सबसे पहले, फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढने का प्रयास करें:

क्या आप संभाल पाओगे? आइए उत्तरों की तुलना करें:

क्या सब कुछ ठीक है? बहुत अच्छा!

आइए अब फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी खोजने का प्रयास करें:

मिला? आइए तुलना करें:

समझ गया? बहुत अच्छा!

आइए ग्राफ़ के साथ फिर से काम करें, केवल अब यह थोड़ा अधिक जटिल है - फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन और फ़ंक्शन के मानों की सीमा दोनों को ढूंढें।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन और रेंज दोनों कैसे खोजें (उन्नत)

यहाँ क्या हुआ:

मुझे लगता है कि आपने ग्राफ़ का पता लगा लिया है। आइए अब सूत्रों के अनुसार किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने का प्रयास करें (यदि आप नहीं जानते कि यह कैसे करना है, तो इसके बारे में अनुभाग पढ़ें):

क्या आप संभाल पाओगे? की जाँच करें जवाब:

1. , क्योंकि मूल अभिव्यक्ति शून्य से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
2. , चूँकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते और मूल अभिव्यक्ति ऋणात्मक नहीं हो सकती।
3. , चूंकि, क्रमशः, सभी के लिए।
4. , चूँकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

हालाँकि, हमारे पास अभी भी एक और अनुत्तरित बिंदु है...

मैं परिभाषा को एक बार फिर दोहराऊंगा और इस पर जोर दूंगा:

क्या तुमने ध्यान दिया? "एकल" शब्द हमारी परिभाषा का एक बहुत ही महत्वपूर्ण तत्व है। मैं इसे अपनी उंगलियों से आपको समझाने की कोशिश करूंगा।

मान लीजिए कि हमारे पास एक सीधी रेखा द्वारा परिभाषित एक फ़ंक्शन है। . पर, हम इस मान को अपने "नियम" में प्रतिस्थापित करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं। एक मान एक मान से मेल खाता है. हम विभिन्न मानों की एक तालिका भी बना सकते हैं और स्वयं देखने के लिए इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बना सकते हैं।

"देखना! - आप कहते हैं, "" दो बार होता है!" तो शायद परवलय एक फलन नहीं है? नही यह!

यह तथ्य कि " " दो बार प्रकट होता है, परवलय पर अस्पष्टता का आरोप लगाने का कोई कारण नहीं है!

तथ्य यह है कि, गणना करते समय, हमें एक गेम प्राप्त हुआ। और गणना करते समय, हमें एक गेम प्राप्त हुआ। तो यह सही है, परवलय एक फलन है। ग्राफ़ देखें:

समझ गया? यदि नहीं, तो यहां एक जीवन उदाहरण है जो गणित से बहुत दूर है!

मान लीजिए कि हमारे पास आवेदकों का एक समूह है जो दस्तावेज़ जमा करते समय मिले थे, जिनमें से प्रत्येक ने बातचीत में बताया कि वह कहाँ रहता है:

सहमत हूँ, कई लोगों के लिए एक शहर में रहना काफी संभव है, लेकिन एक व्यक्ति के लिए एक ही समय में कई शहरों में रहना असंभव है। यह हमारे "परवलय" के तार्किक प्रतिनिधित्व की तरह है - कई अलग-अलग एक्स एक ही गेम के अनुरूप हैं।

अब आइए एक उदाहरण लेकर आएं जहां निर्भरता कोई फ़ंक्शन नहीं है। मान लीजिए कि इन्हीं लोगों ने हमें बताया कि उन्होंने किन विशिष्टताओं के लिए आवेदन किया है:

यहां हमारी स्थिति बिल्कुल अलग है: एक व्यक्ति आसानी से एक या कई दिशाओं के लिए दस्तावेज़ जमा कर सकता है। वह है एक तत्वसेट पत्राचार में डाल दिए जाते हैं अनेक तत्वभीड़. क्रमश, यह कोई फ़ंक्शन नहीं है.

आइए व्यवहार में आपके ज्ञान का परीक्षण करें।

चित्रों से निर्धारित करें कि फ़ंक्शन क्या है और क्या नहीं:

समझ गया? और यह यहाँ है जवाब:

• फलन है - बी, ई.
• फलन नहीं है - ए, बी, डी, डी।

आप पूछते हैं क्यों? हाँ, यहाँ इसका कारण बताया गया है:

को छोड़कर सभी चित्रों में में)और इ)एक के बदले अनेक हैं!

मुझे यकीन है कि अब आप किसी फ़ंक्शन को गैर-फ़ंक्शन से आसानी से अलग कर सकते हैं, बता सकते हैं कि तर्क क्या है और आश्रित चर क्या है, और तर्क के अनुमेय मानों की सीमा और फ़ंक्शन की परिभाषा की सीमा भी निर्धारित कर सकते हैं . आइए अगले भाग पर चलते हैं - फ़ंक्शन कैसे सेट करें?

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विधियाँ

आपको क्या लगता है इन शब्दों का मतलब क्या है? "सेट फ़ंक्शन"? यह सही है, इसका मतलब हर किसी को यह समझाना है कि इस मामले में हम किस फ़ंक्शन के बारे में बात कर रहे हैं। इसके अलावा, इसे इस तरह से समझाएं कि हर कोई आपको सही ढंग से समझ सके और आपके स्पष्टीकरण के आधार पर लोगों द्वारा बनाए गए फ़ंक्शन ग्राफ़ समान हों।

मेरे द्वारा ऐसा कैसे किया जा सकता है? फ़ंक्शन कैसे सेट करें?सबसे सरल विधि, जिसका इस लेख में पहले ही एक से अधिक बार उपयोग किया जा चुका है सूत्र का उपयोग करना.हम एक सूत्र लिखते हैं, और उसमें एक मान प्रतिस्थापित करके, हम मूल्य की गणना करते हैं। और जैसा कि आपको याद है, सूत्र एक कानून है, एक नियम जिसके द्वारा हमें और किसी अन्य व्यक्ति को यह स्पष्ट हो जाता है कि एक एक्स कैसे वाई में बदल जाता है।

आमतौर पर, वे बिल्कुल यही करते हैं - कार्यों में हम सूत्रों द्वारा निर्दिष्ट तैयार किए गए फ़ंक्शन देखते हैं, हालांकि, फ़ंक्शन सेट करने के अन्य तरीके भी हैं जिनके बारे में हर कोई भूल जाता है, और इसलिए प्रश्न "आप फ़ंक्शन को और कैसे सेट कर सकते हैं?" चकित कर देता है. आइए सब कुछ क्रम से समझें, और विश्लेषणात्मक पद्धति से शुरू करें।

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विश्लेषणात्मक विधि

विश्लेषणात्मक विधि एक सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करना है। यह सबसे सार्वभौमिक, व्यापक और स्पष्ट विधि है। यदि आपके पास एक सूत्र है, तो आप किसी फ़ंक्शन के बारे में पूरी तरह से सब कुछ जानते हैं - आप इससे मूल्यों की एक तालिका बना सकते हैं, आप एक ग्राफ बना सकते हैं, यह निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन कहां बढ़ता है और कहां घटता है, सामान्य तौर पर, इसका अध्ययन करें पूरे में।

आइए फ़ंक्शन पर विचार करें. क्या फर्क पड़ता है?

"इसका मतलब क्या है?" - आप पूछना। मैं अभी समझाऊंगा.

मैं आपको याद दिला दूं कि नोटेशन में कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को तर्क कहा जाता है। और यह तर्क कोई भी अभिव्यक्ति हो सकता है, जरूरी नहीं कि सरल हो। तदनुसार, जो भी तर्क (कोष्ठक में अभिव्यक्ति) है, हम उसे अभिव्यक्ति के स्थान पर लिखेंगे।

हमारे उदाहरण में यह इस तरह दिखेगा:

आइए किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विश्लेषणात्मक पद्धति से संबंधित एक अन्य कार्य पर विचार करें, जो आपको परीक्षा में मिलेगा।

अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए।

मुझे यकीन है कि जब आपने ऐसी अभिव्यक्ति देखी तो पहले आप डर गए थे, लेकिन इसमें डरावना कुछ भी नहीं है!

सब कुछ पिछले उदाहरण जैसा ही है: जो भी तर्क (कोष्ठक में अभिव्यक्ति) है, हम उसे अभिव्यक्ति में लिखेंगे। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए.

हमारे उदाहरण में क्या करने की आवश्यकता है? इसके बजाय आपको लिखने की ज़रूरत है, और इसके बजाय -:

परिणामी अभिव्यक्ति को छोटा करें:

बस इतना ही!

स्वतंत्र काम

अब निम्नलिखित भावों का अर्थ स्वयं खोजने का प्रयास करें:

1. , अगर
2. , अगर

क्या आप संभाल पाओगे? आइए अपने उत्तरों की तुलना करें: हम इस तथ्य के आदी हैं कि फ़ंक्शन का रूप होता है

यहां तक ​​कि हमारे उदाहरणों में भी, हम फ़ंक्शन को बिल्कुल इसी तरह से परिभाषित करते हैं, लेकिन उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक रूप से फ़ंक्शन को अंतर्निहित रूप में निर्दिष्ट करना संभव है।

इस फ़ंक्शन को स्वयं बनाने का प्रयास करें.

क्या आप संभाल पाओगे?

इस तरह मैंने इसे बनाया.

आख़िरकार हमने कौन सा समीकरण प्राप्त किया?

सही! रैखिक, जिसका अर्थ है कि ग्राफ़ एक सीधी रेखा होगी। आइए यह निर्धारित करने के लिए एक तालिका बनाएं कि हमारी रेखा में कौन से बिंदु हैं:

यह वही है जिसके बारे में हम बात कर रहे थे... एक अनेक से मेल खाता है।

आइए चित्रित करने का प्रयास करें कि क्या हुआ:

क्या हमें जो मिला है वह एक फ़ंक्शन है?

यह सही है, नहीं! क्यों? इस प्रश्न का उत्तर एक चित्र की सहायता से देने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

"क्योंकि एक मान कई मानों से मेल खाता है!"

इससे हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

यह सही है, एक फ़ंक्शन को हमेशा स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और जो फ़ंक्शन के रूप में "प्रच्छन्न" होता है वह हमेशा एक फ़ंक्शन नहीं होता है!

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की सारणीबद्ध विधि

जैसा कि नाम से पता चलता है, यह विधि एक सरल संकेत है। हां हां। जैसा कि आप और मैं पहले ही बना चुके हैं। उदाहरण के लिए:

यहां आपने तुरंत एक पैटर्न देखा - Y, X से तीन गुना बड़ा है। और अब कार्य "बहुत सावधानी से सोचना": क्या आपको लगता है कि तालिका के रूप में दिया गया एक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन के बराबर है?

आइए लंबे समय तक बात न करें, लेकिन आइए चित्र बनाएं!

इसलिए। हम वॉलपेपर द्वारा निर्दिष्ट फ़ंक्शन को निम्नलिखित तरीकों से बनाते हैं:

आपको फर्क दिखता हैं? यह सब चिह्नित बिंदुओं के बारे में नहीं है! ज़रा बारीकी से देखें:

क्या आपने इसे अभी देखा है? जब हम किसी फ़ंक्शन को सारणीबद्ध तरीके से परिभाषित करते हैं, तो हम ग्राफ़ पर केवल उन्हीं बिंदुओं को प्रदर्शित करते हैं जो तालिका में हैं और रेखा (जैसा कि हमारे मामले में) केवल उनसे होकर गुजरती है। जब हम किसी फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करते हैं, तो हम कोई भी बिंदु ले सकते हैं, और हमारा फ़ंक्शन उन तक सीमित नहीं है। यही खासियत है. याद करना!

किसी फ़ंक्शन के निर्माण की ग्राफ़िकल विधि

किसी फ़ंक्शन के निर्माण की ग्राफ़िकल विधि भी कम सुविधाजनक नहीं है। हम अपना फ़ंक्शन बनाते हैं, और कोई अन्य इच्छुक व्यक्ति यह पता लगा सकता है कि किसी निश्चित x पर y किसके बराबर है इत्यादि। ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक तरीके सबसे आम हैं।

हालाँकि, यहां आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि हमने शुरुआत में क्या बात की थी - समन्वय प्रणाली में खींचा गया प्रत्येक "स्क्विगल" एक फ़ंक्शन नहीं है! तुम्हे याद है? बस किसी मामले में, मैं यहां एक फ़ंक्शन क्या है इसकी परिभाषा की प्रतिलिपि बनाऊंगा:

एक नियम के रूप में, लोग आमतौर पर किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के बिल्कुल तीन तरीकों का नाम देते हैं जिन पर हमने चर्चा की है - विश्लेषणात्मक (सूत्र का उपयोग करके), सारणीबद्ध और ग्राफिकल, पूरी तरह से भूल जाते हैं कि किसी फ़ंक्शन को मौखिक रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस कदर? हाँ, बहुत सरल!

फ़ंक्शन का मौखिक विवरण

किसी फ़ंक्शन का मौखिक रूप से वर्णन कैसे करें? आइए अपना हालिया उदाहरण लें - . इस फ़ंक्शन को "x का प्रत्येक वास्तविक मान इसके ट्रिपल मान से मेल खाता है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। बस इतना ही। कुछ भी जटिल नहीं. आप निश्चित रूप से आपत्ति करेंगे - "ऐसे जटिल कार्य हैं जिन्हें मौखिक रूप से निर्दिष्ट करना असंभव है!" हां, ऐसे हैं, लेकिन ऐसे फ़ंक्शन भी हैं जिनका किसी सूत्र से परिभाषित करने की तुलना में मौखिक रूप से वर्णन करना आसान है। उदाहरण के लिए: "x का प्रत्येक प्राकृतिक मान उन अंकों के बीच के अंतर से मेल खाता है जिनमें यह शामिल है, जबकि न्यूनतम को संख्या के अंकन में निहित सबसे बड़ा अंक माना जाता है।" अब आइए देखें कि फ़ंक्शन का हमारा मौखिक विवरण व्यवहार में कैसे कार्यान्वित किया जाता है:

किसी दी गई संख्या में सबसे बड़ा अंक, क्रमशः, न्यूनतम है, तो:

मुख्य प्रकार के कार्य

आइए अब सबसे दिलचस्प भाग पर चलते हैं - आइए उन मुख्य प्रकार के कार्यों को देखें जिनके साथ आपने काम किया है/काम कर रहे हैं और स्कूल और कॉलेज के गणित के पाठ्यक्रम में काम करेंगे, यानी, आइए उन्हें जानें, ऐसा कहें तो , और उन्हें एक संक्षिप्त विवरण दें। संबंधित अनुभाग में प्रत्येक फ़ंक्शन के बारे में और पढ़ें।

रैखिक प्रकार्य

फॉर्म का एक फ़ंक्शन जहां, वास्तविक संख्याएं हैं।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, इसलिए एक रैखिक फ़ंक्शन का निर्माण दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने तक होता है।

निर्देशांक तल पर सीधी रेखा की स्थिति कोणीय गुणांक पर निर्भर करती है।

किसी फ़ंक्शन का दायरा (वैध तर्क मानों का दायरा उर्फ) है।

मूल्यों की सीमा - .

द्विघात फंक्शन

प्रपत्र का कार्य, जहां

फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है; जब परवलय की शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, जब शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

द्विघात फलन के कई गुण विवेचक के मान पर निर्भर करते हैं। विवेचक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

मान और गुणांक के सापेक्ष निर्देशांक तल पर परवलय की स्थिति चित्र में दिखाई गई है:

कार्यक्षेत्र

मानों की सीमा दिए गए फ़ंक्शन के चरम (परवलय का शीर्ष बिंदु) और गुणांक (परवलय की शाखाओं की दिशा) पर निर्भर करती है

व्युत्क्रम आनुपातिकता

सूत्र द्वारा दिया गया कार्य, जहाँ

संख्या को व्युत्क्रम आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है। मान के आधार पर, हाइपरबोला की शाखाएँ विभिन्न वर्गों में होती हैं:

कार्यक्षेत्र - ।

मूल्यों की सीमा - .

सारांश और बुनियादी सूत्र

1. फ़ंक्शन एक नियम है जिसके अनुसार सेट का प्रत्येक तत्व सेट के एक तत्व से जुड़ा होता है।

• - यह एक फ़ंक्शन को दर्शाने वाला एक सूत्र है, अर्थात, एक चर की दूसरे पर निर्भरता;
• - परिवर्तनीय मान, या तर्क;
• - आश्रित मात्रा - तर्क बदलने पर परिवर्तन होता है, अर्थात, किसी विशिष्ट सूत्र के अनुसार एक मात्रा की दूसरे पर निर्भरता को दर्शाता है।

2. मान्य तर्क मान, या किसी फ़ंक्शन का डोमेन, वह है जो उन संभावनाओं से जुड़ा होता है जिनमें फ़ंक्शन समझ में आता है।

3. फ़ंक्शन रेंज- स्वीकार्य मूल्यों को देखते हुए यह यही मान लेता है।

4. किसी फ़ंक्शन को सेट करने के 4 तरीके हैं:

• विश्लेषणात्मक (सूत्रों का उपयोग करके);
• सारणीबद्ध;
• ग्राफ़िक
• मौखिक विवरण.

5. मुख्य प्रकार के कार्य:

• : , वास्तविक संख्याएँ कहाँ हैं;
• : , कहाँ;
• : , कहाँ।

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और ग्राफ़ बनाने की संभावित योजनाओं में से एक को समस्या को हल करने के निम्नलिखित चरणों में विघटित किया गया है: 1. फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन (O.O.F.)। 2. कार्य विराम बिंदु, उनकी प्रकृति। लंबवत अनंतस्पर्शी. 3. सम, विषम, फलन की आवधिकता। 4. निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु। 5. अनंत पर फलन का व्यवहार. क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी. 6. किसी फ़ंक्शन की एकरसता का अंतराल, अधिकतम और न्यूनतम अंक। 7. वक्र की उत्तलता की दिशाएँ। विभक्ति बिंदु. 8. फ़ंक्शन ग्राफ़। उदाहरण 1. फ़ंक्शन y = 1 का एक ग्राफ़ बनाएं। (वेरिओरा या मारिया एनीई का कर्ल)। - संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष. 2. कोई ब्रेक प्वाइंट नहीं हैं; कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं। 3. फ़ंक्शन सम है:, इसलिए इसका ग्राफ ओए अक्ष के संबंध में गैर-आवधिक सममित है। फ़ंक्शन की समता से यह पता चलता है कि यह अर्ध-रेखा x ^ O पर अपना ग्राफ बनाने के लिए पर्याप्त है, और फिर इसे ओए अक्ष में प्रतिबिंबित करता है। 4. x = 0 पर हमारे पास Yx है, ताकि फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपरी अर्ध-तल y > 0 में स्थित हो। फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण की योजना उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके चरम तक फ़ंक्शन का अध्ययन करें जड़ों की गणना जीवाओं और स्पर्शरेखाओं की विधियों का उपयोग करते हुए समीकरणों में ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = O है, कोई तिरछा अनंतस्पर्शी नहीं है। अतः फलन कब बढ़ता है और कब घटता है। बिंदु x = 0 महत्वपूर्ण है. जब x, बिंदु x = 0 से होकर गुजरता है, तो व्युत्पन्न y"(x) चिह्न को शून्य से प्लस में बदल देता है। इसलिए, बिंदु x = 0 अधिकतम बिंदु है, y(Q) = I. यह परिणाम काफी स्पष्ट है: / (x) = T^ IV*। दूसरा व्युत्पन्न बिंदु x = पर गायब हो जाता है। हम बिंदु x = 4- की जांच करते हैं (इसके बाद समरूपता विचार)। जब हमारे पास होता है, तो वक्र नीचे की ओर उत्तल होता है; जब हम प्राप्त करते हैं (वक्र है) ऊपर की ओर उत्तल)। नतीजतन, बिंदु x = = - फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु ग्राफ है। हम तालिका में अध्ययन के परिणामों को सारांशित करते हैं: विभक्ति बिंदु अधिकतम विभक्ति बिंदु तालिका में, तीर "Y" में वृद्धि का संकेत देता है फ़ंक्शन, तीर "\" इसकी कमी को इंगित करता है। फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र 33 में दिखाया गया है। उदाहरण 2. फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (न्यूटन का त्रिशूल)। - बिंदु 2 को छोड़कर, संपूर्ण संख्या अक्ष। असंततता फ़ंक्शन का बिंदु। हमारे पास यह है कि सीधी रेखा x = 0 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। 3. फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम है [सामान्य स्थिति फ़ंक्शन], गैर-आवधिक। मान लें कि हमें फ़ंक्शन का ग्राफ मिलता है जो अक्ष को काटता है बिंदु (-1,0) पर बैल। कोई तिरछा और क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं। इसलिए महत्वपूर्ण बिंदु। किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न, इसलिए x = न्यूनतम बिंदु है। दूसरा व्युत्पन्न एक बिंदु पर यूयूएल में बदल जाता है और इस बिंदु से गुजरने पर अपना संकेत बदल देता है। इसलिए, बिंदु वक्र का विभक्ति बिंदु है। के लिए) हमारे पास ई. वक्र की उत्तलता नीचे की ओर निर्देशित है; के लिए - मेरे पास है। वक्र की उत्तलता ऊपर की ओर निर्देशित है। अध्ययन के परिणामों को एक तालिका में संक्षेपित किया गया है: मौजूद नहीं है मौजूद नहीं है विभक्ति बिंदु मौजूद नहीं है। व्युत्पन्न का ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी x = e,/2 पर लुप्त हो जाता है। और जब x इस बिंदु से गुजरता है, तो y" चिह्न बदलता है। नतीजतन, वक्र के विभक्ति बिंदु का भुज है। हम अध्ययन के परिणामों को तालिका में सारांशित करते हैं: विभक्ति बिंदु। फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 37. उदाहरण 4. दूसरे प्रकार के फ़ंक्शन के बिंदु बिंदु बिंदु असंततता को छोड़कर, फ़ंक्शन के पूरे संख्यात्मक अक्ष का एक ग्राफ़ बनाएं। किमी के बाद से। फिर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का सीधा ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी। एक सामान्य स्थिति फ़ंक्शन, गैर -आवधिक। y = 0 सेट करते हुए, हमारे पास है, जहां से फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऑक्स अक्ष को बिंदु पर काटता है इसलिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक तिरछा अनंतस्पर्शी है, जो स्थिति हमें प्राप्त होती है - महत्वपूर्ण बिंदु। दूसरा व्युत्पन्न फ़ंक्शन का y" = D > 0 परिभाषा के क्षेत्र में हर जगह, विशेष रूप से, बिंदु पर - फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु। 7. चूंकि, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में हर जगह, इसके ग्राफ की उत्तलता नीचे की ओर निर्देशित होती है। अध्ययन के परिणामों को एक तालिका में संक्षेपित किया गया है: अस्तित्व में नहीं है अस्तित्व में नहीं है अस्तित्व में नहीं है। x = 0 - ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। उदाहरण 5. संपूर्ण संख्या अक्ष के फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। 2. सर्वत्र निरन्तर। कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं. 3. सामान्य स्थिति, गैर-आवधिक। 4. फ़ंक्शन 5 पर गायब हो जाता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक तिरछा अनंतस्पर्शी होता है। व्युत्पन्न बिंदु पर गायब हो जाता है और मौजूद नहीं होता है। जब x बिंदु से होकर गुजरता है) तो व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, इसलिए बिंदु x = 0 पर कोई चरम सीमा नहीं होती है। जब एक बिंदु x एक बिंदु से होकर गुजरता है, तो व्युत्पन्न) का चिह्न "+" से बदल जाता है, इसलिए फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। जब x बिंदु x = 3 (x > I) से गुजरता है, तो व्युत्पन्न y"(x) चिह्न बदल देता है, अर्थात, बिंदु x = 3 पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान होता है। 7. ग्राफ़ बनाने के लिए दूसरी व्युत्पन्न योजना ढूँढना किसी फ़ंक्शन का उच्च क्रम के डेरिवेटिव का उपयोग करके एक चरम तक फ़ंक्शन का अध्ययन, जीवा और स्पर्शरेखा विधियों द्वारा समीकरणों की जड़ों की गणना दूसरा व्युत्पन्न y"(x) बिंदु x = 0 पर मौजूद नहीं है और जब x बिंदु x = 0 से गुजरता है y" चिह्न को + से बदल देता है ताकि वक्र का बिंदु (0,0) एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ एक बिंदु विभक्ति हो। बिंदु x = 3 पर ग्राफ़ में कोई विभक्ति नहीं है। अर्ध-तल में हर जगह x > 0 वक्र की उत्तलता ऊपर की ओर निर्देशित है। अध्ययन के परिणामों को तालिका में संक्षेपित किया गया है: मौजूद नहीं है मौजूद नहीं है मौजूद नहीं है मौजूद नहीं है एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के साथ विभक्ति बिंदु (0.0) फ़ंक्शन का ग्राफ प्रस्तुत किया गया है अंजीर। 39. §7. उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके चरम के लिए कार्यों का अध्ययन करना कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को खोजने के लिए, टेलर सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यह प्रमेय. मान लें कि बिंदु xq के किसी पड़ोस में फ़ंक्शन f(x) का nवें क्रम का व्युत्पन्न है, जो बिंदु xo पर निरंतर है। मान लीजिए 0. फिर यदि संख्या n विषम है, तो बिंदु x0 पर फ़ंक्शन f(x) है कोई चरम सीमा नहीं; जब n सम है, तो बिंदु x0 पर फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम मान होता है यदि /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, जो अंतराल में है, अंतर - /(x0) अपना चिह्न बरकरार रखता है। टेलर सूत्र को एक शर्त के रूप में उपयोग करते हुए, (1) से हमें 1 शर्त प्राप्त होती है f(n*(r) एक बिंदु पर निरंतर है और Φ इसलिए, एक सतत फ़ंक्शन के नाम की स्थिरता के कारण, ऐसा मौजूद है कि अंतराल () नहीं बदलता है और f(n)(xo) के चिह्न के साथ मेल खाता है। आइए संभावित मामलों पर विचार करें: 1) n एक सम संख्या है और / फिर I इसलिए (2) के आधार पर। परिभाषा के अनुसार, इसका मतलब है कि बिंदु r फ़ंक्शन /(r) का न्यूनतम बिंदु है। 2) एन - सम और। तब हमारे पास इसके साथ i होगा और इसलिए, बिंदु i इस मामले में फ़ंक्शन /(r) का अधिकतम बिंदु होगा। 3) n एक विषम संख्या है, / - फिर x > x0 के लिए चिन्ह > /(n)(th) के चिन्ह के साथ मेल खाएगा, और r वें के लिए यह विपरीत होगा। इसलिए, 0 कितना भी छोटा क्यों न हो, अंतर f(r) - f(r) का चिह्न सभी x e (r - 6, r + £) के लिए समान नहीं होगा। नतीजतन, इस मामले में बिंदु वें पर फ़ंक्शन f(r) का कोई चरम नहीं है। उदाहरण। आइए फ़ंक्शन ए पर विचार करें। यह देखना आसान है कि बिंदु x = 0 दोनों कार्यों का महत्वपूर्ण बिंदु है। फ़ंक्शन y = x4 के लिए, बिंदु x = 0 पर गैर-शून्य व्युत्पन्न में से पहला 4 वें क्रम का व्युत्पन्न है: इस प्रकार, यहां n = 4 सम है और। इसलिए, बिंदु x = 0 पर फ़ंक्शन y = x4 का न्यूनतम है। फ़ंक्शन y = x के लिए), व्युत्पन्नों में से पहला जो बिंदु x = 0 पर गैर-शून्य है, तीसरे क्रम का व्युत्पन्न है। तो इस मामले में n = 3 विषम है, और बिंदु x = 0 पर फ़ंक्शन y = x3 का कोई चरम नहीं है। टिप्पणी। टेलर के सूत्र का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं, जो विभक्ति बिंदु के लिए पर्याप्त शर्तों को व्यक्त करता है। "प्रमेय 12. मान लीजिए कि बिंदु r0 के कुछ पड़ोस में फ़ंक्शन /(r) में वें क्रम का व्युत्पन्न है, जो बिंदु xq पर निरंतर है। मान लीजिए, लेकिन /(n)(*o) Φ 0. फिर, यदि n एक विषम संख्या है, तो बिंदु Mo(x0, f(xо)) फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ का विभक्ति बिंदु है। सबसे सरल उदाहरण फ़ंक्शन द्वारा प्रदान किया गया है। §8। की जड़ों की गणना जीवा और स्पर्शरेखा के तरीकों का उपयोग करके समीकरण। समस्या समीकरण की वास्तविक जड़ को खोजने की है। आइए मान लें कि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं: 1) फ़ंक्शन f(x) अंतराल [a, 6] पर निरंतर है; 2 ) संख्याएँ f(a) और f(b) चिह्न में विपरीत हैं: 3) अंतराल [a, 6] पर व्युत्पन्न f"(x) और f "(x) मौजूद हैं, जो इस खंड पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखते हैं। बोल्ज़ानो-कॉची प्रमेय (पृष्ठ 220) के आधार पर शर्तों 1) और 2) से यह निष्कर्ष निकलता है कि फ़ंक्शन /(x) कम से कम एक बिंदु £ € ( a, b) पर गायब हो जाता है, अर्थात, समीकरण (1) अंतराल (ए, बी) में कम से कम एक वास्तविक मूल £ है। चूंकि, शर्त 3 ​​के आधार पर, [ए, बी\ पर व्युत्पन्न /"(x) स्थिर चिह्न रहता है, तो एफ(एक्स) एकरस है [ए, बी] और इसलिए अंतराल (ए, बी) में समीकरण (1) का केवल एक वास्तविक मूल है। समीकरण (आई) के इस एकल वास्तविक मूल £ € (ए, 6) के अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए एक विधि पर विचार करें ) सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ। चार मामले संभव हैं (चित्र 40): 1) चित्र। 40 निश्चितता के लिए, आइए उस स्थिति को लें जब खंड [a, 6) पर f\x) > 0, f"(x) > 0 हो (चित्र 41)। आइए हम बिंदुओं A(a, /(a) को जोड़ते हैं )) और B(b, f(b)) जीवा A B. यह बिंदु A और B से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का एक खंड है, जिसका समीकरण बिंदु aj है, जिस पर जीवा AB ऑक्सी अक्ष को काटती है, है ai के बीच स्थित है (और a का बेहतर सन्निकटन है। (2) y = 0 मानते हुए, हम चित्र 41 से पाते हैं। यह नोटिस करना आसान है कि बिंदु a\ हमेशा उस तरफ स्थित होगा जहां से संकेत f( x) और f"(x) विपरीत हैं। आइए अब बिंदु B(b, f(b)) में वक्र y = f(x) पर एक स्पर्श रेखा खींचें, अर्थात चाप ^AB के उस छोर पर जिस पर f (x) और /"(i) का चिह्न एक ही है। यह एक आवश्यक शर्त है: इसके बिना, ऑक्स अक्ष के स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित मूल का अनुमान बिल्कुल भी प्रदान नहीं कर सकता है। बिंदु b\, पर जो स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष को प्रतिच्छेद करती है, वह £ और b के बीच 6 के समान पक्ष पर स्थित है, और b की तुलना में बेहतर सन्निकटन है। यह स्पर्शरेखा समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है (3 में y = 0 मानते हुए), हम b\ पाते हैं : किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की योजना उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके एक चरम तक फ़ंक्शन का अध्ययन जीवा और स्पर्शरेखा के तरीकों का उपयोग करके समीकरणों की जड़ों की गणना इस प्रकार, हमने मूल £ के सन्निकटन सी की पूर्ण त्रुटि दी है अग्रिम रूप से। एजे और 6 के अनुमानित मानों की पूर्ण त्रुटि के लिए, मूल £, हम मान |6आई - एआई| ले सकते हैं। यदि यह त्रुटि अनुमेय से अधिक है, तो, खंड को मूल के रूप में लेते हुए, हम मूल के निम्नलिखित सन्निकटन पाएंगे। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें अनुमानित मूल्यों के दो अनुक्रम प्राप्त होते हैं। अनुक्रम (ए) और (बीएन) मोनोटोनिक और सीमित हैं और इसलिए, सीमाएं हैं। मान लीजिए कि यह दिखाया जा सकता है कि यदि उपरोक्त शर्तें पूरी होती हैं, तो समीकरण/उदाहरण के एकमात्र मूल तक 1। खंड पर मूल (समीकरण r2 - 1 = 0) खोजें। इस प्रकार, खंड पर एकल मूल (समीकरण x2 - 1 = 0) के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए सभी शर्तें पूरी होती हैं। और विधि को काम करना चाहिए। 8 हमारे मामले में a = 0, b = 2. जब n = I से (4) और (5) हम पाते हैं जब n = 2 हम प्राप्त करते हैं जो मूल के सटीक मान का अनुमान देता है (पूर्ण त्रुटि के साथ) अभ्यास कार्यों के ग्राफ का निर्माण करें: दिए गए खंडों पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें: उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके दिए गए बिंदुओं के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें: उत्तर

कार्य फ़ंक्शन का संपूर्ण अध्ययन करना और उसका ग्राफ़ बनाना है।

प्रत्येक विद्यार्थी को समान कार्यों से गुजरना पड़ा।

आगे की प्रस्तुति अच्छे ज्ञान को मानती है। यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप इस अनुभाग को देखें।

फ़ंक्शन अनुसंधान एल्गोरिदम में निम्नलिखित चरण होते हैं।

किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूँढना।

फ़ंक्शन का अध्ययन करने में यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण कदम है, क्योंकि आगे की सभी कार्रवाई परिभाषा के क्षेत्र में की जाएगी।

हमारे उदाहरण में, हमें हर के शून्य को खोजने और उन्हें वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से बाहर करने की आवश्यकता है।



(अन्य उदाहरणों में मूल, लघुगणक आदि हो सकते हैं। आइए याद रखें कि इन मामलों में परिभाषा का क्षेत्र निम्नानुसार खोजा जाता है:
उदाहरण के लिए, सम डिग्री के मूल के लिए, परिभाषा का क्षेत्र असमानता से पाया जाता है;
लघुगणक के लिए - परिभाषा का क्षेत्र असमानता से पाया जाता है)।

परिभाषा के क्षेत्र की सीमा पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजना।

परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर, फ़ंक्शन है ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी, यदि इन सीमा बिंदुओं पर अनंत हैं।

हमारे उदाहरण में, परिभाषा के क्षेत्र के सीमा बिंदु हैं।

आइए बाएं और दाएं से इन बिंदुओं पर पहुंचने पर फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें, जिसके लिए हमें एकतरफा सीमाएं मिलती हैं:


चूँकि एकतरफ़ा सीमाएँ अनंत हैं, सीधी रेखाएँ ग्राफ़ की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं।

समता या विषमता के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच।

कार्य है यहां तक ​​की, अगर । फ़ंक्शन की समता कोटि के बारे में ग्राफ़ की समरूपता को इंगित करती है।

कार्य है विषम, अगर . फ़ंक्शन की विषमता मूल के सापेक्ष ग्राफ की समरूपता को इंगित करती है।

यदि कोई भी समानता संतुष्ट नहीं होती है, तो हमारे पास एक सामान्य रूप का कार्य होता है।

हमारे उदाहरण में, समानता कायम है, इसलिए, हमारा कार्य सम है। ग्राफ बनाते समय हम इसे ध्यान में रखेंगे - यह ओय अक्ष के बारे में सममित होगा।

बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल, चरम बिंदु ढूँढना।

बढ़ने और घटने के अंतराल क्रमशः असमानताओं के समाधान हैं।

वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न लुप्त हो जाता है, कहलाते हैं अचल.

समारोह के महत्वपूर्ण बिंदुपरिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदुओं को कॉल करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

टिप्पणी(बढ़ते और घटते अंतराल में महत्वपूर्ण बिंदुओं को शामिल करना है या नहीं)।

यदि वे फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं तो हम बढ़ते और घटते अंतराल में महत्वपूर्ण बिंदुओं को शामिल करेंगे।

इस प्रकार, बढ़ते और घटते कार्य के अंतराल को निर्धारित करने के लिए

• सबसे पहले, हम व्युत्पन्न पाते हैं;
• दूसरे, हमें महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं;
• तीसरा, हम परिभाषा के क्षेत्र को महत्वपूर्ण बिंदुओं द्वारा अंतरालों में विभाजित करते हैं;
• चौथा, हम प्रत्येक अंतराल पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करते हैं। धन चिह्न वृद्धि के अंतराल के अनुरूप होगा, ऋण चिह्न कमी के अंतराल के अनुरूप होगा।

जाना!

हम परिभाषा के क्षेत्र में व्युत्पन्न पाते हैं (यदि कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, तो अनुभाग देखें)।


हमें इसके लिए महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं:

हम इन बिंदुओं को संख्या अक्ष पर आलेखित करते हैं और प्रत्येक परिणामी अंतराल के भीतर अवकलज का चिह्न निर्धारित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, आप अंतराल में कोई भी बिंदु ले सकते हैं और उस बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना कर सकते हैं। यदि मान सकारात्मक है, तो हम इस अंतर पर प्लस चिह्न लगाते हैं और अगले पर जाते हैं, यदि यह नकारात्मक है, तो हम ऋण चिह्न लगाते हैं, आदि। जैसे, , इसलिए, हम बाईं ओर पहले अंतराल के ऊपर एक प्लस लगाते हैं।


हम निष्कर्ष निकालते हैं:

योजनाबद्ध रूप से, प्लस/माइनस उन अंतरालों को चिह्नित करते हैं जहां व्युत्पन्न सकारात्मक/नकारात्मक है। बढ़ते/घटते तीर वृद्धि/कमी की दिशा दर्शाते हैं।

फ़ंक्शन के चरम बिंदुवे बिंदु हैं जिन पर फ़ंक्शन परिभाषित होता है और जहां से गुजरते हुए व्युत्पन्न संकेत बदलता है।

हमारे उदाहरण में, चरम बिंदु x=0 है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है . चूंकि बिंदु x=0 से गुजरने पर व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो (0; 0) स्थानीय अधिकतम का एक बिंदु है। (यदि व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, तो हमारे पास एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु होगा)।

किसी फ़ंक्शन और विभक्ति बिंदुओं की उत्तलता और अवतलता अंतराल का पता लगाना।

किसी फ़ंक्शन की अवतलता और उत्तलता के अंतराल क्रमशः असमानताओं को हल करके पाए जाते हैं।

कभी-कभी अवतलता को उत्तल नीचे कहा जाता है, और उत्तल को उत्तल ऊपर कहा जाता है।

यहां, वृद्धि और कमी के अंतराल के बारे में पैराग्राफ से मिलती-जुलती टिप्पणियाँ भी मान्य हैं।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन की अवतलता और उत्तलता अंतराल निर्धारित करने के लिए:

• सबसे पहले, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं;
• दूसरे, हम दूसरे अवकलज के अंश और हर के शून्य पाते हैं;
• तीसरा, हम परिभाषा के क्षेत्र को प्राप्त बिंदुओं के आधार पर अंतरालों में विभाजित करते हैं;
• चौथा, हम प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न निर्धारित करते हैं। धन चिह्न अवतल अंतराल के अनुरूप होगा, ऋण चिह्न उत्तल अंतराल के अनुरूप होगा।

जाना!

हम परिभाषा के क्षेत्र पर दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं।


हमारे उदाहरण में, अंश में शून्य नहीं हैं, लेकिन हर में शून्य हैं।

हम इन बिंदुओं को संख्या अक्ष पर आलेखित करते हैं और प्रत्येक परिणामी अंतराल के अंदर दूसरे व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं।



हम निष्कर्ष निकालते हैं:

बिंदु कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु, यदि किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा है और फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न गुजरने पर संकेत बदलता है।

दूसरे शब्दों में, विभक्ति बिंदु वे बिंदु हो सकते हैं जिनके माध्यम से दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है; बिंदुओं पर स्वयं यह या तो शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल हैं।

हमारे उदाहरण में, कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न बिंदुओं से गुजरते समय संकेत बदलता है, और वे फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं होते हैं।

क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी खोजना।

क्षैतिज या तिरछे अनंतस्पर्शी की तलाश केवल तभी की जानी चाहिए जब फ़ंक्शन को अनंत पर परिभाषित किया गया हो।

तिरछा स्पर्शोन्मुखसीधी रेखाओं के रूप में खोजे जाते हैं, कहाँ और .

अगर k=0 और b अनंत के बराबर नहीं है, तो तिरछा अनंतस्पर्शी बन जाएगा क्षैतिज.

आख़िर ये स्पर्शोन्मुख कौन हैं?

ये वे रेखाएँ हैं जिन पर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनंत तक पहुँचता है। इस प्रकार, वे किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने में बहुत सहायक होते हैं।

यदि कोई क्षैतिज या तिरछा अनंतस्पर्शी नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शन को प्लस इनफिनिटी और (या) माइनस इनफिनिटी पर परिभाषित किया गया है, तो आपको इसका अंदाजा लगाने के लिए प्लस इनफिनिटी और (या) माइनस इनफिनिटी पर फ़ंक्शन की सीमा की गणना करनी चाहिए। ​फ़ंक्शन ग्राफ़ का व्यवहार.

हमारे उदाहरण के लिए

- समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा।

इससे फ़ंक्शन का अध्ययन समाप्त हो जाता है; हम ग्राफ़ बनाने के लिए आगे बढ़ते हैं।

हम मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करते हैं।

अधिक सटीक प्लॉटिंग के लिए, हम मध्यवर्ती बिंदुओं पर (अर्थात, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी बिंदु पर) कई फ़ंक्शन मान खोजने की अनुशंसा करते हैं।

हमारे उदाहरण के लिए, हम x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4 बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान पाएंगे। फ़ंक्शन की समता के कारण, ये मान x=2, x=1, x=3/4, x=1/4 बिंदुओं पर मानों के साथ मेल खाएंगे।


एक ग्राफ बनाना.

सबसे पहले, हम स्पर्शोन्मुख का निर्माण करते हैं, फ़ंक्शन के स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा के बिंदुओं, विभक्ति बिंदुओं और मध्यवर्ती बिंदुओं को प्लॉट करते हैं। ग्राफ बनाने की सुविधा के लिए, आप योजनाबद्ध रूप से वृद्धि, कमी, उत्तलता और अवतलता के अंतराल को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं, यह व्यर्थ नहीं है कि हमने फ़ंक्शन का अध्ययन किया =)।


यह चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से ग्राफ़ रेखाएँ खींचने, स्पर्शोन्मुख तक पहुँचने और तीरों का अनुसरण करने के लिए बना हुआ है।


ललित कला की इस उत्कृष्ट कृति के साथ, फ़ंक्शन का पूरी तरह से अध्ययन करने और ग्राफ़ बनाने का कार्य पूरा हो गया है।

कुछ प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ बुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन कैसे करें और उसका ग्राफ़ कैसे बनाएं?

ऐसा लगता है कि मैं 55 खंडों में संकलित रचनाओं के लेखक, विश्व सर्वहारा के नेता के आध्यात्मिक रूप से अंतर्दृष्टिपूर्ण चेहरे को समझने लगा हूं... लंबी यात्रा की शुरुआत बुनियादी जानकारी के साथ हुई फ़ंक्शन और ग्राफ़, और अब एक श्रम-गहन विषय पर काम एक तार्किक परिणाम के साथ समाप्त होता है - एक लेख फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन के बारे में. लंबे समय से प्रतीक्षित कार्य इस प्रकार तैयार किया गया है:

विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करें और अध्ययन के परिणामों के आधार पर उसका ग्राफ़ बनाएं

या संक्षेप में: फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

अन्वेषण क्यों करें?साधारण मामलों में, हमारे लिए प्राथमिक कार्यों को समझना और इसका उपयोग करके प्राप्त ग्राफ बनाना मुश्किल नहीं होगा प्राथमिक ज्यामितीय परिवर्तनऔर इसी तरह। हालाँकि, अधिक जटिल कार्यों के गुण और चित्रमय निरूपण स्पष्ट नहीं हैं, यही कारण है कि एक संपूर्ण अध्ययन की आवश्यकता है।

समाधान के मुख्य चरणों को संदर्भ सामग्री में संक्षेपित किया गया है कार्य अध्ययन योजना, यह अनुभाग के लिए आपकी मार्गदर्शिका है। डमी को किसी विषय की चरण-दर-चरण व्याख्या की आवश्यकता होती है, कुछ पाठक नहीं जानते कि अपना शोध कहाँ से शुरू करें या कैसे व्यवस्थित करें, और उन्नत छात्र केवल कुछ बिंदुओं में रुचि ले सकते हैं। लेकिन आप जो भी हों, प्रिय आगंतुक, विभिन्न पाठों के संकेतों के साथ प्रस्तावित सारांश आपको तुरंत रुचि की दिशा में उन्मुख और मार्गदर्शन करेगा। रोबोटों ने आँसू बहाए =) मैनुअल को एक पीडीएफ फ़ाइल के रूप में रखा गया और पृष्ठ पर अपना उचित स्थान ले लिया गणितीय सूत्र और तालिकाएँ.

मैं किसी फ़ंक्शन के शोध को 5-6 बिंदुओं में विभाजित करने का आदी हूं:

6) शोध परिणामों के आधार पर अतिरिक्त बिंदु और ग्राफ़।

अंतिम कार्रवाई के संबंध में, मुझे लगता है कि सब कुछ सभी के लिए स्पष्ट है - यह बहुत निराशाजनक होगा यदि कुछ ही सेकंड में इसे काट दिया जाए और कार्य को पुनरीक्षण के लिए वापस कर दिया जाए। एक सही और सटीक ड्राइंग समाधान का मुख्य परिणाम है! यह विश्लेषणात्मक त्रुटियों को "छिपाने" की संभावना है, जबकि एक गलत और/या लापरवाह कार्यक्रम पूरी तरह से आयोजित अध्ययन के साथ भी समस्याएं पैदा करेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अन्य स्रोतों में अनुसंधान बिंदुओं की संख्या, उनके कार्यान्वयन का क्रम और डिजाइन शैली मेरे द्वारा प्रस्तावित योजना से काफी भिन्न हो सकती है, लेकिन ज्यादातर मामलों में यह काफी पर्याप्त है। समस्या के सबसे सरल संस्करण में केवल 2-3 चरण होते हैं और इसे कुछ इस तरह तैयार किया जाता है: "व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और एक ग्राफ़ बनाएं" या "पहले और दूसरे डेरिवेटिव का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें, एक ग्राफ़ बनाएं।"

स्वाभाविक रूप से, यदि आपका मैनुअल किसी अन्य एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन करता है या आपका शिक्षक सख्ती से मांग करता है कि आप उसके व्याख्यानों का पालन करें, तो आपको समाधान में कुछ समायोजन करना होगा। चेनसॉ काँटे को चम्मच से बदलने से अधिक कठिन कुछ नहीं है।

आइए सम/विषम के लिए फ़ंक्शन की जाँच करें:

इसके बाद एक टेम्पलेट उत्तर दिया गया है:
, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

चूंकि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, इसलिए कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख भी नहीं हैं।

टिप्पणी : मैं तुम्हें याद दिलाता हूँ कि उच्चतर विकास क्रम, से , इसलिए अंतिम सीमा बिल्कुल " है प्लसअनंत।"

आइए जानें कि फ़ंक्शन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है:

दूसरे शब्दों में, यदि हम दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ़ असीम रूप से ऊपर चला जाता है, यदि हम बाईं ओर जाते हैं, तो यह असीम रूप से नीचे चला जाता है। हाँ, एक ही प्रविष्टि के अंतर्गत दो सीमाएँ भी हैं। यदि आपको संकेतों को समझने में कठिनाई हो रही है, तो कृपया इसके बारे में पाठ देखें अतिसूक्ष्म कार्य.

तो समारोह ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं. यह मानते हुए कि हमारे पास कोई ब्रेकप्वाइंट नहीं है, यह स्पष्ट हो जाता है फ़ंक्शन रेंज: - कोई वास्तविक संख्या भी।

उपयोगी तकनीकी तकनीक

कार्य का प्रत्येक चरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में नई जानकारी लाता है, इसलिए, समाधान के दौरान एक प्रकार के LAYOUT का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए एक ड्राफ्ट पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनाएं। क्या पहले से ही निश्चित रूप से ज्ञात है? सबसे पहले, ग्राफ़ में कोई अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं, इसलिए सीधी रेखाएँ खींचने की कोई आवश्यकता नहीं है। दूसरे, हम जानते हैं कि फलन अनंत पर कैसे व्यवहार करता है। विश्लेषण के अनुसार, हम पहला अनुमान लगाते हैं:

कृपया ध्यान दें कि के कारण निरंतरताफ़ंक्शन चालू है और तथ्य यह है कि ग्राफ़ को कम से कम एक बार अक्ष को पार करना होगा। या हो सकता है कि प्रतिच्छेदन के कई बिंदु हों?

3) फलन के शून्य और अचर चिह्न के अंतराल।

सबसे पहले, आइए कोटि अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। यह आसान है। फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक है:

समुद्र तल से डेढ़ ऊपर.

अक्ष (फ़ंक्शन के शून्य) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, और यहां एक अप्रिय आश्चर्य हमारा इंतजार कर रहा है:

अंत में एक स्वतंत्र सदस्य छिपा हुआ है, जो कार्य को और अधिक कठिन बना देता है।

ऐसे समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है और प्रायः यह मूल अपरिमेय होता है। सबसे खराब परी कथा में, तीन छोटे सूअर हमारा इंतजार कर रहे हैं। समीकरण तथाकथित का उपयोग करके हल करने योग्य है कार्डानो सूत्र, लेकिन कागज को हुआ नुकसान लगभग पूरे अध्ययन के बराबर है। इस संबंध में, मौखिक रूप से या ड्राफ्ट में कम से कम एक का चयन करने का प्रयास करना बुद्धिमानी है। साबुतजड़। आइए देखें कि क्या ये संख्याएँ हैं:
- उपयुक्त नहीं;
- वहाँ है!

यहाँ भाग्यशाली हूँ. विफलता की स्थिति में, आप परीक्षण भी कर सकते हैं, और यदि ये संख्याएँ फिट नहीं होती हैं, तो मुझे डर है कि समीकरण के लाभदायक समाधान की संभावना बहुत कम है। फिर अनुसंधान बिंदु को पूरी तरह से छोड़ देना बेहतर है - शायद अंतिम चरण में कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब अतिरिक्त बिंदुओं को तोड़ दिया जाएगा। और यदि जड़ें स्पष्ट रूप से "खराब" हैं, तो संकेतों की स्थिरता के अंतराल के बारे में विनम्रतापूर्वक चुप रहना और अधिक सावधानी से आकर्षित करना बेहतर है।

हालाँकि, हमारे पास एक सुंदर जड़ है, इसलिए हम बहुपद को विभाजित करते हैं बिना किसी शेष के:

एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने के एल्गोरिदम पर पाठ के पहले उदाहरण में विस्तार से चर्चा की गई है जटिल सीमाएँ.

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण का बाईं ओर उत्पाद में विघटित हो जाता है:

और अब स्वस्थ जीवन शैली के बारे में थोड़ा। निःसंदेह, मैं इसे समझता हूं द्विघातीय समीकरणइसे हर दिन हल करने की आवश्यकता है, लेकिन आज हम एक अपवाद बनाएंगे: समीकरण इसकी दो वास्तविक जड़ें हैं.

आइए पाए गए मानों को संख्या रेखा पर आलेखित करें और अंतराल विधिआइए फ़ंक्शन के संकेतों को परिभाषित करें:


और इस प्रकार, अंतराल पर शेड्यूल स्थित है
x-अक्ष के नीचे, और अंतराल पर - इस अक्ष के ऊपर.

निष्कर्ष हमें अपने लेआउट को परिष्कृत करने की अनुमति देते हैं, और ग्राफ़ का दूसरा सन्निकटन इस तरह दिखता है:

कृपया ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन में एक अंतराल पर कम से कम एक अधिकतम और एक अंतराल पर कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। लेकिन हम अभी तक नहीं जानते कि शेड्यूल कितनी बार, कहां और कब लूप होगा। वैसे, एक फ़ंक्शन में अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं चरम.

4)कार्य का बढ़ना, घटना और चरम होना।

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

इस समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर रखें और अवकलज के चिह्न निर्धारित करें:


इसलिए, फ़ंक्शन बढ़ जाता है और घट जाती है.
इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .
इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

स्थापित तथ्य हमारे टेम्पलेट को काफी कठोर ढांचे में ले जाते हैं:

कहने की जरूरत नहीं है, डिफरेंशियल कैलकुलस एक शक्तिशाली चीज़ है। आइए अंततः ग्राफ़ के आकार को समझें:

5) उत्तलता, अवतलता और विभक्ति बिंदु।

आइए दूसरे व्युत्पन्न के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल और अवतल है। आइए विभक्ति बिंदु की कोटि की गणना करें: .

लगभग सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

6) अतिरिक्त बिंदु ढूंढना बाकी है जो आपको अधिक सटीक रूप से ग्राफ बनाने और आत्म-परीक्षण करने में मदद करेंगे। इस मामले में उनमें से कुछ हैं, लेकिन हम उनकी उपेक्षा नहीं करेंगे:

आइए चित्र बनाएं:

विभक्ति बिंदु को हरे रंग में चिह्नित किया गया है, अतिरिक्त बिंदुओं को क्रॉस के साथ चिह्नित किया गया है। एक घन फलन का ग्राफ उसके विभक्ति बिंदु के बारे में सममित होता है, जो हमेशा अधिकतम और न्यूनतम के बीच में स्थित होता है।

जैसे-जैसे कार्य आगे बढ़ा, मैंने तीन काल्पनिक अंतरिम चित्र उपलब्ध कराए। व्यवहार में, एक समन्वय प्रणाली बनाना, पाए गए बिंदुओं को चिह्नित करना और अनुसंधान के प्रत्येक बिंदु के बाद मानसिक रूप से अनुमान लगाना पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिख सकता है। अच्छे स्तर की तैयारी वाले छात्रों के लिए इस तरह के विश्लेषण को किसी ड्राफ्ट को शामिल किए बिना केवल अपने दिमाग में करना मुश्किल नहीं होगा।

इसे स्वयं हल करने के लिए:

उदाहरण 2

फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

यहां सब कुछ तेज़ और अधिक मज़ेदार है, पाठ के अंत में अंतिम डिज़ाइन का एक अनुमानित उदाहरण।

भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के अध्ययन से कई रहस्य उजागर होते हैं:

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करें और, अध्ययन के परिणामों के आधार पर, इसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: परिभाषा क्षेत्र में एक छेद के अपवाद के साथ, अध्ययन का पहला चरण कुछ भी उल्लेखनीय नहीं है:

1) फ़ंक्शन बिंदु को छोड़कर संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है, कार्यक्षेत्र: .

, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है।

यह स्पष्ट है कि कार्य गैर-आवधिक है।

फ़ंक्शन का ग्राफ बाएं और दाएं आधे-तल में स्थित दो निरंतर शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है - यह शायद बिंदु 1 का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

2) अनंतस्पर्शी, अनंत पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार।

ए) एक तरफा सीमाओं का उपयोग करते हुए, हम एक संदिग्ध बिंदु के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं, जहां स्पष्ट रूप से एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होना चाहिए:

वास्तव में, कार्य कायम रहते हैं अंतहीन अंतरालबिंदु पर
और सीधी रेखा (अक्ष) है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटललित कलाएं ।

बी) आइए जांचें कि क्या तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद हैं:

हाँ, यह सीधा है परोक्ष अनंतस्पर्शीग्राफ़िक्स, यदि.

सीमाओं का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह पहले से ही स्पष्ट है कि फ़ंक्शन अपने तिरछे अनंतस्पर्शी को अपनाता है ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

दूसरे शोध बिंदु से फ़ंक्शन के बारे में बहुत सी महत्वपूर्ण जानकारी प्राप्त हुई। आइए एक मोटा स्केच बनाएं:

निष्कर्ष संख्या 1 स्थिर चिह्न के अंतराल से संबंधित है। "माइनस इनफिनिटी" पर फ़ंक्शन का ग्राफ स्पष्ट रूप से एक्स-अक्ष के नीचे स्थित होता है, और "प्लस इनफिनिटी" पर यह इस अक्ष के ऊपर होता है। इसके अलावा, एकतरफ़ा सीमाओं ने हमें बताया कि बिंदु के बाएँ और दाएँ दोनों ओर फ़ंक्शन शून्य से भी बड़ा है। कृपया ध्यान दें कि बाएं आधे तल में ग्राफ़ को कम से कम एक बार x-अक्ष को पार करना होगा। दाहिने आधे तल में फ़ंक्शन का कोई शून्य नहीं हो सकता है।

निष्कर्ष संख्या 2 यह है कि फ़ंक्शन बिंदु के बायीं ओर बढ़ता है ("नीचे से ऊपर तक जाता है")। इस बिंदु के दाईं ओर, फ़ंक्शन घटता है ("ऊपर से नीचे तक जाता है")। ग्राफ़ की दाहिनी शाखा में निश्चित रूप से कम से कम एक न्यूनतम होना चाहिए। बाईं ओर, चरम की गारंटी नहीं है।

निष्कर्ष संख्या 3 बिंदु के आसपास ग्राफ की समतलता के बारे में विश्वसनीय जानकारी प्रदान करता है। हम अनंत पर उत्तलता/अवतलता के बारे में अभी तक कुछ नहीं कह सकते हैं, क्योंकि एक रेखा को ऊपर और नीचे दोनों से उसके अनंतस्पर्शी की ओर दबाया जा सकता है। सामान्यतया, अभी इसका पता लगाने का एक विश्लेषणात्मक तरीका मौजूद है, लेकिन ग्राफ का आकार बाद के चरण में स्पष्ट हो जाएगा।

इतने सारे शब्द क्यों? बाद के शोध बिंदुओं को नियंत्रित करने और गलतियों से बचने के लिए! आगे की गणना से निकाले गए निष्कर्षों का खंडन नहीं होना चाहिए।

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, फ़ंक्शन के स्थिर चिह्न के अंतराल।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है.

अंतराल विधि का उपयोग करके हम संकेत निर्धारित करते हैं:

, अगर ;
, अगर .

इस बिंदु के परिणाम पूरी तरह से निष्कर्ष संख्या 1 के अनुरूप हैं। प्रत्येक चरण के बाद, ड्राफ्ट को देखें, मानसिक रूप से अनुसंधान की जांच करें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ पूरा करें।

विचाराधीन उदाहरण में, अंश को हर द्वारा पद दर पद विभाजित किया जाता है, जो विभेदन के लिए बहुत फायदेमंद है:

दरअसल, स्पर्शोन्मुख खोजते समय ऐसा पहले ही किया जा चुका है।

- महत्वपूर्ण बिन्दू।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:

से बढ़ जाता है और घट जाती है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुँच जाता है: .

निष्कर्ष संख्या 2 के साथ भी कोई विसंगतियाँ नहीं थीं, और, सबसे अधिक संभावना है, हम सही रास्ते पर हैं।

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर अवतल है।

बढ़िया - और आपको कुछ भी खींचने की ज़रूरत नहीं है।

कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं.

अवतलता निष्कर्ष संख्या 3 के अनुरूप है, इसके अलावा, यह इंगित करता है कि अनंत पर (वहां और वहां दोनों) फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चयह परोक्ष अनंतस्पर्शी है।

6) हम कर्तव्यनिष्ठा से अतिरिक्त बिंदुओं के साथ कार्य को पिन करेंगे। यहीं पर हमें कड़ी मेहनत करनी होगी, क्योंकि हम शोध से केवल दो बिंदु जानते हैं।

और एक तस्वीर जिसकी कल्पना शायद बहुत से लोगों ने बहुत पहले की थी:

कार्य के निष्पादन के दौरान, आपको सावधानीपूर्वक यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि अनुसंधान के चरणों के बीच कोई विरोधाभास न हो, लेकिन कभी-कभी स्थिति अत्यावश्यक या बेहद खराब हो जाती है। विश्लेषण "जोड़ता नहीं है" - बस इतना ही। इस मामले में, मैं एक आपातकालीन तकनीक की अनुशंसा करता हूं: हम ग्राफ़ से संबंधित यथासंभव अधिक से अधिक बिंदु ढूंढते हैं (जितना हमारे पास धैर्य है), और उन्हें समन्वय तल पर चिह्नित करते हैं। अधिकांश मामलों में पाए गए मूल्यों का ग्राफिकल विश्लेषण आपको बताएगा कि सत्य कहां है और झूठ कहां है। इसके अलावा, ग्राफ़ को किसी प्रोग्राम का उपयोग करके पूर्व-निर्मित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक्सेल में (बेशक, इसके लिए कौशल की आवश्यकता होती है)।

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने के लिए विभेदक कैलकुलस विधियों का उपयोग करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। इसमें, फ़ंक्शन की समता से आत्म-नियंत्रण बढ़ाया जाता है - ग्राफ़ अक्ष के बारे में सममित है, और यदि आपके शोध में कुछ इस तथ्य का खंडन करता है, तो त्रुटि की तलाश करें।

किसी सम या विषम फ़ंक्शन का अध्ययन केवल पर किया जा सकता है, और फिर ग्राफ़ की समरूपता का उपयोग करें। यह समाधान इष्टतम है, लेकिन, मेरी राय में, यह बहुत ही असामान्य लगता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं संपूर्ण संख्या रेखा को देखता हूं, लेकिन मुझे अभी भी केवल दाईं ओर अतिरिक्त बिंदु मिलते हैं:

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का संपूर्ण अध्ययन करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

समाधान: चीजें कठिन हो गईं:

1) फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है:।

इसका मतलब यह है कि यह फ़ंक्शन विषम है, इसका ग्राफ़ मूल के बारे में सममित है।

यह स्पष्ट है कि कार्य गैर-आवधिक है।

2) अनंतस्पर्शी, अनंत पर किसी फ़ंक्शन का व्यवहार।

चूंकि फ़ंक्शन निरंतर चालू है, इसलिए कोई लंबवत अनंतस्पर्शी नहीं हैं

एक घातांक वाले फ़ंक्शन के लिए, यह विशिष्ट है अलगअनंत के "प्लस" और "माइनस" का अध्ययन, हालांकि, ग्राफ की समरूपता से हमारा जीवन आसान हो जाता है - या तो बाएं और दाएं दोनों पर एक अनंतस्पर्शी है, या कोई नहीं है। अत: दोनों अनंत सीमाएँ एक ही प्रविष्टि के अंतर्गत लिखी जा सकती हैं। समाधान के दौरान हम उपयोग करते हैं एल हॉस्पिटल का नियम:

सीधी रेखा (अक्ष) ग्राफ की क्षैतिज अनंतस्पर्शी रेखा है।

कृपया ध्यान दें कि कैसे मैंने तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए पूर्ण एल्गोरिदम को चालाकी से टाल दिया: सीमा पूरी तरह से कानूनी है और अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को स्पष्ट करती है, और क्षैतिज अनंतस्पर्शी की खोज "मानो एक ही समय में" की गई थी।

निरंतरता और एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी के अस्तित्व से यह इस प्रकार है कि कार्य ऊपर से घिरा हुआऔर नीचे बंधा हुआ.

3) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, स्थिर चिह्न के अंतराल।

यहां हम समाधान को संक्षिप्त भी करते हैं:
ग्राफ़ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन का कोई अन्य बिंदु नहीं है। इसके अलावा, चिह्न की स्थिरता के अंतराल स्पष्ट हैं, और अक्ष को खींचने की आवश्यकता नहीं है:, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का चिह्न केवल "x" पर निर्भर करता है:
, अगर ;
, अगर ।

4)कार्य का बढ़ना,घटना,चरम।


- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदु शून्य के बारे में सममित हैं, जैसा कि होना चाहिए।

आइए हम व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:


फलन एक अंतराल पर बढ़ता है और कुछ अंतराल पर घटता है

इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है: .

संपत्ति के कारण (फ़ंक्शन की विषमता) न्यूनतम की गणना करने की आवश्यकता नहीं है:

चूंकि फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है, तो, जाहिर है, ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर स्थित है अंतर्गतयह स्पर्शोन्मुख है. अंतराल के साथ, फलन भी घटता जाता है, लेकिन यहां विपरीत सत्य है - अधिकतम बिंदु से गुजरने के बाद, रेखा ऊपर से अक्ष के पास पहुंचती है।

उपरोक्त से यह भी पता चलता है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ "माइनस इनफिनिटी" पर उत्तल है और "प्लस इनफिनिटी" पर अवतल है।

अध्ययन के इस बिंदु के बाद, फ़ंक्शन मानों की सीमा तैयार की गई:

यदि आपको किसी बिंदु के बारे में कोई गलतफहमी है, तो मैं एक बार फिर आपसे आग्रह करता हूं कि आप अपनी नोटबुक में समन्वय अक्ष बनाएं और, अपने हाथों में एक पेंसिल लेकर, कार्य के प्रत्येक निष्कर्ष का दोबारा विश्लेषण करें।

5) ग्राफ की उत्तलता, अवतलता, मोड़।

- महत्वपूर्ण बिंदु।

बिंदुओं की समरूपता संरक्षित है, और, सबसे अधिक संभावना है, हम गलत नहीं हैं।

आइए संकेतों को परिभाषित करें:


फ़ंक्शन का ग्राफ़ उत्तल है और अवतल पर .

चरम अंतराल पर उत्तलता/अवतलता की पुष्टि की गई।

सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ग्राफ़ में गड़बड़ी है। आइए विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें, और फिर से फ़ंक्शन की विषमता का उपयोग करके गणनाओं की संख्या कम करें:

विभेदक कैलकुलस के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक कार्यों के व्यवहार का अध्ययन करने के सामान्य उदाहरणों का विकास है।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) अंतराल पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) (f"(x)0) से बढ़ जाता है यदि फ़ंक्शन y=f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न नकारात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) (f"(x)0 से घट जाता है। )

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता उसके परिभाषा क्षेत्र के केवल उन बिंदुओं पर बदल सकती है जहां पहले व्युत्पन्न का संकेत बदलता है। वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या असंततता हो जाती है, क्रिटिकल कहलाते हैं।

प्रमेय 1 (एक चरम के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दिया गया है, ताकि फ़ंक्शन अंतराल पर निरंतर हो और अंतराल पर भिन्न हो (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , और इसका व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक अंतराल पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है। फिर यदि x 0 -δ,x 0) और (x 0 , x 0 +δ) पर अवकलज के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है . इसके अलावा, यदि, बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न को प्लस से माइनस में बदल देता है (x 0 के बाईं ओर f"(x)>0 संतुष्ट है, तो x 0 अधिकतम बिंदु है; यदि व्युत्पन्न से चिह्न बदलता है माइनस से प्लस (x 0 के दाईं ओर निष्पादित f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम का एक आवश्यक संकेत)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) का चरम वर्तमान x=x 0 पर है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
अवकलनीय फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ़ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है।

किसी चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाईं और दाईं ओर व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें।
4) चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें; इसके लिए, इस फ़ंक्शन में महत्वपूर्ण बिंदुओं के मानों को प्रतिस्थापित करें। चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियों का उपयोग करते हुए, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन y=x 3 -9x 2 +24x की जांच करें

समाधान।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न को हर जगह परिभाषित किया गया है; इसका मतलब यह है कि पाए गए दो बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) व्युत्पन्न y"=3(x-2)(x-4) का चिह्न अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरते समय - ऋण से धन की ओर।
4) बिंदु x=2 पर फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु x=4 पर - न्यूनतम y न्यूनतम =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f"(x 0) और बिंदु x 0 पर f""(x 0) मौजूद है। फिर यदि f""(x 0)>0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

एक खंड पर, फ़ंक्शन y=f(x) सबसे छोटे (y सबसे कम) या सबसे बड़े (y उच्चतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल (a;b) में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, या पर खंड के सिरे.

खंड पर निरंतर फ़ंक्शन y=f(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f"(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर f"(x)=0 या f"(x) मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) चरण 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर फ़ंक्शन y=f(x) के मान की गणना करें और उनमें से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें: वे क्रमशः सबसे बड़े (y) हैं अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा) और सबसे छोटा (y सबसे कम) मान।

उदाहरण 19. खंड पर सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास खंड पर y"=3x 2 -6x-45 है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए वे बिंदु खोजें जिन पर y"=0; हम पाते हैं:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; एक्स 2 =5
3) बिंदुओं x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
खंड में केवल बिंदु x=5 है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटी संख्या 50 है। तो, y अधिकतम = 225, y न्यूनतम = 50।

उत्तलता पर एक फ़ंक्शन का अध्ययन

यह चित्र दो कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। उनमें से पहला ऊपर की ओर उत्तल है, दूसरा नीचे की ओर उत्तल है।

फ़ंक्शन y=f(x) खंड पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में भिन्न है, इस खंड पर उत्तल ऊपर (नीचे की ओर) कहा जाता है यदि, axb के लिए, इसका ग्राफ इससे अधिक नहीं (कम नहीं) है किसी भी बिंदु M 0 (x 0 ;f(x 0)) पर खींची गई स्पर्शरेखा, जहां axb.

प्रमेय 4. मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा व्युत्पन्न है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर बनी रहती है, तो फ़ंक्शन अंतराल पर नीचे की ओर उत्तल होता है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर बनी रहती है, तो फ़ंक्शन ऊपर की ओर उत्तल होता है।

प्रमेय 5. यदि फ़ंक्शन y=f(x) का अंतराल (a;b) पर दूसरा व्युत्पन्न है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरने पर संकेत बदलता है, तो M(x 0 ;f(x 0)) है एक विभक्ति बिंदु.

विभक्ति बिंदु ज्ञात करने का नियम:

1) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाईं और दाईं ओर f""(x) चिह्न की जांच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फ़ंक्शन y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के ग्राफ़ के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, f"(x)=0 जब x 1 =0, x 2 =1। बिंदु x=0 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न को ऋण से प्लस में बदल देता है, लेकिन बिंदु x=1 से गुजरने पर यह चिह्न नहीं बदलता है। इसका मतलब है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y न्यूनतम =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण (-∞;) पर हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल (;1) पर हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से नीचे उत्तलता से ऊपर की ओर संक्रमण) और x=1 भी विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से ऊपर की ओर उत्तलता से नीचे की ओर संक्रमण)। यदि x=, तो y= ; यदि, तो x=1, y=13.

ग्राफ़ का अनंतस्पर्शी पता लगाने के लिए एल्गोरिथम

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में है, तो x=a एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → ∞ या x → -∞ के रूप में है, तो y=A एक क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है।
तृतीय. तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें. यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) तिरछी अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फ़ंक्शन के लिए अनंतस्पर्शी खोजें

1)
2)
3)
4) तिर्यक अनंतस्पर्शी समीकरण का रूप है

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने की योजना

I. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
तृतीय. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ. संभावित चरम बिंदु खोजें.
वी. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक आकृति का उपयोग करते हुए, पहले और दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न का पता लगाएं। बढ़ते और घटते फलन के क्षेत्र निर्धारित करें, ग्राफ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात करें।
सातवीं. पैराग्राफ 1-6 में किए गए शोध को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण 22: उपरोक्त चित्र के अनुसार फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं

समाधान।
I. किसी फ़ंक्शन का डोमेन x=1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है।
द्वितीय. चूँकि समीकरण x 2 +1=0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, लेकिन ओए अक्ष को बिंदु (0;-1) पर प्रतिच्छेद करता है।
तृतीय. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। आइए हम असंततता बिंदु x=1 के निकट फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करें। चूँकि y → ∞ as x → -∞, y → +∞ as x → 1+, तो सीधी रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ़ में कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर हमें दो संभावित चरम बिंदु प्राप्त होते हैं:
x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2

V. महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूँकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. आइए पहले और दूसरे डेरिवेटिव के चिह्न की जांच करें। विचार किए जाने वाले संभावित चरम बिंदु: x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के डोमेन को अंतराल (-∞;1-√2),(1-√2;1) में विभाजित करें +√2) और (1+√2;+∞).

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। प्रथम अवकलज के चिन्हों का क्रम इस प्रकार लिखा जायेगा: +,-,+.
हम पाते हैं कि फ़ंक्शन (-∞;1-√2) पर बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर घटता है, और (1+√2;+∞) पर फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, और f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, और f(1+√2)=2+2√2। (-∞;1) पर ग्राफ़ ऊपर की ओर उत्तल है, और (1;+∞) पर यह नीचे की ओर उत्तल है।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

VIII प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं