आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर प्रदर्शन दें समाधान उदाहरण.

अपने आप में, वे लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न दर्शाते हैं। समाधान के लिए लघुगणक सूत्रों को लागू करने से पहले, हम आपके लिए सबसे पहले सभी गुणों को याद करते हैं:

अब, इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर, हम दिखाते हैं लघुगणक हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणक को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a में एक धनात्मक संख्या b (लॉग a b के रूप में दर्शाया गया है) वह घातांक है जिसके लिए b> 0, a> 0, और 1 के साथ b प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

परिभाषा के अनुसार लॉग a b = x, जो a x = b के बराबर है, इसलिए a x = x लॉग करें।

लघुगणक, उदाहरण:

लघुगणक 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2 क्योंकि 7 2 = 49

लॉग 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणकएक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। इसे lg के रूप में दर्शाया जाता है।

लॉग 10 100 = 2 क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- सामान्य लघुगणक भी, लेकिन आधार ई (ई \u003d 2.71828 ... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में संदर्भित।

लॉगरिदम के सूत्रों या गुणों को याद रखना वांछनीय है, क्योंकि लॉगरिदम, लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय हमें बाद में उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक सूत्र पर फिर से काम करें।

• मूल लघुगणकीय पहचान
  एक लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लघुगणक 3 8.1 + लघुगणक 3 10 = लघुगणक 3 (8.1*10) = लघुगणक 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है
  लॉग ए (बी/सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लघुगणक 5 50/9 लघुगणक 5 2 = 9 लघुगणक 5 50- लघुगणक 5 2 = 9 लघुगणक 5 25 = 9 2 = 81

• एक लघुगणकीय संख्या की डिग्री और लघुगणक के आधार के गुण

  एक लघुगणक संख्या का घातांक a b m = mlog a b . का घातांक

  लघुगणक के आधार का घातांक a n b =1/n*log a b

  लॉग ए एन बी एम = एम/एन * लॉग ए बी,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b प्राप्त होता है

  लघुगणक 4 9 = लघुगणक 2 2 3 2 = लघुगणक 2 3

• एक नई नींव में संक्रमण
  लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें लघुगणक b b = 1 प्राप्त होता है

  फिर लॉग a b = 1/log b a

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने वे लगते हैं। अब, लघुगणक को हल करने के उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम लघुगणकीय समीकरणों पर आगे बढ़ सकते हैं। हम लेख में लॉगरिदमिक समीकरणों को और अधिक विस्तार से हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे: ""। याद मत करिएं!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख में टिप्पणियों में लिखें।

नोट: एक विकल्प के रूप में विदेश में दूसरी कक्षा के अध्ययन की शिक्षा प्राप्त करने का निर्णय लिया।

समाज के विकास के साथ-साथ उत्पादन की जटिलता, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति। जोड़ और घटाव की सामान्य लेखांकन पद्धति से, उनकी बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, वे गुणा और भाग की अवधारणा पर आए। बार-बार होने वाले ऑपरेशन में कमी घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता और घातांक की संख्या की पहली तालिकाएँ भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा 8वीं शताब्दी में संकलित की गई थीं। उनसे, आप लघुगणक की घटना के समय की गणना कर सकते हैं।

ऐतिहासिक रूपरेखा

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने यांत्रिकी के विकास को भी प्रेरित किया। टी गणना की एक बड़ी मात्रा की आवश्यकता हैबहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन तालिकाओं ने बहुत अच्छी सेवा की। उन्होंने जटिल कार्यों को सरल लोगों के साथ बदलना संभव बना दिया - जोड़ और घटाव। एक बड़ा कदम आगे 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टीफेल का काम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को महसूस किया। इससे न केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में अंशों के लिए, बल्कि मनमानी परिमेय संख्याओं के लिए भी तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार "एक संख्या का लघुगणक" शब्द पेश किया। साइन और कोसाइन के लघुगणक, साथ ही स्पर्शरेखाओं की गणना के लिए नई जटिल तालिकाएँ संकलित की गईं। इसने खगोलविदों के काम को बहुत कम कर दिया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों द्वारा तीन शताब्दियों तक सफलतापूर्वक उपयोग किया गया। बीजगणित में नए ऑपरेशन को अपना तैयार रूप हासिल करने से पहले बहुत समय बीत गया। लघुगणक को परिभाषित किया गया और इसके गुणों का अध्ययन किया गया।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानव जाति ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक काम कर रही थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं, जो कि संख्या b प्राप्त करने के लिए a की घात है। यह एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b)।

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 को 2 के घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है, संख्याएँ a और b वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक की किस्में

शास्त्रीय परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और यह वास्तव में समीकरण a x = b का समाधान है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और इसमें कोई रुचि नहीं है। नोट: किसी भी घात के लिए 1 होता है।

लघुगणक का वास्तविक मूल्यकेवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आधार और तर्क 0 से अधिक हों, और आधार 1 के बराबर न हो।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिनका नाम उनके आधार के मान के आधार पर रखा जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक का मूल गुण नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए (बी) + लॉग ए (पी)।

इस कथन के एक प्रकार के रूप में, यह होगा: लॉग सी (बी / पी) \u003d लॉग सी (बी) - लॉग सी (पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: लॉग ए (बी पी) = पी * लॉग ए (बी)।

अन्य गुणों में शामिल हैं:

टिप्पणी। सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर नहीं होता है।

कई शताब्दियों के लिए, लघुगणक को खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने बहुपद में विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:

एलएन (1 + एक्स) = एक्स - (एक्स^2)/2 + (एक्स^3)/3 - (एक्स^4)/4 + ... + ((-1)^(एन + 1))* ((x^n)/n), जहां n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है, जो गणना की सटीकता को निर्धारित करती है।

अन्य आधारों के साथ लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति पर प्रमेय का उपयोग करके की गई थी।

चूंकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयलागू करना मुश्किल था, उन्होंने लॉगरिदम की पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिससे पूरे काम में तेजी आई।

कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित रेखांकन का उपयोग किया गया था, जो कम सटीकता देता था, लेकिन वांछित मूल्य की खोज में काफी तेजी लाता था। फ़ंक्शन का वक्र y = लॉग a(x), कई बिंदुओं पर निर्मित, किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए सामान्य शासक का उपयोग करने की अनुमति देता है। लंबे समय तक, इंजीनियरों ने इन उद्देश्यों के लिए तथाकथित ग्राफ पेपर का इस्तेमाल किया।

17वीं शताब्दी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियां सामने आईं, जिन्होंने 19वीं शताब्दी तक एक पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया था। सबसे सफल उपकरण को स्लाइड नियम कहा जाता था। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया है, और इसे कम करना मुश्किल है। वर्तमान में, बहुत कम लोग इस उपकरण से परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी भी अन्य उपकरण का उपयोग करना व्यर्थ बना दिया है।

समीकरण और असमानता

लघुगणक का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे में संक्रमण: लॉग ए (बी) = लॉग सी (बी) / लॉग सी (ए);
• पिछले संस्करण के परिणामस्वरूप: लॉग ए (बी) = 1 / लॉग बी (ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए, यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान केवल तभी धनात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो लघुगणक का मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फलन असमानता के दाएँ और बाएँ पक्षों पर लागू होता है, और लघुगणक का आधार एक से बड़ा होता है, तो असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है; अन्यथा, यह बदल जाता है।

कार्य उदाहरण

लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

लघुगणक को डिग्री में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• कार्य 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थितियों में, संकेतन निम्न (5^2)^log5(3) या 5^(2 * log 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या किसी संख्या के वर्ग को फ़ंक्शन तर्क के रूप में फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह व्यंजक 3^2 है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 प्राप्त होते हैं।

प्रायोगिक उपयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह वास्तविक जीवन से बहुत दूर लगता है कि वास्तविक दुनिया में वस्तुओं का वर्णन करने में लघुगणक ने अचानक बहुत महत्व प्राप्त कर लिया है। ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह पूरी तरह से न केवल प्राकृतिक पर लागू होता है, बल्कि ज्ञान के मानविकी क्षेत्रों पर भी लागू होता है।

लॉगरिदमिक निर्भरता

यहाँ संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा गणितीय अनुसंधान विधियों का उपयोग करके विकसित हुए हैं और साथ ही साथ गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया है, जिसमें लॉगरिदम भी शामिल है। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा जाता है। हम लघुगणक का उपयोग करते हुए भौतिक नियमों के वर्णन के केवल दो उदाहरण देते हैं।

Tsiolkovsky सूत्र का उपयोग करके रॉकेट की गति जैसी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को हल करना संभव है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = मैं * एलएन(एम1/एम2), जहां

• V वायुयान की अंतिम गति है।
• मैं इंजन का विशिष्ट आवेग है।
• एम 1 रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- यह एक अन्य महान वैज्ञानिक मैक्स प्लैंक के सूत्र में उपयोग है, जो थर्मोडायनामिक्स में संतुलन की स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), जहां

• S एक ऊष्मागतिकीय गुण है।
• k बोल्ट्जमान नियतांक है।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

लघुगणक के अनुपात वाले रसायन विज्ञान में सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट होगा। यहाँ सिर्फ दो उदाहरण हैं:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोप्रोलिसिस इंडेक्स और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना पूरी नहीं होती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि उत्तेजना की तीव्रता को इस फ़ंक्शन द्वारा उत्तेजना तीव्रता मूल्य के कम तीव्रता मूल्य के विपरीत अनुपात के रूप में अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जीव विज्ञान में लघुगणक का विषय भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लॉगरिदमिक सर्पिल के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस कार्य के संबंध के बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। खासकर जब प्रकृति के नियम ज्यामितीय प्रगति से जुड़े हों। यह MatProfi वेबसाइट को संदर्भित करने योग्य है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है। इस समारोह के बुनियादी नियमों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।

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एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है?.

2. घातांकीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...

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सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी के लिए a>0 , a≠1 । प्रमाण सीधा है: चूंकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए मानी गई संपत्ति के आवेदन के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , lg1=0 तथा ।

आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए = 1 a>0 , a≠1 के लिए। वास्तव में, चूंकि a 1 =a किसी भी a के लिए है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार a a=1 लॉग करें।

लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 ।

उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 2 7 =7 , लघुगणक 10 -4 = -4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हैं: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 । आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x a log a y, और चूंकि मुख्य लघुगणकीय पहचान द्वारा a log a x =x और a log a y =y , तो a log a x a log a y =x y । इस प्रकार, a log a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा के अनुसार होती है।

आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3)=लॉग 5 2+लॉग 5 3 और .

गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1, x 2,…, x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 x 2 ... x n)= लॉग a x 1 + लॉग a x 2 +…+ लॉग a x n . यह समानता आसानी से सिद्ध हो जाती है।

उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणकों के योग से बदला जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। भागफल लघुगणक गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है, जहाँ a>0 , a≠1 , x और y कुछ धनात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार।

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. एक डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। हम डिग्री के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी = पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

हम पहले इस गुण को धनात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को a log a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी व्यंजक, power गुण के कारण, a p log a b के बराबर होता है। इसलिए हम समानता b p =a p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b ।

यह इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना शेष है। यहाँ हम ध्यान दें कि व्यंजक लॉग a b p ऋणात्मक b के लिए केवल सम घातांक p के लिए अर्थ रखता है (क्योंकि घात b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई अर्थ नहीं होगा), और इस स्थिति में b p =|b| पी । फिर बी पी == बी | p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, कहाँ से लॉग a b p =p log a |b| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ।

यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nवें अंश के मूल का लघुगणक भिन्न 1/n के गुणनफल और मूल व्यंजक के लघुगणक के बराबर होता है, अर्थात्, , जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, b>0 ।

सबूत समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक b के लिए मान्य है, और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए अब साबित करते हैं लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रतरह . ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग c b=log a b log c a की वैधता को साबित करने के लिए पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को लॉग a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b के रूप में। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इस प्रकार, समानता लॉग c b=log a b log c a सिद्ध होता है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है।

आइए लघुगणक के इस गुण को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: और .

एक नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर स्विच करने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, जब अन्य आधारों के साथ कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

फॉर्म के c=b के लिए लॉगरिदम के एक नए आधार में संक्रमण के लिए अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र का एक विशेष मामला है . यह दर्शाता है कि लॉग a b और लॉग b a – । उदाहरण के लिए, .

अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला सूत्र है , जो लघुगणक मानों को खोजने के लिए उपयोगी है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि फॉर्म के लॉगरिदम के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है . सूत्र सिद्ध करने के लिए यह लघुगणक के नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है a: .

यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी धनात्मक संख्या b 1 और b 2 , b 1 . के लिए लॉग a b 2 , और a>1 के लिए, असमानता लॉग a b 1

अंत में, यह लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। हम स्वयं को इसके पहले भाग को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि यदि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत से सिद्ध होते हैं।

आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 . के लिए 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों से, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निम्नानुसार है कि लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2, क्रमशः। फिर, समान आधार वाले घातों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात a 1 a 2 । इस प्रकार, हम 1 . की स्थिति के विरोधाभास पर पहुंच गए हैं

ग्रंथ सूची।

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।