नौकरी का प्रकार: 7

स्थिति

यह आंकड़ा y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न, अंतराल पर परिभाषित (-4; 10)। घटते फ़ंक्शन f (x) के अंतराल का पता लगाएं। अपने उत्तर में , उनमें से सबसे बड़े की लंबाई को इंगित करें।

समाधान दिखाएं

फेसला

जैसा कि आप जानते हैं, फलन f (x) उन अंतरालों पर घटता है, जिनके प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न f "(x) शून्य से कम होता है। यह देखते हुए कि उनमें से सबसे बड़े की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, ऐसे तीन अंतराल आकृति से स्वाभाविक रूप से अलग हैं: (-4; -2);(0;3);(5;9)।

उनमें से सबसे बड़े की लंबाई - (5; 9) 4 के बराबर है।

जवाब

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

स्थिति

यह आंकड़ा y \u003d f "(x) का ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8; 7) पर परिभाषित। फ़ंक्शन f (x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें अंतराल के लिए [-6; -2]।

समाधान दिखाएं

फेसला

ग्राफ से पता चलता है कि फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न f "(x) अंतराल से ठीक एक बिंदु (-5 और -4 के बीच) पर प्लस से माइनस (ऐसे बिंदुओं पर अधिकतम होगा) में संकेत बदलता है [ -6; -2 इसलिए, अंतराल पर ठीक एक अधिकतम बिंदु है [-6;-2]।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न 0 के बराबर है।

समाधान दिखाएं

फेसला

यदि किसी बिंदु पर अवकलज शून्य के बराबर है, तो इस बिंदु पर खींचे गए फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं, जिन पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स-अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम अंक) हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 5 चरम बिंदु हैं।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

स्थिति

यह चित्र x-अक्ष पर फलन y=f(x) और चिह्नित बिंदुओं -6, -1, 1, 4 का एक ग्राफ दिखाता है। इनमें से किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे छोटा है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

समाधान दिखाएं

फेसला

हम संकेतित भुजों वाले बिंदुओं पर फलन के ग्राफ़ पर स्पर्श रेखाएँ खींचते हैं। हम यह निर्धारित करते हैं कि वे किस कोण पर ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में झुके हुए हैं। जैसा कि आप जानते हैं, निर्दिष्ट कोण के स्पर्शरेखा का मान निर्दिष्ट बिंदुओं पर अवकलज का मान होता है।

बिंदु -1 और 4 पर, स्पर्शरेखाएँ एक न्यून कोण पर झुकी होती हैं, इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज का मान ऋणात्मक होता है। यह देखते हुए कि बिंदु x=-6 पर स्पर्शरेखा एक छोटे अधिक कोण (ऊर्ध्वाधर रेखा के करीब) पर झुकी हुई है, इस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे छोटा है।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

स्थिति

यह आंकड़ा y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-9; 4) पर परिभाषित। फ़ंक्शन f (x) को बढ़ाने के अंतराल का पता लगाएं। अपने में उत्तर, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई को इंगित करें।

समाधान दिखाएं

फेसला

जैसा कि आप जानते हैं, फलन f (x) उन अंतरालों पर बढ़ता है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न f "(x) शून्य से बड़ा होता है। यह देखते हुए कि उनमें से सबसे बड़े की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, ऐसे तीन अंतराल आकृति से स्वाभाविक रूप से अलग हैं: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4)।

उनमें से सबसे बड़े (-5; -1) की लंबाई 4 है।

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

स्थिति

आंकड़ा y \u003d f "(x) का ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8; 7) पर परिभाषित। फ़ंक्शन f (x) के न्यूनतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें अंतराल के लिए [-4; 3]।

यदि किसी अंतराल पर किसी फलन का ग्राफ एक सतत रेखा है, दूसरे शब्दों में, ऐसी रेखा जिसे कागज की एक शीट से बिना पेंसिल के खींचा जा सकता है, तो इस अंतराल पर ऐसा फलन सतत कहलाता है। ऐसे कार्य भी हैं जो निरंतर नहीं हैं। एक उदाहरण के रूप में, एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें, जो अंतराल पर और [c; बी] निरंतर है, लेकिन एक बिंदु पर
x = c असंतत है और इसलिए पूरे खंड पर निरंतर नहीं है। स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में हम जितने भी फलन का अध्ययन करते हैं, वे प्रत्येक अंतराल पर निरंतर फलन होते हैं, जिस पर उन्हें परिभाषित किया जाता है।

ध्यान दें कि यदि किसी फ़ंक्शन का किसी अंतराल पर व्युत्पन्न होता है, तो यह इस अंतराल पर निरंतर होता है।

इसका उलट सत्य नहीं है। एक फ़ंक्शन जो एक अंतराल पर निरंतर है, उस अंतराल पर कुछ बिंदुओं पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
y = |लॉग 2 x| अंतराल x> 0 पर निरंतर है, लेकिन बिंदु x = 1 पर इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है, इस तथ्य के कारण कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई स्पर्शरेखा नहीं है।

व्युत्पन्न का उपयोग करके रेखांकन की साजिश रचने पर विचार करें।

फलन f(x) = x 3 - 2x 2 + x आलेखित करें।

फेसला।

1) यह फलन सभी x R के लिए परिभाषित है।

2) विचाराधीन फलन की एकरसता के अंतराल और व्युत्पन्न का उपयोग करते हुए इसके चरम बिंदु का पता लगाएं। व्युत्पन्न f "(x) = 3x 2 - 4x + 1 है। स्थिर बिंदु खोजें:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, जहां से x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

अवकलज का चिह्न ज्ञात करने के लिए, हम वर्ग त्रिपद 3x 2 - 4x + 1 को गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1)। इसलिए, अंतराल पर x< 1/3 и х >1 व्युत्पन्न सकारात्मक है; इसलिए इन अंतरालों पर फलन बढ़ रहा है।

व्युत्पन्न 1/3 . पर ऋणात्मक है< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

बिंदु x 1 \u003d 1/3 अधिकतम बिंदु है, क्योंकि फ़ंक्शन इस बिंदु के दाईं ओर घटता है, और बाईं ओर बढ़ता है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन का मान f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27 है।

न्यूनतम बिंदु बिंदु x 2 \u003d 1 है, क्योंकि फ़ंक्शन इस बिंदु के बाईं ओर घटता है, और दाईं ओर बढ़ता है; इस न्यूनतम बिंदु पर इसका मान f(1) = 0 है।

3) ग्राफ बनाते समय, निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु आमतौर पर पाए जाते हैं। चूँकि f(0) = 0, ग्राफ मूल बिन्दु से होकर गुजरता है। समीकरण f(0) = 0 को हल करने पर, हम x-अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, जहाँ से x \u003d 0, x \u003d 1.

4) अधिक सटीक प्लॉटिंग के लिए, आइए फ़ंक्शन के मूल्यों को दो और बिंदुओं पर खोजें: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2।

5) अध्ययन के परिणामों (अंक 1 - 4) का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 2x 2 + x का एक ग्राफ बनाते हैं।

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आमतौर पर समस्या 1 को हल करने में योजना के समान योजना के अनुसार इसके व्युत्पन्न का उपयोग करके पहले इस फ़ंक्शन के गुणों की जांच की जाती है।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करते समय, यह खोजना आवश्यक है:

1) इसकी परिभाषा का क्षेत्र;

2) व्युत्पन्न;

3) स्थिर बिंदु;

4) वृद्धि और कमी के अंतराल;

5) इन बिंदुओं पर चरम बिंदु और कार्य मान।

अध्ययन के परिणाम तालिका के रूप में आसानी से दर्ज किए जाते हैं। फिर, तालिका का उपयोग करके, फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। अधिक सटीक प्लॉटिंग के लिए, आमतौर पर निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें और - यदि आवश्यक हो - ग्राफ के कुछ और बिंदु।

यदि हमें सम या विषम फलन का सामना करना पड़ता है, तो के लिए इसके ग्राफ का निर्माण, गुणों की जांच करने और x\u003e 0 के लिए इसका ग्राफ बनाने के लिए पर्याप्त है, और फिर इसे y-अक्ष (मूल) के बारे में सममित रूप से प्रतिबिंबित करें। उदाहरण के लिए, फलन f(x) = x + 4/x का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि यह फलन विषम है: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ एक्स) = -एफ (एक्स)। योजना के सभी बिंदुओं को पूरा करने के बाद, हम x\u003e 0 के लिए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ और x के लिए इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते हैं< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 मूल के सापेक्ष।

कार्यों को प्लॉट करने के लिए समस्याओं को हल करने में संक्षिप्तता के लिए, अधिकांश तर्क मौखिक रूप से किए जाते हैं।

हम यह भी नोट करते हैं कि कुछ समस्याओं को हल करते समय, हमें फ़ंक्शन का अध्ययन परिभाषा के पूरे डोमेन पर नहीं, बल्कि केवल एक निश्चित अंतराल पर करना पड़ सकता है, उदाहरण के लिए, यदि आपको प्लॉट करने की आवश्यकता है, तो कहें, फ़ंक्शन f(x) = 1 + 2x 2 - x 4 खंड पर [-1; 2].

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

चर कहा जाता है समारोहचर , यदि प्रत्येक मान्य मान एकल मान से मेल खाता है . चर यह कहा जाता है स्वतंत्र चरया बहसकार्य।

सभी तर्क मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन कुछ वास्तविक मान लेता है, कहलाता है परिभाषा का क्षेत्रयह समारोह। किसी फंक्शन के सभी मानों के समुच्चय को कहते हैं इसकी सीमा.

एक समारोह का दायरा और दायरा एफप्रतीक
और
क्रमश। कार्यक्षेत्र
बुलाया सममित सेटयदि प्रत्येक तत्व के साथ इसमें विपरीत तत्व भी शामिल है (
).

जाँच करें कि कोई फलन सम है या विषम।

समारोह
बुलाया यहाँ तक की

सबके लिए
.

समारोह एफबुलाया अजीब, यदि इसका डोमेन है
एक सममित सेट और समानता है
सबके लिए
.

एक सम फलन का ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है हेयू, और एक विषम फलन का आलेख मूल के सापेक्ष होता है। इसलिए, यदि अध्ययन के तहत कार्य सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा के क्षेत्र से तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए इसका अध्ययन करना पर्याप्त है।

जाँच करें कि क्या फ़ंक्शन आवधिक है।

गुच्छा
बुलाया अवधि टी के साथ आवधिक (
), यदि किसी के लिए
प्रदर्शन किया
और
.

समारोह एफबुलाया नियत कालीन अवधि T . के साथ, अगर
- अवधि के साथ आवधिक सेट टीऔर किसी के लिए
समानता
.

अवधि के साथ आवर्त चार्ट टीद्वारा स्थानांतरित किए जाने पर फ़ंक्शन अपने आप चला जाता है टीएक्स-अक्ष के साथ।

सीधा
सतह पर
बुलाया ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटकार्यों
, यदि एक तरफा सीमाओं में से एक
या
बराबरी
.

इस प्रकार, प्रत्यक्ष
फ़ंक्शन का लंबवत स्पर्शोन्मुख है
अगर बिंदु - समारोह के लिए दूसरी तरह का ब्रेकिंग पॉइंट
.

अनंत पर एक फलन के व्यवहार की जाँच करें और उसके क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख का पता लगाएं।

सीधा
बुलाया तिरछा स्पर्शोन्मुखफंक्शन ग्राफ
पर
(
), अगर
पर
(
).

प्रमेय 1.एक तिरछी स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के लिए
पर
कार्यों
के लिए आवश्यक और पर्याप्त
शर्तें पूरी की गईं:

1.
,
,

2.
,
.

फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के चरम बिंदु और अंतराल खोजें।

समारोह
बुलाया की बढ़ती(घट) पर
, यदि किसी के लिए
असमानता से
असमानता का पालन करता है
(
).

बढ़ते और घटते फलन कहलाते हैं नीरस.

प्रमेय 2(एकरसता के लिए पर्याप्त स्थिति)। चलो समारोह
परिभाषित और निरंतर
और अवकलनीय
. यदि एक
(
), तब
बढ़ता है (घटता है)
.

दूरसंचार विभाग
बुलाया अधिकतम बिंदु (न्यूनतम बिंदु) कार्य
अगर सभी बिंदुओं पर , पर्याप्त रूप से बिंदु के करीब
(
).

अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु पर फलन का मान कहलाता है ज्यादा से ज्यादा (न्यूनतम) कार्य करता है।

दूरसंचार विभाग
बुलाया सख्त अधिकतम बिंदु (सख्त न्यूनतम) कार्य
अगर सभी बिंदुओं पर , पर्याप्त रूप से बिंदु के करीब और इससे अलग, असमानता
(
).

बिंदु पर फ़ंक्शन मान बुलाया सख्त अधिकतम (सख्त न्यूनतम) कार्य करता है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और उनमें फ़ंक्शन मान हैं चरम सीमाओंकार्य।

प्रमेय 3(आवश्यक चरम स्थिति)। यदि समारोह
बिंदु पर है चरम, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

दूरसंचार विभाग बुलाया स्थिर बिंदुकार्यों
, अगर
. दूरसंचार विभाग बुलाया महत्वपूर्ण बिंदुकार्यों
, अगर
या मौजूद नहीं है।

यह प्रमेय 3 का अनुसरण करता है कि केवल महत्वपूर्ण बिंदु ही चरम बिंदु हो सकते हैं। रिवर्स हमेशा सच नहीं होता है।

प्रमेय 4(एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति। पहला नियम)। बिंदु पर चलो
फ़ंक्शन व्युत्पन्न
गायब हो जाता है और इस बिंदु से गुजरने पर संकेत बदल देता है, फिर बिंदु फ़ंक्शन का चरम बिंदु है, और यदि:

1)
पर
और
पर
, तब
- सख्त अधिकतम बिंदु;

2)
पर
और
पर
, तब
एक सख्त न्यूनतम बिंदु है।

प्रमेय 5(एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति। दूसरा नियम)। यदि बिंदु पर
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न
शून्य के बराबर है, और दूसरा अवकलज अशून्य है, तो - चरम बिंदु, और:

1) अधिकतम बिंदु है, यदि
;

2) न्यूनतम बिंदु है, यदि
.

निरंतर एक फ़ंक्शन के लिए चरम बिंदु खोजने के लिए एक एल्गोरिदम
:

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु
कार्यों
पर
. आइए उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: वे साँझा करते है
अंतरालों पर
,
,…,
. उनमें से प्रत्येक में
, यह निरंतर संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) का है। किसी अंतराल में अवकलज का चिह्न निर्धारित करने के लिए अंतराल में किसी भी बिंदु पर उसका चिह्न निर्धारित करना आवश्यक है। फिर, एक अंतराल से दूसरे अंतराल में संक्रमण के दौरान व्युत्पन्न के चिह्न को बदलकर, हम प्रमेय 4 के अनुसार चरम बिंदु निर्धारित करते हैं।

फ़ंक्शन ग्राफ़ और विभक्ति बिंदुओं की उत्तलता की दिशा निर्धारित करना।

चलो समारोह
द्वारा अवकलनीय
. तब फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा होती है
किसी भी बिंदु पर
,
, और ये स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर नहीं हैं
.

समारोह
बुलाया उत्तल ऊपर (नीचे) पर
यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ भीतर है
इसके किसी भी स्पर्शरेखा के ऊपर (नीचे नहीं) स्थित है।

प्रमेय 6(उत्तलता के लिए पर्याप्त स्थिति)। चलो समारोह
पर दोगुने अवकलनीय
. तो अगर
(
) पर
, तो फ़ंक्शन उत्तल नीचे (ऊपर) पर होता है
.

दूरसंचार विभाग बुलाया संक्रमण का बिन्दुकार्यों
यदि इस बिंदु से गुजरते समय फलन की उत्तलता की दिशा बदल जाती है
.

प्रमेय 7(आवश्यक विभक्ति स्थिति)। यदि विभक्ति बिंदु पर कार्यों
दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और निरंतर है, तो यह इस बिंदु पर शून्य के बराबर है।

प्रमेय 8(विभक्ति के लिए पर्याप्त स्थिति)। यदि एक
और

1)
से गुजरते समय संकेत बदलता है , तब - फ़ंक्शन विभक्ति बिंदु
;

2)
से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है , तब एक फ़ंक्शन विभक्ति बिंदु नहीं है
.

एक फ़ंक्शन ग्राफ प्लॉट करना।

अनुसूचीकार्यों
समतल में बिंदुओं का समुच्चय है जिसके निर्देशांक दी गई कार्यात्मक निर्भरता को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 7.1।समारोह का अन्वेषण करें

फेसला।

, क्योंकि यह फलन एक बहुपद है।

हम एकरसता के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं, चरम बिंदु पाते हैं।

आइए पहले फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें।

, क्योंकि व्युत्पन्न भी एक बहुपद है।


या
, या
. इसलिये,
,
,
समारोह के महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

एच आइए हम फलन के क्रांतिक बिंदुओं को वास्तविक रेखा पर रखें और संकेतों का निर्धारण करें यौगिक

बीच में
,
समारोह कम हो रहा है, अंतराल पर
,
समारोह बढ़ रहा है।

अंक
और
फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं, .

दूरसंचार विभाग
फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है,
.

हम उत्तलता की दिशा के लिए फलन की जांच करते हैं, विभक्ति बिंदु पाते हैं।



.

चलो डॉट्स लगाते हैं एक्स 1 और एक्ससंख्या रेखा पर 2 और चिन्हों का निर्धारण करें दूसरा व्युत्पन्नप्रत्येक परिणामी अंतराल में।

एच और बीच में
और
फलन नीचे की ओर उत्तल है, अंतराल पर
फ़ंक्शन उत्तल ऊपर की ओर है। अंक
और
विवर्तन बिंदु हैं।

उदाहरण 7.2।समारोह का अन्वेषण करें
एकरसता और उत्तलता की दिशा पर, एक्स्ट्रेमा और विभक्ति बिंदु खोजें।

फेसला।

फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।

:

 .

2. हम एकरसता के लिए कार्य की जांच करते हैं, चरम बिंदु पाते हैं।

, .



. इसलिये,
– समारोह का महत्वपूर्ण बिंदु।

हम वास्तविक रेखा पर फ़ंक्शन के डोमेन और महत्वपूर्ण बिंदु को प्लॉट करते हैं। आइए हम प्रत्येक परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें।

एच और बीच में
,
समारोह कम हो रहा है, अंतराल पर
समारोह बढ़ रहा है। दूरसंचार विभाग
- अधिकतम बिंदु,
.

3. फलन के ग्राफ की उत्तलता की दिशा ज्ञात कीजिए और विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।



.

टी अंक
- संभावित विभक्ति का बिंदु। आइए हम अंतराल में दूसरे व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें
,
,
.

बीच में
,
समारोह उत्तल ऊपर की ओर है, अंतराल पर
फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर है। दूरसंचार विभाग
- संक्रमण का बिन्दु।

उदाहरण 7.3।एक पूर्ण कार्य अध्ययन का संचालन करें
और इसे प्लॉट करें।

फेसला। 1.
.

2. फलन न तो सम है और न ही विषम।

3. फलन आवर्त नहीं है।

4. निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु और स्थिरता के अंतराल खोजें। ओ अक्ष एक्सग्राफ प्रतिच्छेद नहीं करता है, क्योंकि
सबके लिए
. ओ अक्ष पर:
,
.

पर
,
पर
.

5. परिभाषा के क्षेत्र में फलन सतत है, क्योंकि यह प्राथमिक है,
- अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति। आइए अंतर की प्रकृति का पता लगाएं:

,
.

इसलिये,
- दूसरी तरह का असंततता बिंदु, सीधी रेखा
फ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

6. हम के लिए फलन के व्यवहार का अध्ययन करते हैं
और कम से
:

,
. इसलिए, एक सीधी रेखा
फ़ंक्शन के ग्राफ़ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है
.

जैसा
, फिर अन्य तिरछे स्पर्शोन्मुख at
नहीं।

पता लगाएँ कि क्या के लिए तिरछे स्पर्शोन्मुख हैं
:

. इसलिए, अत
कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

7. हम एकरसता और चरम सीमा के लिए कार्य की जांच करते हैं।

,

- न्यूनतम बिंदु
- न्यूनतम।

8. हम उत्तलता और विभक्ति की दिशा के लिए फलन की जांच करते हैं।

=

.

पर
,बिंदु पर मौजूद नहीं है
कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।

9. आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4 - उदाहरण के लिए उदाहरण 7.3।

उदाहरण 7.4.समारोह का अन्वेषण करें
और इसे प्लॉट करें।

फेसला।आइए जानते हैं इस फीचर के बारे में।

,
.

हम अनंत पर फलन के व्यवहार की जांच करते हैं और क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख पाते हैं:

जैसा
, तो कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

,

इस प्रकार, एक अद्वितीय तिरछा स्पर्शोन्मुख है

हम एकरसता के लिए कार्य की जांच करते हैं और एक्स्ट्रेमा पाते हैं:

.

से
चाहिए
, कहाँ पे
,
.

अंतराल में

इसलिए, इस अंतराल में फलन बढ़ता है; में

, यानी, फ़ंक्शन कम हो रहा है। इसलिए, बिंदु
अधिकतम बिंदु है:
. अंतराल में

, इसलिए, इस अंतराल पर फलन घटता है; में

, यानी, फ़ंक्शन बढ़ रहा है। बिंदु पर
हमारे पास न्यूनतम है:
.

हम उत्तलता की दिशा के लिए फलन के ग्राफ की जांच करते हैं और विभक्ति बिंदु निर्धारित करते हैं। इसके लिए हम पाते हैं

जाहिर है, अंतराल में

इसलिए, इस अंतराल में वक्र ऊपर की ओर उत्तल होता है; अंतराल में

अर्थात् इस अंतराल में वक्र नीचे की ओर उत्तल होता है। चूंकि ए.टी
फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, तो कोई विभक्ति बिंदु नहीं है।

फ़ंक्शन का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 5.

चित्र 5 - उदाहरण के लिए उदाहरण 7.3।

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए।

2. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

3. स्थिर बिंदु खोजें।

4. प्राप्त अंतरालों पर अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए।

5. एकरसता के अंतराल निर्धारित करें।

6. चरम बिंदु ज्ञात कीजिए और इन बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात कीजिए।

7. एक टेबल बनाओ।

8. अतिरिक्त अंक खोजें।

9. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें।

उदाहरण के लिए।व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और उसका ग्राफ़ प्लॉट करें।

1. ओओएफ:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , तब फलन बढ़ता है;

तब समारोह घट रहा है;

वह कार्य बढ़ता है;

6. - अधिकतम बिंदु, क्योंकि व्युत्पन्न परिवर्तित चिह्न + से - ;

न्यूनतम बिंदु, क्योंकि व्युत्पन्न चिह्न - से + में बदल गया।

एक्स
	+		-		+

8. अतिरिक्त अंक:

9. एक ग्राफ बनाना।

2.3 . नियंत्रण कार्यों के वेरिएंट।

"डेरिवेटिव" बी-1 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

ए ) एफ (एक्स)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

बी) ;

में) एफ (एक्स)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

जी ) एफ (एक्स)= 2x कॉक्स,

ए) एफ (एक्स) = 5 3x-4;

बी) एफ (एक्स) = पाप (4x-7);

डी) एफ (एक्स) \u003d एलएन (एक्स 3 + 5x)।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d 4 - x 2 के बिंदु x 0 \u003d -3 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा की ढलान का पता लगाएं।

भुज x 0 = -1 के साथ बिंदु पर।

f (x) \u003d x 2 - 2x बिंदु पर भुज x 0 \u003d -2 के साथ।

6. शरीर की गति के समीकरण का रूप s(t) = 2.5t 2 + 1.5t है। गति शुरू होने के 4 सेकंड बाद शरीर की गति ज्ञात कीजिए।

7.

"डेरिवेटिव" बी-2 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

ए ) एफ (एक्स)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

बी) ;

में) एफ (एक्स)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

जी ) एफ (एक्स)=2x sinx-1,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) \u003d 4 2 एक्स -1;

ख) f(x) = cos(4x+5);

डी) एफ (एक्स) = +2x।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d - x 4 + x 3 के बिंदु x 0 \u003d - 1 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का ढलान खोजें।

4. फलन के आलेख की स्पर्श रेखा किस बिंदु पर है

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 x-अक्ष के समानांतर?

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 बिंदु पर भुज x 0 \u003d 2 के साथ।

6. बिंदु एक रेखीय नियम के अनुसार चलता है x(t) = 2.5t 2 -10t + 11. किस समय शरीर की गति 20 के बराबर होगी? (निर्देशांक मीटर में मापा जाता है, समय - सेकंड में)।

7. व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं:

"डेरिवेटिव" बी-3 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

1. बिंदु x 0 . पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

ए ) एफ (एक्स)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

बी) ;

में) एफ (एक्स)

जी ) एफ (एक्स)=3x sinx,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) \u003d 2 5 एक्स +3;

बी) f(x) = сos(0.5x+3);

डी) एफ (एक्स) = +5x।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d 2x 2 + x के बिंदु x 0 \u003d -2 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा की ढलान का पता लगाएं।

4. फलन f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर किस बिंदु पर है?

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 बिंदु पर भुज x 0 \u003d -1 के साथ।

6. बिंदु सरल रेखीय नियम x(t) = 3t 2 + t + 4 के अनुसार गति करता है। किस समय शरीर की गति 7 के बराबर होगी? (निर्देशांक मीटर में है, समय सेकंड में है)

"डेरिवेटिव" बी-4 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

1. बिंदु x 0 . पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

ए ) एफ (एक्स)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

बी) ;

में) एफ (एक्स)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

जी ) एफ (एक्स)=5x cosx+2,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) = 3 4 एक्स -1;

बी) एफ (एक्स) = 2sin (2.5x-2);

डी) एफ (एक्स) = एलएन (2x 3 + एक्स)।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d 0.5x 2 + 1 के बिंदु x 0 \u003d 3 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा की ढलान का पता लगाएं।

4. फलन के आलेख पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए भुज x 0 = 1 के साथ बिंदु पर।

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f(x) = x 2 +2x+1 c . पर

भुज x 0 = - 2.

6. बिंदु सरल रेखीय नियम x(t) = 4t + t 2 - के अनुसार गति करता है। समय t=2 पर इसकी गति ज्ञात कीजिए (निर्देशांक मीटर में मापा जाता है, समय सेकंड में है।)

7. व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं:

"डेरिवेटिव" बी-5 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

1. बिंदु x 0 . पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

ए ) एफ (एक्स)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

बी) ;

में) एफ (एक्स)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

जी ) एफ (एक्स)=2x cos3x,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) = 2 3x-4;

बी) एफ (एक्स) \u003d पाप (3x 2 - 2);

डी) एफ (एक्स) \u003d एलएन (एक्स 2 + 5x)।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 के बिंदु x 0 \u003d -1 पर स्पर्शरेखा की ढलान का पता लगाएं।

4. फलन के आलेख पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए

f (x) \u003d बिंदु पर भुज x 0 \u003d - 1 के साथ।

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 बिंदु पर भुज x 0 \u003d - 2 के साथ।

6. बिंदु सरल रेखीय नियम x(t) = 3t 3 +2t+1 के अनुसार गति करता है। समय t = 2 पर इसकी गति ज्ञात कीजिए (निर्देशांक मीटर में है, समय सेकंड में है।)

7. व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं:

"डेरिवेटिव" बी-6 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

1. बिंदु x 0 . पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

ए ) एफ (एक्स)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

बी) ;

में) एफ (एक्स)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

जी ) एफ (एक्स)=2x पाप5x,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

क) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

बी) f(x) = сos(3x-1);

डी) एफ (एक्स) = -2x।

3. फलन के ग्राफ पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 बिंदु x 0 \u003d 2 पर।

4. फ़ंक्शन f (x) \u003d x 3 -3x + 1 के ग्राफ़ के लिए x-अक्ष के समानांतर स्पर्शरेखा किस बिंदु पर है?

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 बिंदु पर भुज x 0 \u003d -1 के साथ।

6. बिंदु सरल रेखीय नियम x(t) = 3t 2 -2t+4 के अनुसार गति करता है। किस समय पिंड का वेग 4 होगा? (निर्देशांक मीटर में है, समय सेकंड में है)

7. व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं:

"डेरिवेटिव" बी-7 . विषय पर परीक्षा संख्या 3

1. बिंदु x 0 . पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

ए ) एफ (एक्स)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

बी) ;

में) एफ (एक्स)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

जी ) एफ (एक्स)=5x cosx+2,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) = 3 4 एक्स + 2;

ख) f(x) = 2sin (5x+2);

डी) एफ (एक्स) = एलएन (3x 2 - एक्स)।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d 0.5x 2 -1 के बिंदु x 0 \u003d - 3 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का ढलान खोजें।

4. फलन के आलेख पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए भुज x 0 = -1 के साथ बिंदु पर।

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 बिंदु पर भुज x 0 \u003d - 2 के साथ।

6. बिंदु सरल रेखीय नियम x(t) = 4t - t 2 + के अनुसार गति करता है। समय t = 2 पर इसकी गति ज्ञात कीजिए (निर्देशांक मीटर में है, समय सेकंड में है।)

7. व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं:

"डेरिवेटिव" बी-8 . विषय पर परीक्षा संख्या 1

1. बिंदु x 0 . पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

ए ) एफ (एक्स)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

बी) ;

में) एफ (एक्स)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

जी ) एफ (एक्स)=2x sinx-1,

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

ए) एफ (एक्स) \u003d 5 2 एक्स +3,

बी) एफ (एक्स) = कॉस (5x 2 +1);

डी) एफ (एक्स) = +5x।

3. फ़ंक्शन f (x) \u003d x 4 -x 2 के बिंदु x 0 \u003d 1 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा की ढलान का पता लगाएं।

4. फलन के आलेख पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए

f (x) \u003d बिंदु पर भुज x 0 \u003d 2 के साथ।

5. फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखिए

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x बिंदु पर भुज x 0 \u003d 2 के साथ।

6. बिंदु सरल रेखा के नियम के अनुसार चलता है x(t) = 2.5t 2 - 10t +6। समय t = 4 पर पिंड की गति ज्ञात कीजिए (निर्देशांक मीटर में मापा जाता है, समय सेकंड में है)।

7. व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं:

लेखक की जानकारी

ओसिपत्सोवा गैलिना पेत्रोव्ना

कार्य स्थान, पद :

वायबोर्ग शहर के MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 12", गणित के शिक्षक।

लेनिनग्राद क्षेत्र

पाठ की विशेषताएं (कक्षाएं)

शिक्षा का स्तर:

माध्यमिक (पूर्ण) सामान्य शिक्षा

लक्षित दर्शक:

शिक्षक (शिक्षक)

वर्ग (एस):

सामान):

बीजगणित

सामान):

गणित

पाठ का उद्देश्य:

कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए।

तार्किक सोच, विश्लेषण करने की क्षमता, किसी समस्या को हल करने की क्षमता विकसित करें।

अपनी राय व्यक्त करने की इच्छा पैदा करें।

पाठ प्रकार:

नए ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन का पाठ

कक्षा में छात्र:

प्रयुक्त पाठ्यपुस्तकें और ट्यूटोरियल:

WCU: S. M. निकोल्स्की, M. K. पोतापोव, N. N. रेशेतनिकोव, A. V. शेवकिन

प्रयुक्त पद्धति संबंधी साहित्य:

एम.के. पोतापोव, ए.वी. शेवकिन "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत, 10"। शिक्षक के लिए पुस्तक। एम: "ज्ञानोदय" 2010।

उपयोग किए हुए उपकरण:

कंप्यूटर, दस्तावेज़ कैमरा, फ़ंक्शन अनुसंधान एल्गोरिथ्म के साथ तालिका, कार्य कार्ड।

संक्षिप्त वर्णन:

1. एक बीजगणित पाठ के निर्माण में प्रणाली-गतिविधि दृष्टिकोण और 11 वीं कक्षा में विश्लेषण शुरू किया।

11 वीं कक्षा में बीजगणित पाठ और विश्लेषण शुरू किया

(UMK: S. M. निकोल्स्की, M. K. पोतापोव, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

पाठ विषय: "कार्यों के रेखांकन के निर्माण के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग"

पाठ के मुख्य उद्देश्य:

कार्यों और साजिश के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए;

किसी समस्या को हल करने, तार्किक सोच, विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करने की क्षमता विकसित करना;

अपनी राय व्यक्त करने की इच्छा का पोषण करें।

उपकरण और हैंडआउट्स:कंप्यूटर, दस्तावेज़ कैमरा, फ़ंक्शन अनुसंधान एल्गोरिथ्म के साथ तालिका, कार्य कार्ड।

कक्षाओं के दौरान

शैक्षिक गतिविधि की प्रेरणा।

हैलो दोस्तों।

आपने पिछले पाठों में क्या सीखा है? (महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग कैसे करें, वृद्धि के अंतराल, किसी फ़ंक्शन की कमी, इसकी चरम सीमा, सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान)।

इस पाठ में, हम अवकलज का उपयोग करके फलनों का पता लगाना जारी रखेंगे।

ज्ञान अद्यतन।

स्क्रीन पर आप फंक्शन का एक ग्राफ देखते हैं वाई =एफ(एक्स):

ग्राफ़ से फ़ंक्शन के कौन से गुण निर्धारित किए जा सकते हैं? उन्हे नाम दो।

उत्तर: 1) डी (एफ) = आर;

2) फ़ंक्शन निरंतर है

3) खंड [-2] पर फलन बढ़ता है; 0.5] और अंतराल पर और पर , और इसलिए, f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

समारोह के अधिकतम बिंदु: एक्स न्यूनतम अंक : एक्स = -2 एक्स = 3;

4) फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान मौजूद नहीं है, सबसे छोटा -2 = 3 पर है;

ई (एफ) = [-2; +∞).

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु कैसे खोजें? (यदि व्युत्पन्न, एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, "+" से "-" में परिवर्तन करता है, तो यह बिंदु एक अधिकतम बिंदु है, यदि व्युत्पन्न, एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, से संकेत बदलता है

"-" से "+", तो यह बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है, यदि व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, तो यह महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है।

- फ़ंक्शन के वृद्धि, कमी और चरम के अंतराल को खोजने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें पर = एफ(एक्स) विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया।

छात्र तैयार करते हैं, एल्गोरिथ्म के चरण क्रमिक रूप से स्क्रीन पर खोले जाते हैं।

कलन विधि।

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए।

2. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

3. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

4. वास्तविक रेखा पर परिभाषा के क्षेत्र और महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें। अंतराल की सामान्यीकृत विधि का उपयोग करते हुए, प्राप्त अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें।

5. पर्याप्त संकेतों का प्रयोग करते हुए फलन के वृद्धि, ह्रास और चरम के अंतराल ज्ञात कीजिए।

अब फलन f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x की जाँच करें।

शिक्षक ब्लैकबोर्ड पर लिखते हैं जैसे छात्र निर्देश देते हैं। छात्र नोटबुक में काम करते हैं।

1. डी (एफ) = आर, एफ (एक्स) डी (एफ) पर निरंतर है।

   फलन न तो सम और न ही विषम, अ-आवधिक है।

चौराहे के बिंदु

x-अक्ष के साथ: (0; 0) और (-3; 0), क्योंकि

f(x) = 0, अर्थात x³ + 2x² + 3x = 0

x(x² + 6x + 9) = 0

x (x + 3)² = 0

y-अक्ष के साथ: (0; 0)।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

महत्वपूर्ण बिंदु: f "(x) \u003d 0 x \u003d -3, x \u003d -1 पर।

हम संख्या रेखा पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करते हैं और परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं:

f "(x) > 0 ऑन (-∞; -3) और ऑन (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

एफ मैक्स= 0 पर x = -3, f मिनट= -4 x = -1 . पर

4) फ़ंक्शन का कोई अधिकतम और न्यूनतम मान नहीं है।

आपने क्या दोहराया?

आपको क्या लगता है कि अगला कार्य मैं आपको क्या प्रदान करूंगा?

तो आपने अपना फीचर रिसर्च कर लिया है। और अब आपको अध्ययन के परिणामों का उपयोग करके, फ़ंक्शन f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x को प्लॉट करने की आवश्यकता है।

क्या आपको कोई कठिनाई होगी?

3. कठिनाइयों, समस्याओं की पहचान

शिक्षक कई छात्रों को कठिनाइयों को आवाज देने के लिए आमंत्रित करता है।

आपको कौन सा कार्य पूरा करना था? (अनुसंधान डेटा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं)।

आपको कठिनाई क्यों हो रही है? (हम नहीं जानते कि फ़ंक्शन के अध्ययन के अनुसार ग्राफ़ कैसे प्लॉट करें)।

फीचर रिसर्च के लिए आप क्या उपयोग करते हैं? (व्युत्पन्न)।

4. एक कठिनाई से बाहर निकलने के लिए एक परियोजना का निर्माण.

अपनी गतिविधि का उद्देश्य बताएं। (व्युत्पन्न की सहायता से फलनों के अध्ययन का उपयोग करके आलेख बनाना सीखें)।

पाठ का विषय तैयार करें। (फ़ंक्शन ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना)।

पाठ का विषय बोर्ड पर प्रदर्शित होता है।

तो आपको फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने में समस्या हो रही है। आपने पहले फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए क्या उपयोग किया है? (ग्राफ से संबंधित कुछ बिंदुओं वाली तालिकाएँ)।

लेकिन अक्सर बिंदु ग्राफ का एक वस्तुनिष्ठ चित्र नहीं देते हैं। और अब, फ़ंक्शन रिसर्च एल्गोरिथम को जानकर, आप तालिका में कौन सा डेटा दर्ज करेंगे? (आपको फ़ंक्शन के अध्ययन के परिणामों को तालिका में दर्ज करने की आवश्यकता है, फिर तालिका से एक ग्राफ़ बनाएं)।

5. निर्मित परियोजना का कार्यान्वयन

बोर्ड पर एक खाली टेबल खुलती है:

आपने फलन f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x की जांच की है।

फ़ंक्शन को एक्सप्लोर करने के लिए आपके द्वारा उठाए गए कदमों की सूची बनाएं। (आपके जाते ही तालिका भर जाती है)

तालिका में प्राप्त परिणामों को निर्देशांक तल में स्थानांतरित किया जाता है।

ग्राफ को अधिक सटीक बनाने के लिए और क्या किया जा सकता है? (आप फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित कई अतिरिक्त बिंदु पा सकते हैं)।

फलन f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x का एक ग्राफ बोर्ड पर दिखाई देता है।

आपने एक फ़ंक्शन प्लॉट किया है।

आपने वह कैसे किया? (हमने एक ग्राफिंग एल्गोरिथम बनाया है)। (एक बार फिर, आइए फ़ंक्शन के अध्ययन और इसके ग्राफ के निर्माण के चरणों के बारे में बात करते हैं)।

व्युत्पन्न का उपयोग करके ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम

1. डी (एफ), एफ (एक्स) की निरंतरता;
2. एफ "(एक्स);
3. f "(x) = 0, f "(x) मौजूद नहीं है;

अतिरिक्त अंक;

6. अर्जित ज्ञान का प्राथमिक समेकन।

अब क्या करने की जरूरत है? (आपको ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करना सीखना होगा)।

अब फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट करें। एफ(एक्स) = एक्स + .

एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर काम करता है, अपने कार्यों पर टिप्पणी करता है, बाकी नोटबुक में काम करता है।

1. डी (एफ) = (-∞; 0) यू (0; + ), एफ (एक्स) डी (एफ) पर निरंतर है।
2. फ़ंक्शन व्युत्पन्न: f "(x) \u003d 1 - 4 / x²।

   डी (एफ ") = (-∞; 0) यू (0; + )।

महत्वपूर्ण बिंदु: \u003d 0 x \u003d 2 और x \u003d -2 के लिए, ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं जिन पर f "() मौजूद नहीं है।

5. अतिरिक्त अंक:

6. ग्राफ फ़ंक्शन:

ग्राफ को स्वयं खींचने का प्रयास करें।

सत्यापन के लिए स्क्रीन पर एक ग्राफ दिखाई देता है।

7. नमूने के अनुसार स्व-परीक्षा के साथ स्वतंत्र कार्य

और अब आइए देखें कि आप में से प्रत्येक ने कैसे समझा कि निर्मित एल्गोरिथम को कैसे लागू किया जाए।

	विकल्प 1। एक फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और उसका ग्राफ़ प्लॉट करें विकल्प 2। आंशिक रूप से किए गए अध्ययन के अनुसार, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं

छात्र अपने आप कार्य पूरा करते हैं, कार्य पूरा करने के बाद, छात्र अपने काम की तुलना एक विस्तृत नमूने से करते हैं:

विकल्प 1 .

1) डी (एफ) =आर, समारोह निरंतर है।

2) आप | = 3एक्स 2 - 6एक्स

3) 3एक्स 2 - 6एक्स = 0; डी (एफ | ) = आर

एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 2

¦ / ( एक्स)

विकल्प 2।

1) डी (एफ) =आर, समारोह निरंतर है।

2) आप= 6 एक्स 2 - 6

3) 6एक्स 2 - 6 = 0; डी (एफ | ) = आर

एक्स 1 = − 1; एक्स 2 = 1

किसके कार्य में कठिनाई हुई?

- एल्गोरिथम के किस चरण में?

- समस्या का कारण क्या है?

- कार्य को सही ढंग से किसने किया?

8. ज्ञान और पुनरावृत्ति की प्रणाली में समावेश।

आइए अब देखें कि आप परीक्षा के किन कार्यों में प्राप्त ज्ञान को लागू कर सकते हैं।

समस्याओं का समाधान:

1. फ़ंक्शन मानों का सेट खोजें।

2. पैरामीटर के किन मूल्यों पर आरसमीकरण = पी 2 जड़ें हैं, 1 जड़ है, कोई जड़ नहीं है?

1) उत्तर: (- ; - 4] यू)