ऐसा मूल्य खोजना व्यावहारिक रूप से कठिन है साथ, जिस पर (बी-ए) एफ (सी)के बिल्कुल बराबर होगा। अधिक सटीक मान प्राप्त करने के लिए, एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को विभाजित किया गया है एनआयत जिनकी ऊँचाई बराबर है वाई 0, वाई 1, वाई 2, …, वाई एन -1और नींव।

यदि हम आयतों के उन क्षेत्रों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं जो एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र को एक नुकसान के साथ कवर करते हैं, तो फ़ंक्शन गैर-घटता है, फिर सूत्र के बजाय, सूत्र का उपयोग किया जाता है

अधिक हो तो

मूल्य समानता से पाए जाते हैं। इन सूत्रों को कहा जाता है आयत सूत्रऔर अनुमानित परिणाम दें। वृद्धि के साथ एनपरिणाम अधिक सटीक हो जाता है।

उदाहरण 1 . आयतों के सूत्र से गणना करें

हम एकीकरण के अंतराल को 5 भागों में विभाजित करते हैं। फिर । कैलकुलेटर या टेबल का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड के मान पाते हैं (4 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ):

आयतों के सूत्र के अनुसार (नुकसान के साथ)

दूसरी ओर, न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार

आइए आयतों के सूत्र का उपयोग करके सापेक्ष गणना त्रुटि का पता लगाएं:

समलम्बाकार सूत्रों द्वारा समाकलनों की गणना। त्रुटि अनुमान:

इंटीग्रल की अनुमानित गणना के लिए निम्नलिखित विधि का ज्यामितीय अर्थ यह है कि लगभग समान आकार के "रेक्टिलिनियर" ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

क्षेत्र की गणना करना आवश्यक होने दें ए 1 एएमबीबी 1वक्रीय समलम्बाकार, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया।

आइए चाप को बदलें एएमबीतार अबऔर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के बजाय ए 1 एएमबीबी 1ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करें ए 1 एबीबी 1: , कहाँ पे एए 1और बी बी 1 - समलम्बाकार आधार, और ए 1 वी 1 इसकी ऊंचाई है।

निरूपित एफ (ए) = ए 1 ए, एफ (बी) = बी 1 बी।समलंब ऊंचाई ए 1 बी 1 \u003d बी-ए,वर्ग . इसलिये, या

यह तथाकथित छोटा समलम्बाकार सूत्र.

येकातेरिनबर्ग

एक निश्चित अभिन्न की गणना

परिचय

कार्यों के संख्यात्मक एकीकरण का कार्य एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य की गणना करना है:

इंटीग्रैंड के मूल्यों की एक श्रृंखला के आधार पर। ( f(x) |x=x k = f(x k) = y k )।

एकल समाकल की संख्यात्मक गणना के सूत्र द्विघात सूत्र कहलाते हैं, दोहरा और अधिक गुणक - घन।

चतुर्भुज सूत्रों के निर्माण के लिए सामान्य तकनीक अपेक्षाकृत सरल रूप के एक इंटरपोलेटिंग या अनुमानित फ़ंक्शन जी (एक्स) के साथ एक खंड पर एकीकृत एफ (एक्स) को प्रतिस्थापित करना है, उदाहरण के लिए, एक बहुपद, विश्लेषणात्मक एकीकरण के बाद। यह प्रस्तुति की ओर जाता है

शेष पद R[f] की उपेक्षा करते हुए, हम अनुमानित सूत्र प्राप्त करते हैं

y i = f(x i) द्वारा विभिन्न बिंदुओं पर समाकलन के मान से निरूपित करें

एक सन्निकट फलन g(x) के रूप में, हम एक प्रक्षेप बहुपद पर विचार करते हैं

फॉर्मूला (1) देता है

सूत्र (2) में, मात्राएँ (

संक्षेप।

2. प्रक्षेप प्रकार के द्विघात सूत्रों में, शेष पद R n [f] को फलन f(x) पर एक विशेष अंतर संकारक के मान के रूप में दर्शाया जा सकता है। के लिए

3. n समावेशी क्रम तक के बहुपदों के लिए, चतुर्भुज सूत्र (2) सटीक है, अर्थात।

सूत्रों (2) और (3) के विशेष मामलों पर विचार करें: आयतों की विधि, समलम्बाकार, परवलय (सिम्पसन की विधि)। इन विधियों के नाम संबंधित सूत्रों की ज्यामितीय व्याख्या के कारण हैं।

आयत विधि

फलन f(x) के फलन का निश्चित समाकलन:

सूत्र (4) द्वारा निरूपित विधि को लेफ्ट बॉक्स विधि कहा जाता है, और सूत्र (5) द्वारा प्रदर्शित विधि को राइट बॉक्स विधि कहा जाता है:

मध्य आयतों की विधि का उपयोग करके एक निश्चित समाकलन ज्ञात करने के लिए, रेखाओं a और b से घिरे क्षेत्र को समान आधार h वाले n आयतों में विभाजित किया जाता है, आयतों की ऊँचाई फलन f(x) के प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे। आयतों के मध्यबिंदु (h/2)। समाकलन संख्यात्मक रूप से n आयतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा (चित्र 3)।

n खंड के विभाजन की संख्या है।

समलम्बाकार विधि

ट्रेपेज़ॉइड विधि का उपयोग करके एक निश्चित इंटीग्रल खोजने के लिए, एक वक्रीय समलम्बाकार के क्षेत्र को n आयताकार ट्रेपोज़ॉइड में भी विभाजित किया जाता है जिसकी ऊँचाई h और आधार y 1, y 2, y 3,..y n है, जहाँ n की संख्या है। आयताकार ट्रेपोजॉइड। समाकलन संख्यात्मक रूप से आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा (चित्र 4)।

n विभाजन की संख्या है

समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि का अनुमान संख्या द्वारा लगाया जाता है

वृद्धि के साथ समलम्बाकार सूत्र की त्रुटि

सिम्पसन फॉर्मूला

यदि खंडों की प्रत्येक जोड़ी के लिए

आज हम संख्यात्मक एकीकरण की एक अन्य विधि, समलम्बाकार विधि से परिचित होंगे। इसकी सहायता से, हम निश्चित समाकलनों की एक निश्चित मात्रा में सटीकता के साथ गणना करेंगे। लेख में, हम ट्रैपेज़ॉइड विधि के सार का वर्णन करेंगे, विश्लेषण करेंगे कि सूत्र कैसे प्राप्त किया जाता है, ट्रैपेज़ॉइड विधि की तुलना आयत विधि से करें, और विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लिखें। हम सामग्री की गहरी समझ के लिए उदाहरणों के साथ प्रत्येक अनुभाग का वर्णन करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मान लीजिए कि हमें लगभग निश्चित समाकल a b f (x) d x की गणना करने की आवश्यकता है, जिसका समाकलन y = f (x) खंड [ a ; बी] । ऐसा करने के लिए, हम खंड [ a ; b ] लंबाई h के कई समान अंतरालों में a = x 0 . बिंदुओं के साथ< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

आइए विभाजन चरण खोजें: h = b - a n । हम समानता x i = a + i h , i = 0 , 1 , से नोड्स को परिभाषित करते हैं। . . , एन ।

प्रारंभिक अंतराल पर, एकीकृत x i - 1 पर विचार करें; एक्स मैं , मैं = 1 , 2 , . . , एन ।

n में अनंत वृद्धि के साथ, हम सभी मामलों को चार सरलतम विकल्पों में घटा देते हैं:

खंड चुनें x i - 1 ; एक्स मैं , मैं = 1 , 2 , . . . , एन । आइए प्रत्येक ग्राफ पर फ़ंक्शन y = f (x) को एक सीधी रेखा खंड के साथ बदलें जो निर्देशांक x i - 1 के साथ बिंदुओं से गुजरता है; एफ एक्स आई - 1 और एक्स आई; एफ एक्स मैं। हम उन्हें नीले रंग में अंकों में चिह्नित करते हैं।

आइए व्यंजक f (x i - 1) + f (x i) 2 h को समाकल x i - 1 x if (x) d x के अनुमानित मान के रूप में लें। वे। x i - 1 x i f (x) d x f (x i - 1) + f (x i) 2 h लें।

आइए देखें कि हम जिस संख्यात्मक समाकलन पद्धति का अध्ययन कर रहे हैं उसे समलम्बाकार विधि क्यों कहते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि ज्यामिति के दृष्टिकोण से लिखित अनुमानित समानता का क्या अर्थ है।

एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, उसके आधारों के आधे योग को ऊँचाई से गुणा करें। पहले मामले में, एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग f (x i - 1) , f (x i) ऊंचाई h के आधार वाले समलम्बाकार के बराबर होता है। चौथे मामले में हम विचार कर रहे हैं, दिया गया अभिन्न x i - 1 x f (x) d x आधारों के साथ एक समलम्बाकार के क्षेत्रफल के लगभग बराबर है - f (x i - 1) , - f (x i) और ऊंचाई h, जिसे "-" चिन्ह के साथ लिया जाना चाहिए। दूसरे और तीसरे मामले में निश्चित समाकल x i - 1 x i f (x) d x के अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए, हमें लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों के बीच अंतर खोजने की जरूरत है, जिसे हमने चिह्नित किया है नीचे दिए गए चित्र में हैचिंग।

आइए संक्षेप करते हैं। समलम्बाकार विधि का सार इस प्रकार है: हम निश्चित समाकल a b f (x) d x को प्रत्येक प्रारंभिक खंड पर x i - 1 x i f (x) d x के रूप के समाकलों के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं और बाद के अनुमानित परिवर्तन में x i - 1 x i f (x) d x f (x i - 1) + f (x i) 2 h।

समलम्बाकार सूत्र

निश्चित समाकल का पाँचवाँ गुण याद कीजिए: a b f (x) d x = ∑ i = 1 n x i - 1 x i f (x) d x । समलम्बाकार विधि का सूत्र प्राप्त करने के लिए, समाकलों के स्थान पर x i - 1 x i f (x) d x, उनके सन्निकट मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n x i - 1 x i f (x) d x i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

परिभाषा 1

समलम्बाकार सूत्र: x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान

आइए हम इस प्रकार समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाते हैं:

परिभाषा 2

एन ≤ एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) एन एच 3 12 = एम एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 12 एन 2

समलम्बाकार विधि का एक ग्राफिक चित्रण चित्र में दिखाया गया है:

गणना उदाहरण

आइए हम निश्चित समाकलों की अनुमानित गणना के लिए समलम्बाकार विधि का उपयोग करने के उदाहरणों का विश्लेषण करें। हम दो प्रकार के कार्यों पर विशेष ध्यान देंगे:

• खंड n के विभाजनों की दी गई संख्या के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा एक निश्चित समाकलन की गणना;
• एक निर्दिष्ट सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य खोजना।

किसी दिए गए n के लिए, सभी मध्यवर्ती गणना पर्याप्त रूप से उच्च सटीकता के साथ की जानी चाहिए। गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होनी चाहिए, जितना बड़ा n।

यदि हमारे पास एक निश्चित अभिन्न की गणना करने की सटीकता है, तो सभी मध्यवर्ती गणनाओं को परिमाण के दो या दो से अधिक क्रमों को अधिक सटीक रूप से किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि सटीकता 0 . 01 पर सेट है, तो हम 0 . 0001 या 0 . 00001 की सटीकता के साथ मध्यवर्ती गणना करते हैं। बड़े n के लिए, मध्यवर्ती गणना और भी अधिक सटीकता के साथ की जानी चाहिए।

आइए उपरोक्त नियम को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं। ऐसा करने के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा गणना की गई एक निश्चित अभिन्न के मूल्यों की तुलना करते हैं और ट्रेपेज़ॉइड विधि द्वारा प्राप्त करते हैं।

तो, 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805।

उदाहरण 1

समलम्बाकार विधि का उपयोग करते हुए, हम n के बराबर 10 के लिए निश्चित समाकल ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x परिकलित करते हैं।

फेसला

समलम्बाकार विधि का सूत्र है x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

सूत्र को लागू करने के लिए, हमें सूत्र h = b - a n का उपयोग करके चरण h की गणना करने की आवश्यकता है, नोड्स x i = a + i h, i = 0, 1, निर्धारित करें। . . , n , एकीकृत f (x) = 7 x 2 + 1 के मानों की गणना करें।

विभाजन चरण की गणना इस प्रकार की जाती है: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 । 5. नोड्स x i = a + i · h , i = 0 , 1 , पर इंटीग्रैंड की गणना करने के लिए। . . , n हम चार दशमलव स्थान लेंगे:

मैं \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0। 5 = 0 f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0। 5 = 0। 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6। . . मैं = 10: x 10 = 0 + 10 0। 5 = 5 f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

आइए तालिका में गणना के परिणाम दर्ज करें:

प्राप्त मानों को समलम्बाकार विधि के सूत्र में रखें: 0 5 7 d x 2 + 1 h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294 + 0, 2692 = 9, 6117

आइए अपने परिणामों की तुलना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा परिकलित परिणामों से करें। प्राप्त मूल्य सौवें तक मेल खाते हैं।

जवाब: 0 5 7 डी एक्स एक्स 2 + 1 = 9 , 6117

उदाहरण 2

समलम्बाकार विधि का उपयोग करके, हम निश्चित समाकल ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x के मान की गणना 0 , 01 की सटीकता के साथ करते हैं।

फेसला

समस्या की स्थिति के अनुसार a = 1 ; बी = 2, एफ (एक्स) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; न 0 , 01 .

n खोजें, जो पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता का उपयोग करते हुए एकीकरण खंड के विभाजन बिंदुओं की संख्या के बराबर है n ≤ m a x x ∈ [ a ; बी] एफ "" (एक्स) (बी - ए) 3 12 एन 2। हम इसे निम्नलिखित तरीके से करेंगे: हम n मान पाएंगे जिसके लिए असमानता m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) (बी - ए) 3 12 एन 2 ≤ 0, 01। दिया गया n, समलम्बाकार सूत्र हमें दी गई सटीकता के साथ एक निश्चित समाकल का अनुमानित मान देगा।

सबसे पहले, आइए अंतराल पर फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के मापांक का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 "= x 2

दूसरा अवकलज फलन द्विघात परवलय f "" (x) = x 2 है। हम इसके गुणों से जानते हैं कि यह सकारात्मक है और खंड [ 1 ; 2]. इस संबंध में, m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) = एफ "" (2) = 2 2 = 4।

दिए गए उदाहरण में, m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) बल्कि सरल निकला। जटिल मामलों में, गणना के लिए, आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का उल्लेख कर सकते हैं। इस उदाहरण पर विचार करने के बाद, हम m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स)।

आइए हम प्राप्त मान को असमानता m a x x [ a ; बी] एफ "" (एक्स) (बी - ए) 3 12 एन 2 ≤ 0, 01

4 (2 - 1) 3 12 एन 2 ≤ 0 . 01 एन 2 ≥ 100 3 ⇒ एन ≥ 5 7735

प्रारंभिक अंतराल की संख्या जिसमें एकीकरण खंड विभाजित है n एक प्राकृतिक संख्या है। गणना व्यवहार के लिए, आइए n को छह के बराबर लें। n का ऐसा मान हमें कम से कम गणनाओं के साथ समलम्बाकार विधि की निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देगा।

आइए चरण की गणना करें: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6।

नोड खोजें x i = a + i h , i = 1, 0 , । . . , n , हम इन नोड्स पर इंटीग्रैंड के मान निर्धारित करते हैं:

मैं = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266। . . मैं \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 1, 9833

हम एक तालिका के रूप में गणना परिणाम लिखते हैं:

हम प्राप्त परिणामों को समलम्बाकार सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

तुलना करने के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके मूल समाकलन की गणना करते हैं:

1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमने गणना की प्राप्त सटीकता हासिल कर ली है।

उत्तर: 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

जटिल समाकलों के लिए, निरपेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता से संख्या n ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। इस मामले में, निम्नलिखित विधि उपयुक्त होगी।

आइए हम निश्चित समाकल के अनुमानित मान को निरूपित करें, जो n नोड्स के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा प्राप्त किया गया था, जैसा कि I n । आइए एक मनमाना संख्या n चुनें। ट्रेपेज़ॉइड विधि के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम एकल (n = 10) और डबल (n = 20) नोड्स की संख्या के साथ प्रारंभिक अभिन्न की गणना करते हैं और दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों I 20 के बीच अंतर का निरपेक्ष मान पाते हैं - मैं 10.

यदि दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य आवश्यक सटीकता I 20 - I 10 . से कम है< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

यदि दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान आवश्यक सटीकता से अधिक है, तो दो बार नोड्स (एन = 40) के साथ चरणों को दोहराना आवश्यक है।

इस पद्धति में बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है, इसलिए समय बचाने के लिए कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करना बुद्धिमानी है।

आइए उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करके समस्या को हल करें। समय बचाने के लिए, हम समलम्बाकार विधि का उपयोग करके मध्यवर्ती गणनाओं को छोड़ देते हैं।

उदाहरण 3

0 , 001 की सटीकता के साथ समलम्बाकार विधि का उपयोग करके निश्चित समाकल ∫ 0 2 x e x d x की गणना करना आवश्यक है।

फेसला

आइए n को 10 और 20 के बराबर लें। ट्रेपेज़ॉइड सूत्र के अनुसार, हमें I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906 मिलता है।

मैं 20 - 1 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474> 0, 001, जिसके लिए आगे की गणना की आवश्यकता है।

आइए n को 40 के बराबर लें: I 40 = 8, 3934656।

मैं 40 - मैं 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225> 0, 001, जिसके लिए आगे की गणना की भी आवश्यकता है।

आइए n को 80 के बराबर लें: I 80 = 8, 3901585।

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, जिसके लिए नोड्स की संख्या के एक और दोहरीकरण की आवश्यकता है।

आइए n को 160 के बराबर लें: I 160 = 8, 3893317।

मैं 160 - मैं 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

आप I 160 = 8 , 3893317 से हज़ारवां तक ​​पूर्णांकित करके मूल समाकलन का अनुमानित मान प्राप्त कर सकते हैं: 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 ।

तुलना के लिए, हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके मूल निश्चित समाकलन की गणना करते हैं: 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561। आवश्यक सटीकता हासिल कर ली गई है।

उत्तर: 0 2 एक्स ई एक्स डी एक्स 8, 389

त्रुटियाँ

एक निश्चित अभिन्न के मूल्य को निर्धारित करने के लिए मध्यवर्ती गणना, अधिकांश भाग के लिए, लगभग की जाती है। इसका मतलब है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, कम्प्यूटेशनल त्रुटि जमा होने लगती है।

आइए हम समलम्बाकार विधि की निरपेक्ष त्रुटियों के अनुमानों और माध्य आयतों की विधि की तुलना करें:

एन ≤ एम ए एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) एन एच 3 12 = एम एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 12 एन 2 δ एन ≤ एम एक्स एक्स ∈ [ ए ; बी] एफ "" (एक्स) एन एच 3 24 = एम एक्स एक्स ∈ [ ए; बी] एफ "" (एक्स) बी - ए 3 24 एन 2।

किसी दिए गए n के लिए समान मात्रा में कम्प्यूटेशनल कार्य के साथ आयतों की विधि आधी त्रुटि देती है। यह उन मामलों में विधि को अधिक बेहतर बनाता है जहां प्राथमिक खंडों के मध्य खंडों में फ़ंक्शन के मान ज्ञात होते हैं।

उन मामलों में जब अभिन्न कार्यों को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन नोड्स पर मूल्यों के एक सेट के रूप में, हम ट्रेपोजॉइडल विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि हम समलम्बाकार विधि की सटीकता और दाएं और बाएं आयतों की विधि की तुलना करते हैं, तो परिणाम की सटीकता में पहली विधि दूसरे से आगे निकल जाती है।

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समलम्बाकार विधिसंख्यात्मक एकीकरण विधियों में से एक है। यह आपको सटीकता की पूर्व निर्धारित डिग्री के साथ निश्चित इंटीग्रल की गणना करने की अनुमति देता है।

सबसे पहले, हम समलम्बाकार विधि के सार का वर्णन करते हैं और समलम्बाकार सूत्र प्राप्त करते हैं। अगला, हम विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान लिखते हैं और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करते हैं। अंत में, आइए समलम्बाकार विधि की तुलना आयतों की विधि से करें।

पृष्ठ नेविगेशन।

ट्रेपोजॉइड विधि का सार।

आइए अपने आप को निम्नलिखित कार्य निर्धारित करें: आइए हमें निश्चित अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता है, जहां अंतराल पर इंटीग्रैंड y=f(x) निरंतर है।

आइए खंड को बिंदुओं के साथ n लंबाई के बराबर अंतराल में विभाजित करें। इस मामले में, विभाजन चरण पाया जाता है क्योंकि नोड्स समानता से निर्धारित होते हैं।

प्रारंभिक अंतराल पर समाकलन पर विचार करें .

चार मामले संभव हैं (आंकड़ा उनमें से सबसे सरल दिखाता है, जिसमें सब कुछ कम हो जाता है क्योंकि n असीम रूप से बढ़ता है):

हर खंड पर आइए फ़ंक्शन y=f(x) को निर्देशांक के साथ बिंदुओं से गुजरने वाले रेखा खंड के साथ बदलें। हम उन्हें नीली रेखाओं के साथ चित्र में चित्रित करते हैं:

समाकल के अनुमानित मान के रूप में, हम व्यंजक लेते हैं , यानी, चलो लेते हैं .

आइए जानें कि ज्यामितीय अर्थ में लिखित अनुमानित समानता का क्या अर्थ है। इससे यह समझना संभव होगा कि संख्यात्मक एकीकरण की मानी गई विधि को समलम्बाकार विधि क्यों कहा जाता है।

हम जानते हैं कि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के योग के आधे गुणा के गुणनफल के रूप में पाया जाता है। इसलिए, पहले मामले में, एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग आधारों वाले समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होता है और ऊंचाई एच, बाद के मामले में, निश्चित अभिन्न लगभग आधारों के साथ समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है और ऊंचाई h को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है। दूसरे और तीसरे मामले में, निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए लाल और नीले क्षेत्रों के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।

इस प्रकार, हम यहाँ आ गए हैं समलम्बाकार विधि का सार, जिसमें प्रत्येक प्रारंभिक अंतराल पर फॉर्म के इंटीग्रल के योग के रूप में एक निश्चित इंटीग्रल का प्रतिनिधित्व होता है और बाद में अनुमानित प्रतिस्थापन होता है .

समलम्बाकार सूत्र।

निश्चित समाकल के पांचवें गुण के आधार पर .

यदि हम इंटीग्रल के बजाय उनके अनुमानित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटि का अनुमान।

समलम्बाकार विधि की पूर्ण त्रुटिके रूप में रेटेड
.

समलम्बाकार विधि का ग्राफिक चित्रण।

चलो लाते हैं समलम्बाकार विधि का ग्राफिक चित्रण:

समलम्बाकार विधि द्वारा निश्चित समाकलों की अनुमानित गणना के उदाहरण।

आइए उदाहरणों का उपयोग कुछ इंटीग्रल की अनुमानित गणना में ट्रेपेज़ॉइड विधि के अनुप्रयोग का विश्लेषण करने के लिए करें।

मूल रूप से दो प्रकार के कार्य हैं:

• या खंड n के विभाजनों की दी गई संख्या के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा निश्चित समाकल की गणना करें,
• या आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न का अनुमानित मूल्य पाएं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी दिए गए n के लिए, मध्यवर्ती गणना पर्याप्त सटीकता के साथ की जानी चाहिए, और n जितना बड़ा होगा, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होनी चाहिए।

यदि किसी निश्चित सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न की गणना करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, 0.01 तक, तो हम अनुशंसा करते हैं कि मध्यवर्ती गणना परिमाण के दो या तीन क्रम अधिक सटीक रूप से की जाए, अर्थात 0.0001 - 0.00001 तक। यदि निर्दिष्ट सटीकता बड़े n पर प्राप्त की जाती है, तो मध्यवर्ती गणना और भी अधिक सटीकता के साथ की जानी चाहिए।

उदाहरण के लिए, आइए एक निश्चित समाकलन लें, जिसका मान हम न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके परिकलित कर सकते हैं, ताकि हम इस परिणाम की तुलना समलम्बाकार विधि का उपयोग करके प्राप्त अनुमानित मान से कर सकें।

इसलिए, .

उदाहरण।

n = 10 के लिए समलम्बाकार विधि का प्रयोग करके निश्चित समाकल की गणना कीजिए।

फेसला।

समलम्बाकार विधि का सूत्र है . यही है, इसे लागू करने के लिए, हमारे लिए सूत्र का उपयोग करके चरण एच की गणना करना, नोड्स निर्धारित करना और इंटीग्रैंड के संबंधित मूल्यों की गणना करना पर्याप्त है।

आइए विभाजन चरण की गणना करें: .

हम नोड्स को परिभाषित करते हैं और उनमें इंटीग्रैंड के मूल्यों की गणना करते हैं (हम चार दशमलव स्थान लेंगे):

सुविधा के लिए, गणना परिणाम तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं:

हम उन्हें समलम्बाकार विधि के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

परिणामी मान न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए मान के साथ सौवें हिस्से तक मेल खाता है।

उदाहरण।

निश्चित इंटीग्रल की गणना करें 0.01 की सटीकता के साथ समलम्बाकार विधि।

फेसला।

हमें शर्त से क्या मिलता है: a = 1; बी = 2; .

इस मामले में, सबसे पहले, हम एकीकरण खंड के विभाजन बिंदुओं की संख्या पाते हैं, अर्थात n। हम निरपेक्ष त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं . इस प्रकार, यदि हम n पाते हैं जिसके लिए असमानता होगी , तो दिए गए n के लिए समलम्बाकार सूत्र हमें आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित समाकलन का अनुमानित मान देगा।

आइए पहले हम अंतराल पर फलन के दूसरे अवकलज के मापांक का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक द्विघात परवलय है, हम इसके गुणों से जानते हैं कि यह सकारात्मक है और खंड पर बढ़ रहा है, इसलिए . जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे उदाहरण में, खोजने की प्रक्रिया काफी सरल है। अधिक जटिल मामलों के लिए, अनुभाग देखें। यदि इसे खोजना बहुत कठिन है, तो इस उदाहरण के बाद हम कार्रवाई का एक वैकल्पिक तरीका देंगे।

आइए अपनी असमानता पर वापस जाएं और परिणामी मूल्य को इसमें बदलें:

जैसा n एक प्राकृत संख्या है (n प्रारंभिक अंतरालों की संख्या है जिसमें एकीकरण खंड विभाजित है), तो हम n = 6, 7, 8, ... ले सकते हैं, n = 6 लेते हैं। यह हमें न्यूनतम गणना के साथ ट्रैपेज़ॉइडल विधि की आवश्यक सटीकता प्राप्त करने की अनुमति देगा (हालाँकि n = 10 के साथ हमारे मामले में यह मैन्युअल गणना करने के लिए अधिक सुविधाजनक है)।

इसलिए, n मिला, अब पिछले उदाहरण की तरह आगे बढ़ें।

कदम की गणना करें: .

ग्रिड नोड्स और उन पर इंटीग्रैंड के मूल्यों का पता लगाएं:

आइए गणना के परिणामों को तालिका में रखें:

हम प्राप्त परिणामों को समलम्बाकार सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम मूल्यों की तुलना करने के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके मूल समाकलन की गणना करते हैं:

इसलिए, आवश्यक सटीकता प्राप्त की जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पूर्ण त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए असमानता से संख्या n खोजना एक बहुत ही सरल प्रक्रिया नहीं है, खासकर जटिल एकीकृतताओं के लिए। इसलिए, निम्नलिखित विधि का सहारा लेना तर्कसंगत है।

n नोड्स के लिए समलम्बाकार विधि द्वारा प्राप्त निश्चित समाकल का अनुमानित मान किसके द्वारा निरूपित किया जाएगा।

एक मनमाना संख्या n चुनें, उदाहरण के लिए n = 10। हम ट्रेपेज़ॉइड विधि के सूत्र का उपयोग करके n = 10 के लिए मूल इंटीग्रल की गणना करते हैं और दो बार नोड्स की संख्या के लिए, यानी n = 20 के लिए। हम दो प्राप्त अनुमानित मूल्यों के बीच के अंतर का निरपेक्ष मान पाते हैं। यदि यह आवश्यक सटीकता से कम है , फिर हम गणना को रोकते हैं और मान को एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य के रूप में लेते हैं, पहले इसे सटीकता के आवश्यक क्रम तक गोल करते हैं। अन्यथा, हम नोड्स की संख्या को दोगुना करते हैं (हम n = 40 लेते हैं) और चरणों को दोहराते हैं।

शिक्षण और शैक्षिक कार्य:

• उपदेशात्मक उद्देश्य। छात्रों को एक निश्चित अभिन्न की अनुमानित गणना के तरीकों से परिचित कराना।
• शैक्षिक लक्ष्य। इस पाठ का विषय महान व्यावहारिक और शैक्षिक मूल्य का है। संख्यात्मक समाकलन के विचार को एक निश्चित समाकलन की परिभाषा के आधार पर समाकलन योगों की सीमा के रूप में सबसे सरलता से पहुँचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम खंड का कुछ पर्याप्त रूप से छोटा विभाजन लेते हैं [ ए; बी] और इसके लिए एक पूर्णांक योग की रचना करें, तो इसका मान लगभग संगत समाकल के मान के रूप में लिया जा सकता है। उसी समय, कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करके गणना को जल्दी और सही ढंग से करना महत्वपूर्ण है।

बुनियादी ज्ञान और कौशल। आयतों और समलम्ब चतुर्भुजों के सूत्रों का उपयोग करके एक निश्चित समाकलन की गणना के लिए अनुमानित विधियों की अवधारणा रखें।

सबक सुनिश्चित करना

• हैंडआउट। स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य कार्ड।
• टीएसओ। मल्टीप्रोजेक्टर, पीसी, लैपटॉप।
• टीसीओ उपकरण। प्रस्तुतियाँ: "व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ", "आयतों की विधि", "ट्रैपेज़ॉइड की विधि"। (प्रस्तुति लेखक से उधार ली जा सकती है)।
• कम्प्यूटिंग उपकरण: पीसी, माइक्रोकैलकुलेटर।
• दिशा-निर्देश

वर्ग प्रकार। एकीकृत व्यावहारिक।

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि की प्रेरणा। बहुत बार व्यक्ति को निश्चित समाकलों की गणना करनी पड़ती है जिसके लिए प्रतिअवकलन खोजना असंभव है। इस मामले में, निश्चित इंटीग्रल की गणना के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग किया जाता है। कभी-कभी अनुमानित विधि का उपयोग समाकलकों को "लेने" के लिए भी किया जाता है, यदि न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र द्वारा गणना तर्कसंगत नहीं है। इंटीग्रल की अनुमानित गणना का विचार यह है कि वक्र को एक नए वक्र से बदल दिया जाता है जो इसके लिए पर्याप्त रूप से "करीब" होता है। एक नए वक्र की पसंद के आधार पर, एक या दूसरे अनुमानित एकीकरण सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

सबक क्रम।

1. आयत सूत्र।
2. समलम्बाकार सूत्र।
3. व्यायाम का समाधान।

शिक्षण योजना

1. छात्रों के बुनियादी ज्ञान की पुनरावृत्ति।

छात्रों के साथ दोहराएं: एकीकरण के मूल सूत्र, एकीकरण के अध्ययन के तरीकों का सार, एक निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ।

1. व्यावहारिक कार्य करना।

कई तकनीकी समस्याओं का समाधान कुछ इंटीग्रल की गणना के लिए कम हो जाता है, जिसकी सटीक अभिव्यक्ति मुश्किल है, लंबी गणना की आवश्यकता होती है और व्यवहार में हमेशा उचित नहीं होती है। यहां, उनका अनुमानित मूल्य काफी पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, एक ऐसी रेखा से घिरे क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है जिसका समीकरण अज्ञात है। इस मामले में, आप इस रेखा को एक सरल रेखा से बदल सकते हैं, जिसका समीकरण ज्ञात है। इस प्रकार प्राप्त वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल वांछित समाकलन के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है।

सबसे सरल अनुमानित विधि आयतों की विधि है। ज्यामितीय रूप से, आयतों के सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न की गणना करने के तरीके के पीछे का विचार यह है कि एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल ऐ बी सी डीआयतों के क्षेत्रफलों के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसका एक पक्ष है , और दूसरा .

यदि हम आयतों के उन क्षेत्रों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं जो एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र को एक नुकसान के साथ दिखाते हैं [चित्र 1], तो हमें सूत्र मिलता है:

[चित्र 1]

तब हमें सूत्र मिलता है:

अगर बहुतायत में

[चित्र 2],

तब

मूल्यों वाई 0, वाई 1,..., वाई एनसमानता से पाया गया , के = 0, 1..., एन.इन सूत्रों को कहा जाता है आयत सूत्रऔर अनुमानित परिणाम दें। वृद्धि के साथ एनपरिणाम अधिक सटीक हो जाता है।

तो, अभिन्न के अनुमानित मूल्य को खोजने के लिए, आपको चाहिए:

गणना त्रुटि खोजने के लिए, आपको सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है:

उदाहरण 1 आयतों के सूत्र द्वारा गणना करें। गणनाओं की निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों का पता लगाएं।

आइए खंड को विभाजित करें [ ए, बी] कई (उदाहरण के लिए, 6) बराबर भागों में। फिर ए = 0, बी = 3 ,

एक्स के = ए + के एक्स
एक्स 0 = 2 + 0 = 2
एक्स 1 = 2 + 1 = 2,5
एक्स 2 = 2 + 2 =3
एक्स 3 = 2 + 3 = 3
एक्स 4 = 2 + 4 = 4
एक्स 5 = 2 + 5 = 4,5

एफ(एक्स 0) = 2 2 = 4
एफ (एक्स 1) = 2 ,5 2 = 6,25
एफ (एक्स 2) = 3 2 = 9
एफ (एक्स 3) = 3,5 2 = 12,25
एफ (एक्स 4) = 4 2 = 16
एफ (एक्स 5) = 4,5 2 = 20,25.

सूत्र (1) के अनुसार:

गणना की सापेक्ष त्रुटि की गणना करने के लिए, अभिन्न का सटीक मान ज्ञात करना आवश्यक है:

गणना में काफी समय लगा और हमें एक मोटा गोलाई मिली। छोटे सन्निकटन के साथ इस इंटीग्रल की गणना करने के लिए, आप कंप्यूटर की तकनीकी क्षमताओं का उपयोग कर सकते हैं।

आयतों की विधि द्वारा एक निश्चित समाकल ज्ञात करने के लिए, समाकलन के मानों को प्रविष्ट करना आवश्यक है एफ (एक्स)रेंज में एक्सेल वर्कशीट के लिए एक्सदिए गए चरण के साथ एक्स= 0,1.

1. डेटा तालिका संकलित करना (एक्सऔर एफ (एक्स))। एक्स एफ (एक्स)। बहस, और सेल B1 में - शब्द समारोह2 2,1 ) फिर, कोशिकाओं A2:A3 के ब्लॉक का चयन करने के बाद, हमें ऑटो-पूर्णता द्वारा तर्क के सभी मान मिलते हैं (हम ब्लॉक के निचले दाएं कोने को सेल A32 तक, मान तक बढ़ाते हैं एक्स = 5).
2. अगला, हम इंटीग्रैंड के मूल्यों का परिचय देते हैं। सेल बी 2 में, आपको इसका समीकरण लिखना होगा। ऐसा करने के लिए, तालिका कर्सर को सेल B2 में रखें और कीबोर्ड से सूत्र दर्ज करें =ए2^2(अंग्रेजी कीबोर्ड लेआउट के लिए)। कुंजी दबाएं दर्ज. सेल B2 में प्रकट होता है 4 . अब आपको सेल B2 से फंक्शन को कॉपी करना होगा। स्वतः पूर्ण इस सूत्र को B2:B32 श्रेणी में कॉपी करें।
   नतीजतन, अभिन्न खोजने के लिए एक डेटा तालिका प्राप्त की जानी चाहिए।
3. अब सेल B33 में इंटीग्रल का अनुमानित मान पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सेल B33 में, सूत्र दर्ज करें = 0,1*, फिर फंक्शन विजार्ड को कॉल करें (टूलबार पर इन्सर्ट फंक्शन बटन दबाकर (एफ (एक्स)). फ़ंक्शन विज़ार्ड-चरण 2 में से 1 संवाद बॉक्स में, बाईं ओर, श्रेणी फ़ील्ड में, गणित का चयन करें। फंक्शन फील्ड में दाईं ओर - सम फंक्शन। हम बटन दबाते हैं ठीक है।योग संवाद बॉक्स प्रकट होता है। माउस के साथ कार्य क्षेत्र में योग रेंज B2:B31 दर्ज करें। हम बटन दबाते हैं ठीक है।सेल B33 में, वांछित इंटीग्रल का अनुमानित मान एक नुकसान के साथ प्रकट होता है ( 37,955 ) .

प्राप्त अनुमानित मूल्य की तुलना इंटीग्रल के सही मूल्य से करना ( 39 ), यह देखा जा सकता है कि इस मामले में आयतों की विधि की सन्निकटन त्रुटि बराबर है

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

उदाहरण 2 आयतों की विधि का उपयोग करते हुए, दिए गए चरण से गणना करें एक्स = 0,05.

प्राप्त अनुमानित मूल्य की तुलना इंटीग्रल के सही मूल्य से करना , यह देखा जा सकता है कि इस मामले में आयतों की विधि की सन्निकटन त्रुटि बराबर है

ट्रेपेज़ॉइड विधि आमतौर पर आयत विधि की तुलना में अधिक सटीक अभिन्न मान देती है। वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज को कई समलंबों के योग से बदल दिया जाता है और निश्चित समाकल का अनुमानित मान समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जाता है

[चित्र3]

उदाहरण 3 समलम्बाकार खोज चरण दर चरण एक्स = 0,1.

1. एक खाली वर्कशीट खोलें।
2. डेटा तालिका संकलित करना (एक्सऔर एफ (एक्स))।मान लें कि पहला कॉलम मान है एक्स, और दूसरा संगत संकेतक एफ (एक्स)।ऐसा करने के लिए, सेल A1 में, शब्द दर्ज करें बहस, और सेल B1 में - शब्द समारोह. सेल A2 में, तर्क का पहला मान दर्ज किया गया है - सीमा की बाईं सीमा ( 0 ) सेल A3 में, तर्क का दूसरा मान दर्ज किया गया है - सीमा की बाईं सीमा और निर्माण चरण ( 0,1 ) फिर, कोशिकाओं A2: A3 के ब्लॉक का चयन करने के बाद, हमें ऑटो-पूर्णता द्वारा तर्क के सभी मान मिलते हैं (हम ब्लॉक के निचले दाएं कोने को सेल A33 तक, मान तक बढ़ाते हैं एक्स = 3.1).
3. अगला, हम इंटीग्रैंड के मूल्यों का परिचय देते हैं। सेल बी 2 में, आपको इसका समीकरण (साइन के उदाहरण में) लिखना होगा। ऐसा करने के लिए, टेबल कर्सर को सेल बी 2 में रखा जाना चाहिए। कक्ष A2 में तर्क के मान के संगत ज्या मान होना चाहिए। साइन का मान प्राप्त करने के लिए, हम एक विशेष फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं: टूलबार पर सम्मिलित करें फ़ंक्शन बटन पर क्लिक करें एफ (एक्स). फ़ंक्शन विज़ार्ड-चरण 2 में से 1 संवाद बॉक्स में, बाईं ओर, श्रेणी फ़ील्ड में, गणित का चयन करें। फंक्शन फील्ड में दाईं ओर - एक फंक्शन पाप. हम बटन दबाते हैं ठीक है।एक डायलॉग बॉक्स दिखाई देता है पाप. विंडो के ग्रे फ़ील्ड पर माउस पॉइंटर को मँडराते हुए, बाएँ बटन को दबाकर, डेटा कॉलम को खोलने के लिए फ़ील्ड को दाईं ओर ले जाएँ ( लेकिन) सेल A2 पर क्लिक करके साइन तर्क का मान निर्दिष्ट करें। हम बटन दबाते हैं ठीक है। 0 सेल B2 में दिखाई देता है। अब आपको सेल B2 से फंक्शन को कॉपी करना होगा। स्वतः पूर्ण इस सूत्र को B2:B33 श्रेणी में कॉपी करें। नतीजतन, अभिन्न खोजने के लिए एक डेटा तालिका प्राप्त की जानी चाहिए।
4. अब सेल B34 में समलम्बाकार विधि का उपयोग करके समाकलन का अनुमानित मान ज्ञात किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सेल B34 में, सूत्र दर्ज करें \u003d 0.1 * ((बी 2 + बी 33) / 2+,फिर फंक्शन विजार्ड को कॉल करें (टूलबार पर इन्सर्ट फंक्शन बटन दबाकर (एफ (एक्स)). फ़ंक्शन विज़ार्ड-चरण 2 में से 1 संवाद बॉक्स में, बाईं ओर, श्रेणी फ़ील्ड में, गणित का चयन करें। फंक्शन फील्ड में दाईं ओर - सम फंक्शन। हम बटन दबाते हैं ठीक है।योग संवाद बॉक्स प्रकट होता है। माउस के साथ कार्य क्षेत्र में योग रेंज B3:B32 दर्ज करें। हम बटन दबाते हैं ठीक हैफिर एक बार ठीक है।सेल B34 में, मांगे गए इंटीग्रल का अनुमानित मूल्य एक नुकसान के साथ दिखाई देता है ( 1,997 ) .

प्राप्त अनुमानित मूल्य की तुलना इंटीग्रल के वास्तविक मूल्य से करने पर, कोई यह देख सकता है कि इस मामले में आयतों की विधि की सन्निकटन त्रुटि अभ्यास के लिए काफी स्वीकार्य है।

1. व्यायाम का समाधान।