इस लेख में, हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। मूल त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और आपको ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

हम तुरंत मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सूचीबद्ध करते हैं, जिनका विश्लेषण हम इस लेख में करेंगे। हम उन्हें एक तालिका में लिखते हैं, और नीचे हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति देते हैं और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।

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एक कोण की ज्या और कोज्या के बीच संबंध

कभी-कभी वे ऊपर दी गई तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं मूल त्रिकोणमितीय पहचानतरह . इस तथ्य की व्याख्या काफी सरल है: मूल त्रिकोणमितीय पहचान से समानताएं इसके दोनों भागों को क्रमशः और से विभाजित करने के बाद प्राप्त की जाती हैं, और समानताएं और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का पालन करें। हम निम्नलिखित पैराग्राफ में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

अर्थात्, यह समानता है जो विशेष रुचि की है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। आइए अब इसे साबित करते हैं।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग अक्सर किया जाता है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन. यह एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। कम अक्सर नहीं, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग से बदल दिया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट

रूप के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का तुरंत पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, ज्या y की कोटि है, कोज्या x का भुज है, स्पर्शरेखा भुज के कोटि का अनुपात है, अर्थात्, , और कोटैंजेंट भुज का कोटि से अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की इस स्पष्टता के कारण और अक्सर स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएं भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं दी जाती हैं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से दी जाती हैं। तो एक कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात है, और कोटांगेंट कोज्या और ज्या का अनुपात है।

इस खंड को समाप्त करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और ऐसे सभी कोणों को पकड़ें जिनके लिए उनमें त्रिकोणमितीय कार्य समझ में आते हैं। तो सूत्र किसी अन्य के लिए मान्य है (अन्यथा भाजक शून्य होगा, और हमने विभाजन को शून्य से परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए , से भिन्न , जहाँ z कोई है .

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में एक और भी अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान प्रपत्र के एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह के अलावा किसी भी कोण के लिए होता है, अन्यथा या तो स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट परिभाषित नहीं होता है।

सूत्र का प्रमाण बहुत आसान। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत थोड़ा अलग तरीके से किया जा सकता था। चूंकि और , तब .

तो, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट, जिस पर वे समझ में आते हैं, है।

भाषण: एक स्वेच्छ कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

एक स्वेच्छ कोण की ज्या, कोज्या

यह समझने के लिए कि त्रिकोणमितीय फलन क्या होते हैं, आइए एक इकाई त्रिज्या वाले वृत्त की ओर मुड़ें। यह वृत्त निर्देशांक तल पर मूल बिन्दु पर केन्द्रित है। दिए गए कार्यों को निर्धारित करने के लिए, हम त्रिज्या वेक्टर का उपयोग करेंगे या, जो वृत्त के केंद्र से शुरू होता है, और बिंदु आरवृत्त पर एक बिंदु है। यह त्रिज्या वेक्टर अक्ष के साथ एक कोण अल्फा बनाता है ओह. चूँकि वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, तो या = आर = 1.

यदि बिंदु से आरअक्ष पर लंबवत गिराएं ओह, तो हमें कर्ण के बराबर एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है।

यदि त्रिज्या सदिश दक्षिणावर्त गति करता है, तो यह दिशा कहलाती है नकारात्मक, लेकिन अगर यह वामावर्त चलता है - सकारात्मक.

कोण की ज्या या, बिंदु की कोटि है आरएक सर्कल पर वैक्टर।

अर्थात् किसी दिए गए कोण अल्फा की ज्या का मान ज्ञात करने के लिए निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है परसतह पर।

यह मूल्य कैसे प्राप्त हुआ? चूँकि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक स्वेच्छ कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, हम पाते हैं कि

और तब से आर = 1, तब पाप (α) = y 0 .

इकाई वृत्त में, कोटि मान -1 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि

यूनिट सर्कल की पहली और दूसरी तिमाही में साइन सकारात्मक है, और तीसरे और चौथे में नकारात्मक है।

कोण की कोज्यात्रिज्या वेक्टर द्वारा गठित सर्कल दिया गया या, बिंदु का भुज है आरएक सर्कल पर वैक्टर।

अर्थात् किसी दिए गए कोण अल्फा की कोज्या का मान ज्ञात करने के लिए निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है एक्ससतह पर।

एक समकोण त्रिभुज में एक मनमाना कोण की कोज्या आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है, हम पाते हैं कि

और तब से आर = 1, तब cos(α) = x 0 .

इकाई वृत्त में, भुज का मान -1 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि

यूनिट सर्कल के पहले और चौथे चतुर्थांश में कोसाइन सकारात्मक है, और दूसरे और तीसरे में नकारात्मक है।

स्पर्शरेखामनमाना कोणज्या से कोज्या के अनुपात की गणना की जाती है।

यदि हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं, तो यह विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है। यदि हम एक इकाई वृत्त के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह भुजिका से कोटि का अनुपात है।

इन संबंधों को देखते हुए, यह समझा जा सकता है कि यदि भुज का मान शून्य है, यानी 90 डिग्री के कोण पर है, तो स्पर्शरेखा मौजूद नहीं हो सकती है। स्पर्शरेखा अन्य सभी मान ले सकती है।

यूनिट सर्कल के पहले और तीसरे क्वार्टर में टेंगेंट पॉजिटिव है, और दूसरे और चौथे में नेगेटिव है।

इस लेख ने एकत्र किया है ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट की सारणी. सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय कार्यों के मुख्य मूल्यों की एक तालिका देते हैं, अर्थात, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री ( 0, /6, /4, π/3, /2, …, 2πरेडियन)। उसके बाद, हम वी.एम. ब्रैडिस द्वारा साइन और कोसाइन की एक तालिका, साथ ही स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की एक तालिका देंगे, और दिखाएंगे कि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के दौरान इन तालिकाओं का उपयोग कैसे करें।

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0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा की तालिका

ग्रंथ सूची।

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|बीडी| - बिंदु A पर केन्द्रित वृत्त के चाप की लंबाई।
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( tgα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .
कोटैंजेंट ( सीटीजीα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |BC| .

स्पर्शरेखा

कहाँ एन- पूरा का पूरा।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
;
;
.

स्पर्शरेखा फलन का आलेख, y = tg x

कोटैंजेंट

कहाँ एन- पूरा का पूरा।

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित संकेतन भी अपनाया गया है:
;
;
.

सहस्पर्शी फलन का आलेख, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

दौरा

कार्य y= टीजी एक्सऔर y= सीटीजी एक्सअवधि के साथ आवधिक हैं।

समानता

स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के कार्य विषम हैं।

परिभाषा और मूल्यों के डोमेन, आरोही, अवरोही

फलन स्पर्शरेखा और कोटंगेंट अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर होते हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। टेंगेंट और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- पूर्णांक)।

	वाई = टीजी एक्स	वाई = सीटीजी एक्स
दायरा और निरंतरता
मूल्यों की श्रृंखला	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
आरोही		-
अवरोही	-
चरम	-	-
शून्य, y= 0
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	-

सूत्रों

ज्या और कोज्या के संदर्भ में व्यंजक

; ;
; ;
;

योग और अंतर के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के लिए सूत्र

शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है, उदाहरण के लिए

स्पर्शरेखा का उत्पाद

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के मान दिखाती है।

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

;
;

संजात

; .

.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति > > > ; स्पर्शज्या के लिए > > >

अभिन्न

श्रृंखला में विस्तार

x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए एक घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप xऔर क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे में विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं।

पर ।

पर ।
कहाँ पे बी नहीं- बर्नौली संख्या। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ पे ।
या लाप्लास सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य

स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के प्रतिलोम फलन क्रमशः चाप स्पर्शरेखा और चाप-स्पर्शरेखा हैं।

आर्कटिक, आर्कटिक

, कहाँ पे एन- पूरा का पूरा।

चाप स्पर्शरेखा, arcctg

, कहाँ पे एन- पूरा का पूरा।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, शोधार्थियों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।

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