इस सामग्री के भाग के रूप में, हम ऋणात्मक संख्याओं के जोड़ जैसे महत्वपूर्ण विषय पर बात करेंगे। पहले पैराग्राफ में, हम इस क्रिया के लिए मूल नियम का वर्णन करेंगे, और दूसरे में, हम ऐसी समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
प्राकृत संख्याओं को जोड़ने का मूल नियम
नियम प्राप्त करने से पहले, आइए याद करें कि हम आम तौर पर सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बारे में क्या जानते हैं। पहले हम इस बात पर सहमत थे कि ऋणात्मक संख्याओं को ऋण, हानि के रूप में माना जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्या का मापांक इस हानि के सटीक आकार को व्यक्त करता है। तब ऋणात्मक संख्याओं के योग को दो हानियों का योग माना जा सकता है।
इस तर्क का उपयोग करते हुए, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए मूल नियम बनाते हैं।
परिभाषा 1
पूरा करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का योग, आपको उनके मॉड्यूल के मानों को जोड़ना होगा और परिणाम के सामने एक माइनस डालना होगा। शाब्दिक रूप में, सूत्र (− a) + (− b) = − (a + b) जैसा दिखता है।
इस नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं का योग सकारात्मक संख्याओं के योग के समान है, केवल अंत में हमें निश्चित रूप से एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त करनी चाहिए, क्योंकि हमें मॉड्यूल के योग के सामने ऋण चिह्न लगाना चाहिए।
इस नियम के लिए क्या सबूत दिए जा सकते हैं? ऐसा करने के लिए, हमें वास्तविक संख्याओं के साथ संचालन के मूल गुणों को याद करने की आवश्यकता है (या तो पूर्णांक के साथ या परिमेय के साथ - वे इन सभी प्रकार की संख्याओं के लिए समान हैं)। इसे सिद्ध करने के लिए, हमें केवल यह प्रदर्शित करने की आवश्यकता है कि समीकरण (- a) + (- b) = - (a + b) के बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अंतर 0 के बराबर होगा।
एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाना उसी विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है। इसलिए, (- a) + (- b) - (- (a + b)) = (- a) + (- b) + (a + b) । याद रखें कि जोड़ के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में दो मुख्य गुण होते हैं - सहयोगी और कम्यूटेटिव। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) । चूँकि, विपरीत संख्याओं को जोड़ने पर हमें हमेशा 0 मिलता है, तो (- a + a) + (- b + b) \u003d 0 + 0, और 0 + 0 \u003d 0. हमारी समानता को सिद्ध माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम भी हमने सिद्ध किया।
दूसरे पैराग्राफ में, हम उन विशिष्ट समस्याओं को लेंगे जहाँ आपको ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, और उनमें सीखे गए नियम को लागू करने का प्रयास करें।
उदाहरण 1
दो ऋणात्मक संख्याओं - 304 और - 18007 का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला
आइए स्टेप बाय स्टेप करते हैं। सबसे पहले हमें जोड़े जाने वाले नंबरों के मॉड्यूल खोजने होंगे: - 304 = 304, - 180007 = 180007। अगला, हमें अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हम कॉलम काउंट विधि का उपयोग करते हैं:
हमारे पास केवल परिणाम के सामने एक माइनस डालना है और - 18 311 प्राप्त करना है।
जवाब: - - 18 311 .
यह इस बात पर निर्भर करता है कि हमारे पास कौन सी संख्याएँ हैं, हम जोड़ की क्रिया को कितना कम कर सकते हैं: प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करना, साधारण या दशमलव अंशों को जोड़ना। आइए ऐसी संख्याओं के साथ समस्या का विश्लेषण करें।
उदाहरण संख्या
दो ऋणात्मक संख्याओं - 2 5 और - 4 , (12) का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला
हम वांछित संख्याओं के मॉड्यूल ढूंढते हैं और 2 5 और 4 , (12) प्राप्त करते हैं। हमारे पास दो भिन्न भिन्न हैं। हम समस्या को दो साधारण भिन्नों के योग में घटाते हैं, जिसके लिए हम आवर्त भिन्न को एक साधारण के रूप में निरूपित करते हैं:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
नतीजतन, हमें एक अंश मिला जो पहले मूल शब्द में जोड़ना आसान होगा (यदि आप भूल गए हैं कि विभिन्न हरों के साथ अंशों को सही तरीके से कैसे जोड़ा जाए, तो संबंधित सामग्री को दोहराएं)।
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
नतीजतन, हमें एक मिश्रित संख्या मिली, जिसके सामने हमें केवल एक माइनस डालना होगा। यह गणनाओं को पूरा करता है।
जवाब: - 4 86 105 .
वास्तविक ऋणात्मक संख्याओं को इसी प्रकार जोड़ा जाता है। इस तरह की कार्रवाई का परिणाम आमतौर पर एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है। इसके मूल्य की गणना या अनुमानित गणना तक सीमित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हमें - 3 + (- 5) का योग ज्ञात करना है, तो हम उत्तर को - 3 - 5 के रूप में लिखते हैं। हमने वास्तविक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक अलग सामग्री समर्पित की है, जिसमें आप अन्य उदाहरण पा सकते हैं।
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ऋणात्मक जोड़ नियम
यदि आपको गणित का पाठ और "विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का जोड़ और घटाव" विषय याद है, तो आपको दो नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है:
- उनके मॉड्यूल के अतिरिक्त प्रदर्शन करें;
- प्राप्त राशि में "-" चिन्ह जोड़ें।
जोड़ नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$।
ऋणात्मक योग नियम ऋणात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर लागू होता है।
उदाहरण 1
नकारात्मक संख्या $−185$ और $−23 \ 789 जोड़ें।$
फेसला.
आइए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करें।
आइए इन नंबरों के मॉड्यूल खोजें:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
आइए परिणामी संख्याएँ जोड़ें:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
हम मिली संख्या के सामने $"–"$ का चिह्न लगाते हैं और $−23 \ 974$ प्राप्त करते हैं।
संक्षिप्त समाधान: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$।
जवाब: $−23 \ 974$.
ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय, उन्हें प्राकृत संख्याओं, साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना चाहिए।
उदाहरण 2
ऋणात्मक संख्याएँ $-\frac(1)(4)$ और $−7.15$ जोड़ें।
फेसला।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले मॉड्यूल का योग ज्ञात करना होगा:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
प्राप्त मूल्यों को दशमलव अंशों तक कम करना और उनका जोड़ करना सुविधाजनक है:
$\frac(1)(4)=0.25$;
$0,25+7,15=7,40$.
आइए प्राप्त मूल्य के सामने $"-"$ का चिह्न लगाएं और $-7.4$ प्राप्त करें।
समाधान सारांश:
$(-\frac(1)(4))+(−7.15)=−(\frac(1)(4)+7.15)=–(0.25+7.15)=−7, 4$।
सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए:
- संख्याओं के मॉड्यूल की गणना करें;
- यदि वे बराबर हैं, तो मूल संख्याएँ विपरीत हैं और उनका योग शून्य के बराबर है;
- यदि वे समान नहीं हैं, तो आपको उस संख्या का चिह्न याद रखना होगा जिसका मापांक अधिक है;
छोटे वाले को बड़े से घटाएं;
- प्राप्त मूल्य से पहले, उस संख्या का चिन्ह लगाएं जिसका मापांक अधिक है।
प्राप्त संख्याओं की तुलना करें:
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने पर बड़ी धनात्मक संख्या में से छोटी ऋणात्मक संख्या घटा दी जाती है।
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए किया जाता है।
उदाहरण 3
संख्या $4$ और $−8$ जोड़ें।
फेसला।
आपको विपरीत चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़नी होंगी। आइए उपयुक्त जोड़ नियम का उपयोग करें।
आइए इन नंबरों के मॉड्यूल खोजें:
संख्या $−8$ का मापांक संख्या $4$ के मापांक से अधिक है, अर्थात। साइन $"-"$ याद रखें।
हम परिणामी संख्या के सामने चिह्न $"-"$ डालते हैं, जिसे हमने याद किया, और हमें $−4.$ मिलता है।
समाधान सारांश:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
जवाब: $4+(−8)=−4$.
विपरीत चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, उन्हें साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में प्रदर्शित करना सुविधाजनक होता है।
भिन्न और ऋणात्मक चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव
ऋणात्मक संख्याओं को घटाने का नियम:
एक ऋणात्मक संख्या $b$ को संख्या $a$ से घटाने के लिए, न्यूनतम $a$ संख्या $−b$ में जोड़ना आवश्यक है, जो घटाए गए $b$ के विपरीत है।
घटाव नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
$a−b=a+(−b)$।
यह नियम पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है। किसी ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से, ऋणात्मक संख्या से और शून्य से घटाते समय नियम का उपयोग किया जा सकता है।
उदाहरण 4
ऋणात्मक संख्या $−28$ से ऋणात्मक संख्या $−5$ घटाएं।
फेसला।
संख्या $-5$ के लिए विपरीत संख्या $5$ है।
ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
आइए विपरीत चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
जवाब: $(−28)−(−5)=−23$.
ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्याओं को घटाते समय, आपको संख्याओं को साधारण भिन्नों, मिश्रित संख्याओं या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना होगा।
विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का जोड़ और घटाव
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने का नियम वही है जो ऋणात्मक संख्याओं को घटाने का नियम है।
उदाहरण 5
ऋणात्मक संख्या $−11$ से धनात्मक संख्या $7$ घटाएँ।
फेसला।
संख्या $7$ के लिए विपरीत संख्या $-7$ संख्या है।
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने के नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
आइए ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ें:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
संक्षिप्त समाधान: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$।
जवाब: $(−11)−7=−18$.
भिन्न-भिन्न चिह्नों वाली भिन्नात्मक संख्याओं को घटाते समय, संख्याओं को साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना आवश्यक होता है।
संख्यात्मक कौशल का विकास कक्षा 1 से 6 तक गणित के कार्यक्रमों द्वारा पीछा किया जाने वाला एक प्रमुख लक्ष्य है। बच्चा कितनी जल्दी और सही ढंग से अंकगणितीय संक्रिया करना सीखता है, यह वरिष्ठ कक्षाओं में उसके तार्किक (अर्थात्) संक्रियाओं की गति और समग्र रूप से विषय की समझ के स्तर पर निर्भर करेगा। गणित ट्यूटर के लिए छात्र कम्प्यूटेशनल समस्याओं का सामना करना असामान्य नहीं है जो उन्हें उच्च अंक प्राप्त करने से रोकते हैं।
किस तरह के छात्रों को ट्यूटर के साथ काम नहीं करना पड़ता है। माता-पिता को गणित में परीक्षा की तैयारी की आवश्यकता होती है, और उनका बच्चा साधारण भिन्नों को नहीं समझ पाता है या नकारात्मक संख्याओं में भ्रमित हो जाता है। ऐसे मामलों में गणित के शिक्षक को क्या कार्रवाई करनी चाहिए? एक छात्र की मदद कैसे करें? ट्यूटर के पास नियमों के इत्मीनान से और लगातार अध्ययन के लिए समय नहीं है, इसलिए बोलने के लिए पारंपरिक तरीकों को अक्सर कुछ कृत्रिम "अर्ध-तैयार उत्पादों-त्वरक" से बदलना पड़ता है। इस लेख में, मैं नकारात्मक संख्याओं के साथ क्रियाओं को करने के कौशल को विकसित करने के संभावित तरीकों में से एक का वर्णन करूंगा, अर्थात् उन्हें घटाना।
मान लीजिए कि एक गणित ट्यूटर को एक बहुत ही कमजोर छात्र के साथ काम करने का आनंद मिलता है जिसका ज्ञान सकारात्मक संख्याओं के साथ सरलतम गणनाओं से आगे नहीं बढ़ता है। आइए यह भी मान लें कि ट्यूटर योग के नियमों की व्याख्या करने में कामयाब रहा और नियम a-b=a+(-b) के करीब आया। गणित के शिक्षक को किन बातों का ध्यान रखना चाहिए?
घटाव को जोड़ में घटाना कोई सरल और स्पष्ट रूपांतरण नहीं है। पाठ्यपुस्तकें सख्त और सटीक गणितीय सूत्र प्रदान करती हैं: "संख्या" बी "को" ए "से घटाने के लिए, आपको" बी "के विपरीत संख्या को" ए "से जोड़ना होगा। औपचारिक रूप से, आप पाठ के साथ गलती नहीं ढूंढ सकते हैं, लेकिन जैसे ही गणित शिक्षक द्वारा विशिष्ट गणना करने के निर्देश के रूप में इसका उपयोग करना शुरू होता है, समस्याएं उत्पन्न होती हैं। अकेले एक वाक्यांश कुछ लायक है: "घटाना के लिए, आपको जोड़ना होगा।" ट्यूटर से स्पष्ट टिप्पणी के बिना, छात्र समझ नहीं पाएगा। वास्तव में, क्या करना है: घटाना या जोड़ना?
यदि आप पाठ्यपुस्तक के लेखकों की मंशा के अनुसार नियम के साथ काम करते हैं, तो "विपरीत संख्या" की अवधारणा पर काम करने के अलावा, आपको छात्र को "ए" और "बी" पदनामों को वास्तविक के साथ सहसंबंधित करना सिखाना होगा। उदाहरण में संख्याएँ। और इसमें समय लगेगा। इस तथ्य को भी ध्यान में रखते हुए कि छात्र एक ही समय में सोचता और लिखता है, गणित के शिक्षक का कार्य और भी जटिल हो जाता है। एक कमजोर छात्र के पास अच्छी दृश्य, अर्थपूर्ण और मोटर मेमोरी नहीं होती है, और इसलिए नियम का वैकल्पिक पाठ प्रस्तुत करना बेहतर होता है:
पहली संख्या से दूसरे को घटाने के लिए,
ए) पहले नंबर को फिर से लिखें
बी) एक प्लस डालें
बी) दूसरी संख्या के चिह्न को विपरीत में बदलें
डी) परिणामी संख्याएं जोड़ें
यहां, एल्गोरिथम के चरण स्पष्ट रूप से बिंदुओं से अलग होते हैं और अक्षर पदनामों से बंधे नहीं होते हैं।
अनुवाद के लिए एक व्यावहारिक असाइनमेंट को हल करने के दौरान, गणित का ट्यूटर इस पाठ को छात्र को कई बार (याद रखने के लिए) पढ़ता है। मैं आपको इसे सैद्धांतिक नोटबुक में लिखने की सलाह देता हूं। योग में संक्रमण के नियम पर काम करने के बाद ही आप सामान्य रूप a-b=a+(-b) लिख सकते हैं
एक बच्चे (एक छोटे और एक कमजोर वयस्क दोनों) के सिर में माइनस और प्लस चिन्हों की गति कुछ हद तक ब्राउनियन की याद दिलाती है। एक गणित शिक्षक को इस अराजकता में जितनी जल्दी हो सके चीजों को व्यवस्थित करने की जरूरत है। उदाहरणों को हल करने की प्रक्रिया में, संदर्भ संकेतों (मौखिक और दृश्य) का उपयोग किया जाता है, जो सटीक और विस्तृत लेआउट के संयोजन में अपना काम करते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी समस्या को हल करते समय गणित के शिक्षक द्वारा बोला गया प्रत्येक शब्द या तो संकेत देता है या बाधा। प्रत्येक वाक्यांश का विश्लेषण बच्चे द्वारा एक या किसी अन्य गणितीय वस्तु (घटना) और कागज पर उसकी छवि के साथ संबंध स्थापित करने के लिए किया जाता है।
कमजोर स्कूली बच्चों की एक विशिष्ट समस्या इसमें शामिल संख्या के संकेत से एक क्रिया के संकेत को अलग करना है। वही दृश्य छवि कम "ए" और घटाए गए "बी" को अंतर ए-बी में पहचानना मुश्किल बनाती है। जब, समझाने की प्रक्रिया में, गणित का शिक्षक एक व्यंजक पढ़ता है, तो आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता होती है कि "-" के बजाय "घटाना" शब्द का प्रयोग किया गया है। यह आवश्यक है! उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को इस तरह पढ़ा जाना चाहिए: "माइनस फाइव से" घटानाघटा तीन। हमें इसके अलावा अनुवाद के नियम के बारे में नहीं भूलना चाहिए: "ताकि संख्या" ए "से घटानासंख्या "बी" आवश्यक है ... "।
यदि गणित में एक शिक्षक लगातार "माइनस 5 माइनस माइनस 3" की जुबान से उड़ता है, तो यह स्पष्ट है कि छात्र के लिए उदाहरण की संरचना की कल्पना करना अधिक कठिन होगा। एक शब्द और एक अंकगणितीय ऑपरेशन के बीच एक-से-एक पत्राचार एक गणित ट्यूटर को जानकारी को सटीक रूप से व्यक्त करने में मदद करता है।
एक अनुशिक्षक जोड़ में परिवर्तन की व्याख्या कैसे कर सकता है?
बेशक, कोई "घटाना" की परिभाषा का उल्लेख कर सकता है और उस संख्या की तलाश कर सकता है जिसे "ए" प्राप्त करने के लिए "बी" में जोड़ा जाना चाहिए। हालांकि, एक कमजोर छात्र सख्त गणित से बहुत दूर सोचता है, और उसके साथ काम करते समय ट्यूटर को सरल क्रियाओं के साथ कुछ उपमाओं की आवश्यकता होगी। मैं अक्सर अपने छठे ग्रेडर से कहता हूं, "गणित में "अंतर" जैसी कोई अंकगणितीय संक्रिया नहीं है। 5-3 लिखना योग 5 + (-3) के परिणाम के लिए एक सरल संकेत है। प्लस चिह्न बस छोड़ा गया है और लिखा नहीं गया है।
ट्यूटर की बातों पर बच्चे हैरान हो जाते हैं और अनजाने में याद रख लेते हैं कि आप सीधे नंबर नहीं घटा सकते। गणित ट्यूटर 5 और -3 शब्दों की घोषणा करता है, और अपने शब्दों की अधिक प्रेरणा के लिए, क्रियाओं के परिणामों की तुलना 5-3 और 5+(-3) करता है। उसके बाद, पहचान a-b=a+(-b) लिखी जाती है
छात्र चाहे जो भी हो, और गणित के ट्यूटर को उसके साथ कक्षाओं के लिए कितना भी समय दिया जाए, आपको समय पर "विपरीत संख्या" की अवधारणा पर काम करने की आवश्यकता है। रिकॉर्ड "-x" एक गणित शिक्षक के लिए विशेष ध्यान देने योग्य है। छठी कक्षा के छात्र को यह सीखना चाहिए कि यह एक ऋणात्मक संख्या प्रदर्शित नहीं करता है, लेकिन x के विपरीत है।
अगल-बगल स्थित दो ऋण चिह्नों के साथ गणनाओं पर अलग से ध्यान देना आवश्यक है। उनके एक साथ हटाने के संचालन को समझने में समस्या है। इसके अलावा संक्रमण के लिए बताए गए एल्गोरिथ्म के सभी बिंदुओं को ध्यान से देखना आवश्यक है। यह बेहतर होगा कि अंतर -5- (-3) के साथ काम करते समय, किसी भी टिप्पणी से पहले, गणित शिक्षक संख्या -5 और -3 को एक फ्रेम में हाइलाइट करेगा या उन्हें रेखांकित करेगा। यह छात्र को कार्रवाई के घटकों की पहचान करने में मदद करेगा।
याद रखने पर गणित के शिक्षक का फोकस
विश्वसनीय संस्मरण गणितीय नियमों के व्यावहारिक अनुप्रयोग का परिणाम है, इसलिए शिक्षक के लिए स्वतंत्र रूप से हल किए गए उदाहरणों का अच्छा घनत्व सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है। याद रखने की स्थिरता में सुधार करने के लिए, आप मदद के लिए दृश्य संकेतों - चिप्स को कॉल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या के घटाव का योग में अनुवाद करने का एक दिलचस्प तरीका। 
गणित ट्यूटर दो माइनस को एक लाइन से जोड़ता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है), और छात्र की टकटकी प्लस चिह्न (ब्रैकेट के साथ चौराहे पर) खुलती है।
व्याकुलता को रोकने के लिए, मैं अनुशंसा करता हूं कि गणित के शिक्षक फ्रेम के साथ मीनूएंड और सबट्रेंड को हाइलाइट करें। 
यदि गणित का शिक्षक अंकगणितीय संक्रिया के घटकों को उजागर करने के लिए बक्से या हलकों का उपयोग करता है, तो छात्र अधिक आसानी से और जल्दी से उदाहरण की संरचना को देखना सीखेगा और इसे संबंधित नियम के साथ सहसंबंधित करेगा। नोटबुक शीट की विभिन्न पंक्तियों पर निर्णय लेते समय आपको पूरी वस्तु के टुकड़े नहीं रखने चाहिए, और इसे तब तक जोड़ना शुरू करना चाहिए जब तक कि इसे लिखा न जाए। सभी कार्यों और संक्रमणों को बिना असफलता के दिखाया गया है (कम से कम विषय का अध्ययन करने की शुरुआत में)।
कुछ गणित ट्यूटर अनुवाद नियमों की 100% सटीक पुष्टि के लिए प्रयास करते हैं, इस रणनीति को कम्प्यूटेशनल कौशल के गठन के लिए एकमात्र सही और उपयोगी मानते हैं। हालांकि, अभ्यास से पता चलता है कि यह रास्ता हमेशा अच्छा लाभांश नहीं लाता है। एक व्यक्ति क्या कर रहा है, इसके बारे में जागरूकता की आवश्यकता अक्सर लागू एल्गोरिथम के चरणों को याद करने और कम्प्यूटेशनल संचालन के व्यावहारिक निर्धारण के बाद प्रकट होती है।
उदाहरण के लिए, कई घटावों के साथ एक लंबी संख्यात्मक अभिव्यक्ति में योग में संक्रमण का काम करना बेहद महत्वपूर्ण है। गिनती या रूपांतरण के साथ आगे बढ़ने से पहले, मेरे पास छात्र संख्याओं को उनके चिह्नों के साथ बाईं ओर घेरते हैं। यह आंकड़ा इस बात का उदाहरण दिखाता है कि गणित का ट्यूटर कैसे शब्दों का चयन करता है। बहुत कमजोर छठे ग्रेडर के लिए, आप मंडलियों को अतिरिक्त रूप से रंग सकते हैं। सकारात्मक शब्दों के लिए एक रंग और नकारात्मक शब्दों के लिए दूसरे रंग का प्रयोग करें। विशेष मामलों में, मैं अपने हाथों में कैंची लेता हूं और अभिव्यक्ति को टुकड़ों में काटता हूं। उन्हें मनमाने ढंग से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, इस प्रकार शर्तों के क्रमपरिवर्तन का अनुकरण किया जा सकता है। बच्चा देखेगा कि संकेत स्वयं शर्तों के साथ चलते हैं। यानी, अगर माइनस साइन 5 नंबर के बाईं ओर था, तो हम जहां भी संबंधित कार्ड को शिफ्ट करते हैं, वह पांच से नहीं आएगा।
कोलपकोव ए.एन. गणित शिक्षक ग्रेड 5-6। मास्को। स्ट्रोगिनो.
आइए एक साधारण उदाहरण से शुरू करते हैं। आइए निर्धारित करें कि अभिव्यक्ति 2-5 किसके बराबर है। बिंदु +2 से, आइए पाँच भाग, दो से शून्य और तीन शून्य से नीचे रखें। आइए बिंदु -3 पर रुकें। यानी 2-5=-3। अब ध्यान दें कि 2-5, 5-2 के बराबर नहीं है। यदि संख्याओं के योग के मामले में उनका क्रम मायने नहीं रखता है, तो घटाव के मामले में सब कुछ अलग है। नंबर ऑर्डर मायने रखता है.
अब चलते हैं नकारात्मक क्षेत्रतराजू। मान लीजिए आपको +5 से -2 जोड़ना है। (अब से, हम धनात्मक संख्याओं के आगे "+" चिह्न रखेंगे और धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं को कोष्ठक में रखेंगे ताकि हम संख्याओं के सामने चिह्नों को जोड़ और घटाव चिह्नों के साथ भ्रमित न करें।) अब हमारी समस्या को लिखा जा सकता है। (-2)+ (+5) के रूप में। इसे हल करने के लिए, बिंदु -2 से हम पांच डिवीजन ऊपर जाएंगे और खुद को बिंदु +3 पर पाएंगे।
क्या इस कार्य का कोई व्यावहारिक अर्थ है? बेशक है। मान लीजिए कि आपके पास $ 2 का कर्ज है और आपने $ 5 कमाया है। इस प्रकार, आप कर्ज चुकाने के बाद, आपके पास 3 डॉलर बचे रहेंगे।
आप पैमाने के नकारात्मक क्षेत्र को भी नीचे ले जा सकते हैं। मान लीजिए आपको -2 से 5 घटाना है, या (-2)-(+5)। पैमाने पर बिंदु -2 से, आइए पाँच भाग निर्धारित करें और बिंदु -7 पर स्वयं को खोजें। इस कार्य का व्यावहारिक अर्थ क्या है? मान लीजिए कि आपके ऊपर $2 का कर्ज था और आपको एक और $5 उधार लेना था। अब आपका कर्ज $7 है।
हम देखते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं के साथ कोई भी ऐसा ही कर सकता है जोड़ और घटाव संचालन, साथ ही सकारात्मक लोगों के साथ।
सच है, हमने अभी तक सभी कार्यों में महारत हासिल नहीं की है। हमने केवल ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ा और ऋणात्मक संख्याओं में से केवल धनात्मक संख्याओं को घटाया। लेकिन अगर आपको ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने या ऋणात्मक संख्याओं को ऋणात्मक संख्याओं से घटाने की आवश्यकता हो तो क्या करें?
व्यवहार में, यह ऋणों से निपटने के समान है। मान लें कि आपसे ऋण में $5 का शुल्क लिया गया था, जिसका अर्थ है कि मानो आपने $5 प्राप्त किया है। दूसरी ओर, यदि मैं किसी तरह आपसे किसी के $5 के ऋण की ज़िम्मेदारी स्वीकार करने के लिए कहूँ, तो यह आपसे उस $5 को लेने के समान है। यानी -5 को घटाना +5 जोड़ने के बराबर है। और -5 जोड़ना +5 घटाने के समान है।
यह हमें घटाव ऑपरेशन से छुटकारा पाने की अनुमति देता है। दरअसल, "5-2" (+5)-(+2) या हमारे नियम (+5)+(-2) के समान है। दोनों ही मामलों में, हमें एक ही परिणाम मिलता है। पैमाने पर बिंदु +5 से, हमें दो भाग नीचे जाने की आवश्यकता है, और हमें +3 प्राप्त होता है। 5-2 के मामले में, यह स्पष्ट है, क्योंकि घटाव एक नीचे की ओर गति है।
(+5)+(-2) के मामले में यह कम स्पष्ट है। हम एक संख्या जोड़ते हैं, जिसका अर्थ है पैमाने को ऊपर ले जाना, लेकिन हम एक ऋणात्मक संख्या जोड़ते हैं, अर्थात हम विपरीत क्रिया करते हैं, और इन दोनों कारकों को एक साथ लेने का अर्थ है कि हमें पैमाने को ऊपर नहीं ले जाना है, बल्कि विपरीत दिशा में जाना है। , वह नीचे है।
इस प्रकार, हमें फिर से उत्तर +3 मिलता है।
यह वास्तव में क्यों आवश्यक है घटाव को जोड़ से बदलें? "उल्टा" ऊपर क्यों जाएं? क्या बस नीचे जाना आसान नहीं है? कारण यह है कि जोड़ के मामले में, शब्दों का क्रम मायने नहीं रखता, जबकि घटाव के मामले में यह बहुत महत्वपूर्ण है।
हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि (+5)-(+2) बिल्कुल भी (+2)-(+5) के समान नहीं है। पहले मामले में, उत्तर +3 है, और दूसरे -3 में। दूसरी ओर, (-2)+(+5) और (+5)+(-2) का परिणाम +3 होता है। इस प्रकार, जोड़ और घटाव संचालन पर स्विच करके, हम शब्दों की पुनर्व्यवस्था से जुड़ी यादृच्छिक त्रुटियों से बच सकते हैं।
इसी तरह, आप नकारात्मक घटाते समय कार्य कर सकते हैं। (+5)-(-2) (+5)+(+2) के समान है। दोनों ही मामलों में, हमें उत्तर +7 मिलता है। हम +5 बिंदु से शुरू करते हैं और "विपरीत दिशा में नीचे", यानी ऊपर की ओर बढ़ते हैं। उसी तरह, हम व्यंजक (+5) + (+2) को हल करते समय कार्य करेंगे।
जब वे बीजगणित का अध्ययन करना शुरू करते हैं, तो जोड़ द्वारा घटाव के प्रतिस्थापन का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, और इसलिए इस ऑपरेशन को कहा जाता है "बीजीय जोड़". वास्तव में, यह पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि ऐसा ऑपरेशन स्पष्ट रूप से अंकगणितीय है, और बीजगणितीय बिल्कुल नहीं है।
यह ज्ञान सभी के लिए अपरिवर्तित है, इसलिए यदि आप www.salls.ru के माध्यम से ऑस्ट्रिया में शिक्षा प्राप्त करते हैं, हालांकि विदेश में अध्ययन को अधिक महत्व दिया जाता है, फिर भी आप इन नियमों को वहां लागू कर सकते हैं।
इस लेख में हम बात करेंगे ऋणात्मक संख्याओं का योग. सबसे पहले, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम देते हैं और इसे सिद्ध करते हैं। उसके बाद, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।
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ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम का सूत्रीकरण देने से पहले, आइए लेख की सामग्री सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की ओर मुड़ें। वहां हमने उल्लेख किया है कि ऋणात्मक संख्याओं को ऋण के रूप में माना जा सकता है, और इस मामले में संख्या का मापांक इस ऋण की राशि निर्धारित करता है। इसलिए, दो ऋणात्मक संख्याओं का योग दो ऋणों का योग है।
यह निष्कर्ष समझना संभव बनाता है नकारात्मक जोड़ नियम. दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको चाहिए:
- उनके मॉड्यूल ढेर;
- प्राप्त राशि के आगे ऋण चिह्न लगाएं।
आइए ऋणात्मक संख्याओं −a और −b को शाब्दिक रूप में जोड़ने का नियम लिखें: (−a)+(−b)=−(a+b) .
यह स्पष्ट है कि स्वरित नियम सकारात्मक संख्याओं के योग में ऋणात्मक संख्याओं के योग को कम करता है (ऋणात्मक संख्या का मापांक एक धनात्मक संख्या है)। यह भी स्पष्ट है कि दो ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम एक ऋणात्मक संख्या है, जैसा कि मापांक के योग के सामने रखे गए ऋण चिह्न से सिद्ध होता है।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम को के आधार पर सिद्ध किया जा सकता है वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुण(या परिमेय या पूर्णांक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के समान गुण)। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि समानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच का अंतर (−a)+(−b)=−(a+b) शून्य के बराबर है।
चूँकि किसी संख्या को घटाना विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है (पूर्णांक घटाने का नियम देखें), तो (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(ए+बी)। जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों के आधार पर, हमारे पास (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) है। चूँकि विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर होता है, तो (−a+a)+(−b+b)=0+0 , और 0+0=0 किसी संख्या को शून्य में जोड़ने के गुण के कारण होता है। यह समानता (−a)+(−b)=−(a+b) , और इसलिए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम सिद्ध करता है।
इस प्रकार, यह जोड़ नियम ऋणात्मक पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं दोनों पर लागू होता है।
यह केवल सीखने के लिए रहता है कि व्यवहार में ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम को कैसे लागू किया जाए, जो हम अगले पैराग्राफ में करेंगे।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण
आइए विश्लेषण करें ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के उदाहरण. आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - ऋणात्मक पूर्णांकों का जोड़, जोड़ पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियम के अनुसार किया जाएगा।
ऋणात्मक संख्याएँ -304 और -18007 जोड़ें।
आइए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के सभी चरणों का पालन करें।
सबसे पहले, हम जोड़े गए नंबरों के मॉड्यूल ढूंढते हैं: और 
. अब आपको परिणामी संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, यहाँ एक कॉलम में जोड़ करना सुविधाजनक है: 
अब हम परिणामी संख्या के सामने एक ऋण चिह्न लगाते हैं, परिणामस्वरूप हमारे पास −18 311 होता है।
आइए संपूर्ण समाधान को संक्षिप्त रूप में लिखें: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 ।
ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का योग, स्वयं संख्याओं के आधार पर, या तो प्राकृतिक संख्याओं के योग से, या साधारण भिन्नों के योग से, या दशमलव अंशों के योग में घटाया जा सकता है।
एक ऋणात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या −4,(12) जोड़ें।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार, आपको पहले मॉड्यूल के योग की गणना करने की आवश्यकता है। जोड़े गए ऋणात्मक संख्याओं के मॉड्यूल क्रमशः 2/5 और 4,(12) हैं। परिणामी संख्याओं के योग को साधारण भिन्नों के योग में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम आवधिक दशमलव अंश का एक साधारण अंश में अनुवाद करते हैं:। तो 2/5+4,(12)=2/5+136/33 । अब भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ते हैं: .
परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना बाकी है: . यह मूल ऋणात्मक संख्याओं के योग को पूरा करता है।
ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए उसी नियम के अनुसार जोड़ा जाता है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि वास्तविक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम अक्सर संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है, और इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना लगभग की जाती है, और फिर यदि आवश्यक हो।
उदाहरण के लिए, आइए ऋणात्मक संख्याओं और -5 का योग ज्ञात करें। इन संख्याओं के मॉड्यूल क्रमशः तीन और पाँच के वर्गमूल के बराबर होते हैं, और मूल संख्याओं का योग होता है। इस प्रकार उत्तर लिखा जाता है। अन्य उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं। वास्तविक संख्याओं का जोड़.
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दो ऋणात्मक संख्याओं को कैसे जोड़ें
नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के साथ संचालन
निरपेक्ष मान (मापांक)। योग।
घटाव। गुणन। विभाजन।
निरपेक्ष मान (मापांक)। के लिए ऋणात्मक संख्या"-" से "+" में अपना चिन्ह बदलकर प्राप्त की गई एक सकारात्मक संख्या है; के लिए सकारात्मक संख्या और शून्यसंख्या ही है। किसी संख्या के निरपेक्ष मान (मापांक) को निरूपित करने के लिए दो सीधी रेखाओं का प्रयोग किया जाता है, जिसके अंदर यह संख्या लिखी होती है।
उदाहरण: | - 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) एक ही चिन्ह वाली दो संख्याओं को जोड़ने पर, जोड़ें
उनका निरपेक्ष मान और योग एक सामान्य चिह्न से पहले होता है।
2) अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याओं को जोड़ने पर उनका निरपेक्ष
मान घटाए जाते हैं (बड़े वाले से छोटा वाला) और चिन्ह लगाया जाता है
एक बड़े निरपेक्ष मूल्य के साथ संख्याएँ।
घटाव। आप दो संख्याओं के घटाव को जोड़ से बदल सकते हैं, जबकि मिन्यूएंड अपना चिह्न बनाए रखता है, और घटाव को विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है।
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
गुणन। जब दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उनके निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है, और यदि कारकों के संकेत समान होते हैं, तो उत्पाद "+" चिह्न पर ले जाता है, और यदि कारकों के संकेत भिन्न होते हैं तो "-" चिह्न होता है।
निम्नलिखित योजना उपयोगी है ( गुणन चिह्न नियम):
कई संख्याओं (दो या अधिक) को गुणा करते समय, उत्पाद में "+" चिह्न होता है यदि ऋणात्मक कारकों की संख्या सम होती है, और यदि उनकी संख्या विषम होती है तो "-" चिह्न होता है।
विभाजन। दो संख्याओं को विभाजित करते समय, लाभांश के निरपेक्ष मूल्य को भाजक के निरपेक्ष मूल्य से विभाजित किया जाता है, और भागफल "+" चिह्न लेता है यदि लाभांश और भाजक के संकेत समान हैं, और चिह्न "-" यदि लाभांश और भाजक के चिह्न भिन्न हैं।
वहाँ हैं यह वही गुणन के रूप में नियमों पर हस्ताक्षर करें:
ऋणात्मक संख्या जोड़ना
सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का जोड़संख्या अक्ष का उपयोग करके पार्स किया जा सकता है।
निर्देशांक रेखा का उपयोग करके संख्याओं को जोड़ना
निरपेक्ष मान में छोटी संख्याओं का योग आसानी से समन्वय रेखा पर किया जाता है, मानसिक रूप से एक बिंदु के रूप में कल्पना की जाती है जो संख्या अक्ष के साथ चलती है।
आइए कुछ संख्या लें, उदाहरण के लिए, 3 । आइए इसे एक अंक "ए" के साथ एक संख्यात्मक अक्ष पर नामित करें।
आइए सकारात्मक संख्या 2 को संख्या में जोड़ें। इसका मतलब यह होगा कि बिंदु "ए" को दो इकाई खंडों को सकारात्मक दिशा में, यानी दाईं ओर ले जाना चाहिए। नतीजतन, हमें निर्देशांक 5 के साथ बिंदु "बी" मिलेगा।
एक ऋणात्मक संख्या “−5” को एक धनात्मक संख्या में जोड़ने के लिए, उदाहरण के लिए, 3, बिंदु “A” को ऋणात्मक दिशा में, यानी बाईं ओर, लंबाई की 5 इकाइयों को स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
इस मामले में, बिंदु "बी" का समन्वय - "2" के बराबर है।
अत: संख्या अक्ष का प्रयोग करते हुए परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम इस प्रकार होगा:
बिंदु - 2 से बाईं ओर चलते हुए (चूंकि 6 के सामने एक ऋण चिह्न है), हमें - 8 मिलता है।
समान चिह्नों वाली संख्याओं का योग
यदि आप मापांक की अवधारणा का उपयोग करते हैं तो परिमेय संख्याओं को जोड़ना आसान होता है।
मान लीजिए कि हमें उन संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है जिनके समान चिह्न हैं।
ऐसा करने के लिए, हम संख्याओं के संकेतों को त्याग देते हैं और इन संख्याओं के मॉड्यूल लेते हैं। हम मॉड्यूल जोड़ते हैं और साइन को योग के सामने रखते हैं, जो इन नंबरों के लिए सामान्य था।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का एक उदाहरण।
एक ही चिह्न की संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल जोड़ने होंगे और चिह्न को उस योग के सामने रखना होगा जो शर्तों के सामने था।
विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का योग
यदि संख्याओं के अलग-अलग चिह्न हैं, तो हम समान चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने की तुलना में कुछ भिन्न कार्य करते हैं।
एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या जोड़ने का एक उदाहरण.
मिश्रित संख्याओं को जोड़ने का एक उदाहरण।
सेवा विपरीत चिह्नों की संख्या जोड़ेंज़रूरी:
- बड़े मॉड्यूल से छोटे मॉड्यूल को घटाएं;
- परिणामी अंतर से पहले, उस संख्या का चिह्न लगाएं जिसका मापांक बड़ा है।
- उनके मॉड्यूल के अतिरिक्त प्रदर्शन करें;
- प्राप्त राशि में "-" चिन्ह जोड़ें।
- संख्याओं के मॉड्यूल की गणना करें;
- प्राप्त संख्याओं की तुलना करें:
- छोटे वाले को बड़े से घटाएं;
- प्राप्त मूल्य से पहले, उस संख्या का चिन्ह लगाएं जिसका मापांक अधिक है।
सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का जोड़ और घटाव
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ऋणात्मक जोड़ नियम
दो ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ने के लिए:
जोड़ नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
ऋणात्मक योग नियम ऋणात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर लागू होता है।
नकारात्मक संख्या $−185$ और $−23 \ 789 जोड़ें।$
आइए ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करें।
आइए परिणामी संख्याएँ जोड़ें:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
हम मिली संख्या के सामने $"–"$ का चिह्न लगाते हैं और $−23 974$ प्राप्त करते हैं।
संक्षिप्त समाधान: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$।
ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय, उन्हें प्राकृत संख्याओं, साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना चाहिए।
ऋणात्मक संख्या $-\frac $ और $−7.15$ जोड़ें।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले मॉड्यूल का योग ज्ञात करना होगा:
प्राप्त मूल्यों को दशमलव अंशों तक कम करना और उनका जोड़ करना सुविधाजनक है:
आइए प्राप्त मूल्य के सामने $"-"$ का चिह्न लगाएं और $-7.4$ प्राप्त करें।
समाधान सारांश:
विपरीत चिन्हों वाली संख्याओं का योग
विपरीत चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम:
यदि वे बराबर हैं, तो मूल संख्याएँ विपरीत हैं और उनका योग शून्य के बराबर है;
यदि वे समान नहीं हैं, तो आपको उस संख्या का चिह्न याद रखना होगा जिसका मापांक अधिक है;
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने पर बड़ी धनात्मक संख्या में से छोटी ऋणात्मक संख्या घटा दी जाती है।
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने का नियम पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए किया जाता है।
संख्या $4$ और $−8$ जोड़ें।
आपको विपरीत चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़नी होंगी। आइए उपयुक्त जोड़ नियम का उपयोग करें।
आइए इन नंबरों के मॉड्यूल खोजें:
संख्या $−8$ का मापांक संख्या $4$ के मापांक से अधिक है, अर्थात। साइन $"-"$ याद रखें।
हम परिणामी संख्या के सामने चिह्न $"-"$ डालते हैं, जिसे हमने याद किया, और हमें $−4.$ मिलता है।
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विपरीत चिह्नों वाली परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, उन्हें साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में प्रदर्शित करना सुविधाजनक होता है।
ऋणात्मक संख्याओं का घटाव
ऋणात्मक संख्याओं को घटाने का नियम:
एक ऋणात्मक संख्या $b$ को संख्या $a$ से घटाने के लिए, न्यूनतम $a$ संख्या $−b$ में जोड़ना आवश्यक है, जो घटाए गए $b$ के विपरीत है।
घटाव नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:
यह नियम पूर्णांक, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है। किसी ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से, ऋणात्मक संख्या से और शून्य से घटाते समय नियम का उपयोग किया जा सकता है।
ऋणात्मक संख्या $−28$ से ऋणात्मक संख्या $−5$ घटाएं।
संख्या $-5$ के लिए विपरीत संख्या $5$ है।
ऋणात्मक संख्याओं को घटाने के नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
आइए विपरीत चिह्नों वाली संख्याएँ जोड़ें:
संक्षिप्त समाधान: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$।
ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्याओं को घटाते समय, आपको संख्याओं को साधारण भिन्नों, मिश्रित संख्याओं या दशमलव भिन्नों के रूप में बदलना होगा।
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं का घटाव
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने का नियम वही है जो ऋणात्मक संख्याओं को घटाने का नियम है।
ऋणात्मक संख्या $−11$ से धनात्मक संख्या $7$ घटाएँ।
संख्या $7$ के लिए विपरीत संख्या $-7$ संख्या है।
विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं को घटाने के नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
आइए ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ें:
विपरीत चिह्नों वाली भिन्नात्मक संख्याओं को घटाते समय, संख्याओं को साधारण या दशमलव भिन्नों के रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है।
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ऋणात्मक संख्याओं का योग: नियम, उदाहरण
इस सामग्री के भाग के रूप में, हम ऋणात्मक संख्याओं के जोड़ जैसे महत्वपूर्ण विषय पर बात करेंगे। पहले पैराग्राफ में, हम इस क्रिया के लिए मूल नियम का वर्णन करेंगे, और दूसरे में, हम ऐसी समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।
प्राकृत संख्याओं को जोड़ने का मूल नियम
नियम प्राप्त करने से पहले, आइए याद करें कि हम आम तौर पर सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बारे में क्या जानते हैं। पहले हम इस बात पर सहमत थे कि ऋणात्मक संख्याओं को ऋण, हानि के रूप में माना जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्या का मापांक इस हानि के सटीक आकार को व्यक्त करता है। तब ऋणात्मक संख्याओं के योग को दो हानियों का योग माना जा सकता है।
इस तर्क का उपयोग करते हुए, हम ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए मूल नियम बनाते हैं।
पूरा करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का योग, आपको उनके मॉड्यूल के मानों को जोड़ना होगा और परिणाम के सामने एक माइनस डालना होगा। शाब्दिक रूप में, सूत्र (− a) + (− b) = − (a + b) जैसा दिखता है।
इस नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं का योग सकारात्मक संख्याओं के योग के समान है, केवल अंत में हमें निश्चित रूप से एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त करनी चाहिए, क्योंकि हमें मॉड्यूल के योग के सामने ऋण चिह्न लगाना चाहिए।
इस नियम के लिए क्या सबूत दिए जा सकते हैं? ऐसा करने के लिए, हमें वास्तविक संख्याओं के साथ संचालन के मूल गुणों को याद करने की आवश्यकता है (या तो पूर्णांक के साथ या परिमेय के साथ - वे इन सभी प्रकार की संख्याओं के लिए समान हैं)। इसे सिद्ध करने के लिए, हमें केवल यह प्रदर्शित करने की आवश्यकता है कि समीकरण (- a) + (- b) = - (a + b) के बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अंतर 0 के बराबर होगा।
एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाना उसी विपरीत संख्या को जोड़ने के समान है। इसलिए, (- a) + (- b) - (- (a + b)) = (- a) + (- b) + (a + b) । याद रखें कि जोड़ के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में दो मुख्य गुण होते हैं - सहयोगी और कम्यूटेटिव। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) । चूँकि, विपरीत संख्याओं को जोड़ने पर हमें हमेशा 0 मिलता है, तो (- a + a) + (- b + b) \u003d 0 + 0, और 0 + 0 \u003d 0. हमारी समानता को सिद्ध माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का नियम भी हमने सिद्ध किया।
ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने में समस्या
दूसरे पैराग्राफ में, हम उन विशिष्ट समस्याओं को लेंगे जहाँ आपको ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, और उनमें सीखे गए नियम को लागू करने का प्रयास करें।
दो ऋणात्मक संख्याओं - 304 और - 18007 का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला
आइए स्टेप बाय स्टेप करते हैं। सबसे पहले हमें जोड़े जाने वाले नंबरों के मॉड्यूल खोजने होंगे: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007। अगला, हमें अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हम कॉलम काउंट विधि का उपयोग करते हैं:
हमारे पास केवल परिणाम के सामने एक माइनस डालना है और - 18 311 प्राप्त करना है।
जवाब: — — 18 311 .
यह इस बात पर निर्भर करता है कि हमारे पास कौन सी संख्याएँ हैं, हम जोड़ की क्रिया को कितना कम कर सकते हैं: प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करना, साधारण या दशमलव अंशों को जोड़ना। आइए ऐसी संख्याओं के साथ समस्या का विश्लेषण करें।
दो ऋणात्मक संख्याओं - 2 5 और - 4 , (12) का योग ज्ञात कीजिए।
हम वांछित संख्याओं के मॉड्यूल ढूंढते हैं और 2 5 और 4 , (12) प्राप्त करते हैं। हमारे पास दो भिन्न भिन्न हैं। हम समस्या को दो साधारण भिन्नों के योग में घटाते हैं, जिसके लिए हम आवर्त भिन्न को एक साधारण के रूप में निरूपित करते हैं:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
नतीजतन, हमें एक अंश मिला जो पहले मूल शब्द में जोड़ना आसान होगा (यदि आप भूल गए हैं कि विभिन्न हरों के साथ अंशों को सही तरीके से कैसे जोड़ा जाए, तो संबंधित सामग्री को दोहराएं)।
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
नतीजतन, हमें एक मिश्रित संख्या मिली, जिसके सामने हमें केवल एक माइनस डालना होगा। यह गणनाओं को पूरा करता है।
जवाब: — 4 86 105 .
वास्तविक ऋणात्मक संख्याओं को इसी प्रकार जोड़ा जाता है। इस तरह की कार्रवाई का परिणाम आमतौर पर एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है। इसके मूल्य की गणना या अनुमानित गणना तक सीमित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हमें - 3 + (- 5) का योग ज्ञात करना है, तो हम उत्तर को - 3 - 5 के रूप में लिखते हैं। हमने वास्तविक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक अलग सामग्री समर्पित की है, जिसमें आप अन्य उदाहरण पा सकते हैं।
