परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और एक वास्तुकार के रूप में हमारे भविष्य के पेशे के बाद से, इस आंकड़े से प्रेरित होकर, हमें लगता है कि वह हमें महान परियोजनाओं के लिए आगे बढ़ाने में सक्षम होगी।

स्थापत्य संरचनाओं की ताकत, उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण। ताकत को जोड़ना, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ, जिनसे वे बनाए गए हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चला है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार भी स्थापत्य संरचना की ताकत को निर्धारित करता है।

मिस्र के पिरामिडों को लंबे समय से सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचना माना जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, उनके पास नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आकार है।

यह ज्यामितीय आकार है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करता है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊपर की ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान घटता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत होते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिड के बारे में कुछ नया सीखें, ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

जानें पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड को एक ज्यामितीय आकृति के रूप में देखें

जीवन और वास्तुकला में आवेदन प्राप्त करें

दुनिया के विभिन्न हिस्सों में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे प्राचीन ग्रीस में सक्रिय रूप से विकसित किया गया था। पिरामिड का आयतन किसके बराबर है, यह स्थापित करने वाला पहला व्यक्ति डेमोक्रिटस था, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "बिगिनिंग्स" के बारहवीं मात्रा में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी सामने रखी: एक विमान से घिरा एक शारीरिक आकृति जो एक बिंदु पर एक विमान से अभिसरण होती है।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़ा - प्राचीन काल में एल गीज़ा में चेप्स, खफरे और मिकेरिन के पिरामिड दुनिया के सात अजूबों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं और क्रूरता के अभूतपूर्व गौरव के लिए एक स्मारक देखा, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को मूर्खतापूर्ण निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया, सबसे महत्वपूर्ण पंथ अधिनियम था और जाहिरा तौर पर व्यक्त करना चाहिए था, देश और उसके शासक की रहस्यमय पहचान। देश की आबादी ने कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के हिस्से में मकबरे के निर्माण पर काम किया। कई ग्रंथ ध्यान और देखभाल की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे और उसके बिल्डरों के निर्माण के लिए भुगतान किया था। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो स्वयं पिरामिड बन गए।

बुनियादी अवधारणाओं

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, इसके ऊपर से खींची गई;

साइड फेस- शीर्ष पर अभिसरण त्रिकोण;

पार्श्व पसलियां- पक्ष के आम पक्ष चेहरे;

पिरामिड के ऊपर- किनारे के किनारों को जोड़ने वाला एक बिंदु और आधार के तल में नहीं पड़ा है;

ऊंचाई- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचे गए लंबवत का एक खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाले पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

सही पिरामिड के मुख्य गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः समान हैं।

आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर डायहेड्रल कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर होता है।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों के चेहरों से समान दूरी पर है।

मूल पिरामिड सूत्र

पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल।

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और कटा हुआ) इसके सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है, कुल सतह क्षेत्र इसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार की परिधि;

एच- एपोथेम।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

p1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोथेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस साइड- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल;

S1 + S2- आधार क्षेत्र

पिरामिड वॉल्यूम

रूप वॉल्यूम स्केल का इस्तेमाल किसी भी तरह के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

पिरामिड के कोण

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बनने वाले कोणों को पिरामिड के आधार पर द्विफलकीय कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

एक पार्श्व किनारे से बनने वाले कोण और आधार के तल पर इसके प्रक्षेपण को कहा जाता है पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच के कोण.

दो भुजाओं के फलकों से बनने वाले कोण को कहते हैं पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

वह कोण, जो पिरामिड के एक फलक के दो किनारों से बनता है, कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोने.

पिरामिड के खंड

एक पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए छेदक तल द्वारा दिया गया पिरामिड का खंड अलग-अलग सीधी रेखाओं वाली एक टूटी हुई रेखा है।

विकर्ण खंड

दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो एक ही फलक पर नहीं होता है, कहलाता है विकर्ण खंडपिरामिड।

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊँचाई को इस तल द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस तल का खंड आधार के समान बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

सही पिरामिड पर:

1. पार्श्व पसलियां बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर होते हैं

3. एपोटेम बराबर हैं

4. आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

6. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों से समान दूरी पर है

काटे गए पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो उसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

एक काटे गए पिरामिड के आधार और संबंधित खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

कार्य

नंबर 1। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, बिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। पार्श्व किनारे SA खोजें।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1। एक नियमित पिरामिड में, सभी फलक और किनारे समान होते हैं।

आइए OSB पर विचार करें: OSB-आयताकार आयत, क्योंकि।

एसबी 2 \u003d एसओ 2 + ओबी 2

SB2=64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड - एक साधारण नियमित ज्यामितीय पिरामिड के रूप में एक स्मारकीय संरचना, जिसमें पक्ष एक बिंदु पर अभिसरण करते हैं। कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफनाने या पूजा करने का स्थान था। एक पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय या बहुभुज हो सकता है जिसमें एक मनमाना संख्या में शिखर होते हैं, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

प्राचीन विश्व की विभिन्न संस्कृतियों द्वारा निर्मित, मुख्य रूप से मंदिरों या स्मारकों के रूप में काफी संख्या में पिरामिड ज्ञात हैं। सबसे बड़े पिरामिड मिस्र के पिरामिड हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाओं को देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और देखने में बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिड प्राचीन मिस्र के सबसे महान स्थापत्य स्मारक हैं, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। पैर से ऊपर तक, यह 137.3 मीटर तक पहुंचता है, और इससे पहले कि यह शीर्ष खो देता, इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत, एक उल्टे पिरामिड जैसा दिखता है, 1983 में बनाया गया था। कार्यालयों और सेवा परिसर के अलावा, वॉल्यूम के अंदर एक काफी विशाल कॉन्सर्ट हॉल है, जिसमें स्लोवाकिया में सबसे बड़े अंगों में से एक है। .

लौवर, जो "पिरामिड की तरह मौन और राजसी है" दुनिया में सबसे बड़ा संग्रहालय बनने से पहले सदियों से कई बदलावों से गुजरा है। यह एक किले के रूप में पैदा हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस द्वारा बनवाया गया था, जो जल्द ही एक शाही निवास में बदल गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। संग्रह वसीयत या खरीद के माध्यम से समृद्ध होते हैं।

हम गणित में परीक्षा में शामिल कार्यों पर विचार करना जारी रखते हैं। हम पहले ही उन समस्याओं का अध्ययन कर चुके हैं जहां शर्त दी गई है और दो दिए गए बिंदुओं या कोण के बीच की दूरी का पता लगाना आवश्यक है।

एक पिरामिड एक बहुफलक होता है जिसका आधार एक बहुभुज होता है, अन्य फलक त्रिभुज होते हैं, और उनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है।

एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड होता है जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और इसका शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड - आधार एक वर्ग है। पिरामिड का शीर्ष आधार (वर्ग) के विकर्णों के चौराहे बिंदु पर प्रक्षेपित होता है।

एमएल - एपोथेम
एमएलओ - पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण
∠MCO - पार्श्व किनारे और पिरामिड के आधार के तल के बीच का कोण

इस लेख में, हम सही पिरामिड को हल करने के कार्यों पर विचार करेंगे। किसी भी तत्व, पार्श्व सतह क्षेत्र, आयतन, ऊंचाई को खोजना आवश्यक है। बेशक, आपको पाइथागोरस प्रमेय, पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र, पिरामिड का आयतन ज्ञात करने का सूत्र जानने की आवश्यकता है।

लेख में «» सूत्र प्रस्तुत किए जाते हैं जो स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक हैं। तो कार्य हैं:

एसएबीसीडीदूरसंचार विभाग हे- आधार केंद्रएसशीर्ष, इसलिए = 51, एसी= 136. किनारे का पता लगाएंअनुसूचित जाति.

इस मामले में, आधार एक वर्ग है। इसका अर्थ है कि विकर्ण AC और BD बराबर हैं, वे प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं। ध्यान दें कि एक नियमित पिरामिड में, इसके शीर्ष से कम की गई ऊंचाई पिरामिड के आधार के केंद्र से होकर गुजरती है। अतः SO ऊँचाई और त्रिभुज हैसमाजआयताकार। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

बड़ी संख्या में जड़ कैसे लें।

उत्तर: 85

अपने लिए तय करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीदूरसंचार विभाग हे- आधार केंद्र एसशीर्ष, इसलिए = 4, एसी= 6. एक किनारे का पता लगाएं अनुसूचित जाति.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीदूरसंचार विभाग हे- आधार केंद्र एसशीर्ष, अनुसूचित जाति = 5, एसी= 6. खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए इसलिए.

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में एसएबीसीडीदूरसंचार विभाग हे- आधार केंद्र एसशीर्ष, इसलिए = 4, अनुसूचित जाति= 5. खंड की लंबाई पाएं एसी.

एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- ऊपर। ह ज्ञात है कि अब= 7, और एसआर= 16. पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है (एपोथेम इसके शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है):

या आप यह कह सकते हैं: पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीन पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में पार्श्व फलक समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज होते हैं। इस मामले में:

उत्तर: 168

अपने लिए तय करें:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- ऊपर। ह ज्ञात है कि अब= 1, और एसआर= 2. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी आर- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- ऊपर। ह ज्ञात है कि अब= 1, और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 3 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए एसआर.

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी ली- पसली के बीच में ईसा पूर्व, एस- ऊपर। ह ज्ञात है कि क्र= 2, और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 3 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए अब.

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसी एम. त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 25 है, पिरामिड का आयतन 100 है। खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए एमएस.

पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है. इसलिए एमआधार का केंद्र है, औरएमएस- एक नियमित पिरामिड की ऊंचाईएसएबीसी. पिरामिड वॉल्यूम एसएबीसीबराबर: समाधान का निरीक्षण करें

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसीआधार माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 3 है, एमएस= 1. पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एसएबीसीआधार माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. पिरामिड का आयतन 1 है एमएस= 1. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एबीसी.

चलिए इसे खत्म करते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, कार्यों को एक या दो चरणों में हल किया जाता है। भविष्य में हम आपके साथ इस भाग से अन्य समस्याओं पर विचार करेंगे, जहाँ क्रांति के शरीर दिए जाते हैं, इसे देखना न भूलें!

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

ज्यामिति का अध्ययन करने से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का पता चलता है। दुनिया के प्रसिद्ध महान मिस्र के अजूबों को दोष दें। इसलिए, इस अद्भुत पॉलीहेड्रॉन का अध्ययन शुरू करते हुए, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपरोक्त सभी जगहें सही आकार में हैं। क्या दायां पिरामिड, और इसके क्या गुण हैं और इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

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परिभाषा

पिरामिड की कई परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से, यह बहुत लोकप्रिय रहा है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित किया, जिसमें समतल होते हैं, जो एक से शुरू होकर एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करते हैं।

बगुला ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यह एक आंकड़ा था कि त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर अभिसरण।

आधुनिक व्याख्या के आधार पर, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें एक निश्चित के-गॉन और के फ्लैट त्रिकोणीय आंकड़े होते हैं जिनमें एक सामान्य बिंदु होता है।

आओ हम इसे नज़दीक से देखें, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं?

• के-गॉन को आकृति का आधार माना जाता है;
• 3-कोण वाली आकृतियाँ पार्श्व भाग की भुजाओं के रूप में उभरी हुई हैं;
• ऊपरी भाग, जिससे पार्श्व तत्व उत्पन्न होते हैं, शीर्ष कहलाता है;
• शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंडों को किनारे कहा जाता है;
• यदि एक सीधी रेखा को ऊपर से आकृति के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाता है, तो आंतरिक स्थान में संलग्न इसका भाग पिरामिड की ऊंचाई है;
• हमारे पॉलीहेड्रॉन के किनारे के किसी भी तत्व में, आप एक लंबवत खींच सकते हैं, जिसे एपोथेम कहा जाता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2*k का उपयोग करके की जाती है, जहां k, k-गॉन की भुजाओं की संख्या है। एक पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक होते हैं, यह समीकरण k + 1 द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

जरूरी!एक नियमित आकार का पिरामिड एक त्रिविमीय आकृति है जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-gon है।

मूल गुण

सही पिरामिड कई गुण हैंजो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार सही रूप का एक आंकड़ा है।
2. पिरामिड के किनारों, पार्श्व तत्वों को सीमित करते हुए, समान संख्यात्मक मान होते हैं।
3. पार्श्व तत्व समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र में पड़ता है, जबकि यह एक साथ खुदा हुआ और वर्णित का केंद्रीय बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।
6. आधार के संबंध में सभी पार्श्व सतहों का झुकाव कोण समान होता है।

सभी सूचीबद्ध गुणों के लिए धन्यवाद, तत्व गणना का प्रदर्शन बहुत सरल है। उपरोक्त गुणों के आधार पर, हम ध्यान देते हैं दो संकेत:

1. उस स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट हो जाता है, पार्श्व फलकों के आधार के साथ समान कोण होंगे।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से निकलने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई और आधार के बराबर कोण होंगे।

वर्ग आधारित है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक वर्ग पर आधारित एक बहुफलक।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक समतल पर, एक वर्ग को दर्शाया गया है, लेकिन वे एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ना आवश्यक है, तो निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है: विकर्ण वर्ग की भुजा के गुणनफल के बराबर होता है और दो का वर्गमूल।

एक नियमित त्रिभुज पर आधारित

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसका आधार नियमित 3-गॉन होता है।

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है, और भुजाएँ आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

एक चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानने की जरूरत है और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना चाहिए:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी आंतरिक चेहरों का मान भी 60 डिग्री है;
• कोई भी चेहरा आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• आकृति के अंदर खींचे गए समान तत्व हैं।

एक बहुफलक के खंड

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के खंडविमान। अक्सर एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में वे दो के साथ काम करते हैं:

• अक्षीय;
• समानांतर आधार।

एक पॉलीहेड्रॉन को एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करके एक अक्षीय खंड प्राप्त किया जाता है जो शीर्ष, पार्श्व किनारों और अक्ष से गुजरता है। इस मामले में, अक्ष शीर्ष से खींची गई ऊंचाई है। काटने वाला विमान सभी चेहरों के साथ चौराहे की रेखाओं से सीमित होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिभुज होता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

यदि कटिंग प्लेन आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक आकृति के संदर्भ में है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर अनुभाग भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आकार का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, आंकड़ों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग किया जाता है, थेल्स प्रमेय पर आधारित. सबसे पहले, समानता के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान को आधार के समानांतर खींचा जाता है, और यह पॉलीहेड्रॉन के ऊपरी हिस्से को काट देता है, तो निचले हिस्से में एक नियमित रूप से छोटा पिरामिड प्राप्त होता है। तब काटे गए बहुफलक के आधार समरूप बहुभुज कहलाते हैं। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

एक काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, एक अक्षीय खंड में, यानी एक ट्रेपोजॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतह क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं: एक पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र दो प्रकार के होते हैं:

• पार्श्व तत्वों का क्षेत्र;
• संपूर्ण सतह क्षेत्र।

शीर्षक से ही स्पष्ट है कि यह किस बारे में है। पार्श्व सतह में केवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। इससे यह इस प्रकार है कि इसे खोजने के लिए, आपको केवल पार्श्व विमानों के क्षेत्रों को जोड़ना होगा, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्र। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str=1/2(aL) है, जहां a आधार की भुजा है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर k-gon के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार अंकों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जाता है क्योंकि मान 4a=POS, जहाँ POS आधार की परिधि है। और व्यंजक 1/2 * रोसन इसकी अर्ध-परिधि है।
3. इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के बराबर है: साइड \u003d रोसन * एल।

पिरामिड की पूरी सतह के क्षेत्र में पार्श्व विमानों और आधार के क्षेत्रों का योग होता है: Sp.p. = Sside + Sbase।

आधार के क्षेत्र के लिए, यहाँ सूत्र का उपयोग बहुभुज के प्रकार के अनुसार किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनआधार समतल क्षेत्र के गुणनफल और तीन से विभाजित ऊँचाई के बराबर है: V=1/3*Sbase*H, जहाँ H बहुफलक की ऊँचाई है।

ज्यामिति में एक नियमित पिरामिड क्या है

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण

पिरामिड। काटे गए पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- ऊंचाई;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। ऊंचाई काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- ऊंचाई;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएऔर ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है ए. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

जवाब:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

फेसला।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

जवाब: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

जवाब:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एऔर बी (ए> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ऐ बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ऐ बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ऐ बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है

वीडियो पाठ 2: पिरामिड चुनौती। पिरामिड वॉल्यूम

वीडियो सबक 3: पिरामिड चुनौती। सही पिरामिड

भाषण: पिरामिड, इसका आधार, पार्श्व किनारे, ऊंचाई, पार्श्व सतह; त्रिकोणीय पिरामिड; दायां पिरामिड

पिरामिड, इसके गुण

पिरामिड- यह एक त्रि-आयामी निकाय है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है, और इसके सभी फलक त्रिभुजों से बने होते हैं।

पिरामिड का एक विशेष मामला एक शंकु है, जिसके आधार पर एक वृत्त होता है।

पिरामिड के मुख्य तत्वों पर विचार करें:

एपोथेमएक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को पार्श्व चेहरे के निचले किनारे के मध्य से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह पिरामिड के चेहरे की ऊंचाई है।

आकृति में आप त्रिभुज ADS, ABS, BCS, CDS देख सकते हैं। यदि आप नामों को करीब से देखें, तो आप देख सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के नाम में एक समान अक्षर होता है - S। अर्थात, इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ (त्रिकोण) एक बिंदु पर अभिसरण करती हैं, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

खंड OS, जो शीर्ष को आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है (त्रिकोणों के मामले में, ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु पर) कहलाता है पिरामिड ऊंचाई.

एक विकर्ण खंड एक विमान है जो पिरामिड के शीर्ष के साथ-साथ आधार के विकर्णों में से एक के माध्यम से गुजरता है।

चूंकि पिरामिड की पार्श्व सतह में त्रिभुज होते हैं, पार्श्व सतह के कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए, प्रत्येक चेहरे के क्षेत्रों को ढूंढना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है। फलकों की संख्या और आकार आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं के आकार और आकार पर निर्भर करता है।

पिरामिड में एकमात्र तल जिसमें शीर्ष नहीं होता है, कहलाता है आधारपिरामिड।

आकृति में, हम देखते हैं कि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, हालांकि, कोई भी मनमाना बहुभुज हो सकता है।

गुण:

पिरामिड के पहले मामले पर विचार करें, जिसमें इसकी समान लंबाई के किनारे हैं:

• ऐसे पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यदि आप ऐसे पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित करते हैं, तो इसका प्रक्षेपण वृत्त के केंद्र में स्थित होगा।
• पिरामिड के आधार पर कोण प्रत्येक फलक के लिए समान होते हैं।
• उसी समय, इस तथ्य के लिए पर्याप्त शर्त कि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और यह भी कि सभी किनारे अलग-अलग लंबाई के हैं, को आधार और चेहरों के प्रत्येक किनारे के बीच समान कोण माना जा सकता है .

यदि आप एक ऐसे पिरामिड के सामने आते हैं, जिसकी भुजाओं के फलक और आधार के बीच के कोण बराबर हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• आप पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने में सक्षम होंगे, जिसका शीर्ष बिल्कुल केंद्र की ओर प्रक्षेपित होता है।
• यदि आप ऊंचाई के प्रत्येक पक्ष को आधार की ओर खींचते हैं, तो वे समान लंबाई के होंगे।
• इस तरह के पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार की परिधि को खोजने के लिए पर्याप्त है और इसे ऊंचाई की आधी लंबाई से गुणा करें।
• एसबीपी \u003d 0.5 पी ओसी एच।
• पिरामिड के प्रकार।
• पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है, इसके आधार पर वे त्रिकोणीय, चतुर्भुज आदि हो सकते हैं। यदि एक नियमित बहुभुज (बराबर भुजाओं वाला) पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो ऐसे पिरामिड को नियमित कहा जाएगा।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड