परिभाषा. भीतर आएं एन दोहराया प्रयोग (परीक्षण) कुछ घटना लेकिन आया ना एक बार।

संख्या ना घटना की आवृत्ति कहा जाता है लेकिन , और अनुपात

घटना की आपेक्षिक आवृत्ति (या आवृत्ति) कहलाती है लेकिन परीक्षणों की इस श्रृंखला में।

सापेक्ष आवृत्ति गुण

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. किसी भी घटना की बारंबारता शून्य से एक की सीमा में होती है, अर्थात।

2. एक असंभव घटना की बारंबारता शून्य होती है, अर्थात।

3. एक निश्चित घटना की आवृत्ति 1 है, अर्थात।

4. दो . के योग की आवृत्ति असंगत घटनाएंइन घटनाओं की आवृत्तियों (आवृत्तियों) के योग के बराबर है, अर्थात। अगर =Ø, तो

आवृत्ति है संपत्ति , एक संपत्ति कहा जाता है सांख्यिकीय स्थिरता : प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ (अर्थात वृद्धि के साथ एन ) किसी घटना की आवृत्ति इस घटना की संभावना के करीब मान लेती है आर .

परिभाषा। घटना A की सांख्यिकीय प्रायिकतावह संख्या जिसके चारों ओर किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति में उतार-चढ़ाव होता है, कहलाती है लेकिन पर्याप्त बड़ी संख्यापरीक्षण (प्रयोग) एन .

घटना की संभावना लेकिन प्रतीक द्वारा निरूपित आर (लेकिन ) या आर (लेकिन ) "संभावना" की अवधारणा के प्रतीक के रूप में पत्र की उपस्थिति आर में प्रथम स्थान पर अपनी उपस्थिति से निर्धारित होता है अंग्रेज़ी शब्द संभावना - संभावना।

इसके अनुसार यह परिभाषा

सांख्यिकीय संभाव्यता गुण

1. सांख्यिकीय संभावनाकिसी घटना लेकिनशून्य और एक के बीच है, अर्थात

2. एक असंभव घटना की सांख्यिकीय संभावना ( लेकिन= ) शून्य के बराबर है, अर्थात।

3. एक निश्चित घटना की सांख्यिकीय संभावना ( लेकिन= ) एक के बराबर है, अर्थात,

4. सांख्यिकीय संभावना योग असंगत घटनाएँ इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती हैं, अर्थात्। अगर ए बी= , तब

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

प्रयोग को के साथ करने दें एन परिणाम जिन्हें असंगत समान रूप से संभावित घटनाओं के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। वह मामला जिसके कारण घटना घटित होती है लेकिन , अनुकूल या अनुकूल कहा जाता है, अर्थात। हो रहा वू घटना का कारण बनता है लेकिन , वा .

परिभाषा. किसी घटना की प्रायिकता लेकिन संख्या का अनुपात कहा जाता है एम इस घटना के लिए अनुकूल अवसर, कुल गणना एन मामले, यानी

"शास्त्रीय" संभावना के गुण

1. स्वयंसिद्ध गैर-नकारात्मकता : किसी घटना की प्रायिकता लेकिनगैर-ऋणात्मक है, अर्थात्।

आर(लेकिन) ≥ 0.

2. स्वयंसिद्ध मानकीकरण : कुछ घटना की संभावना ( लेकिन= ) एक के बराबर है:

3. स्वयंसिद्ध additivity : योग की प्रायिकता असंगत घटनाएँ (या दो असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता) इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है, अर्थात्। अगर ए बी=Ø, तब

घटना की संभावना: आर() = 1 – आर(लेकिन)।

किसी घटना की प्रायिकता के लिए जो योग है कोई भी दो घटनाएं लेकिनऔर पर,सही सूत्र है:

अगर घटनाएं लेकिनऔर परएक ही समय में एक परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है, अर्थात। दूसरे शब्दों में, यदि ए बी – असंभव घटना, तो उन्हें कहा जाता है असंगत या असंगत , और फिर आर(ए बी) = 0 और घटनाओं के योग की संभावना का सूत्र विशेष रूप से सरल रूप लेता है:

यदि घटनाएं लेकिनऔर परएक परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकता है, उन्हें कहा जाता है अनुकूल .

उपयोगी एल्गोरिथम

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए प्रायिकता ज्ञात करते समय, निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन किया जाना चाहिए।

1. यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि प्रयोग क्या है।

2. स्पष्ट रूप से बताएं कि घटना क्या है लेकिनजिसकी संभावना तलाशी जा रही है।

3. स्पष्ट रूप से तैयार करें कि विचाराधीन समस्या में प्राथमिक घटना क्या होगी। एक प्रारंभिक घटना को तैयार और परिभाषित करने के बाद, किसी को तीन शर्तों की जांच करनी चाहिए जो परिणामों के एक सेट से संतुष्ट होनी चाहिए, अर्थात। .

6. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के बाद, निर्धारित करें

समस्याओं का समाधान करते समय सबसे आम गलती एक प्राथमिक घटना के रूप में क्या लिया जाता है की एक अस्पष्ट समझ है वू , और सेट के निर्माण की शुद्धता और किसी घटना की संभावना की गणना की शुद्धता इस पर निर्भर करती है। आमतौर पर, व्यवहार में, सबसे सरल परिणाम को एक प्राथमिक घटना के रूप में लिया जाता है, जिसे सरल लोगों में "विभाजित" नहीं किया जा सकता है।

संभाव्यता की अवधारणा की कई परिभाषाएँ हैं। यहाँ एक क्लासिक परिभाषा है। यह एक अनुकूल परिणाम की अवधारणा से संबंधित है। वे प्राथमिक परिणाम (e.i.), बिल्ली में। हमारे लिए ब्याज की घटना होती है, हम इस घटना के लिए अनुकूल कहेंगे। डीईएफ़।: Ver.yu घटना एक नामकरण। इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात सभी समान रूप से संभव असंगत ई की कुल संख्या से। i., एक पूरा समूह बनाना। P(A) = m/n, जहाँ m, e की संख्या है। i., घटना A के अनुकूल; n सभी संभव ई की संख्या है। और। परीक्षण। संभाव्यता की परिभाषा से इसके गुणों का पालन करें:1)ver.(c) किसी निश्चित घटना का हमेशा 1 के बराबर होता है। घटना निश्चित है, तो सभी e. और। परीक्षण इस घटना के पक्ष में हैं, अर्थात्। एम = एन। पी (ए) = एन / एन = 1; 2) वी। असंभव घटना। 0 के बराबर है। क्योंकि घटना असंभव है, तो एक भी ई नहीं है। और।, इस घटना के अनुकूल, फिर m=0. पी (ए) = 0/एन = 0; 3) वी. यादृच्छिक घटना 0 और 1 के बीच एक गैर-ऋणात्मक मान है, अर्थात। 0

4. सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता।

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति (FR) उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात है जिनमें घटना घटित हुई और वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या है। (ओमेगा नहीं !!!)। W(A) = m/n, जहाँ m घटना A के घटित होने की संख्या है, n परीक्षणों की कुल संख्या है। प्रायिकता की परिभाषा के लिए यह आवश्यक नहीं है कि परीक्षण वास्तव में किए जाएं। आरओएन की परिभाषा मानती है कि परीक्षण वास्तव में किए गए थे, अर्थात। देखें प्रयोग से पहले गणना, और प्रयोग के बाद OC। यदि प्रत्येक बिल्ली में समान परिस्थितियों में प्रयोग किए जाते हैं। परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, तो ओसी सेंट स्थिरता को प्रकट करता है। यह गुण इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न प्रयोगों में, OR थोड़ा बदलता है, कम, अधिक परीक्षण किए जाते हैं, एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होता है। यह संख्या ver है। घटना की घटना। उस। यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि एसपी को संभाव्यता के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जा सकता है।

5. सांख्यिकीय संभावना।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा मानती है कि एक परीक्षण के प्राथमिक परिणामों की संख्या सीमित है। व्यवहार में, परीक्षण अक्सर सामने आते हैं, संभावित परिणामों की संख्या एक बिल्ली है। अंतहीन। ऐसे मामलो मे क्लासिक परिभाषालागू नहीं। क्लासिक के साथ डीईएफ़। सांख्यिकीय का प्रयोग करें। डीईएफ़।:स्टेट देखें (r.v.) घटनाएँ - सापेक्ष आवृत्ति (RC) या उसके करीब की संख्या। शास्त्रीय से उत्पन्न होने वाली सेंट-वा संभावनाएं। परिभाषाएँ सांख्यिकीय में रखी जाती हैं। यदि घटना विश्वसनीय है, तो इसका OC = 1, अर्थात्। एस.टी.वी. भी = 1। यदि घटना असंभव है, तो ROI = 0, अर्थात्। एस.टी.वी. भी = 0। किसी भी घटना के लिए 0W(A) 1, क्रमांक-सं। एस.टी.वी. 0 और 1 के बीच स्थित है। st.v के अस्तित्व के लिए। आवश्यक: 1) कम से कम मौलिक रूप से पूरा करने की क्षमता असीमित है। प्रत्येक बिल्ली में परीक्षणों की संख्या। घटना घटित होती है या नहीं होती है; 2) पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में किसी घटना के घटित होने के OR की स्थिरता। सांख्यिकीय का नुकसान परिभाषा कला की अस्पष्टता है। उदाहरण के लिए, यदि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के परिणामस्वरूप यह पता चला कि OR 0.6 के बहुत करीब है, तो इस संख्या को st.v के रूप में लिया जा सकता है। लेकिन किसी घटना की प्रायिकता के रूप में, कोई न केवल 0.6, बल्कि 0.59 और 0.61 भी ले सकता है।

संभाव्यता सिद्धांत का विषय। परीक्षण। घटना वर्गीकरण।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो बड़े पैमाने पर सजातीय परीक्षणों (एमओटी) में होने वाले पैटर्न का अध्ययन करती है।

एक परीक्षण किसी भी स्थिति, क्रियाओं का एक जटिल है।

MY - ये ऐसे परीक्षण हैं जिन्हें सैद्धांतिक रूप से अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है (अध्ययन, चुनाव, सिक्का उछाल)।

परीक्षण का परिणाम परीक्षण का संभावित परिणाम है।

एक घटना एक परीक्षण के परिणाम का एक अमूर्त है (चाहे एक घटना मेरी में हुई हो या नहीं)।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक परीक्षा है, जबकि "ईगल" की उपस्थिति एक घटना है।

घटना को आमतौर पर बड़े अक्षांश से दर्शाया जाता है। अक्षर ए, बी, सी।

घटना के प्रकार:

1. एक निश्चित घटना को एक घटना कहा जाता है जो परीक्षण के किसी भी परिणाम के साथ घटित होगी।

2. असंभव - परीक्षण के किसी भी परिणाम के तहत नहीं होगा।

3. यादृच्छिक - परीक्षण के परिणामस्वरूप हो भी सकता है और नहीं भी।

जैसे एक पासा उछाला जाता है।

घटना ए - अंकों की संख्या> 6: महत्वपूर्ण नहीं है।

घटना बी - स्कोर> 6: असंभव।

घटना सी - 1 से 6: यादृच्छिक।

यादृच्छिक घटनाएँ

1. समतुल्य - वे जिसके लिए परीक्षण के व्यक्तिगत परिणामों की समानता है।

जैसे, ताश के पत्तों से राजा, इक्का, रानी, ​​जैक निकालना।

2. केवल वे ही संभव हैं यदि उनमें से कम से कम एक का परीक्षण में होना निश्चित है।

जैसे, एक परिवार में 2 बच्चे हैं: A - 2 लड़के, B - 2 लड़कियाँ, C - 1 मी और 1 d।

कॉम्बिनेटरिक्स। कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र।

कॉम्बिनेटरिक्स यौगिकों का विज्ञान है। एक कनेक्शन को एक निश्चित सेट के तत्वों के किसी भी सेट के रूप में समझा जाता है।

उदाहरण के लिए, दर्शकों में बहुत सारे छात्र बैठे हैं।

सभी यौगिकों को 3 समूहों में बांटा गया है:

1) आवास। n el-t से m () पर R-mi ऐसे यौगिक कहलाते हैं जो या तो el-t की संरचना में, या el-t के संयोजन के क्रम में, या दोनों में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

अनम = एन!/(एनएम)!

काम। अंकों के समुच्चय (1; 2; 3; 4) से कितनी भिन्न 2-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, और ताकि संख्या के अंक भिन्न हों।

और 4 बटा 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) संयोजन। n तत्वों के m द्वारा संयोजन ऐसे यौगिक हैं जो केवल तत्वों की संरचना में एक दूसरे से भिन्न होते हैं (क्रम महत्वपूर्ण नहीं है)

n से m = n!/m!*(n-m)!

काम। 30 लोगों का एक समूह कितने तरीकों से उससुरी सेनेटोरियम को वाउचर वितरित कर सकता है।

30 बटा 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060।

3) क्रमपरिवर्तन (पीएन)। n तत्वों के क्रमपरिवर्तन ऐसे यौगिक हैं जिनमें सभी n तत्व शामिल होते हैं और केवल उनके कनेक्शन के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

काम। परेड ग्राउंड पर 6 कैडेटों को कितने तरीकों से लाइन में खड़ा किया जा सकता है?

SUM RULE - यदि ऑब्जेक्ट a को सेट से अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, और ऑब्जेक्ट b को r अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, तो तत्वों में से एक या बार का चुनाव अलग-अलग r + s तरीकों से किया जा सकता है।

उत्पाद नियम - यदि वस्तु a को अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, और प्रत्येक ऐसी पसंद के बाद वस्तु b को r अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, तो तत्वों की एक जोड़ी का चुनाव अलग-अलग r*s तरीकों से किया जा सकता है (a और b = आर * एस)।

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा। संभाव्यता गुण।

एक घटना ए की संभावना इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात है जो सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या के रूप में है पूरा समूह(पी (ए) = एम / एन)।

गुण इन-टीआई:

1) वी-टी निश्चित घटना = 1।

क्योंकि D एक निश्चित घटना है, तो परीक्षण का प्रत्येक संभावित परिणाम घटना के पक्ष में है, अर्थात। एम = एन।

पी (डी) = एम/एन = एन/एन = 1/

2) असंभव घटना का मान शून्य होता है। क्योंकि घटना N असंभव है, तो कोई भी प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में नहीं है, अर्थात। एम = 0।

पी (डी) = एम/एन = 0/एन = 0/

3) एक यादृच्छिक घटना की संख्या 0 और 1 के बीच एक सकारात्मक संख्या है। एक यादृच्छिक घटना एस केवल कुल संख्या में से एक तत्व के पक्ष में है। परीक्षण के परिणाम, अर्थात्। 0

0

इस प्रकार, किसी भी घटना का इन-वें दोहरी असमानता को संतुष्ट करता है: 0<=P(A)<=1.

सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा।

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात है जिनमें घटना घटित हुई और वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या है।

W(A)=m/n, जहां m घटना के घटित होने की संख्या है, n परीक्षणों की कुल संख्या है।

V-Th सुझाव देता है, और सापेक्ष आवृत्ति ठीक हो जाती है। V-Th की आवश्यकता नहीं है कि ईवेंट आयोजित किए गए, और सापेक्ष आवृत्ति - की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, इन-वें ईवेंट की गणना प्रयोगों से पहले की जाती है, और रिले. आवृत्ति के बाद।

सापेक्ष आवृत्ति की स्थिरता।

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चला है कि यदि प्रयोग उन्हीं परिस्थितियों में किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता की संपत्ति को प्रदर्शित करती है।

यह गुण इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न प्रयोगों में सापेक्ष आवृत्ति में थोड़ा परिवर्तन होता है, एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होता है।

यह पता चला कि यह स्थिर संख्या घटना W(A) = P(A) की घटना है।

किसी घटना का सांख्यिकीय भाग वह संख्या है जिसके चारों ओर इस घटना की सापेक्ष आवृत्तियों को समूहीकृत किया जाता है, और निरंतर परिस्थितियों और परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के तहत, सापेक्ष आवृत्ति इस संख्या से थोड़ी भिन्न होती है।

बुलाया सापेक्ष आवृत्ति (या आवृत्ति)आयोजन लेकिनविचाराधीन प्रयोगों की श्रृंखला में।

किसी घटना की आपेक्षिक आवृत्ति निम्नलिखित होती है: गुण:

1. किसी भी घटना की बारंबारता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की बारंबारता शून्य होती है, अर्थात।

3. एक निश्चित घटना की बारंबारता 1 है, अर्थात।

4. दो असंगत घटनाओं के योग की आवृत्ति आवृत्ति के योग के बराबर होती है
इन घटनाओं, अर्थात्। तो अगर

फ़्रीक्वेंसी का एक और मौलिक गुण है जिसे कहा जाता है सांख्यिकीय स्थिरता की संपत्ति: प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ (अर्थात। एन) यह कुछ स्थिर संख्या के करीब मान लेता है (वे कहते हैं: आवृत्ति स्थिर हो जाती है, एक निश्चित संख्या के करीब पहुंचती है, आवृत्ति एक निश्चित संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव करती है, या इसके मान एक निश्चित संख्या के आसपास क्लस्टर करते हैं)।

इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रयोग (के। पियर्सन) में एक सिक्का उछाला गया - 12,000 और 24,000 टॉस पर हथियारों के कोट की उपस्थिति की सापेक्ष आवृत्ति क्रमशः 0.5015 और 0.5005 निकली, अर्थात। आवृत्ति संख्या के करीब पहुंचती है। एक लड़के के जन्म की आवृत्ति, जैसा कि अवलोकन से पता चलता है, 0.515 की संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होता है।

ध्यान दें कि संभाव्यता का सिद्धांत अनिश्चित परिणाम के साथ केवल उन बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है, जिसके लिए सापेक्ष आवृत्ति की स्थिरता मान ली जाती है।

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा

एक यादृच्छिक घटना के गणितीय अध्ययन के लिए, घटना के किसी प्रकार के मात्रात्मक मूल्यांकन का परिचय देना आवश्यक है। यह स्पष्ट है कि कुछ घटनाएं दूसरों की तुलना में अधिक ("अधिक संभावना") होने की संभावना है। ऐसा आकलन है घटना की संभावना, वे। विचाराधीन प्रयोग में इसके घटित होने की संभावना की मात्रा को व्यक्त करने वाली संख्या। संभाव्यता की कई गणितीय परिभाषाएँ हैं, जो सभी एक दूसरे के पूरक और सामान्यीकरण करती हैं।

एक प्रयोग पर विचार करें जिसे कितनी बार दोहराया जा सकता है (वे कहते हैं: "दोहराए गए परीक्षण किए जा रहे हैं") जिसमें कुछ घटना देखी जाती है लेकिन.

सांख्यिकीय संभावनाआयोजन लेकिनपर्याप्त संख्या में परीक्षणों (प्रयोगों) के लिए उस संख्या को कहा जाता है जिसके आसपास घटना की सापेक्ष आवृत्ति A में उतार-चढ़ाव करती है।

घटना की संभावना लेकिनप्रतीक द्वारा निरूपित आर(लेकिन) इस परिभाषा के अनुसार:

.

(1.2)

सापेक्ष आवृत्ति और प्रायिकता की निकटता का गणितीय औचित्य आर(लेकिन) कुछ घटना लेकिनजे. बर्नौली का प्रमेय है।

संभावनाओं आर(लेकिन) सापेक्ष आवृत्ति के गुण 1-4 को जिम्मेदार ठहराया जाता है:

1. किसी भी घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता शून्य है, अर्थात।

3. किसी निश्चित घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता 1 के बराबर होती है, अर्थात्।

4. दो असंगत घटनाओं के योग की सांख्यिकीय प्रायिकता इन घटनाओं की बारंबारता के योग के बराबर होती है, अर्थात। तो अगर

वास्तविक अनुभव के आधार पर संभाव्यता निर्धारित करने की सांख्यिकीय विधि, इस अवधारणा की सामग्री को पूरी तरह से प्रकट करती है। सांख्यिकीय परिभाषा का नुकसान सांख्यिकीय संभावना की अस्पष्टता है; इसलिए एक सिक्के को उछालने के उदाहरण में न केवल 0.5, बल्कि 0.49 या 0.51, आदि की संख्या को भी प्रायिकता के रूप में लिया जा सकता है। संभावना को मज़बूती से निर्धारित करने के लिए, आपको बड़ी संख्या में परीक्षण करने की आवश्यकता होती है, जो हमेशा आसान या सस्ता नहीं होता है।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

अनुभव के परिणामों की सीमित संख्या में से किसी की समसंभाव्यता के आधार पर, किसी घटना की संभावना को निर्धारित करने का एक आसान तरीका है। प्रयोग को के साथ करने दें एनपरिणाम, जिसे के रूप में दर्शाया जा सकता है असंगत इक्विप्रोबेबल का पूरा समूहआयोजन। ऐसे परिणामों को कहा जाता है संभावना, संभावना, प्राथमिक घटनाएँ, अनुभव - क्लासिक. इस तरह के एक अनुभव को कम करने के लिए कहा जाता है केस चार्टया कलश योजना(क्योंकि इस तरह के प्रयोग के लिए संभाव्य समस्या को अलग-अलग रंगों की गेंदों वाले कलशों के साथ एक समान समस्या से बदला जा सकता है)।

केस w जिसके कारण घटना घटती है लेकिन, कहा जाता है अनुकूल(या अनुकूल) उसके लिए, अर्थात्। मामला w घटना को शामिल करता है ए: .

किसी घटना की प्रायिकता लेकिनसंख्या का अनुपात कहा जाता है एमइस घटना के अनुकूल मामलों की कुल संख्या एनमामले, यानी

.

(1.3)

पदनाम के साथ आर(लेकिन) एक घटना की संभावना के लिए लेकिनसंकेतन का उपयोग किया जाता है आर, अर्थात। पी = पी(लेकिन).

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा से निम्नलिखित निम्नानुसार है। गुण:

1. किसी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है, अर्थात।

3. एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1 के बराबर होती है, अर्थात्।

4. असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की बारंबारता के योग के बराबर होती है, अर्थात। तो अगर

उदाहरण 1.3।एक कलश में 12 सफेद और 8 काली गेंदें हैं। क्या प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से खींची गई गेंद सफेद हो?

फेसला:

रहने दो लेकिन- एक घटना जिसमें एक सफेद गेंद खींची जाती है। यह स्पष्ट है कि सभी समान रूप से संभावित मामलों की संख्या है। घटना के अनुकूल समय की संख्या लेकिन, 12 के बराबर है, अर्थात। . इसलिए, सूत्र (1.3) से हमारे पास है: , अर्थात। .

संभावनाओं की ज्यामितीय परिभाषा

संभावना की ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब अनुभव के परिणाम समान रूप से संभव होते हैं, और PES एक अनंत बेशुमार सेट होता है। आइए हम क्षेत्र के साथ समतल पर और डोमेन Ω . के अंदर कुछ डोमेन पर विचार करें , क्षेत्र डीक्षेत्र के साथ एस डी(चित्र 6 देखें)।

डोमेन Ω . में एक बिंदु यादृच्छिक रूप से चुना जाता है एक्स. इस विकल्प की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है फेंकने का बिंदु एक्स क्षेत्र के लिए. इस मामले में, क्षेत्र Ω में एक बिंदु की हिट एक विश्वसनीय घटना है, में डी- अनियमित। यह माना जाता है कि डोमेन Ω के सभी बिंदु अधिकार में समान हैं (सभी प्राथमिक घटनाएं समान रूप से संभव हैं), अर्थात। कि फेंका गया बिंदु क्षेत्र के किसी भी बिंदु में गिर सकता है और क्षेत्र में गिरने की संभावना डीइस क्षेत्र के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है और यह इसके स्थान और आकार पर निर्भर नहीं करता है। चलो घटना, यानी। फेंका गया बिंदु क्षेत्र में गिरेगा डी.

चावल। 6

ज्यामितीय संभावनाआयोजन लेकिनक्षेत्र अनुपात कहा जाता है डीडोमेन के क्षेत्र में, अर्थात।

क्षण में:

जहां के माध्यम से एमईएसपैमाने, मैं, वी) क्षेत्रों।

ज्यामितीय संभाव्यता में सभी हैं गुणशास्त्रीय परिभाषा में निहित:

1. किसी भी घटना की ज्यामितीय प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की ज्यामितीय प्रायिकता शून्य होती है, अर्थात्।

3. किसी घटना की ज्यामितीय प्रायिकता 1 के बराबर होती है, अर्थात्।

4. असंगत घटनाओं के योग की ज्यामितीय प्रायिकता इन घटनाओं की बारंबारता के योग के बराबर होती है, अर्थात। तो अगर

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

संभावना - संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक। इस अवधारणा की कई परिभाषाएँ हैं। संभावना एक संख्या है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री को दर्शाती है।

संभावित परीक्षा परिणामों में से प्रत्येक को कहा जाता है प्रारंभिक परिणाम (प्राथमिक घटना)।पदनाम:…,

वे प्रारंभिक परिणाम जिनमें हमारे लिए रुचि की घटना घटित होती है, हम उन्हें कॉल करेंगे अनुकूल।

उदाहरण:एक कलश में 10 समान गेंदें हैं, जिनमें से 4 काली और 6 सफेद हैं। घटना - कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। कलश से सफेद गेंदों को निकालने वाले अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।

घटना के अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात को घटना की प्रायिकता कहा जाता है; संकेतन हमारे उदाहरण में

किसी घटना की प्रायिकताइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या के अनुपात को सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या से अनुपात कहते हैं जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं,

घटना के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कहां है; परीक्षण के सभी संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या।

संभाव्यता गुण:

1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है, अर्थात।इ।

3. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच एक धनात्मक संख्या होती है, अर्थात्।इ।

या

गुण 1 और 2 को ध्यान में रखते हुए, किसी भी घटना की संभावना असमानता को संतुष्ट करती है

4 . कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र

कॉम्बिनेटरिक्स कुछ शर्तों के अधीन संयोजनों की संख्या का अध्ययन करता है जो एक मनमानी प्रकृति के तत्वों के दिए गए सीमित सेट से बना हो सकता है। संभावनाओं की सीधे गणना करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का अक्सर उपयोग किया जाता है। हम उनमें से सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले प्रस्तुत करते हैं।

क्रमपरिवर्तनएक ही अलग-अलग तत्वों से मिलकर बनने वाले और केवल उनकी व्यवस्था के क्रम में भिन्न होने वाले संयोजन कहलाते हैं।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की संख्या

कहाँ पे यह स्वीकार किया जाता है कि

उदाहरण।तीन अंकों की संख्या की संख्या, जब प्रत्येक अंक को केवल एक बार तीन अंकों की संख्या की छवि में शामिल किया जाता है, है

प्लेसमेंटतत्वों द्वारा विभिन्न तत्वों से बने संयोजन कहलाते हैं जो या तो तत्वों की संरचना में या उनके क्रम में भिन्न होते हैं। सभी संभावित नियुक्तियों की संख्या

उदाहरण।विभिन्न रंगों के 6 झंडों से संकेतों की संख्या, 2 द्वारा ली गई:

युग्मकम से कम एक तत्व से भिन्न तत्वों द्वारा विभिन्न तत्वों से बने संयोजन कहलाते हैं। संयोजनों की संख्या

उदाहरण। 10 भागों वाले बॉक्स से दो भागों को चुनने के तरीकों की संख्या:

प्लेसमेंट की संख्या, क्रमपरिवर्तन और संयोजन समानता से संबंधित हैं

समस्याओं को हल करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स निम्नलिखित नियमों का उपयोग करते हैं:

योग नियम. यदि किसी वस्तु को वस्तुओं के समूह से तरीकों से चुना जा सकता है, और किसी अन्य वस्तु को तरीकों से चुना जा सकता है, तो या तो , या तरीकों से चुना जा सकता है।

प्रॉडक्ट नियम. यदि किसी वस्तु का चयन वस्तुओं के संग्रह से तरीकों से किया जा सकता है, और ऐसे प्रत्येक चयन के बाद वस्तु को तरीकों से चुना जा सकता है, तो उस क्रम में वस्तुओं की एक जोड़ी को तरीकों से चुना जा सकता है।

सापेक्ष आवृत्तिभी संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा है।

सापेक्ष आवृत्तिघटनाएँ उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात हैं जिनमें घटना वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या के लिए प्रकट हुई और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

,

परीक्षण में घटना की घटनाओं की संख्या, परीक्षणों की कुल संख्या कहां है।

संभाव्यता और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषाओं की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि संभाव्यता की परिभाषा में परीक्षण की आवश्यकता नहीं होती है, और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषा में वास्तविक परीक्षण शामिल होता है।

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चलता है कि समान परिस्थितियों में प्रयोग करते समय, सापेक्ष आवृत्ति में स्थिरता का गुण होता है। यह गुण इस तथ्य में निहित है कि प्रयोगों की विभिन्न श्रृंखलाओं में परीक्षणों की सापेक्ष आवृत्ति श्रृंखला से श्रृंखला में बहुत कम होती है, एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होती है। यह स्थिरांक घटना घटित होने की प्रायिकता है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में कुछ कमियां हैं:

1) परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की संख्या सीमित है, व्यवहार में यह संख्या अनंत हो सकती है;

2) बहुत बार परीक्षा परिणाम को प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है;

इन कारणों से, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ, एक सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग किया जाता है: मेंगुणवत्ता सांख्यिकीय संभावना घटनाएँ एक सापेक्ष आवृत्ति पर होती हैं।