यह लेख चर्चा करता है कि गणितीय अभिव्यक्तियों के मूल्यों को कैसे खोजा जाए। आइए सरल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से शुरू करें और फिर हम मामलों पर विचार करेंगे क्योंकि उनकी जटिलता बढ़ जाती है। अंत में, हम अक्षर पदनामों, कोष्ठकों, मूलों, विशेष गणितीय चिह्नों, अंशों, कार्यों आदि से युक्त व्यंजक देते हैं। परंपरा के अनुसार पूरे सिद्धांत को प्रचुर और विस्तृत उदाहरण प्रदान किए जाएंगे।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य कैसे प्राप्त करें?

अंकीय व्यंजक, अन्य बातों के अलावा, गणितीय भाषा में समस्या की स्थिति का वर्णन करने में मदद करते हैं। सामान्य तौर पर, गणितीय व्यंजक या तो बहुत सरल हो सकते हैं, जिसमें संख्याओं और अंकगणितीय चिह्नों की एक जोड़ी होती है, या बहुत जटिल, जिसमें फ़ंक्शन, डिग्री, मूल, कोष्ठक आदि होते हैं। कार्य के भाग के रूप में, अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है। यह कैसे करें नीचे चर्चा की जाएगी।

सबसे सरल मामले

ये ऐसे मामले हैं जहां व्यंजक में संख्याओं और अंकगणित के अलावा कुछ नहीं होता है। इस तरह के भावों के मूल्यों को सफलतापूर्वक खोजने के लिए, आपको उस क्रम के ज्ञान की आवश्यकता होगी जिसमें बिना कोष्ठक के अंकगणितीय संचालन किया जाता है, साथ ही विभिन्न संख्याओं के साथ संचालन करने की क्षमता भी।

यदि व्यंजक में केवल संख्याएँ और अंकगणितीय चिह्न "+" , " · " , " - " , " " हैं, तो संचालन निम्न क्रम में बाएं से दाएं किया जाता है: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1. एक अंकीय व्यंजक का मान

मान लीजिए कि अभिव्यक्ति 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 के मान ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए पहले गुणा और भाग करें। हम पाते हैं:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3।

अब हम घटाते हैं और अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

उदाहरण 2. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए गणना करें: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12।

सबसे पहले, हम भिन्न, भाग और गुणा का रूपांतरण करते हैं:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9।

अब हम जोड़ और घटाव करते हैं। आइए भिन्नों को समूहित करें और उन्हें एक सामान्य हर में लाएं:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

वांछित मूल्य पाया जाता है।

कोष्ठक के साथ व्यंजक

यदि किसी व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो वे इस व्यंजक में क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते हैं। सबसे पहले, कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं, और फिर बाकी सभी। आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

उदाहरण 3. एक सांख्यिक व्यंजक का मान

व्यंजक 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, इसलिए पहले हम कोष्ठक में घटाव संक्रिया करते हैं, और उसके बाद ही गुणा करते हैं।

0.5 (0.76 - 0.06) = 0.5 0.7 = 0.35।

कोष्ठक में कोष्ठक वाले व्यंजकों का मान उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है।

उदाहरण 4. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 के मान की गणना करें।

हम अंतरतम कोष्ठक से शुरू होकर बाहरी कोष्ठक की ओर बढ़ते हुए कार्य करेंगे।

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13।

कोष्ठक के साथ भावों के मूल्यों को खोजने में, मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम का पालन करना है।

जड़ों के साथ अभिव्यक्ति

गणितीय व्यंजक जिनके मान हमें खोजने हैं, उनमें मूल चिह्न हो सकते हैं। इसके अलावा, अभिव्यक्ति ही जड़ के संकेत के तहत हो सकती है। ऐसे में कैसे हो? पहले आपको रूट के तहत एक्सप्रेशन का मान ज्ञात करना होगा, और फिर परिणामी संख्या से रूट निकालना होगा। यदि संभव हो, तो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में जड़ों से छुटकारा पाने के लिए, संख्यात्मक मानों से प्रतिस्थापित करना बेहतर है।

उदाहरण 5. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए, 2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 के साथ व्यंजक के मान की गणना करें।

सबसे पहले, हम कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों की गणना करते हैं।

2 3 - 1 + 60 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5।

अब हम संपूर्ण व्यंजक के मान की गणना कर सकते हैं।

2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

अक्सर, जड़ों के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य खोजने के लिए, अक्सर पहले मूल अभिव्यक्ति को बदलना आवश्यक होता है। इसे एक और उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 6. एक अंकीय व्यंजक का मान

3 + 1 3 - 1 - 1 क्या है?

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास रूट को सटीक मान से बदलने की क्षमता नहीं है, जो गिनती प्रक्रिया को जटिल बनाता है। हालाँकि, इस मामले में, आप संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू कर सकते हैं।

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

इस प्रकार:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति

यदि अभिव्यक्ति में शक्तियां हैं, तो अन्य सभी कार्यों के साथ आगे बढ़ने से पहले उनके मूल्यों की गणना की जानी चाहिए। ऐसा होता है कि घातांक स्वयं या अंश का आधार व्यंजक हैं। इस मामले में, इन अभिव्यक्तियों के मूल्य की गणना पहले की जाती है, और फिर डिग्री के मूल्य की गणना की जाती है।

उदाहरण 7. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 का मान ज्ञात कीजिए।

हम क्रम में गणना करना शुरू करते हैं।

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2।

यह केवल जोड़ संचालन करने और अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाने के लिए बनी हुई है:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6।

डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाना भी अक्सर उचित होता है।

उदाहरण 8. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए निम्नलिखित व्यंजक के मान की गणना करें: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6।

घातांक फिर से ऐसे हैं कि उनके सटीक संख्यात्मक मान प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं। मूल व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए उसे सरल कीजिए।

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

भिन्नों के साथ व्यंजक

यदि किसी व्यंजक में भिन्न होते हैं, तो ऐसी व्यंजक की गणना करते समय, उसमें सभी भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में दर्शाया जाना चाहिए और उनके मानों की गणना की जानी चाहिए।

यदि अंश के अंश और हर में भाव हैं, तो इन भावों के मूल्यों की गणना पहले की जाती है, और अंश का अंतिम मूल्य स्वयं दर्ज किया जाता है। अंकगणितीय संचालन मानक क्रम में किए जाते हैं। आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 9. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए भिन्नों वाले व्यंजक का मान ज्ञात करें: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल व्यंजक में तीन भिन्न हैं। आइए पहले उनके मूल्यों की गणना करें।

3 , 2 2 = 3 , 2 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1।

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें और इसके मूल्य की गणना करें:

1 , 6 - 3 1 6 1 = 1 , 6 - 0 , 5 1 = 1 , 1

अक्सर, भावों के मूल्यों को खोजने पर, अंशों को कम करना सुविधाजनक होता है। एक अस्पष्ट नियम है: इसके मूल्य को खोजने से पहले, किसी भी अभिव्यक्ति को अधिकतम करने के लिए सबसे अच्छा सरलीकृत किया जाता है, सभी गणनाओं को सरलतम मामलों में कम कर देता है।

उदाहरण 10. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए व्यंजक 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 परिकलित करें।

हम पांच के मूल को पूरी तरह से नहीं निकाल सकते हैं, लेकिन हम रूपांतरण के माध्यम से मूल अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं।

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

मूल अभिव्यक्ति रूप लेती है:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

आइए इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

लघुगणक के साथ व्यंजक

जब व्यंजक में लघुगणक मौजूद होते हैं, तो उनका मान, यदि संभव हो, तो शुरुआत से ही परिकलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक लॉग 2 4 + 2 4 में, आप तुरंत लॉग 2 4 के बजाय इस लघुगणक का मान लिख सकते हैं और फिर सभी क्रियाएं कर सकते हैं। हमें प्राप्त होता है: लघुगणक 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10।

लघुगणक के चिन्ह के नीचे और उसके आधार पर संख्यात्मक व्यंजक भी पाए जा सकते हैं। इस मामले में, पहला कदम उनके मूल्यों को खोजना है। आइए व्यंजक लॉग 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 लें। हमारे पास है:

लघुगणक 5 - 6 3 5 2 + 2 + 7 = लघुगणक 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10।

यदि लघुगणक के सटीक मान की गणना करना असंभव है, तो व्यंजक को सरल बनाने से उसका मान ज्ञात करने में मदद मिलती है।

उदाहरण 11. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए लॉग 2 लॉग 2 256 + लॉग 6 2 + लॉग 6 3 + लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27।

लॉग 2 लॉग 2 256 = लॉग 2 8 = 3।

लघुगणक की संपत्ति के अनुसार:

लघुगणक 6 2 + लघुगणक 6 3 = लघुगणक 6 (2 3) = लघुगणक 6 6 = 1।

लघुगणक के गुणों को पुन: लागू करने पर, व्यंजक में अंतिम भिन्न के लिए हमें प्राप्त होता है:

लॉग 5 729 लॉग 0 , 2 27 = लॉग 5 729 लॉग 1 5 27 = लॉग 5 729 - लॉग 5 27 = - लॉग 27 729 = - लॉग 27 27 2 = - 2।

अब आप मूल अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

लॉग 2 लॉग 2 256 + लॉग 6 2 + लॉग 6 3 + लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2।

त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ व्यंजक

ऐसा होता है कि अभिव्यक्ति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं, साथ ही साथ उनके विपरीत कार्य भी होते हैं। अन्य सभी अंकगणितीय कार्यों को करने से पहले मूल्य की गणना की जाती है। अन्यथा, अभिव्यक्ति सरल है।

उदाहरण 12. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ।

सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति में शामिल त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना करते हैं।

पाप - 5 2 \u003d - 1

व्यंजक में मानों को रखिए और इसके मान की गणना कीजिए:

टी जी 2 4 3 - पाप - 5 2 + कोसπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3।

अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है।

अक्सर, त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित करना होगा। आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं।

उदाहरण 13. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक है क्योंकि 2 8 - sin 2 8 cos 5 π 36 cos 9 - sin 5 36 sin π 9 - 1.

परिवर्तन के लिए, हम दोहरे कोण की कोज्या और योग की कोज्या के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करेंगे।

cos 2 8 - sin 2 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos 4 cos 4 - 1 = 1 - 1 = 0।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का सामान्य मामला

सामान्य स्थिति में, एक त्रिकोणमितीय व्यंजक में ऊपर वर्णित सभी तत्व शामिल हो सकते हैं: कोष्ठक, अंश, मूल, लघुगणक, कार्य। आइए हम ऐसे व्यंजकों के मान ज्ञात करने के लिए एक सामान्य नियम बनाते हैं।

व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें

1. जड़ें, शक्तियाँ, लघुगणक, आदि। उनके मूल्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
2. कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं।
3. शेष चरणों को बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है। पहले - गुणा और भाग, फिर - जोड़ और घटाव।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 14. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए गणना करें कि व्यंजक का मान क्या है - 2 sin 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 ।

अभिव्यक्ति काफी जटिल और बोझिल है। यह कोई संयोग नहीं है कि हमने ऊपर वर्णित सभी मामलों में फिट होने की कोशिश करते हुए ऐसा ही एक उदाहरण चुना है। ऐसी अभिव्यक्ति का मूल्य कैसे ज्ञात करें?

यह ज्ञात है कि एक जटिल भिन्नात्मक रूप के मूल्य की गणना करते समय, अंश के अंश और हर के मान क्रमशः अलग-अलग पाए जाते हैं। हम इस अभिव्यक्ति को क्रमिक रूप से रूपांतरित और सरल करेंगे।

सबसे पहले, हम रेडिकल एक्सप्रेशन 2 sin 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 के मान की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको साइन का मान और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क है कि अभिव्यक्ति खोजने की आवश्यकता है।

6 + 2 2 5 + 3 5 = 6 + 2 2 + 3 π 5 = 6 + 2 5 5 = 6 + 2

अब आप ज्या का मान ज्ञात कर सकते हैं:

पाप 6 + 2 2 5 + 3 5 = पाप 6 + 2 = पाप 6 = 1 2।

हम कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं:

2 पाप π 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 पाप 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 = 4 = 2

भिन्न के हर के साथ, सब कुछ आसान है:

अब हम पूर्ण भिन्न का मान लिख सकते हैं:

2 पाप 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 एलएन ई 2 = 2 2 = 1।

इसे ध्यान में रखते हुए, हम पूरी अभिव्यक्ति लिखते हैं:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

अंतिम परिणाम:

2 पाप 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 एलएन ई 2 + 1 + 3 9 = 27.

इस मामले में, हम जड़ों, लघुगणक, ज्या आदि के लिए सटीक मानों की गणना करने में सक्षम थे। यदि यह संभव नहीं है, तो आप गणितीय परिवर्तनों द्वारा उनसे छुटकारा पाने का प्रयास कर सकते हैं।

परिमेय तरीकों से अभिकलन व्यंजक

संख्यात्मक मानों की गणना लगातार और सटीक रूप से की जानी चाहिए। संख्याओं के साथ संचालन के विभिन्न गुणों का उपयोग करके इस प्रक्रिया को युक्तिसंगत और तेज किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इस गुण को देखते हुए, हम तुरंत कह सकते हैं कि व्यंजक 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 4 0 शून्य के बराबर है। इस मामले में, उपरोक्त लेख में वर्णित क्रम में चरणों का पालन करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

समान संख्याओं को घटाने के गुण का उपयोग करना भी सुविधाजनक होता है। कोई क्रिया किए बिना, यह आदेश देना संभव है कि व्यंजक का मान 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 भी शून्य के बराबर है।

एक अन्य तकनीक जो आपको प्रक्रिया को तेज करने की अनुमति देती है, वह समान परिवर्तनों का उपयोग है जैसे कि शब्दों और कारकों को समूहीकृत करना और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना। भिन्नों के साथ व्यंजकों की गणना करने के लिए एक तर्कसंगत दृष्टिकोण अंश और हर में समान भावों को कम करना है।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 लें। कोष्ठक में क्रिया किए बिना, लेकिन भिन्न को कम करके, हम कह सकते हैं कि व्यंजक का मान 1 3 है।

चर के साथ भावों का मान ढूँढना

अक्षर और चर के विशिष्ट दिए गए मानों के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है।

चर के साथ भावों का मान ढूँढना

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के लिए, आपको अक्षरों और चर के दिए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, और फिर परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

उदाहरण 15. चरों वाले व्यंजक का मान

दिए गए x = 2 , 4 और y = 5 दिए गए व्यंजक 0 , 5 x - y के मान की गणना कीजिए।

हम चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

0 . 5 x - y = 0 . 5 2 . 4 - 5 = 1 . 2 - 5 = - 3 . 8.

कभी-कभी किसी अभिव्यक्ति को इस तरह से बदलना संभव होता है कि उसमें शामिल अक्षरों और चर के मूल्यों की परवाह किए बिना उसका मूल्य प्राप्त किया जा सके। ऐसा करने के लिए, यदि संभव हो तो, समान परिवर्तनों, अंकगणितीय संक्रियाओं के गुणों और सभी संभावित अन्य विधियों का उपयोग करके, अभिव्यक्ति में अक्षरों और चर से छुटकारा पाना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक x + 3 - x का स्पष्ट रूप से मान 3 है, और इस मान की गणना करने के लिए x का मान जानना आवश्यक नहीं है। इस व्यंजक का मान इसके मान्य मानों की सीमा से चर x के सभी मानों के लिए तीन के बराबर है।

एक और उदाहरण। व्यंजक x x का मान सभी धनात्मक x के लिए एक के बराबर है।

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7 वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में, हम पूर्णांक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में लगे हुए थे, अर्थात, जोड़, घटाव और गुणा के संचालन के साथ-साथ शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजन का उपयोग करके संख्याओं और चर से बने व्यंजक। अत: व्यंजक पूर्णांक होते हैं

इसके विपरीत, भाव

जोड़, घटाव और गुणा की क्रिया के अलावा, उनमें चर के साथ एक अभिव्यक्ति द्वारा विभाजन होता है। ऐसे व्यंजकों को भिन्नात्मक व्यंजक कहते हैं।

पूर्णांक और भिन्नात्मक व्यंजक परिमेय व्यंजक कहलाते हैं।

एक पूर्णांक अभिव्यक्ति इसमें शामिल चर के किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है, क्योंकि संपूर्ण अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के लिए, आपको हमेशा संभव कार्यों को करने की आवश्यकता होती है।

चर के कुछ मूल्यों के लिए एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक - a = 0 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है। a के अन्य सभी मानों के लिए, यह व्यंजक समझ में आता है। x y होने पर x और y के उन मानों के लिए व्यंजक समझ में आता है।

वेरिएबल वैल्यूज जिनके लिए एक्सप्रेशन समझ में आता है, वेरिएबल वेरिएबल वैल्यू कहलाते हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, रूप के व्यंजक को भिन्न कहते हैं।

जिस भिन्न का अंश और हर बहुपद होता है उसे परिमेय भिन्न कहा जाता है।

भिन्न परिमेय भिन्नों के उदाहरण हैं।

परिमेय भिन्नों में, चर के वे मान स्वीकार्य होते हैं जिनके लिए भिन्न का हर गायब नहीं होता है।

उदाहरण 1आइए भिन्न में चर के मान्य मान ज्ञात करें

फेसलायह पता लगाने के लिए कि भिन्न के हर के कौन से मान गायब हो जाते हैं, आपको समीकरण a (a - 9) \u003d 0 को हल करने की आवश्यकता है। इस समीकरण की दो जड़ें हैं: 0 और 9। इसलिए, 0 और 9 को छोड़कर सभी संख्याएँ चर a के लिए मान्य मान हैं।

उदाहरण 2 x के किस मान पर भिन्न का मान है शून्य के बराबर?

फेसलाएक भिन्न शून्य होती है यदि और केवल यदि a 0 है और b 0 है।

इसलिए, यदि एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति संख्याओं और चिह्नों +, -, · और: से बना है, तो बाएं से दाएं क्रम में, आपको पहले गुणा और भाग करना होगा, और फिर जोड़ और घटाव करना होगा, जो आपको वांछित खोजने की अनुमति देगा अभिव्यक्ति का मूल्य।

आइए स्पष्टीकरण के लिए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

व्यंजक 14−2·15:6−3 के मान की गणना करें।

फेसला।

एक अभिव्यक्ति का मूल्य खोजने के लिए, आपको इन क्रियाओं को करने के स्वीकृत क्रम के अनुसार उसमें निर्दिष्ट सभी क्रियाओं को करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, बाएं से दाएं क्रम में, हम गुणा और भाग करते हैं, हमें मिलता है 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. अब, बाएं से दाएं क्रम में, हम शेष क्रियाएं करते हैं: 14−5−3=9−3=6 । तो हमें मूल व्यंजक का मान ज्ञात हुआ, यह 6 के बराबर है।

जवाब:

14−2 15:6−3=6 ।

उदाहरण।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

इस उदाहरण में, हमें पहले गुणन 2 (-7) और भाग को गुणन के साथ व्यंजक में करने की आवश्यकता है। कैसे याद करते हुए, हम 2 (−7)=−14 पाते हैं। और अभिव्यक्ति में क्रिया करने के लिए, पहले , तब , और निष्पादित करें: .

हम प्राप्त मूल्यों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं: .

लेकिन तब क्या होगा जब मूल चिह्न के नीचे कोई अंकीय व्यंजक हो? ऐसे रूट का मान प्राप्त करने के लिए, आपको पहले रूट एक्सप्रेशन का मान ज्ञात करना होगा, संचालन के स्वीकृत क्रम के बाद। उदाहरण के लिए, ।

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में, जड़ों को कुछ संख्याओं के रूप में माना जाना चाहिए, और सलाह दी जाती है कि जड़ों को तुरंत उनके मूल्यों से बदल दें, और फिर बिना जड़ों के परिणामी अभिव्यक्ति का मूल्य पाएं, स्वीकृत अनुक्रम में क्रियाएं करें।

उदाहरण।

जड़ों के साथ व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

सबसे पहले, रूट का मान ज्ञात करें . ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं, हमारे पास −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. और दूसरी बात, हम मूल का मान ज्ञात करते हैं।

अब मूल व्यंजक से दूसरे मूल के मान की गणना करते हैं: .

अंत में, हम मूल व्यंजक का मान उनके मानों से प्रतिस्थापित करके ज्ञात कर सकते हैं: .

जवाब:

अक्सर, जड़ों के साथ व्यंजक का मान ज्ञात करना संभव बनाने के लिए, आपको पहले इसे रूपांतरित करना होगा। आइए एक उदाहरण समाधान दिखाते हैं।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति का अर्थ क्या है .

फेसला।

हम तीन के मूल को इसके सटीक मान से प्रतिस्थापित करने में सक्षम नहीं हैं, जो हमें ऊपर वर्णित तरीके से इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की अनुमति नहीं देता है। हालाँकि, हम सरल परिवर्तन करके इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना कर सकते हैं। उपयुक्त वर्ग सूत्र का अंतर: . ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं . अतः मूल व्यंजक का मान 1 है।

जवाब:

.

डिग्री के साथ

यदि आधार और घातांक संख्याएं हैं, तो उनके मान की गणना डिग्री की परिभाषा से की जाती है, उदाहरण के लिए, 3 2 =3 3=9 या 8 −1 =1/8 । ऐसी प्रविष्टियाँ भी होती हैं जब आधार और/या घातांक कुछ व्यंजक होते हैं। इन मामलों में, आपको आधार में व्यंजक का मान, घातांक में व्यंजक का मान ज्ञात करना होगा और फिर स्वयं अंश के मान की गणना करनी होगी।

उदाहरण।

प्रपत्र की शक्तियों वाले व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4.

फेसला।

मूल व्यंजक में दो घात 2 3 4−10 और (1−1/2) 3.5−2 1/4 हैं। बाकी चरणों को करने से पहले उनके मूल्यों की गणना की जानी चाहिए।

आइए 2 3·4−10 घात से शुरू करें। इसके संकेतक में एक अंकीय व्यंजक होता है, आइए इसके मान की गणना करें: 3·4−10=12−10=2 । अब आप स्वयं डिग्री का मान ज्ञात कर सकते हैं: 2 3 4−10 =2 2 =4।

आधार और घातांक (1−1/2) 3.5−2 1/4 में भाव हैं, हम बाद में डिग्री के मूल्य को खोजने के लिए उनके मूल्यों की गणना करते हैं। हमारे पास है (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

अब हम मूल व्यंजक पर लौटते हैं, उसमें अंशों को उनके मानों से प्रतिस्थापित करते हैं, और उस व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 ।

जवाब:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 =6.

यह ध्यान देने योग्य है कि अधिक सामान्य मामले हैं जब प्रारंभिक करने की सलाह दी जाती है शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति का सरलीकरणआधार पर ।

उदाहरण।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

फेसला।

इस अभिव्यक्ति में घातांकों को देखते हुए, डिग्री के सटीक मान प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं। आइए मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें, शायद यह इसके मूल्य को खोजने में मदद करेगा। हमारे पास है

जवाब:

.

अभिव्यक्ति में शक्तियाँ अक्सर लघुगणक के साथ चलती हैं, लेकिन हम इनमें से किसी एक में लघुगणक के साथ भावों के मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

भिन्नों वाले व्यंजक का मान ज्ञात करना

उनके रिकॉर्ड में संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में भिन्न हो सकते हैं। जब आप ऐसे व्यंजक का मान ज्ञात करना चाहते हैं, तो अन्य चरणों को करने से पहले सामान्य भिन्नों के अलावा भिन्नों को उनके मानों से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

भिन्नों के अंश और हर (जो साधारण भिन्नों से भिन्न होते हैं) में कुछ संख्याएँ और व्यंजक दोनों हो सकते हैं। इस तरह के एक अंश के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको अंश में अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है, हर में अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें, और फिर अंश के मूल्य की गणना करें। इस आदेश को इस तथ्य से समझाया गया है कि भिन्न a/b, जहाँ a और b कुछ व्यंजक हैं, वास्तव में (a):(b) के रूप का भागफल है, क्योंकि ।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

भिन्नों वाले व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

फेसला।

मूल संख्यात्मक व्यंजक में, तीन भिन्न और । मूल व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले इन भिन्नों की आवश्यकता होती है और इन्हें इनके मानों से प्रतिस्थापित करना होता है। हो जाए।

भिन्न के अंश और हर संख्याएँ हैं। ऐसे भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, हम भिन्नात्मक बार को विभाजन चिह्न से प्रतिस्थापित करते हैं, और यह क्रिया करते हैं: .

भिन्न के अंश में व्यंजक 7−2 3 है, इसका मान खोजना आसान है: 7−2 3=7−6=1 । इस प्रकार, । आप तीसरे भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

अंश और हर में तीसरे अंश में संख्यात्मक भाव होते हैं, इसलिए, आपको पहले उनके मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता होती है, और यह आपको अंश का मूल्य स्वयं खोजने की अनुमति देगा। हमारे पास है .

यह पाए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में बदलने के लिए रहता है, और शेष चरणों को पूरा करता है: .

जवाब:

.

अक्सर, भिन्नों के साथ व्यंजकों का मान ज्ञात करते समय, आपको प्रदर्शन करना पड़ता है भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों का सरलीकरण, भिन्नों के साथ क्रियाओं के प्रदर्शन और भिन्नों को घटाने पर आधारित है।

उदाहरण।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

फेसला।

पाँच का मूल पूरी तरह से निकाला नहीं गया है, इसलिए मूल व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, आइए पहले इसे सरल करें। इसके लिए हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाएंपहला अंश: . उसके बाद, मूल अभिव्यक्ति का रूप ले लेगा . भिन्नों को घटाने के बाद, मूल गायब हो जाएंगे, जो हमें शुरू में दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने की अनुमति देगा:।

जवाब:

.

लघुगणक के साथ

यदि सांख्यिक व्यंजक में है, और यदि उनसे छुटकारा पाना संभव है, तो यह अन्य क्रियाओं को करने से पहले किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक लॉग 2 4+2 3 का मान ज्ञात करते समय, लॉग 2 4 के लघुगणक को इसके मान 2 से बदल दिया जाता है, जिसके बाद शेष संक्रियाएं सामान्य क्रम में की जाती हैं, अर्थात् लॉग 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 ।

जब लघुगणक के चिन्ह के नीचे और/या उसके आधार पर संख्यात्मक भाव होते हैं, तो उनके मान पहले पाए जाते हैं, जिसके बाद लघुगणक के मूल्य की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, प्रपत्र के लघुगणक वाले व्यंजक पर विचार करें . लघुगणक के आधार पर और उसके चिह्न के नीचे संख्यात्मक व्यंजक हैं, हम उनके मान ज्ञात करते हैं: . अब हम लघुगणक पाते हैं, जिसके बाद हम गणना पूरी करते हैं: .

यदि लघुगणक की सटीक गणना नहीं की जाती है, तो इसका प्रारंभिक सरलीकरण . ऐसे में आपके पास लेख की सामग्री पर अच्छी पकड़ होनी चाहिए। लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों का परिवर्तन.

उदाहरण।

लघुगणक वाले व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

फेसला।

आइए लॉग 2 (लॉग 2 256) की गणना करके शुरू करें। चूँकि 256=2 8 , तो लॉग 2 256=8 , इसलिए लॉग 2 (लॉग 2 256)=लॉग 2 8=लॉग 2 2 3 =3.

लॉगरिदम लॉग 6 2 और लॉग 6 3 को समूहीकृत किया जा सकता है। लॉगरिदम का योग लॉग 6 2+लॉग 6 3 उत्पाद लॉग 6 (2 3) के लॉगरिदम के बराबर है, इसलिए लॉग 6 2+लॉग 6 3=लॉग 6 (2 3)=लॉग 6 6=1.

अब आइए भिन्नों से निपटें। आरंभ करने के लिए, हम हर में लघुगणक के आधार को 1/5 के रूप में एक साधारण अंश के रूप में फिर से लिखेंगे, जिसके बाद हम लघुगणक के गुणों का उपयोग करेंगे, जो हमें अंश का मान प्राप्त करने की अनुमति देगा:
.

यह केवल मूल अभिव्यक्ति में प्राप्त परिणामों को प्रतिस्थापित करने और इसके मूल्य का पता लगाने के लिए बनी हुई है:

जवाब:

त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें?

जब किसी अंकीय व्यंजक में या आदि होते हैं, तो अन्य क्रियाओं को करने से पहले उनके मूल्यों की गणना की जाती है। यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत के तहत संख्यात्मक भाव हैं, तो उनके मूल्यों की गणना पहले की जाती है, जिसके बाद त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य पाए जाते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

फेसला।

लेख की ओर मुड़ते हुए, हमें मिलता है और cosπ=−1 । हम इन मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, यह रूप लेता है . इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको पहले घातांक करने की आवश्यकता है, और फिर गणनाएँ समाप्त करें: .

जवाब:

.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि साइन, कोसाइन आदि के साथ भावों के मूल्यों की गणना की जाती है। अक्सर पूर्व की आवश्यकता होती है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति परिवर्तन.

उदाहरण।

त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान क्या होता है .

फेसला।

आइए का उपयोग करके मूल अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें, इस मामले में हमें दोहरे कोण कोसाइन सूत्र और योग कोसाइन सूत्र की आवश्यकता है:

किए गए परिवर्तनों ने हमें अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने में मदद की।

जवाब:

.

सामान्य मामला

सामान्य स्थिति में, एक सांख्यिक व्यंजक में मूल, अंश, भिन्न, और कोई भी कार्य, और कोष्ठक हो सकते हैं। इस तरह के भावों के मूल्यों को खोजने में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल हैं:

• पहली जड़ें, डिग्री, अंश, आदि। उनके मूल्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,
• कोष्ठक में आगे की कार्रवाई,
• और बाएं से दाएं क्रम में, शेष ऑपरेशन किए जाते हैं - गुणा और भाग, इसके बाद जोड़ और घटाव।

अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक उपरोक्त क्रियाएं की जाती हैं।

उदाहरण।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

फेसला।

इस अभिव्यक्ति का रूप बल्कि जटिल है। इस व्यंजक में हम भिन्न, मूल, अंश, ज्या और लघुगणक देखते हैं। इसका अर्थ कैसे खोजा जाए?

रिकॉर्ड के साथ बाएं से दाएं जाने पर, हमें फॉर्म का एक अंश मिलता है . हम जानते हैं कि एक जटिल प्रकार के अंशों के साथ काम करते समय, हमें अंश के मूल्य की अलग से गणना करने की आवश्यकता होती है, अलग से - हर, और अंत में, अंश का मान ज्ञात करें।

अंश में हमारे पास फॉर्म की जड़ है . इसका मूल्य निर्धारित करने के लिए, आपको पहले मूल अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करनी होगी . यहाँ एक साइन है। हम व्यंजक के मान की गणना के बाद ही इसका मान ज्ञात कर सकते हैं . हम यही कर सकते हैं:. फिर कहाँ से और .

हर के साथ, सब कुछ सरल है: .

इस प्रकार, .

इस परिणाम को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने के बाद, यह रूप ले लेगा। परिणामी अभिव्यक्ति में डिग्री होती है। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे पहले संकेतक का मान ज्ञात करना होगा, हमारे पास .

इसलिए, ।

जवाब:

.

यदि जड़ों, डिग्री आदि के सटीक मूल्यों की गणना करना संभव नहीं है, तो आप किसी भी परिवर्तन का उपयोग करके उनसे छुटकारा पाने का प्रयास कर सकते हैं, और फिर निर्दिष्ट योजना के अनुसार मूल्य की गणना करने के लिए वापस आ सकते हैं।

भावों के मूल्यों की गणना करने के तर्कसंगत तरीके

संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना के लिए स्थिरता और सटीकता की आवश्यकता होती है। हां, पिछले पैराग्राफ में दर्ज किए गए कार्यों के अनुक्रम का पालन करना आवश्यक है, लेकिन यह आँख बंद करके और यंत्रवत् नहीं किया जाना चाहिए। इससे हमारा तात्पर्य यह है कि किसी व्यंजक का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया को युक्तिसंगत बनाना प्रायः संभव होता है। उदाहरण के लिए, संख्याओं के साथ क्रियाओं के कुछ गुण आपको अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने में काफी तेजी लाने और सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, हम गुणन के इस गुण को जानते हैं: यदि उत्पाद में कारकों में से एक शून्य है, तो उत्पाद का मूल्य शून्य है। इस गुण का प्रयोग करके हम तुरंत कह सकते हैं कि व्यंजक का मान 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4+456:3 43) शून्य है। यदि हम संचालन के मानक क्रम का पालन करते हैं, तो हमें पहले कोष्ठक में बोझिल भावों के मूल्यों की गणना करनी होगी, और इसमें बहुत समय लगेगा, और परिणाम अभी भी शून्य होगा।

समान संख्याओं को घटाने के गुण का उपयोग करना भी सुविधाजनक है: यदि आप किसी संख्या में से एक समान संख्या घटाते हैं, तो परिणाम शून्य होगा। इस संपत्ति को अधिक व्यापक रूप से माना जा सकता है: दो समान संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का अंतर शून्य के बराबर है। उदाहरण के लिए, कोष्ठक में व्यंजकों के मान की गणना किए बिना, आप व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं (54 6−12 47362:3)—(54 6−12 47362:3), यह शून्य के बराबर है, क्योंकि मूल व्यंजक समरूप व्यंजकों का अंतर है।

अभिव्यक्ति के मूल्यों की तर्कसंगत गणना में समान परिवर्तन योगदान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, शब्दों और कारकों का एक समूह उपयोगी हो सकता है, लेकिन सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना कम नहीं है। तो कोष्ठक में से 53 को निकालने के बाद व्यंजक 53 5+53 7−53 11+5 का मान निकालना बहुत आसान है: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. प्रत्यक्ष गणना में अधिक समय लगेगा।

इस पैराग्राफ के अंत में, आइए भिन्नों के साथ भावों के मूल्यों की गणना के लिए तर्कसंगत दृष्टिकोण पर ध्यान दें - अंश के अंश और हर में समान कारक कम हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न के अंश और हर में समान व्यंजकों को कम करना आपको तुरंत इसका मान ज्ञात करने की अनुमति देता है, जो कि 1/2 है।

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य ढूँढना

अक्षर और चर के विशिष्ट दिए गए मानों के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है। यही है, हम दिए गए अक्षर मूल्यों के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने या चयनित चर मूल्यों के लिए चर के साथ एक अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के बारे में बात कर रहे हैं।

नियमअक्षरों के दिए गए मानों या चर के चयनित मानों के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति या चर के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य ढूँढना इस प्रकार है: मूल अभिव्यक्ति में, आपको अक्षरों या चर के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, और परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें, यह वांछित मूल्य है।

उदाहरण।

x=2.4 और y=5 के लिए व्यंजक 0.5 x−y का मान परिकलित करें।

फेसला।

व्यंजक का आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए, आपको पहले इन चर मानों को मूल व्यंजक में स्थानापन्न करना होगा, और फिर निम्नलिखित क्रियाएं करनी होंगी: 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8 ।

जवाब:

−3,8 .

अंत में, हम ध्यान दें कि कभी-कभी चर के साथ शाब्दिक अभिव्यक्तियों और अभिव्यक्तियों का परिवर्तन आपको उनके मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, चाहे अक्षरों और चर के मूल्यों की परवाह किए बिना। उदाहरण के लिए, व्यंजक x+3−x को 3 बनने के लिए सरल बनाया जा सकता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि व्यंजक x + 3 - x का मान इसके स्वीकार्य मान (ODZ) की सीमा से चर x के किसी भी मान के लिए 3 के बराबर है। एक और उदाहरण: सभी सकारात्मक मूल्यों के लिए अभिव्यक्ति का मूल्य 1 के बराबर है x , इसलिए मूल अभिव्यक्ति में चर x के लिए स्वीकार्य मूल्यों की सीमा सकारात्मक संख्याओं का सेट है, और इस क्षेत्र में समानता होती है .

ग्रंथ सूची।

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