रेखांकन टुकड़े-टुकड़े - दिया हुआ कार्यों

मुर्ज़ालिवा टी.ए. गणित शिक्षक, एमबीओयू "बोर्स्क सेकेंडरी स्कूल" बोक्सिटोगोर्स्क जिला, लेनिनग्राद क्षेत्र

लक्ष्य:

• मॉड्यूल युक्त रेखांकन की साजिश रचने के लिए रैखिक तख़्ता विधि में महारत हासिल करें;
• इसे सरल परिस्थितियों में लागू करना सीखें।

नीचे पट्टी(अंग्रेजी तख़्ता - बार, रेल से) आमतौर पर एक टुकड़े के अनुसार दिए गए फ़ंक्शन को समझते हैं।

इस तरह के कार्यों को गणितज्ञों को लंबे समय से जाना जाता है, जो यूलर से शुरू होता है (1707-1783, स्विस, जर्मन और रूसी गणितज्ञ),लेकिन उनका गहन अध्ययन, वास्तव में, केवल 20वीं शताब्दी के मध्य में शुरू हुआ।

1946 में इसहाक स्कोनबर्ग (1903-1990, रोमानियाई और अमेरिकी गणितज्ञ)पहले इस शब्द का प्रयोग किया। 1960 के बाद से, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के साथ, कंप्यूटर ग्राफिक्स और मॉडलिंग में स्प्लिन का उपयोग शुरू हुआ।

एक । परिचय

2. एक रैखिक तख़्ता की परिभाषा

3. मॉड्यूल परिभाषा

4. रेखांकन

5. व्यावहारिक कार्य

कार्यों के मुख्य उद्देश्यों में से एक प्रकृति में होने वाली वास्तविक प्रक्रियाओं का विवरण है।

लेकिन प्राचीन काल से, वैज्ञानिकों - दार्शनिकों और प्रकृतिवादियों ने दो प्रकार की प्रक्रियाओं को अलग किया है: क्रमिक ( निरंतर ) और स्पस्मोडिक

जब कोई पिंड जमीन पर गिरता है, तो सबसे पहले निरंतर वृद्धि आंदोलन को गति , और जमीन से टकराने के क्षण में गति में उतार-चढ़ाव , शून्य हो रहा है या दिशा बदलना (संकेत) जब शरीर जमीन से "उछाल" करता है (उदाहरण के लिए, यदि शरीर एक गेंद है)।

लेकिन चूंकि असंतत प्रक्रियाएं हैं, इसलिए उनके विवरण के साधनों की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए, ऐसे कार्य पेश किए गए हैं जिनमें ब्रेक .

a - सूत्र y = h(x), और हम मान लेंगे कि प्रत्येक फलन g(x) और h(x) x के सभी मानों के लिए परिभाषित है और इसमें कोई अंतर नहीं है। फिर यदि g(a) = h(a), तो फलन f(x) में x=a पर उछाल है; यदि g(a) = h(a) = f(a) है, तो "संयुक्त" फलन f में कोई अंतराल नहीं है। यदि दोनों फलन g और h प्राथमिक हैं, तो f को टुकड़ों में प्राथमिक कहा जाता है। "चौड़ाई =" 640 "

• इस तरह की विसंगतियों को पेश करने का एक तरीका अगला:

रहने दो समारोह वाई = एफ (एक्स)

पर एक्स सूत्र द्वारा परिभाषित वाई = जी (एक्स),

और कम से एक्सए - सूत्र वाई = एच (एक्स), और हम विचार करेंगे कि प्रत्येक कार्य जी (एक्स) और एच (एक्स) सभी x मानों के लिए परिभाषित किया गया है और इसमें कोई विराम नहीं है।

फिर , अगर जी (ए) = एच (ए), फिर समारोह एफ (एक्स) में है एक्स = ए छलाँग;

अगर जी (ए) = एच (ए) = एफ (ए), फिर "संयुक्त" फ़ंक्शन एफ कोई विराम नहीं है। यदि दोनों कार्य जी और एच प्राथमिक, तब एफ कहा जाता है टुकड़े-टुकड़े प्राथमिक।

निरंतर कार्यों के रेखांकन

फ़ंक्शन प्लॉट करें:

वाई = |X-1| +1

X=1 - सूत्रों के परिवर्तन का बिंदु

शब्द "मापांक"लैटिन शब्द "मॉड्यूलस" से आया है, जिसका अर्थ है "माप"।

मॉड्यूल संख्या ए बुलाया दूरी (एकल खंडों में) मूल से बिंदु A तक ( ए) .

यह परिभाषा मॉड्यूल के ज्यामितीय अर्थ को प्रकट करती है।

मापांक (निरपेक्ष मूल्य) वास्तविक संख्या एएक ही नंबर कहा जाता है ए≥ 0, और विपरीत संख्या -एयदि एक

0 या x=0 y = -3x -2 x "चौड़ाई="640" के लिए

एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = 3|एक्स|-2।

मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: 3x - 2 x0 या x=0 . के लिए

-3x -2 x . पर

x n) "चौड़ाई =" 640 "

. चलो x 1 एक्स 2 एक्स एन टुकड़ों में प्राथमिक कार्यों में सूत्रों के परिवर्तन के बिंदु हैं।

सभी x के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन f को टुकड़े के अनुसार रैखिक कहा जाता है यदि यह प्रत्येक अंतराल पर रैखिक हो

और इसके अलावा, मिलान की शर्तें संतुष्ट हैं, अर्थात, सूत्रों के परिवर्तन के बिंदुओं पर, फ़ंक्शन में कोई रुकावट नहीं होती है।

निरंतर टुकड़ावार रैखिक कार्य बुलाया रैखिक तख़्ता . उसकी अनुसूची वहाँ है दो अनंत अंत कड़ियों के साथ टूटी हुई रेखा - बाएं (x . के अनुरूप) एन ) और सही ( x x . के अनुरूप एन )

एक टुकड़े के अनुसार प्राथमिक कार्य को दो से अधिक सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

अनुसूची - टूटी पंक्ति दो अनंत चरम लिंक के साथ - बायां एक (X1)।

वाई=|एक्स| - |x - 1|

सूत्र परिवर्तन बिंदु: x=0 और x=1.

वाई(0)=-1, वाई(1)=1.

टुकड़ावार रैखिक फलन का आलेख बनाना सुविधाजनक है, इशारा समन्वय तल पर पॉलीलाइन कोने।

भवन के अलावा एन सबसे ऊपर चाहिए निर्माण भी दो बिंदु : ऊपर के बाईं ओर एक ए 1 ( एक्स 1; आप ( एक्स 1)), दूसरा - शीर्ष के दाईं ओर एक ( xn ; आप ( xn )).

ध्यान दें कि एक असंतत टुकड़ावार रैखिक फ़ंक्शन को द्विपदों के मापांक के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है .

एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = एक्स+ |एक्स -2| - | एक्स |।

एक सतत टुकड़ावार रैखिक फलन को रेखीय तख़्ता कहा जाता है

1. सूत्र परिवर्तन बिंदु: X-2=0, एक्स = 2 ; एक्स = 0

2. चलिए एक टेबल बनाते हैं:

वाई ( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

वाई ( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

पर (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

वाई ( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

फलन y = |x+1| . आलेखित कीजिए +|एक्स| - |х -2|.

1 .फॉर्म परिवर्तन बिंदु:

एक्स+1=0, एक्स = -1 ;

एक्स = 0 ; x-2=0, एक्स = 2।

2 . आइए एक टेबल बनाएं:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6।

|x - 1| = |x + 3|

प्रश्न हल करें:

फेसला। फलन पर विचार करें y = |x -1| - |x +3|

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं / रैखिक तख़्ता विधि का उपयोग करें /

• सूत्र परिवर्तन बिंदु:

एक्स -1 = 0, एक्स = 1; एक्स + 3 = 0, एक्स = - 3।

2. चलिए एक टेबल बनाते हैं:

y(- 4)=|- 4–1| - |- 4+3| ==|- 5| - | -1| = 5-1=4;

वाई ( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

वाई ( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

वाई (-1) = 0।

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 - 5 = - 4

उत्तर 1।

1. रैखिक तख़्ता विधि का उपयोग करके टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों के रेखांकन बनाएँ:

वाई = |x - 3| + |x|;

1). सूत्र परिवर्तन बिंदु:

2). आइए एक टेबल बनाएं:

2. सीएमसी "लाइव गणित" का उपयोग करके कार्यों के ग्राफ बनाएं »

लेकिन) वाई = |2x - 4| + |x +1|

1) सूत्र परिवर्तन बिंदु:

2) वाई () =

बी) फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं, एक पैटर्न स्थापित करें :

ए) वाई = |x - 4| बी) वाई = |x| +1

वाई = |x + 3| वाई = |x| - 3

वाई = |x - 3| वाई = |x| - 5

वाई = |x + 4| वाई = |x| + 4

टूलबार पर पॉइंट, लाइन, एरो टूल का उपयोग करें।

1. चार्ट मेनू।

2. टैब "एक ग्राफ बनाएं"।

.3. कैलकुलेटर विंडो में सूत्र दर्ज करें।

फ़ंक्शन प्लॉट करें:

1) वाई \u003d 2x + 4

1. कोज़िना एम.ई. गणित। ग्रेड 8-9: वैकल्पिक पाठ्यक्रमों का संग्रह। - वोल्गोग्राड: शिक्षक, 2006।

2. यू। एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, और एस। बी। सुवोरोवा। बीजगणित: पाठ्यपुस्तक। 7 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एड। एस ए तेल्याकोवस्की। - 17 वां संस्करण। - एम।: ज्ञानोदय, 2011

3. यू। एन। मकर्यचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, और एस। बी। सुवोरोवा। बीजगणित: पाठ्यपुस्तक। 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / एड। एस ए तेल्याकोवस्की। - 17 वां संस्करण। - एम।: ज्ञानोदय, 2011

4. विकिपीडिया, मुक्त विश्वकोश

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

प्रकृति में होने वाली वास्तविक प्रक्रियाओं को कार्यों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, हम दो मुख्य प्रकार की प्रक्रियाओं के प्रवाह को अलग कर सकते हैं जो एक दूसरे के विपरीत हैं - ये हैं क्रमिकया निरंतरऔर अकड़नेवाला(एक उदाहरण गेंद का गिरना और पलटना होगा)। लेकिन अगर असंतत प्रक्रियाएं हैं, तो उनके विवरण के लिए विशेष साधन हैं। इस प्रयोजन के लिए, ऐसे फलन जिनमें असंबद्धताएँ, छलांगें होती हैं, संचलन में डाल दिए जाते हैं, अर्थात् संख्यात्मक रेखा के विभिन्न भागों में, फलन विभिन्न नियमों के अनुसार व्यवहार करता है और, तदनुसार, विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया जाता है। असंततता बिंदुओं और हटाने योग्य असंततता की अवधारणाओं को पेश किया गया है।

निश्चित रूप से आपने तर्क के मूल्यों के आधार पर कई सूत्रों द्वारा परिभाषित कार्यों को देखा है, उदाहरण के लिए:

y \u003d (x - 3, x\u003e -3 के साथ;
(-(x - 3), x . के लिए< -3.

ऐसे कार्यों को कहा जाता है खंड अनुसारया खंड अनुसार. विभिन्न नौकरी सूत्रों के साथ संख्या रेखा के अनुभाग, आइए कॉल करें संघटककार्यक्षेत्र। सभी घटकों का संघ टुकड़े-टुकड़े के कार्य का डोमेन है। वे बिंदु जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन को घटकों में विभाजित करते हैं, कहलाते हैं सीमा बिंदु. परिभाषा के प्रत्येक घटक डोमेन पर एक टुकड़े-टुकड़े कार्य को परिभाषित करने वाले सूत्र कहलाते हैं आने वाले कार्य. प्रत्येक विभाजन अंतराल पर निर्मित ग्राफ़ के भागों के संयोजन के परिणामस्वरूप दिए गए कार्यों के ग्राफ़ प्राप्त होते हैं।

व्यायाम।

टुकड़े-टुकड़े कार्यों के रेखांकन बनाएँ:

1) (-3, -4 x . के साथ)< 0,
f(x) = (0, x = 0 के लिए,
(1, 0 . पर< x ≤ 5.

पहले फलन का ग्राफ बिंदु y = -3 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह निर्देशांक (-4; -3) के साथ बिंदु पर उत्पन्न होता है, निर्देशांक (0; -3) के साथ बिंदु पर भुज अक्ष के समानांतर जाता है। दूसरे फ़ंक्शन का ग्राफ निर्देशांक (0; 0) वाला एक बिंदु है। तीसरा ग्राफ पहले के समान है - यह बिंदु y \u003d 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, लेकिन पहले से ही ऑक्स अक्ष के साथ 0 से 5 के क्षेत्र में है।

उत्तर : आकृति 1.

2) (3 यदि x -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| अगर -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 यदि x > 4.

प्रत्येक फलन पर अलग-अलग विचार करें और उसका आलेख आलेखित करें।

तो, f(x) = 3 ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, लेकिन इसे केवल उस क्षेत्र में खींचा जाना चाहिए जहां x -4 है।

फलन का ग्राफ f(x) = |x 2 - 4|x| + 3| परवलय y \u003d x 2 - 4x + 3 से प्राप्त किया जा सकता है। इसका ग्राफ बनाने के बाद, आकृति का वह भाग जो ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है, उसे अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए, और जो भाग भुज अक्ष के नीचे स्थित है, उसे सममित रूप से प्रदर्शित किया जाना चाहिए। ऑक्स अक्ष के सापेक्ष। फिर सममित रूप से ग्राफ़ के उस भाग को प्रदर्शित करें जहाँ
x ≥ 0 ऋणात्मक x के लिए ओए अक्ष के बारे में। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त ग्राफ केवल -4 से 4 के क्षेत्र में भुज के साथ छोड़ दिया जाता है।

तीसरे फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, और शीर्ष निर्देशांक (4; 3) के साथ बिंदु पर होता है। चित्र को केवल उस क्षेत्र में दर्शाया गया है जहाँ x > 4 है।

उत्तर : आकृति 2.

3) (8 - (x + 6) 2 यदि x -6,
f(x) = (|x 2 - 6|x| + 8| अगर -6 ≤ x< 5,
(3 यदि x 5.

प्रस्तावित टुकड़े के अनुसार दिए गए फ़ंक्शन का निर्माण पिछले पैराग्राफ के समान है। यहां, पहले दो कार्यों के ग्राफ परवलय परिवर्तनों से प्राप्त होते हैं, और तीसरे का ग्राफ ऑक्स के समानांतर एक सीधी रेखा है।

उत्तर : आकृति 3.

4) फलन y = x - |x| . को आलेखित कीजिए + (x - 1 - |x|/x) 2 ।

फेसला।इस फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं हैं। आइए मॉड्यूल खोलें। ऐसा करने के लिए, दो मामलों पर विचार करें:

1) x > 0 के लिए, हमें y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 प्राप्त होता है।

2) x . के लिए< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

इस प्रकार, हमारे पास एक टुकड़ावार दिया गया कार्य है:

y = ((x - 2) 2 , x > 0 के लिए;
(x 2 + 2x, x . के लिए< 0.

दोनों कार्यों के रेखांकन परवलय हैं, जिनकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

उत्तर : आकृति 4.

5) फलन y = (x + |x|/x – 1) 2 आलेखित कीजिए।

फेसला।

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं हैं। मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद, हमें एक टुकड़ा-टुकड़ा दिया गया फ़ंक्शन मिलता है:

1) x > 0 के लिए, हमें y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 प्राप्त होता है।

2) x . के लिए< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

आइए फिर से लिखें।

y \u003d (x 2, x\u003e 0 के लिए;
((x - 2) 2 , x . के लिए< 0.

इन कार्यों के रेखांकन परवलय हैं।

उत्तर : चित्र 5.

6) क्या कोई ऐसा फलन है जिसके निर्देशांक तल पर किसी रेखा के साथ उभयनिष्ठ बिंदु है?

फेसला।

हाँ वहाँ है।

एक उदाहरण फलन f(x) = x 3 होगा। वास्तव में, घन परवलय का ग्राफ ऊर्ध्वाधर रेखा x = a के साथ बिंदु (a; a 3) पर प्रतिच्छेद करता है। अब सरल रेखा को समीकरण y = kx + b द्वारा दिया गया है। फिर समीकरण
x 3 - kx - b \u003d 0 का एक वास्तविक मूल x 0 है (चूंकि विषम डिग्री वाले बहुपद में हमेशा कम से कम एक वास्तविक मूल होता है)। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y \u003d kx + b के साथ प्रतिच्छेद करता है, उदाहरण के लिए, बिंदु (x 0; x 0 3) पर।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान

माध्यमिक विद्यालय 13

"टुकड़ावार कार्य"

सपोगोवा वेलेंटीना और

डोंस्काया एलेक्जेंड्रा

प्रमुख सलाहकार:

बर्ड्स्की

1. मुख्य लक्ष्यों और उद्देश्यों की परिभाषा।

2. पूछताछ।

2.1. काम की प्रासंगिकता का निर्धारण

2.2. व्यवहारिक महत्व।

3. कार्यों का इतिहास।

4. सामान्य विशेषताएं।

5. फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

6. निर्माण एल्गोरिथ्म।

8. प्रयुक्त साहित्य।

1. मुख्य लक्ष्यों और उद्देश्यों की परिभाषा।

लक्ष्य:

टुकड़े-टुकड़े के कार्यों को हल करने का एक तरीका खोजें और इसके आधार पर, उनके निर्माण के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें।

कार्य:

- टुकड़े-टुकड़े कार्यों की सामान्य अवधारणा से परिचित हों;

- "फ़ंक्शन" शब्द का इतिहास जानें;

- सर्वेक्षण कराना;

- टुकड़े-टुकड़े कार्यों को स्थापित करने के तरीकों की पहचान करने के लिए;

- उनके निर्माण के लिए एक एल्गोरिथम बनाएं;

2. पूछताछ।

हाई स्कूल के छात्रों के बीच टुकड़े-टुकड़े कार्यों के निर्माण की क्षमता पर एक सर्वेक्षण किया गया था। उत्तरदाताओं की कुल संख्या 54 लोग थे। उनमें से, 6% ने पूर्ण रूप से कार्य पूरा किया। 28% काम पूरा करने में सक्षम थे, लेकिन कुछ त्रुटियों के साथ। 62% - वे काम नहीं कर सके, हालाँकि उन्होंने कुछ प्रयास किए, और शेष 4% ने काम शुरू ही नहीं किया।

इस सर्वेक्षण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे विद्यालय के जो छात्र कार्यक्रम से गुजरते हैं उनके पास अपर्याप्त ज्ञान का आधार है, क्योंकि यह लेखक इस तरह के कार्यों पर अधिक ध्यान नहीं देता है। इसी से हमारे काम की प्रासंगिकता और व्यावहारिक महत्व का पता चलता है।

2.1. काम की प्रासंगिकता का निर्धारण।

प्रासंगिकता:

जीआईए और यूएसई दोनों में टुकड़े-टुकड़े कार्य पाए जाते हैं, इस प्रकार के कार्यों वाले कार्यों का मूल्यांकन 2 या अधिक बिंदुओं पर किया जाता है। और, इसलिए, आपका आकलन उनके निर्णय पर निर्भर हो सकता है।

2.2. व्यवहारिक महत्व।

हमारे काम का परिणाम टुकड़े-टुकड़े कार्यों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म होगा, जो उनके निर्माण को समझने में मदद करेगा। और यह परीक्षा में मनचाहा ग्रेड पाने की संभावना को जोड़ देगा।

3. कार्यों का इतिहास।

- "बीजगणित ग्रेड 9", आदि;

किसी फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक परिभाषा

फंक्शन %%y = f(x), x \in X%% दिया गया एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि कोई सूत्र दिया जाता है जो गणितीय संक्रियाओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है जिसे इस फ़ंक्शन का मान %%f(x)%% प्राप्त करने के लिए तर्क %%x%% के साथ निष्पादित किया जाना चाहिए।

उदाहरण

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भौतिकी में, समान रूप से त्वरित सीधी गति के साथ, एक पिंड की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है t%% को इस प्रकार लिखा जाता है: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%।

टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य

कभी-कभी विचाराधीन फ़ंक्शन को कई फ़ार्मुलों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसकी परिभाषा के डोमेन के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, जिसमें फ़ंक्शन तर्क बदलता है। उदाहरण के लिए: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

इस प्रकार के कार्यों को कभी-कभी कहा जाता है घटकया खंड अनुसार. ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण %%y = |x|%% है

फंक्शन स्कोप

यदि फ़ंक्शन को एक सूत्र का उपयोग करके एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन सेट %%D%% के रूप में फ़ंक्शन का दायरा निर्दिष्ट नहीं है, तो %%D%% से हमारा मतलब हमेशा मानों का सेट होगा तर्क %%x%% जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। तो फ़ंक्शन %%y = x^2%% के लिए, परिभाषा का डोमेन सेट %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%% है, क्योंकि तर्क %%x% % कोई भी मान ले सकता है संख्या रेखा. और फ़ंक्शन %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% के लिए, परिभाषा का डोमेन %%x%% असमानता को संतुष्ट करने वाले मानों का सेट होगा %% 1 - x^2 > 0%%, मी. %%D = (-1, 1)%%।

स्पष्ट विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषा के लाभ

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीका काफी कॉम्पैक्ट है (सूत्र, एक नियम के रूप में, बहुत कम जगह लेता है), आसानी से पुन: प्रस्तुत किया जाता है (सूत्र को लिखना आसान है), और गणितीय संचालन और परिवर्तनों को करने के लिए सबसे अधिक अनुकूलित है कार्य।

इनमें से कुछ संक्रियाएँ - बीजगणितीय (जोड़, गुणा, आदि) - स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से जानी जाती हैं, अन्य (विभेदन, एकीकरण) का अध्ययन भविष्य में किया जाएगा। हालांकि, यह विधि हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, क्योंकि तर्क पर फ़ंक्शन की निर्भरता की प्रकृति हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, और कभी-कभी फ़ंक्शन के मूल्यों (यदि आवश्यक हो) को खोजने के लिए बोझिल गणना की आवश्यकता होती है।

निहित कार्य विनिर्देश

फ़ंक्शन %%y = f(x)%% परिभाषित किया गया है एक निहित विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि संबंध $$F(x,y) = 0 दिया गया है, ~~~~~~~~~(1)$$ फ़ंक्शन %%y%% और तर्क %% के मूल्यों से संबंधित एक्स%%। यदि तर्क मान दिए गए हैं, तो %%x%% के एक विशेष मूल्य के अनुरूप %%y%% का मान ज्ञात करने के लिए, %%y%% के संबंध में समीकरण %%(1)%% को हल करना आवश्यक है %%x%% के उस विशेष मूल्य पर।

%%x%% के मान को देखते हुए, समीकरण %%(1)%% का कोई समाधान या एक से अधिक समाधान नहीं हो सकता है। पहले मामले में, निर्दिष्ट मान %%x%% निहित कार्य के दायरे में नहीं है, और दूसरे मामले में यह निर्दिष्ट करता है बहुमूल्य समारोह, जिसमें किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक से अधिक मान हैं।

ध्यान दें कि यदि समीकरण %%(1)%% को %%y = f(x)%% के संबंध में स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, तो हम वही फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, लेकिन पहले से ही एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से परिभाषित किया गया है। तो, समीकरण %%x + y^5 - 1 = 0%%

और समानता %%y = \sqrt(1 - x)%% समान फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

जब %%y%% की %%x%% पर निर्भरता सीधे नहीं दी जाती है, बल्कि इसके बजाय दोनों चर %%x%% और %%y%% की निर्भरता किसी तीसरे सहायक चर %%t%% पर दी जाती है फार्म में

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$वे बात करते हैं पैरामीट्रिकफ़ंक्शन सेट करने की विधि;

तब सहायक चर %%t%% को पैरामीटर कहा जाता है।

यदि समीकरण %%(2)%% से %%t%% पैरामीटर को बाहर करना संभव है, तो वे %%x%% पर %%y%% की स्पष्ट या अंतर्निहित विश्लेषणात्मक निर्भरता द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर आते हैं . उदाहरण के लिए, संबंधों से $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ को छोड़कर पैरामीटर % %t%% के लिए हमें निर्भरता %%y = 2 x + 2%% मिलती है, जो %%xOy%% समतल में एक सीधी रेखा सेट करती है।

ग्राफिकल तरीका

किसी फ़ंक्शन की चित्रमय परिभाषा का एक उदाहरण

उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का विश्लेषणात्मक तरीका इसके अनुरूप है ग्राफिक छवि, जिसे किसी फ़ंक्शन का वर्णन करने का एक सुविधाजनक और दृश्य रूप माना जा सकता है। कभी-कभी इस्तेमाल किया जाता है ग्राफिक तरीकाएक फ़ंक्शन को परिभाषित करना जब %%x%% पर %%y%% की निर्भरता %%xOy%% विमान पर एक पंक्ति द्वारा दी जाती है। हालांकि, इसकी सभी स्पष्टता के लिए, यह सटीकता में खो देता है, क्योंकि तर्क के मान और फ़ंक्शन के संबंधित मान केवल ग्राफ़ से ही प्राप्त किए जा सकते हैं। परिणामी त्रुटि ग्राफ़ के अलग-अलग बिंदुओं के भुज और कोटि को मापने के पैमाने और सटीकता पर निर्भर करती है। भविष्य में, हम केवल फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाने के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की भूमिका प्रदान करेंगे, और इसलिए हम स्वयं को ग्राफ़ के "स्केच" के निर्माण तक सीमित रखेंगे जो फ़ंक्शन की मुख्य विशेषताओं को दर्शाते हैं।

सारणीबद्ध तरीका

टिप्पणी सारणीबद्ध तरीकाफ़ंक्शन असाइनमेंट, जब कुछ तर्क मान और उनके संबंधित फ़ंक्शन मान एक निश्चित क्रम में तालिका में रखे जाते हैं। इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों की सुप्रसिद्ध सारणी, लघुगणक सारणी आदि का निर्माण किया जाता है। एक तालिका के रूप में, प्रयोगात्मक अध्ययनों, टिप्पणियों और परीक्षणों में मापी गई मात्राओं के बीच संबंध आमतौर पर प्रस्तुत किया जाता है।

इस पद्धति का नुकसान तर्क के मूल्यों के लिए फ़ंक्शन के मूल्यों को सीधे निर्धारित करने की असंभवता है जो तालिका में शामिल नहीं हैं। यदि विश्वास है कि तालिका में प्रस्तुत नहीं किए गए तर्क के मान विचार किए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के संबंधित मानों की गणना लगभग प्रक्षेप और एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके की जा सकती है।

उदाहरण

एक्स	3	5.1	10	12.5
आप	9	23	80	110

कार्यों को निर्दिष्ट करने के एल्गोरिथम और मौखिक तरीके

समारोह सेट किया जा सकता है एल्गोरिथम(या कार्यक्रम संबंधी) एक तरह से जो कंप्यूटर गणना में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंत में, यह नोट किया जा सकता है वर्णनात्मक(या मौखिक) किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का एक तरीका, जब फ़ंक्शन के मानों को तर्क के मानों से मिलान करने का नियम शब्दों में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन %%[x] = m~\forall (x \in )