संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के लिए कार्य।
समाधान उदाहरण

तीसरे पाठ में, हम प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से संबंधित विभिन्न समस्याओं पर विचार करेंगे। इस लेख की सामग्री का प्रभावी ढंग से अध्ययन करने के लिए, मैं अनुशंसा करता हूं कि आप अपने आप को मूल अवधारणाओं से परिचित कराएं सिद्धांत संभावनाऔर कॉम्बिनेटरिक्स की मूल बातें. प्रायिकता के शास्त्रीय निर्धारण की समस्या आपके स्वतंत्र / नियंत्रण कार्य में मौजूद होगी, इसलिए हम गंभीर कार्य के लिए तैयार हो रहे हैं। क्या इतना गंभीर है, तुम पूछो? ... सिर्फ एक आदिम सूत्र। मैं तुच्छता के खिलाफ चेतावनी देता हूं - विषयगत कार्य काफी विविध हैं, और उनमें से कई आसानी से भ्रमित कर सकते हैं। इस संबंध में, मुख्य पाठ पर काम करने के अलावा, गुल्लक में मौजूद विषय पर अतिरिक्त कार्यों का अध्ययन करने का प्रयास करें उच्च गणित में तैयार समाधान. निर्णय के तरीके निर्णय के तरीके हैं, लेकिन "दोस्तों" को अभी भी "दृष्टि से जानने की जरूरत है", क्योंकि एक समृद्ध कल्पना भी सीमित है और पर्याप्त विशिष्ट कार्य भी हैं। खैर, मैं उनमें से अधिकतम संख्या को अच्छी गुणवत्ता में बनाने की कोशिश करूंगा।

आइए शैली के क्लासिक्स को याद करें:

किसी परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता अनुपात के बराबर होती है, जहाँ:

सभी की कुल संख्या है समान रूप से संभव, प्राथमिकइस परीक्षण के परिणाम, जो रूप घटनाओं का पूरा समूह;

- रकम प्राथमिकघटना के पक्ष में परिणाम

और तुरंत एक गड्ढा बंद हो जाता है। क्या आप रेखांकित शर्तों को समझते हैं? इसका अर्थ है स्पष्ट, सहज ज्ञान युक्त समझ नहीं। यदि नहीं, तो पहले लेख पर लौटना अभी भी बेहतर है सिद्धांत संभावनाऔर उसके बाद ही आगे बढ़ें।

कृपया पहले उदाहरणों को न छोड़ें - उनमें मैं एक मौलिक रूप से महत्वपूर्ण बिंदु दोहराऊंगा, और आपको यह भी बताऊंगा कि किसी समाधान को ठीक से कैसे प्रारूपित किया जाए और इसे किन तरीकों से किया जा सकता है:

कार्य 1

एक कलश में 15 सफेद, 5 लाल और 10 काली गेंदें हैं। 1 गेंद यादृच्छया निकाली जाती है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह होगी: a) सफेद, b) लाल, c) काली।

फेसला: प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण शर्त है परिणामों की कुल संख्या की गणना करने की क्षमता.

कलश में 15 + 5 + 10 = 30 गेंदें हैं, और स्पष्ट रूप से निम्नलिखित तथ्य सत्य हैं:

- किसी भी गेंद का निष्कर्षण समान रूप से संभव है (समान अवसरपरिणाम), जबकि परिणाम प्राथमिक और फॉर्म घटनाओं का पूरा समूह (अर्थात परीक्षण के परिणामस्वरूप, 30 गेंदों में से एक निश्चित रूप से हटा दी जाएगी).

इस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या:

निम्नलिखित घटना पर विचार करें:- कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाएगी। यह घटना पसंदीदा है प्राथमिकपरिणाम, इसलिए शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
संभावना है कि कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाएगी।

अजीब तरह से, इतनी सरल समस्या में भी, कोई गंभीर अशुद्धि बना सकता है, जिस पर मैंने पहले लेख में पहले ही ध्यान केंद्रित किया था सिद्धांत संभावना. यहाँ गड़बड़ी कहाँ है? यहां यह तर्क देना गलत है कि "चूंकि आधी गेंदें सफेद हैं, तो सफेद गेंद के निकलने की प्रायिकता» . प्रायिकता की क्लासिक परिभाषा है प्राथमिक:परिणाम, और अंश लिखा जाना चाहिए!

इसी तरह अन्य बिंदुओं के साथ, निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

- कलश से एक लाल गेंद निकाली जाएगी;
- कलश से एक काली गेंद निकाली जाएगी।

घटना 5 प्राथमिक परिणामों के पक्ष में है, और घटना 10 प्राथमिक परिणामों के पक्ष में है। तो संगत संभावनाएं हैं:

कई terver समस्याओं का एक विशिष्ट सत्यापन का उपयोग करके किया जाता है एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं के योग पर प्रमेय. हमारे मामले में, घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि संबंधित संभावनाओं का योग आवश्यक रूप से एक के बराबर होना चाहिए: .

आइए देखें कि क्या ऐसा है: , जिसके बारे में मैं सुनिश्चित करना चाहता था।

जवाब:

सिद्धांत रूप में, उत्तर अधिक विस्तार से लिखा जा सकता है, लेकिन व्यक्तिगत रूप से मैं वहां केवल संख्याएं डालने के लिए उपयोग किया जाता हूं - इस कारण से कि जब आप सैकड़ों और हजारों में "मुद्रांकन" कार्य शुरू करते हैं, तो आप समाधान प्रविष्टि को कम करने का प्रयास करते हैं। वैसे, संक्षिप्तता के बारे में: व्यवहार में, "हाई-स्पीड" डिज़ाइन विकल्प आम है। समाधान:

टोटल: कलश में 15 + 5 + 10 = 30 गेंदें। शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
कलश से एक सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता है;
कलश से एक लाल गेंद निकाले जाने की प्रायिकता है;
संभावना है कि कलश से एक काली गेंद निकाली जाएगी।

जवाब:

हालाँकि, यदि स्थिति में कई बिंदु हैं, तो समाधान अक्सर पहले तरीके से तैयार करने के लिए अधिक सुविधाजनक होता है, जिसमें थोड़ा अधिक समय लगता है, लेकिन फिर यह "सब कुछ अलमारियों पर रखता है" और नेविगेट करना आसान बनाता है काम।

जोश में आना:

टास्क 2

स्टोर को 30 रेफ्रिजरेटर मिले, जिनमें से पांच में फैक्ट्री में खराबी है। एक रेफ्रिजरेटर बेतरतीब ढंग से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह दोष मुक्त होगा?

वह डिज़ाइन विकल्प चुनें जो आपको सूट करे और पृष्ठ के निचले भाग में टेम्पलेट की जाँच करें।

सबसे सरल उदाहरणों में, आम की संख्या और अनुकूल परिणामों की संख्या सतह पर होती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में आपको खुद आलू खोदना पड़ता है। भुलक्कड़ ग्राहक के बारे में समस्याओं की विहित श्रृंखला:

टास्क 3

फ़ोन नंबर डायल करते समय, ग्राहक अंतिम दो अंक भूल जाता है, लेकिन याद रखता है कि उनमें से एक शून्य है, और दूसरा विषम है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह सही नंबर डायल करेगा।

टिप्पणी : शून्य एक सम संख्या है (बिना शेष के 2 से विभाज्य)

फेसला: पहले परिणामों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए। शर्त के अनुसार, सब्सक्राइबर को याद रहता है कि एक अंक शून्य है, और दूसरा अंक विषम है। यहां कॉम्बिनेटरिक्स और उपयोग के साथ समझदार नहीं होना अधिक तर्कसंगत है परिणामों की प्रत्यक्ष गणना . यही है, निर्णय लेते समय, हम केवल सभी संयोजनों को लिखते हैं:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

और हम उन्हें गिनते हैं - कुल मिलाकर: 10 परिणाम।

केवल एक ही अनुकूल परिणाम है: सही संख्या।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
क्या संभावना है कि ग्राहक सही नंबर डायल करेगा

जवाब: 0,1

संभाव्यता सिद्धांत में दशमलव अंश काफी उपयुक्त लगते हैं, लेकिन आप पारंपरिक वैशमतोव शैली का भी पालन कर सकते हैं, केवल साधारण अंशों के साथ काम कर रहे हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए उन्नत कार्य:

टास्क 4

ग्राहक अपने सिम कार्ड के लिए पिन कोड भूल गया, लेकिन याद रखता है कि इसमें तीन "पांच" हैं, और इनमें से एक संख्या "सात" या "आठ" है। पहले प्रयास में सफल प्राधिकरण की संभावना क्या है?

यहां आप अभी भी संभावना के विचार को विकसित कर सकते हैं कि एक फार्ट कोड के रूप में एक सजा ग्राहक की प्रतीक्षा कर रही है, लेकिन, दुर्भाग्य से, तर्क पहले से ही इस पाठ के दायरे से परे होगा।

समाधान और उत्तर नीचे।

कभी-कभी संयोजनों को सूचीबद्ध करना बहुत श्रमसाध्य कार्य हो जाता है। विशेष रूप से, यह समस्या के अगले, कम लोकप्रिय समूह में मामला नहीं है, जहां 2 पासे फेंके जाते हैं (कम बार - अधिक):

टास्क 5

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो उनका योग होगा:

ए) पांच अंक
बी) चार से अधिक अंक नहीं;
ग) 3 से 9 अंक तक समावेशी।

फेसला: परिणामों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए:

पहली मौत का चेहरा गिरा सकते हैं तरीके औरदूसरे मरने का चेहरा तरीकों से गिर सकता है; पर संयोजन गुणन नियम, कुल: संभव संयोजन। दूसरे शब्दों में, प्रत्येकपहले घन का फलक हो सकता है व्यवस्थितजोड़ा प्रत्येक के साथ 2 घन का चेहरा। हम ऐसी जोड़ी को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं, जहां पहली पासे पर गिरने वाली संख्या है, वह संख्या है जो दूसरे पासे पर गिरती है। उदाहरण के लिए:

- पहले पासे पर 3 अंक, दूसरे पर 5 अंक, कुल अंक: 3 + 5 = 8;
- पहले पासे पर 6 अंक गिरे, दूसरे पर - 1 अंक, अंकों का योग: 6 + 1 = 7;
- दोनों पासे 2 अंक लुढ़के, योग: 2 + 2 = 4।

जाहिर है, सबसे छोटी राशि एक जोड़ी द्वारा दी जाती है, और सबसे बड़ी दो "छक्के" द्वारा दी जाती है।

ए) घटना पर विचार करें: - दो पासे फेंकने पर 5 अंक गिरेंगे। आइए इस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या को लिखें और गिनें:

कुल: 4 अनुकूल परिणाम। शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
वांछित संभावना है।

बी) घटना पर विचार करें: - 4 से अधिक अंक नहीं गिरेंगे। यानी या तो 2, या 3, या 4 अंक। फिर से, हम अनुकूल संयोजनों को सूचीबद्ध करते हैं और गिनते हैं, बाईं ओर मैं कुल अंकों की संख्या लिखूंगा, और बृहदान्त्र के बाद - उपयुक्त जोड़े:

कुल: 6 अनुकूल संयोजन। इस प्रकार:
- संभावना है कि 4 से अधिक अंक नहीं गिरेंगे।

ग) आइए घटना पर विचार करें: - 3 से 9 अंक तक शामिल हो जाएंगे। यहां आप एक सीधी सड़क पर जा सकते हैं, लेकिन ... कुछ ऐसा नहीं लगता। हां, कुछ जोड़े पहले से ही पिछले पैराग्राफ में सूचीबद्ध हैं, लेकिन अभी भी बहुत काम किया जाना बाकी है।

इसे करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? ऐसे मामलों में, एक चक्कर तर्कसंगत हो जाता है। विचार करना विपरीत घटना:- 2 या 10 या 11 या 12 अंक निकल जाएंगे।

क्या बात है? विपरीत घटना को बहुत कम संख्या में जोड़े पसंद करते हैं:

कुल: 7 अनुकूल परिणाम।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
- संभावना है कि तीन से कम या 9 से अधिक अंक गिर जाएंगे।

प्रत्यक्ष गणना और परिणामों की गणना के अलावा, विभिन्न संयोजक सूत्र. और फिर से लिफ्ट के बारे में महाकाव्य कार्य:

टास्क 7

पहली मंजिल पर बनी 20 मंजिला इमारत की लिफ्ट में 3 लोग घुसे। और चलो। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

क) वे अलग-अलग मंजिलों पर निकलेंगे
बी) दो एक ही मंजिल पर बाहर निकलेंगे;
c) सभी एक ही मंजिल पर बाहर निकलेंगे।

हमारा आकर्षक पाठ समाप्त हो गया है, और अंत में, एक बार फिर, मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं, यदि हल नहीं करना है, तो कम से कम समझने के लिए प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा पर अतिरिक्त कार्य. जैसा कि मैंने नोट किया, "हाथ भरना" भी मायने रखता है!

आगे पाठ्यक्रम नीचे - संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषाऔर संभावनाओं के जोड़ और गुणा के प्रमेयऔर ... मुख्य में भाग्य!

समाधान और उत्तर:

कार्य 2: फेसला: 30 - 5 = 25 रेफ्रिजरेटर में कोई खराबी नहीं है।

यह संभावना है कि बेतरतीब ढंग से चुने गए रेफ्रिजरेटर में कोई खराबी नहीं है।
जवाब :

कार्य 4: फेसला: परिणामों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए:
जिस तरह से आप उस जगह को चुन सकते हैं जहां संदिग्ध व्यक्ति स्थित है और प्रत्येक परइन 4 स्थानों में से 2 अंक (सात या आठ) स्थित हो सकते हैं। संयोजनों के गुणन के नियम के अनुसार, परिणामों की कुल संख्या: .
वैकल्पिक रूप से, समाधान में, आप बस सभी परिणामों को सूचीबद्ध कर सकते हैं (सौभाग्य से उनमें से कई नहीं हैं):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
केवल एक अनुकूल परिणाम (सही पिन कोड) है।
इस प्रकार, शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
- संभावना है कि ग्राहक पहले प्रयास में अधिकृत है
जवाब :

कार्य 6: फेसला: परिणामों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए:
तरीके 2 पासों पर संख्याएँ गिरा सकते हैं।

a) घटना पर विचार करें: - दो पासे फेंकने पर, अंकों का गुणनफल सात के बराबर होगा। इस घटना के लिए, प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार, कोई अनुकूल परिणाम नहीं हैं:
, अर्थात। यह घटना असंभव है।

ख) आइए घटना पर विचार करें: - दो पासे फेंकने पर, अंकों का गुणनफल कम से कम 20 होगा। यह घटना निम्नलिखित परिणामों के पक्ष में है:

कुल: 8
शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
वांछित संभावना है।

ग) विपरीत घटनाओं पर विचार करें:
- अंकों का गुणनफल सम होगा;
- अंकों का गुणनफल विषम होगा।
आइए उन सभी परिणामों को सूचीबद्ध करें जो घटना के पक्ष में हैं:

कुल: 9 अनुकूल परिणाम।
प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
विपरीत घटनाएँ एक पूरा समूह बनाती हैं, इसलिए:
वांछित संभावना है।

जवाब :

कार्य 8: फेसला: परिणामों की कुल संख्या की गणना करें: 10 सिक्के तरीके से गिर सकते हैं।
दूसरा तरीका: पहला सिक्का तरीकों से गिर सकता है औरदूसरा सिक्का तरीकों से गिर सकता है और … औरजिस तरह से 10 वां सिक्का गिर सकता है। गुणन योग के नियम के अनुसार 10 सिक्के गिर सकते हैं तरीके।
ए) घटना पर विचार करें: - सभी सिक्के सिर पर गिरेंगे। प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार, यह घटना एकल परिणाम के पक्ष में है:।
बी) घटना पर विचार करें: - 9 सिक्के शीर्ष पर आएंगे, और एक पूंछ ऊपर आएगा।
ऐसे सिक्के हैं जो टेल लैंड कर सकते हैं। प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार: .
ग) आइए निम्नलिखित घटना पर विचार करें: - आधे सिक्कों पर सिर गिरेंगे।
अस्तित्व पांच सिक्कों का अनूठा संयोजन जो सिर लैंड कर सकता है। प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
जवाब :

संभावनाघटना उन प्राथमिक परिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी घटना के पक्ष में हैं और अनुभव के सभी समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या जिसमें यह घटना हो सकती है। किसी घटना A की प्रायिकता को P(A) द्वारा निरूपित किया जाता है (यहाँ P फ्रांसीसी शब्द प्रायिकता का पहला अक्षर है - प्रायिकता)। परिभाषा के अनुसार
(1.2.1)
घटना ए के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कहां है; - घटनाओं का एक पूरा समूह बनाने, अनुभव के सभी समान रूप से संभव प्राथमिक परिणामों की संख्या।
संभाव्यता की इस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत के विकास के प्रारंभिक चरण में उत्पन्न हुआ।

किसी घटना की प्रायिकता में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है। आइए पत्र द्वारा एक निश्चित घटना को नामित करें। एक निश्चित घटना के लिए, इसलिए
(1.2.2)
2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है। हम असंभव घटना को पत्र द्वारा निरूपित करते हैं। इसलिए एक असंभव घटना के लिए
(1.2.3)
3. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता को एक से कम धनात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूँकि असमानताएँ, या एक यादृच्छिक घटना के लिए संतुष्ट हैं, तो
(1.2.4)
4. किसी घटना की प्रायिकता असमानताओं को संतुष्ट करती है
(1.2.5)
यह संबंधों से (1.2.2) -(1.2.4) का अनुसरण करता है।

उदाहरण 1एक कलश में समान आकार और भार की 10 गेंदें हैं, जिनमें से 4 लाल और 6 नीली हैं। कलश से एक गेंद निकाली जाती है। खींची गई गेंद के नीले होने की प्रायिकता क्या है?

फेसला. घटना "खींची गई गेंद नीली निकली" को अक्षर ए द्वारा दर्शाया जाएगा। इस परीक्षण में 10 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 घटना ए के पक्ष में हैं। सूत्र (1.2.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2 1 से 30 तक की सभी प्राकृत संख्याएँ समान कार्डों पर लिखी जाती हैं और एक कलश में रखी जाती हैं। पत्तों को अच्छी तरह मिलाने के बाद कलश में से एक पत्ता निकाल दिया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाले गए कार्ड पर 5 का गुणज है?

फेसला।घटना को ए द्वारा निरूपित करें "ले गए कार्ड पर संख्या 5 का गुणक है"। इस परीक्षण में, 30 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 परिणाम घटना ए (संख्या 5, 10, 15, 20, 25, 30) के पक्ष में हैं। इसलिये,

उदाहरण 3दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। घटना B की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, इस तथ्य से कि घनों के शीर्ष फलकों पर कुल 9 अंक होंगे।

फेसला।इस परीक्षण में 6 2 = 36 समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम हैं। इवेंट बी 4 परिणामों का पक्षधर है: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), इसलिए

उदाहरण 4. 10 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इस संख्या के अभाज्य होने की क्या प्रायिकता है?

फेसला।घटना "चुनी हुई संख्या अभाज्य है" को अक्षर C से निरूपित करें। इस स्थिति में, n = 10, m = 4 (अभाज्य 2, 3, 5, 7)। इसलिए, वांछित संभावना

उदाहरण 5दो सममित सिक्के उछाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों सिक्कों के ऊपर की ओर अंक हों?

फेसला।आइए अक्षर डी द्वारा घटना को निरूपित करें "प्रत्येक सिक्के के शीर्ष पर एक संख्या थी"। इस परीक्षण में 4 समान रूप से संभावित प्राथमिक परिणाम हैं: (जी, जी), (जी, सी), (सी, जी), (सी, सी)। (अंकन (जी, सी) का अर्थ है कि पहले सिक्के पर हथियारों का एक कोट होता है, दूसरे पर - एक संख्या)। घटना डी एक प्राथमिक परिणाम (सी, सी) के पक्ष में है। चूँकि m = 1, n = 4, तो

उदाहरण 6क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में अंक समान हैं?

फेसला।दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं; कुल 90 ऐसी संख्याएँ हैं। 9 संख्याओं में समान अंक हैं (ये संख्याएँ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 हैं)। चूँकि इस स्थिति में m = 9, n = 90, तो
,
जहां ए "समान अंकों वाली संख्या" घटना है।

उदाहरण 7शब्द के अक्षरों से अंतरएक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह अक्षर होगा: a) एक स्वर b) एक व्यंजन c) एक अक्षर एच?

फेसला. डिफरेंशियल शब्द में 12 अक्षर हैं, जिनमें से 5 स्वर हैं और 7 व्यंजन हैं। पत्र एचयह शब्द नहीं है। आइए घटनाओं को निरूपित करें: ए - "स्वर", बी - "व्यंजन", सी - "अक्षर" एच"। अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या: - घटना ए के लिए, - घटना बी के लिए, - घटना सी के लिए। चूंकि n \u003d 12, फिर
, और ।

उदाहरण 8दो पासे उछाले जाते हैं, प्रत्येक पासे के शीर्ष फलक पर अंकों की संख्या नोट की जाती है। दोनों पासों के समान अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए हम इस घटना को अक्षर A से निरूपित करते हैं। घटना A को 6 प्राथमिक परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6)। कुल मिलाकर समान रूप से संभव प्राथमिक परिणाम हैं जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, इस मामले में n=6 2 =36। तो वांछित संभावना

उदाहरण 9पुस्तक में 300 पृष्ठ हैं। क्या प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से खोले गए पृष्ठ में एक अनुक्रम संख्या होगी जो 5 का गुणज है?

फेसला।यह समस्या की स्थितियों का अनुसरण करता है कि सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों में से n = 300 होंगे जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं। इनमें से, m = 60 निर्दिष्ट घटना की घटना के पक्ष में है। वास्तव में, एक संख्या जो 5 का गुणज है, उसका रूप 5k है, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, और जहाँ से . इसलिये,
, जहां A - "पेज" इवेंट में एक अनुक्रम संख्या होती है जो 5 का गुणज होता है।

उदाहरण 10. दो पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 7 या 8 प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

फेसला. आइए घटनाओं को नामित करें: ए - "7 अंक गिर गए", बी - "8 अंक गिर गए"। घटना ए को 6 प्राथमिक परिणामों का समर्थन है: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), और घटना बी - द्वारा 5 परिणाम: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)। सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणामों में से n = 6 2 = 36 हैं। इसलिए, और ।

तो, P(A)>P(B), यानी कुल 7 अंक प्राप्त करना कुल 8 अंक प्राप्त करने की तुलना में अधिक संभावित घटना है।

कार्य

1. 30 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या 3 का गुणज है?
2. कलश में एलाल और बीएक ही आकार और वजन की नीली गेंदें। इस कलश से बेतरतीब ढंग से निकाली गई गेंद के नीले होने की क्या प्रायिकता है?
3. 30 से अनधिक एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या zo का भाजक है?
4. कलश में एनीला और बीएक ही आकार और वजन की लाल गेंदें। इस कलश से एक गेंद निकाली जाती है और एक तरफ रख दी जाती है। यह गेंद लाल है। फिर कलश से एक और गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद के भी लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
5. 50 से अनधिक एक प्राकृत संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इस संख्या के अभाज्य होने की क्या प्रायिकता है?
6. तीन पासे फेंके जाते हैं, ऊपरी फलकों पर अंकों के योग की गणना की जाती है। क्या अधिक संभावना है - कुल 9 या 10 अंक प्राप्त करने के लिए?
7. तीन पासे उछाले जाते हैं, गिराए गए अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 11 (ईवेंट ए) या 12 अंक (ईवेंट बी) प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

जवाब

1. 1/3. 2 . बी/(ए+बी). 3 . 0,2. 4 . (बी-1)/(ए+बी-1). 5 .0,3.6 . पी 1 \u003d 25/216 - कुल 9 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी 2 \u003d 27/216 - कुल 10 अंक प्राप्त करने की संभावना; p2 > p1 7 . पी (ए) = 27/216, पी (बी) = 25/216, पी (ए)> पी (बी)।

प्रशन

1. किसी घटना की प्रायिकता को क्या कहते हैं?
2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?
3. एक असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?
4. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
5. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
6. प्रायिकता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत

योजना:

1. यादृच्छिक घटनाएं

2. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

3. घटना की संभावनाओं और संयोजन की गणना

4. ज्यामितीय संभावना

सैद्धांतिक जानकारी

यादृच्छिक घटनाएं।

यादृच्छिक घटना- एक घटना, जिसका परिणाम स्पष्ट रूप से निर्धारित होता है। इस अवधारणा की व्याख्या काफी व्यापक अर्थों में की जा सकती है। अर्थात्: प्रकृति में सब कुछ काफी आकस्मिक है, किसी भी व्यक्ति की उपस्थिति और जन्म एक यादृच्छिक घटना है, एक दुकान में सामान का चुनाव भी एक यादृच्छिक घटना है, परीक्षा में अंक प्राप्त करना एक यादृच्छिक घटना है, बीमारी और वसूली यादृच्छिक है घटना, आदि

यादृच्छिक घटना के उदाहरण:

~ शूटिंग एक निश्चित कोण पर एक बंदूक सेट से क्षितिज तक की जाती है। इसे लक्ष्य पर मारना आकस्मिक है, लेकिन एक निश्चित "कांटा" में एक प्रक्षेप्य को मारना एक पैटर्न है। आप उस दूरी को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके निकट और उससे आगे प्रक्षेप्य उड़ान नहीं भरेगा। कुछ "गोले का कांटा फैलाव" प्राप्त करें

~ एक ही शरीर को कई बार तौला जाता है। कड़ाई से बोलते हुए, हर बार अलग-अलग परिणाम प्राप्त होंगे, भले ही वे नगण्य रूप से छोटी राशि से भिन्न हों, लेकिन अलग।

~ एक ही मार्ग के साथ उड़ान भरने वाले विमान में एक निश्चित उड़ान गलियारा होता है जिसके भीतर विमान युद्धाभ्यास कर सकता है, लेकिन इसका बिल्कुल वही मार्ग नहीं होगा

~ एक एथलीट कभी भी एक ही समय के साथ समान दूरी नहीं चला पाएगा। उसके परिणाम भी एक निश्चित संख्यात्मक सीमा के भीतर होंगे।

अनुभव, प्रयोग, अवलोकन परीक्षण हैं

परीक्षण- शर्तों के एक निश्चित सेट का अवलोकन या पूर्ति जो बार-बार की जाती है, और नियमित रूप से इसी क्रम, अवधि में अन्य समान मापदंडों का पालन करते हुए दोहराई जाती है।

आइए लक्ष्य पर एक शॉट के खिलाड़ी द्वारा प्रदर्शन पर विचार करें। इसके उत्पादन के लिए, एथलीट की तैयारी, हथियार लोड करना, लक्ष्य करना आदि जैसी शर्तों को पूरा करना आवश्यक है। "हिट" और "मिस" शॉट के परिणामस्वरूप होने वाली घटनाएं हैं।

घटना- गुणात्मक परीक्षा परिणाम।

कोई घटना हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है घटनाएँ बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा इंगित की जाती हैं। उदाहरण के लिए: डी = "शूटर ने निशाने पर मारा"। एस = "सफेद गेंद खींची गई"। K = "बिना जीत के यादृच्छिक लॉटरी टिकट।"।

सिक्का उछालना एक परीक्षा है। उसके "हथियारों के कोट" का गिरना एक घटना है, उसकी "संख्या" का गिरना दूसरी घटना है।

किसी भी परीक्षण में कई घटनाओं की घटना शामिल होती है। उनमें से कुछ की शोधकर्ता को एक निश्चित समय पर आवश्यकता हो सकती है, जबकि अन्य की आवश्यकता नहीं हो सकती है।

घटना को यादृच्छिक कहा जाता है, यदि शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन के तहत एसयह हो भी सकता है और नहीं भी। निम्नलिखित में, "शर्तों का सेट S पूरा हुआ" कहने के बजाय, हम संक्षेप में कहेंगे: "परीक्षण किया गया था।" इस प्रकार, घटना को परीक्षण के परिणाम के रूप में माना जाएगा।

~ शूटर चार क्षेत्रों में विभाजित एक लक्ष्य पर गोली मारता है। शॉट एक परीक्षा है। लक्ष्य के एक निश्चित क्षेत्र को मारना एक घटना है।

~ कलश में रंगीन गेंदें हैं। एक गेंद कलश से यादृच्छया निकाली जाती है। कलश से गेंद निकालना एक परीक्षा है। एक निश्चित रंग की गेंद का दिखना एक घटना है।

यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार

1. घटनाओं को असंगत कहा जाता हैयदि उनमें से एक की घटना उसी परीक्षण में अन्य घटनाओं की घटना को शामिल नहीं करती है।

~ भागों के साथ एक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक हिस्सा लिया गया था। एक मानक भाग की उपस्थिति एक गैर-मानक भाग की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाक्रम € एक मानक भाग दिखाई दिया" और एक गैर-मानक भाग के साथ दिखाई दिया" - असंगत।

~ एक सिक्का फेंका जाता है। "हथियारों का कोट" की उपस्थिति शिलालेख की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाएं "हथियारों का एक कोट दिखाई दिया" और "एक शिलालेख दिखाई दिया" असंगत हैं।

कई आयोजन फॉर्म पूरा समूह,यदि उनमें से कम से कम एक परीक्षण के परिणामस्वरूप प्रकट होता है। दूसरे शब्दों में, पूरे समूह की कम से कम एक घटना का घटित होना एक निश्चित घटना है।

विशेष रूप से, यदि एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाएं जोड़ीदार असंगत हैं, तो परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक और केवल एक घटना दिखाई देगी। यह विशेष मामला हमारे लिए सबसे बड़ी दिलचस्पी है, क्योंकि इसका उपयोग नीचे किया गया है।

~ पैसे और कपड़ों की लॉटरी के दो टिकट खरीदे गए। निम्न में से एक और केवल एक घटना घटित होनी चाहिए:

1. "जीत पहले टिकट पर गिर गई और दूसरे पर नहीं गिरी",

2. "जीत पहले टिकट पर नहीं गिरती और दूसरे पर गिरती है",

3. "जीत दोनों टिकटों पर गिर गई",

4. "दोनों टिकट नहीं जीते।"

ये घटनाएँ जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं,

~ शूटर ने निशाने पर गोली मार दी। निम्नलिखित दो घटनाओं में से एक का होना निश्चित है: हिट, मिस। ये दो अलग-अलग घटनाएं भी एक पूरा समूह बनाती हैं।

2. घटनाएँ कहलाती हैं समान रूप से संभवयदि यह मानने का कारण है कि न तो दूसरे से अधिक संभव है।

~ "हथियारों के कोट" की उपस्थिति और जब एक सिक्का उछाला जाता है तो एक शिलालेख की उपस्थिति समान रूप से संभव घटनाएं होती हैं। दरअसल, यह माना जाता है कि सिक्का एक सजातीय सामग्री से बना है, एक नियमित बेलनाकार आकार है, और एक सिक्के की उपस्थिति सिक्के के एक या दूसरे पक्ष के नुकसान को प्रभावित नहीं करती है।

~ फेंके गए पासे पर एक या दूसरे अंक का दिखना एक समान रूप से संभावित घटना है। दरअसल, यह माना जाता है कि डाई एक सजातीय सामग्री से बना है, एक नियमित पॉलीहेड्रॉन का आकार है, और बिंदुओं की उपस्थिति किसी भी चेहरे के नुकसान को प्रभावित नहीं करती है।

3. घटना को कहा जाता है प्रामाणिक,अगर ऐसा नहीं हो सकता

4. घटना को कहा जाता है विश्वसनीय नहीं हैअगर ऐसा नहीं हो सकता।

5. घटना को कहा जाता है विलोमकिसी घटना के लिए यदि इसमें दी गई घटना की गैर-घटना शामिल है। विपरीत घटनाएँ संगत नहीं हैं, लेकिन उनमें से एक अवश्य घटित होनी चाहिए। विपरीत घटनाओं को आमतौर पर नकार के रूप में जाना जाता है, अर्थात। पत्र के ऊपर एक डैश लिखा है। घटनाएँ विपरीत हैं: A और ; यू और , आदि। .

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

प्रायिकता संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक है।

इस अवधारणा की कई परिभाषाएँ हैं। आइए हम एक परिभाषा दें जिसे शास्त्रीय कहा जाता है। इसके बाद, हम इस परिभाषा की कमजोरियों को इंगित करते हैं और अन्य परिभाषाएँ देते हैं जो शास्त्रीय परिभाषा की कमियों को दूर करना संभव बनाती हैं।

स्थिति पर विचार करें: एक बॉक्स में 6 समान गेंदें हैं, 2 लाल हैं, 3 नीली हैं और 1 सफेद है। जाहिर है, एक कलश से एक रंगीन (यानी, लाल या नीली) गेंद को यादृच्छिक रूप से खींचने की संभावना सफेद गेंद को खींचने की संभावना से अधिक है। इस संभावना को एक संख्या द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे एक घटना की संभावना (एक रंगीन गेंद की उपस्थिति) कहा जाता है।

संभावना- घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री को दर्शाने वाली संख्या।

विचाराधीन स्थिति में, हम निरूपित करते हैं:

घटना ए = "एक रंगीन गेंद को बाहर निकालना"।

परीक्षण के संभावित परिणामों में से प्रत्येक (परीक्षण में कलश से एक गेंद निकालना शामिल है) को कहा जाता है प्राथमिक (संभव) परिणाम और घटना।प्रारंभिक परिणामों को नीचे अनुक्रमित वाले अक्षरों से दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए: k 1 , k 2 ।

हमारे उदाहरण में, 6 गेंदें हैं, इसलिए 6 संभावित परिणाम हैं: एक सफेद गेंद दिखाई दी; एक लाल गेंद दिखाई दी; एक नीली गेंद दिखाई दी, इत्यादि। यह देखना आसान है कि ये परिणाम जोड़ीवार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं (केवल एक गेंद आवश्यक रूप से दिखाई देगी) और वे समान रूप से संभावित हैं (गेंद को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है, गेंदें समान होती हैं और अच्छी तरह मिश्रित होती हैं)।

प्रारंभिक परिणाम, जिसमें हमारे लिए रुचि की घटना होती है, हम कॉल करेंगे अनुकूल परिणामयह आयोजन। हमारे उदाहरण में, घटना को पसंद किया जाता है लेकिन(रंगीन गेंद का दिखना) निम्नलिखित 5 परिणाम:

इस प्रकार घटना लेकिनदेखा गया है कि यदि कोई परीक्षण में होता है, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्राथमिक परिणामों में से कौन सा पक्षधर है लेकिन।यह किसी भी रंगीन गेंद की उपस्थिति है, जिसके डिब्बे में 5 टुकड़े हैं

प्राथमिक परिणामों के सुविचारित उदाहरण में 6; जिनमें से 5 घटना के पक्ष में हैं लेकिन।इसलिये, पी (ए) = 5/6. यह संख्या रंगीन गेंद के प्रकट होने की संभावना की डिग्री का परिमाणीकरण देती है।

संभाव्यता परिभाषा:

घटना A की प्रायिकताइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या से है जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं।

पी (ए) = एम / एन या पी (ए) = एम: एन, जहां:

एम प्राथमिक परिणामों की संख्या है जो अनुकूल है लेकिन;

पी- परीक्षण के सभी संभावित प्राथमिक परिणामों की संख्या।

यहां यह माना जाता है कि प्राथमिक परिणाम असंगत हैं, समान रूप से संभावित हैं और एक पूर्ण समूह बनाते हैं।

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर होती है।

वास्तव में, यदि घटना विश्वसनीय है, तो परीक्षण का प्रत्येक प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में है। इस मामले में एम = एनइसलिए पी = 1

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

वास्तव में, यदि घटना असंभव है, तो परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों में से कोई भी घटना के पक्ष में नहीं है। इस मामले में एम = 0, इसलिए पी = 0।

3.एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और एक के बीच एक सकारात्मक संख्या है। 0टी< n.

बाद के विषयों में, प्रमेय दिए जाएंगे जो कुछ घटनाओं की ज्ञात संभावनाओं से, अन्य घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देते हैं।

माप। छात्रों के समूह में 6 लड़कियां और 4 लड़के हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित विद्यार्थी के एक लड़की होगी? क्या यह एक जवान आदमी होगा?

पी देव = 6 / 10 = 0.6 पी जून = 4 / 10 = 0.4

संभाव्यता सिद्धांत के आधुनिक कठोर पाठ्यक्रमों में "संभावना" की अवधारणा एक सेट-सैद्धांतिक आधार पर बनाई गई है। आइए इस दृष्टिकोण में से कुछ पर एक नज़र डालें।

मान लीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप निम्नलिखित में से केवल एक घटना होती है: मैं(मैं = 1, 2, .... एन)। आयोजन मैं, कहा जाता है प्राथमिक घटनाएँ (प्राथमिक परिणाम)। हेयह इस प्रकार है कि प्राथमिक घटनाएं जोड़ीदार असंगत हैं। सभी प्राथमिक घटनाओं के समुच्चय जो एक परीक्षण में प्रकट हो सकते हैं, कहलाते हैं प्राथमिक घटना स्थान(ग्रीक अक्षर ओमेगा कैपिटल), और प्राथमिक घटनाएँ स्वयं - इस स्थान में अंक।.

घटना लेकिनएक उपसमुच्चय (अंतरिक्ष Ω के) के साथ पहचाना जाता है जिसके तत्व प्राथमिक परिणाम के पक्ष में हैं लेकिन;प्रतिस्पर्धा परएक उपसमुच्चय है जिसके अवयव ऐसे परिणाम हैं जो उसके पक्ष में हैं पर,आदि। इस प्रकार, परीक्षण में होने वाली सभी घटनाओं का सेट Ω के सभी सबसेट का सेट है। स्वयं परीक्षण के किसी भी परिणाम के लिए होता है, इसलिए Ω एक निश्चित घटना है; रिक्त स्थान का एक खाली उपसमुच्चय एक असंभव घटना है (यह परीक्षण के किसी भी परिणाम के लिए नहीं होती है)।

प्राथमिक घटनाओं को विषयों द्वारा सभी घटनाओं से अलग किया जाता है, "उनमें से प्रत्येक में केवल एक तत्व होता है

हर प्रारंभिक परिणाम के लिए मैंएक सकारात्मक संख्या का मिलान करें पी मैंइस परिणाम की संभावना है, और सभी का योग पी मैं 1 के बराबर या योग के चिन्ह के साथ इस तथ्य को व्यंजक के रूप में लिखा जाएगा:

परिभाषा के अनुसार, प्रायिकता पी (ए)आयोजन लेकिनप्राथमिक परिणामों के अनुकूल होने की प्रायिकताओं के योग के बराबर है लेकिन।इसलिए, एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर है, असंभव - शून्य से, मनमाना - शून्य और एक के बीच है।

आइए हम एक महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें, जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं। परिणामों की संख्या n के बराबर है, सभी परिणामों की संभावनाओं का योग एक के बराबर है; अतः प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/n है। घटना होने दें लेकिनएम परिणामों का पक्षधर है।

घटना की संभावना लेकिनअनुकूल परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर है लेकिन:

पी(ए)=1/एन + 1/एन+…+1/एन = एन 1/एन=1

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा प्राप्त की जाती है।

अभी भी सिद्ध"संभावना" की अवधारणा के लिए दृष्टिकोण। स्वयंसिद्धों की प्रणाली में प्रस्तावित। कोलमोगोरोव ए.एन., अपरिभाषित अवधारणाएं प्राथमिक घटना और संभाव्यता हैं। तार्किक रूप से पूर्ण संभाव्यता सिद्धांत का निर्माण एक यादृच्छिक घटना की स्वयंसिद्ध परिभाषा और इसकी संभावना पर आधारित है।

यहाँ स्वयंसिद्ध हैं जो संभाव्यता को परिभाषित करते हैं:

1. हर घटना लेकिनएक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या असाइन की गई है पी (ए)।इस संख्या को घटना की प्रायिकता कहते हैं। लेकिन।

2. एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर है:

3. जोड़ी में असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

इन अभिगृहीतों के आधार पर उनके बीच संबंध की प्रायिकताओं के गुण प्रमेयों के रूप में व्युत्पन्न होते हैं।

नगर शैक्षिक संस्थान

व्यायामशाला संख्या 6

"संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा" विषय पर।

8वीं "बी" कक्षा के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया

क्लिमांतोवा एलेक्जेंड्रा।

गणित शिक्षक: विदेनकिना वी.ए.

वोरोनिश, 2008

कई खेल पासे का उपयोग करते हैं। पासे के 6 फलक होते हैं, प्रत्येक चेहरे पर अलग-अलग अंक अंकित होते हैं - 1 से 6 तक। खिलाड़ी पासे को फेंकता है और देखता है कि गिराए गए चेहरे पर कितने बिंदु हैं (चेहरे पर जो शीर्ष पर स्थित है)। अक्सर, पासे के किनारे पर डॉट्स को संबंधित संख्या से बदल दिया जाता है और फिर वे 1, 2 या 6 के रोल के बारे में बात करते हैं। पासे को फेंकना एक अनुभव, एक प्रयोग, एक परीक्षण और प्राप्त परिणाम माना जा सकता है। एक परीक्षण या एक प्राथमिक घटना का परिणाम है। लोग किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में रुचि रखते हैं। एक पासे को लुढ़कने पर वे क्या भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, ये:

1. घटना ए - संख्या 1, 2, 3, 4, 5 या 6 गिरती है;
2. घटना बी - संख्या 7, 8 या 9 गिरती है;
3. घटना सी - नंबर 1 गिर जाता है।

पहले मामले में भविष्यवाणी की गई घटना ए निश्चित रूप से आएगी। सामान्य तौर पर, एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है निश्चित घटना.

दूसरे मामले में भविष्यवाणी की गई घटना बी कभी नहीं होगी, यह बस असंभव है। सामान्य तौर पर, एक घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती है, कहलाती है असंभव घटना.

तीसरे मामले में भविष्यवाणी की गई घटना सी होगी या नहीं? हम इस प्रश्न का उत्तर पूर्ण निश्चितता के साथ नहीं दे पा रहे हैं, क्योंकि 1 हो भी सकता है और नहीं भी। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक घटना.

एक निश्चित घटना की शुरुआत के बारे में सोचते हुए, हम सबसे अधिक संभावना है कि हम "शायद" शब्द का प्रयोग नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, यदि आज बुधवार है, तो कल गुरुवार है, यह एक निश्चित घटना है। बुधवार को हम यह नहीं कहेंगे: "शायद कल गुरुवार है", हम संक्षेप में और स्पष्ट रूप से कहेंगे: "कल गुरुवार है।" सच है, अगर हम सुंदर वाक्यांशों के लिए प्रवण हैं, तो हम यह कह सकते हैं: "एक सौ प्रतिशत संभावना के साथ मैं कहता हूं कि कल गुरुवार है।" इसके विपरीत, यदि आज बुधवार है, तो आने वाला कल शुक्रवार है—एक असंभव घटना। बुधवार की इस घटना का मूल्यांकन करते हुए, हम यह कह सकते हैं: "मुझे यकीन है कि कल शुक्रवार नहीं है।" या इस तरह: "यह अविश्वसनीय है कि कल शुक्रवार है।" ठीक है, अगर हम सुंदर वाक्यांशों के लिए प्रवण हैं, तो हम यह कह सकते हैं: "कल शुक्रवार होने की संभावना शून्य है।" तो, एक निश्चित घटना एक घटना है जो दी गई शर्तों के तहत होती है। 100% निश्चितता के साथ(अर्थात 10 में से 10 मामलों में, 100 में से 100 मामलों में आना, आदि)। एक असंभव घटना एक ऐसी घटना है जो दी गई परिस्थितियों में कभी नहीं होती है, एक घटना शून्य संभावना के साथ.

लेकिन, दुर्भाग्य से (और शायद सौभाग्य से), जीवन में सब कुछ इतना स्पष्ट और स्पष्ट नहीं है: यह हमेशा होगा (निश्चित घटना), यह कभी नहीं होगा (असंभव घटना)। सबसे अधिक बार, हमें यादृच्छिक घटनाओं का सामना करना पड़ता है, जिनमें से कुछ की संभावना अधिक होती है, अन्य की कम संभावना होती है। आम तौर पर लोग "अधिक संभावना" या "कम संभावना" शब्दों का प्रयोग करते हैं, जैसा कि वे कहते हैं, सामान्य ज्ञान कहा जाता है पर भरोसा करते हैं। लेकिन बहुत बार ऐसे अनुमान अपर्याप्त साबित होते हैं, क्योंकि यह जानना महत्वपूर्ण है कितनाप्रतिशत संभावना एक यादृच्छिक घटना या कितनी बारएक यादृच्छिक घटना दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना है। दूसरे शब्दों में, हमें सटीक आवश्यकता है मात्रात्मकविशेषताएँ, आपको एक संख्या द्वारा संभाव्यता को चिह्नित करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

हम पहले ही इस दिशा में पहला कदम उठा चुके हैं। हमने कहा कि किसी निश्चित घटना के घटित होने की प्रायिकता की विशेषता है: एक सौ प्रतिशत, और एक असंभव घटना के घटित होने की प्रायिकता के रूप में शून्य. यह देखते हुए कि 100% 1 के बराबर है, लोग निम्नलिखित पर सहमत हुए हैं:

1. एक निश्चित घटना की संभावना के बराबर माना जाता है 1;
2. एक असंभव घटना की प्रायिकता को के बराबर माना जाता है 0.

आप एक यादृच्छिक घटना की संभावना की गणना कैसे करते हैं? आखिर हुआ भी तो संयोग से, जिसका अर्थ है कि यह कानूनों, एल्गोरिदम, सूत्रों का पालन नहीं करता है। यह पता चला है कि कुछ कानून यादृच्छिकता की दुनिया में काम करते हैं, जिससे आप संभावनाओं की गणना कर सकते हैं। यह गणित की वह शाखा है जिसे कहते हैं- सिद्धांत संभावना.

गणित का संबंध से है आदर्शहमारे आसपास की वास्तविकता की कुछ घटना। संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सभी मॉडलों में से, हम खुद को सबसे सरल तक सीमित रखेंगे।

शास्त्रीय संभाव्य योजना

किसी प्रयोग के दौरान किसी घटना A की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, किसी को यह करना चाहिए:

1) इस प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की संख्या N ज्ञात कीजिए;

2) इस धारणा को स्वीकार करें कि ये सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं (समान रूप से संभव);

3) उस अनुभव के उन परिणामों की संख्या N(A) ज्ञात कीजिए जिसमें घटना A घटित होती है;

4) एक निजी खोजें ; यह घटना A की प्रायिकता के बराबर होगा।

यह एक घटना ए की संभावना को पी (ए) के रूप में नामित करने के लिए प्रथागत है। इस पद के लिए स्पष्टीकरण बहुत सरल है: फ्रेंच में "संभावना" शब्द है संभावना, अंग्रेजी में- संभावनापदनाम शब्द के पहले अक्षर का उपयोग करता है।

इस संकेतन का उपयोग करते हुए, शास्त्रीय योजना के अनुसार एक घटना ए की संभावना सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

पी (ए) =।

अक्सर दी गई शास्त्रीय संभाव्यता योजना के सभी बिंदु एक लंबे वाक्यांश में व्यक्त किए जाते हैं।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

एक निश्चित परीक्षण के दौरान एक घटना ए की संभावना परिणामों की संख्या का अनुपात है, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए होती है, इस परीक्षण के सभी समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या।

उदाहरण 1. एक पासे को एक बार फेंकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) 4; बी) 5; ग) अंकों की एक समान संख्या; डी) 4 से अधिक अंकों की संख्या; ई) अंकों की संख्या तीन का गुणज नहीं।

फेसला. कुल मिलाकर, N=6 संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, या 6 के बराबर अंकों वाले घन के एक फलक को गिराना। हम मानते हैं कि उनमें से किसी का भी दूसरों पर कोई लाभ नहीं है, अर्थात्, हम इन परिणामों की समानता की धारणा को स्वीकार करते हैं।

ए) वास्तव में परिणामों में से एक में, हमारे लिए ब्याज की घटना होगी - संख्या 4 का नुकसान। इसलिए, एन (ए) \u003d 1 और

पी(ए)= =.

बी) समाधान और उत्तर पिछले पैराग्राफ के समान हैं।

सी) हमारे लिए रुचि की घटना बी ठीक तीन मामलों में घटित होगी जब अंकों की संख्या 2, 4 या 6 हो। इसलिए,

एन(बी)=3 औरपी(बी)==.

d) हमारे लिए ब्याज की घटना C ठीक दो मामलों में घटित होगी जब अंकों की संख्या 5 या 6 हो। इसलिए,

एन(सी) = 2 और पी (सी) =।

ई) खींची गई छह संभावित संख्याओं में से चार (1, 2, 4 और 5) तीन के गुणज नहीं हैं, और शेष दो (3 और 6) तीन से विभाज्य हैं। इसका मतलब यह है कि हमारे लिए रुचि की घटना छह में से चार संभव और आपस में समान रूप से संभावित और आपस में समान रूप से संभावित अनुभव के परिणामों में होती है। तो उत्तर है।

उत्तर: ए); बी) ; में) ; जी) ; इ)।

एक वास्तविक खेल पासा एक आदर्श (मॉडल) पासा से अच्छी तरह से भिन्न हो सकता है, इसलिए, इसके व्यवहार का वर्णन करने के लिए, एक अधिक सटीक और विस्तृत मॉडल की आवश्यकता होती है, एक चेहरे के दूसरे पर फायदे, चुंबक की संभावित उपस्थिति आदि को ध्यान में रखते हुए। लेकिन "शैतान विवरण में है", और अधिक सटीकता अधिक जटिलता की ओर ले जाती है, और उत्तर प्राप्त करना एक समस्या बन जाता है। हम खुद को सबसे सरल संभाव्य मॉडल पर विचार करने तक सीमित रखते हैं, जहां सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

टिप्पणी 1. आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। प्रश्न पूछा गया था: "एक पासे के एक रोल पर तीन आने की क्या प्रायिकता है?" छात्र ने इस तरह उत्तर दिया: "संभावना 0.5 है।" और उसने अपने उत्तर की व्याख्या की: “तीनों या तो बाहर हो जाएंगे या नहीं। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर दो परिणाम हैं, और ठीक एक घटना में हमारे लिए रुचि की घटना होती है। शास्त्रीय संभाव्यता योजना के अनुसार, हमें उत्तर 0.5 मिलता है। क्या इस तर्क में कोई त्रुटि है? पहली नज़र में, नहीं। हालाँकि, यह अभी भी है, और एक मौलिक क्षण में है। हां, वास्तव में, ट्रिपल या तो बाहर गिर जाएगा या नहीं, यानी थ्रो के परिणाम की ऐसी परिभाषा के साथ, एन = 2। यह भी सच है कि N(A)=1 और, ज़ाहिर है, यह सच है कि = 0, 5, यानी, संभाव्य योजना के तीन बिंदुओं को ध्यान में रखा जाता है, लेकिन बिंदु 2 की पूर्ति संदिग्ध है। बेशक, विशुद्ध रूप से कानूनी दृष्टिकोण से, हमें यह मानने का अधिकार है कि एक तिहाई का नुकसान समान रूप से विफल होने की संभावना है। लेकिन क्या हम चेहरों की "समानता" के बारे में अपनी प्राकृतिक धारणाओं का उल्लंघन किए बिना ऐसा सोच सकते हैं? बिलकूल नही! यहां हम कुछ मॉडल के भीतर सही तर्क के साथ काम कर रहे हैं। केवल यह मॉडल ही "गलत" है, वास्तविक घटना के अनुरूप नहीं है।

टिप्पणी 2. संभाव्यता पर चर्चा करते समय, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिस्थितियों पर ध्यान न दें। यदि हम यह कहें कि पासे को फेंकने पर एक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता बराबर होती है, तो इसका यह अर्थ कतई नहीं है कि पासे को 6 बार घुमाने पर आपको ठीक एक बार एक अंक प्राप्त होगा, पासे को 12 बार फेंकने पर आप एक अंक ठीक दो बार प्राप्त करें, पासे को 18 बार घुमाने पर, आपको ठीक तीन बार एक अंक मिलता है, और इसी तरह आगे भी। यह शब्द शायद सट्टा है। हम मानते हैं कि ऐसा होने की संभावना है। संभवत: यदि हम पासे को 600 बार घुमाते हैं, तो एक अंक 100 बार या लगभग 100 बार आएगा।

विभिन्न जुआ खेलों का विश्लेषण करते समय 17 वीं शताब्दी में संभाव्यता सिद्धांत उत्पन्न हुआ। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि पहले उदाहरण एक चंचल प्रकृति के हैं। पासा के उदाहरणों से, आइए डेक से ताश खेलने के यादृच्छिक आरेखण पर चलते हैं।

उदाहरण 2. 36 ताश के पत्तों की एक गड्डी में से 3 पत्ते एक ही समय में यादृच्छया निकाले जाते हैं। क्या प्रायिकता है कि उनमें हुकुम की रानी नहीं है?

फेसला. हमारे पास 36 तत्वों का एक सेट है। हम तीन तत्वों का चयन करते हैं, जिनका क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, एन = सी परिणाम प्राप्त करना संभव है। हम शास्त्रीय संभाव्यता योजना के अनुसार कार्य करेंगे, अर्थात हम मान लेंगे कि ये सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

यह शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार आवश्यक संभावना की गणना करने के लिए बनी हुई है:

और इस बात की क्या प्रायिकता है कि चुने हुए तीन पत्तों में से एक हुकुम की रानी है? ऐसे सभी परिणामों की संख्या की गणना करना मुश्किल नहीं है, आपको केवल उन सभी परिणामों N से घटाना होगा जिनमें हुकुम की कोई रानी नहीं है, अर्थात, उदाहरण 3 में पाई गई संख्या N(A) को घटाएं। फिर यह अंतर एन - एन (ए) शास्त्रीय संभाव्य योजना के अनुसार एन द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए। यह हमें मिलता है:

हम देखते हैं कि दो घटनाओं की संभावनाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। यदि घटना ए में हुकुम की रानी की अनुपस्थिति है, और घटना बी चुने हुए तीन कार्डों में से उसकी उपस्थिति में है, तो

पी (बी) \u003d 1 - पी (ए),

पी(ए)+पी(बी)=1.

दुर्भाग्य से, समानता में P(A)+P(B)=1 घटनाओं ए और बी के बीच संबंध के बारे में कोई जानकारी नहीं है; हमें इस संबंध को ध्यान में रखना होगा। घटना बी को पहले से एक नाम और पदनाम देना अधिक सुविधाजनक होगा, जो स्पष्ट रूप से ए के साथ इसके संबंध को दर्शाता है।

परिभाषा 1. घटना बीबुलाया घटना ए के विपरीतऔर बी = Ā को निरूपित करें यदि घटना बी घटित होती है और केवल यदि घटना ए नहीं होती है।

टीप्रमेय 1. विपरीत घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, घटना की प्रायिकता को एकता से घटाएं: (Ā)= 1-Р(А)। वास्तव में,

व्यवहार में, वे गणना करते हैं कि क्या खोजना आसान है: या तो पी (ए) या पी (Ā)। उसके बाद, वे प्रमेय से सूत्र का उपयोग करते हैं और क्रमशः P(Ā)= 1-P(A), या P(A)= 1-P(Ā) पाते हैं।

अक्सर "मामलों की गणना" द्वारा किसी विशेष समस्या को हल करने की विधि का उपयोग किया जाता है, जब समस्या की स्थितियों को परस्पर अनन्य मामलों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को अलग से माना जाता है। उदाहरण के लिए, "यदि आप दाईं ओर जाते हैं, तो आप अपना घोड़ा खो देंगे, यदि आप सीधे जाते हैं, तो आप संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार एक समस्या का समाधान करेंगे, यदि आप बाईं ओर जाते हैं ..."। या फ़ंक्शन y=│x+1│—│2x—5│ की साजिश रचते समय, x . के मामलों पर विचार करें

उदाहरण 3. 50 बिंदुओं में से 17 छायांकित नीले और 13 नारंगी हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित बिंदु छायांकित हो जाएगा।

फेसला. कुल मिलाकर, 50 में से 30 अंक छायांकित हैं। इसलिए, संभावना = 0.6 है।

उत्तर: 0.6।

हालाँकि, आइए इस सरल उदाहरण पर करीब से नज़र डालें। मान लीजिए कि घटना A चयनित बिंदु नीला है, और घटना B यह है कि चयनित बिंदु नारंगी है। परंपरा के अनुसार, घटनाएँ A और B एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं।

हम C अक्षर से हमारे लिए ब्याज की घटना को निरूपित करते हैं। घटना सी तब होती है जब और केवल तभी होती है कम से कम एक घटना A या B. यह स्पष्ट है कि एन (सी) = एन (ए) + एन (बी)।

आइए हम इस समानता के दोनों पक्षों को N से विभाजित करें, दिए गए प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की संख्या; हम पाते हैं

हमने एक साधारण उदाहरण का उपयोग करके एक महत्वपूर्ण और अक्सर होने वाली स्थिति का विश्लेषण किया है। उसके लिए एक विशेष नाम है।

परिभाषा 2. घटनाएँ A और B कहलाती हैं असंगतयदि वे एक ही समय में नहीं हो सकते हैं।

प्रमेय 2. दो असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

इस प्रमेय का गणितीय भाषा में अनुवाद करते समय, किसी भी तरह से दो घटनाओं ए और बी में से कम से कम एक घटना की घटना को नाम देना और नामित करना आवश्यक हो जाता है। इस तरह की घटना को ए और बी की घटनाओं का योग कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है ए + बी।

अगर ए और बी असंगत हैं, तो पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी)।

वास्तव में,

घटनाओं ए और बी की असंगति को एक आकृति द्वारा आसानी से चित्रित किया जा सकता है। यदि अनुभव के सभी परिणाम आकृति में बिंदुओं के कुछ समुच्चय हैं, तो घटनाएँ A और B कुछ हैं दिए गए समुच्चय के उपसमुच्चय. A और B की असंगति का अर्थ है कि ये दो उपसमुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। असंगत घटनाओं का एक विशिष्ट उदाहरण कोई भी घटना A और विपरीत घटना है।

बेशक, यह प्रमेय तीन, चार और जोड़ीवार असंगत घटनाओं की किसी भी सीमित संख्या के लिए सही है। जोड़ीवार असंगत घटनाओं की किसी भी संख्या के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।यह महत्वपूर्ण कथन "मामलों की गणना" द्वारा समस्याओं को हल करने की विधि से बिल्कुल मेल खाता है।

कुछ अनुभव के परिणामस्वरूप होने वाली घटनाओं के बीच, और इन घटनाओं की संभावनाओं के बीच, कुछ रिश्ते, निर्भरता, कनेक्शन आदि हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, घटनाओं को "जोड़ा" जा सकता है, और असंगत के योग की संभावना घटनाएँ उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती हैं।

अंत में, हम निम्नलिखित मूलभूत प्रश्न पर चर्चा करते हैं: क्या यह संभव है सिद्ध करना, कि एक सिक्के के एक उछाल में "पूंछ" प्राप्त करने की संभावना बराबर है

उत्तर नकारात्मक है। सामान्यतया, प्रश्न स्वयं सही नहीं है, "सिद्ध" शब्द का सही अर्थ स्पष्ट नहीं है। आखिरकार, हम हमेशा कुछ के ढांचे के भीतर कुछ साबित करते हैं मॉडल, जिसमें नियम, कानून, स्वयंसिद्ध, सूत्र, प्रमेय आदि पहले से ही ज्ञात हैं। यदि हम एक काल्पनिक, "आदर्श" सिक्के के बारे में बात कर रहे हैं, तो इसलिए इसे आदर्श माना जाता है क्योंकि, ए-प्राथमिकता, चित आने की प्रायिकता चित आने की प्रायिकता के बराबर होती है। और, सिद्धांत रूप में, हम एक ऐसे मॉडल पर विचार कर सकते हैं जिसमें "पूंछ" गिरने की संभावना "सिर" गिरने की संभावना से दोगुनी है, या तीन गुना कम है, आदि। फिर सवाल उठता है: किस कारण से विभिन्न संभावित मॉडलों के लिए क्या हम एक सिक्का उछालते हैं जिसमें टॉस के दोनों परिणाम समान रूप से होने की संभावना है?

एक पूरी तरह से सामने वाला उत्तर है: "लेकिन यह हमारे लिए आसान, स्पष्ट और अधिक स्वाभाविक है!" लेकिन और भी ठोस तर्क हैं। वे अभ्यास से आते हैं। संभाव्यता सिद्धांत पर अधिकांश पाठ्यपुस्तकें फ्रांसीसी प्रकृतिवादी जे. बफन (18वीं शताब्दी) और अंग्रेजी गणितज्ञ-सांख्यिकीविद् सी. पियर्सन (19वीं शताब्दी के अंत) का उदाहरण देती हैं, जिन्होंने एक सिक्का क्रमशः 4040 और 24000 बार फेंका और उसकी गिनती की। गिरने वाले "ईगल" या "पूंछ" की संख्या। उनकी "पूंछ" क्रमशः 1992 और 11998 बार गिर गई। यदि आप गिनते हैं ड्रॉप आवृत्ति"पूंछ", तो आपको बफन के लिए = = 0.493069 ... और पियर्सन के लिए = 0.4995 मिलता है। स्वाभाविक रूप से उठता है कल्पनाकि एक सिक्के के उछाल की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, "पूंछ" गिरने की आवृत्ति, साथ ही साथ "ईगल" गिरने की आवृत्ति अधिक से अधिक 0.5 तक पहुंच जाएगी। व्यावहारिक आंकड़ों के आधार पर यही धारणा है कि समसंभाव्य परिणामों वाले मॉडल को चुनने का आधार है।

अब हम संक्षेप कर सकते हैं। मूल अवधारणा है एक यादृच्छिक घटना की संभावना, जिसकी गणना सबसे सरल मॉडल के ढांचे के भीतर की जाती है- शास्त्रीय संभाव्य योजना. सिद्धांत और व्यवहार दोनों में अवधारणा महत्वपूर्ण है। विपरीत घटनाऔर सूत्र Р(Ā)= 1—Р(А) ऐसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए।

अंत में, हम मिले असंगत घटनाएंऔर सूत्रों के साथ।

पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी),

पी (ए + बी + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) + पी (सी),

संभावनाओं को खोजने की अनुमति मात्राऐसी घटनाएं।

ग्रन्थसूची

1. घटनाएँ। संभावनाएं। सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग: जोड़ें। बीजगणित 7-9 कोशिकाओं के पाठ्यक्रम के पैराग्राफ। शैक्षणिक संस्थान / ए. जी. मोर्दकोविच, पी. वी. सेमेनोव।—चौथा संस्करण।—एम .: मेनेमोज़िना, 2006।—112 पी .: बीमार।

2.यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक "बीजगणित। सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व।—मास्को, ज्ञानोदय, 2006।