या एक गोला। गेंद के केंद्र को गोलाकार सतह पर एक बिंदु से जोड़ने वाले किसी भी खंड को कहा जाता है RADIUS. एक गोलाकार सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने और गोले के केंद्र से गुजरने वाला रेखा खंड कहलाता है व्यास. किसी भी व्यास के सिरों को गेंद के व्यास के विपरीत बिंदु कहा जाता है।कुछ भी क्षेत्र खंडएक विमान है एक क्षेत्र में. इस वृत्त का केंद्र केंद्र से काटने वाले तल पर गिराए गए लंबवत का आधार है।गोले के केंद्र से गुजरने वाले तल को कहते हैं व्यास विमान. व्यास तल द्वारा गेंद के अनुप्रस्थ काट को कहा जाता है दीर्घ वृत्ताकार, और गोले का खंड - महान मंडली. गेंद का कोई भी व्यास तल उसका होता है समरूपता का तल. गेंद का केंद्र है समरूपता का केंद्र. एक गोलाकार सतह पर एक बिंदु से गुजरने वाले और उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत तल को कहा जाता है स्पर्शरेखा विमान. इस बिंदु को कहा जाता है स्पर्श बिंदु. स्पर्शरेखा तल में गेंद के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है - संपर्क बिंदु।इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत एक गोलाकार सतह के दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा कहलाती है स्पर्शरेखा. गोलाकार सतह के किसी भी बिंदु के माध्यम से असीम रूप से कई स्पर्शरेखाएं होती हैं, और ये सभी गेंद के स्पर्शरेखा तल में स्थित होती हैं।गेंद खंडगेंद के उस भाग को कहते हैं जो विमान द्वारा उसमें से काटा जाता है।गेंद की परतगेंद को प्रतिच्छेद करने वाले दो समानांतर समतलों के बीच स्थित गेंद का वह भाग कहलाता है।बॉल सेक्टरएक गोलाकार खंड और एक शंकु से प्राप्त किया जाता है।यदि गोलाकार खंड एक अर्धगोले से छोटा है, तो गोलाकार खंड एक शंकु द्वारा पूरक होता है जिसका शीर्ष गेंद के केंद्र में होता है और जिसका आधार खंड का आधार होता है।यदि खंड एक अर्धगोले से बड़ा है, तो इसमें से संकेतित शंकु हटा दिया जाता है। मूल सूत्र गेंद (आर = ओबी - त्रिज्या):एस बी \u003d 4πR 2; वी = 4πR 3 / 3।गेंद खंड (आर = ओबी - गेंद त्रिज्या, एच = एसके - खंड ऊंचाई, आर = केवी - खंड आधार त्रिज्या):वी सेगम \u003d h 2 (आर - एच / 3)या वी सेगम \u003d h (एच 2 + 3आर 2) / 6; एस खंड = 2πRh।गोलाकार क्षेत्र (आर = ओबी - गेंद त्रिज्या, एच = एसके - खंड ऊंचाई):वी \u003d वी सेगमेंट ± वी कॉन, "+"- यदि खंड कम है, "-" - यदि खंड गोलार्ध से अधिक है।या वी \u003d वी सेगम + वी कोन \u003d h 2 (आर - एच / 3) + r 2 (आर - एच) / 3. गोलाकार परत (आर 1 और आर 2 - गोलाकार परत के आधारों की त्रिज्या; एच \u003d एससी - गोलाकार परत की ऊंचाई या आधारों के बीच की दूरी):वी डब्ल्यू/एसएल \u003d h 3 / 6 + h (आर 1 2 + आर 2 2 ) / 2; एस डब्ल्यू/एसएल = 2πRh।उदाहरण 1गेंद का आयतन 288π सेमी 3 है। गेंद का व्यास ज्ञात कीजिए।फेसलावी = डी 3 / 6288π = डी 3/6d 3 = 1728πडी3 = 1728डी = 12 सेमी।उत्तर: 12.उदाहरण 2त्रिज्या r के तीन बराबर गोले एक दूसरे को और कुछ तल को स्पर्श करते हैं। दिए गए तीन आँकड़ों और दिए गए तल की स्पर्शरेखा वाले चौथे गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।फेसला मान लीजिए O 1, O 2, O 3 इन गोले के केंद्र हैं और O चौथे गोले का केंद्र है जो तीनों डेटा और दिए गए तल को छूता है। मान लीजिए A, B, C, T दिए गए तल से गोले के संपर्क बिंदु हैं। दो गोले के संपर्क बिंदु इन गोले के केंद्रों की रेखा पर होते हैं, इसलिए ओ 1 ओ 2 \u003d ओ 2 ओ 3 \u003d ओ 3 ओ 1 \u003d 2r. बिंदु समतल ABC से समान दूरी पर हैं, इसलिए एवीओ 2 ओ 1, एवीओ 2 ओ 3, एवीओ 3 ओ 1समान आयत हैं, इसलिए ∆АВС भुजा 2r वाला समबाहु है।रहने दो x चौथे गोले की वांछित त्रिज्या है। फिर ओटी = एक्स। इसलिए, समान तो T एक समबाहु त्रिभुज का केंद्र है। इसलिए यहाँ सेउत्तर: आर / 3। एक पिरामिड में खुदा हुआ गोलाप्रत्येक नियमित पिरामिड में एक गोला अंकित किया जा सकता है। गोले का केंद्र पिरामिड के आधार के किनारे पर रैखिक कोण के द्विभाजक के साथ इसके चौराहे के बिंदु पर पिरामिड की ऊंचाई पर स्थित है।टिप्पणी। यदि एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है, जो आवश्यक रूप से नियमित नहीं है, तो इस गोले की त्रिज्या r की गणना सूत्र r \u003d 3V / S pp द्वारा की जा सकती है, जहाँ V पिरामिड का आयतन है, S pp इसका है कुल सतह क्षेत्रफल।उदाहरण 3आधार त्रिज्या R और ऊँचाई H वाली एक शंक्वाकार फ़नल पानी से भरी हुई है। एक भारी गेंद को फ़नल में गिराया जाता है। गेंद की त्रिज्या क्या होनी चाहिए ताकि गेंद के डूबे हुए हिस्से द्वारा फ़नल से विस्थापित पानी का आयतन अधिकतम हो?फेसलाशंकु के केंद्र के माध्यम से एक खंड बनाएं। यह खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। यदि फ़नल में एक गेंद है, तो इसकी त्रिज्या का अधिकतम आकार परिणामी समद्विबाहु त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा।एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है:r = S / p, जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, p इसका आधा परिमाप है।एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार की आधी ऊंचाई (H = SO) के बराबर होता है। लेकिन चूंकि आधार शंकु की त्रिज्या का दोगुना है, तो S = RH.अर्ध-परिधि p = 1/2 (2R + 2m) = R + m है।मी एक समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा की लंबाई है;R शंकु के आधार को बनाने वाले वृत्त की त्रिज्या है।पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके m ज्ञात कीजिए: , कहाँ पेसंक्षेप में यह इस तरह दिखता है: जवाब: उदाहरण 4एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में जिसका आधार α के बराबर होता है, दो गेंदें होती हैं। पहली गेंद पिरामिड के सभी चेहरों को छूती है, और दूसरी गेंद पिरामिड के सभी किनारों और पहली गेंद को छूती है। पहली गेंद की त्रिज्या का दूसरी गेंद की त्रिज्या से अनुपात ज्ञात कीजिए यदि tgα = 24/7 है।फेसला
रहने दो RABC एक नियमित पिरामिड है और बिंदु H इसके आधार ABC का केंद्र है। मान लीजिए M किनारे BC का मध्यबिंदु है। फिर - डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण, जो कि शर्त के बराबर है α, तथा α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . रहने दो एचएच 1 पहली गेंद का व्यास है और सीधी रेखा पीएच के लंबवत बिंदु एच 1 के माध्यम से गुजरने वाला विमान क्रमशः आरए, आरवी, पीसी के किनारों को ए 1, बी 1, सी 1 पर काटता है। तब H 1 सही A 1 B 1 C 1 का केंद्र होगा, और पिरामिड RA 1 B 1 C 1 समानता गुणांक k = PH 1 / PH के साथ पिरामिड RABC के समान होगा। ध्यान दें कि दूसरी गेंद, बिंदु O 1 पर केंद्रित है, पिरामिड RA 1 B 1 C 1 में अंकित है और इसलिए अंकित गेंदों की त्रिज्या का अनुपात समानता गुणांक के बराबर है: OH / OH 1 = PH / PH 1. समानता से tgα = 24/7 हम पाते हैं:रहने दो एबी = एक्स। फिरइसलिए वांछित अनुपात OH / O 1 H 1 = 16/9।उत्तर: 16/9। एक प्रिज्म में खुदा हुआ गोलाव्यास प्रिज्म में अंकित एक गोले का D, प्रिज्म की ऊँचाई H के बराबर है: D = 2R = H। RADIUS एक प्रिज्म में खुदे हुए गोले का R, प्रिज्म के लंबवत खंड में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।यदि किसी गोले को दायीं ओर के प्रिज्म में अंकित किया जाता है, तो इस प्रिज्म के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। RADIUS एक सीधे प्रिज्म में खुदे हुए गोले का R, प्रिज्म के आधार में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।प्रमेय 1मान लीजिए कि एक सीधे प्रिज्म के आधार में एक वृत्त अंकित है, और प्रिज्म की ऊँचाई H इस वृत्त के व्यास D के बराबर है। फिर इस प्रिज्म में व्यास D का एक गोला खुदा जा सकता है। इस उत्कीर्ण गोले का केंद्र प्रिज्म के आधारों में खुदे हुए वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाले खंड के मध्य से मेल खाता है।प्रमाण मान लीजिए ABC ... A 1 B 1 C 1 ... - एक सीधा प्रिज्म और O - एक वृत्त का केंद्र है जो इसके आधार ABC में अंकित है। तब बिंदु O आधार ABC के सभी पक्षों से समान दूरी पर है। मान लीजिए O 1 आधार A 1 B 1 C 1 पर बिंदु O का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। तब O 1 आधार A 1 B 1 C 1 के सभी पक्षों से समान दूरी पर है, और OO 1 || एए 1। यह इस प्रकार है कि सीधी रेखा ओओ 1 प्रिज्म के पार्श्व चेहरे के प्रत्येक विमान के समानांतर है, और खंड ओओ 1 की लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर है और, शर्त के अनुसार, सर्कल के व्यास में खुदा हुआ है प्रिज्म का आधार। इसका मतलब यह है कि खंड OO 1 के बिंदु प्रिज्म के पार्श्व चेहरों से समान दूरी पर हैं, और खंड OO 1 का मध्य F, प्रिज्म के आधारों के विमानों से समान दूरी पर, सभी चेहरों से समान दूरी पर होगा। प्रिज्म यानी F एक प्रिज्म में खुदे हुए गोले का केंद्र है और इस गोले का व्यास प्रिज्म के आधार में खुदे हुए वृत्त के व्यास के बराबर है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।प्रमेय 2मान लीजिए कि एक झुके हुए प्रिज्म के लंबवत खंड में एक वृत्त अंकित है, और प्रिज्म की ऊँचाई इस वृत्त के व्यास के बराबर है। फिर इस झुकाव वाले प्रिज्म में एक गोले को अंकित किया जा सकता है। इस गोले का केंद्र एक लंबवत खंड में खुदे हुए वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली ऊँचाई को समद्विभाजित करता है।प्रमाण
मान लीजिए АВС…А 1 В 1 С 1 … एक झुका हुआ प्रिज्म हो और F एक वृत्त का केंद्र हो जिसके लंबवत खंड में त्रिज्या FK अंकित हो। चूँकि प्रिज्म का लम्बवत् खंड उसके पार्श्व फलक के प्रत्येक तल के लंबवत होता है, इस खंड की भुजाओं की ओर खींचे गए लंबवत खंड में अंकित एक वृत्त की त्रिज्याएँ, प्रिज्म के पार्श्व फलकों के लंबवत होती हैं। इसलिए, बिंदु F सभी पक्षों से समान दूरी पर है।आइए हम बिंदु F से होकर एक सीधी रेखा OO 1 खींचते हैं, जो प्रिज्म के आधारों के तल के लंबवत है, इन आधारों को O और O 1 पर प्रतिच्छेद करती है। तब OO 1 प्रिज्म की ऊँचाई है। चूँकि OO 1 = 2FK की स्थिति के अनुसार, F खंड OO 1 का मध्यबिंदु है:FK \u003d OO 1/2 \u003d F0 \u003d F0 1, यानी। बिंदु F बिना किसी अपवाद के प्रिज्म के सभी फलकों के तलों से समान दूरी पर है। इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए प्रिज्म में एक गोले को अंकित किया जा सकता है, जिसका केंद्र बिंदु F के साथ मेल खाता है - प्रिज्म के उस लंबवत खंड में अंकित वृत्त का केंद्र, जो बिंदु F से गुजरने वाले प्रिज्म की ऊंचाई को विभाजित करता है। आधा। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।उदाहरण 5त्रिज्या 1 की एक गेंद एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में अंकित है। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।फेसला एक शीर्ष दृश्य बनाएं। या तरफ। या सामने। आपको वही चीज़ दिखाई देगी - एक आयत में खुदा हुआ वृत्त। जाहिर है, यह आयत एक वर्ग होगा, और बॉक्स एक घन होगा। इस घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई गोले की त्रिज्या की दुगुनी है।AB \u003d 2, और इसलिए, घन का आयतन 8 है।उत्तर: 8.उदाहरण 6एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म में जिसकी आधार भुजा बराबर हो, दो गेंदें होती हैं। पहली गेंद प्रिज्म में खुदी हुई है, और दूसरी गेंद प्रिज्म के एक आधार, उसके दो पार्श्व चेहरों और पहली गेंद को छूती है। दूसरी गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।फेसला
मान लीजिए ABCA 1 B 1 C 1 एक नियमित प्रिज्म है और बिंदु P और P 1 इसके आधारों के केंद्र हैं। फिर इस प्रिज्म में अंकित गेंद O का केंद्र PP 1 खंड का मध्यबिंदु है। विमान РВВ 1 पर विचार करें। चूंकि प्रिज्म सही है, तो खंड बीएन पर स्थित है, जो द्विभाजक और ऊंचाई है। इसलिए, समतल और पार्श्व किनारे BB 1 पर डायहेड्रल कोण का समद्विभाजक तल है। इसलिए, इस तल का कोई भी बिंदु AA 1 BB 1 और SS 1 B 1 B की ओर से समान दूरी पर है। विशेष रूप से, लंबवत OK, बिंदु O से चेहरे ACC 1 A 1 पर गिरा, RVV 1 समतल में स्थित है और खंड OR के बराबर है।ध्यान दें कि KNPO एक वर्ग है जिसकी भुजा दिए गए प्रिज्म में अंकित गोले की त्रिज्या के बराबर है।रहने दो लगभग 1 - गेंद का केंद्र O के केंद्र के साथ अंकित गेंद को छूता है और पक्ष प्रिज्म के AA 1 BB 1 और CC 1 B 1 B का सामना करता है। तब बिंदु O 1 समतल RVV 1 पर स्थित है, और इसका प्रक्षेपण P 2 समतल ABC पर खंड RV पर स्थित है।शर्त के अनुसार, आधार की भुजा बराबर होती है

1. गेंद की छवि।रहने दो एफ 0 एक गेंद है। हम प्रक्षेपण की दिशा चुनते हैं और गेंद के स्पर्शरेखा पर विचार करते हैं जो चुनी हुई दिशा से संबंधित होती है। ये स्पर्शरेखाएँ एक बेलनाकार सतह बनाती हैं और गेंद के बड़े वृत्त के बिंदुओं से गुजरती हैं, जिसका तल डिज़ाइन दिशा के लंबवत होता है।

आइए इमेज प्लेन चुनें। सामान्य तौर पर, एक बेलनाकार सतह इस विमान को एक दीर्घवृत्त में काटती है, और प्रक्षेपण एफ 1 गेंद एफ 0 इस दीर्घवृत्त से घिरे समतल का भाग होगा। गेंद की ऐसी छवि दृश्य नहीं है (चित्र 59)। यदि छवि तल को डिजाइन दिशा के लंबवत चुना जाता है, तो गेंद की छवि एक वृत्त होगी एफ. सर्कल, निश्चित रूप से, गेंद का अधिक दृश्य प्रतिनिधित्व देता है, लेकिन इसके बराबर एक सर्कल और एक सिलेंडर दोनों को एक सर्कल में प्रक्षेपित किया जा सकता है (यदि प्रक्षेपण इसके जनरेटर के समानांतर किया जाता है)।

गेंद की छवि को दृश्य बनाने के तरीके पर बातचीत जारी रखने से पहले, आइए स्कूल से ज्ञात गेंद से जुड़ी अवधारणाओं को याद करें। गोले के केंद्र से गुजरने वाले समतल द्वारा गोले का वह भाग कहलाता है दीर्घ वृत्ताकार, और इसकी परिधि है भूमध्य रेखा।गेंद की सतह के साथ भूमध्य रेखा के तल के लंबवत एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाते हैं डंडे,इस भूमध्य रेखा के अनुरूप है, और उन्हें जोड़ने वाला व्यास है ध्रुवीय अक्ष.

यदि किसी भूमध्य रेखा और संबंधित ध्रुवों को गेंद के प्रक्षेपण चित्र पर दर्शाया गया है, तो छवि में त्रि-आयामीता होगी। यह दर्शनीय हो जाएगा।

किस भूमध्य रेखा का प्रतिनिधित्व करना है? सबसे पहले, यह वांछनीय है कि ध्रुवों की छवियों को जोड़ने वाला खंड चित्र में लंबवत हो। छवि समतल होने पर पूरी होगी यह मनोकामना पीलंबवत और समतल होगा एध्रुवों से गुजरते हुए एन 0 ,एस 0 गेंद, - इसके लंबवत और लंबवत भी। (याद रखें कि हम ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन का उपयोग करने के लिए सहमत हुए थे।) इसके अलावा, हम मान सकते हैं कि इमेज प्लेन पीगेंद के केंद्र से होकर गुजरता है, और इसलिए, इसे बड़े वृत्त की परिधि के साथ पार करता है। इस सर्कल को आमतौर पर कहा जाता है निबंधगेंद की परिधि।

आइए हम गेंद की सतह के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को अक्षरों द्वारा निरूपित करें पी 0 और क्यू 0. यदि भूमध्यरेखीय तल को भी समतल के लंबवत चुना जाता है पी, तो भूमध्य रेखा और ध्रुवों को जोड़ने वाले व्यास को वृत्त के लंबवत व्यास के रूप में दर्शाया जाएगा (चित्र 60) और गेंद की छवि स्पष्ट नहीं होगी। इसलिए, भूमध्यरेखीय तल छवि तल के लंबवत नहीं होना चाहिए। अंजीर पर। 61 एक विमान द्वारा गेंद का एक भाग दिया गया ए. इस तस्वीर में पी 0 क्यू 0 - समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा एऔर पी; सी 0 डी 0 - चौराहा एऔर विषुवत वृत्त एन 0 एस 0 ध्रुवों को जोड़ने वाला व्यास है। एक विमान पर डिजाइन करते समय पीडंडे एन 0 और एस 0 को बिंदुओं में प्रक्षेपित किया जाता है एनऔर एसक्रमशः व्यास सी 0 डी 0 भूमध्य रेखा - इस भूमध्य रेखा को दर्शाने वाले दीर्घवृत्त के लघु अक्ष में।

दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी (चित्र 62) भूमध्य रेखा के व्यास का प्रक्षेपण होगा, व्यास के लंबवत और इसलिए, विमान के समानांतर।

ध्रुवों की स्थिति को इंगित करने के लिए, आइए हम चित्र पर लौटते हैं। 61. समकोण त्रिभुज और इस आकृति में कर्ण और न्यून कोण (कोण क्रमशः लंबवत भुजाओं वाले) में बराबर हैं। इसलिए । लेकिन बदले में, भूमध्य रेखा का प्रतिनिधित्व करने वाले दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा का एक खंड कहाँ है (चित्र। 62)।

तो, गेंद की एक दृश्य छवि निम्नानुसार बनाई जा सकती है:

1) हम एक दीर्घवृत्त का निर्माण करते हैं, जिसे हम भूमध्य रेखा और उसकी कुल्हाड़ियों की एक छवि के रूप में लेते हैं।

2) हम दीर्घवृत्त के केंद्र में एक वृत्त खींचते हैं, जिसकी त्रिज्या दीर्घवृत्त के प्रमुख अर्ध-अक्ष के बराबर होती है।

3) हम दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा के एक खंड का निर्माण करते हैं, इसके प्रमुख अक्ष के समानांतर, और फिर ध्रुवों की छवियों का निर्माण करते हैं।

अंजीर पर। 63 एक काफी विशिष्ट त्रुटि दिखाता है जब ध्रुवों को एक स्केच सर्कल पर चित्रित किया जाता है, जबकि भूमध्य रेखा को एक दीर्घवृत्त के रूप में दर्शाया जाता है।

2. समांतर और मध्याह्न रेखा का प्रतिबिम्ब।गोले के ध्रुवों और मध्याह्न रेखा की छवि पर विचार करें, जो गेंद की सतह है। याद रखें कि एक गोले के समानांतर भूमध्य रेखा के तल के समानांतर विमानों द्वारा उसके खंड होते हैं। ध्रुवीय अक्ष से गुजरने वाले विमानों द्वारा गोले के वर्गों को मेरिडियन कहा जाता है।

गोले के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से, ध्रुव के अलावा, ठीक एक मेरिडियन और एक समानांतर गुजरता है। प्रत्येक मध्याह्न रेखा दोनों ध्रुवों से होकर गुजरती है।

समांतर और मेरिडियन वृत्त हैं, इसलिए उन्हें दीर्घवृत्त के रूप में भी दर्शाया गया है।

आइए समानताएं खींचना शुरू करें। एक समानांतर को उस बिंदु को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जाएगा जिस पर इसका विमान ध्रुवीय अक्ष को काटता है। चूँकि समांतर का तल भूमध्य रेखा के तल के समानांतर है, समानांतर की छवि एक दीर्घवृत्त होगी, जो भूमध्य रेखा का प्रतिनिधित्व करने वाले दीर्घवृत्त के समान है।

इस दीर्घवृत्त की रचना करने के लिए, एक गोले (गेंद) के एक खंड पर विचार करें, जो एक समतल है जो ध्रुवीय अक्ष से छवि तल के लंबवत गुजरता है (चित्र 64 का दाहिना भाग)। निर्मित सहायक खंड भूमध्य रेखा और संबंधित ध्रुवों की छवियों का प्रतिनिधित्व करने वाले अंडाकार की छोटी धुरी को ढूंढना आसान बनाता है।

मान लीजिए कि समानांतर एक बिंदु द्वारा दिया गया है, तो समानांतर का तल गेंद को अक्ष के लंबवत खंड के साथ प्रतिच्छेद करता है। यह खंड दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के बराबर है, जो समानांतर की छवि है। लघु अक्ष एक सीधी रेखा पर बिंदुओं को प्रक्षेपित करके पाया जाता है। अंत में, एक सीधी रेखा की सहायता से ऐसे बिंदु मिलते हैं जो बाह्यरेखा वृत्त के साथ समानांतर की छवि को स्पर्श करते हैं। बिंदु समानांतर छवि के दृश्य और अदृश्य भागों को अलग करते हैं।

एक दीर्घवृत्त का निर्माण करते समय, जो एक समानांतर की एक छवि है, एक दीर्घवृत्त का निर्माण करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, जो कि भूमध्य रेखा की एक छवि है, जिसके समान है। इसके अलावा, एक सहायक खंड (छवि 65) के निर्माण को अलग से नहीं करना संभव है।

जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 66, प्रत्येक गोलार्द्ध में, एक दीर्घवृत्त-समानांतर का निर्माण करना संभव है जो केवल एक बिंदु पर बाह्यरेखा वृत्त को स्पर्श करता है। ऊपरी गोलार्ध में, इस तरह के समानांतर के उत्तर में स्थित समानांतरों की छवियां पूरी तरह से दिखाई देंगी, और निचले गोलार्ध में, ऐसे समानांतर के दक्षिण में स्थित समानांतरों की छवियां पूरी तरह से अदृश्य होंगी।

काम।यदि बेलन की ऊँचाई गोले की त्रिज्या के बराबर है, तो गोले में खुदे हुए बेलन का प्रतिबिम्ब बनाइए।

फेसला।आइए गेंद के आउटलाइन सर्कल की एक छवि बनाएं और इसके ऊर्ध्वाधर व्यास (चित्र। 67) पर ध्रुवों की छवियों को चिह्नित करें।

उसी व्यास पर, हम सिलेंडर के केंद्रों और आधारों की छवियां बनाते हैं। समस्या की स्थिति से, गेंद की त्रिज्या कहाँ है, रूपरेखा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। इसलिए . यह समानांतरों की स्थिति निर्धारित करता है। माना नियमों के अनुसार, हम ऊपरी आधार की एक दीर्घवृत्त-छवि बनाते हैं। एक वेक्टर द्वारा समानांतर अनुवाद का उपयोग करके निचले आधार को दर्शाने वाला एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है।

अंत में, आइए विचार करें कि यदि एक गोले, उसके भूमध्य रेखा और उसके संबंधित ध्रुवों की छवि दी गई है, तो मेरिडियन की छवि कैसे बनाई जाती है।

मान लीजिए कि उस बिंदु का प्रतिबिम्ब दिया गया है जिससे होकर चित्रित भूमध्य रेखा गुजरती है (चित्र 68)। मूल में, व्यास ध्रुवीय अक्ष के लंबवत है, इसलिए खंड, प्रश्न में मेरिडियन का प्रतिनिधित्व करने वाले अंडाकार के संयुग्मित व्यास हैं। इसका मतलब यह है कि इन संयुग्म व्यासों से एक अंडाकार - एक मेरिडियन की एक छवि - का निर्माण किया जा सकता है।

"हाथ से" एक मेरिडियन का निर्माण करते समय, वे आमतौर पर बिंदुओं की तलाश करते हैं, अंडाकार को रूपरेखा सर्कल (छवि 68) के साथ छूते हैं। दीर्घवृत्त के लिए आउटलाइन सर्कल का व्यास प्रमुख अक्ष होगा, और, जिसका अर्थ है कि गोले का व्यास प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर है।

अंक और निम्नलिखित विचारों से पाया जा सकता है। आइए हम दीर्घवृत्त-भूमध्य रेखा के संयुग्मित व्यास की रचना करें। मूल में, , , इसलिए व्यास माना मेरिडियन के तल के लंबवत है। इसका तात्पर्य है कि, लेकिन तब और (प्रक्षेपण ओर्थोगोनल है)। मेरिडियन छवि के दृश्य और अदृश्य भागों को इंगित करें और अलग करें।

छाया की छवि

कभी-कभी छाया का उपयोग ड्राइंग को और अधिक दृश्यमान बनाने के लिए किया जाता है। इसके अलावा, छाया का निर्माण एक दिलचस्प ज्यामितीय समस्या है जो स्थानिक सोच के विकास में योगदान करती है, जिसका सार इस प्रकार है।

मान लीजिए कि प्रकाश की किरणें एक चमकदार बिंदु से एक सीधी रेखा में सभी दिशाओं में फैलती हैं। यदि कोई किरण रास्ते में किसी अपारदर्शी पिंड से मिलती है, तो वह उस पर टिकी रहती है और एक निश्चित स्क्रीन तक नहीं पहुँचती है। उसी समय, उत्तरार्द्ध पर एक अंधेरा क्षेत्र बनता है, जिसे कहा जाता है गिरती हुई परछाईशरीर से (चित्र। 69)।

शरीर स्वयं भी दो भागों में विभाजित है: प्रबुद्ध और अंधेरा (बिना रोशनी)। शरीर के काले भाग को कहते हैं अपनी परछाई.

गिरने वाली छाया की सीमा प्रतिच्छेदन बिंदुओं से बनती है जिसमें किरणों की स्क्रीन शरीर की सतह को छूती है और बनती है प्रकाश शंकुशीर्ष बिंदु के साथ। वह रेखा जिसके साथ ये किरणें शरीर की सतह को स्पर्श करती हैं, कहलाती हैं विभाजन रेखाप्रकाश एवम् छाया।

छवि में दिखाये गये मामले में। 69, प्रकाश व्यवस्था को कहा जाता है मशाल, संबंधित छाया का एक ही नाम है। इस प्रकार की रोशनी तब होती है जब कृत्रिम प्रकाश स्रोतों का उपयोग किया जाता है: एक कमरे में एक बिजली का प्रकाश बल्ब, एक स्ट्रीट लैंप, एक मोमबत्ती की लौ, आदि।

हम मान सकते हैं कि प्राकृतिक स्रोत (सूर्य, चंद्रमा) अनंत पर हैं और उनसे आने वाली किरणें समानांतर हैं। इसलिए, समानांतर किरणों की किरण द्वारा उत्पन्न रोशनी को सौर कहा जाता है। अंजीर में सौर रोशनी दिखाया गया है। 70.

छाया के निर्माण के कार्यों को आगे बढ़ाने के लिए, हम इस बात पर सहमत होंगे कि हम प्रोजेक्शन ड्राइंग में प्रकाश की किरणों को कैसे सेट करेंगे। सूर्य के प्रकाश के तहत, इस तरह के प्रकाश पुंज को एक सीधी रेखा और मुख्य तल पर इसके प्रक्षेपण द्वारा सेट किया जा सकता है (चित्र 71)। मान लीजिए कि मुख्य तल (स्क्रीन) पर एक बिंदु से गिरने वाली छाया का निर्माण करना आवश्यक है। बिंदु को स्वयं परिभाषित करने के लिए, मुख्य तल पर इसके प्रक्षेपण को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। छाया के निर्माण को , के समानांतर बिंदु से गुजरने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन के बिंदु को खोजने के लिए कम किया जाता है, और उस बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समानांतर। ध्यान दें कि इस मामले में खंड खंड की गिरती छाया है।

प्रोजेक्शन ड्राइंग पर टॉर्च लाइटिंग के साथ, आपको एक बिंदु निर्दिष्ट करना होगा जो एक प्रकाश स्रोत है। यह मुख्य तल पर एक बिंदु और उसके प्रक्षेपण द्वारा निर्धारित किया जाता है (चित्र 72)। यहाँ बिंदु की गिरती हुई छाया रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है और .
यह स्पष्ट है कि स्क्रीन के रूप में न केवल मुख्य विमान को चुना जा सकता है। छाया के निर्माण के सबसे दिलचस्प मामले ठीक उसी समय होते हैं जब आपको अन्य विमानों पर गिरने वाली छाया का निर्माण करना होता है। (उदाहरण के लिए, एक पॉलीहेड्रॉन की दूसरी सतह पर गिरने वाली छाया।)

कार्य 1. अंजीर में। 73 एक त्रिकोणीय पिरामिड, इसकी ऊंचाई और एक समानांतर चतुर्भुज को दर्शाता है। दी गई रोशनी के तहत इन अपारदर्शी आकृतियों की स्वयं की रचना करें और छाया छोड़ें।

फेसला।हम सोलर लाइटिंग का काम कर रहे हैं। सबसे पहले, आइए मुख्य तल पर समानांतर चतुर्भुज की गिरती हुई छाया का पता लगाएं। किनारे की बूंद छाया खंड है, जहां,। इसी तरह, क्रमशः गिरती हुई छाया, किनारे हैं। यह इस प्रकार है कि चेहरे की बूंद छाया है, और चेहरे की बूंद छाया है (आंशिक रूप से समानांतर चतुर्भुज की छवि द्वारा कवर)। गुजरते समय, हम ध्यान दें कि समानांतर चतुर्भुज की अपनी छाया है।

समांतर चतुर्भुज के चेहरों पर पिरामिड की गिरती हुई छाया को खोजने के लिए, हम सबसे पहले इसकी गिरती हुई छाया को मुख्य तल पर पाते हैं। यह एक त्रिभुज ( , ) है, त्रिभुज पिरामिड की अपनी छाया होगी। सीधी रेखा का प्रक्षेपित तल, खंड के अनुदिश समांतर चतुर्भुज के फलक को प्रतिच्छेद करता है। के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हुए, हम समानांतर चतुर्भुज के ऊपरी आधार पर शीर्ष की गिरती हुई छाया पाते हैं। रेखाएं, क्रमशः, रेखाओं के समानांतर बिंदु से गुजरती हैं, समानांतर चतुर्भुज के ऊपरी आधार पर पिरामिड की गिरती छाया का निर्धारण करती हैं।

यह समानांतर चतुर्भुज के पार्श्व चेहरे पर ड्रॉप शैडो को खोजने के लिए बनी हुई है। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि मुख्य विमान पर विमान का निशान है। चेहरा बिंदु पर ट्रेस को काटता है, और बिंदु विमानों के अंतर्गत आता है और। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि विमान समानांतर चतुर्भुज के पार्श्व किनारे को बिंदु पर काटता है, और हम चेहरे पर पिरामिड की गिरती छाया का निर्माण करते हैं।

एक समतल वक्र का प्रतिनिधित्व करता है - एक वृत्त जो एक काटने वाले विमान से संबंधित है।
निर्माण एक विमान द्वारा एक गोले का खंडसामान्य स्थिति β

चूंकि कटिंग प्लेन सामान्य स्थिति में होता है, इसलिए इस सर्कल को दीर्घवृत्त के रूप में प्रोजेक्शन प्लेन पर प्रक्षेपित किया जाता है। एक दीर्घवृत्त का निर्माण करने के लिए, आपको दीर्घवृत्त के दीर्घ और लघु अक्षों के साथ के आयामों को जानना होगा।
क्रांति के निकायों के लिए, जिसमें एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गोला शामिल है, वक्र के विशिष्ट बिंदुओं के साथ एक खंड रेखा का निर्माण किया जा सकता है, जिसमें शामिल हैं:
- जिन बिंदुओं पर दृश्यता का संकेत बदलता है;
- जिन बिंदुओं पर इसके निर्देशांक अधिकतम और न्यूनतम मान लेते हैं:
- एक्स मैक्स; एक्स मिनट;
- वाई मैक्स; वाई मिनट;
- जेड मैक्स; जेड मिनट;
विशेषता बिंदुओं का उपयोग आपको क्रांति की सतह और विमान के चौराहे की रेखा का अधिक सटीक निर्माण करने की अनुमति देता है।

समस्या का समाधान एक विमान द्वारा एक गोले का खंडयदि कटिंग प्लेन प्रोजेक्टिंग पोजीशन पर हो तो बहुत सरल हो जाता है।

प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि का उपयोग करके, हम विमान का अनुवाद करते हैं β एक सामान्य स्थिति से किसी विशेष स्थिति तक - सामने की ओर प्रक्षेपित करना। ललाट प्रक्षेपण विमान पर वी 1विमान का एक निशान बनाएँ β और गेंद का प्रक्षेपण। विमान की पगडंडी पर β वीएक मनमाना बिंदु लें 3" प्रक्षेपण विमान से इसकी दूरी को मापें एचऔर इसे पहले से ही विमान पर संचार लाइन के साथ स्थगित कर दें वी 1, एक बिंदु प्राप्त करना 3" 1 . इसके माध्यम से एक निशान गुजर जाएगा। बॉल सेक्शन लाइन - पॉइंट्स ए" 1, बी" 1यहाँ विमान के निशान के साथ मेल खाता है। आगे ललाट प्रक्षेपण विमान पर वी 1सेक्शन सर्कल के केंद्र का निर्माण करें - एक बिंदु सी" 1जो हम गेंद के केंद्र से लंबवत को बहाल करके प्राप्त करते हैं (बिंदु 0" 1 ) को [ ए" 1 बी" 1] उनके चौराहे पर। अगला, पिछला प्रक्षेपण चालू करें: बिंदुओं के माध्यम से ए" 1, बी" 1और सी" 1क्षैतिज रेखाएँ खींचना एचविमान से संबंधित β , और प्रक्षेपण विमान पर एचगेंद के केंद्र के माध्यम से हम एक सहायक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान खींचते हैं 1. क्षैतिज विमान ट्रेस 1क्षैतिज के प्रक्षेपण को रोक देगा एचऔर इस बिंदु पर एक बिंदु परिभाषित करें सी`- खंड की परिधि का केंद्र। क्षैतिज एच`गेंद के प्रक्षेपण को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है डी`और ई `, जिससे खंड का वास्तविक मूल्य निर्धारित होता है [ डे] - दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी। अंक उसी तरह बनाए जाते हैं। ए`और बी`, खंड के मूल्य को परिभाषित करना [ ए'बी'] - अंडाकार की छोटी धुरी।

क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्षों का अनुमान एचपाया गया, जिसका अर्थ है कि अंडाकार खंड सर्कल का प्रक्षेपण है एचबनाया जा सकता है, लेख देखें: सर्कल

ललाट प्रक्षेपण विमान के लिए समान चरणों को दोहराएं वीऔर एक और दीर्घवृत्त का निर्माण करें - पर खंड वृत्त का प्रक्षेपण वी.

अनुभाग सर्कल के क्षैतिज प्रक्षेपण की दृश्यता की सीमाओं को इंगित करने वाले बिंदुओं को खोजने के लिए

हम गेंद के केंद्र के माध्यम से एक फ्रंट-प्रोजेक्टिंग प्लेन खींचते हैं 2 ⊥ वी β क्षैतिज एच (एच`, एच"). रेखा एच`बिंदुओं द्वारा सेक्शन सर्कल के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ प्रतिच्छेद करता है 5,6 दृश्यता की सीमा को दर्शाता है। विमान के निशान के नीचे ललाट प्रक्षेपण पर स्थित सेक्शन सर्कल के बिंदु 2, क्षैतिज प्रक्षेपण तल पर एच 5`, 6` ] - और उस पर अदृश्य रहेगा।

अनुभाग सर्कल के ललाट प्रक्षेपण की दृश्यता की सीमाओं को इंगित करने वाले बिंदुओं को खोजने के लिए। हम गेंद के केंद्र के माध्यम से एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान खींचते हैं 1 ⊥ एच, जो विमान को काटता है β ललाट एफ (एफ`, एफ"). रेखा एफ"बिंदुओं द्वारा सेक्शन सर्कल के ललाट प्रक्षेपण के साथ प्रतिच्छेद करता है 7", 8" दृश्यता की सीमा को दर्शाता है। विमान के निशान के ऊपर क्षैतिज प्रक्षेपण पर स्थित सेक्शन सर्कल के बिंदु 1, ललाट प्रक्षेपण विमान पर वीखंड के बाईं ओर स्थित होगा [ 7", 8" ] - और उस पर अदृश्य रहेगा।

परिचय

एक गेंद एक पिंड है जिसमें अंतरिक्ष में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी से अधिक दूरी पर नहीं होते हैं। इस बिंदु को गेंद का केंद्र कहा जाता है, और इस दूरी को गेंद की त्रिज्या कहा जाता है।

एक गोले की सीमा को गोलाकार सतह या गोला कहा जाता है। इस प्रकार, गोले के बिंदु गेंद के सभी बिंदु हैं जो केंद्र से त्रिज्या के बराबर दूरी पर हैं। कोई भी रेखा खंड जो गेंद के केंद्र को गेंद की सतह पर एक बिंदु से जोड़ता है, उसे त्रिज्या भी कहा जाता है।

गेंद के केंद्र से गुजरने वाली गोलाकार सतह के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को व्यास कहा जाता है। किसी भी व्यास के सिरों को गेंद के व्यास के विपरीत बिंदु कहा जाता है।

एक बेलन और शंकु की तरह एक गेंद क्रांति का पिंड है। यह एक अर्धवृत्त को उसके व्यास के चारों ओर अक्ष के रूप में घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

एक समतल द्वारा गोले का भाग

समतल द्वारा गोले का कोई भी भाग एक वृत्त होता है। इस सर्कल का केंद्र गेंद के केंद्र से काटने वाले विमान तक गिराए गए लंबवत का आधार है।

प्रमाण: मान लीजिए - कटिंग प्लेन और O - बॉल का सेंटर (चित्र 1) आइए बॉल के सेंटर से प्लेन तक के लंब को ड्रॉप करें और O "इस लंब के आधार को निरूपित करें।

मान लीजिए कि X समतल से संबंधित गेंद का एक मनमाना बिंदु है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, OX2 \u003d OO "2 + O" X2। चूँकि OX गेंद की त्रिज्या R से बड़ा नहीं है, तो O "X?, यानी एक समतल द्वारा गेंद के खंड का कोई भी बिंदु बिंदु O" से अधिक दूरी पर नहीं है, इसलिए, यह एक वृत्त से संबंधित है केंद्र ओ "और त्रिज्या के साथ। इसके विपरीत: इस सर्कल का कोई भी बिंदु एक्स गेंद से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि विमान द्वारा गेंद का खंड बिंदु ओ पर केंद्रित एक चक्र है"। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

गोले के केंद्र से गुजरने वाले क्षेत्र को व्यास तल कहा जाता है। एक व्यास तल वाली गेंद के क्रॉस सेक्शन को एक बड़ा वृत्त कहा जाता है, और एक गोले के क्रॉस सेक्शन को एक बड़ा वृत्त कहा जाता है।

अंजीर पर। 11 कुछ बिंदुओं के अनुमानों के निर्माण को दर्शाता है।

अनुमान सी" और डी" त्रिज्या के समानांतर के क्षैतिज प्रक्षेपण पर बनाया गया 0"1", के साथ बनाया गया

प्रक्षेपण 1 ".प्रोजेक्शन सी"" और डी"" प्रक्षेपणों के माध्यम से एक गोले पर खींचे गए वृत्त के प्रोफाइल प्रक्षेपण पर बनाया गया सी"(डी") ताकि वृत्त का तल प्रक्षेपणों के तल के समानांतर हो।

प्रक्षेपण इ"अंडाकार (स्लाइस सर्कल का क्षैतिज प्रक्षेपण) और क्षेत्र के भूमध्य रेखा का स्पर्शरेखा बिंदु है। यह ललाट प्रक्षेपण पर भूमध्य रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण पर प्रक्षेपण कनेक्शन में बनाया गया है इ"।

क्षैतिज प्रक्षेपण एम"कट लाइन पर एक मनमाना बिंदु त्रिज्या समानांतर का उपयोग करके बनाया गया है "2" के बारे में, जिसका ललाट प्रक्षेपण अनुमानों से होकर गुजरता है एम"और 2 " . प्रक्षेपण एफ "दीर्घवृत्त (कट सर्कल का प्रोफाइल प्रोजेक्शन) और गोले की रूपरेखा के प्रोफाइल प्रोजेक्शन के संपर्क का बिंदु है।

यदि गोले को प्रतिच्छेद करने वाला विमान सामान्य स्थिति में एक विमान है, तो प्रोजेक्शन विमानों को बदलकर समस्या का समाधान किया जाता है। अतिरिक्त प्रक्षेपण विमान को चुना जाता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह काटने वाले विमान के लंबवत है। ये है आपको चौराहे लाइन के निर्माण को सरल बनाने की अनुमति देता है।

12. टोरस अनुभागों का निर्माण

चित्र में उदाहरण में। 12 सहायक विमानों γ 1 (γ 1 ") और γ 2 (γ 2"), टोरस की धुरी के लंबवत, चौराहे की एक रेखा बनाने और सतह के खंड के आंकड़े के प्राकृतिक दृश्य के उपयोग को दर्शाता है। विमान α (α "") द्वारा टोरस का। चित्र 12 में टोरस में दो चित्र हैं - एक ललाट प्रक्षेपण और एक आधा प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण।

अर्धवृत्त त्रिज्या आर 2 (सहायक के टोरस के चौराहे की रेखा का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण

विमान γ 2 ) विमान के प्रक्षेपण को छूता है α (ट्रेस α ""). यह प्रोफाइल प्रोजेक्शन को परिभाषित करता है 3"" और इसके साथ एक ललाट प्रक्षेपण 3"" वांछित प्रतिच्छेदन रेखा के प्रक्षेपण बिंदुओं में से एक। अर्धवृत्त त्रिज्या आर 1 - सहायक विमान द्वारा टोरस के चौराहे की रेखा का प्रोफाइल प्रक्षेपण γ 1 . यह विमान α (ट्रेस α .) के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण को काटता है "") दो बिंदुओं पर 5"" और 7"" - चौराहे की रेखा के बिंदुओं का प्रोफाइल अनुमान। समान निर्माण करते हुए, आप वांछित चौराहे रेखा के लिए आवश्यक संख्या में बिंदु अनुमान प्राप्त कर सकते हैं। अनुभागीय आकृति का एक प्राकृतिक दृश्य बनाने के लिए हम पाए गए बिंदुओं का उपयोग करते हैं। अपनी धुरी के समानांतर एक विमान द्वारा टोरस के एक खंड की आकृति में कुल्हाड़ियों और समरूपता का केंद्र होता है। इसका निर्माण करते समय, ललाट प्रक्षेपण पर दूरी l 1 और l 2 का उपयोग बिंदुओं को प्लॉट करने के लिए किया गया था 5 0 , 7 0 और 3 0 ।

बिंदु 6 0, 8 0 और 4 0 सममित रूप से बनाए गए हैं। तल द्वारा टोरस की सतह के प्रतिच्छेदन का निर्मित वक्र एक चौथे क्रम के बीजीय समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है।

अक्ष के समांतर समतल वाले टोरस के प्रतिच्छेदन वक्र नीचे चित्र 12 में दिखाए गए हैं। उनका एक सामान्य नाम है - पर्सियस कर्व्स। (पर्सियस- प्राचीन ग्रीस का जियोमीटर)। ये चौथे क्रम के वक्र हैं। वक्रों का आकार छेदक तल से टोरस के अक्ष तक की दूरी पर निर्भर करता है।