इस वीडियो पाठ में, विषय "फ़ंक्शन y \u003d x 2। समीकरणों का आलेखीय हल। इस पाठ के दौरान, छात्र समीकरणों को हल करने के एक नए तरीके से परिचित हो सकेंगे - ग्राफिकल, जो फ़ंक्शन ग्राफ़ के गुणों के ज्ञान पर आधारित है। शिक्षक आपको दिखाएगा कि y=x 2 फलन को आलेखीय रूप से कैसे हल किया जाए।

विषय:समारोह

पाठ:समारोह. समीकरणों का आलेखीय हल

समीकरणों का आलेखीय समाधान फलन रेखांकन और उनके गुणों के ज्ञान पर आधारित होता है। हम उन कार्यों को सूचीबद्ध करते हैं जिनके ग्राफ हम जानते हैं:

1), ग्राफ x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, जो y-अक्ष पर एक बिंदु से होकर गुजरती है। एक उदाहरण पर विचार करें: y=1:

विभिन्न मूल्यों के लिए, हमें x-अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं का एक परिवार मिलता है।

2) प्रत्यक्ष आनुपातिकता फलन इस फलन का ग्राफ मूल बिन्दु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। एक उदाहरण पर विचार करें:

हमने पिछले पाठों में इन ग्राफ़ को पहले ही बना लिया है, याद रखें कि प्रत्येक पंक्ति को बनाने के लिए, आपको एक बिंदु का चयन करना होगा जो इसे संतुष्ट करता है, और मूल को दूसरे बिंदु के रूप में लें।

गुणांक k की भूमिका को याद करें: जैसे-जैसे फलन बढ़ता है, सीधी रेखा और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण न्यून होता है; जब फलन घटता है, तो सीधी रेखा और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण अधिक होता है। इसके अलावा, एक ही संकेत के दो मापदंडों k के बीच निम्नलिखित संबंध हैं: सकारात्मक k के लिए, यह जितना बड़ा होता है, उतनी ही तेजी से कार्य बढ़ता है, और नकारात्मक के लिए, k modulo के बड़े मूल्यों के लिए फ़ंक्शन तेजी से घटता है।

3) रैखिक कार्य। कब - हमें y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है और इस प्रकार की सभी रेखाएं बिंदु (0; m) से होकर गुजरती हैं। इसके अलावा, जैसे-जैसे फ़ंक्शन बढ़ता है, रेखा और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण न्यून होता है; जब फलन घटता है, तो सीधी रेखा और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण अधिक होता है। और निश्चित रूप से, k का मान फ़ंक्शन के मान के परिवर्तन की दर को प्रभावित करता है।

4))। इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 - समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें:

हम इस प्रकार के कार्यों को नहीं जानते हैं, इसलिए ज्ञात कार्यों के साथ काम करने के लिए हमें दिए गए समीकरण को बदलने की जरूरत है:

हमें समीकरण के दोनों भागों में परिचित फलन मिले हैं:

आइए कार्यों के रेखांकन बनाएं:

ग्राफ़ में दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं: (-1; 1); (2; 4)

आइए देखें कि क्या समाधान सही पाया गया है, निर्देशांक को समीकरण में बदलें:

पहला बिंदु सही पाया गया है।

, , , , , ,

दूसरा बिंदु भी सही पाया जाता है।

अत: समीकरण के हल हैं और

हम पिछले उदाहरण के समान कार्य करते हैं: हम दिए गए समीकरण को हमारे लिए ज्ञात कार्यों में बदलते हैं, उनके ग्राफ को प्लॉट करते हैं, चौराहे की धाराओं को ढूंढते हैं, और यहां से हम समाधान इंगित करते हैं।

हमें दो कार्य मिलते हैं:

आइए रेखांकन बनाएं:

इन ग्राफ़ में प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं है

निष्कर्ष: इस पाठ में, हमने ज्ञात कार्यों और उनके ग्राफ़ की समीक्षा की, उनके गुणों को याद किया और समीकरणों को हल करने के लिए एक चित्रमय तरीका माना।

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल। बीजगणित 7. छठा संस्करण। एम.: ज्ञानोदय। 2010

2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7. एम .: वेंटाना-ग्राफ

3. कोल्यागिन यू.एम., तकाचेवा एम.वी., फेडोरोवा एन.ई. और अन्य। बीजगणित 7 .M ।: शिक्षा। 2006

टास्क 1: मकरचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई. एट अल बीजगणित 7, संख्या 494, पृष्ठ 110;

टास्क 2: मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई. और अन्य बीजगणित 7, संख्या 495, आइटम 110;

टास्क 3: मकरचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई. एट अल बीजगणित 7, संख्या 496, पृष्ठ 110;

एक पूर्ण द्विघात समीकरण होने दें: A*x2+B*x+C=0, जहां A, B और C कोई भी संख्या है, और A शून्य के बराबर नहीं है। यह द्विघात समीकरण का सामान्य मामला है। एक छोटा रूप भी है जहां ए = 1। किसी भी समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने के लिए, आपको उच्चतम डिग्री वाले पद को दूसरे भाग में ले जाना होगा और दोनों भागों को किसी चर के बराबर करना होगा।

उसके बाद, A * x2 समीकरण के बाईं ओर रहेगा, और B * x-C दाईं ओर रहेगा (हम मान सकते हैं कि B एक ऋणात्मक संख्या है, इससे सार नहीं बदलता है)। हमें समीकरण A*x2=B*x-C=y मिलता है। स्पष्टता के लिए, इस मामले में, दोनों भाग चर y के बराबर हैं।

प्लॉटिंग और प्रसंस्करण परिणाम

अब हम दो समीकरण लिख सकते हैं: y=A*x2 और y=B*x-C। इसके बाद, आपको इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन को प्लॉट करने की आवश्यकता है। ग्राफ y=A*x2 मूल पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय है, जिसकी शाखाएं ऊपर या नीचे निर्देशित होती हैं, जो संख्या ए के संकेत पर निर्भर करती है। यदि यह ऋणात्मक है, तो शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, यदि यह सकारात्मक है - ऊपर की ओर।

ग्राफ y=B*x-C एक नियमित सीधी रेखा है। यदि C=0, रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है। सामान्य स्थिति में, यह कोटि अक्ष से C के बराबर एक खंड को काटता है। भुज अक्ष के सापेक्ष इस सीधी रेखा के झुकाव का कोण गुणांक B द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह इस कोण के ढलान के बराबर है।

रेखांकन बनने के बाद, यह देखा जाएगा कि वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। भुज के साथ इन बिंदुओं के निर्देशांक द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करते हैं। उन्हें सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको स्पष्ट रूप से रेखांकन बनाने और सही पैमाना चुनने की आवश्यकता है।

एक और ग्राफिक समाधान

द्विघात समीकरण को आलेखीय रूप से हल करने का एक और तरीका है। B*x+C को समीकरण के दूसरी ओर ले जाना आवश्यक नहीं है। आप फंक्शन y=A*x2+B*x+C को तुरंत प्लॉट कर सकते हैं। ऐसा ग्राफ एक परवलय होता है जिसमें एक मनमाना बिंदु होता है। यह विधि पिछले वाले की तुलना में अधिक जटिल है, लेकिन आप केवल एक ग्राफ़ बना सकते हैं ताकि ऐसा किया जा सके।

सबसे पहले आपको निर्देशांक x0 और y0 के साथ परवलय के शीर्ष को निर्धारित करने की आवश्यकता है। इसके भुज की गणना सूत्र x0=-B/2*a द्वारा की जाती है। कोर्डिनेट निर्धारित करने के लिए, आपको एब्सिस्सा के प्राप्त मूल्य को मूल फ़ंक्शन में स्थानापन्न करना होगा। गणितीय रूप से, यह कथन इस प्रकार लिखा गया है: y0=y(x0)।

फिर आपको परवलय की धुरी के सममित दो बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है। उनमें, मूल कार्य गायब हो जाना चाहिए। उसके बाद, आप एक परवलय बना सकते हैं। X-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु द्विघात समीकरण के दो मूल देंगे।

रैखिक प्रोग्रामिंग में, उत्तल सेट (समाधान पॉलीहेड्रॉन) निर्धारित करने के लिए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग किया जाता है। यदि मुख्य रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में एक इष्टतम योजना है, तो उद्देश्य फ़ंक्शन निर्णय पॉलीहेड्रॉन के किसी एक शीर्ष पर मान लेता है (आंकड़ा देखें)।

सेवा असाइनमेंट. इस सेवा का उपयोग करके, आप ऑनलाइन ज्यामितीय पद्धति का उपयोग करके रैखिक प्रोग्रामिंग की समस्या को हल कर सकते हैं, साथ ही दोहरी समस्या का समाधान प्राप्त कर सकते हैं (संसाधनों के इष्टतम उपयोग का अनुमान लगाएं)। साथ ही, Excel में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है।

निर्देश। पंक्तियों की संख्या (सीमाओं की संख्या) का चयन करें।

प्रतिबंधों की संख्या 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

यदि चरों की संख्या दो से अधिक है, तो सिस्टम को SZLP में लाना आवश्यक है (उदाहरण और उदाहरण संख्या 2 देखें)। यदि बाधा डबल है, उदाहरण के लिए, 1 x 1 ≤ 4 , तो इसे दो में विभाजित किया जाता है: x 1 1 , x 1 ≤ 4 (अर्थात पंक्तियों की संख्या 1 से बढ़ जाती है)।
आप इस सेवा का उपयोग करके एक व्यवहार्य समाधान क्षेत्र (डीडीआर) भी बना सकते हैं।

इस कैलकुलेटर के साथ निम्नलिखित का भी उपयोग किया जाता है:
एलएलपी को हल करने के लिए सरल विधि

परिवहन समस्या का समाधान
मैट्रिक्स गेम समाधान
ऑनलाइन सेवा का उपयोग करके, आप एक मैट्रिक्स गेम (निचली और ऊपरी सीमा) की कीमत निर्धारित कर सकते हैं, एक सैडल पॉइंट की जांच कर सकते हैं, निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके मिश्रित रणनीति का समाधान ढूंढ सकते हैं: मिनिमैक्स, सिम्प्लेक्स विधि, ग्राफिकल (ज्यामितीय) विधि, ब्राउन विधि।
दो चर के एक समारोह का चरम
सीमा गणना

एक ग्राफिकल विधि द्वारा एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने में निम्नलिखित चरण शामिल हैं::

1. रेखाएँ समतल X 1 0X 2 पर बनी हैं।
2. आधे विमानों को परिभाषित किया गया है।
3. एक निर्णय बहुभुज परिभाषित करें;
4. एक वेक्टर एन (सी 1, सी 2) बनाएं, जो उद्देश्य फ़ंक्शन की दिशा को इंगित करता है;
5. प्रत्यक्ष उद्देश्य फ़ंक्शन को स्थानांतरित करें सी 1 एक्स 2 + सी 2 एक्स 2= 0 वेक्टर एन की दिशा में समाधान बहुभुज के चरम बिंदु तक।
6. इस बिंदु पर बिंदु के निर्देशांक और उद्देश्य फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

इस मामले में, निम्नलिखित स्थितियां हो सकती हैं:

उदाहरण। कंपनी दो तरह के उत्पाद बनाती है- P1 और P2। उत्पादों के उत्पादन के लिए दो प्रकार के कच्चे माल का उपयोग किया जाता है - C1 और C2। उत्पादन की एक इकाई का थोक मूल्य इसके बराबर है: CU 5 P1 और 4 c.u के लिए P2 के लिए प्रकार P1 और प्रकार P2 के उत्पादन की प्रति इकाई कच्चे माल की खपत तालिका में दी गई है।
तालिका - उत्पादन के लिए कच्चे माल की खपत

उत्पाद की मांग पर प्रतिबंध स्थापित किए गए हैं: P2 उत्पादों का दैनिक उत्पादन P1 उत्पादों के दैनिक उत्पादन से 1 टन से अधिक नहीं होना चाहिए; P2 का अधिकतम दैनिक उत्पादन 2 टन से अधिक नहीं होना चाहिए।
यह निर्धारित करना आवश्यक है:
उत्पादों की बिक्री से आय को अधिकतम करने के लिए कंपनी को प्रत्येक प्रकार के कितने उत्पादों का उत्पादन करना चाहिए?

1. एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करें।
2. एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें (दो चर के लिए)।

फेसला।
आइए हम एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करें।
x 1 - उत्पादन P1, इकाइयाँ।
x 2 - P2 उत्पादों, इकाइयों का उत्पादन।
एक्स 1 , एक्स 2 0

संसाधन सीमा
6x1 + 4x2 24
x1 + 2x2 6

मांग सीमा
एक्स 1 +1 एक्स 2
x2 2

उद्देश्य समारोह
5x1 + 4x2 → अधिकतम

तब हमें निम्नलिखित एलएलपी प्राप्त होता है:
6x1 + 4x2 24
x1 + 2x2 6
एक्स 2 - एक्स 1 ≤ 1
x2 2
एक्स 1 , एक्स 2 0
5x1 + 4x2 → अधिकतम

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों को हल करना। विजुअल गाइड (2019)

कई कार्य जिनका उपयोग हम विशुद्ध रूप से बीजगणितीय रूप से गणना करने के लिए करते हैं, उन्हें बहुत आसान और तेज़ी से हल किया जा सकता है, फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करने से हमें इसमें मदद मिलेगी। आप कहते हैं "ऐसा कैसे?" कुछ आकर्षित करने के लिए, और क्या आकर्षित करना है? मेरा विश्वास करो, कभी-कभी यह अधिक सुविधाजनक और आसान होता है। हम शुरू करें? आइए समीकरणों से शुरू करें!

समीकरणों का आलेखीय हल

रैखिक समीकरणों का आलेखीय हल

जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, एक रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है, इसलिए इस प्रकार का नाम। रैखिक समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल करना काफी आसान है - हम सभी अज्ञात को समीकरण के एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, जो कुछ भी हम जानते हैं - दूसरे को, और वॉयला! हमें जड़ मिल गई है। अब मैं आपको दिखाऊंगा कि यह कैसे करना है ग्राफिक तरीका।

तो आपके पास एक समीकरण है:

इसे कैसे हल करें?
विकल्प 1, और सबसे आम अज्ञात को एक तरफ ले जाना है, और दूसरे को जाना जाता है, हमें मिलता है:

और अब हम निर्माण कर रहे हैं। तुम्हें क्या मिला?

आपको क्या लगता है कि हमारे समीकरण की जड़ क्या है? यह सही है, रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय:

हमारा जवाब है

यही ग्राफिक समाधान का संपूर्ण ज्ञान है। जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, हमारे समीकरण का मूल एक संख्या है!

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, यह सबसे आम विकल्प है, बीजीय समाधान के करीब, लेकिन आप इसे दूसरे तरीके से हल कर सकते हैं। एक वैकल्पिक समाधान पर विचार करने के लिए, आइए अपने समीकरण पर वापस आते हैं:

इस बार हम किसी भी चीज़ को अगल-बगल से नहीं घुमाएंगे, बल्कि सीधे ग्राफ़ बनाएंगे, जैसे वे अभी हैं:

बनाया? नज़र!

इस बार क्या उपाय है? ठीक है। वही ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है:

और, फिर से, हमारा जवाब है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों के साथ, सब कुछ बेहद सरल है। कुछ अधिक जटिल विचार करने का समय आ गया है... उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरणों का ग्राफिक समाधान।

द्विघात समीकरणों का आलेखीय हल

तो, अब द्विघात समीकरण को हल करना शुरू करते हैं। मान लीजिए कि आपको इस समीकरण की जड़ें खोजने की जरूरत है:

बेशक, अब आप विवेचक के माध्यम से या विएटा प्रमेय के अनुसार गिनना शुरू कर सकते हैं, लेकिन कई तंत्रिकाएं गुणा या वर्ग करते समय गलती करती हैं, खासकर यदि उदाहरण बड़ी संख्या के साथ है, और, जैसा कि आप जानते हैं, आपके पास एक नहीं होगा परीक्षा में कैलकुलेटर ... इसलिए, आइए इस समीकरण को हल करते समय थोड़ा आराम करने और ड्रा करने का प्रयास करें।

आलेखीय रूप से, इस समीकरण के हल विभिन्न तरीकों से खोजे जा सकते हैं। विभिन्न विकल्पों पर विचार करें, और आप स्वयं चुनेंगे कि आपको कौन सा सबसे अच्छा लगता है।

विधि 1. सीधे

हम इस समीकरण के अनुसार सिर्फ एक परवलय बनाते हैं:

इसे जल्दी करने के लिए, मैं आपको एक छोटा सा संकेत दूंगा: परवलय के शीर्ष का निर्धारण करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है।निम्नलिखित सूत्र परवलय के शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करने में मदद करेंगे:

आप कहते हैं "रुको! के लिए सूत्र विवेचक को खोजने के सूत्र के समान है "हाँ, यह है, और यह अपनी जड़ों को खोजने के लिए एक परवलय का निर्माण" प्रत्यक्ष "का एक बड़ा नुकसान है। हालांकि, चलिए अंत तक गिनती करते हैं, और फिर मैं आपको दिखाऊंगा कि इसे बहुत (बहुत!) आसान कैसे बनाया जाए!

क्या आपने गिनती की? परवलय के शीर्ष के निर्देशांक क्या हैं? आइए इसे एक साथ समझें:

बिल्कुल वही जवाब? बहुत अच्छा! और अब हम पहले से ही शीर्ष के निर्देशांक जानते हैं, और एक परवलय बनाने के लिए, हमें और अधिक ... अंक चाहिए। आपको क्या लगता है, हमें कितने न्यूनतम अंक चाहिए? सही ढंग से, .

आप जानते हैं कि एक परवलय अपने शीर्ष के प्रति सममित होता है, उदाहरण के लिए:

तदनुसार, हमें परवलय की बाईं या दाईं शाखा के साथ दो और बिंदुओं की आवश्यकता है, और भविष्य में हम इन बिंदुओं को विपरीत दिशा में सममित रूप से प्रतिबिंबित करेंगे:

हम अपने परवलय में लौटते हैं। हमारे मामले के लिए, बिंदु। हमें क्रमशः दो और अंक चाहिए, क्या हम सकारात्मक अंक ले सकते हैं, लेकिन क्या हम नकारात्मक ले सकते हैं? आपके लिए सबसे अच्छे अंक क्या हैं? मेरे लिए सकारात्मक लोगों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, इसलिए मैं और के साथ गणना करूंगा।

अब हमारे पास तीन बिंदु हैं, और हम अपने शीर्ष के बारे में अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाकर आसानी से अपना परवलय बना सकते हैं:

आपको क्या लगता है कि समीकरण का हल क्या है? यह सही है, जिन बिंदुओं पर, वह है, और। क्योंकि।

और अगर हम ऐसा कहते हैं, तो इसका मतलब है कि यह भी बराबर होना चाहिए, या।

अभी-अभी? हमने आपके साथ समीकरण को एक जटिल चित्रमय तरीके से हल करना समाप्त कर दिया है, या और भी बहुत कुछ होगा!

बेशक, आप हमारे उत्तर को बीजगणितीय रूप से देख सकते हैं - आप वियत प्रमेय या विभेदक के माध्यम से जड़ों की गणना कर सकते हैं। तुम्हें क्या मिला? यह वही? आप समझ सकते हैं! आइए अब एक बहुत ही सरल आलेखीय समाधान देखते हैं, मुझे विश्वास है कि आपको यह बहुत पसंद आएगा!

विधि 2. कई कार्यों में विभाजित करें

आइए सब कुछ लेते हैं, हमारा समीकरण: , लेकिन हम इसे थोड़ा अलग तरीके से लिखते हैं, अर्थात्:

क्या हम इसे इस तरह लिख सकते हैं? हम कर सकते हैं, क्योंकि परिवर्तन समतुल्य है। आइए आगे देखें।

आइए दो कार्यों को अलग-अलग बनाएं:

1. - ग्राफ एक साधारण परवलय है, जिसे आप सूत्रों का उपयोग करके शीर्ष को परिभाषित किए बिना और अन्य बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एक तालिका बनाए बिना भी आसानी से बना सकते हैं।
2. - ग्राफ एक सीधी रेखा है, जिसे आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना भी मूल्यों का अनुमान लगाकर और अपने सिर में आसानी से बना सकते हैं।

बनाया? मुझे जो मिला है उसकी तुलना करें:

आपको क्या लगता है कि इस मामले में समीकरण की जड़ क्या है? सही ढंग से! निर्देशांक जिसके द्वारा दो ग्राफों को पार करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात्:

तदनुसार, इस समीकरण का हल है:

आपका क्या कहना है? सहमत हूँ, यह समाधान विधि पिछले एक की तुलना में बहुत आसान है और विवेचक के माध्यम से जड़ों की तलाश करने से भी आसान है! यदि ऐसा है, तो निम्न समीकरण को हल करने के लिए इस विधि का प्रयास करें:

तुम्हें क्या मिला? आइए हमारे चार्ट की तुलना करें:

रेखांकन दिखाते हैं कि उत्तर हैं:

क्या आप संभाल पाओगे? बहुत अच्छा! अब आइए समीकरणों को थोड़ा और जटिल देखें, अर्थात् मिश्रित समीकरणों का समाधान, अर्थात्, विभिन्न प्रकार के कार्यों वाले समीकरण।

मिश्रित समीकरणों का आलेखीय हल

आइए अब निम्नलिखित को हल करने का प्रयास करें:

बेशक, आप सब कुछ एक सामान्य हर में ला सकते हैं, परिणामी समीकरण की जड़ों का पता लगा सकते हैं, जबकि ओडीजेड को ध्यान में रखना न भूलें, लेकिन फिर से, हम इसे ग्राफिक रूप से हल करने का प्रयास करेंगे, जैसा कि हमने पिछले सभी मामलों में किया था।

इस बार आइए निम्नलिखित 2 ग्राफ़ बनाते हैं:

1. - ग्राफ एक अतिपरवलय है
2. - एक ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसे आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना भी मूल्यों का अनुमान लगाकर और अपने सिर में आसानी से बना सकते हैं।

समझना? अब निर्माण शुरू करें।

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

इस तस्वीर को देखकर, हमारे समीकरण की जड़ें क्या हैं?

यह सही है, और। यहाँ पुष्टि है:

हमारी जड़ों को समीकरण में जोड़ने का प्रयास करें। हो गई?

ठीक है! सहमत हूं, ऐसे समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल करना खुशी की बात है!

समीकरण को रेखांकन द्वारा स्वयं हल करने का प्रयास करें:

मैं आपको एक संकेत देता हूं: समीकरण के हिस्से को दाईं ओर ले जाएं ताकि दोनों पक्षों के पास निर्माण करने के लिए सबसे सरल कार्य हों। संकेत मिला? कार्यवाही करना!

अब देखते हैं कि आपको क्या मिला:

क्रमश:

1. - घन परवलय।
2. - एक साधारण सीधी रेखा।

खैर, हम निर्माण कर रहे हैं:

जैसा कि आपने लंबे समय तक लिखा है, इस समीकरण का मूल है -।

इसे हल करने के बाद एक बड़ी संख्या कीउदाहरण के लिए, मुझे यकीन है कि आपने महसूस किया है कि आप कैसे आसानी से और जल्दी से समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल कर सकते हैं। यह पता लगाने का समय है कि इस तरह से सिस्टम को कैसे हल किया जाए।

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

सिस्टम का ग्राफिकल सॉल्यूशन अनिवार्य रूप से समीकरणों के ग्राफिकल सॉल्यूशन से अलग नहीं है। हम दो रेखांकन भी बनाएंगे, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रणाली की जड़ें होंगे। एक ग्राफ एक समीकरण है, दूसरा ग्राफ एक और समीकरण है। सब कुछ बेहद सरल है!

आइए रैखिक समीकरणों की सरलतम - हल करने वाली प्रणालियों से शुरू करें।

रैखिक समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली

मान लें कि हमारे पास निम्न प्रणाली है:

शुरू करने के लिए, हम इसे इस तरह से बदल देंगे कि बाईं ओर सब कुछ है जो जुड़ा हुआ है, और दाईं ओर - जो जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, हम इन समीकरणों को हमारे लिए सामान्य रूप में एक फ़ंक्शन के रूप में लिखते हैं:

और अब हम केवल दो सीधी रेखाएँ बनाते हैं। हमारे मामले में समाधान क्या है? सही ढंग से! उनके चौराहे का बिंदु! और यहां आपको बहुत सावधान रहने की जरूरत है! सोचो क्यों? मैं आपको एक संकेत देता हूँ: हम एक प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं: सिस्टम में दोनों हैं, और... संकेत मिला?

ठीक है! सिस्टम को हल करते समय, हमें दोनों निर्देशांकों को देखना चाहिए, और न केवल समीकरणों को हल करते समय! एक और महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि उन्हें सही ढंग से लिखें और भ्रमित न हों कि हमारे पास मूल्य कहाँ है और मूल्य कहाँ है! रिकॉर्ड किया गया? आइए अब सब कुछ क्रम में तुलना करें:

और उत्तर: मैं। एक जाँच करें - सिस्टम में मिली जड़ों को प्रतिस्थापित करें और सुनिश्चित करें कि हमने इसे ग्राफिकल तरीके से सही ढंग से हल किया है?

गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना

लेकिन क्या होगा अगर एक सीधी रेखा के बजाय, हमारे पास द्विघात समीकरण है? ठीक है! आप बस एक सीधी रेखा के बजाय एक परवलय का निर्माण करें! विश्वास नहीं करते? निम्नलिखित प्रणाली को हल करने का प्रयास करें:

हमारा अगला कदम क्या है? यह सही है, इसे लिख लें ताकि हमारे लिए रेखांकन बनाना सुविधाजनक हो:

और अब यह सब छोटी चीज़ों के बारे में है - मैंने इसे जल्दी से बनाया और यहाँ आपके लिए समाधान है! इमारत:

क्या ग्राफिक्स समान हैं? अब चित्र में सिस्टम के समाधानों को चिह्नित करें और प्रकट उत्तरों को सही ढंग से लिखें!

मैंने सब कुछ किया है? मेरे नोट्स के साथ तुलना करें:

ठीक है? बहुत अच्छा! आप पहले से ही पागल जैसे कार्यों पर क्लिक करते हैं! और यदि हां, तो आइए आपको एक अधिक जटिल प्रणाली प्रदान करते हैं:

हम क्या कर रहे हैं? सही ढंग से! हम सिस्टम लिखते हैं ताकि इसे बनाना सुविधाजनक हो:

मैं आपको थोड़ा संकेत दूंगा, क्योंकि सिस्टम बहुत जटिल दिखता है! रेखांकन बनाते समय, उन्हें "अधिक" बनाएं, और सबसे महत्वपूर्ण बात, चौराहे के बिंदुओं की संख्या पर आश्चर्य न करें।

तो चलते हैं! साँस छोड़ी? अब निर्माण शुरू करो!

कितनी अच्छी तरह से? सुन्दर है? आपको कितने चौराहे बिंदु मिले? मेरे पास तीन हैं! आइए हमारे रेखांकन की तुलना करें:

उसी तरह? अब हमारे सिस्टम के सभी समाधानों को ध्यान से लिखें:

अब सिस्टम को फिर से देखें:

क्या आप सोच सकते हैं कि आपने इसे केवल 15 मिनट में हल कर लिया? सहमत हूं, गणित अभी भी सरल है, खासकर जब एक अभिव्यक्ति को देखते हुए, आप गलती करने से डरते नहीं हैं, लेकिन आप इसे लेते हैं और निर्णय लेते हैं! तुम बड़े लड़के हो!

असमानताओं का चित्रमय समाधान

रैखिक असमानताओं का आलेखीय समाधान

अंतिम उदाहरण के बाद, आप कार्य पर निर्भर हैं! अब साँस छोड़ें - पिछले खंडों की तुलना में, यह बहुत, बहुत आसान होगा!

हम हमेशा की तरह, एक रैखिक असमानता के चित्रमय समाधान के साथ शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

आरंभ करने के लिए, हम सबसे सरल परिवर्तन करेंगे - हम पूर्ण वर्गों के कोष्ठक खोलेंगे और समान शब्द देंगे:

असमानता सख्त नहीं है, इसलिए - अंतराल में शामिल नहीं है, और समाधान सभी बिंदु होंगे जो दाईं ओर हैं, क्योंकि अधिक, अधिक, और इसी तरह:

जवाब:

बस इतना ही! सरलता? आइए दो चर के साथ एक साधारण असमानता को हल करें:

आइए समन्वय प्रणाली में एक फ़ंक्शन बनाएं।

क्या आपके पास ऐसा कोई चार्ट है? और अब हम ध्यान से देखें कि हमारे पास असमानता में क्या है? छोटा? इसलिए, हम अपनी सीधी रेखा के बाईं ओर की हर चीज़ पर पेंट करते हैं। क्या होगा अगर और भी थे? यह सही है, तब वे हमारी सीधी रेखा के दायीं ओर की हर चीज़ पर पेंट करेंगे। सब कुछ सरल है।

इस असमानता के सभी समाधान नारंगी रंग में छायांकित हैं। यही है, दो-चर असमानता हल हो गई है। इसका मतलब है कि निर्देशांक और छायांकित क्षेत्र से कोई भी बिंदु समाधान हैं।

द्विघात असमानताओं का आलेखीय समाधान

अब हम देखेंगे कि द्विघात असमानताओं को आलेखीय रूप से कैसे हल किया जाए।

लेकिन इससे पहले कि हम सीधे मुद्दे पर पहुँचें, चलिए वर्गाकार फलन के बारे में कुछ बातें फिर से समझते हैं।

भेदभाव करने वाला किसके लिए जिम्मेदार है? यह सही है, अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की स्थिति के लिए (यदि आपको यह याद नहीं है, तो निश्चित रूप से द्विघात कार्यों के बारे में सिद्धांत पढ़ें)।

किसी भी मामले में, यहां आपके लिए एक छोटा सा अनुस्मारक है:

अब जब हमने अपनी स्मृति में सभी सामग्री को ताज़ा कर दिया है, तो चलिए व्यापार में उतरते हैं - हम असमानता को ग्राफिक रूप से हल करेंगे।

मैं आपको तुरंत बता दूंगा कि इसे हल करने के लिए दो विकल्प हैं।

विकल्प 1

हम अपने परवलय को एक फंक्शन के रूप में लिखते हैं:

सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम परवलय के शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करते हैं (उसी तरह जैसे द्विघात समीकरणों को हल करते समय):

क्या आपने गिनती की? तुम्हें क्या मिला?

अब दो और अलग-अलग बिंदु लेते हैं और उनके लिए गणना करते हैं:

हम परवलय की एक शाखा बनाना शुरू करते हैं:

हम परवलय की एक अन्य शाखा पर सममित रूप से अपनी बातों को प्रतिबिंबित करते हैं:

अब वापस हमारी असमानता पर।

हमें इसकी आवश्यकता है कि यह क्रमशः शून्य से कम हो:

चूंकि हमारी असमानता में एक संकेत सख्ती से कम है, हम अंतिम बिंदुओं को बाहर करते हैं - हम "बाहर निकलते हैं"।

जवाब:

लंबा रास्ता, है ना? अब मैं आपको एक उदाहरण के रूप में समान असमानता का उपयोग करके ग्राफिकल समाधान का एक सरल संस्करण दिखाऊंगा:

विकल्प 2

हम अपनी असमानता पर लौटते हैं और उन अंतरालों को चिह्नित करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

सहमत हूँ, यह बहुत तेज़ है।

आइए अब उत्तर लिखें:

आइए एक और समाधान विधि पर विचार करें जो बीजीय भाग को सरल करता है, लेकिन मुख्य बात भ्रमित नहीं होना है।

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

निम्नलिखित द्विघात असमानता को अपने आप किसी भी तरह से हल करने का प्रयास करें:

क्या आप संभाल पाओगे?

देखें कि मेरा चार्ट कैसा निकला:

जवाब: .

मिश्रित असमानताओं का आलेखीय समाधान

अब आइए अधिक जटिल असमानताओं की ओर बढ़ते हैं!

आपको यह कैसे लगता है:

भयानक, है ना? ईमानदारी से, मुझे नहीं पता कि इसे बीजगणितीय रूप से कैसे हल किया जाए ... लेकिन यह आवश्यक नहीं है। ग्राफिक रूप से, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है! आंखें डरती हैं, लेकिन हाथ कर रहे हैं!

पहली चीज जो हम शुरू करते हैं वह है दो रेखांकन बनाना:

मैं हर किसी के लिए एक टेबल नहीं लिखूंगा - मुझे यकीन है कि आप इसे पूरी तरह से अपने दम पर कर सकते हैं (बेशक, हल करने के लिए बहुत सारे उदाहरण हैं!)

चित्रित? अब दो ग्राफ बनाएं।

आइए हमारे चित्र की तुलना करें?

क्या आपके पास वही है? बढ़िया! अब आइए चौराहे के बिंदुओं को रखें और एक रंग के साथ निर्धारित करें कि हमारे पास कौन सा ग्राफ होना चाहिए, सिद्धांत रूप में, बड़ा होना चाहिए, अर्थात। देखिए आखिर में क्या हुआ:

और अब हम देखते हैं कि हमारा चयनित चार्ट चार्ट से कहाँ ऊँचा है? बेझिझक एक पेंसिल लें और इस क्षेत्र पर पेंट करें! यह हमारी जटिल असमानता का समाधान होगा!

अक्ष के अनुदिश हम किस अंतराल से ऊपर हैं? सही, । यह उत्तर है!

ठीक है, अब आप किसी भी समीकरण, और किसी भी प्रणाली, और इससे भी अधिक किसी भी असमानता को संभाल सकते हैं!

संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. एक्सप्रेस के माध्यम से
2. फ़ंक्शन प्रकार को परिभाषित करें
3. आइए परिणामी कार्यों के रेखांकन बनाएं
4. ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए
5. उत्तर को सही ढंग से लिखें (ODZ और असमानता के संकेतों को ध्यान में रखते हुए)
6. उत्तर की जाँच करें (समीकरण या प्रणाली में जड़ों को प्रतिस्थापित करें)

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के बारे में अधिक जानकारी के लिए, "" विषय देखें।

पाठ में, छात्रों ने कार्यक्रम के ज्ञान और कौशल का प्रदर्शन किया:

- कार्यों के प्रकारों को पहचानें, उनके रेखांकन बनाएं;
- द्विघात फलन के निर्माण के कौशल का अभ्यास किया;
- पूर्ण वर्ग चयन विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय विधियों पर काम किया।

मैं एक पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करने पर विशेष ध्यान देना चाहता था, क्योंकि गणित में USE इस प्रकार के बहुत सारे कार्य प्रदान करता है।

इस प्रकार के कार्य को कक्षा में लागू करने का अवसर मुझे स्वयं छात्रों ने दिया, क्योंकि उनके पास पर्याप्त ज्ञान का आधार है जिसे गहरा और विस्तारित किया जा सकता है।

छात्रों द्वारा पूर्व-तैयार किए गए टेम्प्लेट पाठ के समय को बचाने की अनुमति देते हैं। पाठ के दौरान, मैं पाठ की शुरुआत में कार्यों को लागू करने और अपेक्षित परिणाम प्राप्त करने में कामयाब रहा।

शारीरिक शिक्षा मिनट के उपयोग ने छात्रों के अधिक काम से बचने, ज्ञान प्राप्त करने के लिए एक उत्पादक प्रेरणा बनाए रखने में मदद की।

सामान्य तौर पर, मैं पाठ के परिणाम से संतुष्ट हूं, लेकिन मुझे लगता है कि अभी भी आरक्षित अवसर हैं: आधुनिक नवीन तकनीकी उपकरण, जो दुर्भाग्य से, हमारे पास उपयोग करने का अवसर नहीं है।

पाठ प्रकार:अध्ययन सामग्री का समेकन।

पाठ मकसद:

• सामान्य शिक्षा और उपदेशात्मक:
  • छात्रों की मानसिक गतिविधि के विभिन्न तरीकों का विकास करना;
  • समस्याओं को स्वतंत्र रूप से हल करने की क्षमता बनाने के लिए;
  • छात्रों की गणितीय संस्कृति को शिक्षित करना;
  • छात्रों के अंतर्ज्ञान और प्राप्त ज्ञान का उपयोग करने की क्षमता विकसित करना।
• सिखाने के तरीके:
  • "द्विघात समीकरणों का चित्रमय समाधान" विषय पर पहले से अध्ययन की गई जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें;
  • द्विघात कार्यों की साजिश रचने को दोहराएं;
  • एक ग्राफिकल विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करने के कौशल का निर्माण करना।
• शिक्षात्मक:
  • गणित के विषय में शैक्षिक गतिविधियों में रुचि पैदा करना;
  • सहिष्णुता (सहिष्णुता) का गठन, एक टीम में काम करने की क्षमता।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

- आज के पाठ में हम द्विघात समीकरणों के आलेखीय हल को विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत और समेकित करेंगे।
भविष्य में, त्रिकोणमितीय और लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, हमें गणित के पाठों में हाई स्कूल में इन कौशलों की आवश्यकता होगी, एक वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र का पता लगाने के साथ-साथ भौतिकी के पाठों में भी।

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना

आइए बोर्ड नंबर 23.5 (जी) पर विश्लेषण करें।

एक परवलय और एक सीधी रेखा का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

फेसला:

एक्स 2 + एक्स - 6 = 0
आइए समीकरण को रूपांतरित करें: x 2 \u003d 6 - x
आइए कार्यों का परिचय दें:

वाई \u003d एक्स 2; द्विघात फलन y \u003d 6 - x रैखिक,
चार्ट यावल। परवलय, ग्राफ yavl. सीधा,

हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ बनाते हैं (एक टेम्पलेट के अनुसार)

हमें चौराहे के दो बिंदु मिले।

द्विघात समीकरण का हल इन बिंदुओं का भुज x 1 = - 3, x 2 = 2 है।

उत्तर:- 3; 2.

III. ललाट सर्वेक्षण

• द्विघात फलन का ग्राफ क्या होता है?
• क्या आप मुझे द्विघात फलन का ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिथम बता सकते हैं?
• द्विघात समीकरण क्या है?
• द्विघात समीकरणों के उदाहरण दीजिए?
• बोर्ड पर द्विघात समीकरण का अपना उदाहरण लिखें। गुणांक क्या हैं?
• समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है?
• द्विघात समीकरणों के आलेखीय हल को आप कितने तरीकों से जानते हैं?
• द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय तरीके क्या हैं:

चतुर्थ। सामग्री को ठीक करना

बोर्ड पर, छात्र पहले, दूसरे, तीसरे तरीके से निर्णय लेते हैं।

कक्षा चौथा फैसला करती है

- एक्स 2 + 6x - 5 \u003d 0

मैं द्विपद के पूर्ण वर्ग को उजागर करते हुए द्विघात समीकरण को बदल दूंगा:

- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( एक्स - 3) 2+4

हमें एक द्विघात समीकरण मिला:

- (एक्स - 3) 2 + 4 \u003d 0

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें:

y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4

फॉर्म का द्विघात कार्य y \u003d a (x + L) 2 + m

ग्राफ yavl। परवलय, नीचे की ओर निर्देशित शाखाएँ, मुख्य परवलय का ऑक्स अक्ष के साथ दाईं ओर 3 इकाई, ओए अक्ष के साथ 4 इकाइयों द्वारा ऊपर की ओर, शीर्ष (3; 4)।

हम टेम्पलेट के अनुसार निर्माण करते हैं।

x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के बिंदु मिले। इन बिंदुओं के एब्सिसस yavl। इस समीकरण का हल। एक्स = 1, एक्स = 5।

आइए बोर्ड में अन्य ग्राफिक समाधान देखें। द्विघात समीकरणों को हल करने के अपने तरीके पर टिप्पणी कीजिए।

1 छात्र

फेसला:

- एक्स 2 + 6x - 5 \u003d 0

हम फ़ंक्शन y \u003d - x + 6x - 5, एक द्विघात फ़ंक्शन का परिचय देते हैं, ग्राफ़ एक परवलय है, शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, ऊपर

x 0 \u003d - इन / 2a
एक्स 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
वाई 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; डॉट (3; 9)
सममिति का अक्ष x = 3

हम टेम्पलेट के अनुसार निर्माण करते हैं

हमें ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु मिले, इन बिंदुओं के भुज द्विघात समीकरण का हल हैं। दो मूल x 1 = 1, x 2 = 5

2 छात्र

फेसला:

- एक्स 2 + 6x - 5 \u003d 0

आइए रूपांतरित करें: - x 2 + 6x \u003d 5

हम कार्यों का परिचय देते हैं: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, रैखिक फ़ंक्शन, द्विघात फ़ंक्शन, ग्राफ़ yavl। लाइन वाई || ओह यावल। परबोला, नीचे की ओर निर्देशित शाखाएँ, शीर्ष x 0 \u003d - इन / 2a
एक्स 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
वाई 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
सममिति का अक्ष x = 3
हम टेम्पलेट के अनुसार निर्माण करते हैं
चौराहा बिंदु मिल गया
परवलय और एक सीधी रेखा, उनके भुज द्विघात समीकरण का हल होते हैं। दो मूल x 1 = 1, x 2 = 5
तो, एक ही समीकरण को अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है, और उत्तर समान होना चाहिए।

वी. शारीरिक शिक्षा

VI. पैरामीटर के साथ समस्या का समाधान

किन मूल्यों पर आरसमीकरण x 2 + 6x + 8 = p:
- क्या कोई जड़ नहीं है?
- क्या एक जड़ है?
क्या इसकी दो जड़ें हैं?
यह समीकरण पिछले वाले से किस प्रकार भिन्न है?
यह सही है, पत्र!
हम इस पत्र का उल्लेख इस प्रकार करेंगे पैरामीटर, आर.
जब तक वह आपको कुछ न बताए। लेकिन हम एक पैरामीटर के साथ विभिन्न समस्याओं को हल करना जारी रखेंगे।
आज हम एक परवलय और x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का उपयोग करके तीसरी विधि का उपयोग करके एक ग्राफिकल विधि का उपयोग करके एक पैरामीटर के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करेंगे।
छात्र शिक्षक को ब्लैकबोर्ड पर हल करने में मदद करता है।
हम कहां से फैसला करना शुरू करते हैं?

आइए फ़ंक्शन सेट करें:

y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p रैखिक कार्य,
द्विघात फलन, ग्राफ एक सीधी रेखा है
चार्ट यावल। परवलय,
नीचे की ओर इशारा करते शाखाएँ

x 0 \u003d - इन / 2a,
एक्स 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)

समरूपता की धुरी x = 3, मैं एक तालिका नहीं बनाऊंगा, लेकिन मैं टेम्पलेट y = x 2 ले लूंगा और इसे परवलय के शीर्ष पर जोड़ दूंगा।
परवलय बनाया गया है! अब हमें एक रेखा खींचनी है वाई = पी.
रेखा कहाँ खींचनी चाहिए? आरदो जड़ें पाने के लिए?
रेखा कहाँ खींचनी चाहिए? आरएक जड़ पाने के लिए?
रेखा कहाँ खींचनी चाहिए? आरजड़ों के बिना?
- तो, ​​हमारे समीकरण की कितनी जड़ें हो सकती हैं?
क्या आपको कार्य पसंद आया? सहायता के लिए धन्यवाद! श्रेणी 5।

सातवीं। स्वतंत्र कामविकल्पों द्वारा (5 मि.)

y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6

अपने लिए सुविधाजनक तरीका चुनकर, ग्राफ़िकल तरीके से द्विघात समीकरण को हल करें। यदि कोई पहले कार्य पूरा करता है, तो अपने समाधान को दूसरे तरीके से जांचें। यह अतिरिक्त अंकों के अधीन होगा।

आठवीं। पाठ सारांश

- आज के पाठ में आपने क्या सीखा?
- आज पाठ में हमने ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल किया, हल करने के विभिन्न तरीकों का उपयोग किया, और एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि पर विचार किया!
- चलो होमवर्क पर चलते हैं।

IX. गृहकार्य

1. पृष्ठ 147 पर होम टेस्ट, विकल्प I और II के लिए मोर्दकोविच की समस्या पुस्तक से।
2. वृत्त पर बुधवार को हम वी-वें विधि (हाइपरबोला और सीधी रेखा) हल करेंगे।

एक्स साहित्य:

1. ए.जी. मोर्दकोविच. बीजगणित-8. भाग 1. शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। मॉस्को: मेनेमोसिन, 2008
2. ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, टी.एन. मिशुस्टिन, ई.ई. तुलचिंस्काया. बीजगणित - 8. भाग 2. शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका। मॉस्को: मेनेमोसिन, 2008
3. ए.जी. मोर्दकोविच. बीजगणित 7-9। एक शिक्षक के लिए पद्धति संबंधी गाइड। एम।: मेनेमोसिन, 2004
4. एल.ए. एलेक्ज़ेंड्रोवा. बीजगणित-8. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य।/एड। ए.जी. मोर्दकोविच। मॉस्को: मेनेमोसिन, 2009