माँ ने फ्रेम धोया
एक लंबी गर्मी की छुट्टी के अंत में, यह धीरे-धीरे उच्च गणित पर लौटने का समय है और एक नया खंड बनाना शुरू करने के लिए पूरी तरह से एक खाली Verd फ़ाइल खोलें - . मैं स्वीकार करता हूं कि पहली पंक्तियाँ आसान नहीं हैं, लेकिन पहला कदम आधा है, इसलिए मैं सभी को परिचयात्मक लेख का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने का सुझाव देता हूं, जिसके बाद विषय में महारत हासिल करना 2 गुना आसान हो जाएगा! मैं बिल्कुल भी अतिशयोक्ति नहीं कर रहा हूं। ... अगले 1 सितंबर की पूर्व संध्या पर, मुझे पहली कक्षा और प्राइमर याद है .... अक्षर शब्दांश बनाते हैं, शब्दांश शब्दों में, शब्द छोटे वाक्यों में - माँ ने फ्रेम धोया। मास्टरींग टर्वर और गणितीय आँकड़ों को पढ़ना सीखना जितना आसान है! हालाँकि, इसके लिए मुख्य शब्दों, अवधारणाओं और पदनामों के साथ-साथ कुछ विशिष्ट नियमों को जानना आवश्यक है, जिनके लिए यह पाठ समर्पित है।
लेकिन पहले, कृपया शैक्षणिक वर्ष की शुरुआत (निरंतरता, समापन, उपयुक्त नोट) पर मेरी बधाई स्वीकार करें और उपहार स्वीकार करें। सबसे अच्छा उपहार एक किताब है, और स्वाध्याय के लिए, मैं निम्नलिखित साहित्य की सिफारिश करता हूं:
1) गमुरमन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत
एक पौराणिक पाठ्यपुस्तक जो दस से अधिक पुनर्मुद्रण से गुजर चुकी है। यह बोधगम्यता और सामग्री की अंतिम सरल प्रस्तुति में भिन्न है, और पहले अध्याय पूरी तरह से सुलभ हैं, मुझे लगता है, पहले से ही ग्रेड 6-7 में छात्रों के लिए।
2) गमुरमन वी.ई. संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी में समस्या समाधान के लिए मार्गदर्शिका
विस्तृत उदाहरणों और कार्यों के साथ उसी व्लादिमीर एफिमोविच के रेशेबनिक।
आवश्यक रूप सेइंटरनेट से दोनों पुस्तकें डाउनलोड करें या उनके मूल पेपर प्राप्त करें! एक 60-70 का संस्करण करेगा, जो डमी के लिए और भी बेहतर है। यद्यपि वाक्यांश "डमी के लिए संभाव्यता सिद्धांत" बल्कि हास्यास्पद लगता है, क्योंकि लगभग सब कुछ प्राथमिक अंकगणितीय संचालन तक ही सीमित है। वे फिसल जाते हैं, हालांकि, स्थानों में डेरिवेटिवऔर अभिन्न, लेकिन यह केवल स्थानों पर है।
मैं प्रस्तुति की समान स्पष्टता प्राप्त करने का प्रयास करूंगा, लेकिन मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए कि मेरा पाठ्यक्रम किस पर केंद्रित है समस्या को सुलझानाऔर सैद्धांतिक गणनाओं को न्यूनतम रखा जाता है। इस प्रकार, यदि आपको एक विस्तृत सिद्धांत, प्रमेयों के प्रमाण (हाँ, प्रमेय!) की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें।
चाहने वालों के लिए समस्याओं को हल करना सीखें कुछ ही दिनों में, बनाया गयापीडीएफ प्रारूप में क्रैश कोर्स (साइट के अनुसार). खैर, अभी, मामले को एक लंबी फाइल में स्थगित किए बिना, हम टर्वर और मैटस्टैट का अध्ययन शुरू कर रहे हैं - मेरे पीछे आओ!
आरंभ करने के लिए पर्याप्त =)
जैसा कि आप लेख पढ़ते हैं, विचार किए गए प्रकारों की अतिरिक्त समस्याओं से परिचित होना (कम से कम संक्षेप में) उपयोगी है। पेज पर उच्च गणित के लिए तैयार समाधानसमाधान के उदाहरणों के साथ संबंधित pdf-ki को रखा गया है। साथ ही, महत्वपूर्ण सहायता प्रदान की जाएगी आईडीजेड 18.1-18.2 रायबुशको(आसान) और चुडेसेंको के संग्रह के अनुसार हल आईडीजेड(ज्यादा कठिन)।
1) जोड़दो घटनाएँ और उस घटना को कहा जाता है जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि याप्रतिस्पर्धा याप्रतिस्पर्धा याएक ही समय में दोनों घटनाएँ। घटनाओं के मामले में असंगत, अंतिम विकल्प गायब हो जाता है, अर्थात यह हो सकता है याप्रतिस्पर्धा याप्रतिस्पर्धा ।
नियम अधिक शर्तों पर भी लागू होता है, उदाहरण के लिए, कोई ईवेंट 
क्या होगा कम से कम एकघटनाओं से 
, ए यदि घटनाएँ असंगत हैं – वह एक और केवल एकइस राशि से घटना: याप्रतिस्पर्धा , याप्रतिस्पर्धा , याप्रतिस्पर्धा , याप्रतिस्पर्धा , याप्रतिस्पर्धा ।
बहुत सारे उदाहरण:
घटना (एक पासे को फेंकने पर 5 अंक नहीं गिरते) यह है कि या 1, या 2, या 3, या 4, या 6 अंक।
घटना (गिर जाएगी अब और नहींदो बिंदु) यह है कि 1 या 2अंक.
घटना 
(अंकों की एक सम संख्या होगी) यह है कि या 2 या 4 या 6 अंक।
घटना यह है कि डेक से लाल सूट (दिल) का एक कार्ड निकाला जाएगा याटैम्बोरिन), और घटना 
- कि "तस्वीर" निकाली जाएगी (जैक याभद्र महिला याराजा याइक्का)।
संयुक्त आयोजनों के मामले में थोड़ा और दिलचस्प है:
घटना यह है कि डेक से एक क्लब तैयार किया जाएगा यासात याक्लबों के सात उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, कम से कम कुछ- या कोई क्लब या कोई सात या उनका "क्रॉसिंग" - सात क्लब। यह गणना करना आसान है कि यह घटना 12 प्राथमिक परिणामों (9 क्लब कार्ड + 3 शेष सात) से मेल खाती है।
घटना कल दोपहर 12.00 बजे की है योग करने योग्य संयुक्त आयोजनों में से कम से कम एक, अर्थात्:
- या केवल बारिश होगी / केवल गड़गड़ाहट / केवल सूरज;
- या केवल कुछ जोड़ी घटनाएँ आएंगी (बारिश + गरज / बारिश + सूरज / गरज + सूरज);
- या तीनों इवेंट एक ही समय में दिखाई देंगे।
यानी घटना में 7 संभावित परिणाम शामिल हैं।
घटनाओं के बीजगणित का दूसरा स्तंभ:
2) कामदो घटनाओं और घटना को बुलाओ, जिसमें इन घटनाओं की संयुक्त उपस्थिति शामिल है, दूसरे शब्दों में, गुणा का अर्थ है कि कुछ परिस्थितियों में आ जाएगा औरप्रतिस्पर्धा , औरप्रतिस्पर्धा । बड़ी संख्या में घटनाओं के लिए एक समान कथन सत्य है, उदाहरण के लिए, कार्य का तात्पर्य है कि कुछ शर्तों के तहत, होगा औरप्रतिस्पर्धा , औरप्रतिस्पर्धा , औरप्रतिस्पर्धा , …, औरप्रतिस्पर्धा ।
एक परीक्षण पर विचार करें जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएं:
- पहले सिक्के पर सिर गिरेगा;
- पहला सिक्का टेल लैंड करेगा;
- दूसरा सिक्का सिर पर उतरेगा;
- दूसरा सिक्का टेल ऊपर आएगा।
फिर:
और 2 तारीख को) एक चील बाहर गिर जाएगी;
- घटना इस तथ्य में समाहित है कि दोनों सिक्कों पर (पहली तारीख को) और 2 पर) पूंछ गिर जाएगी;
- घटना यह है कि पहला सिक्का सिर पर उतरेगा और 2 सिक्के की पूंछ पर;
- घटना यह है कि पहला सिक्का पूंछ पर आएगा औरदूसरे सिक्के पर एक चील।
यह देखना आसान है कि घटनाएं असंगत (चूंकि, उदाहरण के लिए, यह एक ही समय में 2 सिर और 2 पूंछ नहीं गिरा सकता है)और फॉर्म पूरा समूह (चूंकि ध्यान में रखा गया है सबदो सिक्कों को उछालने के संभावित परिणाम). आइए इन घटनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करें: . इस प्रविष्टि की व्याख्या कैसे करें? बहुत ही सरल - गुणन का अर्थ है तार्किक संबंध और, और जोड़ है या. इस प्रकार, समझने योग्य मानव भाषा में योग को पढ़ना आसान है: "दो उकाब गिरेंगे यादो पूंछ या 1 सिक्के पर सिर औरदूसरी पूंछ पर या 1 सिक्के पर सिर औरदूसरे सिक्के पर चील »
यह एक उदाहरण था जब एक परीक्षण मेंकई वस्तुएं शामिल हैं, इस मामले में दो सिक्के। आमतौर पर व्यवहार में उपयोग की जाने वाली एक अन्य योजना है बार-बार परीक्षण जब, उदाहरण के लिए, एक ही पासे को लगातार 3 बार फेंका जाता है। एक प्रदर्शन के रूप में, निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:
- पहले थ्रो में 4 अंक गिरेंगे;
- दूसरे रोल में, 5 अंक गिरेंगे;
- तीसरे थ्रो में 6 अंक गिरेंगे।
फिर घटना 
इस तथ्य में शामिल है कि पहले रोल में 4 अंक गिरेंगे औरदूसरे रोल में 5 अंक गिरेंगे औरतीसरे रोल में, 6 अंक गिरेंगे। जाहिर है, एक पासे के मामले में, अगर हम एक सिक्का उछाल रहे थे तो उससे काफी अधिक संयोजन (परिणाम) होंगे।
... मैं समझता हूं कि, शायद, बहुत दिलचस्प उदाहरणों का विश्लेषण नहीं किया जाता है, लेकिन ये ऐसी चीजें हैं जो अक्सर समस्याओं का सामना करती हैं और उनसे दूर नहीं होती हैं। एक सिक्के, एक पासे और ताश के पत्तों के अलावा, रंगीन गेंदों के साथ कलश हैं, कई गुमनाम लोग निशाने पर हैं, और एक अथक कार्यकर्ता जो लगातार कुछ विवरणों को पीसता है =)
घटना की संभावना
घटना की संभावना संभाव्यता सिद्धांत में एक केंद्रीय अवधारणा है। ...एक घातक तार्किक बात, लेकिन आपको कहीं से शुरुआत करनी थी =) इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं:
;
संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा
;
संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा
.
इस लेख में, मैं संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करूंगा, जिसका व्यापक रूप से शैक्षिक कार्यों में उपयोग किया जाता है।
नोटेशन. किसी घटना की प्रायिकता को एक बड़े लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, और घटना को स्वयं कोष्ठक में लिया जाता है, जो एक प्रकार के तर्क के रूप में कार्य करता है। उदाहरण के लिए:
इसके अलावा, संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक छोटे अक्षर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, कोई घटनाओं और उनकी संभावनाओं के बोझिल पदनामों को छोड़ सकता है 
निम्नलिखित शैली के पक्ष में:
एक सिक्के के उछाले जाने की प्रायिकता है;
- एक पासा फेंकने के परिणामस्वरूप 5 अंक गिरने की प्रायिकता;
क्या संभावना है कि क्लब सूट का एक कार्ड डेक से निकाला जाएगा।
यह विकल्प व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में लोकप्रिय है, क्योंकि यह आपको समाधान प्रविष्टि को काफी कम करने की अनुमति देता है। जैसा कि पहले मामले में है, यहां "बात कर रहे" सबस्क्रिप्ट / सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करना सुविधाजनक है।
सभी ने लंबे समय से उन संख्याओं के बारे में अनुमान लगाया है जो मैंने अभी ऊपर लिखी हैं, और अब हम यह पता लगाएंगे कि वे कैसे निकले:
प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा:
किसी परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता अनुपात है, जहाँ:
सभी की कुल संख्या है समान रूप से संभव, प्राथमिकइस परीक्षण के परिणाम, जो रूप घटनाओं का पूरा समूह;
- रकम प्राथमिकपरिणामों अनुकूल प्रतिस्पर्धा ।
जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो या तो चित या पट बाहर गिर सकते हैं - ये घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह, इस प्रकार, परिणामों की कुल संख्या; जबकि उनमें से प्रत्येक प्राथमिकऔर समान रूप से संभव. घटना परिणाम (सिर) द्वारा इष्ट है। संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार: 
.
इसी तरह, एक पासे के रोल के परिणामस्वरूप, प्रारंभिक समान रूप से संभव परिणाम प्रकट हो सकते हैं, एक पूरा समूह बना सकते हैं, और घटना को एक परिणाम (पांच रोलिंग) द्वारा पसंद किया जाता है। इसलिए: 
.यह करना स्वीकार नहीं है (हालाँकि आपके दिमाग में प्रतिशत का पता लगाना मना नहीं है)।
यह एक इकाई के अंशों का उपयोग करने के लिए प्रथागत है, और, जाहिर है, संभावना भीतर भिन्न हो सकती है। इसके अलावा, यदि , तो घटना है असंभव, अगर - प्रामाणिक, और अगर , तो हम बात कर रहे हैं अनियमितप्रतिस्पर्धा।
! यदि किसी समस्या को हल करने के दौरान आपको कुछ अन्य प्रायिकता मान मिलता है - एक त्रुटि की तलाश करें!
प्रायिकता की परिभाषा के शास्त्रीय दृष्टिकोण में, चरम मान (शून्य और एक) बिल्कुल उसी तर्क से प्राप्त होते हैं। मान लीजिए कि 10 लाल गेंदों वाले कलश से यादृच्छिक रूप से 1 गेंद निकाली जाती है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:
एक ही परीक्षण में, एक असंभावित घटना घटित नहीं होगी.
इसलिए यदि इस घटना की प्रायिकता, मान लीजिए, 0.00000001 है, तो आप लॉटरी में जैकपॉट नहीं मारेंगे। हाँ, हाँ, यह आप हैं - एक विशेष प्रचलन में एकमात्र टिकट के साथ। हालांकि, अधिक टिकट और अधिक ड्रा से आपको ज्यादा मदद नहीं मिलेगी। ... जब मैं दूसरों को इसके बारे में बताता हूं, तो मैं लगभग हमेशा जवाब में सुनता हूं: "लेकिन कोई जीतता है।" ठीक है, तो चलिए निम्नलिखित प्रयोग करते हैं: कृपया आज या कल कोई लॉटरी टिकट खरीदें (देरी न करें!)। और अगर आप जीतते हैं ... ठीक है, कम से कम 10 किलो से अधिक रूबल, सदस्यता समाप्त करना सुनिश्चित करें - मैं समझाऊंगा कि ऐसा क्यों हुआ। एक प्रतिशत के लिए, निश्चित रूप से =) =)
लेकिन दुखी होने की जरूरत नहीं है, क्योंकि एक विपरीत सिद्धांत है: यदि किसी घटना की संभावना एकता के बहुत करीब है, तो एक ही परीक्षण में यह लगभग निश्चितक्या होगा। इसलिए, पैराशूट कूदने से पहले, डरो मत, इसके विपरीत - मुस्कुराओ! आखिरकार, दोनों पैराशूट के विफल होने के लिए बिल्कुल अकल्पनीय और शानदार परिस्थितियाँ उत्पन्न होनी चाहिए।
यद्यपि यह सब कविता है, क्योंकि, घटना की सामग्री के आधार पर, पहला सिद्धांत हंसमुख हो सकता है, और दूसरा - उदास; या दोनों समानांतर हैं।
शायद अभी के लिए पर्याप्त है, कक्षा में संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के लिए कार्यहम सूत्र से अधिकतम निचोड़ लेंगे। इस लेख के अंतिम भाग में, हम एक महत्वपूर्ण प्रमेय पर विचार करते हैं:
एक पूरा समूह बनाने वाली घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है. मोटे तौर पर, यदि घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो 100% संभावना के साथ उनमें से एक घटित होगी। सरलतम स्थिति में, विपरीत घटनाएँ एक संपूर्ण समूह बनाती हैं, उदाहरण के लिए:
- एक सिक्का उछालने के परिणामस्वरूप, एक चील बाहर गिर जाएगी;
- एक सिक्के को उछालने से पट बाहर गिर जाएगी।
प्रमेय के अनुसार: 
यह स्पष्ट है कि इन घटनाओं की समान रूप से संभावना है और उनकी संभावनाएं समान हैं। 
.
प्रायिकता की समानता के कारण, समान रूप से संभावित घटनाओं को अक्सर कहा जाता है सुसज्जित करने योग्य . और यहाँ नशे की डिग्री निर्धारित करने के लिए जीभ जुड़वाँ है =)
पासा उदाहरण: घटनाएँ विपरीत हैं, इसलिए 
.
विचाराधीन प्रमेय इस मायने में सुविधाजनक है कि यह आपको विपरीत घटना की संभावना को जल्दी से खोजने की अनुमति देता है। इसलिए, यदि आप इस संभावना को जानते हैं कि एक पांच गिर जाएगा, तो संभावना की गणना करना आसान है कि यह बाहर नहीं गिरेगा:
यह पाँच प्राथमिक परिणामों की प्रायिकताओं के योग की तुलना में बहुत आसान है। प्रारंभिक परिणामों के लिए, वैसे, यह प्रमेय भी मान्य है:
. उदाहरण के लिए, यदि संभावना है कि निशानेबाज लक्ष्य को मार देगा, तो संभावना है कि वह चूक जाएगा।
! संभाव्यता सिद्धांत में, अक्षरों और किसी अन्य उद्देश्य के लिए उपयोग करना अवांछनीय है।
ज्ञान दिवस के सम्मान में, मैं होमवर्क नहीं दूंगा =), लेकिन यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दे सकें:
किस प्रकार के आयोजन होते हैं?
- किसी घटना की संभावना और समान संभावना क्या है?
- आप घटनाओं की अनुकूलता / असंगति की शर्तों को कैसे समझते हैं?
- घटनाओं, विपरीत घटनाओं का एक पूरा समूह क्या है?
घटनाओं के जोड़ और गुणा का क्या अर्थ है?
- प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा का सार क्या है?
- एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय क्यों उपयोगी है?
नहीं, आपको कुछ भी रटने की आवश्यकता नहीं है, ये केवल संभाव्यता सिद्धांत की मूल बातें हैं - एक प्रकार का प्राइमर जो आपके सिर में बहुत जल्दी फिट हो जाएगा। और ताकि यह जल्द से जल्द हो, मेरा सुझाव है कि आप पाठ पढ़ें
"संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा का सामना करने वाले कई लोग यह सोचकर भयभीत हैं कि यह कुछ भारी, बहुत जटिल है। लेकिन यह वास्तव में इतना दुखद नहीं है। आज हम संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा पर विचार करेंगे, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सीखेंगे।
विज्ञान
"संभाव्यता सिद्धांत" के रूप में गणित की ऐसी शाखा क्या अध्ययन करती है? वह पैटर्न और परिमाण नोट करती है। अठारहवीं शताब्दी में पहली बार वैज्ञानिकों को इस मुद्दे में दिलचस्पी हुई, जब उन्होंने जुए का अध्ययन किया। संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है। यह कोई भी तथ्य है जो अनुभव या अवलोकन से पता चलता है। लेकिन अनुभव क्या है? संभाव्यता सिद्धांत की एक और बुनियादी अवधारणा। इसका मतलब है कि परिस्थितियों की यह रचना संयोग से नहीं, बल्कि एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए बनाई गई थी। अवलोकन के लिए, यहाँ शोधकर्ता स्वयं प्रयोग में भाग नहीं लेता है, लेकिन केवल इन घटनाओं का साक्षी है, वह किसी भी तरह से जो हो रहा है उसे प्रभावित नहीं करता है।
आयोजन
हमने सीखा कि संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा एक घटना है, लेकिन वर्गीकरण पर विचार नहीं किया। वे सभी निम्नलिखित श्रेणियों में आते हैं:
- भरोसेमंद।
- असंभव।
- अनियमित।
कोई फर्क नहीं पड़ता कि अनुभव के दौरान किस तरह की घटनाएं देखी जाती हैं या बनाई जाती हैं, वे सभी इस वर्गीकरण के अधीन हैं। हम प्रत्येक प्रजाति से अलग से परिचित होने की पेशकश करते हैं।
विश्वसनीय घटना
यह एक ऐसी स्थिति है जिसके पहले आवश्यक उपाय किए गए हैं। सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कुछ उदाहरण देना बेहतर है। भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और उच्च गणित इस कानून के अधीन हैं। संभाव्यता सिद्धांत में एक निश्चित घटना के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणा शामिल है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
- हम काम करते हैं और मजदूरी के रूप में पारिश्रमिक प्राप्त करते हैं।
- हमने परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण की, प्रतियोगिता उत्तीर्ण की, इसके लिए हमें एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश के रूप में पुरस्कार मिलता है।
- हमने बैंक में पैसा लगाया है, जरूरत पड़ी तो वापस कर देंगे।
ऐसे आयोजन विश्वसनीय होते हैं। यदि हमने सभी आवश्यक शर्तें पूरी कर ली हैं, तो हमें निश्चित रूप से अपेक्षित परिणाम मिलेगा।
असंभव घटनाएं
अब हम प्रायिकता सिद्धांत के तत्वों पर विचार करते हैं। हम अगले प्रकार की घटना, अर्थात् असंभव की व्याख्या पर आगे बढ़ने का प्रस्ताव करते हैं। आरंभ करने के लिए, हम सबसे महत्वपूर्ण नियम निर्धारित करेंगे - एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।
समस्याओं को हल करते समय इस सूत्रीकरण से विचलित होना असंभव है। स्पष्ट करने के लिए, ऐसी घटनाओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं:
- पानी प्लस टेन के तापमान पर जम गया (यह असंभव है)।
- बिजली की कमी किसी भी तरह से उत्पादन को प्रभावित नहीं करती है (जैसा कि पिछले उदाहरण में असंभव है)।
अधिक उदाहरण नहीं दिए जाने चाहिए, क्योंकि ऊपर वर्णित सभी इस श्रेणी के सार को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं। असंभव घटना कभी भी अनुभव के दौरान किसी भी परिस्थिति में नहीं घटेगी।
यादृच्छिक घटनाएं
तत्वों का अध्ययन करते समय इस विशेष प्रकार की घटना पर विशेष ध्यान देना चाहिए। वही विज्ञान पढ़ रहा है। अनुभव के परिणामस्वरूप, कुछ हो भी सकता है और नहीं भी। इसके अलावा, परीक्षण को असीमित बार दोहराया जा सकता है। प्रमुख उदाहरण हैं:
- सिक्का उछालना एक अनुभव है, या एक परीक्षा, शीर्षक एक घटना है।
- बैग से गेंद को आँख बंद करके बाहर निकालना एक परीक्षा है, लाल गेंद को पकड़ा जाना एक घटना है, इत्यादि।
ऐसे उदाहरणों की असीमित संख्या हो सकती है, लेकिन सामान्य तौर पर, सार स्पष्ट होना चाहिए। घटनाओं के बारे में प्राप्त ज्ञान को संक्षेप और व्यवस्थित करने के लिए, एक तालिका दी गई है। संभाव्यता सिद्धांत सभी प्रस्तुत किए गए केवल अंतिम प्रकार का अध्ययन करता है।
शीर्षक | परिभाषा | |
विश्वसनीय | कुछ शर्तों के अधीन 100% गारंटी के साथ होने वाली घटनाएं। | प्रवेश परीक्षा के अच्छे उत्तीर्ण के साथ एक शैक्षणिक संस्थान में प्रवेश। |
असंभव | ऐसी घटनाएँ जो किसी भी परिस्थिति में कभी नहीं होंगी। | हवा के तापमान से अधिक तीस डिग्री सेल्सियस पर बर्फबारी हो रही है। |
अनियमित | एक घटना जो प्रयोग/परीक्षण के दौरान हो भी सकती है और नहीं भी। | बास्केटबॉल को घेरा में फेंकते समय हिट या मिस करें। |
कानून
संभाव्यता सिद्धांत एक विज्ञान है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है। दूसरों की तरह इसके भी कुछ नियम हैं। संभाव्यता सिद्धांत के निम्नलिखित नियम हैं:
- यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण।
- बड़ी संख्या का कानून।
कॉम्प्लेक्स की संभावना की गणना करते समय, परिणाम को आसान और तेज़ तरीके से प्राप्त करने के लिए सरल घटनाओं के एक कॉम्प्लेक्स का उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि कुछ प्रमेयों की सहायता से संभाव्यता सिद्धांत के नियम आसानी से सिद्ध हो जाते हैं। आइए पहले कानून से शुरू करते हैं।
यादृच्छिक चर के अनुक्रमों का अभिसरण
ध्यान दें कि कई प्रकार के अभिसरण हैं:
- यादृच्छिक चर का अनुक्रम संभाव्यता में अभिसरण है।
- लगभग असंभव।
- आरएमएस अभिसरण।
- वितरण अभिसरण।
तो, मक्खी पर, इसकी तह तक जाना बहुत कठिन है। इस विषय को समझने में आपकी सहायता के लिए यहां कुछ परिभाषाएं दी गई हैं। आइए पहले लुक से शुरू करते हैं। अनुक्रम कहा जाता है संभाव्यता में अभिसरण, यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जिस संख्या की ओर अनुक्रम जाता है वह शून्य से अधिक और एक के करीब होता है।
चलो अगले एक पर चलते हैं, लगभग निश्चित रूप से. अनुक्रम अभिसरण करने के लिए कहा जाता है लगभग निश्चित रूप सेएक यादृच्छिक चर के लिए n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और P एकता के निकट मान की ओर प्रवृत्त होता है।
अगला प्रकार है आरएमएस अभिसरण. एससी-अभिसरण का उपयोग करते समय, वेक्टर यादृच्छिक प्रक्रियाओं का अध्ययन उनके समन्वय यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए कम हो जाता है।
अंतिम प्रकार रहता है, आइए समस्याओं को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने के लिए इसका संक्षेप में विश्लेषण करें। वितरण अभिसरण का एक और नाम है - "कमजोर", हम नीचे बताएंगे कि क्यों। कमजोर अभिसरणसीमित वितरण फलन की निरंतरता के सभी बिंदुओं पर वितरण फलनों का अभिसरण है।
हम निश्चित रूप से वादा पूरा करेंगे: कमजोर अभिसरण उपरोक्त सभी से अलग है कि यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह संभव है क्योंकि स्थिति विशेष रूप से वितरण कार्यों का उपयोग करके बनाई गई है।
बड़ी संख्या का नियम
इस नियम को सिद्ध करने में उत्कृष्ट सहायक प्रायिकता सिद्धांत के प्रमेय होंगे, जैसे:
- चेबीशेव की असमानता।
- चेबीशेव का प्रमेय।
- सामान्यीकृत चेबीशेव का प्रमेय।
- मार्कोव का प्रमेय।
यदि हम इन सभी प्रमेयों पर विचार करें, तो यह प्रश्न कई दसियों शीटों तक खिंच सकता है। हमारा मुख्य कार्य संभाव्यता के सिद्धांत को व्यवहार में लागू करना है। हम आपको अभी ऐसा करने के लिए आमंत्रित करते हैं। लेकिन इससे पहले, आइए संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्धों पर विचार करें, वे समस्याओं को हल करने में मुख्य सहायक होंगे।
अभिगृहीत
जब हमने असंभव घटना के बारे में बात की तो हम पहले ही मिल चुके थे। आइए याद रखें: एक असंभव घटना की संभावना शून्य है। हमने एक बहुत ही ज्वलंत और यादगार उदाहरण दिया: तीस डिग्री सेल्सियस के हवा के तापमान पर बर्फ गिरी।
दूसरा इस प्रकार है: एक निश्चित घटना एक के बराबर संभावना के साथ होती है। अब आइए दिखाते हैं कि गणितीय भाषा का उपयोग करके इसे कैसे लिखा जाता है: P(B)=1.
तीसरा: एक यादृच्छिक घटना हो सकती है या नहीं भी हो सकती है, लेकिन संभावना हमेशा शून्य से एक तक होती है। मान जितना करीब होगा, मौका उतना ही अधिक होगा; यदि मान शून्य के करीब पहुंचता है, तो संभावना बहुत कम है। आइए इसे गणितीय भाषा में लिखें: 0<Р(С)<1.
अंतिम, चौथे स्वयंसिद्ध पर विचार करें, जो इस तरह लगता है: दो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है। हम गणितीय भाषा में लिखते हैं: पी (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी)।
संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सबसे सरल नियम हैं जिन्हें याद रखना आसान है। आइए पहले से प्राप्त ज्ञान के आधार पर कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें।
लॉटरी टिकट
आरंभ करने के लिए, सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें - लॉटरी। कल्पना कीजिए कि आपने सौभाग्य के लिए एक लॉटरी टिकट खरीदा है। क्या संभावना है कि आप कम से कम बीस रूबल जीतेंगे? कुल मिलाकर, एक हजार टिकट संचलन में भाग लेते हैं, जिनमें से एक का पुरस्कार पांच सौ रूबल, दस सौ रूबल, पचास बीस रूबल और एक सौ पांच है। संभाव्यता सिद्धांत में समस्याएं भाग्य की संभावना खोजने पर आधारित हैं। आइए उपरोक्त समस्या के समाधान को एक साथ देखें।
यदि हम अक्षर A से पांच सौ रूबल की जीत दर्शाते हैं, तो A प्राप्त करने की संभावना 0.001 होगी। हमें यह कैसे मिला? आपको बस "खुश" टिकटों की संख्या को उनकी कुल संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है (इस मामले में: 1/1000)।
बी एक सौ रूबल की जीत है, संभावना 0.01 के बराबर होगी। अब हमने पिछली क्रिया (10/1000) के समान सिद्धांत पर कार्य किया
सी - जीत बीस रूबल के बराबर है। हम संभावना पाते हैं, यह 0.05 के बराबर है।
शेष टिकटों में हमारी कोई रुचि नहीं है, क्योंकि उनकी पुरस्कार राशि शर्त में निर्दिष्ट राशि से कम है। आइए चौथे स्वयंसिद्ध को लागू करें: कम से कम बीस रूबल जीतने की संभावना P(A)+P(B)+P(C) है। अक्षर P इस घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाता है, हम उन्हें पिछले चरणों में पहले ही पा चुके हैं। यह केवल आवश्यक डेटा जोड़ने के लिए रहता है, उत्तर में हमें 0.061 मिलता है। यह संख्या सत्रीय कार्य के प्रश्न का उत्तर होगी।
कार्ड डेक
संभाव्यता के सिद्धांत में समस्याएं भी अधिक जटिल हैं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्य करें। आपके सामने छत्तीस कार्डों का एक डेक है। आपका काम ढेर को मिलाए बिना एक पंक्ति में दो कार्ड बनाना है, पहला और दूसरा कार्ड इक्के होना चाहिए, सूट कोई फर्क नहीं पड़ता।
शुरू करने के लिए, हम संभावना पाते हैं कि पहला कार्ड एक इक्का होगा, इसके लिए हम चार को छत्तीस से विभाजित करते हैं। उन्होंने इसे एक तरफ रख दिया। हम दूसरा कार्ड निकालते हैं, यह तीन पैंतीसवें हिस्से की संभावना वाला इक्का होगा। दूसरी घटना की प्रायिकता इस बात पर निर्भर करती है कि हमने पहले कौन सा कार्ड खींचा, हम इसमें रुचि रखते हैं कि यह इक्का था या नहीं। यह इस प्रकार है कि घटना बी घटना ए पर निर्भर करती है।
अगला कदम एक साथ कार्यान्वयन की संभावना का पता लगाना है, अर्थात, हम ए और बी को गुणा करते हैं। उनका उत्पाद निम्नानुसार पाया जाता है: हम एक घटना की संभावना को दूसरे की सशर्त संभावना से गुणा करते हैं, जिसे हम गणना करते हैं, यह मानते हुए कि पहले घटना हुई, यानी, हमने पहले कार्ड के साथ एक इक्का खींचा।
सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए ऐसे तत्व को घटनाओं के रूप में एक पदनाम दें। यह मानते हुए गणना की जाती है कि घटना ए हुई है। निम्नानुसार परिकलित: पी (बी / ए)।
आइए अपनी समस्या का समाधान जारी रखें: पी (ए * बी) \u003d पी (ए) * पी (बी / ए) या पी (ए * बी) \u003d पी (बी) * पी (ए / बी)। प्रायिकता है (4/36) * ((3/35)/(4/36)। सौवें तक पूर्णांकित करके परिकलित करें। हमारे पास है: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 प्रायिकता कि हम नौ सौवां एक पंक्ति में दो इक्के खींचेंगे। मान बहुत छोटा है, यह इस प्रकार है कि घटना के घटित होने की संभावना बहुत कम है।
भूले हुए नंबर
हम संभाव्यता सिद्धांत द्वारा अध्ययन किए जाने वाले कार्यों के लिए कुछ और विकल्पों का विश्लेषण करने का प्रस्ताव करते हैं। आप इस लेख में उनमें से कुछ को हल करने के उदाहरण पहले ही देख चुके हैं, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करें: लड़का अपने दोस्त के फोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया, लेकिन चूंकि कॉल बहुत महत्वपूर्ण थी, उसने बारी-बारी से सब कुछ डायल करना शुरू कर दिया। हमें इस संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि वह तीन बार से अधिक कॉल नहीं करेगा। समस्या का समाधान सबसे सरल है यदि संभाव्यता सिद्धांत के नियम, कानून और स्वयंसिद्ध ज्ञात हैं।
समाधान को देखने से पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि अंतिम अंक शून्य से नौ तक हो सकता है, यानी कुल दस मान होते हैं। सही होने की संभावना 1/10 है।
इसके बाद, हमें घटना की उत्पत्ति के विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है, मान लीजिए कि लड़के ने सही अनुमान लगाया और तुरंत सही स्कोर किया, ऐसी घटना की संभावना 1/10 है। दूसरा विकल्प: पहला कॉल मिस है, और दूसरा निशाने पर है। हम ऐसी घटना की संभावना की गणना करते हैं: 9/10 को 1/9 से गुणा करें, परिणामस्वरूप हमें 1/10 भी मिलता है। तीसरा विकल्प: पहली और दूसरी कॉल गलत पते पर निकलीं, तीसरे से ही लड़के को वह मिला जहां वह चाहता था। हम इस तरह की घटना की संभावना की गणना करते हैं: हम 9/10 को 8/9 से गुणा करते हैं और 1/8 से हमें परिणाम के रूप में 1/10 मिलता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमें अन्य विकल्पों में कोई दिलचस्पी नहीं है, इसलिए यह हमारे लिए परिणाम जोड़ने के लिए रहता है, परिणामस्वरूप हमारे पास 3/10 है। उत्तर: लड़के द्वारा तीन बार से अधिक कॉल न करने की प्रायिकता 0.3 है।
नंबर वाले कार्ड
आपके सामने नौ कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक से नौ तक की संख्या होती है, संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं। उन्हें एक बॉक्स में रखा गया और अच्छी तरह मिलाया गया। आपको संभावना की गणना करने की आवश्यकता है कि
- एक सम संख्या आएगी;
- दो अंक।
समाधान पर आगे बढ़ने से पहले, मान लें कि m सफल मामलों की संख्या है, और n विकल्पों की कुल संख्या है। संख्या के सम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। यह गणना करना मुश्किल नहीं होगा कि चार सम संख्याएं हैं, यह हमारा एम होगा, कुल नौ विकल्प हैं, यानी एम = 9। तब प्रायिकता 0.44 या 4/9 है।
हम दूसरे मामले पर विचार करते हैं: विकल्पों की संख्या नौ है, और कोई भी सफल परिणाम बिल्कुल भी नहीं हो सकता है, अर्थात एम शून्य के बराबर है। निकाले गए कार्ड में दो अंकों की संख्या होने की प्रायिकता भी शून्य है।
एक संभावना क्या है?
पहली बार इस शब्द का सामना करना पड़ा, मुझे समझ में नहीं आया कि यह क्या है। तो मैं समझने योग्य तरीके से समझाने की कोशिश करूंगा।
संभावना है कि वांछित घटना घटित होगी।
उदाहरण के लिए, आपने एक दोस्त से मिलने का फैसला किया, प्रवेश द्वार और यहां तक कि जिस मंजिल पर वह रहता है, उसे भी याद रखें। लेकिन मैं अपार्टमेंट का नंबर और लोकेशन भूल गया। और अब आप सीढ़ी पर खड़े हैं, और आपके सामने चुनने के लिए दरवाजे हैं।
क्या संभावना (प्रायिकता) है कि यदि आप पहली घंटी बजाते हैं, तो आपका मित्र इसे आपके लिए खोल देगा? पूरा अपार्टमेंट, और एक दोस्त उनमें से केवल एक के पीछे रहता है। समान अवसर के साथ हम कोई भी द्वार चुन सकते हैं।
लेकिन यह मौका क्या है?
दरवाजे, सही दरवाजा। पहला दरवाजा बजने से अनुमान लगाने की प्रायिकता : . यानी तीन में से एक बार आप निश्चित रूप से अनुमान लगा लेंगे।
हम एक बार कॉल करके जानना चाहते हैं कि हम कितनी बार दरवाजे का अनुमान लगाएंगे? आइए सभी विकल्पों को देखें:
- आपने को फोन किया 1एक दरवाजा
- आपने को फोन किया 2एक दरवाजा
- आपने को फोन किया 3एक दरवाजा
और अब उन सभी विकल्पों पर विचार करें जहां एक मित्र हो सकता है:
ए। पीछे 1द्वार
बी। पीछे 2द्वार
में। पीछे 3द्वार
आइए तालिका के रूप में सभी विकल्पों की तुलना करें। एक टिक विकल्पों को इंगित करता है जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान से मेल खाती है, एक क्रॉस - जब यह मेल नहीं खाता है।
आप सब कुछ कैसे देखते हैं संभवत: विकल्पदोस्त का स्थान और आपकी पसंद का कौन सा दरवाजा बजना है।
लेकिन सभी के अनुकूल परिणाम . यानी आप एक बार दरवाजा बजाकर समय का अंदाजा लगा लेंगे, यानी। .
यह संभावना है - संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल परिणाम (जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान के साथ मेल खाती है) का अनुपात।
परिभाषा सूत्र है। प्रायिकता को आमतौर पर p से निरूपित किया जाता है, इसलिए:
इस तरह के एक सूत्र को लिखना बहुत सुविधाजनक नहीं है, तो चलिए - अनुकूल परिणामों की संख्या, और के लिए - परिणामों की कुल संख्या लेते हैं।
संभाव्यता को प्रतिशत के रूप में लिखा जा सकता है, इसके लिए आपको परिणामी परिणाम को इससे गुणा करना होगा:
शायद, "परिणामों" शब्द ने आपका ध्यान खींचा। चूंकि गणितज्ञ विभिन्न क्रियाओं को कहते हैं (हमारे लिए, ऐसी क्रिया एक दरवाजे की घंटी है) प्रयोग, ऐसे प्रयोगों के परिणाम को परिणाम कहने की प्रथा है।
खैर, परिणाम अनुकूल और प्रतिकूल हैं।
आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मान लीजिए कि हमने एक दरवाजे पर घंटी बजाई, लेकिन एक अजनबी ने इसे हमारे लिए खोल दिया। हमने अनुमान नहीं लगाया। इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि हम बचे हुए दरवाज़ों में से किसी एक पर घंटी बजाते हैं, तो हमारा मित्र उसे हमारे लिए खोल देगा?
अगर आपने ऐसा सोचा है, तो यह एक गलती है। आइए इसका पता लगाते हैं।
हमारे पास दो दरवाजे बचे हैं। तो हमारे पास संभावित कदम हैं:
1) करने के लिए कॉल करें 1एक दरवाजा
2) कॉल करें 2एक दरवाजा
एक दोस्त, इन सबके साथ, निश्चित रूप से उनमें से एक के पीछे है (आखिरकार, वह हमारे द्वारा बुलाए गए के पीछे नहीं था):
ए) एक दोस्त 1द्वार
बी) के लिए एक दोस्त 2द्वार
आइए फिर से तालिका बनाएं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी विकल्प हैं, जिनमें से - अनुकूल। यानी संभावना बराबर है।
क्यों नहीं?
हमने जिस स्थिति पर विचार किया है वह है आश्रित घटनाओं का उदाहरणपहली घटना पहली डोरबेल है, दूसरी घटना दूसरी डोरबेल है।
और उन्हें आश्रित कहा जाता है क्योंकि वे निम्नलिखित क्रियाओं को प्रभावित करते हैं। आखिरकार, अगर एक दोस्त ने पहली अंगूठी के बाद दरवाजा खोला, तो क्या संभावना होगी कि वह अन्य दो में से एक के पीछे था? सही ढंग से, .
लेकिन अगर आश्रित घटनाएँ हैं, तो वहाँ होना चाहिए स्वतंत्र? सच है, वहाँ हैं।
एक पाठ्यपुस्तक का उदाहरण एक सिक्का उछालना है।
- हम एक सिक्का उछालते हैं। क्या संभावना है कि, उदाहरण के लिए, शीर्ष आएंगे? यह सही है - क्योंकि हर चीज के लिए विकल्प (या तो सिर या पूंछ, हम एक सिक्के के किनारे पर खड़े होने की संभावना की उपेक्षा करेंगे), लेकिन केवल हमें सूट करता है।
- लेकिन पूंछ बाहर गिर गई। ठीक है, चलो इसे फिर से करते हैं। अब चित आने की प्रायिकता क्या है? कुछ नहीं बदला, सब कुछ वैसा ही है। कितने विकल्प? दो। हम कितने संतुष्ट हैं? एक।
और पूंछ को कम से कम एक हजार बार एक पंक्ति में गिरने दें। एक बार में सिर गिरने की संभावना समान होगी। हमेशा विकल्प होते हैं, लेकिन अनुकूल होते हैं।
आश्रित घटनाओं को स्वतंत्र घटनाओं से अलग करना आसान है:
- यदि प्रयोग एक बार किया जाता है (एक बार सिक्का उछाला जाता है, एक बार घंटी बजती है, आदि), तो घटनाएँ हमेशा स्वतंत्र होती हैं।
- यदि प्रयोग कई बार किया जाता है (एक सिक्का एक बार उछाला जाता है, कई बार घंटी बजाई जाती है), तो पहली घटना हमेशा स्वतंत्र होती है। और फिर, यदि अनुकूल की संख्या या सभी परिणामों की संख्या में परिवर्तन होता है, तो घटनाएँ निर्भर होती हैं, और यदि नहीं, तो वे स्वतंत्र होती हैं।
आइए संभाव्यता निर्धारित करने के लिए थोड़ा अभ्यास करें।
उदाहरण 1
सिक्का दो बार उछाला जाता है। एक पंक्ति में दो बार चित आने की प्रायिकता क्या है?
फेसला:
सभी संभावित विकल्पों पर विचार करें:
- ईगल ईगल
- चील की पूंछ
- टेल-ईगल
- पूंछ-पूंछ
जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी विकल्प। इनमें से हम केवल संतुष्ट हैं। यही संभावना है:
यदि शर्त केवल प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कहती है, तो उत्तर दशमलव भिन्न के रूप में दिया जाना चाहिए। यदि यह संकेत दिया गया था कि उत्तर प्रतिशत के रूप में दिया जाना चाहिए, तो हम गुणा करेंगे।
जवाब:
उदाहरण 2
चॉकलेट के एक डिब्बे में सभी कैंडी को एक ही रैपर में पैक किया जाता है। हालांकि, मिठाई से - नट्स, कॉन्यैक, चेरी, कारमेल और नूगट के साथ।
एक कैंडी लेने और नट्स के साथ एक कैंडी मिलने की क्या प्रायिकता है? अपना उत्तर प्रतिशत में दें।
फेसला:
कितने संभावित परिणाम हैं? .
यानी एक कैंडी लेते हुए, यह बॉक्स में से एक होगी।
और कितने अनुकूल परिणाम?
क्योंकि बॉक्स में केवल नट्स के साथ चॉकलेट हैं।
जवाब:
उदाहरण 3
गेंदों के डिब्बे में। जिनमें से सफेद और काले हैं।
- एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?
- हमने बॉक्स में और काली गेंदें जोड़ीं। अब एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है?
फेसला:
a) बॉक्स में केवल गेंदें हैं। जिनमें से सफेद हैं।
संभावना है:
b) अब बॉक्स में गेंदें हैं। और उतने ही गोरे बचे हैं।
जवाब:
पूर्ण संभावना
| सभी संभावित घटनाओं की संभावना () है। |
उदाहरण के लिए, लाल और हरी गेंदों के डिब्बे में। लाल गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है? हरी गेंद? लाल या हरी गेंद?
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
हरी गेंद:
लाल या हरी गेंद:
जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी संभावित घटनाओं का योग () के बराबर है। इस बिंदु को समझने से आपको कई समस्याओं का समाधान करने में मदद मिलेगी।
उदाहरण 4
बॉक्स में लगा-टिप पेन हैं: हरा, लाल, नीला, पीला, काला।
लाल मार्कर नहीं होने की प्रायिकता क्या है?
फेसला:
चलो संख्या गिनें अनुकूल परिणाम।
लाल मार्कर नहीं, जिसका अर्थ है हरा, नीला, पीला या काला।
सभी घटनाओं की संभावना। और उन घटनाओं की प्रायिकता जिन्हें हम प्रतिकूल मानते हैं (जब हम एक लाल लगा-टिप पेन निकालते हैं) है ।
इस प्रकार, लाल फेल्ट-टिप पेन नहीं खींचने की प्रायिकता है -।
जवाब:
| किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटा देती है। |
स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं को गुणा करने का नियम
आप पहले से ही जानते हैं कि स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं।
और यदि आपको दो (या अधिक) स्वतंत्र घटनाओं के एक पंक्ति में घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है?
मान लीजिए कि हम यह जानना चाहते हैं कि क्या प्रायिकता है कि एक सिक्के को एक बार उछालने पर हमें एक चील दो बार दिखाई देगी?
हम पहले ही विचार कर चुके हैं - .
क्या होगा अगर हम एक सिक्का उछालें? एक चील को लगातार दो बार देखने की प्रायिकता क्या है?
कुल संभावित विकल्प:
- ईगल-ईगल-ईगल
- ईगल-सिर-पूंछ
- सिर-पूंछ-ईगल
- सिर-पूंछ-पूंछ
- पूंछ-ईगल-ईगल
- पूंछ-सिर-पूंछ
- पूंछ-पूंछ-सिर
- पूँछ-पूंछ-पूंछ
मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन मैंने इस सूची को एक बार गलत बना दिया था। बहुत खूब! और एकमात्र विकल्प (पहला) हमें सूट करता है।
5 रोल के लिए, आप संभावित परिणामों की एक सूची स्वयं बना सकते हैं। लेकिन गणितज्ञ आपके जितने मेहनती नहीं हैं।
इसलिए, उन्होंने पहले देखा, और फिर साबित किया कि स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना हर बार एक घटना की संभावना से घट जाती है।
दूसरे शब्दों में,
उसी के उदाहरण पर विचार करें, बदकिस्मत, सिक्का।
एक परीक्षण में प्रमुखों के आने की संभावना? . अब हम एक सिक्का उछाल रहे हैं।
एक पंक्ति में पट आने की प्रायिकता क्या है?
यह नियम केवल तभी काम करता है जब हमें एक ही घटना के लगातार कई बार घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कहा जाए।
यदि हम टेल्स-ईगल-टेल्स अनुक्रम को लगातार फ़्लिप पर खोजना चाहते हैं, तो हम ऐसा ही करेंगे।
पट - , चित - प्राप्त होने की प्रायिकता ।
अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना पूंछ-ईगल-पूंछ-पूंछ:
आप इसे टेबल बनाकर खुद चेक कर सकते हैं।
असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का नियम।
इसलिए रोका! नई परिभाषा।
आइए इसका पता लगाते हैं। आइए अपना घिसा-पिटा सिक्का लें और उसे एक बार पलटें।
संभावित विकल्प:
- ईगल-ईगल-ईगल
- ईगल-सिर-पूंछ
- सिर-पूंछ-ईगल
- सिर-पूंछ-पूंछ
- पूंछ-ईगल-ईगल
- पूंछ-सिर-पूंछ
- पूंछ-पूंछ-सिर
- पूँछ-पूंछ-पूंछ
तो यहाँ असंगत घटनाएँ हैं, यह घटनाओं का एक निश्चित, दिया गया क्रम है। असंगत घटनाएँ हैं।
यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि दो (या अधिक) असंगत घटनाओं की संभावना क्या है, तो हम इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं।
आपको यह समझने की जरूरत है कि एक बाज या पूंछ का नुकसान दो स्वतंत्र घटनाएं हैं।
यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि किसी अनुक्रम की प्रायिकता क्या है) (या कोई अन्य) बाहर गिरती है, तो हम प्रायिकता को गुणा करने के नियम का उपयोग करते हैं।
पहले टॉस पर हेड आने की और दूसरे और तीसरे पर टेल आने की प्रायिकता क्या है?
लेकिन अगर हम जानना चाहते हैं कि कई अनुक्रमों में से एक प्राप्त करने की संभावना क्या है, उदाहरण के लिए, जब शीर्ष ठीक एक बार आते हैं, यानी। विकल्प और, फिर हमें इन अनुक्रमों की संभावनाओं को जोड़ना होगा।
कुल विकल्प हमें सूट करते हैं।
हम प्रत्येक अनुक्रम के घटित होने की प्रायिकताओं को जोड़कर वही प्राप्त कर सकते हैं:
इस प्रकार, हम संभावनाओं को जोड़ते हैं जब हम कुछ, असंगत, घटनाओं के अनुक्रम की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं।
कब गुणा करना है और कब जोड़ना है, यह भ्रमित न करने में आपकी मदद करने के लिए एक बढ़िया नियम है:
आइए उस उदाहरण पर वापस जाएं जहां हमने एक सिक्का उछाला और एक बार शीर्ष देखने की संभावना जानना चाहते हैं।
क्या होने वाला है?
गिरा देना चाहिए:
(सिर और पूंछ और पूंछ) या (पूंछ और सिर और पूंछ) या (पूंछ और पूंछ और सिर)।
और इसलिए यह पता चला है:
आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 5
बॉक्स में पेंसिल हैं। लाल, हरा, नारंगी और पीला और काला। लाल या हरी पेंसिल निकालने की प्रायिकता क्या है?
फेसला:
क्या होने वाला है? हमें बाहर निकालना है (लाल या हरा)।
अब यह स्पष्ट है, हम इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं:
जवाब:
उदाहरण 6
एक पासे को दो बार फेंका जाता है, कुल 8 आने की क्या प्रायिकता है?
फेसला।
हम अंक कैसे प्राप्त कर सकते हैं?
(और) या (और) या (और) या (और) या (और)।
एक (किसी भी) फलक के गिरने की प्रायिकता है।
हम संभावना की गणना करते हैं:
जवाब:
कसरत करना।
मुझे लगता है कि अब आपके लिए यह स्पष्ट हो गया है कि आपको कब संभावनाओं को गिनना है, कब जोड़ना है और कब गुणा करना है। है की नहीं? आइए कुछ व्यायाम करें।
कार्य:
आइए ताश के पत्तों का एक डेक लें जिसमें कार्ड हुकुम, दिल, 13 क्लब और 13 डफ हैं। प्रत्येक सूट के इक्का से।
- क्लबों को एक पंक्ति में खींचने की संभावना क्या है (हम पहले कार्ड को वापस डेक में डालते हैं और फेरबदल करते हैं)?
- एक काला कार्ड (हुकुम या क्लब) निकालने की प्रायिकता क्या है?
- चित्र (जैक, रानी, राजा या इक्का) खींचने की संभावना क्या है?
- एक पंक्ति में दो चित्र खींचने की प्रायिकता क्या है (हम पहले कार्ड को डेक से हटाते हैं)?
- प्रायिकता क्या है, दो कार्ड लेने से, एक संयोजन को इकट्ठा करने के लिए - (जैक, क्वीन या किंग) और ऐस जिस क्रम में कार्ड निकाले जाएंगे, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।
उत्तर:
- प्रत्येक मूल्य के ताश के पत्तों के डेक में, इसका अर्थ है:
- घटनाएं निर्भर हैं, क्योंकि पहले कार्ड के निकाले जाने के बाद, डेक में कार्डों की संख्या कम हो गई है (साथ ही "चित्रों" की संख्या)। शुरू में डेक में कुल जैक, रानियां, राजा और इक्के, जिसका अर्थ है पहले कार्ड के साथ "चित्र" खींचने की संभावना:
चूंकि हम पहले कार्ड को डेक से हटा रहे हैं, इसका मतलब है कि डेक में पहले से ही एक कार्ड बचा है, जिसमें से चित्र हैं। दूसरे कार्ड से चित्र बनाने की प्रायिकता:
चूंकि हम उस स्थिति में रुचि रखते हैं जब हम डेक से प्राप्त करते हैं: "चित्र" और "चित्र", तो हमें संभावनाओं को गुणा करने की आवश्यकता है:
जवाब:
- पहला पत्ता निकालने के बाद, डेक में ताश के पत्तों की संख्या कम हो जाएगी। इस प्रकार, हमारे पास दो विकल्प हैं:
1) पहले कार्ड से हम ऐस निकालते हैं, दूसरा - जैक, क्वीन या किंग
2) पहले कार्ड से हम एक जैक, रानी या राजा निकालते हैं, दूसरा - एक इक्का। (इक्का और (जैक या रानी या राजा)) या ((जैक या रानी या राजा) और इक्का)। डेक में कार्डों की संख्या कम करने के बारे में मत भूलना!
यदि आप सभी समस्याओं को स्वयं हल करने में सक्षम थे, तो आप एक महान साथी हैं! अब परीक्षा में संभाव्यता के सिद्धांत पर कार्य आप पागल की तरह क्लिक करेंगे!
सिद्धांत संभावना। मध्य स्तर
एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हम एक पासा फेंकते हैं। यह किस तरह की हड्डी है, क्या आप जानते हैं? यह एक घन का नाम है जिसके फलकों पर अंक हैं। कितने चेहरे, कितनी संख्याएँ: से कितने तक? पहले।
तो हम एक पासा रोल करते हैं और चाहते हैं कि यह एक या के साथ आए। और हम बाहर गिर जाते हैं।
संभाव्यता सिद्धांत में वे कहते हैं कि क्या हुआ अनुकूल घटना(अच्छे के साथ भ्रमित होने की नहीं)।
अगर यह गिर गया, तो घटना भी शुभ होगी। कुल मिलाकर, केवल दो अनुकूल घटनाएं हो सकती हैं।
कितने बुरे हैं? सभी संभावित घटनाओं के बाद से, उनमें से प्रतिकूल घटनाएं हैं (यह है अगर यह बाहर हो जाता है या)।
परिभाषा:
प्रायिकता सभी संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल घटनाओं की संख्या का अनुपात है।. अर्थात्, प्रायिकता दर्शाती है कि सभी संभावित घटनाओं में से कौन सा अनुपात अनुकूल है।
वे एक लैटिन अक्षर के साथ संभाव्यता को दर्शाते हैं (जाहिरा तौर पर, अंग्रेजी शब्द प्रायिकता - प्रायिकता से)।
यह संभावना को प्रतिशत के रूप में मापने के लिए प्रथागत है (विषय देखें और)। ऐसा करने के लिए, संभाव्यता मान को गुणा किया जाना चाहिए। पासा उदाहरण में, प्रायिकता।
और प्रतिशत में: .
उदाहरण (अपने लिए तय करें):
- क्या प्रायिकता है कि एक सिक्के का उछाल सिर पर गिरेगा? और पट आने की प्रायिकता क्या है?
- एक पासे को फेंकने पर एक सम संख्या आने की क्या प्रायिकता है? और किसके साथ - अजीब?
- सादे, नीले और लाल पेंसिल के एक दराज में। हम बेतरतीब ढंग से एक पेंसिल खींचते हैं। एक साधारण को निकालने की प्रायिकता क्या है?
समाधान:
- कितने विकल्प हैं? सिर और पूंछ - केवल दो। और उनमें से कितने अनुकूल हैं? केवल एक ही चील है। तो संभावना
पूंछ के साथ ही: .
- कुल विकल्प: (घन की कितनी भुजाएँ होती हैं, इतने भिन्न विकल्प)। अनुकूल वाले: (ये सभी सम संख्याएँ हैं :)।
संभावना। अजीब के साथ, बिल्कुल, वही बात। - कुल: । अनुकूल : . संभावना: ।
पूर्ण संभावना
दराज की सभी पेंसिलें हरी हैं। एक लाल पेंसिल खींचने की प्रायिकता क्या है? कोई संभावना नहीं है: संभावना (आखिरकार, अनुकूल घटनाएं -)।
ऐसी घटना को असंभव कहा जाता है।
हरे रंग की पेंसिल निकालने की प्रायिकता क्या है? ठीक उतनी ही अनुकूल घटनाएँ होती हैं जितनी कुल घटनाएँ होती हैं (सभी घटनाएँ अनुकूल होती हैं)। तो संभावना है या।
ऐसी घटना को निश्चित कहा जाता है।
यदि बॉक्स में हरे और लाल पेंसिल हैं, तो हरे या लाल पेंसिल के आने की प्रायिकता क्या है? एक बार फिर। निम्नलिखित बातों पर ध्यान दें: हरे रंग के आने की प्रायिकता बराबर है, और लाल रंग का है।
संक्षेप में, ये संभावनाएं बिल्कुल बराबर हैं। अर्थात, सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं का योग बराबर है या।
उदाहरण:
पेंसिल के एक बॉक्स में, उनमें से नीले, लाल, हरे, साधारण, पीले और शेष नारंगी हैं। हरे रंग के नहीं आने की प्रायिकता क्या है?
फेसला:
याद रखें कि सभी संभावनाएं जुड़ती हैं। और हरे रंग के आने की प्रायिकता बराबर है। इसका मतलब है कि हरे रंग के नहीं आने की संभावना बराबर है।
इस ट्रिक को याद रखें:किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटा देती है।
स्वतंत्र घटनाएँ और गुणन नियम
आप एक सिक्के को दो बार पलटते हैं और आप चाहते हैं कि यह दोनों बार शीर्ष पर आए। इसकी क्या संभावना है?
आइए सभी संभावित विकल्पों को देखें और निर्धारित करें कि कितने हैं:
ईगल-ईगल, पूंछ-ईगल, ईगल-पूंछ, पूंछ-पूंछ। और क्या?
संपूर्ण संस्करण। इनमें से केवल एक ही हमें सूट करता है: ईगल-ईगल। तो संभावना बराबर है।
अच्छा। अब एक सिक्का पलटें। अपने आप को गिनें। हो गई? (जवाब)।
आपने देखा होगा कि प्रत्येक अगले थ्रो को जोड़ने पर प्रायिकता एक कारक से घट जाती है। सामान्य नियम कहलाता है गुणन नियम:
स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं बदल जाती हैं।
स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं? सब कुछ तार्किक है: ये वे हैं जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्के को कई बार उछालते हैं, तो हर बार एक नया टॉस होता है, जिसका परिणाम पिछले सभी उछालों पर निर्भर नहीं करता है। एक ही सफलता के साथ, हम एक ही समय में दो अलग-अलग सिक्के फेंक सकते हैं।
और ज्यादा उदाहरण:
- एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह दोनों बार आएगा?
- एक सिक्का बार बार उछाला जाता है। पहले चित और फिर दो बार पट आने की प्रायिकता क्या है?
- खिलाड़ी दो पासा रोल करता है। क्या प्रायिकता है कि उन पर बनी संख्याओं का योग बराबर होगा?
उत्तर:
- घटनाएँ स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि गुणन नियम काम करता है: .
- एक चील की संभावना बराबर है। पूंछ की संभावना भी। हम गुणा करते हैं:
- 12 केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब दो-की फॉल आउट: .
असंगत घटनाएँ और जोड़ नियम
असंगत घटनाएँ वे घटनाएँ हैं जो एक दूसरे के पूर्ण संभाव्यता के पूरक हैं। जैसा कि नाम का तात्पर्य है, वे एक ही समय में नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो चित या पट बाहर गिर सकते हैं।
उदाहरण।
पेंसिल के एक बॉक्स में, उनमें से नीले, लाल, हरे, साधारण, पीले और शेष नारंगी हैं। हरे या लाल रंग के आने की प्रायिकता क्या है?
फेसला ।
हरे रंग की पेंसिल निकालने की प्रायिकता बराबर होती है। लाल - ।
सभी की शुभ घटनाएँ: हरा + लाल। तो हरे या लाल रंग के आने की प्रायिकता बराबर है।
समान प्रायिकता को निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
यह अतिरिक्त नियम है:असंगत घटनाओं की संभावनाएं बढ़ जाती हैं।
मिश्रित कार्य
उदाहरण।
सिक्का दो बार उछाला जाता है। क्या प्रायिकता है कि रोलों का परिणाम भिन्न होगा?
फेसला ।
इसका मतलब यह है कि यदि सिर पहले आता है, तो पूंछ दूसरी होनी चाहिए, और इसके विपरीत। यह पता चला है कि यहां दो जोड़ी स्वतंत्र घटनाएं हैं, और ये जोड़े एक दूसरे के साथ असंगत हैं। कहां से गुणा करना है और कहां जोड़ना है, इस बारे में भ्रमित न हों।
ऐसी स्थितियों के लिए एक सरल नियम है। घटनाओं को यूनियनों "AND" या "OR" से जोड़कर क्या होना चाहिए, इसका वर्णन करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, इस मामले में:
रोल करना चाहिए (सिर और पूंछ) या (पूंछ और सिर)।
जहां एक संघ "और" है, वहां गुणा होगा, और जहां "या" जोड़ है:
इसे स्वयं आज़माएं:
- क्या प्रायिकता है कि दो सिक्के एक ही बार दोनों बार उछाले जाते हैं?
- एक पासे को दो बार फेंका जाता है। क्या संभावना है कि योग अंक गिर जाएगा?
समाधान:
- (सिर ऊपर और सिर ऊपर) या (पूंछ ऊपर और पूंछ ऊपर): .
- विकल्प क्या हैं? और। फिर:
लुढ़का (और) या (और) या (और): .
एक और उदाहरण:
हम एक बार एक सिक्का उछालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि चित कम से कम एक बार ऊपर आ जाए?
फेसला:
ओह, मैं विकल्पों के माध्यम से कैसे छाँटना नहीं चाहता ... हेड-टेल-टेल्स, ईगल-हेड्स-टेल्स, ... लेकिन आपको ऐसा नहीं करना है! आइए पूर्ण संभावना के बारे में बात करते हैं। याद आया? इसकी क्या प्रायिकता है कि चील कभी नहीं गिरेगा? यह आसान है: पूंछ हर समय उड़ती है, इसका मतलब है।
सिद्धांत संभावना। संक्षेप में मुख्य के बारे में
प्रायिकता सभी संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल घटनाओं की संख्या का अनुपात है।
स्वतंत्र कार्यक्रम
दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक की घटना दूसरे के घटित होने की संभावना को नहीं बदलती है।
पूर्ण संभावना
सभी संभावित घटनाओं की संभावना () है।
किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटा देती है।
स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं को गुणा करने का नियम
स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित क्रम की प्रायिकता प्रत्येक घटना की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है
असंगत घटनाएं
असंगत घटनाएँ वे घटनाएँ हैं जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप एक साथ नहीं हो सकती हैं। कई असंगत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।
असंगत घटनाओं की संभावनाएं जुड़ती हैं।
यह वर्णन करने के बाद कि क्या होना चाहिए, "AND" या "OR" का उपयोग करते हुए, "AND" के बजाय हम गुणन का चिन्ह लगाते हैं, और "OR" के बजाय - जोड़।
शेष 2/3 लेख केवल आपके छात्रों के लिए उपलब्ध हैं!
YouClever के छात्र बनें,
"प्रति माह एक कप कॉफी" की कीमत पर गणित में OGE या USE की तैयारी करें।
और "YouClever" पाठ्यपुस्तक, "100gia" प्रशिक्षण कार्यक्रम (समाधान पुस्तक), असीमित परीक्षण USE और OGE, समाधानों के विश्लेषण और अन्य YouClever और 100gia सेवाओं के साथ 6000 कार्यों तक असीमित पहुंच प्राप्त करें।
जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो यह कहा जा सकता है कि वह ऊपर की ओर झुकेगा, या संभावना इसमें से 1/2 है। बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि अगर एक सिक्का 10 बार उछाला जाता है, तो यह जरूरी है कि वह 5 बार सिर पर उतरे। यदि सिक्का "निष्पक्ष" है और इसे कई बार उछाला जाता है, तो चित आधे समय के बहुत करीब आ जाएगा। इस प्रकार, दो प्रकार की संभावनाएं हैं: प्रयोगात्मक और सैद्धांतिक .
प्रायोगिक और सैद्धांतिक संभावना
यदि हम एक सिक्के को बड़ी संख्या में उछालते हैं - मान लीजिए 1,000 - और गिनें कि कितनी बार चित आता है, तो हम चित के ऊपर आने की प्रायिकता निर्धारित कर सकते हैं। यदि चित 503 गुना ऊपर आते हैं, तो हम इसके ऊपर आने की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं:
503/1000, या 0.503।
ये है प्रयोगात्मक संभाव्यता की परिभाषा संभाव्यता की यह परिभाषा डेटा के अवलोकन और अध्ययन से उत्पन्न होती है और यह काफी सामान्य और बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यहां कुछ संभावनाएं दी गई हैं जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया गया था:
1. एक महिला को स्तन कैंसर होने की संभावना 1/11 है।
2. यदि आप किसी ऐसे व्यक्ति को चूमते हैं जिसे सर्दी-जुकाम है, तो आपको भी जुकाम होने की संभावना 0.07 है।
3. एक व्यक्ति जिसे अभी-अभी जेल से रिहा किया गया है, उसके वापस जेल जाने की संभावना 80% है।
यदि हम एक सिक्के के उछाल पर विचार करते हैं और इस बात को ध्यान में रखते हुए कि यह समान रूप से चित या पट आने की संभावना है, तो हम चित आने की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं: 1/2. यह प्रायिकता की सैद्धांतिक परिभाषा है। यहां कुछ अन्य संभावनाएं दी गई हैं जिन्हें गणित का उपयोग करके सैद्धांतिक रूप से निर्धारित किया गया है:
1. यदि एक कमरे में 30 लोग हैं, तो उनमें से दो का जन्मदिन (वर्ष को छोड़कर) एक ही होने की प्रायिकता 0.706 है।
2. एक यात्रा के दौरान, आप किसी से मिलते हैं और बातचीत के दौरान आपको पता चलता है कि आप एक पारस्परिक परिचित हैं। विशिष्ट प्रतिक्रिया: "ऐसा नहीं हो सकता!" वास्तव में, यह वाक्यांश फिट नहीं है, क्योंकि इस तरह की घटना की संभावना काफी अधिक है - सिर्फ 22% से अधिक।
इसलिए, प्रयोगात्मक संभावना अवलोकन और डेटा संग्रह द्वारा निर्धारित की जाती है। सैद्धांतिक संभावनाएं गणितीय तर्क द्वारा निर्धारित की जाती हैं। प्रयोगात्मक और सैद्धांतिक संभावनाओं के उदाहरण, जैसे कि ऊपर चर्चा की गई, और विशेष रूप से जिनकी हम उम्मीद नहीं करते हैं, हमें संभाव्यता का अध्ययन करने के महत्व की ओर ले जाते हैं। आप पूछ सकते हैं, "सच्ची संभावना क्या है?" दरअसल, कोई नहीं है। कुछ सीमाओं के भीतर संभावनाओं को निर्धारित करना प्रयोगात्मक रूप से संभव है। वे उन संभावनाओं से मेल खा सकते हैं या नहीं जो हम सैद्धांतिक रूप से प्राप्त करते हैं। ऐसी स्थितियां हैं जिनमें एक प्रकार की संभावना को दूसरे की तुलना में परिभाषित करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक संभाव्यता का उपयोग करके सर्दी पकड़ने की संभावना का पता लगाना पर्याप्त होगा।
प्रयोगात्मक संभावनाओं की गणना
पहले प्रायिकता की प्रायोगिक परिभाषा पर विचार करें। ऐसी संभावनाओं की गणना के लिए हम जिस मूल सिद्धांत का उपयोग करते हैं वह इस प्रकार है।
सिद्धांत पी (प्रायोगिक)
यदि किसी प्रयोग में जिसमें n प्रेक्षण किए जाते हैं, स्थिति या घटना E, n प्रेक्षणों में m बार आती है, तो घटना की प्रायोगिक प्रायिकता P (E) = m/n कहलाती है।
उदाहरण 1 समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण। बाएं हाथ के, दाएं हाथ के लोगों और उन लोगों की संख्या निर्धारित करने के लिए एक प्रायोगिक अध्ययन किया गया, जिनमें दोनों हाथ समान रूप से विकसित हैं। परिणाम ग्राफ में दिखाए गए हैं।
क) व्यक्ति के दाहिने हाथ के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
b) व्यक्ति के बाएं हाथ के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
ग) इस संभावना का निर्धारण करें कि व्यक्ति दोनों हाथों में समान रूप से धाराप्रवाह है।
d) अधिकांश PBA टूर्नामेंट में 120 खिलाड़ी होते हैं। इस प्रयोग के आधार पर बाएं हाथ के कितने खिलाड़ी हो सकते हैं?
फेसला
a) दाएं हाथ के लोगों की संख्या 82 है, बाएं हाथ के लोगों की संख्या 17 है, और दोनों हाथों में समान रूप से धाराप्रवाह होने वालों की संख्या 1 है। अवलोकनों की कुल संख्या 100 है। इस प्रकार, संभावना है कि एक व्यक्ति दाहिने हाथ का है P
पी = 82/100, या 0.82, या 82%।
b) एक व्यक्ति के बाएं हाथ के होने की प्रायिकता P है, जहां
पी = 17/100 या 0.17 या 17%।
ग) किसी व्यक्ति के दोनों हाथों से समान रूप से धाराप्रवाह होने की प्रायिकता P है, जहां
पी = 1/100 या 0.01 या 1%।
d) 120 गेंदबाज़ों और (b) से हम 17% बाएं हाथ के होने की उम्मीद कर सकते हैं। यहां से
120 का 17% = 0.17.120 = 20.4,
यानी हम करीब 20 खिलाड़ियों के बाएं हाथ के होने की उम्मीद कर सकते हैं.
उदाहरण 2 गुणवत्ता नियंत्रण
. एक निर्माता के लिए अपने उत्पादों की गुणवत्ता को उच्च स्तर पर रखना बहुत महत्वपूर्ण है। वास्तव में, कंपनियां इस प्रक्रिया को सुनिश्चित करने के लिए गुणवत्ता नियंत्रण निरीक्षकों को नियुक्त करती हैं। लक्ष्य दोषपूर्ण उत्पादों की न्यूनतम संभव संख्या जारी करना है। लेकिन चूंकि कंपनी हर दिन हजारों वस्तुओं का उत्पादन करती है, इसलिए यह निर्धारित करने के लिए कि यह दोषपूर्ण है या नहीं, प्रत्येक वस्तु का निरीक्षण करने का जोखिम नहीं उठा सकती है। यह पता लगाने के लिए कि कितने प्रतिशत उत्पाद खराब हैं, कंपनी बहुत कम उत्पादों का परीक्षण करती है।
यूएसडीए के लिए जरूरी है कि उत्पादकों द्वारा बेचे जाने वाले 80% बीज अंकुरित हों। कृषि कंपनी द्वारा उत्पादित बीजों की गुणवत्ता निर्धारित करने के लिए, जो उत्पादित किए गए हैं उनमें से 500 बीज लगाए जाते हैं। उसके बाद, यह गणना की गई कि 417 बीज अंकुरित हुए।
क) बीज के अंकुरित होने की क्या प्रायिकता है?
ख) क्या बीज सरकारी मानकों को पूरा करते हैं?
फेसला a) हम जानते हैं कि लगाए गए 500 बीजों में से 417 अंकुरित हुए। बीज के अंकुरण की प्रायिकता P, and
पी = 417/500 = 0.834, या 83.4%।
ख) मांग पर अंकुरित बीजों का प्रतिशत 80% से अधिक होने के कारण, बीज राज्य के मानकों को पूरा करते हैं।
उदाहरण 3 टीवी रेटिंग। आंकड़ों के अनुसार, संयुक्त राज्य अमेरिका में 105,500,000 टीवी घर हैं। हर हफ्ते, कार्यक्रमों को देखने के बारे में जानकारी एकत्र और संसाधित की जाती है। एक सप्ताह के भीतर, 7,815,000 परिवारों को सीबीएस की हिट कॉमेडी सीरीज़ एवरीबडी लव्स रेमंड से जोड़ा गया और 8,302,000 घरों को एनबीसी की हिट लॉ एंड ऑर्डर (स्रोत: नीलसन मीडिया रिसर्च) से जोड़ा गया। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक सप्ताह के दौरान एक घर के टीवी को "एवरीबडी लव्स रेमंड" से ट्यून किया जाए? "लॉ एंड ऑर्डर" के लिए?
समाधानएक घर में टीवी के "एवरीबडी लव्स रेमंड" पर सेट होने की प्रायिकता P है, और
पी = 7.815.000/105.500.000 0.074 ≈ 7.4%।
घरेलू टीवी के "लॉ एंड ऑर्डर" पर सेट होने की संभावना P है, और
पी = 8.302.000/105.500000 0.079 7.9%।
इन प्रतिशतों को रेटिंग कहा जाता है।
सैद्धांतिक संभावना
मान लीजिए कि हम एक प्रयोग कर रहे हैं, जैसे सिक्का या डार्ट उछालना, डेक से कार्ड खींचना, या असेंबली लाइन पर गुणवत्ता के लिए उत्पादों का परीक्षण करना। ऐसे प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम को कहा जाता है एक्सोदेस . सभी संभावित परिणामों के समुच्चय को कहा जाता है परिणाम स्थान . घटना यह परिणामों का एक समुच्चय है, जो कि परिणामों के स्थान का एक उपसमुच्चय है।
उदाहरण 4 डार्ट्स फेंकना। मान लीजिए कि "थ्रोइंग डार्ट्स" प्रयोग में, डार्ट लक्ष्य को हिट करता है। निम्नलिखित में से प्रत्येक का पता लगाएं:
बी) परिणाम स्थान
फेसला
ए) परिणाम हैं: काला (एच) मारना, लाल (के) मारना और सफेद मारना (बी)।
बी) एक परिणाम स्थान है (हिट ब्लैक, हिट रेड, हिट व्हाइट), जिसे बस (बी, आर, बी) के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण 5 पासा फेंकना।
एक पासा छह भुजाओं वाला एक घन है, जिनमें से प्रत्येक में एक से छह बिंदु होते हैं। 
मान लीजिए हम एक पासा फेंक रहे हैं। पाना
क) परिणाम
बी) परिणाम स्थान
फेसला
ए) परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6।
बी) परिणाम स्थान (1, 2, 3, 4, 5, 6)।
हम एक घटना E के P(E) के रूप में घटित होने की प्रायिकता को निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए, "सिक्का पूंछ पर उतरेगा" को एच द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर पी (एच) संभावना है कि सिक्का पूंछ पर उतरेगा। जब किसी प्रयोग के सभी परिणामों के घटित होने की प्रायिकता समान होती है, तो उन्हें समान रूप से संभावित कहा जाता है। समान रूप से संभावित घटनाओं और समान रूप से संभावित नहीं होने वाली घटनाओं के बीच अंतर देखने के लिए, नीचे दिखाए गए लक्ष्य पर विचार करें। 
लक्ष्य ए के लिए, ब्लैक, रेड और व्हाइट हिट इवेंट समान रूप से होने की संभावना है, क्योंकि ब्लैक, रेड और व्हाइट सेक्टर समान हैं। हालांकि, लक्ष्य बी के लिए, इन रंगों वाले क्षेत्र समान नहीं हैं, अर्थात, उन्हें मारना समान रूप से संभव नहीं है।
सिद्धांत पी (सैद्धांतिक)
यदि कोई घटना E, परिणाम स्थान S से n संभावित समसंभाव्य परिणामों में से m तरीकों से घटित हो सकती है, तो सैद्धांतिक संभावना
घटना, P(E) is
पी (ई) = एम / एन।
उदाहरण 6पासे को लुढ़कने पर 3 के लुढ़कने की प्रायिकता क्या है?
फेसलापासे पर 6 समान रूप से संभावित परिणाम हैं और संख्या 3 को फेंकने की केवल एक संभावना है। तब संभावना P होगी P(3) = 1/6।
उदाहरण 7पासे पर एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
फेसलाघटना एक सम संख्या का फेंकना है। यह 3 तरह से हो सकता है (यदि आप 2, 4 या 6 रोल करते हैं)। समसंभाव्य परिणामों की संख्या 6 है। तब प्रायिकता P(सम) = 3/6, या 1/2 है।
हम मानक 52-कार्ड डेक से संबंधित कई उदाहरणों का उपयोग करेंगे। इस तरह के डेक में नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए कार्ड होते हैं। 
उदाहरण 8ताश के अच्छी तरह से फेंटे गए डेक से इक्का निकालने की प्रायिकता क्या है?
फेसला 52 परिणाम हैं (डेक में कार्डों की संख्या), वे समान रूप से होने की संभावना है (यदि डेक अच्छी तरह से मिश्रित है), और इक्का खींचने के 4 तरीके हैं, इसलिए पी सिद्धांत के अनुसार, संभावना
P(एक इक्का खींचना) = 4/52, या 1/13।
उदाहरण 9मान लीजिए कि हम 3 लाल कंचों और 4 हरे कंचों के बैग में से एक मार्बल देखे बिना चुनते हैं। लाल गेंद चुनने की प्रायिकता क्या है?
फेसलाकिसी भी गेंद को प्राप्त करने के लिए 7 समान रूप से संभावित परिणाम हैं, और चूंकि लाल गेंद को खींचने के तरीकों की संख्या 3 है, हम प्राप्त करते हैं
पी(लाल गेंद चुनना) = 3/7।
निम्नलिखित कथन P सिद्धांत के परिणाम हैं।
संभाव्यता गुण
ए) यदि घटना ई नहीं हो सकती है, तो पी (ई) = 0।
b) यदि घटना E होना ही है तो P(E) = 1।
c) घटना E के घटित होने की प्रायिकता 0 और 1: 0 P(E) ≤ 1 के बीच की एक संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने पर, सिक्के के किनारे पर आने की प्रायिकता शून्य होती है। एक सिक्के के या तो चित या पट होने की प्रायिकता 1 है।
उदाहरण 10मान लीजिए कि 52 पत्तों वाले एक डेक से 2 पत्ते निकाले जाते हैं। क्या प्रायिकता है कि वे दोनों हुकुम हैं?
फेसलाएक अच्छी तरह से फेरबदल किए गए 52-कार्ड डेक से 2 कार्ड खींचने के तरीकों की संख्या n 52 C 2 है। चूंकि 52 में से 13 कार्ड हुकुम हैं, इसलिए 2 हुकुम खींचने के तरीकों की संख्या 13 सी 2 है। फिर,
पी(2 चोटियों को खींचना) \u003d एम / एन \u003d 13 सी 2/52 सी 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17।
उदाहरण 11मान लीजिए कि 6 पुरुषों और 4 महिलाओं के समूह में से 3 लोगों को यादृच्छया चुना जाता है। 1 पुरुष और 2 महिलाओं के चुने जाने की प्रायिकता क्या है?
फेसला 10 लोगों के समूह में से तीन लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या 10 सी 3। एक पुरुष को 6 सी 1 तरीकों से चुना जा सकता है और 2 महिलाओं को 4 सी 2 तरीकों से चुना जा सकता है। गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, पहले पुरुष और 2 महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या 6 सी 1 है। 4सी2. तो, 1 पुरुष और 2 महिलाओं के चुने जाने की प्रायिकता है
पी = 6 सी 1। 4 सी 2/10 सी 3 \u003d 3/10।
उदाहरण 12 पासा फेंकना। दो पासों पर कुल 8 फेंकने की प्रायिकता क्या है?
फेसलाप्रत्येक पासे पर 6 संभावित परिणाम हैं। परिणाम दोगुने हो जाते हैं, अर्थात् 6.6 या 36 संभावित तरीके हैं जिनसे दो पासों पर संख्याएँ गिर सकती हैं। (यह बेहतर है यदि क्यूब्स अलग हैं, मान लें कि एक लाल है और दूसरा नीला है - इससे परिणाम की कल्पना करने में मदद मिलेगी।) 
संख्याओं के युग्म जिनका योग 8 तक होता है, उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। 8 के बराबर योग प्राप्त करने के 5 संभावित तरीके हैं, इसलिए संभावना 5/36 है।
परिचय
कई चीजें हमारे लिए समझ से बाहर हैं, इसलिए नहीं कि हमारी अवधारणाएं कमजोर हैं;
लेकिन क्योंकि ये चीजें हमारी अवधारणाओं के घेरे में नहीं आतीं।
कोज़्मा प्रुतकोव
माध्यमिक विशिष्ट शैक्षणिक संस्थानों में गणित का अध्ययन करने का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अन्य कार्यक्रम विषयों का अध्ययन करने के लिए आवश्यक गणितीय ज्ञान और कौशल का एक सेट देना है जो गणित का उपयोग एक डिग्री या किसी अन्य के लिए, व्यावहारिक गणना करने की क्षमता के लिए, गठन और विकास के लिए करते हैं। तार्किक सोच का।
इस पत्र में, कार्यक्रम और माध्यमिक व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षिक मानकों (रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय। एम।, 2002) द्वारा प्रदान किए गए गणित "फंडामेंटल्स ऑफ प्रोबेबिलिटी थ्योरी एंड मैथमैटिकल स्टैटिस्टिक्स" की सभी बुनियादी अवधारणाएं। ), लगातार पेश किए जाते हैं, मुख्य प्रमेय तैयार किए जाते हैं, जिनमें से अधिकांश सिद्ध नहीं होते हैं। व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए इन विधियों को लागू करने के लिए उनके समाधान और प्रौद्योगिकियों के मुख्य कार्यों और विधियों पर विचार किया जाता है। प्रस्तुति विस्तृत टिप्पणियों और कई उदाहरणों के साथ है।
अध्ययन की गई सामग्री के साथ प्रारंभिक परिचित के लिए, व्याख्यान के नोट्स लेते समय, व्यावहारिक अभ्यास की तैयारी के लिए, अर्जित ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को समेकित करने के लिए विधि निर्देशों का उपयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, मैनुअल स्नातक छात्रों के लिए एक संदर्भ उपकरण के रूप में उपयोगी होगा जो आपको पहले अध्ययन की गई स्मृति को जल्दी से बहाल करने की अनुमति देता है।
काम के अंत में, उदाहरण और कार्य दिए जाते हैं जो छात्र आत्म-नियंत्रण मोड में कर सकते हैं।
पद्धति संबंधी निर्देश पत्राचार और शिक्षा के पूर्णकालिक रूपों के छात्रों के लिए अभिप्रेत हैं।
बुनियादी अवधारणाओं
संभाव्यता सिद्धांत बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं की उद्देश्य नियमितता का अध्ययन करता है। यह गणितीय आँकड़ों के लिए सैद्धांतिक आधार है, जो अवलोकनों के परिणामों को एकत्रित करने, वर्णन करने और संसाधित करने के तरीकों के विकास से संबंधित है। अवलोकनों (परीक्षणों, प्रयोगों) के माध्यम से, अर्थात। शब्द के व्यापक अर्थ में अनुभव, वास्तविक दुनिया की घटनाओं का ज्ञान है।
अपनी व्यावहारिक गतिविधियों में, हम अक्सर ऐसी घटनाओं का सामना करते हैं, जिसके परिणाम की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, जिसका परिणाम संयोग पर निर्भर करता है।
एक यादृच्छिक घटना को इसकी घटनाओं की संख्या और परीक्षणों की संख्या के अनुपात से चिह्नित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में, सभी परीक्षणों की समान परिस्थितियों में, यह हो सकता है या नहीं हो सकता है।
संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जिसमें यादृच्छिक घटनाओं (घटनाओं) का अध्ययन किया जाता है और उनके सामूहिक दोहराव के दौरान नियमितता का पता चलता है।
गणितीय सांख्यिकी गणित की एक शाखा है जिसका विषय वैज्ञानिक रूप से आधारित निष्कर्ष प्राप्त करने और निर्णय लेने के लिए सांख्यिकीय डेटा एकत्र करने, व्यवस्थित करने, प्रसंस्करण और उपयोग करने के तरीकों का अध्ययन है।
इसी समय, सांख्यिकीय डेटा को संख्याओं के एक समूह के रूप में समझा जाता है जो अध्ययन की गई वस्तुओं की विशेषताओं की मात्रात्मक विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो हमारे लिए रुचिकर हैं। सांख्यिकीय डेटा विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए प्रयोगों और टिप्पणियों के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाते हैं।
इसके सार में सांख्यिकीय डेटा कई यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है, इसलिए गणितीय आँकड़े संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं, जो इसका सैद्धांतिक आधार है।
I. संभाव्यता। जोड़ और प्रायिकता गुणन के सिद्धांत
1.1. कॉम्बिनेटरिक्स की बुनियादी अवधारणाएं
कॉम्बिनेटरिक्स नामक गणित के खंड में, सेटों के विचार और इन सेटों के तत्वों के विभिन्न संयोजनों के संकलन से संबंधित कुछ समस्याओं को हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 10 अलग-अलग संख्याएँ 0, 1, 2, 3,:, 9 लेते हैं और उनका संयोजन करते हैं, तो हमें अलग-अलग संख्याएँ मिलेंगी, उदाहरण के लिए 143, 431, 5671, 1207, 43, आदि।
हम देखते हैं कि इनमें से कुछ संयोजन केवल अंकों के क्रम में भिन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 143 और 431), उनमें शामिल संख्याओं में अन्य (उदाहरण के लिए, 5671 और 1207), और अन्य भी अंकों की संख्या में भिन्न होते हैं ( उदाहरण के लिए, 143 और 43)।
इस प्रकार, प्राप्त संयोजन विभिन्न शर्तों को पूरा करते हैं।
संकलन नियमों के आधार पर, तीन प्रकार के संयोजनों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन.
आइए पहले अवधारणा से परिचित हों कारख़ाने का.
1 से n तक की सभी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को कहते हैं एन-फैक्टोरियल और लिखा।
गणना करें: ए); बी) ; में) ।
फेसला। ए) ।
बी) साथ ही 
, तो आप इसे कोष्ठक से निकाल सकते हैं
तब हमें मिलता है
में) 
.
क्रमपरिवर्तन।
n तत्वों का वह संयोजन जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होता है, क्रमचय कहलाता है।
क्रमपरिवर्तन को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है पी न , जहां n प्रत्येक क्रमचय में तत्वों की संख्या है। ( आर- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर परिवर्तन- क्रमपरिवर्तन)।
क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
या भाज्य के साथ:
आइए याद करते हैं कि 0!=1 और 1!=1.
उदाहरण 2. एक शेल्फ पर छह अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
फेसला। तरीकों की वांछित संख्या 6 तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।
आवास।
से प्लेसमेंट एममें तत्व एनप्रत्येक में, ऐसे यौगिकों को कहा जाता है जो एक दूसरे से या तो स्वयं तत्वों (कम से कम एक) या स्थान के क्रम से भिन्न होते हैं।
स्थानों को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जहां एमसभी उपलब्ध तत्वों की संख्या है, एनप्रत्येक संयोजन में तत्वों की संख्या है। ( लेकिन-फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर व्यवस्था, जिसका अर्थ है "नियुक्ति, क्रम में रखना")।
उसी समय, यह माना जाता है कि एनएम
प्लेसमेंट की संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
,
वे। से सभी संभावित नियुक्तियों की संख्या एमतत्वों द्वारा एनउत्पाद के बराबर है एनक्रमागत पूर्णांक, जिनमें से बड़ा है एम.
हम इस सूत्र को भाज्य रूप में लिखते हैं:
उदाहरण 3. पांच आवेदकों के लिए विभिन्न प्रोफाइल के एक अस्पताल में तीन वाउचर के वितरण के लिए कितने विकल्प बनाए जा सकते हैं?
फेसला। विकल्पों की वांछित संख्या 5 तत्वों के 3 तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है, अर्थात।
.
संयोजन।
संयोजन के सभी संभावित संयोजन हैं एमतत्वों द्वारा एन, जो एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न होते हैं (यहाँ एमऔर एन-प्राकृतिक संख्याएं, और एनएम).
से संयोजनों की संख्या एमतत्वों द्वारा एननिरूपित हैं ( साथ में- फ्रेंच शब्द का पहला अक्षर संयोजन- संयोजन)।
सामान्य तौर पर, की संख्या एमतत्वों द्वारा एनसे नियुक्तियों की संख्या के बराबर एमतत्वों द्वारा एनसे क्रमपरिवर्तन की संख्या से विभाजित एनतत्व:
प्लेसमेंट और क्रमपरिवर्तन संख्याओं के लिए फ़ैक्टोरियल फ़ार्मुलों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 4. 25 लोगों की एक टीम में, आपको एक निश्चित क्षेत्र में काम करने के लिए चार आवंटित करने की आवश्यकता है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?
फेसला। चूंकि चुने हुए चार लोगों के आदेश से कोई फर्क नहीं पड़ता, इसलिए इसे तरीकों से किया जा सकता है।
हम पहले सूत्र द्वारा पाते हैं
.
इसके अलावा, समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है जो संयोजनों के मुख्य गुणों को व्यक्त करते हैं:
(परिभाषा के अनुसार, और माना जाता है);
.
1.2. संयोजक समस्याओं का समाधान
कार्य 1. संकाय में 16 विषयों का अध्ययन किया जाता है। सोमवार को आपको 3 विषयों को शेड्यूल में रखना है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?
फेसला। 16 में से तीन आइटम शेड्यूल करने के उतने ही तरीके हैं जितने कि 3 प्रत्येक के 16 तत्वों के प्लेसमेंट हैं।
कार्य 2. 15 वस्तुओं में से 10 वस्तुओं का चयन किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?
टास्क 3. प्रतियोगिता में चार टीमों ने भाग लिया। उनके बीच सीटों के बंटवारे के कितने विकल्प संभव हैं?
.
समस्या 4. यदि 80 सैनिक और 3 अधिकारी हों तो तीन सैनिकों और एक अधिकारी की गश्त कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
फेसला। गश्त पर सिपाही का चयन किया जा सकता है
तरीके, और अधिकारियों के तरीके। चूंकि कोई भी अधिकारी सैनिकों की प्रत्येक टीम के साथ जा सकता है, इसलिए एक ही रास्ता है।
कार्य 5. पता करें कि क्या यह ज्ञात है कि ।
चूंकि, हम प्राप्त करते हैं
,
,
संयोजन की परिभाषा के अनुसार यह इस प्रकार है कि , . उस। .
1.3. एक यादृच्छिक घटना की अवधारणा। घटना के प्रकार। घटना की संभावना
किसी भी क्रिया, घटना, कई अलग-अलग परिणामों के साथ अवलोकन, दी गई शर्तों के तहत महसूस किया जाएगा, कहा जाएगा परीक्षण।
इस क्रिया या अवलोकन के परिणाम को कहते हैं प्रतिस्पर्धा .
यदि दी गई परिस्थितियों में कोई घटना घटित हो सकती है या नहीं हो सकती है, तो उसे कहते हैं अनियमित . इस घटना में कि कोई घटना निश्चित रूप से घटित होनी चाहिए, इसे कहा जाता है प्रामाणिक , और उस स्थिति में जब यह निश्चित रूप से नहीं हो सकता, - असंभव.
घटनाओं को कहा जाता है असंगत यदि उनमें से केवल एक ही हर बार प्रकट हो सकता है।
घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त यदि, दी गई शर्तों के तहत, इन घटनाओं में से एक की घटना उसी परीक्षण में दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती है।
घटनाओं को कहा जाता है विलोम , यदि परीक्षण शर्तों के तहत वे, इसके एकमात्र परिणाम होने के कारण, असंगत हैं।
घटनाओं को आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ऐ बी सी डी, : .
घटनाओं की एक पूरी प्रणाली ए 1, ए 2, ए 3,:, ए एन असंगत घटनाओं का एक सेट है, जिनमें से कम से कम एक की घटना किसी दिए गए परीक्षण के लिए अनिवार्य है।
यदि एक पूर्ण प्रणाली में दो असंगत घटनाएं होती हैं, तो ऐसी घटनाओं को विपरीत कहा जाता है और ए और द्वारा निरूपित किया जाता है।
उदाहरण। एक बॉक्स में 30 नंबर वाली गेंदें हैं। निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी घटना असंभव है, निश्चित, विपरीत:
एक क्रमांकित गेंद मिली (लेकिन);
एक सम संख्या वाली गेंद खींचना (पर);
एक विषम संख्या वाली गेंद खींची (साथ);
बिना नंबर की गेंद मिली (डी)।
उनमें से कौन एक पूरा समूह बनाता है?
फेसला . लेकिन- निश्चित घटना; डी- असंभव घटना;
में और साथ में- विपरीत घटनाएं।
घटनाओं का पूरा समूह है लेकिनऔर डी, वीऔर साथ में.
किसी घटना की प्रायिकता को एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।
1.4. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा
संख्या, जो किसी घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप की अभिव्यक्ति है, कहलाती है संभावना यह घटना और प्रतीक द्वारा निरूपित की जाती है पी (ए)।
परिभाषा। किसी घटना की प्रायिकता लेकिनपरिणामों की संख्या का अनुपात है जो किसी दिए गए घटना की घटना के पक्ष में है लेकिन, संख्या के लिए एनसभी परिणाम (असंगत, अद्वितीय और समान रूप से संभव), अर्थात्। .
इसलिए, किसी घटना की संभावना का पता लगाने के लिए, परीक्षण के विभिन्न परिणामों पर विचार करने के बाद, सभी संभावित असंगत परिणामों की गणना करना आवश्यक है। एन,उन परिणामों की संख्या चुनें जिनकी हम m में रुचि रखते हैं और अनुपात की गणना करें एमको एन.
निम्नलिखित गुण इस परिभाषा से अनुसरण करते हैं:
किसी भी परीक्षण की संभावना एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जो एक से अधिक नहीं है।
वास्तव में, वांछित घटनाओं की संख्या मी भीतर है। दोनों भागों को विभाजित करना एन, हम पाते हैं
2. एक निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, क्योंकि .
3. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है क्योंकि .
समस्या 1. लॉटरी में 1000 टिकटों में से 200 विजेता हैं। एक टिकट यादृच्छया निकाला जाता है। इस टिकट के जीतने की क्या प्रायिकता है?
फेसला। विभिन्न परिणामों की कुल संख्या है एन=1000. जीतने के पक्ष में परिणामों की संख्या m=200 है। सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं
.
टास्क 2। 18 भागों के एक बैच में, 4 दोषपूर्ण हैं। यादृच्छिक रूप से 5 टुकड़े चुने जाते हैं। इन 5 में से दो भागों के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
फेसला। सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या एन 18 से 5 तक के संयोजनों की संख्या के बराबर है अर्थात
आइए घटना ए के लिए अनुकूल संख्या एम की गणना करें। यादृच्छिक रूप से लिए गए 5 भागों में से 3 गुणवत्ता और 2 दोषपूर्ण होने चाहिए। 4 उपलब्ध दोषपूर्ण भागों में से दो दोषपूर्ण भागों को चुनने के तरीकों की संख्या 4 से 2 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:
14 उपलब्ध गुणवत्ता भागों में से तीन गुणवत्ता भागों का चयन करने के तरीकों की संख्या बराबर है
.
गुणवत्ता भागों के किसी भी समूह को दोषपूर्ण भागों के किसी भी समूह के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए संयोजनों की कुल संख्या एमहै
घटना ए की वांछित संभावना सभी समान रूप से संभव स्वतंत्र परिणामों की संख्या n के लिए इस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर है:
.
घटनाओं की एक सीमित संख्या का योग एक घटना है जिसमें उनमें से कम से कम एक की घटना होती है।
दो घटनाओं के योग को प्रतीक A + B और योग द्वारा दर्शाया जाता है एनघटना प्रतीक A 1 +A 2 + : +A n ।
प्रायिकताओं के योग का प्रमेय।
दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।
परिणाम 1. यदि घटना А 1, А 2 , : , n एक पूर्ण निकाय बनाती है, तो इन घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है।
कोरोलरी 2. विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग और एक के बराबर होता है।
.
समस्या 1. 100 लॉटरी टिकट हैं। यह ज्ञात है कि 5 टिकटों में 20,000 रूबल, 10 - 15,000 रूबल, 15 - 10,000 रूबल, 25 - 2,000 रूबल की जीत होती है। और बाकी के लिए कुछ नहीं। इस संभावना का पता लगाएं कि खरीदा गया टिकट कम से कम 10,000 रूबल जीतेगा।
फेसला। ए, बी और सी को इस तथ्य से युक्त होने दें कि खरीदे गए टिकट पर 20,000, 15,000 और 10,000 रूबल के बराबर पुरस्कार मिलता है। चूँकि घटनाएँ A, B और C असंगत हैं, तो
टास्क 2। तकनीकी स्कूल के पत्राचार विभाग को शहरों से गणित में परीक्षण प्राप्त होते हैं ए, बीऔर साथ में. नगर से नियन्त्रण कार्य प्राप्त होने की सम्भावना लेकिन 0.6 के बराबर, शहर से पर- 0.1. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला नियंत्रण कार्य शहर से आएगा साथ में.
दो घटनाओं के बीच संबंध का सबसे सरल उदाहरण एक कारण संबंध है, जब एक घटना की घटना अनिवार्य रूप से दूसरे की घटना की ओर ले जाती है, या इसके विपरीत, जब एक की घटना दूसरे की घटना की संभावना को बाहर करती है।
कुछ घटनाओं की दूसरों पर निर्भरता को चिह्नित करने के लिए, अवधारणा पेश की गई है सशर्त संभाव्यता।
परिभाषा। रहने दो लेकिनऔर पर- एक ही परीक्षण की दो यादृच्छिक घटनाएं। तब घटना की सशर्त संभावना लेकिनया घटना A की प्रायिकता, बशर्ते कि घटना B घटी हो, संख्या कहलाती है।
सशर्त संभाव्यता को निरूपित करते हुए, हम सूत्र प्राप्त करते हैं
, .
टास्क 1. एक लड़के वाले परिवार में दूसरा लड़का पैदा होने की प्रायिकता की गणना कीजिए।
फेसला। घटना होने दें लेकिनइस तथ्य में शामिल हैं कि परिवार में दो लड़के हैं, और घटना पर- वह एक लड़का।
सभी संभावित परिणामों पर विचार करें: लड़का और लड़का; लड़का और लड़की; लड़की और लड़का; लड़की और लड़की।
तब , और सूत्र द्वारा हम पाते हैं
.
घटना लेकिनबुलाया स्वतंत्र घटना से परअगर घटना की घटना परकिसी घटना के घटित होने की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है लेकिन.
प्रायिकता गुणन प्रमेय
दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:
समुच्चय में स्वतंत्र कई घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
समस्या 2. पहले कलश में 6 काली और 4 सफेद गेंदें हैं, दूसरे कलश में 5 काली और 7 सफेद गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें सफेद हों।
ए और परएक घटना है अब. इसलिये,
बी) यदि पहला तत्व काम करता है, तो एक घटना होती है (घटना के विपरीत .) लेकिन- इस तत्व की विफलता); यदि दूसरा तत्व काम करता है - घटना पर।घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए और :
फिर घटना जिसमें दोनों तत्व काम करेंगे, और इसलिए,
