जो पहले से ही काफी परेशान हैं। और मुझे लगता है कि वह क्षण आ गया है जब सिद्धांत के रणनीतिक भंडार से नया डिब्बाबंद भोजन निकालने का समय आ गया है। क्या किसी अन्य तरीके से फ़ंक्शन को श्रृंखला में विस्तारित करना संभव है? उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा खंड को ज्या और कोज्या के रूप में व्यक्त करना? यह अविश्वसनीय लगता है, लेकिन ऐसे प्रतीत होने वाले दूर के कार्य स्वयं को उधार देते हैं
"पुनर्मिलन"। सिद्धांत और व्यवहार में परिचित डिग्री के अलावा, एक फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करने के अन्य तरीके भी हैं।
इस पाठ में, हम त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला से परिचित होंगे, इसके अभिसरण और योग के मुद्दे पर स्पर्श करेंगे, और निश्चित रूप से, हम फूरियर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार के लिए कई उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। मैं ईमानदारी से लेख को "डमीज के लिए फूरियर सीरीज" कहना चाहता था, लेकिन यह चालाक होगा, क्योंकि समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय विश्लेषण के अन्य वर्गों के ज्ञान और कुछ व्यावहारिक अनुभव की आवश्यकता होगी। इसलिए, प्रस्तावना अंतरिक्ष यात्रियों के प्रशिक्षण के समान होगी =)
सबसे पहले, पृष्ठ सामग्री का अध्ययन उत्कृष्ट आकार में किया जाना चाहिए। नींद, आराम और शांत। एक हम्सटर के टूटे हुए पंजे के बारे में मजबूत भावनाओं के बिना और एक्वैरियम मछली के जीवन की कठिनाइयों के बारे में जुनूनी विचार। फूरियर श्रृंखला समझ के दृष्टिकोण से मुश्किल नहीं है, हालांकि, व्यावहारिक कार्यों के लिए केवल ध्यान की बढ़ी हुई एकाग्रता की आवश्यकता होती है - आदर्श रूप से, बाहरी उत्तेजनाओं को पूरी तरह से छोड़ देना चाहिए। स्थिति इस तथ्य से बढ़ जाती है कि समाधान और उत्तर की जांच करने का कोई आसान तरीका नहीं है। इस प्रकार, यदि आपका स्वास्थ्य औसत से नीचे है, तो कुछ आसान करना बेहतर है। सच।
दूसरे, अंतरिक्ष में उड़ान भरने से पहले, अंतरिक्ष यान के उपकरण पैनल का अध्ययन करना आवश्यक है। आइए उन कार्यों के मूल्यों से शुरू करें जिन्हें मशीन पर क्लिक किया जाना चाहिए:
किसी भी प्राकृतिक मूल्य के लिए:
एक) । और वास्तव में, साइनसॉइड प्रत्येक "पी" के माध्यम से एक्स-अक्ष को "चमकता है":
. तर्क के नकारात्मक मूल्यों के मामले में, परिणाम, निश्चित रूप से, समान होगा: .
2))। लेकिन यह बात हर कोई नहीं जानता था। कोसाइन "पी एन" एक "चमकती रोशनी" के बराबर है:
एक नकारात्मक तर्क मामले को नहीं बदलता है: 
.
शायद काफी।
और तीसरा, प्रिय अंतरिक्ष यात्री वाहिनी, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है ... एकीकृत.
विशेष रूप से, निश्चित एक अंतर चिह्न के तहत एक समारोह लाओ, भागों द्वारा एकीकृत करेंऔर के साथ अच्छी शर्तों पर रहें न्यूटन-लीबनिज सूत्र. आइए महत्वपूर्ण उड़ान-पूर्व अभ्यास शुरू करें। मैं दृढ़ता से इसे छोड़ने की अनुशंसा नहीं करता, ताकि बाद में आप शून्य गुरुत्वाकर्षण में समतल न हों:
उदाहरण 1
निश्चित समाकलों की गणना करें
जहां प्राकृतिक मूल्य लेता है।
फेसला: एकीकरण चर "x" पर किया जाता है और इस स्तर पर असतत चर "एन" को स्थिर माना जाता है। सभी अभिन्नों में फ़ंक्शन को अंतर के संकेत के तहत लाएं:
समाधान का एक छोटा संस्करण, जिसे शूट करना अच्छा होगा, इस तरह दिखता है:
करने के लिए इस्तेमाल किया जा रहा है:
शेष चार अंक अपने दम पर हैं। कार्य को ईमानदारी से करने का प्रयास करें और इंटीग्रल को संक्षेप में व्यवस्थित करें। पाठ के अंत में नमूना समाधान।
गुणवत्ता अभ्यास के बाद, हम स्पेससूट पहनते हैं
और शुरू करने के लिए तैयार हो रहा है!
अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में एक समारोह का विस्तार
आइए एक फ़ंक्शन पर विचार करें कि परिभाषितकम से कम अंतराल पर (और, संभवतः, बड़े अंतराल पर)। यदि यह फ़ंक्शन खंड पर एकीकृत है, तो इसे त्रिकोणमितीय में विस्तारित किया जा सकता है फोरियर श्रेणी:
, तथाकथित कहाँ हैं फूरियर गुणांक.
इस मामले में, संख्या कहा जाता है अपघटन अवधि, और संख्या है आधा जीवन अपघटन.
जाहिर है, सामान्य स्थिति में, फूरियर श्रृंखला में साइन और कोसाइन होते हैं: 
दरअसल, आइए इसे विस्तार से लिखें:
श्रृंखला का शून्य पद आमतौर पर के रूप में लिखा जाता है।
फूरियर गुणांक की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: 
मैं अच्छी तरह से समझता हूं कि शुरुआती लोगों के लिए विषय का अध्ययन करने के लिए नए शब्द अभी भी अस्पष्ट हैं: अपघटन अवधि, आधा चक्र, फूरियर गुणांकऔर अन्य। घबराएं नहीं, यह स्पेसवॉक से पहले के उत्साह की तुलना नहीं है। आइए सब कुछ निकटतम उदाहरण में समझें, निष्पादित करने से पहले व्यावहारिक प्रश्न पूछने के लिए तार्किक है:
निम्नलिखित कार्यों में आपको क्या करने की आवश्यकता है?
फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें। इसके अतिरिक्त, अक्सर किसी फ़ंक्शन का एक ग्राफ, एक श्रृंखला के योग का एक ग्राफ, एक आंशिक योग, और परिष्कृत प्रोफेसनल कल्पनाओं के मामले में, कुछ और करना आवश्यक होता है।
फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार कैसे करें?
अनिवार्य रूप से, आपको खोजने की जरूरत है फूरियर गुणांक, वह है, लिखें और गणना करें तीन निश्चित समाकलन.
कृपया फूरियर श्रृंखला के सामान्य रूप और तीन कार्यशील सूत्रों को अपनी नोटबुक में कॉपी करें। मुझे बहुत खुशी है कि साइट पर आने वाले कुछ लोगों का अंतरिक्ष यात्री बनने का बचपन का सपना मेरी आंखों के सामने सच हो रहा है =)
उदाहरण 2
अंतराल पर फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें। एक ग्राफ, एक श्रृंखला के योग का एक ग्राफ और एक आंशिक योग बनाएँ।
फेसला: कार्य का पहला भाग फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना है।
शुरुआत मानक है, इसे लिखना सुनिश्चित करें:
इस समस्या में, विस्तार अवधि, अर्ध-अवधि।
हम अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं: 
उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं फूरियर गुणांक. अब हमें तीन की रचना और गणना करने की आवश्यकता है निश्चित समाकलन. सुविधा के लिए, मैं अंक दूंगा:
1) पहला अभिन्न सबसे सरल है, हालांकि, इसके लिए पहले से ही एक आंख और एक आंख की आवश्यकता होती है: 
2) हम दूसरे सूत्र का उपयोग करते हैं:
यह अभिन्न अच्छी तरह से जाना जाता है और वह इसे टुकड़ों में लेता है: 
जब इस्तेमाल किया पाया किसी फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के तहत लाने की विधि.
विचाराधीन कार्य में, तुरंत उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है एक निश्चित अभिन्न में भागों द्वारा एकीकरण के लिए सूत्र 
:
तकनीकी नोट्स के एक जोड़े। सबसे पहले, सूत्र लागू करने के बाद संपूर्ण व्यंजक बड़े कोष्ठकों में संलग्न होना चाहिए, क्योंकि मूल समाकल के सामने एक नियतांक है। चलो इसे न खोएं! कोष्ठक किसी भी आगे के चरण में खोले जा सकते हैं, मैंने इसे अंतिम मोड़ पर किया था। पहले "टुकड़े" में 
हम प्रतिस्थापन में अत्यधिक सटीकता दिखाते हैं, जैसा कि आप देख सकते हैं, स्थिरांक व्यवसाय से बाहर है, और उत्पाद में एकीकरण की सीमाएं बदल दी गई हैं। यह क्रिया वर्गाकार कोष्ठकों से चिह्नित है। खैर, सूत्र के दूसरे "टुकड़ा" का अभिन्न अंग आपको प्रशिक्षण कार्य से अच्छी तरह से पता है ;-)
और सबसे महत्वपूर्ण - ध्यान की परम एकाग्रता!
3) हम तीसरे फूरियर गुणांक की तलाश कर रहे हैं:
पिछले अभिन्न का एक रिश्तेदार प्राप्त होता है, जो भी है भागों द्वारा एकीकृत:
यह उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है, मैं आगे के चरणों के बारे में चरण दर चरण टिप्पणी करूंगा: 
(1) संपूर्ण अभिव्यक्ति बड़े कोष्ठकों में संलग्न है।. मैं बोर की तरह नहीं दिखना चाहता था, वे बहुत बार स्थिरांक खो देते हैं।
(2) इस मामले में, मैंने तुरंत उन बड़े कोष्ठकों का विस्तार किया। विशेष ध्यानहम पहले "टुकड़े" के लिए समर्पित हैं: लगातार किनारे पर धूम्रपान करता है और उत्पाद में एकीकरण (और) की सीमाओं को प्रतिस्थापित करने में भाग नहीं लेता है। रिकॉर्ड की अव्यवस्था को देखते हुए, इस क्रिया को वर्ग कोष्ठक में उजागर करना फिर से उचित है। दूसरे "टुकड़े" के साथ 
सब कुछ सरल है: यहां अंश बड़े कोष्ठक खोलने के बाद दिखाई दिया, और स्थिर - परिचित अभिन्न को एकीकृत करने के परिणामस्वरूप ;-)
(3) वर्ग कोष्ठक में, हम परिवर्तन करते हैं, और सही अभिन्न में, हम एकीकरण की सीमा को प्रतिस्थापित करते हैं।
(4) हम वर्ग कोष्ठक से "फ्लैशर" निकालते हैं: , जिसके बाद हम आंतरिक कोष्ठक खोलते हैं: ।
(5) हम कोष्ठक में 1 और 1 को रद्द करते हैं, हम अंतिम सरलीकरण करते हैं।
अंत में सभी तीन फूरियर गुणांक पाए गए: 
उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें 
:
आधे में विभाजित करना न भूलें। अंतिम चरण में, स्थिरांक ("माइनस टू"), जो "एन" पर निर्भर नहीं करता है, को योग से निकाल दिया जाता है।
इस प्रकार, हमने अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त किया है: 
आइए हम फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का अध्ययन करें। मैं विशेष रूप से सिद्धांत की व्याख्या करूंगा डिरिचलेट प्रमेय, शाब्दिक रूप से "उंगलियों पर", इसलिए यदि आपको सख्त फॉर्मूलेशन की आवश्यकता है, तो कृपया कैलकुस पर एक पाठ्यपुस्तक देखें (उदाहरण के लिए, बोहन का दूसरा खंड या फिचटेनहोल्ट्ज़ का तीसरा खंड, लेकिन इसमें यह अधिक कठिन है).
कार्य के दूसरे भाग में, एक ग्राफ, एक श्रृंखला योग ग्राफ और एक आंशिक योग ग्राफ बनाना आवश्यक है।
फ़ंक्शन का ग्राफ सामान्य है विमान पर सीधी रेखा, जो एक काली बिंदीदार रेखा से खींची गई है: 
हम श्रृंखला के योग से निपटते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, कार्यात्मक श्रृंखला कार्यों में परिवर्तित होती है। हमारे मामले में, निर्मित फूरियर श्रृंखला 
"x" के किसी भी मान के लिएलाल रंग में दिखाए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है। यह फ़ंक्शन के अधीन है पहली तरह के ब्रेकबिंदुओं में, लेकिन उनमें भी परिभाषित (ड्राइंग में लाल बिंदु)
इस प्रकार: 
. यह देखना आसान है कि यह मूल फ़ंक्शन से स्पष्ट रूप से भिन्न है, यही वजह है कि अंकन में 
एक समान चिह्न के बजाय एक टिल्ड का उपयोग किया जाता है।
आइए हम एक एल्गोरिथम का अध्ययन करें जिसके द्वारा एक श्रृंखला के योग का निर्माण करना सुविधाजनक है।
केंद्रीय अंतराल पर, फूरियर श्रृंखला स्वयं फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है (केंद्रीय लाल खंड रैखिक फ़ंक्शन की काली बिंदीदार रेखा के साथ मेल खाता है)।
अब चलो त्रिकोणमितीय विस्तार की प्रकृति के बारे में थोड़ा बात करते हैं। फोरियर श्रेणी 
केवल आवधिक कार्य (स्थिर, साइन और कोसाइन) शामिल हैं, इसलिए श्रृंखला का योग 
एक आवधिक कार्य भी है.
हमारे विशेष उदाहरण में इसका क्या अर्थ है? और इसका मतलब है कि श्रृंखला का योग 
–अनिवार्य रूप से आवधिकऔर अंतराल के लाल खंड को बाएँ और दाएँ असीम रूप से दोहराया जाना चाहिए।
मुझे लगता है कि अब "अपघटन की अवधि" वाक्यांश का अर्थ अंततः स्पष्ट हो गया है। सीधे शब्दों में कहें तो हर बार स्थिति बार-बार खुद को दोहराती है।
व्यवहार में, यह आमतौर पर अपघटन की तीन अवधियों को चित्रित करने के लिए पर्याप्त होता है, जैसा कि चित्र में किया गया है। खैर, और पड़ोसी अवधियों के "स्टंप" - यह स्पष्ट करने के लिए कि चार्ट जारी है।
विशेष रुचि के हैं पहली तरह के असंततता बिंदु. ऐसे बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला अलग-अलग मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है, जो कि "कूद" (ड्राइंग में लाल बिंदु) के बीच में स्थित हैं। इन बिंदुओं की कोटि कैसे ज्ञात करें? सबसे पहले, आइए "ऊपरी मंजिल" की कोटि खोजें: इसके लिए, हम केंद्रीय विस्तार अवधि के सबसे दाहिने बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: । "निचली मंजिल" के कोटि की गणना करने के लिए, सबसे आसान तरीका उसी अवधि का सबसे बाईं ओर का मान लेना है: 
. माध्य मान का कोटि "ऊपर और नीचे" के योग का अंकगणितीय माध्य है: . अच्छी बात यह है कि ड्राइंग बनाते समय, आप तुरंत देखेंगे कि मध्य की गणना सही ढंग से की गई है या गलत।
आइए हम श्रृंखला के आंशिक योग का निर्माण करें और साथ ही साथ "अभिसरण" शब्द के अर्थ को दोहराएं। मकसद के बारे में पाठ से जाना जाता है संख्या श्रृंखला का योग. आइए अपने धन का विस्तार से वर्णन करें:
आंशिक योग बनाने के लिए, आपको श्रृंखला के शून्य + दो और शब्द लिखने होंगे। अर्थात,
ड्राइंग में, फ़ंक्शन का ग्राफ़ हरे रंग में दिखाया गया है, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, यह कुल योग को "चारों ओर लपेटता है"। यदि हम श्रृंखला के पांच पदों के आंशिक योग पर विचार करते हैं, तो इस फ़ंक्शन का ग्राफ लाल रेखाओं को और भी सटीक रूप से अनुमानित करेगा, यदि सौ शब्द हैं, तो "हरा सर्प" वास्तव में लाल खंडों के साथ पूरी तरह से विलीन हो जाएगा, आदि। इस प्रकार, फूरियर श्रृंखला अपने योग में परिवर्तित हो जाती है।
यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कोई भी आंशिक योग है निरंतर कार्य, लेकिन श्रृंखला का कुल योग अभी भी बंद है।
व्यवहार में, आंशिक योग ग्राफ बनाना असामान्य नहीं है। यह कैसे करना है? हमारे मामले में, खंड पर फ़ंक्शन पर विचार करना आवश्यक है, खंड के सिरों पर और मध्यवर्ती बिंदुओं पर इसके मूल्यों की गणना करें (जितने अधिक बिंदुओं पर आप विचार करेंगे, ग्राफ़ उतना ही सटीक होगा)। फिर आपको इन बिंदुओं को ड्राइंग पर चिह्नित करना चाहिए और ध्यान से अवधि पर एक ग्राफ बनाना चाहिए, और फिर इसे आसन्न अंतराल में "दोहराना" चाहिए। और कैसे? आखिरकार, सन्निकटन भी एक आवधिक कार्य है ... ... इसका ग्राफ किसी तरह मुझे एक चिकित्सा उपकरण के प्रदर्शन पर एक समान हृदय ताल की याद दिलाता है।
बेशक, निर्माण करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि आपको बेहद सावधान रहना होगा, कम से कम आधा मिलीमीटर की सटीकता बनाए रखना होगा। हालांकि, मैं उन पाठकों को खुश करूंगा जो ड्राइंग के साथ बाधाओं में हैं - एक "वास्तविक" कार्य में, ड्राइंग करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, कहीं न कहीं 50% मामलों में फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने की आवश्यकता होती है और वह है यह।
ड्राइंग पूरा करने के बाद, हम कार्य पूरा करते हैं:
जवाब: 
कई कार्यों में, समारोह ग्रस्त है पहली तरह का टूटनाअपघटन अवधि पर अधिकार:
उदाहरण 3
फूरियर श्रृंखला में अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का विस्तार करें। फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ और श्रृंखला का कुल योग बनाएं।
प्रस्तावित कार्य टुकड़े-टुकड़े में दिया गया है (और, ध्यान रहे, केवल खंड पर)और सहना पहली तरह का टूटनाबिंदु पर। क्या फूरियर गुणांक की गणना करना संभव है? कोई बात नहीं। फलन के बाएँ और दाएँ दोनों भाग अपने अंतराल पर समाकलनीय हैं, इसलिए तीनों सूत्रों में से प्रत्येक में समाकलों को दो समाकलों के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। आइए देखें, उदाहरण के लिए, यह शून्य गुणांक के लिए कैसे किया जाता है:
दूसरा इंटीग्रल शून्य के बराबर निकला, जिससे काम कम हो गया, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।
दो अन्य फूरियर गुणांक इसी तरह लिखे गए हैं।
श्रृंखला का योग कैसे प्रदर्शित करें? बाएं अंतराल पर हम एक सीधी रेखा खंड खींचते हैं, और अंतराल पर - एक सीधी रेखा खंड (अक्ष अनुभाग को बोल्ड-बोल्ड में हाइलाइट करें)। यही है, विस्तार अंतराल पर, श्रृंखला का योग तीन "खराब" बिंदुओं को छोड़कर, हर जगह फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है। फ़ंक्शन के असंततता बिंदु पर, फूरियर श्रृंखला एक पृथक मान में परिवर्तित हो जाती है, जो कि असंततता के "कूद" के ठीक बीच में स्थित है। इसे मौखिक रूप से देखना मुश्किल नहीं है: बाएं हाथ की सीमा: दाएं हाथ की सीमा: 
और, जाहिर है, मध्यबिंदु की कोटि 0.5 है।
योग की आवधिकता के कारण, चित्र को पड़ोसी अवधियों में "गुणा" किया जाना चाहिए, विशेष रूप से, अंतराल पर एक ही चीज़ को चित्रित करें और। इस मामले में, बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला औसत मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है।
दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है।
इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें। पाठ के अंत में बढ़िया डिजाइन और ड्राइंग का एक अनुमानित नमूना।
एक फूरियर श्रृंखला में एक मनमाना अवधि पर एक समारोह का विस्तार
एक मनमाना विस्तार अवधि के लिए, जहां "एल" कोई सकारात्मक संख्या है, फूरियर श्रृंखला और फूरियर गुणांक के सूत्र थोड़े जटिल साइन और कोसाइन तर्क में भिन्न होते हैं:
यदि , तो हमें उस अंतराल के सूत्र मिलते हैं जिससे हमने शुरुआत की थी।
समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म और सिद्धांत पूरी तरह से संरक्षित हैं, लेकिन गणना की तकनीकी जटिलता बढ़ जाती है:
उदाहरण 4
फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और योग को प्लॉट करें। 
फेसला: वास्तव में, उदाहरण संख्या 3 के साथ . का एक एनालॉग पहली तरह का टूटनाबिंदु पर। इस समस्या में, विस्तार अवधि, अर्ध-अवधि। फ़ंक्शन को केवल आधे-अंतराल पर परिभाषित किया गया है, लेकिन यह चीजों को नहीं बदलता है - यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन के दोनों भाग अभिन्न हों।
आइए फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें:
चूंकि फ़ंक्शन मूल रूप से बंद है, प्रत्येक फूरियर गुणांक को स्पष्ट रूप से दो इंटीग्रल के योग के रूप में लिखा जाना चाहिए:
1) मैं जितना संभव हो उतना विस्तृत रूप से पहला अभिन्न अंग लिखूंगा:
2) ध्यान से चंद्रमा की सतह पर झाँकें:
दूसरा अभिन्न भागों में ले लो:
समाधान की निरंतरता को तारांकन के साथ खोलने के बाद आपको क्या ध्यान देना चाहिए?
सबसे पहले, हम पहला अभिन्न नहीं खोते हैं 
, जहां हम तुरंत निष्पादित करते हैं अंतर के संकेत के तहत लाना. दूसरे, बड़े कोष्ठक से पहले अशुभ स्थिरांक को न भूलें और संकेतों से भ्रमित न होंसूत्र का उपयोग करते समय 
. बड़े कोष्ठक, आखिरकार, अगले चरण में तुरंत खोलना अधिक सुविधाजनक है।
बाकी तकनीक का मामला है, इंटीग्रल को हल करने में केवल अपर्याप्त अनुभव ही कठिनाइयों का कारण बन सकता है।
हाँ, यह व्यर्थ नहीं था कि फ्रांसीसी गणितज्ञ फूरियर के प्रख्यात सहयोगी क्रोधित थे - उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला में कार्यों को विघटित करने की हिम्मत कैसे की?! =) वैसे, प्रश्न में कार्य के व्यावहारिक अर्थ में शायद सभी की दिलचस्पी है। फूरियर ने खुद गर्मी चालन के गणितीय मॉडल पर काम किया, और बाद में उनके नाम की श्रृंखला का उपयोग कई आवधिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाने लगा, जो बाहरी दुनिया में स्पष्ट रूप से अदृश्य हैं। अब, वैसे, मैंने खुद को यह सोचकर पकड़ लिया कि यह कोई संयोग नहीं था कि मैंने दूसरे उदाहरण के ग्राफ की तुलना आवधिक हृदय ताल से की। इच्छुक लोग व्यावहारिक अनुप्रयोग से परिचित हो सकते हैं फूरियर रूपांतरणतीसरे पक्ष के स्रोतों से। ... हालांकि यह बेहतर नहीं है - इसे पहले प्यार के रूप में याद किया जाएगा =)
3) बार-बार उल्लिखित कमजोर लिंक को देखते हुए, हम तीसरे गुणांक से निपटते हैं:
भागों द्वारा एकीकृत करना: 
हम सूत्र में पाए गए फूरियर गुणांक को प्रतिस्थापित करते हैं 
, शून्य गुणांक को आधे में विभाजित करना न भूलें:
आइए श्रृंखला के योग की साजिश करें। आइए प्रक्रिया को संक्षेप में दोहराएं: अंतराल पर हम एक रेखा बनाते हैं, और अंतराल पर - एक रेखा। "एक्स" के शून्य मान के साथ, हम अंतराल के "कूद" के बीच में एक बिंदु डालते हैं और पड़ोसी अवधियों के लिए चार्ट को "प्रतिकृति" करते हैं: 
अवधियों के "जंक्शन" पर, योग भी अंतराल के "कूद" के मध्य बिंदुओं के बराबर होगा।
तैयार। मैं आपको याद दिलाता हूं कि फ़ंक्शन को केवल आधे अंतराल पर सशर्त रूप से परिभाषित किया गया है और जाहिर है, अंतराल पर श्रृंखला के योग के साथ मेल खाता है
जवाब:
कभी-कभी विस्तार अवधि पर भी एक टुकड़ा दिया गया कार्य निरंतर होता है। सबसे सरल उदाहरण: 
. फेसला (बोहन खंड 2 देखें)पिछले दो उदाहरणों के समान है: के बावजूद कार्य निरंतरताबिंदु पर, प्रत्येक फूरियर गुणांक को दो समाकलनों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।
ब्रेकअप इंटरवल में पहली तरह के असंततता बिंदुऔर / या ग्राफ़ के "जंक्शन" बिंदु अधिक हो सकते हैं (दो, तीन, और सामान्य तौर पर कोई भी अंतिमरकम)। यदि कोई फलन प्रत्येक भाग पर समाकलनीय है, तो वह फूरियर श्रृंखला में भी विस्तार योग्य है। लेकिन व्यावहारिक अनुभव से, मुझे ऐसा टिन याद नहीं है। फिर भी, केवल विचार किए जाने की तुलना में अधिक कठिन कार्य हैं, और लेख के अंत में सभी के लिए बढ़ी हुई जटिलता की फूरियर श्रृंखला के लिंक हैं।
इस बीच, आइए आराम करें, अपनी कुर्सियों पर वापस झुकें और सितारों के अंतहीन विस्तार पर विचार करें:
उदाहरण 5
अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और श्रृंखला के योग को प्लॉट करें।
इस कार्य में, समारोह निरंतरअपघटन आधा अंतराल पर, जो समाधान को सरल करता है। सब कुछ उदाहरण # 2 के समान है। अंतरिक्ष यान से कोई पलायन नहीं है - आपको तय करना होगा =) पाठ के अंत में एक अनुमानित डिजाइन नमूना, अनुसूची संलग्न है।
सम और विषम कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार
सम और विषम कार्यों के साथ, समस्या को हल करने की प्रक्रिया काफ़ी सरल हो जाती है। और यही कारण है। चलो "दो पीआई" की अवधि में फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार पर वापस आते हैं 
और मनमाना अवधि "दो एल्स" 
.
आइए मान लें कि हमारा कार्य सम है। श्रृंखला के सामान्य शब्द, जैसा कि आप देख सकते हैं, में कोसाइन और विषम ज्या भी शामिल हैं। और अगर हम एक ईवन फ़ंक्शन को विघटित करते हैं, तो हमें विषम साइन की आवश्यकता क्यों है ?! आइए अनावश्यक गुणांक को रीसेट करें: ।
इस प्रकार, एक सम फ़ंक्शन केवल कोसाइन में फूरियर श्रृंखला में फैलता है:
जहां तक कि सम कार्यों के समाकलनएकीकरण के एक खंड पर शून्य के संबंध में सममित को दोगुना किया जा सकता है, फिर शेष फूरियर गुणांक भी सरल हो जाते हैं।
अवधि के लिए: 
एक मनमाना अंतराल के लिए: 
लगभग किसी भी पथरी पाठ्यपुस्तक में पाए जाने वाले पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों में सम कार्यों का विस्तार शामिल है 
. इसके अलावा, वे मेरे व्यक्तिगत अभ्यास में बार-बार मिले हैं:
उदाहरण 6
एक समारोह दिया। आवश्यक:
1) अवधि के साथ फूरियर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें, जहां एक मनमाना सकारात्मक संख्या है;
2) अंतराल पर विस्तार लिखें, एक फ़ंक्शन बनाएं और श्रृंखला के कुल योग को ग्राफ़ करें।
फेसला: पहले पैराग्राफ में, समस्या को सामान्य तरीके से हल करने का प्रस्ताव है, और यह बहुत सुविधाजनक है! एक आवश्यकता होगी - बस अपने मूल्य को स्थानापन्न करें।
1) इस समस्या में, विस्तार अवधि, अर्ध-अवधि। आगे की कार्रवाइयों के दौरान, विशेष रूप से एकीकरण के दौरान, "एल" को एक स्थिरांक माना जाता है
फ़ंक्शन सम है, जिसका अर्थ है कि यह केवल कोसाइन में फूरियर श्रृंखला में फैलता है: 
.
फूरियर गुणांक सूत्रों द्वारा मांगे जाते हैं 
. उनके पूर्ण लाभों पर ध्यान दें। सबसे पहले, विस्तार के सकारात्मक खंड पर एकीकरण किया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम सुरक्षित रूप से मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं 
, दो टुकड़ों में से केवल "x" पर विचार करते हुए। और, दूसरी बात, एकीकरण काफ़ी सरल है।
दो: 
भागों द्वारा एकीकृत करना:
इस प्रकार:
, जबकि अचर , जो "en" पर निर्भर नहीं करता है, को योग से निकाल लिया जाता है।
जवाब: 
2) हम अंतराल पर विस्तार लिखते हैं, इसके लिए हम अर्ध-अवधि के वांछित मान को सामान्य सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
कई चापों के कोसाइन और साइन में एक श्रृंखला, यानी फॉर्म की एक श्रृंखला
या जटिल रूप में
कहाँ पे एक को,बी केया, क्रमशः, सी केबुलाया टी। आर के गुणांक।
पहली बार टी. आर. एल। यूलर (एल। यूलर, 1744) में मिलें। उसे विस्तार मिला
सभी हैं। 18 वीं सदी एक स्ट्रिंग के मुक्त कंपन की समस्या के अध्ययन के संबंध में, टी। आर के योग के रूप में स्ट्रिंग की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाने वाले फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने की संभावना पर सवाल उठा। इस सवाल ने एक गर्म बहस का कारण बना जो कई दशकों तक चली, उस समय के सर्वश्रेष्ठ विश्लेषकों - डी। बर्नौली, जे। डी "एलेम्बर्ट, जे। लैग्रेंज, एल। यूलर ( एल। यूलर)। फ़ंक्शन की अवधारणा की सामग्री से संबंधित विवाद। उस समय, फ़ंक्शन आमतौर पर उनके विश्लेषण से जुड़े होते थे। असाइनमेंट, जिसके कारण केवल विश्लेषणात्मक या टुकड़े-टुकड़े विश्लेषणात्मक कार्यों पर विचार किया गया। और यहाँ यह एक ऐसे फलन के लिए आवश्यक हो गया जिसका ग्राफ इस फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले T. r का निर्माण करने के लिए पर्याप्त रूप से मनमाना वक्र है। लेकिन इन विवादों का महत्व अधिक है। वास्तव में, उन्होंने गणित की कई मौलिक रूप से महत्वपूर्ण अवधारणाओं और विचारों से संबंधित प्रश्नों के संबंध में चर्चा की या उठे। सामान्य रूप से विश्लेषण - टेलर श्रृंखला और विश्लेषणात्मक द्वारा कार्यों का प्रतिनिधित्व। कार्यों की निरंतरता, भिन्न श्रृंखला का उपयोग, सीमाओं का क्रमपरिवर्तन, समीकरणों की अनंत प्रणाली, बहुपदों द्वारा कार्यों का प्रक्षेप आदि।
और भविष्य में, जैसा कि इस प्रारंभिक काल में, टी। आर। का सिद्धांत। गणित में नए विचारों के स्रोत के रूप में कार्य किया। 18वीं सदी के गणितज्ञों के बीच विवाद पैदा करने वाले प्रश्न का समाधान 1807 में जे. फूरियर ने किया, जिन्होंने टी. आर. के गुणांकों की गणना के लिए सूत्र प्रदान किए। (1), जो चाहिए। फलन f(x) पर निरूपित करते हैं:
और उन्हें गर्मी चालन समस्याओं को हल करने में लागू किया। सूत्रों (2) को फूरियर सूत्र कहा जाता है, हालांकि उनका सामना पहले ए. क्लेयरौट (1754) द्वारा किया गया था, और एल। यूलर (1777) टर्म-बाय-टर्म इंटीग्रेशन का उपयोग करके उनके पास आए थे। टी. आर. (1), जिसके गुणांक सूत्र (2) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, कहलाते हैं। फूरियर फ़ंक्शन f के पास, और संख्याएँ एक के, बी के- फूरियर गुणांक।
प्राप्त परिणामों की प्रकृति इस बात पर निर्भर करती है कि किसी फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व को एक श्रृंखला के रूप में कैसे समझा जाता है, सूत्रों में अभिन्न (2) को कैसे समझा जाता है। टी। नदी के सिद्धांत का आधुनिक दृष्टिकोण। Lebesgue अभिन्न की उपस्थिति के बाद हासिल किया।
टी। आर का सिद्धांत। सशर्त रूप से दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जा सकता है - सिद्धांत फोरियर श्रेणी,जिसमें यह माना जाता है कि श्रृंखला (1) एक निश्चित कार्य की फूरियर श्रृंखला है, और सामान्य टी.आर. का सिद्धांत है, जहां ऐसी धारणा नहीं बनाई गई है। सामान्य टी. आर. के सिद्धांत में प्राप्त मुख्य परिणाम नीचे दिए गए हैं। (इस मामले में, सेट की माप और कार्यों की मापनीयता को लेबेस्ग्यू के अनुसार समझा जाता है)।
पहला व्यवस्थित अनुसंधान टी. आर., जिसमें यह नहीं माना गया था कि ये श्रृंखला फूरियर श्रृंखला हैं, वी. रीमैन (वी. रीमैन, 1853) का शोध प्रबंध था। इसलिए, सामान्य टी। आर का सिद्धांत। बुलाया कभी-कभी थर्मोडायनामिक्स का रीमैनियन सिद्धांत।
मनमाना T. r के गुणों का अध्ययन करना। (1) गुणांक के साथ शून्य B. रीमैन ने निरंतर कार्य F(x) पर विचार किया ,
जो एक समान अभिसरण श्रृंखला का योग है
श्रृंखला (1) के दो गुना टर्म-बाय-टर्म इंटीग्रेशन के बाद प्राप्त किया गया। यदि श्रृंखला (1) किसी बिंदु x पर एक संख्या s में परिवर्तित होती है, तो इस बिंदु पर दूसरा सममित मौजूद होता है और s के बराबर होता है। फ़ंक्शन F का व्युत्पन्न:
तो यह कारकों द्वारा उत्पन्न श्रृंखला (1) के योग की ओर जाता है 
बुलाया रीमैन समन विधि द्वारा। फ़ंक्शन F का उपयोग करके, रीमैन स्थानीयकरण सिद्धांत तैयार किया जाता है, जिसके अनुसार बिंदु x पर श्रृंखला (1) का व्यवहार केवल इस बिंदु के मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में फ़ंक्शन F के व्यवहार पर निर्भर करता है।
यदि टी. आर. सकारात्मक माप के एक सेट पर अभिसरण होता है, फिर इसके गुणांक शून्य हो जाते हैं (कैंटोर-लेबेसेग प्रमेय)। शून्य गुणांक की प्रवृत्ति टी। आर। दूसरी श्रेणी (डब्ल्यू यंग, डब्ल्यू यंग, 1909) के एक सेट पर इसके अभिसरण से भी अनुसरण करता है।
सामान्य ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांत की केंद्रीय समस्याओं में से एक एक मनमाना कार्य T. r का प्रतिनिधित्व करने की समस्या है। एबेल-पॉइसन और रीमैन द्वारा टीआर के कार्यों के प्रतिनिधित्व पर एन। एन। लुज़िन (1915) के परिणामों को मजबूत करना, लगभग हर जगह योग करने योग्य, डी। ई। मेनशोव ने निम्नलिखित प्रमेय (1940) को सिद्ध किया, जो कि सबसे महत्वपूर्ण मामले को संदर्भित करता है जब का प्रतिनिधित्व फ़ंक्शन f को T. r के अभिसरण के रूप में समझा जाता है। को एफ(x) लगभग हर जगह। प्रत्येक मापने योग्य और परिमित के लिए लगभग हर जगह f, एक T. R. मौजूद होता है जो लगभग हर जगह (मेन'शोव की प्रमेय) में परिवर्तित हो जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भले ही फ़ंक्शन f अभिन्न हो, फिर, आम तौर पर, कोई फ़ंक्शन f की फूरियर श्रृंखला को ऐसी श्रृंखला के रूप में नहीं ले सकता है, क्योंकि फूरियर श्रृंखलाएं हैं जो हर जगह विचलन करती हैं।
उपरोक्त मेन्सोव प्रमेय निम्नलिखित शोधन को स्वीकार करता है: यदि कोई फ़ंक्शन f मापने योग्य है और लगभग हर जगह परिमित है, तो एक निरंतर कार्य मौजूद है जैसे कि 
लगभग हर जगह, और शब्द-दर-अवधि विभेदित फूरियर श्रृंखला फ़ंक्शन j लगभग हर जगह f (x) में परिवर्तित हो जाती है (N. K. बारी, 1952)।
यह ज्ञात नहीं है (1984) कि क्या मेनशोव के प्रमेय में लगभग हर जगह फ़ंक्शन f के लिए परिमितता की स्थिति को छोड़ना संभव है। विशेष रूप से, यह ज्ञात नहीं है (1984) कि क्या टी. आर. लगभग हर जगह अभिसरण
इसलिए, सकारात्मक माप के एक सेट पर अनंत मूल्यों पर कार्य करने वाले कार्यों का प्रतिनिधित्व करने की समस्या को उस मामले के लिए माना जाता था जहां लगभग हर जगह अभिसरण को कमजोर आवश्यकता, माप में अभिसरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। उन कार्यों के माप में अभिसरण जो अनंत मूल्यों को ले सकते हैं, उन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: आंशिक रकम का अनुक्रम टी। पी। एस नहीं(x) माप में फलन f(x) में परिवर्तित होता है .
अगर कहाँ एफ नहीं(x) लगभग हर जगह / (x) में अभिसरण करता है, और अनुक्रम माप में शून्य में परिवर्तित हो जाता है। इस सेटिंग में, कार्यों के प्रतिनिधित्व की समस्या को अंत तक हल किया गया है: प्रत्येक मापने योग्य फ़ंक्शन के लिए, एक टी.आर. मौजूद है जो इसे माप में परिवर्तित करता है (डी। ई। मेनशोव, 1948)।
टी आर की विशिष्टता की समस्या के लिए बहुत शोध समर्पित किया गया है: क्या दो अलग-अलग टी एक ही कार्य के लिए अलग हो सकते हैं? एक अलग फॉर्मूलेशन में: यदि टी। आर। शून्य में परिवर्तित हो जाता है, तो क्या यह इस बात का अनुसरण करता है कि श्रृंखला के सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। यहां किसी एक निश्चित सेट के बाहर सभी बिंदुओं पर या सभी बिंदुओं पर अभिसरण का अर्थ हो सकता है। इन प्रश्नों का उत्तर अनिवार्य रूप से उस समुच्चय के गुणों पर निर्भर करता है जिसके बाहर अभिसरण की कल्पना नहीं की जाती है।
निम्नलिखित शब्दावली स्थापित की गई है। कई नाम। विशिष्टता सेटया यू के आकारसेट करें यदि, T. r के अभिसरण से। हर जगह शून्य करने के लिए, सिवाय, शायद, सेट के बिंदुओं के लिए इ,यह इस प्रकार है कि इस श्रृंखला के सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं। वरना ऐनाज़। एम-सेट।
जैसा कि जी कैंटर (1872) ने दिखाया, खाली सेट, साथ ही साथ कोई भी परिमित सेट, यू-सेट हैं। एक मनमाना गणनीय समुच्चय भी एक यू-सेट (डब्ल्यू जंग, 1909) है। दूसरी ओर, सकारात्मक माप का प्रत्येक सेट एक एम-सेट है।
माप शून्य के एम-सेट का अस्तित्व डी.ई. मेनशोव (1916) द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने इन गुणों के साथ एक पूर्ण सेट का पहला उदाहरण बनाया था। विशिष्टता की समस्या में इस परिणाम का मौलिक महत्व है। यह माप शून्य के एम-सेट के अस्तित्व से इस प्रकार है कि, टीआर के कार्यों के प्रतिनिधित्व में, जो लगभग हर जगह अभिसरण करते हैं, इन श्रृंखलाओं को हमेशा अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।
परफेक्ट सेट यू-सेट भी हो सकते हैं (एन. के. बारी; ए. राजचमन, ए. राजचमन, 1921)। माप शून्य के सेट की बहुत सूक्ष्म विशेषताएं विशिष्टता की समस्या में एक आवश्यक भूमिका निभाती हैं। शून्य पर माप के सेट के वर्गीकरण के बारे में सामान्य प्रश्न एम-और यू-सेट्स (1984) खुला रहता है। यह सही सेट के लिए भी हल नहीं होता है।
निम्नलिखित समस्या विशिष्टता समस्या से संबंधित है। यदि टी. आर. समारोह में परिवर्तित हो जाता है 
तो क्या यह श्रृंखला फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला होनी चाहिए /। P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) ने इस प्रश्न का सकारात्मक उत्तर दिया यदि f रीमैन के अर्थ में अभिन्न है और श्रृंखला सभी बिंदुओं पर f(x) में परिवर्तित हो जाती है। परिणाम III से। जे. वैली पॉसिन (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) का तात्पर्य है कि उत्तर सकारात्मक है, भले ही श्रृंखला अंक के एक गणनीय सेट को छोड़कर हर जगह अभिसरण करती है और इसका योग परिमित है।
यदि कोई T. p किसी बिंदु x 0 पर पूरी तरह से अभिसरण करता है, तो इस श्रृंखला के अभिसरण के बिंदु, साथ ही साथ इसके पूर्ण अभिसरण के बिंदु, बिंदु x 0 के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं।
(पी. फतौ, पी. फतोउ, 1906)।
इसके अनुसार डेनजॉय - लुज़िन प्रमेय T. r के पूर्ण अभिसरण से। (1) सकारात्मक माप के एक सेट पर, श्रृंखला अभिसरण करती है 
और, परिणामस्वरूप, सभी के लिए श्रृंखला (1) का पूर्ण अभिसरण एक्स।यह संपत्ति दूसरी श्रेणी के सेटों के साथ-साथ माप शून्य के कुछ सेटों के पास भी है।
इस सर्वेक्षण में केवल एक आयामी T. r शामिल है। (एक)। सामान्य टी.पी. से संबंधित अलग-अलग परिणाम हैं। कई चर से। यहां कई मामलों में अभी भी प्राकृतिक समस्या बयानों को खोजना आवश्यक है।
लिट: बारी एन.के., त्रिकोणमितीय श्रृंखला, एम।, 1961; सिगमंड ए।, त्रिकोणमितीय श्रृंखला, ट्रांस। अंग्रेजी से, खंड 1-2, एम., 1965; लुज़िन एन.एन., इंटीग्रल और त्रिकोणमितीय श्रृंखला, एम.-एल।, 1951; रीमैन बी, वर्क्स, ट्रांस। जर्मन से, एम.-एल., 1948, पृ. 225-61।
एस ए तेल्याकोवस्की।
- - अंतिम त्रिकोणमितीय योग, - वास्तविक गुणांक a 0, और k, bk, k=l, के साथ रूप की अभिव्यक्ति। . ।, n; नंबर n कहा जाता है। आदेश टी. 0)...
गणितीय विश्वकोश
- - कई चापों के कोसाइन और साइन में एक श्रृंखला, यानी फॉर्म की एक श्रृंखला या जटिल रूप में जहां एके, बीके या, क्रमशः, सीके कहा जाता है। टी। आर के गुणांक। पहली बार टी. आर. एल यूलर में मिलें ...
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- - त्रिभुज बिंदु, - भूगणितीय बिंदु, जिसकी स्थिति पृथ्वी की सतह पर त्रिभुज की विधि से निर्धारित होती है ...
बड़ा विश्वकोश पॉलिटेक्निक शब्दकोश
- - त्रिकोणासन देखें...
ब्रोकहॉस और यूफ्रोन का विश्वकोश शब्दकोश
- - भूगणित में, त्रिकोणमितीय बिंदुओं पर जमीन पर स्थापित एक संरचना। वां। दो भाग होते हैं - बाहरी और भूमिगत...
महान सोवियत विश्वकोश
- - रूप की एक कार्यात्मक श्रृंखला, अर्थात्, कई चापों की साइन और कोसाइन के साथ स्थित एक श्रृंखला। अक्सर टी. आर. जटिल रूप में लिखा है।
माना एक त्रिकोणमितीय श्रंखला दी गई है
यह पता लगाने के लिए कि क्या यह अभिसरण करता है, संख्या श्रृंखला पर विचार करना स्वाभाविक है
(2)
प्रमुखता, जैसा कि वे कहते हैं, श्रृंखला (1)। इसके सदस्य क्रमशः श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से अधिक हैं (1):
.
यह इस प्रकार है कि यदि श्रृंखला (2) अभिसरण करती है, तो श्रृंखला (1) सभी के लिए और इसके अलावा, बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होती है (हमारी पुस्तक हायर मैथमेटिक्स देखें। डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस, 9.8, प्रमेय 1)। लेकिन श्रृंखला (1) बिना श्रृंखला (2) अभिसरण के अभिसरण कर सकती है। आखिरकार, प्रत्येक परिवर्तन के लिए इसकी शर्तें बदलते समय (दोलन) अनंत बार बदलती हैं, और यह नकारात्मक लोगों द्वारा सकारात्मक शर्तों के मुआवजे के कारण अभिसरण हो सकता है। श्रृंखला के सामान्य सिद्धांत में, समान श्रृंखला के अभिसरण के संकेत हैं। इस तरह के परीक्षण डिरिचलेट और एबेल परीक्षण हैं (एक ही पुस्तक के 9.9, प्रमेय 3 और 4 देखें), जो त्रिकोणमितीय श्रृंखला के अध्ययन के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित हैं।
एक तरह से या किसी अन्य, यदि यह स्थापित हो जाता है कि श्रृंखला (1) समान रूप से अभिसरण करती है, तो इस तथ्य से कि इसकी शर्तें अवधि के निरंतर कार्य हैं, यह इस प्रकार है कि इसका योग
(3)
एक सतत आवर्त फलन है (देखें 9.8, प्रमेय 2 और § 9.9, एक ही पुस्तक का प्रमेय 2) और शृंखला (3) को शब्द दर शब्द एकीकृत किया जा सकता है।
श्रृंखला (3) को औपचारिक रूप से विभेदित किया जा सकता है:
(4)
और इसकी प्रमुख श्रृंखला की रचना करें
(5)
फिर, यदि श्रृंखला (5) अभिसरण करती है, तो श्रृंखला (4) समान रूप से अभिसरण करती है। इसके अलावा, समान रूप से अभिसरण श्रृंखला के सिद्धांत से प्रसिद्ध प्रमेय के आधार पर, श्रृंखला का योग (4) श्रृंखला के योग (3) का व्युत्पन्न है, अर्थात।
.
सामान्य तौर पर, यदि एक श्रृंखला
कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए अभिसरण करता है, तो श्रृंखला (3) को कानूनी रूप से अलग-अलग शब्द से अलग किया जा सकता है।
हालाँकि, हमें यह याद रखना चाहिए कि यह संभव है कि श्रृंखला (3) को वैध रूप से एक और बार (अर्थात, बार) विभेदित किया जा सकता है।
उदाहरण। पता लगाएँ कि कितनी बार एक श्रृंखला को पद द्वारा विभेदित किया जा सकता है
नंबर एक, बी नहींया ग नहीं T. r के गुणांक कहलाते हैं।
टी. आर. गणित और उसके अनुप्रयोगों में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। सबसे पहले टी. आर. कार्यों के चित्रण और अध्ययन के लिए साधन प्रदान करते हैं और इसलिए कार्यों के सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक हैं। इसके अलावा, थर्मल विकिरण स्वाभाविक रूप से गणितीय भौतिकी की कई समस्याओं के समाधान में प्रकट होता है, जिनमें से हम एक स्ट्रिंग के कंपन की समस्या, गर्मी के प्रसार की समस्या और अन्य को नोट कर सकते हैं। अंत में, थर्मल विकिरण का सिद्धांत . गणितीय विश्लेषण (फ़ंक्शन, इंटीग्रल) की बुनियादी अवधारणाओं के स्पष्टीकरण में योगदान दिया, गणित के कई महत्वपूर्ण वर्गों को जीवन में लाया (फूरियर इंटीग्रल्स का सिद्धांत, लगभग आवधिक कार्यों का सिद्धांत), के लिए शुरुआती बिंदुओं में से एक के रूप में कार्य किया सेट सिद्धांत का विकास, एक वास्तविक चर और कार्यात्मक विश्लेषण के कार्यों का सिद्धांत, और सामान्य हार्मोनिक विश्लेषण की शुरुआत।
यूलर ने पावर सीरीज़ और टीआर के बीच संबंध की ओर इशारा किया: if 
सी एन असली हैं, तो
अर्थात्:
लिट.:लुज़िन एन.एन., इंटीग्रल और त्रिकोणमितीय श्रृंखला, एम। - एल।, 1951; बारिन। के।, त्रिकोणमितीय श्रृंखला, मॉस्को, 1961; सिगमंड ए।, त्रिकोणमितीय श्रृंखला, ट्रांस। अंग्रेजी से, दूसरा संस्करण।, खंड 1-2, एम।, 1965।
महान सोवियत विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .
देखें कि "त्रिकोणमितीय श्रृंखला" अन्य शब्दकोशों में क्या है:
कई चापों के कोसाइन और साइन की एक श्रृंखला, यानी रूप की एक श्रृंखला या जटिल रूप में जहां एके, बीके या, क्रमशः, सीके कहा जाता है। टी। आर के गुणांक। पहली बार टी. आर. एल। यूलर (एल। यूलर, 1744) में मिलें। उन्होंने सेर में विस्तार प्राप्त किया। 18 वीं सदी के सिलसिले में…… गणितीय विश्वकोश
फॉर्म की एक श्रृंखला जहां गुणांक a0, a1, b1, a2, b2 ... चर x पर निर्भर नहीं करते हैं ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश
गणित में, त्रिकोणमितीय श्रृंखला फॉर्म की कोई भी श्रृंखला होती है: एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला को फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला कहा जाता है यदि गुणांक और निम्नानुसार परिभाषित किए जाते हैं ... विकिपीडिया
फॉर्म की एक श्रृंखला जहां गुणांक a0, a1, b1, a2, b2, ... चर x पर निर्भर नहीं है। * * * TRIGONOMETRIC SERIES TRIGONOMETRIC SERIES, फॉर्म की एक श्रृंखला जहां गुणांक a0, a1, b1, a2, b2 ... चर x पर निर्भर नहीं हैं ... विश्वकोश शब्दकोश
त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला एक श्रृंखला के रूप में एक अवधि के साथ एक मनमाना कार्य का प्रतिनिधित्व है (1) या, एक श्रृंखला के रूप में जटिल संकेतन का उपयोग करते हुए:। सामग्री ... विकिपीडिया
अनंत त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला- - दूरसंचार विषय, बुनियादी अवधारणाएं एन फूरियर श्रृंखला ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक
प्रकार की श्रृंखला प्रकार की श्रृंखला (1) K. Weierstrass ने 1872 में एक निरंतर कहीं भी भिन्न कार्य नहीं किया। जे. हैडामर्ड ने 1892 में एप्लाइड सीरीज़ (1) को विश्लेषणात्मक अध्ययन के लिए उन्हें लैकुनार कहते हुए लागू किया। समारोह निरंतरता। व्यवस्थित… गणितीय विश्वकोश
श्रृंखला श्रृंखला के लिए ये श्रृंखला क्रमशः z=eix पर श्रृंखला के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं। फ़ंक्शन j(x) के आंशिक योग का सूत्र फूरियर श्रृंखला त्रिकोणमितीय से संयुग्मित होता है। श्रृंखला जहां Dirichlet conjugate कर्नेल है। यदि f(x) परिबद्ध विचरण का फलन है... गणितीय विश्वकोश
फूरियर सीरीज की शर्तें जोड़ना ... विकिपीडिया
I एक अनंत योग है, उदाहरण के लिए, u1 + u2 + u3 + ... + un + ... के रूप का या, संक्षेप में, R के सबसे सरल उदाहरणों में से एक, जो पहले से ही प्रारंभिक गणित में पाया जाता है, एक अनंत है घटती राशि...... महान सोवियत विश्वकोश
परिचयात्मक टिप्पणी
इस खंड में, हम फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके आवधिक संकेतों के प्रतिनिधित्व पर विचार करेंगे। फूरियर श्रृंखला वर्णक्रमीय विश्लेषण के सिद्धांत का आधार है, क्योंकि, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, एक गैर-आवधिक संकेत के फूरियर रूपांतरण को अनंत पुनरावृत्ति अवधि के साथ फूरियर श्रृंखला के सीमा संक्रमण के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। नतीजतन, फूरियर श्रृंखला के गुण गैर-आवधिक संकेतों के फूरियर रूपांतरण के लिए भी मान्य हैं।हम त्रिकोणमितीय और जटिल रूपों में फूरियर श्रृंखला के लिए अभिव्यक्तियों पर विचार करेंगे, और फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के लिए डिरिचलेट स्थितियों पर भी ध्यान देंगे। इसके अलावा, हम सिग्नल स्पेक्ट्रम की नकारात्मक आवृत्ति जैसी अवधारणा की व्याख्या पर विस्तार से ध्यान देंगे, जो वर्णक्रमीय विश्लेषण के सिद्धांत से परिचित होने में अक्सर कठिनाई का कारण बनती है।
आवधिक संकेत। त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला
एक निरंतर-समय आवधिक संकेत होने दें, जो कि अवधि c के साथ दोहराता है, अर्थात। , जहां एक मनमाना पूर्णांक है।उदाहरण के तौर पर, चित्र 1 c की अवधि के साथ दोहराते हुए c अवधि के आयताकार दालों का एक क्रम दिखाता है।
चित्रा 1. आवधिक अनुक्रम
आयताकार दालें
गणितीय विश्लेषण के दौरान यह ज्ञात होता है कि त्रिकोणमितीय कार्यों की प्रणाली
कई आवृत्तियों के साथ, जहां रेड/एस एक पूर्णांक है, एक अवधि के साथ आवधिक संकेतों के विस्तार के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है जो डिरिचलेट स्थितियों को संतुष्ट करता है।
फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के लिए डिरिचलेट शर्तों की आवश्यकता है कि निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हुए खंड पर एक आवधिक संकेत दिया जाए:
उदाहरण के लिए, आवधिक कार्य 
डिरिचलेट की शर्तों को पूरा नहीं करता है, क्योंकि फ़ंक्शन दूसरी तरह की असंततता है और के लिए अनंत मान लेता है, जहां एक मनमाना पूर्णांक है। तो समारोह फूरियर श्रृंखला द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। आप किसी फ़ंक्शन का उदाहरण भी दे सकते हैं 
, जो घिरा हुआ है, लेकिन डिरिचलेट की शर्तों को भी संतुष्ट नहीं करता है, क्योंकि शून्य के करीब पहुंचने पर इसमें अनंत संख्या में चरम बिंदु होते हैं। फंक्शन ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है।
चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ :
ए - दोहराव की दो अवधि; बी - पड़ोस में
चित्र 2a फ़ंक्शन की दो पुनरावृत्ति अवधि दिखाता है , और चित्र 2b में के आसपास का क्षेत्र है। यह देखा जा सकता है कि शून्य के करीब पहुंचने पर, दोलन आवृत्ति असीम रूप से बढ़ जाती है, और इस तरह के फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक नहीं है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि व्यवहार में वर्तमान या वोल्टेज के अनंत मूल्यों के साथ कोई संकेत नहीं हैं। अनंत प्रकार के एक्स्ट्रेमा के साथ कार्य लागू समस्याओं में भी नहीं पाए जाते हैं। सभी वास्तविक आवधिक संकेत डिरिचलेट स्थितियों को संतुष्ट करते हैं और फॉर्म की एक अनंत त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाए जा सकते हैं:
 |
व्यंजक (2) में, गुणांक आवर्त संकेत के अचर घटक को निर्दिष्ट करता है।
सभी बिंदुओं पर जहां संकेत निरंतर है, फूरियर श्रृंखला (2) दिए गए संकेत के मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है, और पहली तरह के असंततता बिंदुओं पर, औसत मूल्य के लिए, जहां और बाएं और दाएं की सीमाएं हैं असंततता बिंदु, क्रमशः।
यह गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम से भी जाना जाता है कि एक काटे गए फूरियर श्रृंखला का उपयोग जिसमें अनंत योग के बजाय केवल पहले शब्द होते हैं, संकेत के अनुमानित प्रतिनिधित्व की ओर जाता है:
जो न्यूनतम माध्य चुकता त्रुटि सुनिश्चित करता है। चित्रा 3 फूरियर श्रृंखला शर्तों की विभिन्न संख्याओं का उपयोग करके एक आवधिक स्क्वायर वेव ट्रेन और एक आवधिक सॉटूथ तरंग के सन्निकटन को दिखाता है।
चित्रा 3. एक छोटा फूरियर श्रृंखला द्वारा संकेतों का अनुमान:
ए - आयताकार दालें; बी - चूरा संकेत
जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला
पिछले पैराग्राफ में, हमने एक मनमाना आवधिक संकेत के विस्तार के लिए त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला पर विचार किया जो डिरिचलेट स्थितियों को संतुष्ट करता है। यूलर सूत्र का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं: |
फिर त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला (2) को ध्यान में रखते हुए (4):
इस प्रकार, एक आवधिक संकेत को एक डीसी घटक और जटिल घातांक के योग द्वारा सकारात्मक आवृत्तियों के लिए गुणांक के साथ आवृत्तियों पर घूर्णन किया जा सकता है, और नकारात्मक आवृत्तियों पर घूमने वाले जटिल घातांक के लिए।
सकारात्मक आवृत्तियों के साथ घूमने वाले जटिल घातांक के गुणांकों पर विचार करें:
व्यंजक (6) और (7) संपाती होते हैं, इसके अलावा, स्थिर घटक को शून्य आवृत्ति पर जटिल घातांक के रूप में भी लिखा जा सकता है:
इस प्रकार, (6) - (8) को ध्यान में रखते हुए, माइनस इनफिनिटी से इन्फिनिटी तक अनुक्रमित होने पर एकल योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:
 |
व्यंजक (9) जटिल रूप में एक फूरियर श्रृंखला है। जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला के गुणांक त्रिकोणमितीय रूप में गुणांक और श्रृंखला से संबंधित हैं, और सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियों के लिए परिभाषित हैं। आवृत्ति संकेतन में सूचकांक असतत हार्मोनिक की संख्या को इंगित करता है, जिसमें नकारात्मक आवृत्तियों के अनुरूप नकारात्मक सूचकांक होते हैं।
यह अभिव्यक्ति (2) से निम्नानुसार है कि एक वास्तविक संकेत के लिए गुणांक और श्रृंखला (2) भी वास्तविक हैं। हालांकि, (9) एक वास्तविक संकेत को निर्दिष्ट करता है, जो सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियों से संबंधित जटिल संयुग्म गुणांक का एक सेट है।
जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला के लिए कुछ स्पष्टीकरण
पिछले खंड में, हमने त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला (2) से जटिल रूप (9) में फूरियर श्रृंखला में संक्रमण किया। नतीजतन, वास्तविक त्रिकोणमितीय कार्यों के आधार पर आवधिक संकेतों का विस्तार करने के बजाय, हमें जटिल गुणांक के साथ जटिल घातांक के आधार पर विस्तार मिला, और यहां तक कि विस्तार में नकारात्मक आवृत्तियां भी दिखाई दीं! चूंकि इस मुद्दे को अक्सर गलत समझा जाता है, इसलिए कुछ स्पष्टीकरण आवश्यक है।सबसे पहले, त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करने की तुलना में जटिल घातांक के साथ काम करना ज्यादातर मामलों में आसान होता है। उदाहरण के लिए, जब जटिल घातांकों को गुणा और विभाजित किया जाता है, तो यह केवल घातांक को जोड़ने (घटाने) के लिए पर्याप्त होता है, जबकि त्रिकोणमितीय कार्यों को गुणा और विभाजित करने के सूत्र अधिक बोझिल होते हैं।
त्रिकोणमितीय कार्यों की तुलना में घातांक, यहां तक कि जटिल वाले को भी अलग करना और एकीकृत करना भी आसान है, जो अंतर और एकीकृत करते समय लगातार बदल रहे हैं (साइन कोसाइन बन जाता है और इसके विपरीत)।
यदि संकेत आवधिक और वास्तविक है, तो त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला (2) अधिक निदर्शी लगती है, क्योंकि सभी विस्तार गुणांक, और वास्तविक रहते हैं। हालांकि, किसी को अक्सर जटिल आवधिक संकेतों से निपटना पड़ता है (उदाहरण के लिए, मॉडुलन और डिमोड्यूलेशन जटिल लिफाफे के चतुर्भुज प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)। इस मामले में, त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते समय, सभी गुणांक और विस्तार (2) जटिल हो जाएंगे, जबकि जटिल रूप (9) में फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते समय, वास्तविक और जटिल इनपुट सिग्नल दोनों के लिए समान विस्तार गुणांक का उपयोग किया जाएगा। .
और अंत में, (9) में दिखाई देने वाली नकारात्मक आवृत्तियों की व्याख्या पर ध्यान देना आवश्यक है। इस सवाल को अक्सर गलत समझा जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम नकारात्मक आवृत्तियों का सामना नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, हम अपने रेडियो को कभी भी नकारात्मक आवृत्ति पर ट्यून नहीं करते हैं। आइए यांत्रिकी से निम्नलिखित सादृश्य पर विचार करें। मान लीजिए कि एक यांत्रिक स्प्रिंग लोलक है जो एक निश्चित आवृत्ति के साथ स्वतंत्र रूप से दोलन करता है। क्या एक लोलक ऋणात्मक आवृत्ति के साथ दोलन कर सकता है? बिलकूल नही। जैसे कोई रेडियो स्टेशन नहीं हैं जो नकारात्मक आवृत्तियों पर हवा में चलते हैं, इसलिए पेंडुलम की आवृत्ति नकारात्मक नहीं हो सकती है। लेकिन एक स्प्रिंग पेंडुलम एक आयामी वस्तु है (पेंडुलम एक सीधी रेखा के साथ दोलन करता है)।
हम यांत्रिकी से एक और सादृश्य भी दे सकते हैं: की आवृत्ति पर घूमने वाला पहिया। पेंडुलम के विपरीत पहिया घूमता है, अर्थात। पहिए की सतह पर एक बिंदु एक समतल में चलता है, और केवल एक सीधी रेखा के साथ दोलन नहीं करता है। इसलिए, पहिया के रोटेशन को विशिष्ट रूप से सेट करने के लिए, रोटेशन आवृत्ति सेट करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि रोटेशन की दिशा निर्धारित करना भी आवश्यक है। यह ठीक वही है जिसके लिए हम फ़्रीक्वेंसी साइन का उपयोग कर सकते हैं।
इसलिए, यदि पहिया रेड / एस वामावर्त की आवृत्ति पर घूमता है, तो हम मानते हैं कि पहिया एक सकारात्मक आवृत्ति के साथ घूमता है, और यदि यह दक्षिणावर्त दिशा में घूमता है, तो रोटेशन की आवृत्ति नकारात्मक होगी। इस प्रकार, एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए, एक नकारात्मक आवृत्ति बकवास होना बंद कर देती है और रोटेशन की दिशा को इंगित करती है।
और अब सबसे महत्वपूर्ण बात जो हमें समझनी चाहिए। एक-आयामी वस्तु के दोलन (उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग पेंडुलम) को चित्र 4 में दिखाए गए दो वैक्टरों के घूर्णन के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चित्र 4. स्प्रिंग लोलक का दोलन
दो सदिशों के घूर्णन के योग के रूप में
जटिल विमान पर
पेंडुलम हार्मोनिक कानून के अनुसार आवृत्ति के साथ जटिल विमान की वास्तविक धुरी के साथ घूमता है। लोलक की गति को एक क्षैतिज सदिश के रूप में दर्शाया गया है। शीर्ष वेक्टर एक सकारात्मक आवृत्ति (वामावर्त) पर जटिल विमान में घूमता है, और निचला वेक्टर एक नकारात्मक आवृत्ति (दक्षिणावर्त) पर घूमता है। चित्र 4 त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम से प्रसिद्ध संबंध को स्पष्ट रूप से दिखाता है:
इस प्रकार, जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला (9) आवधिक एक-आयामी संकेतों को सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों के साथ घूमने वाले जटिल विमान पर वैक्टर के योग के रूप में दर्शाती है। उसी समय, हम ध्यान दें कि एक वास्तविक संकेत के मामले में, (9) के अनुसार, नकारात्मक आवृत्तियों के लिए विस्तार गुणांक सकारात्मक आवृत्तियों के लिए संबंधित गुणांक के लिए जटिल संयुग्म हैं। एक जटिल संकेत के मामले में, गुणांक की यह संपत्ति इस तथ्य के कारण धारण नहीं करती है कि और जटिल भी हैं।
आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रम
जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला एक आवधिक संकेत का अपघटन है जो संबंधित जटिल गुणांकों के साथ रेड/एस के गुणकों में सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों के साथ घूमने वाले जटिल घातांकों के योग में होता है, जो सिग्नल के स्पेक्ट्रम को परिभाषित करते हैं। जटिल गुणांक को यूलर सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां आयाम स्पेक्ट्रम है और एक चरण स्पेक्ट्रम है।चूंकि आवधिक संकेतों को केवल एक निश्चित आवृत्ति ग्रिड पर एक श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रम लाइन (असतत) होता है।
चित्रा 5. आवधिक अनुक्रम का स्पेक्ट्रम
आयताकार दालें:
ए आयाम स्पेक्ट्रम है; बी - चरण स्पेक्ट्रम
चित्रा 5 सी, पल्स अवधि सी, और पल्स आयाम बी के लिए आयताकार दालों (चित्रा 1 देखें) के आवधिक अनुक्रम के आयाम और चरण स्पेक्ट्रम का एक उदाहरण दिखाता है।
मूल वास्तविक सिग्नल का आयाम स्पेक्ट्रम शून्य आवृत्ति के संबंध में सममित है, जबकि चरण स्पेक्ट्रम एंटीसिमेट्रिक है। उसी समय, हम ध्यान दें कि चरण स्पेक्ट्रम के मूल्य और 
जटिल विमान में एक ही बिंदु के अनुरूप।
यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि कम सिग्नल के सभी विस्तार गुणांक विशुद्ध रूप से वास्तविक हैं, और चरण स्पेक्ट्रम 
नकारात्मक गुणांक से मेल खाती है।
ध्यान दें कि आयाम स्पेक्ट्रम का आयाम संकेत के आयाम के साथ मेल खाता है। यदि समय के साथ वोल्टेज में परिवर्तन का वर्णन वोल्ट में मापा जाता है, तो स्पेक्ट्रम के हार्मोनिक्स के आयामों में भी वोल्ट का आयाम होगा।
जाँच - परिणाम
इस खंड में, हम फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके आवधिक संकेतों के प्रतिनिधित्व पर विचार करते हैं। त्रिकोणमितीय और जटिल रूपों में फूरियर श्रृंखला के लिए व्यंजक दिए गए हैं। हमने फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के लिए डिरिचलेट स्थितियों पर विशेष ध्यान दिया और उन कार्यों के उदाहरण दिए जिनके लिए फूरियर श्रृंखला विचलन करती है।हमने जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला की अभिव्यक्ति पर विस्तार से ध्यान दिया और दिखाया कि आवधिक संकेत, वास्तविक और जटिल दोनों, सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों के साथ जटिल घातांक की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाए जाते हैं। इस मामले में, विस्तार गुणांक भी जटिल होते हैं और आवधिक संकेत के आयाम और चरण स्पेक्ट्रम की विशेषता रखते हैं।
अगले भाग में हम आवर्त संकेतों के स्पेक्ट्रम के गुणों पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।
