख्या -1 इस बहुपद का मूल है। हमारे बहुपद बहुपद को विभाजित करना च (एक्स)= पर ()=x+1 हमें एक बहुपद मिला है
च (एक्स)=(x+1)(),
गुणांक जिसके लिए हमने तालिका संख्या 2 की तीसरी पंक्ति से लिया।
हम समान अंकन भी बना सकते हैं
(एक्स + 1) ()। उसे टैग करें (1)
अब पूर्णांक जड़ों की खोज जारी रखना आवश्यक है, लेकिन केवल अब हम पहले से ही बहुपद की जड़ों की तलाश करेंगे। हम इन जड़ों को बहुपद, संख्या 45 के मुक्त पद के बीच देखेंगे।
आइए फिर से नंबर -1 की जांच करें।
टेबल तीन
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 |
अत: संख्या -1 बहुपद का मूल है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
समानता (2) को ध्यान में रखते हुए, हम समानता (1) को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:
अब हम बहुपद के लिए जड़ों की तलाश कर रहे हैं, फिर से मुक्त पद के भाजक के बीच। आइए फिर से नंबर -1 की जांच करें।
तालिका संख्या 4
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 |
तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि संख्या -1 बहुपद का मूल है।
दिया गया (3*), हम समानता (2*) को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:
अब हम इसके लिए जड़ की तलाश करेंगे। फिर से हम मुक्त पद के भाजक को देखते हैं। आइए फिर से नंबर -1 से जांचना शुरू करें।
तालिका संख्या 5
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 |
हमें एक शेषफल मिला जो शून्य के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है। आइए अगले नंबर 1 की जांच करें।
तालिका संख्या 6
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 |
और हम देखते हैं कि यह फिर से फिट नहीं होता है, शेष r(x) = 24 है। हम एक नई संख्या लेते हैं।
आइए नंबर 3 की जांच करें।
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 |
तालिका संख्या 7
r(x)= 0, इसका अर्थ है कि संख्या 3 बहुपद का मूल है, हम इस बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
=(x-3)( 
)
परिणामी अभिव्यक्ति को देखते हुए, हम समानता (5) को निम्नानुसार लिख सकते हैं:
(एक्स-3)( ) (6)
आइए अब बहुपद की जाँच करें
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
तालिका संख्या 8
तालिका के आधार पर, हम देखते हैं कि संख्या 3 बहुपद का मूल है . आइए अब निम्नलिखित लिखें:
हम परिणामी अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हुए समानता (5*) लिखते हैं:
(एक्स -3) () = 
= .
मुक्त पद के भाजक के बीच द्विपद का मूल ज्ञात कीजिए।
आइए 5 नंबर लेते हैं
तालिका संख्या 9
| -21 | -20 | ||||||
| + | -18 | -38 | |||||
| -18 | -38 | ||||||
| + | -1 | -1 | -2 | -69 | -45 | ||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -24 | -45 | ||||
| -1 | -22 | ||||||
| + | -1 | -45 | |||||
| -1 | -1 | -21 | |||||
| + | -1 | ||||||
| -1 | -2 | -19 | |||||
| + | -21 | ||||||
| -21 | |||||||
| + | -45 | ||||||
| -15 | |||||||
| + | |||||||
| + | -5 | ||||||
| -5 |
r(x)=0, इसलिए 5 द्विपद का मूल है।
इस प्रकार, हम लिख सकते हैं
इस उदाहरण का हल तालिका संख्या 8 होगा।
जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, संख्याएँ -1; 3; 5 बहुपद के मूल हैं।
अब सीधे चलते हैं जड़ों के प्रकार.
1 तीसरी डिग्री का मूल है, क्योंकि ब्रैकेट (x + 1) तीसरी डिग्री में है;
3- दूसरी डिग्री की जड़, दूसरी डिग्री में ब्रैकेट (x-3);
5 पहली डिग्री का मूल है या, दूसरे शब्दों में, सरल।
द्विघात समीकरण अक्सर गणित और भौतिकी में कई समस्याओं में दिखाई देते हैं, इसलिए प्रत्येक छात्र को उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए। यह लेख द्विघात समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों पर विस्तार से चर्चा करता है, और उनके उपयोग के उदाहरण भी प्रदान करता है।
किस समीकरण को द्विघात कहते हैं
लेख में क्या चर्चा की जाएगी, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए सबसे पहले, हम इस अनुच्छेद के प्रश्न का उत्तर देंगे। तो, द्विघात समीकरण के निम्नलिखित सामान्य रूप हैं: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, जहाँ a, b, c कुछ संख्याएँ हैं, जिन्हें गुणांक कहा जाता है। यहाँ a≠0 एक अनिवार्य शर्त है, अन्यथा संकेतित समीकरण एक रेखीय समीकरण में बदल जाता है। शेष गुणांक (बी, सी) शून्य सहित बिल्कुल कोई भी मान ले सकते हैं। तो, a*x 2 =0 जैसे भाव, जहां b=0 और c=0 या c+a*x 2 =0, जहां b=0, या b*x+a*x 2 =0, जहां c=0 - ये भी द्विघात समीकरण हैं, जिन्हें अपूर्ण कहा जाता है, क्योंकि इनमें या तो रैखिक गुणांक b शून्य के बराबर होता है, या मुक्त पद c शून्य होता है, या ये दोनों लुप्त हो जाते हैं।
एक समीकरण जिसमें a \u003d 1 को कम कहा जाता है, अर्थात इसका रूप है: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0।
द्विघात समीकरण का समाधान x के ऐसे मान ज्ञात करना है जो इसकी समानता को संतुष्ट करते हैं। इन मूल्यों को जड़ कहा जाता है। चूँकि विचाराधीन समीकरण द्वितीय अंश का व्यंजक है, इसका अर्थ है कि इसके मूलों की अधिकतम संख्या दो से अधिक नहीं हो सकती।
वर्ग समीकरणों को हल करने की कौन-सी विधियाँ मौजूद हैं
सामान्य तौर पर, 4 समाधान विधियां हैं। उनके नाम नीचे सूचीबद्ध हैं:
- गुणनखंडन।
- चौक के पूरक।
- एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करना (विभेदक के माध्यम से)।
- समाधान ज्यामितीय है।
जैसा कि ऊपर दी गई सूची से स्पष्ट है, पहले तीन तरीके बीजगणितीय हैं, इसलिए उनका उपयोग पिछले वाले की तुलना में अधिक बार किया जाता है, जिसमें फ़ंक्शन ग्राफ़ को प्लॉट करना शामिल होता है।
वियत प्रमेय का उपयोग करके वर्ग समीकरणों को हल करने का एक और तरीका है। इसे ऊपर की सूची में 5वां शामिल किया जा सकता है, हालांकि, ऐसा नहीं किया गया है, क्योंकि विएटा की प्रमेय तीसरी विधि का एक सरल परिणाम है।
विधि संख्या 1। गुणन
द्विघात समीकरणों के गणित में इस पद्धति का एक सुंदर नाम है: गुणनखंड। इस पद्धति का सार इस प्रकार है: द्विघात समीकरण को दो पदों (व्यंजकों) के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है, जो शून्य के बराबर होना चाहिए। इस तरह के प्रतिनिधित्व के बाद, कोई उत्पाद संपत्ति का उपयोग कर सकता है, जो शून्य के बराबर होगा, जब उसके एक या अधिक (सभी) सदस्य शून्य हों।
अब उन विशिष्ट क्रियाओं के क्रम पर विचार करें जिन्हें समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए करने की आवश्यकता है:
- सभी सदस्यों को व्यंजक के एक भाग में स्थानांतरित करें (उदाहरण के लिए, बाईं ओर) ताकि उसके दूसरे भाग (दाएं) में केवल 0 ही रहे।
- समीकरण के एक भाग के पदों के योग को दो रैखिक समीकरणों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
- प्रत्येक रैखिक व्यंजक को शून्य से समान कीजिए और उन्हें हल कीजिए।
जैसा कि आप देख सकते हैं, फ़ैक्टराइज़ेशन एल्गोरिदम काफी सरल है, हालांकि, अधिकांश छात्रों को दूसरे बिंदु के कार्यान्वयन के दौरान कठिनाइयां होती हैं, इसलिए हम इसे और अधिक विस्तार से समझाएंगे।
यह अनुमान लगाने के लिए कि कौन से 2 रैखिक व्यंजक, एक दूसरे से गुणा करने पर, वांछित द्विघात समीकरण देंगे, आपको दो सरल नियमों को याद रखने की आवश्यकता है:
- दो रैखिक व्यंजकों के रैखिक गुणांकों को जब एक-दूसरे से गुणा किया जाता है, तो द्विघात समीकरण का पहला गुणांक, अर्थात् संख्या a देना चाहिए।
- रैखिक व्यंजकों के मुक्त पदों को गुणा करने पर वांछित समीकरण की संख्या c अवश्य देनी चाहिए।
सभी कारकों के चयन के बाद, उन्हें गुणा किया जाना चाहिए, और यदि वे वांछित समीकरण देते हैं, तो उपरोक्त एल्गोरिथम में चरण 3 पर जाएं, अन्यथा कारकों को बदल दिया जाना चाहिए, लेकिन ऐसा किया जाना चाहिए ताकि उपरोक्त नियम हमेशा पूरी होती हैं।
गुणनखंड समाधान का एक उदाहरण
हम स्पष्ट रूप से दिखाएंगे कि द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म कैसे बनाया जाए और अज्ञात मूलों को खोजें। मान लीजिए कि एक मनमाना व्यंजक दिया जाता है, उदाहरण के लिए, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1। आइए इसके समाधान पर आगे बढ़ें, 1 से 3 तक के बिंदुओं के अनुक्रम को देखते हुए, जो लेख के पिछले पैराग्राफ में निर्धारित किए गए हैं।
बिंदु 1. आइए सभी पदों को बाईं ओर ले जाएं और उन्हें द्विघात समीकरण के लिए शास्त्रीय क्रम में बनाएं। हमारे पास निम्नलिखित समानता है: 2*x+(-8)+x 2 =0.
बिंदु 2. हम इसे रैखिक समीकरणों के गुणनफल में तोड़ते हैं। चूंकि a=1, और c=-8, तो हम उदाहरण के लिए, ऐसे उत्पाद (x-2)*(x+4) का चयन करेंगे। यह उपरोक्त पैराग्राफ में निर्धारित अपेक्षित कारकों को खोजने के नियमों को संतुष्ट करता है। यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: -8+2*x+x 2 , अर्थात, हमें ठीक वैसा ही व्यंजक मिलता है जैसा कि समीकरण के बाईं ओर होता है। इसका मतलब है कि हमने गुणकों का सही अनुमान लगाया है, और हम एल्गोरिथम के तीसरे चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
मद 3. हम प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करते हैं, हमें प्राप्त होता है: x=-4 और x=2।
यदि प्राप्त परिणाम के बारे में कोई संदेह है, तो मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करके जांच करने की सिफारिश की जाती है। इस मामले में, हमारे पास है: 2*2+2 2 -8=0 और 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. जड़ें सही पाई गईं।
इस प्रकार, गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हुए, हमने पाया कि दिए गए समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं: 2 और -4।
विधि # 2। पूर्ण वर्ग के पूरक
वर्ग समीकरणों के बीजगणित में, गुणक विधि का हमेशा उपयोग नहीं किया जा सकता है, क्योंकि द्विघात समीकरण के गुणांकों के भिन्नात्मक मूल्यों के मामले में, एल्गोरिथ्म के पैराग्राफ 2 के कार्यान्वयन में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।
पूर्ण वर्ग विधि, बदले में, सार्वभौमिक है और इसे किसी भी प्रकार के द्विघात समीकरणों पर लागू किया जा सकता है। इसका सार निम्नलिखित कार्यों को करना है:
- गुणांक ए और बी वाले समीकरण की शर्तों को समानता के एक हिस्से में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, और मुक्त शब्द सी को दूसरे में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
- इसके अलावा, समानता के हिस्सों (दाएं और बाएं) को गुणांक ए से विभाजित किया जाना चाहिए, यानी समीकरण को कम रूप (ए = 1) में प्रस्तुत किया जाना चाहिए।
- गुणांक a और b वाले पदों के योग को एक रैखिक समीकरण के वर्ग के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि a \u003d 1 है, तो रैखिक गुणांक 1 के बराबर होगा, जैसा कि रैखिक समीकरण के मुक्त पद के लिए है, तो यह कम द्विघात समीकरण के रैखिक गुणांक के आधे के बराबर होना चाहिए। रेखीय व्यंजक का वर्ग तैयार करने के बाद, समानता के दाईं ओर संबंधित संख्या को जोड़ना आवश्यक है, जहाँ मुक्त पद स्थित है, जो वर्ग को खोलकर प्राप्त किया जाता है।
- "+" और "-" संकेतों के साथ वर्गमूल लें और पहले से प्राप्त रैखिक समीकरण को हल करें।
वर्णित एल्गोरिथम को पहली नज़र में बल्कि जटिल माना जा सकता है, हालांकि, व्यवहार में इसे फ़ैक्टराइज़ेशन विधि की तुलना में लागू करना आसान है।
पूर्ण वर्ग के पूरक का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण
हम पिछले पैराग्राफ में वर्णित विधि द्वारा इसके समाधान के प्रशिक्षण के लिए एक द्विघात समीकरण का एक उदाहरण देते हैं। द्विघात समीकरण -10 - 6*x+5*x 2 = 0 दिया जाए। हम ऊपर वर्णित एल्गोरिथम का पालन करते हुए इसे हल करना शुरू करते हैं।
बिंदु 1. वर्ग समीकरणों को हल करते समय हम स्थानांतरण विधि का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: - 6 * x + 5 * x 2 = 10।
बिंदु 2. इस समीकरण का घटा हुआ रूप इसके प्रत्येक सदस्य की संख्या 5 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है (यदि समानताएँ दोनों भागों को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो समानता बनी रहेगी)। परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: x 2 - 6/5 * x = 2।
आइटम 3. गुणांक का आधा - 6/5 बराबर -6/10 = -3/5 है, हम इस संख्या का उपयोग पूर्ण वर्ग बनाने के लिए करते हैं, हमें मिलता है: (-3/5 + x) 2 । हम इसका विस्तार करते हैं और परिणामी मुक्त पद को द्विघात समीकरण के मूल रूप को संतुष्ट करने के लिए समानता के बाईं ओर से घटाया जाना चाहिए, जो इसे दाईं ओर जोड़ने के बराबर है। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: (-3/5+x) 2 = 59/25।
बिंदु 4। हम सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों के साथ वर्गमूल की गणना करते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5। दो पाए गए जड़ों के निम्नलिखित मान हैं: x 1 = (√59+3)/5 और x 1 = (3-√59)/5।
चूंकि की गई गणनाएं जड़ों से संबंधित होती हैं, इसलिए गलती होने की संभावना अधिक होती है। इसलिए, जड़ों x 2 और x 1 की शुद्धता की जांच करने की अनुशंसा की जाती है। हमें x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. अब विकल्प x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.
इस प्रकार, हमने दिखाया है कि समीकरण के पाए गए मूल सत्य हैं।
विधि संख्या 3. प्रसिद्ध सूत्र का अनुप्रयोग
द्विघात समीकरणों को हल करने की यह विधि शायद सबसे सरल है, क्योंकि इसमें गुणांकों को एक ज्ञात सूत्र में बदलना शामिल है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको समाधान एल्गोरिदम को संकलित करने के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है, यह केवल एक सूत्र को याद रखने के लिए पर्याप्त है। यह ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।
इस सूत्र में, मूल व्यंजक (b 2 -4*a*c) को विवेचक (D) कहा जाता है। इसके मूल्य पर निर्भर करता है कि कौन सी जड़ें प्राप्त होती हैं। 3 मामले संभव हैं:
- डी> 0, तो मूल दो समीकरण में वास्तविक और अलग-अलग होते हैं।
- डी = 0, फिर एक रूट प्राप्त होता है, जिसकी गणना एक्स = -बी / (ए * 2) से की जा सकती है।
- डी<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.
विवेचक की गणना के माध्यम से समाधान का एक उदाहरण
उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अभ्यास करने के लिए द्विघात समीकरण का एक उदाहरण यहां दिया गया है। -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0 के लिए मूल ज्ञात करें। सबसे पहले, विवेचक के मान की गणना करें, हमें प्राप्त होता है: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.
D . प्राप्त करने के बाद से<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.
विधि संख्या 4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करना
इसे द्विघात समीकरणों को हल करने की आलेखीय विधि भी कहा जाता है। यह कहा जाना चाहिए कि इसका उपयोग, एक नियम के रूप में, मात्रात्मक के लिए नहीं, बल्कि विचाराधीन समीकरण के गुणात्मक विश्लेषण के लिए किया जाता है।
विधि का सार एक द्विघात फलन y = f(x) को आलेखित करना है, जो एक परवलय है। फिर, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि परवलय का भुज (X) अक्ष किन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, वे संबंधित समीकरण के मूल होंगे।
यह बताने के लिए कि क्या एक परवलय x-अक्ष को काटेगा, इसकी न्यूनतम (अधिकतम) की स्थिति और इसकी शाखाओं की दिशा (वे या तो बढ़ या घट सकती हैं) जानने के लिए पर्याप्त है। इस वक्र के दो गुण याद रखने योग्य हैं:
- यदि a>0 - शाखा के परवलय ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं, तो इसके विपरीत, यदि a<0, то они идут вниз.
- परवलय के न्यूनतम (अधिकतम) का निर्देशांक हमेशा x = -b/(2*a) होता है।
उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या समीकरण -4*x+5*x 2 +10 = 0 की जड़ें हैं। संबंधित परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाएगा, क्योंकि a=5>0। इसके चरम के निर्देशांक हैं: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9.2। चूंकि वक्र का न्यूनतम x-अक्ष (y=9.2) से ऊपर है, यह x के किसी भी मान के लिए बाद वाले को प्रतिच्छेद नहीं करता है। अर्थात्, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
विएटा का प्रमेय
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह प्रमेय विधि संख्या 3 का एक परिणाम है, जो एक विवेचक के साथ एक सूत्र के अनुप्रयोग पर आधारित है। विएटा प्रमेय का सार यह है कि यह आपको समीकरण के गुणांकों और इसकी जड़ों को समानता में जोड़ने की अनुमति देता है। हम संबंधित समानताएं प्राप्त करते हैं।
आइए विवेचक के माध्यम से जड़ों की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें। आइए दो जड़ें जोड़ें, हमें मिलता है: x 1 + x 2 \u003d -b / a। अब हम जड़ों को एक दूसरे से गुणा करते हैं: x 1 * x 2, सरलीकरण की एक श्रृंखला के बाद, हमें संख्या c / a मिलती है।
इस प्रकार, विएटा प्रमेय द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, आप प्राप्त दो समानताओं का उपयोग कर सकते हैं। यदि किसी समीकरण के तीनों गुणांक ज्ञात हों, तो इन दोनों समीकरणों के उपयुक्त निकाय को हल करके मूल ज्ञात किए जा सकते हैं।
Vieta के प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण
द्विघात समीकरण तैयार करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात है कि इसका रूप x 2 + c \u003d -b * x है और इसकी जड़ें 3 और -4 हैं।
चूंकि विचाराधीन समीकरण में a \u003d 1 है, तो Vieta सूत्र इस तरह दिखेंगे: x 2 + x 1 \u003d -b और x 2 * x 1 \u003d c। जड़ों के ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: b = 1 और c = -12। नतीजतन, बहाल द्विघात समीकरण इस तरह दिखेगा: x 2 -12 = -1*x। आप इसमें जड़ों के मूल्य को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि समानता कायम है।
विएटा प्रमेय का उल्टा अनुप्रयोग, अर्थात्, समीकरण के ज्ञात रूप के अनुसार जड़ों की गणना, आपको छोटे पूर्णांक ए, बी और सी के लिए जल्दी (सहज रूप से) समाधान खोजने की अनुमति देता है।
कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।
विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
- कोई जड़ नहीं है;
- उनकी ठीक एक जड़ है;
- उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।
यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.
विभेदक
मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।
इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:
- अगर डी< 0, корней нет;
- यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
- यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।
कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके सभी संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:
काम। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:
- एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- एक्स 2 - 6x + 9 = 0।
हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।
विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।
विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।
ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।
वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।
द्विघात समीकरण की जड़ें
अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:
द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र
जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।
D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:
दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।
D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]
अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।
D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:
जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।
अपूर्ण द्विघात समीकरण
ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:
- x2 + 9x = 0;
- x2 - 16 = 0.
यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:
समीकरण ax 2 + bx + c = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण कहलाता है यदि b = 0 या c = 0, अर्थात्। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।
बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.
आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:
चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल तभी समझ में आती है जब (−c / a ) 0. निष्कर्ष:
- यदि ax 2 + c = 0 के रूप का अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
- अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.
जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।
अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:
उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालनाउत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:
काम। द्विघात समीकरणों को हल करें:
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 - 9 = 0.
x 2 - 7x = 0 x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।
4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।
