यादृच्छिक चर यादृच्छिक घटनाओं से जुड़े होते हैं। यादृच्छिक घटनाओं के बारे में बात की जाती है जब कुछ शर्तों के तहत प्राप्त किए जा सकने वाले परिणाम की स्पष्ट रूप से भविष्यवाणी करना असंभव है।

मान लीजिए हम एक साधारण सिक्का उछाल रहे हैं। आमतौर पर इस प्रक्रिया का परिणाम विशिष्ट रूप से निश्चित नहीं होता है। कोई केवल निश्चित रूप से कह सकता है कि दो चीजों में से एक होगा: या तो सिर या पूंछ गिर जाएगी। इनमें से कोई भी घटना यादृच्छिक होगी। आप एक वैरिएबल दर्ज कर सकते हैं जो इस यादृच्छिक घटना के परिणाम का वर्णन करेगा। जाहिर है, यह चर दो अलग-अलग मान लेगा: सिर और पूंछ। चूंकि हम पहले से सटीक अनुमान नहीं लगा सकते हैं कि यह चर दो संभावित मूल्यों में से कौन सा मान लेगा, यह तर्क दिया जा सकता है कि इस मामले में हम यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं।

आइए अब मान लें कि प्रयोग में हम किसी उत्तेजना की प्रस्तुति पर विषय के प्रतिक्रिया समय का मूल्यांकन कर रहे हैं। एक नियम के रूप में, यह पता चला है कि जब भी प्रयोगकर्ता प्रयोगात्मक स्थितियों को मानकीकृत करने के लिए सभी उपाय करता है, उत्तेजना की प्रस्तुति में संभावित बदलावों को कम करने या यहां तक ​​​​कि समाप्त करने के लिए, विषय के प्रतिक्रिया समय के मापा मूल्य अभी भी भिन्न होंगे। इस मामले में, वे कहते हैं कि विषय की प्रतिक्रिया समय एक यादृच्छिक चर द्वारा वर्णित है। चूंकि, सिद्धांत रूप में, प्रयोग में हम प्रतिक्रिया समय का कोई भी मूल्य प्राप्त कर सकते हैं - माप के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाले प्रतिक्रिया समय के संभावित मूल्यों का सेट अनंत हो जाता है - वे इसके बारे में कहते हैं निरंतरता यह यादृच्छिक चर।

प्रश्न उठता है: क्या यादृच्छिक चर के व्यवहार में कोई नियमितता है? इस प्रश्न का उत्तर सकारात्मक में निकलता है।

इस प्रकार, यदि कोई एक ही सिक्के को अनंत संख्या में उछालता है, तो कोई यह पाएगा कि सिक्के के दोनों पक्षों में से प्रत्येक पर बूंदों की संख्या लगभग समान होगी, जब तक कि निश्चित रूप से, सिक्का झूठा नहीं है और मुड़ा हुआ नहीं है। . इस पैटर्न पर जोर देने के लिए, एक यादृच्छिक घटना की संभावना की अवधारणा पेश की जाती है। यह स्पष्ट है कि एक सिक्का उछालने की स्थिति में, दो संभावित घटनाओं में से एक बिना असफल हुए घटित होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि इन दो घटनाओं की कुल संभावना, अन्यथा कुल संभावना कहा जाता है, 100% है। यदि हम यह मान लें कि सिक्के के परीक्षण से जुड़ी दोनों घटनाएं समान संभावनाओं के साथ घटित होती हैं, तो स्पष्ट रूप से प्रत्येक परिणाम की अलग-अलग प्रायिकता 50% हो जाती है। इस प्रकार, सैद्धांतिक विचार हमें किसी दिए गए यादृच्छिक चर के व्यवहार का वर्णन करने की अनुमति देते हैं। गणितीय आँकड़ों में इस तरह के विवरण को पद द्वारा निरूपित किया जाता है "एक यादृच्छिक चर का वितरण".

एक यादृच्छिक चर के साथ स्थिति अधिक जटिल है जिसमें मूल्यों का एक अच्छी तरह से परिभाषित सेट नहीं है, अर्थात। निरंतर हो जाता है। लेकिन इस मामले में भी, इसके व्यवहार की कुछ महत्वपूर्ण नियमितताओं पर ध्यान दिया जा सकता है। इसलिए, विषय के प्रतिक्रिया समय को मापने के साथ एक प्रयोग करते समय, यह ध्यान दिया जा सकता है कि विषय की प्रतिक्रिया की अवधि के विभिन्न अंतरालों का अनुमान अलग-अलग डिग्री की संभावना के साथ लगाया जाता है। यह बहुत कम ही होता है कि विषय बहुत जल्दी प्रतिक्रिया देगा। उदाहरण के लिए, शब्दार्थ निर्णय कार्यों में, विषय व्यावहारिक रूप से 500 एमएस (1/2 सेकेंड) से कम की गति से कम या ज्यादा सटीक प्रतिक्रिया देने में विफल होते हैं। इसी तरह, यह संभावना नहीं है कि प्रयोगकर्ता के निर्देशों का ईमानदारी से पालन करने वाला विषय उसकी प्रतिक्रिया में बहुत देरी करेगा। सिमेंटिक निर्णय समस्याओं में, उदाहरण के लिए, प्रतिक्रियाओं का अनुमान 5 एस से अधिक होने का अनुमान आमतौर पर अविश्वसनीय माना जाता है। फिर भी, 100% निश्चितता के साथ, यह माना जा सकता है कि विषय का प्रतिक्रिया समय 0 से + सह के बीच होगा। लेकिन यह प्रायिकता यादृच्छिक चर के प्रत्येक व्यक्तिगत मान की प्रायिकताओं का योग है। इसलिए, एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण को एक सतत कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है वाई = एफ (एक्स ).

यदि हम एक असतत यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं, जब इसके सभी संभावित मूल्यों को पहले से जाना जाता है, जैसे कि एक सिक्के के उदाहरण में, इसके वितरण के लिए एक मॉडल बनाना आमतौर पर बहुत मुश्किल नहीं होता है। यह केवल कुछ उचित मान्यताओं को पेश करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि हमने विचाराधीन उदाहरण में किया था। निरंतर परिमाण के वितरण के साथ स्थिति अधिक जटिल है जो पहले से अज्ञात संख्या में मान लेती है। बेशक, यदि हम, उदाहरण के लिए, एक सैद्धांतिक मॉडल विकसित करते हैं जो एक प्रयोग में किसी विषय के व्यवहार का वर्णन करता है, जब एक शब्दार्थ समाधान समस्या को हल करते समय प्रतिक्रिया समय को मापने के लिए, हम प्रतिक्रिया के विशिष्ट मूल्यों के सैद्धांतिक वितरण का वर्णन करने का प्रयास कर सकते हैं। एक ही उद्दीपन की प्रस्तुति पर एक ही विषय का समय। हालांकि, यह हमेशा संभव नहीं है। इसलिए, प्रयोगकर्ता को यह मानने के लिए मजबूर किया जा सकता है कि उसके लिए ब्याज के यादृच्छिक चर का वितरण पहले से ही पहले से अध्ययन किए गए किसी कानून द्वारा वर्णित है। अक्सर, हालांकि यह हमेशा बिल्कुल सही नहीं हो सकता है, इन उद्देश्यों के लिए तथाकथित सामान्य वितरण का उपयोग किया जाता है, जो किसी भी यादृच्छिक चर के वितरण के लिए एक मानक के रूप में कार्य करता है, चाहे उसकी प्रकृति कुछ भी हो। इस वितरण को पहली बार गणितीय रूप से 18वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में वर्णित किया गया था। डी मोइवर।

सामान्य वितरण तब होता है जब हमारे लिए ब्याज की घटना अनंत संख्या में यादृच्छिक कारकों के प्रभाव के अधीन होती है जो एक दूसरे को संतुलित करते हैं। औपचारिक रूप से, सामान्य वितरण, जैसा कि डी मोइवर ने दिखाया, निम्नलिखित संबंधों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

कहाँ पे एक्स हमारे लिए रुचि के एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करता है, जिस व्यवहार का हम अध्ययन करते हैं; आर इस यादृच्छिक चर से संबद्ध प्रायिकता मान है; और इ - प्रसिद्ध गणितीय स्थिरांक जो क्रमशः परिधि के व्यास और प्राकृतिक लघुगणक के आधार के अनुपात का वर्णन करते हैं; μ और 2 यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण के पैरामीटर हैं, क्रमशः गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर का विचरण एक्स।

सामान्य वितरण का वर्णन करने के लिए, केवल पैरामीटर μ और σ2 को परिभाषित करना आवश्यक और पर्याप्त हो जाता है।

इसलिए, यदि हमारे पास एक यादृच्छिक चर है जिसका व्यवहार μ और σ2 के मनमानी मूल्यों के साथ समीकरण (1.1) द्वारा वर्णित है, तो हम इसे निरूपित कर सकते हैं Ν (μ, 2) इस समीकरण के सभी विवरणों को याद किए बिना।

चावल। 1.1.

किसी भी वितरण को ग्राफ के रूप में दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है। रेखीय रूप से, सामान्य वितरण में घंटी के आकार का वक्र होता है, जिसका सटीक आकार वितरण के मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात। गणितीय अपेक्षा और विचरण। सामान्य वितरण के पैरामीटर लगभग कोई भी मान ले सकते हैं, जो केवल प्रयोगकर्ता द्वारा उपयोग किए जाने वाले माप पैमाने द्वारा सीमित होते हैं। सिद्धांत रूप में, गणितीय अपेक्षा का मान -∞ से +∞ तक की संख्याओं की श्रेणी से कोई भी संख्या हो सकता है, और विचरण कोई भी गैर-ऋणात्मक संख्या हो सकती है। इसलिए, विभिन्न प्रकार के सामान्य वितरण की अनंत संख्या होती है और, तदनुसार, अनंत संख्या में वक्र इसका प्रतिनिधित्व करते हैं (हालांकि, एक समान घंटी के आकार का रूप)। यह स्पष्ट है कि उन सभी का वर्णन करना असंभव है। हालांकि, यदि किसी विशेष सामान्य वितरण के पैरामीटर ज्ञात हैं, तो इसे तथाकथित में परिवर्तित किया जा सकता है इकाई सामान्य वितरण, गणितीय अपेक्षा जिसके लिए शून्य के बराबर है, और विचरण एक के बराबर है। यह सामान्य वितरण भी कहा जाता है मानक या जेड-वितरण। इकाई सामान्य वितरण का प्लॉट अंजीर में दिखाया गया है। 1.1, जहां से यह स्पष्ट है कि सामान्य वितरण के घंटी के आकार का वक्र का शीर्ष गणितीय अपेक्षा के मूल्य को दर्शाता है। सामान्य वितरण का एक अन्य पैरामीटर - फैलाव - क्षैतिज (एब्सिस्सा अक्ष) के सापेक्ष घंटी के आकार के वक्र के "प्रसार" की डिग्री को दर्शाता है।

अन्य प्रकार के वितरण की तुलना में। इस वितरण की मुख्य विशेषता यह है कि अन्य सभी वितरण कानून परीक्षणों की संख्या की अनंत पुनरावृत्ति के साथ इस कानून की ओर रुख करते हैं। यह वितरण कैसे प्राप्त होता है?

कल्पना कीजिए कि, हैंड डायनेमोमीटर लेकर, आप अपने शहर में सबसे अधिक भीड़-भाड़ वाली जगह पर स्थित हैं। और जो कोई भी गुजरता है, आप अपने दाहिने या बाएं हाथ से डायनेमोमीटर को निचोड़कर अपनी ताकत को मापने की पेशकश करते हैं। आप डायनामोमीटर के पाठ्यांकों को ध्यानपूर्वक रिकॉर्ड करते हैं। कुछ समय बाद, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, आप डायनेमोमीटर रीडिंग को एब्सिस्सा अक्ष पर डालते हैं, और उन लोगों की संख्या जो इस रीडिंग को ऑर्डिनेट अक्ष पर "निचोड़ते" हैं। प्राप्त बिंदु एक चिकनी रेखा से जुड़े हुए हैं। परिणाम चित्र 9.8 में दिखाया गया वक्र है। प्रयोग का समय बढ़ने पर इस वक्र का आकार ज्यादा नहीं बदलेगा। इसके अलावा, कुछ बिंदु से, नए मान केवल वक्र को उसके आकार को बदले बिना परिष्कृत करेंगे।

चावल। 9.8.

अब हम अपने डायनेमोमीटर के साथ एथलेटिक हॉल में चलते हैं और प्रयोग को दोहराते हैं। अब वक्र का अधिकतम भाग दायीं ओर शिफ्ट होगा, बायां सिरा कुछ कड़ा होगा, जबकि इसका दायां सिरा सख्त होगा (चित्र 9.9)।

चावल। 9.9.

ध्यान दें कि दूसरे वितरण (बिंदु बी) के लिए अधिकतम आवृत्ति पहले वितरण (बिंदु ए) के लिए अधिकतम आवृत्ति से कम होगी। यह इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि जिम जाने वाले लोगों की कुल संख्या पहले मामले में प्रयोगकर्ता के पास से गुजरने वाले लोगों की संख्या से कम होगी (शहर के केंद्र में काफी भीड़-भाड़ वाली जगह पर)। अधिकतम दाईं ओर स्थानांतरित हो गया है, क्योंकि एथलेटिक हॉल में सामान्य पृष्ठभूमि की तुलना में शारीरिक रूप से अधिक मजबूत लोग भाग लेते हैं।

और अंत में, हम एक ही लक्ष्य के साथ स्कूलों, किंडरगार्टन और नर्सिंग होम का दौरा करेंगे: इन स्थानों पर आगंतुकों के हाथों की ताकत को प्रकट करने के लिए। और फिर से, वितरण वक्र का एक समान आकार होगा, लेकिन अब, जाहिर है, इसका बायां सिरा सख्त होगा, और दायां सिरा अधिक कड़ा होगा। और जैसा कि दूसरे मामले में, अधिकतम (बिंदु C) बिंदु A से कम होगा (चित्र 9.10)।

चावल। 9.10.

सामान्य वितरण की यह उल्लेखनीय संपत्ति - संभाव्यता घनत्व वक्र के आकार को बनाए रखने के लिए (चित्र 8 - 10) 1733 में Moivre द्वारा देखा और वर्णित किया गया था, और फिर गॉस द्वारा जांच की गई थी।

वैज्ञानिक अनुसंधान में, प्रौद्योगिकी में, बड़े पैमाने पर घटनाओं या प्रयोगों में, जब लगातार प्रयोगात्मक परिस्थितियों में यादृच्छिक चर को बार-बार दोहराने की बात आती है, तो वे कहते हैं कि परीक्षण के परिणाम सामान्य वितरण वक्र के कानून का पालन करते हुए यादृच्छिक बिखरने का अनुभव करते हैं।

(21)

जहां सबसे अधिक बार होने वाली घटना है। एक नियम के रूप में, सूत्र (21) में पैरामीटर के बजाय, . इसके अलावा, प्रायोगिक श्रृंखला जितनी लंबी होगी, पैरामीटर गणितीय अपेक्षा से उतना ही कम होगा। वक्र के नीचे का क्षेत्र (चित्र 9.11) एक के बराबर माना जाता है। एक्स-अक्ष के किसी भी अंतराल के अनुरूप क्षेत्र संख्यात्मक रूप से इस अंतराल में एक यादृच्छिक परिणाम गिरने की संभावना के बराबर है।

चावल। 9.11.

सामान्य वितरण फ़ंक्शन का रूप है

(22)

ध्यान दें कि सामान्य वक्र (आकृति 9.11) सीधी रेखा के संबंध में सममित है और स्पर्शोन्मुख रूप से OX अक्ष पर पहुंचता है।

सामान्य कानून के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें

(23)

सामान्य वितरण के गुण

आइए हम इस सबसे महत्वपूर्ण वितरण के मुख्य गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1. संपूर्ण x-अक्ष पर सामान्य वितरण (21) परिभाषाओं का घनत्व फलन।

संपत्ति 2. परिभाषा के किसी भी क्षेत्र () के लिए सामान्य वितरण (21) का घनत्व कार्य शून्य से अधिक है।

संपत्ति 3. अनंत वृद्धि (कमी) के साथ, वितरण फलन (21) शून्य हो जाता है .

संपत्ति 4. जब , (21) द्वारा दिए गए बंटन फलन का मान के बराबर सबसे बड़ा होता है

(24)

संपत्ति 5. फलन का आलेख (चित्र 9.11) एक सरल रेखा के सापेक्ष सममित है।

संपत्ति 6. फलन ग्राफ (चित्र 9.11) में एक सीधी रेखा के प्रति सममित दो विभक्ति बिंदु हैं:

(25)

संपत्ति 7. सभी विषम केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि गुण 7 का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की विषमता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि, तो वे इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि अध्ययनाधीन वितरण सीधी रेखा के सापेक्ष सममित है। यदि , तो वे कहते हैं कि पंक्ति को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है (अधिक धीरे से ग्राफ़ की दाहिनी ओर झुकी हुई शाखा या कसी हुई)। यदि , तो यह माना जाता है कि पंक्ति को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है (आकृति 9.12 में ग्राफ की अधिक चपटी बाईं शाखा)।

चावल। 9.12.

संपत्ति 8. वितरण का कर्टोसिस 3 है। व्यवहार में, इसकी अक्सर गणना की जाती है और ग्राफ के "संपीड़न" या "धुंधलापन" की डिग्री इस मान की निकटता से शून्य (चित्र। 9.13) से निर्धारित होती है। और चूंकि यह संबंधित है, यह अंततः डेटा आवृत्ति फैलाव की डिग्री की विशेषता है। और चूंकि यह परिभाषित करता है

संभाव्यता सिद्धांत में सबसे प्रसिद्ध और अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला कानून सामान्य वितरण कानून है गॉस कानून .

मुख्य विशेषतासामान्य वितरण कानून इस तथ्य में निहित है कि यह अन्य वितरण कानूनों के लिए सीमित कानून है।

ध्यान दें कि सामान्य वितरण के लिए, अभिन्न कार्य का रूप है:

.

चलिए अब दिखाते हैंकि मापदंडों का संभाव्य अर्थ और इस प्रकार है: ए एक गणितीय अपेक्षा है, - सामान्य वितरण का मानक विचलन (अर्थात, ) :

क) एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

सच में

,

चूंकि अभिन्न चिह्न के तहत एक विषम कार्य है, और मूल के संबंध में एकीकरण की सीमाएं सममित हैं;

- पॉइसन इंटीग्रल .

तो, सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा पैरामीटर के बराबर है ए .

बी) एक सतत यादृच्छिक चर के फैलाव की परिभाषा के द्वारा और इसे ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं

.

भागों द्वारा एकीकृत करना, सेटिंग , पाना

इसलिये .

तो, सामान्य वितरण का मानक विचलन पैरामीटर के बराबर है।

यदि और सामान्य वितरण को सामान्यीकृत (या, मानक सामान्य) वितरण कहा जाता है। फिर, जाहिर है, सामान्यीकृत घनत्व (अंतर) और सामान्यीकृत अभिन्न वितरण फ़ंक्शन क्रमशः रूप में लिखा जाएगा:

(फ़ंक्शन, जैसा कि आप जानते हैं, लैपलेस फ़ंक्शन (लेक्चर 5 देखें) या प्रायिकता समाकलन कहलाता है। दोनों फलन, अर्थात्, , सारणीबद्ध हैं और उनके मान संबंधित तालिकाओं में दर्ज किए गए हैं)।

सामान्य वितरण गुण (सामान्य वक्र गुण):

1. स्पष्ट रूप से, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक फलन।

2. , यानी सामान्य वक्र अक्ष के ऊपर स्थित है ओह .

3. , वह है, अक्ष ओह ग्राफ के क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के रूप में कार्य करता है।

4. सामान्य वक्र एक सीधी रेखा के परितः सममित होता है एक्स = ए (तदनुसार, फ़ंक्शन का ग्राफ अक्ष के बारे में सममित है कहां ).

इसलिए, हम लिख सकते हैं: .

5. .

6. यह दिखाना आसान है कि अंक और सामान्य वक्र के विभक्ति बिंदु हैं (स्वयं को साबित करें)।

7.जाहिर सी बात है

लेकिन जबसे , तब . के अलावा , इसलिए, सभी विषम क्षण शून्य के बराबर हैं।

एक क्षण के लिए भी हम लिख सकते हैं:

8. .

9. .

10. , कहाँ पे ।

11. यादृच्छिक चर के ऋणात्मक मानों के लिए: , जहाँ .

13. वितरण केंद्र के सममितीय भूखंड पर एक यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता बराबर है:

उदाहरण 3. दिखाएँ कि एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक्स अपेक्षा से विचलित एम(एक्स) से अधिक नहीं ।

फेसला. सामान्य वितरण के लिए: .

दूसरे शब्दों में, प्रायिकता कि विचलन का निरपेक्ष मान पार हो जाएगातिगुना मानक विचलन बहुत छोटा है, अर्थात् 0.0027। इसका मतलब है कि केवल 0.27% मामलों में ही ऐसा हो सकता है। असंभावित घटनाओं की असंभवता के सिद्धांत पर आधारित ऐसी घटनाओं को व्यावहारिक रूप से असंभव माना जा सकता है।

तो, 0.9973 की संभावना वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सकता है, अर्थात, एक यादृच्छिक चर गणितीय अपेक्षा से अधिक नहीं से विचलित होता है।

उदाहरण 4. एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण की विशेषताओं को जानना एक्स - स्टील की तन्यता ताकत: किग्रा / मिमी 2 और किग्रा / मिमी 2, 31 किग्रा / मिमी 2 से 35 किग्रा / मिमी 2 की तन्य शक्ति के साथ स्टील प्राप्त करने की संभावना पाएं।

फेसला.

3. घातीय वितरण (घातीय वितरण कानून)

घातांक (घातीय) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है एक्स , जो एक अंतर फ़ंक्शन (वितरण घनत्व) द्वारा वर्णित है

जहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

घातीय वितरण परिभाषित किया गया है एकपैरामीटर। घातांकीय वितरण की यह विशेषता उन वितरणों पर इसके लाभ को इंगित करती है जो बड़ी संख्या में मापदंडों पर निर्भर करते हैं। आमतौर पर, पैरामीटर अज्ञात होते हैं और किसी को उनके अनुमान (अनुमानित मान) खोजने होते हैं; बेशक, दो, या तीन, आदि की तुलना में एक पैरामीटर का मूल्यांकन करना आसान है।

घातीय वितरण के अभिन्न कार्य को लिखना आसान है:

हमने एक विभेदक फलन का उपयोग करके घातांकीय वितरण को परिभाषित किया है; यह स्पष्ट है कि इसे अभिन्न कार्य का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

टिप्पणी: एक सतत यादृच्छिक चर पर विचार करें टी - उत्पाद के अपटाइम की अवधि। आइए हम इसके स्वीकृत मूल्यों को निरूपित करें टी ,। संचयी वितरण फलन को परिभाषित करता है विफलता की संभावनासमय की अवधि में उत्पाद टी . इसलिए, एक ही समय अवधि के लिए विफलता-मुक्त संचालन की संभावना टी , अर्थात्, विपरीत घटना की संभावना के बराबर है

परिभाषा। सामान्यएक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण कहा जाता है, जिसे संभाव्यता घनत्व द्वारा वर्णित किया जाता है

सामान्य वितरण भी कहा जाता है गॉस कानून.

संभाव्यता के सिद्धांत के लिए सामान्य वितरण कानून केंद्रीय है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह कानून सभी मामलों में प्रकट होता है जब एक यादृच्छिक चर बड़ी संख्या में विभिन्न कारकों का परिणाम होता है। अन्य सभी वितरण कानून सामान्य कानून के करीब आते हैं।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि वितरण घनत्व में शामिल पैरामीटर क्रमशः गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर X के मानक विचलन हैं।

वितरण समारोह खोजें एफ (एक्स).

सामान्य वितरण घनत्व प्लॉट को कहा जाता है सामान्य वक्रया गाऊसी वक्र.

एक सामान्य वक्र में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1) फ़ंक्शन को संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है।

2) सभी के लिए एक्सवितरण फ़ंक्शन केवल सकारात्मक मान लेता है।

3) OX अक्ष प्रायिकता घनत्व ग्राफ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है, क्योंकि तर्क के निरपेक्ष मूल्य में असीमित वृद्धि के साथ एक्स, फ़ंक्शन का मान शून्य हो जाता है।

4) फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं।

क्योंकि पर वाई'> 0पर एक्स< m और वाई'< 0 पर एक्स > एम, फिर बिंदु पर एक्स = टीफ़ंक्शन का अधिकतम बराबर है।

5) एक सीधी रेखा के संबंध में फलन सममित है एक्स = ए, क्योंकि अंतर

(एक्स - ए) चुकता वितरण घनत्व फलन में प्रवेश करती है।

6) ग्राफ के विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, हम घनत्व फलन का दूसरा अवकलज पाते हैं।

पर एक्स = एम+ एस और एक्स = एम- s दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, और इन बिंदुओं से गुजरने पर यह संकेत बदलता है, अर्थात। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन में एक विभक्ति होती है।

इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का मान है।

आइए वितरण घनत्व फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।

रेखांकन के लिए बनाए गए थे टी=0 और मानक विचलन के तीन संभावित मान s = 1, s = 2 और s = 7. जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे मानक विचलन का मान बढ़ता है, ग्राफ़ चापलूसी हो जाता है, और अधिकतम मान घट जाता है।

यदि एक ए> 0, तो ग्राफ धनात्मक दिशा में शिफ्ट होगा यदि ए < 0 – в отрицательном.

पर ए= 0 और s = 1 वक्र कहलाता है सामान्यीकृत. सामान्यीकृत वक्र समीकरण:

संक्षिप्तता के लिए, हम कहते हैं कि सीवी एक्स कानून एन (एम, एस) का पालन करता है, यानी। एक्स ~ एन (एम, एस)। पैरामीटर एम और एस वितरण की मुख्य विशेषताओं के साथ मेल खाते हैं: एम = एम एक्स, एस = एस एक्स =। यदि एसवी एक्स ~ एन(0, 1), तो इसे कहा जाता है मानकीकृत सामान्य मूल्य. DF को एक मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है लाप्लास समारोहऔर के रूप में निरूपित किया जाता है (एक्स). इसका उपयोग सामान्य वितरण एन (एम, एस) के लिए अंतराल संभावनाओं की गणना के लिए किया जा सकता है:

पी (एक्स 1 £ एक्स< x 2) = Ф - Ф .

सामान्य वितरण पर समस्याओं को हल करते समय, लैपलेस फ़ंक्शन के सारणीबद्ध मूल्यों का उपयोग करना अक्सर आवश्यक होता है। चूंकि लैपलेस फ़ंक्शन संबंध को संतुष्ट करता है एफ (-एक्स) = 1 - एफ (एक्स), तो यह फ़ंक्शन के सारणीबद्ध मानों के लिए पर्याप्त है एफ (एक्स)केवल सकारात्मक तर्क मूल्यों के लिए।

गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित अंतराल को मारने की संभावना के लिए, निम्न सूत्र सत्य है: P(|X - m X |< e) = 2×एफ (ई / एस) - 1.

सामान्य वितरण के केंद्रीय क्षण पुनरावर्ती संबंध को संतुष्ट करते हैं: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... । इसका तात्पर्य यह है कि विषम क्रम के सभी केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होते हैं (चूंकि m 1 = 0)।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर किसी दिए गए अंतराल में आता है।

निरूपित

क्योंकि अभिन्न को प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है, फिर फ़ंक्शन को विचार में पेश किया जाता है

,

इससे कहते है लाप्लास समारोहया संभाव्यता अभिन्न.

विभिन्न मूल्यों के लिए इस फ़ंक्शन के मान एक्सगणना और विशेष तालिकाओं में प्रस्तुत किया।

नीचे लाप्लास फ़ंक्शन का एक ग्राफ है।

लैपलेस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

2) एफ (- एक्स) = - एफ ( एक्स);

लैपलेस फ़ंक्शन को भी कहा जाता है त्रुटि समारोहऔर erf . को निरूपित करें एक्स.

अभी भी प्रयोग में है सामान्यीकृतलैपलेस फ़ंक्शन, जो संबंध द्वारा लैपलेस फ़ंक्शन से संबंधित है:

नीचे सामान्यीकृत लाप्लास फ़ंक्शन का एक प्लॉट है।

सामान्य वितरण पर विचार करते समय, एक महत्वपूर्ण विशेष मामले को प्रतिष्ठित किया जाता है, जिसे के रूप में जाना जाता है तीन सिग्मा नियम.

आइए इस संभावना को लिखें कि गणितीय अपेक्षा से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचलन किसी दिए गए मान D से कम है:

यदि हम D = 3s स्वीकार करते हैं, तो हम लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका का उपयोग करके प्राप्त करते हैं:

वे। संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अपनी गणितीय अपेक्षा से तीन गुना से अधिक मानक विचलन से विचलन करता है व्यावहारिक रूप से शून्य है।

इस नियम को कहा जाता है तीन सिग्मा नियम.

व्यवहार में, यह माना जाता है कि यदि किसी यादृच्छिक चर के लिए तीन सिग्मा का नियम संतुष्ट होता है, तो इस यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण होता है।

उदाहरण।ट्रेन में 100 वैगन होते हैं। प्रत्येक वैगन का द्रव्यमान गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है ए= 65 t और मानक विचलन s = 0.9 t। लोकोमोटिव 6600 t से अधिक वजन वाली ट्रेन नहीं ले जा सकता है, अन्यथा दूसरा लोकोमोटिव संलग्न करना आवश्यक है। दूसरे लोकोमोटिव की आवश्यकता नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

दूसरे लोकोमोटिव की आवश्यकता नहीं है यदि अपेक्षित एक (100 × 65 = 6500) से ट्रेन के द्रव्यमान का विचलन 6600 - 6500 = 100 टन से अधिक नहीं है।

क्योंकि प्रत्येक कार के द्रव्यमान का सामान्य वितरण होता है, तो पूरी ट्रेन का द्रव्यमान भी सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा।

हम पाते हैं:

उदाहरण।एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर X इसके मापदंडों द्वारा दिया जाता है - ए \u003d 2 -गणितीय अपेक्षा और s = 1 - मानक विचलन। प्रायिकता घनत्व को लिखना और उसे प्लॉट करना आवश्यक है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि X अंतराल (1; 3) से एक मान लेगा, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि X गणितीय अपेक्षा से 2 से अधिक नहीं भटकता (मॉड्यूलो) है।

वितरण घनत्व का रूप है:

आइए एक ग्राफ बनाएं:

आइए अंतराल (1; 3) में एक यादृच्छिक चर के हिट होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक चर गणितीय अपेक्षा से 2 से अधिक के मान से विचलित नहीं होता है।

सामान्यीकृत लैपलेस फ़ंक्शन का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

व्याख्यान 8 बड़ी संख्या का नियम(धारा 2)

व्याख्यान योजना

केंद्रीय सीमा प्रमेय (सामान्य सूत्रीकरण और स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए विशेष सूत्रीकरण)।

चेबीशेव की असमानता।

चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या का कानून।

घटना आवृत्ति की अवधारणा।

संभाव्यता की सांख्यिकीय समझ।

बर्नौली रूप में बड़ी संख्या का नियम।

सांख्यिकीय नियमितताओं के अध्ययन ने यह स्थापित करना संभव बना दिया कि कुछ शर्तों के तहत बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का कुल व्यवहार लगभग अपना यादृच्छिक चरित्र खो देता है और नियमित हो जाता है (दूसरे शब्दों में, कुछ औसत व्यवहार से यादृच्छिक विचलन एक दूसरे को रद्द कर देते हैं)। विशेष रूप से, यदि व्यक्तिगत शर्तों के योग पर प्रभाव समान रूप से छोटा है, तो राशि के वितरण का नियम सामान्य हो जाता है। इस कथन का गणितीय सूत्रीकरण प्रमेयों के एक समूह में दिया गया है जिसे कहा जाता है बड़ी संख्या का नियम.

बड़ी संख्या का कानून- एक सामान्य सिद्धांत, जिसके आधार पर यादृच्छिक कारकों की संयुक्त क्रिया, कुछ बहुत ही सामान्य परिस्थितियों में, एक परिणाम के लिए लगभग स्वतंत्र होती है। इस सिद्धांत के संचालन का पहला उदाहरण परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ एक यादृच्छिक घटना की घटना की आवृत्ति का अभिसरण है (अक्सर व्यवहार में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, किसी भी गुणवत्ता की घटना की आवृत्ति का उपयोग करते समय) नमूने में प्रतिवादी की संबंधित संभाव्यता के नमूना अनुमान के रूप में)।

सार बड़ी संख्या का नियमयह है कि बड़ी संख्या में स्वतंत्र प्रयोगों के साथ, किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति उसकी संभावना के करीब होती है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) (समान रूप से वितरित आरवी के लिए ल्यपुनोव एएम के निर्माण में)।यदि जोड़ीवार स्वतंत्र RVs X 1 , X 2 , ..., X n , ... में परिमित संख्यात्मक विशेषताओं M = m और D = s 2 के साथ समान वितरण नियम है, तो n ® के लिए RV का वितरण नियम अनिश्चित काल तक सामान्य नियम N(n×m, ) के निकट पहुँचता है।

परिणाम।यदि सीबी प्रमेय की स्थिति में है , तब n ® के रूप में SW Y के वितरण का नियम सामान्य नियम N(m, s/ ) के अनिश्चित काल तक पहुंचता है।

डी मोइवरे-लाप्लास प्रमेय।एसवी के बर्नौली योजना के अनुसार एन परीक्षणों में "सफलताओं" की संख्या होने दें। फिर, n ® और एक परीक्षण p में "सफलता" की संभावना के एक निश्चित मूल्य के लिए, RV K का वितरण कानून अनिश्चित काल के लिए सामान्य कानून N(n×p, ) के करीब पहुंचता है।

परिणाम।यदि प्रमेय की स्थिति में, SV K के बजाय, हम SV K/n पर विचार करते हैं - बर्नौली योजना के अनुसार n परीक्षणों में "सफलताओं" की आवृत्ति, तो n ® के लिए इसका वितरण कानून और p का एक निश्चित मान दृष्टिकोण सामान्य कानून एन (पी, ) अनिश्चित काल के लिए।

टिप्पणी।एसवी के बर्नौली योजना के अनुसार एन परीक्षणों में "सफलताओं" की संख्या होने दें। ऐसे SW के वितरण का नियम द्विपद नियम है। फिर, n® के रूप में, द्विपद नियम के दो सीमा वितरण हैं:

एन वितरण प्वासों(n ® और l = n×p = const के लिए);

एन वितरण गाऊसी N(n×p, ) (n ® और p = const के लिए)।

उदाहरण।एक परीक्षण में "सफलता" की संभावना केवल p = 0.8 है। कितने परीक्षण किए जाने चाहिए ताकि कम से कम 0.9 की संभावना के साथ हम उम्मीद कर सकें कि बर्नौली योजना के अनुसार परीक्षणों में "सफलता" की देखी गई आवृत्ति संभावना पी से ई = 0.01 से अधिक नहीं है?

फेसला।तुलना के लिए, हम समस्या को दो तरह से हल करते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में, काफी बड़ी संख्या में विभिन्न वितरण कानूनों पर विचार किया जाता है। नियंत्रण चार्ट के निर्माण से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए, उनमें से केवल कुछ ही रुचि के हैं। उनमें से सबसे महत्वपूर्ण है सामान्य वितरण कानून, जिसका उपयोग नियंत्रण चार्ट बनाने के लिए किया जाता है मात्रात्मक नियंत्रण, अर्थात। जब हम एक सतत यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं। सामान्य वितरण कानून अन्य वितरण कानूनों के बीच एक विशेष स्थान रखता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि, सबसे पहले, यह व्यवहार में सबसे अधिक बार सामना किया जाता है, और दूसरी बात, यह सीमित कानून है, जिसके लिए वितरण दृष्टिकोण के अन्य कानूनों को अक्सर विशिष्ट परिस्थितियों का सामना करना पड़ता है। दूसरी परिस्थिति के लिए, संभाव्यता सिद्धांत में यह साबित हो गया है कि किसी भी वितरण कानूनों (कुछ बहुत ही गैर-कठोर प्रतिबंधों के अधीन) के अधीन पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र (या कमजोर निर्भर) यादृच्छिक चर का योग लगभग सामान्य कानून का पालन करता है। , और यह जितना अधिक सटीक रूप से किया जाता है, यादृच्छिक चरों की संख्या उतनी ही अधिक होती है। व्यवहार में आने वाले अधिकांश यादृच्छिक चर, जैसे, उदाहरण के लिए, माप त्रुटियों को अपेक्षाकृत छोटी शर्तों की एक बहुत बड़ी संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - प्राथमिक त्रुटियां, जिनमें से प्रत्येक एक अलग कारण की कार्रवाई के कारण स्वतंत्र होती है दूसरों की। सामान्य नियम तब होता है जब यादृच्छिक चर एक्सविभिन्न कारकों की एक बड़ी संख्या का परिणाम है। प्रत्येक कारक अलग से मूल्य एक्सथोड़ा प्रभावित करता है, और यह निर्दिष्ट करना असंभव है कि कौन दूसरे की तुलना में अधिक हद तक प्रभावित करता है।

सामान्य वितरण(लाप्लास-गॉस वितरण) एक सतत यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है एक्सऐसा है कि प्रायिकता वितरण घनत्व -<х< + ¥ принимает действительное значение:

ऍक्स्प (3)

यही है, सामान्य वितरण दो पैरामीटर एम और एस द्वारा विशेषता है, जहां एम गणितीय अपेक्षा है; s सामान्य वितरण का मानक विचलन है।

एस मूल्य 2 सामान्य वितरण का विचरण है।

गणितीय अपेक्षा m वितरण केंद्र की स्थिति की विशेषता है, और मानक विचलन s (RMS) एक फैलाव विशेषता है (चित्र 3)।

एफ (एक्स) एफ (एक्स)

चित्रा 3 - सामान्य वितरण के घनत्व कार्यों के साथ:

ए) विभिन्न गणितीय अपेक्षाएं एम; बी) विभिन्न आरएमएस एस।

इस प्रकार, मान μ x-अक्ष पर वितरण वक्र की स्थिति से निर्धारित होता है। आयाम μ - यादृच्छिक चर के आयाम के समान एक्स. जैसे-जैसे गणितीय अपेक्षा बढ़ती है, दोनों फलन दाईं ओर समानांतर चलते हैं। घटते विचरण के साथ 2 घनत्व अधिक से अधिक m के आसपास केंद्रित हो जाता है, जबकि वितरण कार्य अधिक से अधिक स्थिर हो जाता है।

का मान वितरण वक्र के आकार को निर्धारित करता है। चूंकि वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र हमेशा एकता के बराबर रहना चाहिए, जैसे-जैसे बढ़ता है, वितरण वक्र चपटा हो जाता है। अंजीर पर। 3.1 विभिन्न के लिए तीन वक्र दिखाता है: 1 = 0.5; σ2 = 1.0; 3 = 2.0।

चित्र 3.1 - सामान्य वितरण के घनत्व फलन के साथविभिन्न आरएमएस एस।

वितरण फलन (अभिन्न फलन) का रूप है (चित्र 4):

(4)

चित्र 4 - अभिन्न (ए) और अंतर (बी) सामान्य वितरण कार्य

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का रैखिक परिवर्तन विशेष महत्व का है एक्स, जिसके बाद एक यादृच्छिक चर प्राप्त होता है जेडगणितीय अपेक्षा 0 और विचरण के साथ 1. इस तरह के परिवर्तन को सामान्यीकरण कहा जाता है:

यह प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए किया जा सकता है। सामान्यीकरण सामान्य वितरण के सभी संभावित रूपों को एक मामले में कम करने की अनुमति देता है: एम = 0, एस = 1।

एम = 0, एस = 1 के साथ सामान्य वितरण कहा जाता है सामान्यीकृत सामान्य वितरण (मानकीकृत).

मानक सामान्य वितरण(मानक लाप्लास-गॉस वितरण या सामान्यीकृत सामान्य वितरण) एक मानकीकृत सामान्य यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है जेड, जिसका वितरण घनत्व बराबर है:

पर -<जेड< + ¥

फ़ंक्शन मान (जेड)सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(7)

फ़ंक्शन मान (जेड)और घनत्व एफ (जेड)सामान्यीकृत सामान्य वितरण की गणना और सारणीबद्ध (सारणीबद्ध) में की जाती है। तालिका केवल सकारात्मक मूल्यों के लिए संकलित की गई है जेडइसीलिए:

एफ (–जेड) = 1–(जेड) (8)

इन तालिकाओं का उपयोग करके, कोई न केवल फ़ंक्शन के मूल्यों और किसी दिए गए सामान्यीकृत सामान्य वितरण के घनत्व को निर्धारित कर सकता है जेड, लेकिन सामान्य सामान्य वितरण फ़ंक्शन के मान भी, क्योंकि:

; (9)

. 10)

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर से संबंधित कई समस्याओं में, यादृच्छिक चर के टकराने की संभावना निर्धारित करना आवश्यक है एक्स, एक निश्चित क्षेत्र के लिए पैरामीटर एम और एस के साथ सामान्य कानून के अधीन। ऐसी साइट हो सकती है, उदाहरण के लिए, ऊपरी मान से एक पैरामीटर के लिए एक सहिष्णुता क्षेत्र यूनीचे ली.

से अंतराल में गिरने की प्रायिकता एक्स 1 से एक्स 2 सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर (पैरामीटर मान) से टकराने की संभावना एक्ससहिष्णुता क्षेत्र में सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कोई प्रायिकता ज्ञात कर सकता है कि एक यादृच्छिक चर एक्सμ . के भीतर होगा कएस . के लिए मान प्राप्त किया क= 1,2 और 3 निम्नलिखित हैं (आकृति 5 भी देखें):

इस प्रकार, यदि कोई मान थ्री-सिग्मा क्षेत्र के बाहर दिखाई देता है, जिसमें सभी संभावित मूल्यों का 99.73% शामिल है, और ऐसी घटना होने की संभावना बहुत कम (1:270) है, तो यह माना जाना चाहिए कि विचाराधीन मूल्य निकला बहुत छोटा या बहुत बड़ा होना यादृच्छिक भिन्नता के कारण नहीं, बल्कि प्रक्रिया में महत्वपूर्ण हस्तक्षेप के कारण, वितरण की प्रकृति में परिवर्तन करने में सक्षम है।

थ्री-सिग्मा सीमाओं के भीतर स्थित क्षेत्र को भी कहा जाता है सांख्यिकीय सहिष्णुता क्षेत्रप्रासंगिक मशीन या प्रक्रिया।