आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित के कारणों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

एक समानांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी 6 फलक समांतर चतुर्भुज हैं।

इन समांतर चतुर्भुजों के प्रकार के आधार पर, निम्न प्रकार के समानांतर चतुर्भुज प्रतिष्ठित हैं:

• सीधा;
• झुका हुआ;
• आयताकार।

एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है जिसके किनारे आधार तल के साथ 90 ° का कोण बनाते हैं।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म होता है, जिसके सभी फलक आयत होते हैं। घन एक प्रकार का चतुष्कोणीय प्रिज्म है जिसमें सभी फलक और किनारे बराबर होते हैं।

एक आकृति की विशेषताएं उसके गुणों को पूर्व निर्धारित करती हैं। इनमें निम्नलिखित 4 कथन शामिल हैं:

उपरोक्त सभी गुणों को याद रखना सरल है, उन्हें समझना आसान है और ज्यामितीय शरीर के प्रकार और विशेषताओं के आधार पर तार्किक रूप से व्युत्पन्न होते हैं। हालांकि, सामान्य USE कार्यों को हल करते समय सरल कथन अविश्वसनीय रूप से उपयोगी हो सकते हैं और परीक्षा पास करने के लिए आवश्यक समय की बचत करेंगे।

समांतर चतुर्भुज सूत्र

समस्या का उत्तर खोजने के लिए केवल आकृति के गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है। ज्यामितीय निकाय का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए आपको कुछ सूत्रों की भी आवश्यकता हो सकती है।

आधारों का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज या आयत के संगत सूचक के रूप में भी पाया जाता है। आप समांतर चतुर्भुज का आधार स्वयं चुन सकते हैं। एक नियम के रूप में, समस्याओं को हल करते समय, एक प्रिज्म के साथ काम करना आसान होता है, जो एक आयत पर आधारित होता है।

परीक्षण कार्यों में समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह को खोजने के सूत्र की भी आवश्यकता हो सकती है।

विशिष्ट USE कार्यों को हल करने के उदाहरण

अभ्यास 1।

दिया गया: एक घनाभ जिसकी माप 3, 4 और 12 सेमी है।
ज़रूरीआकृति के मुख्य विकर्णों में से एक की लंबाई ज्ञात कीजिए।
फेसला: ज्यामितीय समस्या का कोई भी समाधान एक सही और स्पष्ट ड्राइंग के निर्माण से शुरू होना चाहिए, जिस पर "दिया" और वांछित मूल्य इंगित किया जाएगा। नीचे दिया गया आंकड़ा कार्य स्थितियों के सही स्वरूपण का एक उदाहरण दिखाता है।

बनाए गए चित्र पर विचार करने और ज्यामितीय निकाय के सभी गुणों को याद रखने के बाद, हम इसे हल करने के एकमात्र सही तरीके पर आते हैं। समांतर चतुर्भुज के गुण 4 को लागू करने पर, हम निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करते हैं:

सरल गणनाओं के बाद, हम व्यंजक b2=169 प्राप्त करते हैं, इसलिए, b=13। कार्य का उत्तर मिल गया है, इसे खोजने और इसे खींचने में 5 मिनट से अधिक समय नहीं लगना चाहिए।

इस पाठ में, हर कोई "आयताकार बॉक्स" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि एक मनमाना और सीधे समानांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत चेहरों और समानांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद करें। फिर हम विचार करेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मुख्य गुणों पर चर्चा करेंगे।

विषय: रेखाओं और विमानों की लंबवतता

पाठ: घनाभ

दो समान समांतर चतुर्भुज एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 और चार समांतर चतुर्भुज एबीबी 1 ए 1, बीसीसी 1 बी 1, सीडीडी 1 सी 1, डीएए 1 डी 1 से बना एक सतह कहलाता है। समानांतर खात(चित्र .1)।

चावल। 1 समानांतरपिंड

अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि भुजाएँ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुजों से बनी सतह को कहा जाता है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समानांतर चतुर्भुज की सतह समानांतर चतुर्भुज बनाने वाले सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है।

1. समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।

(आंकड़े बराबर हैं, यानी उन्हें ओवरले द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी \u003d ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समांतर चतुर्भुज),

एए 1 बी 1 बी \u003d डीडी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 बी 1 बी और डीडी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं),

एए 1 डी 1 डी \u003d बीबी 1 सी 1 सी (चूंकि एए 1 डी 1 डी और बीबी 1 सी 1 सी समानांतर चतुर्भुज के विपरीत चेहरे हैं)।

2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

समानांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

3. समांतर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चौगुने होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, एसएस 1, डीडी 1.

परिभाषा। एक समानांतर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।

मान लीजिए कि भुजा AA 1 आधार से लंबवत है (चित्र 3)। इसका अर्थ है कि रेखा AA 1 रेखा AD और AB के लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित है। और, इसलिए, आयत पार्श्व फलकों में स्थित हैं। और आधार मनमानी समांतर चतुर्भुज हैं। निरूपित करें, BAD = , कोण कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 राइट बॉक्स

तो, एक दायां बॉक्स एक बॉक्स होता है जिसमें किनारे के किनारे बॉक्स के आधार पर लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं।

समांतर चतुर्भुज 1 В 1 С 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4) यदि:

1. AA 1 ABCD (पार्श्व किनारा आधार के तल पर लंबवत है, अर्थात एक सीधा समानांतर चतुर्भुज)।

2. ZBAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 घनाभ

एक आयताकार बॉक्स में एक मनमाना बॉक्स के सभी गुण होते हैं।लेकिन अतिरिक्त गुण हैं जो एक घनाभ की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, घनाभएक समानांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार के लंबवत हैं। घनाभ का आधार एक आयत है.

1. एक घनाभ में, सभी छह फलक आयताकार होते हैं।

एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 परिभाषा के अनुसार आयत हैं।

2. पार्श्व पसलियां आधार के लंबवत होती हैं. इसका अर्थ है कि घनाभ के सभी पार्श्व फलक आयताकार होते हैं।

3. घनाभ के सभी विकर्ण कोण समकोण होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक किनारे AB के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, यानी, एबीबी 1 और एबीसी के विमानों के बीच का डायहेड्रल कोण।

एबी एक किनारा है, बिंदु ए 1 एक विमान में स्थित है - विमान एबीबी 1 में और दूसरे में बिंदु डी - विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में है। तब माना गया द्विफलक कोण इस प्रकार भी निरूपित किया जा सकता है: 1 D।

बिंदु A को किनारे AB पर लें। एए 1 विमान एबीबी-1 में किनारे एबी के लंबवत है, एडी विमान एबीसी में किनारे एबी के लंबवत है। अत: A 1 AD दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। A 1 AD \u003d 90 °, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90 ° है।

(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = A 1 ABD= A 1 AD = 90°।

इसी प्रकार यह भी सिद्ध होता है कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण समकोण होता है।

एक घनाभ के विकर्ण का वर्ग उसके तीनों आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

टिप्पणी। घनाभ के एक ही शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई घनाभ की माप है। उन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

सिद्ध करना: ।

चावल। 5 घनाभ

प्रमाण:

रेखा CC 1 समतल ABC पर लंब है, और इसलिए रेखा AC पर। अतः त्रिभुज CC 1 A एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। तो बीसी = एडी। फिर:

जैसा , ए , तब। चूँकि CC 1 = AA 1, तो क्या साबित करना आवश्यक था।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए हम समांतर चतुर्भुज एबीसी के आयामों को ए, बी, सी (आकृति 6 देखें) के रूप में नामित करें, फिर एसी 1 = सीए 1 = बी 1 डी = डीबी 1 =

या (समान रूप से) छह चेहरों वाला एक पॉलीहेड्रॉन और उनमें से प्रत्येक - समानांतर चतुर्भुज.

बॉक्स के प्रकार

कई प्रकार के समानांतर चतुर्भुज हैं:

• घनाभ एक घनाभ है जिसके फलक सभी आयत हैं।
• एक समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें 4 पार्श्व फलक होते हैं जो आयत होते हैं।
• एक तिरछा बॉक्स एक ऐसा बॉक्स होता है जिसके पार्श्व फलक आधारों के लंबवत नहीं होते हैं।

मुख्य तत्व

समानांतर चतुर्भुज के दो चेहरे जिनमें एक आम किनारा नहीं होता है उन्हें विपरीत कहा जाता है, और जिनके पास एक आम किनारा होता है उन्हें आसन्न कहा जाता है। समानांतर चतुर्भुज के दो शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं, विपरीत कहलाते हैं। सम्मुख शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड को समांतर चतुर्भुज का विकर्ण कहा जाता है। एक घनाभ के तीन किनारों की लंबाई जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है, इसकी विमाएँ कहलाती हैं।

गुण

• समानांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य बिंदु के बारे में सममित है।
• समानांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित और इसके विकर्ण के बीच से गुजरने वाले किसी भी खंड को इसके द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।
• समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।
• एक घनाभ के विकर्ण की लंबाई का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

मूल सूत्र

दायां समांतर चतुर्भुज

पार्श्व सतह क्षेत्रएस बी \u003d आर ओ * एच, जहां आर ओ आधार की परिधि है, एच ऊंचाई है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी \u003d एस बी + 2 एस ओ, जहां एस ओ आधार का क्षेत्र है

मात्रावी = एस ओ * एच

घनाभ

पार्श्व सतह क्षेत्र S b \u003d 2c (a + b), जहां a, b आधार की भुजाएँ हैं, c आयताकार समांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी \u003d 2 (एबी + बीसी + एसी)

मात्रा V=abc, जहाँ a, b, c घनाभ की विमाएँ हैं।

घनक्षेत्र

सतह क्षेत्रफल: $एस=6ए^2$
मात्रा: $वी=ए^3$, कहाँ पे $ए$- घन का किनारा।

मनमाना बॉक्स

एक तिरछा बॉक्स में आयतन और अनुपात को अक्सर वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले समानांतर चतुर्भुज के तीन पक्षों द्वारा परिभाषित तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद के निरपेक्ष मान के बराबर होता है। समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोणों के बीच का अनुपात यह कथन देता है कि इन तीन वैक्टरों का ग्राम निर्धारक उनके मिश्रित उत्पाद के वर्ग के बराबर है: 215।

गणितीय विश्लेषण में

एक n-आयामी आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तहत गणितीय विश्लेषण में $बी$कई बिंदु समझें $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$तरह $बी\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

"समानांतर" लेख पर एक समीक्षा लिखें

टिप्पणियाँ

लिंक

सही सही गैर उत्तल उत्तल सूत्र, प्रमेय, सिद्धांतों अन्य

Parallelepiped . की विशेषता वाला एक अंश

- डिट क्यू लेस रिवॉक्स से सोंट रीकॉन्सिलीज ग्रेस ए एल "एंजाइन ... [वे कहते हैं कि प्रतिद्वंद्वियों ने इस बीमारी के लिए धन्यवाद दिया।]
एंजाइन शब्द को बड़े मजे से दोहराया गया।
- ले विएक्स कॉम्टे इस्ट टचेंट ए सी क्यू "ऑन डिट। इल ए प्लुर कम अन एनफैंट क्वांड ले मेडेसीन लुई ए डिट क्यू ले कैस एतैट डेंजरेक्स। [पुरानी गिनती बहुत मार्मिक है, वे कहते हैं। वह एक बच्चे की तरह रोया जब डॉक्टर कहा कि खतरनाक मामला।]
ओह, सी सेराट उने पर्ते भयानक। सी "एस्ट उने फीमे रैविसांटे। [ओह, यह एक बहुत बड़ा नुकसान होगा। इतनी प्यारी महिला।]
"Vous parlez de la pauvre comtesse," अन्ना पावलोवना ने कहा, ऊपर आ रहा है। - जे "ऐ एनवॉय सवोइर डे सेस नूवेल्स। ओन एम" ए डिट क्व "एले अलायत उन पे मिउक्स। ओह, सेन्स डाउट, सी" इस्ट ला प्लस चार्मांटे फीमे डू मोंडे, - एना पावलोवना ने अपने उत्साह पर एक मुस्कान के साथ कहा। - नूस एपर्टेनन्स ए डेस कैंप डिफरेंशियल, माईस सेला ने एम "एम्पेचे पास डे एल" एस्टीमर, कमे एले ले मेरिट। Elle est bien malheureuse, [आप गरीब काउंटेस के बारे में बात कर रहे हैं ... मैंने उसके स्वास्थ्य के बारे में पता लगाने के लिए भेजा। मुझे बताया गया कि वह थोड़ी बेहतर थी। ओह, निस्संदेह, यह दुनिया की सबसे खूबसूरत महिला है। हम अलग-अलग शिविरों से ताल्लुक रखते हैं, लेकिन यह मुझे उसकी योग्यता के अनुसार उसका सम्मान करने से नहीं रोकता है। वह बहुत दुखी है।] अन्ना पावलोवना ने कहा।
यह मानते हुए कि इन शब्दों के साथ अन्ना पावलोवना ने काउंटेस की बीमारी पर गोपनीयता का पर्दा थोड़ा हटा दिया, एक लापरवाह युवक ने खुद को आश्चर्य व्यक्त करने की अनुमति दी कि प्रसिद्ध डॉक्टरों को नहीं बुलाया गया था, लेकिन एक चार्लटन जो खतरनाक साधन दे सकता था, काउंटेस का इलाज कर रहा था।
एना पावलोवना ने अचानक एक अनुभवहीन युवक पर ज़ोर से लताड़ लगाई। मैस जे साईस डे बोने सोर्स क्यू सी मेडेसीन एस्ट उन होम ट्रेस सावंत एट ट्रेस हैबिल। सी "एस्ट ले मेडिसिन इनटाइम डे ला रेइन डी" एस्पेन। [आपकी खबर मेरी तुलना में अधिक सटीक हो सकती है ... लेकिन मुझे अच्छे सूत्रों से पता है कि यह डॉक्टर एक बहुत ही विद्वान और कुशल व्यक्ति है। यह स्पेन की रानी का जीवन चिकित्सक है।] - और इस तरह युवक को नष्ट करते हुए, अन्ना पावलोवना ने बिलिबिन की ओर रुख किया, जो एक और सर्कल में, त्वचा को उठा रहा था और जाहिर है, इसे भंग करने के बारे में, अन मोट कहने के लिए, बोला ऑस्ट्रियाई लोगों के बारे में।
- जे ट्रौवे क्यू सी "एस्ट चार्मेंट! [मुझे यह आकर्षक लगता है!] - उन्होंने एक राजनयिक पत्र के बारे में कहा, जिसके तहत विट्गेन्स्टाइन द्वारा लिए गए ऑस्ट्रियाई बैनर वियना, ले हेरोस डी पेट्रोपोल [पेट्रोपोलिस के नायक] (जैसा कि वह पीटर्सबर्ग में बुलाया गया था)।
- कैसे, कैसा है? एना पावलोवना ने उसकी ओर मुड़कर, मौन को सुनने के लिए उकसाया, जिसे वह पहले से जानती थी।
और बिलिबिन ने अपने द्वारा संकलित राजनयिक प्रेषण के निम्नलिखित प्रामाणिक शब्दों को दोहराया:
- एल "एम्पीयर रेनवोई लेस ड्रैपॉक्स ऑट्रिचिएन्स," बिलिबिन ने कहा, "ड्रैपॉक्स एमिस एट एगेरेस क्व" इल ए ट्रौव हॉर्स डे ला रूट, [सम्राट ऑस्ट्रियाई बैनर, मैत्रीपूर्ण और गुमराह बैनर भेजता है जो उसे वास्तविक सड़क से मिला।] - समाप्त बिलिबिन त्वचा को ढीला करता है।
- आकर्षक, आकर्षक, [आकर्षक, आकर्षक,] - राजकुमार वासिली ने कहा।
- सी "एस्ट ला रूट डे वर्सोवी प्यूट एट्रे, [यह वारसॉ रोड है, हो सकता है।] - प्रिंस हिप्पोलीटे ने जोर से और अप्रत्याशित रूप से कहा। सभी ने उसे देखा, समझ में नहीं आया कि वह इसके साथ क्या कहना चाहता है। प्रिंस हिप्पोलीटे ने भी चारों ओर देखा। उसके चारों ओर हर्षित आश्चर्य। वह, दूसरों की तरह, समझ नहीं पाया कि उसने क्या कहा। अपने राजनयिक करियर के दौरान, उन्होंने एक से अधिक बार देखा कि इस तरह से अचानक बोले गए शब्द बहुत मजाकिया निकले, और सिर्फ मामले में, वह इन शब्दों को कहा, "शायद यह बहुत अच्छा होगा," उसने सोचा, "और अगर यह बाहर नहीं आया, तो वे इसे वहां व्यवस्थित कर पाएंगे।" वास्तव में, जबकि एक अजीब चुप्पी ने शासन किया, वह अपर्याप्त देशभक्तिपूर्ण चेहरा प्रवेश कर गया अन्ना पावलोवना, और उसने मुस्कुराते हुए और इपोलिट पर अपनी उंगली हिलाते हुए, राजकुमार वसीली को मेज पर आमंत्रित किया, और उसे दो मोमबत्तियाँ और एक पांडुलिपि लाकर, उसे शुरू करने के लिए कहा।

परिभाषा

बहुतलहम बहुभुज से बनी एक बंद सतह और अंतरिक्ष के कुछ हिस्से को बाउंडिंग कहेंगे।

वे खंड जो इन बहुभुजों की भुजाएँ हैं, कहलाते हैं पसलियांपॉलीहेड्रॉन, और स्वयं बहुभुज - चेहरे के. बहुभुज के शीर्षों को बहुफलक के शीर्ष कहते हैं।

हम केवल उत्तल पॉलीहेड्रा पर विचार करेंगे (यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो प्रत्येक विमान के एक तरफ होता है जिसमें उसका चेहरा होता है)।

बहुफलक बनाने वाले बहुभुज इसकी सतह बनाते हैं। किसी दिए गए बहुफलक से घिरे अंतरिक्ष के भाग को उसका आंतरिक भाग कहते हैं।

परिभाषा: प्रिज्म

समानांतर विमानों में स्थित दो समान बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) पर विचार करें ताकि खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)समानांतर हैं। बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) और साथ ही समांतर चतुर्भुज द्वारा गठित पॉलीहेड्रॉन \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)कहा जाता है (\(n\)-कोयला) चश्मे.

बहुभुज \(A_1A_2A_3...A_n\) और \(B_1B_2B_3...B_n\) को प्रिज्म, समांतर चतुर्भुज का आधार कहा जाता है \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- पार्श्व चेहरे, खंड \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- पार्श्व पसलियों।
इस प्रकार, प्रिज्म के किनारे एक दूसरे के समानांतर और बराबर होते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें - एक प्रिज्म \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), जिसका आधार उत्तल पंचभुज है।

ऊंचाईएक प्रिज्म एक आधार पर किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर लंबवत होता है।

यदि किनारे के किनारे आधार के लंबवत न हों, तो ऐसा प्रिज्म कहलाता है परोक्ष(चित्र 1), अन्यथा - सीधा. एक सीधे प्रिज्म के लिए, किनारे के किनारे ऊंचाई होते हैं, और पार्श्व फलक बराबर आयत होते हैं।

यदि एक सम बहुभुज समकोण प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो प्रिज्म कहलाता है सही.

परिभाषा: मात्रा की अवधारणा

आयतन इकाई एक इकाई घन है (आयाम \(1\times1\times1\) इकाइयों\(^3\) के साथ घन, जहां इकाई माप की कुछ इकाई है)।

हम कह सकते हैं कि एक बहुफलक का आयतन वह स्थान है जो इस बहुफलक को सीमित करता है। अन्यथा: यह एक ऐसा मान है जिसका संख्यात्मक मान इंगित करता है कि कितनी बार एक इकाई घन और उसके हिस्से किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन में फिट होते हैं।

आयतन में क्षेत्रफल के समान गुण होते हैं:

1. समान अंकों का आयतन बराबर होता है।

2. यदि एक बहुफलक कई अप्रतिच्छेदी बहुफलकों से बना है, तो इसका आयतन इन बहुफलकों के आयतनों के योग के बराबर होता है।

3. आयतन एक गैर-ऋणात्मक मान है।

4. आयतन को cm\(^3\) (घन सेंटीमीटर), m\(^3\) (घन मीटर), आदि में मापा जाता है।

प्रमेय

1. प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म के पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

2. प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्र के गुणनफल और प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर होता है: \

परिभाषा: बॉक्स

समानांतर खातयह एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज के सभी फलक (उनके \(6\) : \(4\) पार्श्व फलक और \(2\) आधार) समांतर चतुर्भुज हैं, और विपरीत फलक (एक दूसरे के समानांतर) समान समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 2)।

बॉक्स का विकर्णएक समांतर चतुर्भुज के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक पर नहीं होता है (उनका \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)आदि।)।

घनाभएक समांतर चतुर्भुज है जिसके आधार पर एक आयत है।
क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज है, तो पार्श्व फलक आयत हैं। तो, सामान्य तौर पर, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी फलक आयत होते हैं।

एक घनाभ के सभी विकर्ण बराबर होते हैं (यह त्रिभुजों की समानता से प्राप्त होता है \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)आदि।)।

टिप्पणी

इस प्रकार, समानांतर चतुर्भुज में प्रिज्म के सभी गुण होते हैं।

प्रमेय

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होता है \

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है \

प्रमेय

एक घनाभ का आयतन एक शीर्ष से निकलने वाले उसके तीन किनारों के गुणनफल के बराबर होता है (एक घनाभ के तीन आयाम): \

प्रमाण

क्योंकि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, किनारे के किनारे आधार के लंबवत हैं, फिर वे इसकी ऊँचाई भी हैं, अर्थात \(h=AA_1=c\) आधार एक आयत है \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). यहीं से सूत्र आता है।

प्रमेय

घनाभ का विकर्ण \(d\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है (जहाँ \(a,b,c\) घनाभ के माप हैं)\

प्रमाण

अंजीर पर विचार करें। 3. क्योंकि आधार एक आयत है, तो \(\triangle ABD\) आयताकार है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) ।

क्योंकि सभी पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, फिर \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)इस तल में किसी भी रेखा के लंबवत, अर्थात। \(BB_1\perp BD\) । अतः \(\triangle BB_1D\) आयताकार है। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), टीएचडी

परिभाषा: घन

घनक्षेत्रएक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, जिसकी सभी भुजाएँ समान वर्ग हैं।

इस प्रकार, तीन आयाम एक दूसरे के बराबर हैं: \(a=b=c\) । तो निम्नलिखित सत्य हैं

प्रमेयों

1. किनारे वाले घन का आयतन \(a\) है \(V_(\text(cube))=a^3\) ।

2. घन के विकर्ण को \(d=a\sqrt3\) सूत्र द्वारा खोजा जाता है।

3. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_(\text(पूर्ण घन पुनरावृत्तियों))=6a^2\).