संख्या b से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाना होगा।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुलस न केवल घातीय समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है, बल्कि घातांक के साथ काम करता है, घातीय और लॉगरिदमिक कार्यों को अलग करता है, उन्हें एकीकृत करता है और उन्हें गणना के लिए अधिक स्वीकार्य रूप में लाता है।

के साथ संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे घातीय कार्यों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लॉगरिदम के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजीय व्यंजक हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने की कोशिश करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "दशमलव लघुगणक" कहा जाता है। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या ई है। यह उसके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही lg 10=1 भी।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ

हम अंक द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। आप चाहें तो फंक्शन की जांच करके यह जांच सकते हैं कि हम फंक्शन को सही तरीके से बना रहे हैं या नहीं। हालांकि, लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

समारोह: वाई = लॉग एक्स। आइए बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ गुजरेगा:

आइए हम बताते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मानों को क्यों चुना। यह सब पहचान के बारे में है: प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

;

.

;

.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना करना एक काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन।

बिंदुओं द्वारा एक ग्राफ बनाने के बाद, हमें एक अनुमानित ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात X तर्क के सभी मान्य मान) सभी संख्याएँ शून्य से बड़ी हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक के डोमेन में केवल धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं! दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है कि जब y<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लॉगइस तरह लिखा जा सकता है:

लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र

एक प्राकृतिक लघुगणक से निपटना एक ऐसे लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है जिसका एक मनमाना आधार है। इसलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार में व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई भी संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस व्यंजक को दोनों ओर लघुगणक किया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z के साथ करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वत्रिक सूत्र प्राप्त होता है:

.

विशेष रूप से, यदि z=e, तब:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से लघुगणक को एक मनमाना आधार का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

फेसला:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

टास्क 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

हल: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

.

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

.

इस प्रकार:

.

आप लगभग उत्तर की गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

फेसला:आइए एक प्रतिस्थापन करें: टी = एलएन एक्स। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास द्विघात समीकरण है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

समीकरण की पहली जड़:

.

समीकरण की दूसरी जड़:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हम प्राप्त करते हैं:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, स्मृति में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लॉगरिदम का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी मदद से निर्धारित होते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई खंड नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमीटर का वितरण, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोवस्की समीकरण और इसी तरह ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों, रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या का पता लगाने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण का प्रमाण

बुनियादी गुण.

1. लॉगैक्स + लोगे = लॉग (एक्स वाई);
2. लघुगणक - लघुगणक = लघुगणक (x: y)।

एक ही आधार

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: a > 0, a 1, x >

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

एक नई नींव में संक्रमण

बता दें कि लघुगणक लघुगणक दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यह सभी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

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घातांक 2.718281828…. प्रतिपादक को याद करने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 है और लियो टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानकर आप घातांक का सही मूल्य और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों को जान जाएंगे।

लघुगणक के उदाहरण

व्यंजकों का लघुगणक लें

उदाहरण 1
ए)। x=10ac^2 (ए>0, सी>0)।

गुण 3,5 से हम गणना करते हैं

2.

3.

4. कहाँ पे .

उदाहरण 2 x ज्ञात कीजिए यदि

उदाहरण 3. मान लीजिए कि लघुगणक का मान दिया गया है

लॉग (x) की गणना करें यदि

लघुगणक के मूल गुण

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक और लघुगणक। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लोगे = लॉग (एक्स वाई);
2. लघुगणक - लघुगणक = लघुगणक (x: y)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 - log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 - log3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक के सूत्र। लघुगणक समाधान के उदाहरण हैं।

उन्होंने वहाँ खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: log2 7. चूंकि log2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

बता दें कि लघुगणक लघुगणक दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क का आदान-प्रदान करना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस तरह कहा जाता है:

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस अंश की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या है a. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि log25 64 = log5 8 - बस आधार से वर्ग निकाल लिया और लघुगणक का तर्क। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक उस आधार से ही एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह सभी देखें:

संख्या b का आधार a का लघुगणक व्यंजक को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है ऐसी घात x () ज्ञात करना जिस पर समानता सत्य हो

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानने की आवश्यकता है, क्योंकि उनके आधार पर लगभग सभी समस्याओं और उदाहरणों को लघुगणक के आधार पर हल किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय जोड़तोड़ द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं

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योग और लघुगणक (3.4) के अंतर के सूत्रों की गणना करते समय अक्सर सामना किया जाता है। बाकी कुछ जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में वे जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना के लिए अनिवार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनमें आधार सम भी दस, घातांक या ड्यूस है।
आधार दस लघुगणक को आमतौर पर आधार दस लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) के रूप में दर्शाया जाता है।

रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि मूल बातें रिकॉर्ड में नहीं लिखी गई हैं। उदाहरण के लिए

प्राकृतिक लघुगणक वह लघुगणक है जिसका आधार घातांक (निरूपित ln(x)) है।

घातांक 2.718281828…. प्रतिपादक को याद करने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 है और लियो टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानकर आप घातांक का सही मूल्य और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों को जान जाएंगे।

और दूसरा महत्वपूर्ण आधार दो लघुगणक है

फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर है

अभिन्न या प्रतिपक्षी लघुगणक निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है

उपरोक्त सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को आत्मसात करने के लिए, मैं स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों से केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा।

लघुगणक के उदाहरण

व्यंजकों का लघुगणक लें

उदाहरण 1
ए)। x=10ac^2 (ए>0, सी>0)।

गुण 3,5 से हम गणना करते हैं

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लघुगणक के अंतर गुण से, हमारे पास है

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गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ पे .

नियमों की एक श्रृंखला का उपयोग करके प्रतीत होने वाली जटिल अभिव्यक्ति को फॉर्म में सरल बनाया गया है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2 x ज्ञात कीजिए यदि

फेसला। गणना के लिए, हम गुण 5 और 13 को अंतिम पद तक लागू करते हैं

रिकॉर्ड में स्थानापन्न करें और शोक करें

चूँकि आधार समान हैं, हम व्यंजकों को समान करते हैं

लघुगणक। प्रथम स्तर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

लॉग (x) की गणना करें यदि

हल: पदों के योग से लघुगणक लिखने के लिए चर का लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से परिचित होने की शुरुआत है। गणना का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही अर्जित ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणकीय असमानताओं के लिए विस्तारित करेंगे ...

लघुगणक के मूल गुण

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक और लघुगणक। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लोगे = लॉग (एक्स वाई);
2. लघुगणक - लघुगणक = लघुगणक (x: y)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 - log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 - log3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहाँ खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: log2 7. चूंकि log2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

बता दें कि लघुगणक लघुगणक दिया जाता है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क का आदान-प्रदान करना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस तरह कहा जाता है:

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस अंश की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या है a. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि log25 64 = log5 8 - बस आधार से वर्ग निकाल लिया और लघुगणक का तर्क। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक उस आधार से ही एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

स्कूल पाठ्यक्रम "गणितीय विश्लेषण" में लघुगणक अनुभाग का बहुत महत्व है। लघुगणक कार्यों के लिए कार्य असमानताओं और समीकरणों के कार्यों के अलावा अन्य सिद्धांतों पर आधारित होते हैं। लॉगरिदम और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की अवधारणाओं की परिभाषाओं और बुनियादी गुणों का ज्ञान विशिष्ट USE समस्याओं का सफल समाधान सुनिश्चित करेगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन क्या है, यह समझाने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह एक लघुगणक की परिभाषा का उल्लेख करने योग्य है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें: a log a x = x, जहाँ a › 0, a 1.

लघुगणक के मुख्य गुणों को कई बिंदुओं में सूचीबद्ध किया जा सकता है:

लोगारित्म

लॉगरिदम एक गणितीय ऑपरेशन है जो किसी संख्या या व्यंजक के लघुगणक को खोजने के लिए किसी अवधारणा के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:

लॉगरिदम फ़ंक्शन और इसके गुण

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का रूप है

हम तुरंत ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक › 1 के लिए बढ़ सकता है और 0 a ‹ 1 के लिए घट सकता है। इस पर निर्भर करते हुए, फ़ंक्शन वक्र का एक रूप या दूसरा रूप होगा।

लघुगणक के आलेखों को आलेखित करने के गुण और विधि इस प्रकार हैं:

• f(x) का प्रांत सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है, अर्थात। x अंतराल (0; + ) से कोई भी मान ले सकता है;
• ODZ फ़ंक्शन - सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, अर्थात। y अंतराल से किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है (- ; +∞);
• यदि लघुगणक का आधार a > 1 है, तो f(x) परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है;
• यदि लघुगणक का आधार 0 a 1 है, तो F घट रहा है;
• लॉगरिदमिक फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम;
• ग्राफ वक्र हमेशा निर्देशांक (1;0) के साथ बिंदु से गुजरता है।

दोनों प्रकार के ग्राफ़ बनाना बहुत सरल है, आइए एक उदाहरण का उपयोग करके प्रक्रिया को देखें

सबसे पहले आपको एक साधारण लघुगणक और उसके कार्य के गुणों को याद रखना होगा। उनकी मदद से, आपको विशिष्ट x और y मानों के लिए एक तालिका बनाने की आवश्यकता है। फिर, समन्वय अक्ष पर, प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया जाना चाहिए और एक चिकनी रेखा से जोड़ा जाना चाहिए। यह वक्र अभीष्ट ग्राफ होगा।

लघुगणक फलन सूत्र y= a x द्वारा दिए गए घातांकीय फलन का व्युत्क्रम है। इसे सत्यापित करने के लिए, एक ही निर्देशांक अक्ष पर दोनों वक्रों को खींचना पर्याप्त है।

जाहिर है, दोनों रेखाएं एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब हैं। एक सीधी रेखा y = x की रचना करके, आप सममिति की धुरी देख सकते हैं।

समस्या का उत्तर जल्दी से खोजने के लिए, आपको y = लॉग 2⁡ x के लिए अंकों के मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर निर्देशांक बिंदुओं के मूल को ओए अक्ष और 2 डिवीजनों के नीचे तीन डिवीजनों को स्थानांतरित करें। OX अक्ष के साथ बाईं ओर।

प्रमाण के रूप में, हम ग्राफ़ y = log 2 (x + 2) -3 के बिंदुओं के लिए एक गणना तालिका तैयार करेंगे और प्राप्त मानों की आकृति के साथ तुलना करेंगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तालिका से निर्देशांक और ग्राफ़ पर अंक मेल खाते हैं, इसलिए, कुल्हाड़ियों के साथ स्थानांतरण सही ढंग से किया गया था।

विशिष्ट USE समस्याओं को हल करने के उदाहरण

अधिकांश परीक्षण कार्यों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: परिभाषा का डोमेन खोजना, ग्राफ़ ड्राइंग के अनुसार फ़ंक्शन के प्रकार को निर्दिष्ट करना, यह निर्धारित करना कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है।

कार्यों के त्वरित उत्तर के लिए, यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि f(x) बढ़ता है यदि लघुगणक का घातांक a > 1 और घटता है - जब 0 a 1. हालांकि, न केवल आधार, बल्कि तर्क भी फ़ंक्शन वक्र के रूप को बहुत प्रभावित कर सकता है।

एक चेक मार्क के साथ चिह्नित एफ (एक्स) सही उत्तर हैं। इस मामले में संदेह उदाहरण 2 और 3 के कारण होता है। लॉग के सामने "-" चिन्ह घटते हुए और इसके विपरीत बढ़ता जा रहा है।

इसलिए, ग्राफ़ y=-log 3⁡ x परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटता है, और y= -log (1/3) ⁡x बढ़ता है, इस तथ्य के बावजूद कि आधार 0 a 1 है।

जवाब: 3,4,5.

जवाब: 4.

इस प्रकार के कार्यों को आसान माना जाता है और 1-2 बिंदुओं पर अनुमानित किया जाता है।

कार्य 3.

निर्धारित करें कि फ़ंक्शन घट रहा है या बढ़ रहा है और इसकी परिभाषा के दायरे को इंगित करें।

वाई = लॉग 0.7 (0.1x-5)

चूँकि लघुगणक का आधार एक से कम लेकिन शून्य से बड़ा है, x का फलन घट रहा है। लघुगणक के गुणों के अनुसार, तर्क भी शून्य से बड़ा होना चाहिए। आइए असमानता को हल करें:

जवाब: परिभाषा D(x) का क्षेत्र अंतराल (50; + ) है।

जवाब: 3, 1, OX अक्ष, दाईं ओर।

ऐसे कार्यों को औसत के रूप में वर्गीकृत किया जाता है और 3-4 बिंदुओं पर अनुमानित किया जाता है।

टास्क 5. किसी फ़ंक्शन के लिए सीमा खोजें:

लघुगणक के गुणों से यह ज्ञात होता है कि तर्क केवल सकारात्मक हो सकता है। इसलिए, हम फ़ंक्शन के स्वीकार्य मानों के क्षेत्र की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, दो असमानताओं की प्रणाली को हल करना आवश्यक होगा।

लघुगणक अभिव्यक्ति, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में, हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का सवाल उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। USE के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करने, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जो आपको हमेशा याद रखने चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।

* * *

* डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

* * *

*नए आधार पर संक्रमण

* * *

अधिक गुण:

* * *

संगणना लघुगणक घातांक के गुणों के उपयोग से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

इस संपत्ति का सार यह है कि अंश को हर में स्थानांतरित करते समय और इसके विपरीत, घातांक का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, आधार वही रहता है, लेकिन घातांक गुणा किया जाता है।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा सरल है। मुख्य बात यह है कि अच्छे अभ्यास की आवश्यकता होती है, जो एक निश्चित कौशल देता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल नहीं बनता है, तो सरल कार्यों को हल करते समय, कोई आसानी से गलती कर सकता है।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम से सरलतम उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल होते हैं, परीक्षा में ऐसे कोई नहीं होंगे, लेकिन वे रुचि के हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित नहीं है। साथ ही, लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए जो 1 के बराबर न हो। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 प्राप्त होती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 का आधार -2 लघुगणक 2 है।

मूल लघुगणकीय पहचान

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं भागों की परिभाषा के डोमेन अलग-अलग हों। बाईं ओर केवल b>0, a>0 और a 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दाईं ओर किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से डीपीवी में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1) (4)

वास्तव में, जब संख्या a को पहली घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (6)

लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय मैं स्कूली बच्चों को इन सूत्रों के विचारहीन उपयोग के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। जब उनका उपयोग "बाएं से दाएं" किया जाता है, तो ODZ संकुचित हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

वास्तव में, व्यंजक लॉग a (f (x) g (x)) को दो स्थितियों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फलन पूर्णतः धनात्मक हों या जब f(x) और g(x) दोनों शून्य से कम हों।

इस व्यंजक को योग लॉग a f (x) + log a g (x) में बदलने पर, हम स्वयं को केवल उस स्थिति तक सीमित रखने के लिए बाध्य होते हैं जब f(x)>0 और g(x)>0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का एक संकुचन है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधान का नुकसान हो सकता है। इसी तरह की समस्या सूत्र (6) के लिए मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0) (7)

और फिर से मैं सटीकता के लिए कॉल करना चाहूंगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता के बाईं ओर शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। दायां पक्ष केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से शक्ति निकालते हुए, हम ODZ को फिर से संकीर्ण करते हैं। रिवर्स प्रक्रिया स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के विस्तार की ओर ले जाती है। ये सभी टिप्पणियां न केवल 2 की शक्ति पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी शक्ति पर भी लागू होती हैं।

नए आधार पर जाने का फॉर्मूला

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब रूपांतरण के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार c को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का सूत्र पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें सूत्र (8) का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला प्राप्त होता है:

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1 गणना करें: lg2 + lg50।
फेसला। lg2 + lg50 = lg100 = 2. हमने लघुगणक के योग (5) और दशमलव लघुगणक की परिभाषा के लिए सूत्र का उपयोग किया।

उदाहरण 2 परिकलित करें: lg125/lg5.
फेसला। lg125/lg5 = log 5 125 = 3. हमने नए आधार संक्रमण सूत्र (8) का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1)