सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहां तक ​​कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में देखा जा सकता है, वह है गणित। इस विज्ञान का अध्ययन आपको कुछ मानसिक गुणों को विकसित करने, ध्यान केंद्रित करने की क्षमता में सुधार करने की अनुमति देता है। "गणित" पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक अंशों का जोड़ और घटाव है। कई छात्रों को पढ़ाई में परेशानी होती है। शायद हमारा लेख इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

भिन्नों को कैसे घटाएं जिनके हर समान हैं

भिन्न वही संख्याएँ हैं जिनके साथ आप विभिन्न क्रियाएँ कर सकते हैं। पूर्णांकों से उनका अंतर हर की उपस्थिति में होता है। इसीलिए भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला साधारण अंशों का घटाव है, जिनमें से हर को एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया करना कठिन नहीं होगा:

• एक भिन्न में से दूसरी को घटाने के लिए घटी हुई भिन्न के अंश से घटाई जाने वाली भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। हम इस संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ते हैं: k / m - b / m = (k-b) / m।

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

घटाए गए अंश "7" के अंश से घटाए गए अंश "3" के अंश को घटाएं, हमें "4" मिलता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे अंश के हर में थी - "19"।

नीचे दिया गया चित्र ऐसे ही कुछ और उदाहरण दिखाता है।

एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

घटाए गए अंश "29" के अंश से, बाद के सभी अंशों के अंशों को घटाकर - "3", "8", "2", "7"। नतीजतन, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी अंशों के हर में है - "47"।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।

• समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहता है: k/m + b/m = (k + b)/m।

आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसा दिखता है:

1/4 + 2/4 = 3/4.

भिन्न के पहले पद के अंश में - "1" - हम भिन्न के दूसरे पद का अंश - "2" जोड़ते हैं। परिणाम - "3" - राशि के अंश में लिखा जाता है, और भाजक को वही छोड़ दिया जाता है जो भिन्नों में मौजूद था - "4"।

भिन्न हर के साथ भिन्न और उनका घटाव

हम पहले ही भिन्नों वाली क्रिया पर विचार कर चुके हैं जिनका हर समान है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल नियमों को जानना, ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको भिन्नों के साथ एक क्रिया करने की ज़रूरत है जिसमें अलग-अलग हर हैं? हाई स्कूल के कई छात्र ऐसे उदाहरणों से भ्रमित हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कठिन नहीं होंगे। यहां एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे अंशों का समाधान असंभव है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, उन्हें एक ही सबसे छोटे हर में घटाया जाना चाहिए।



यह कैसे करना है, इसके बारे में हम अधिक विस्तार से बात करेंगे।

भिन्न गुण

एक ही हर में कई भिन्नों को कम करने के लिए, आपको समाधान में भिन्न की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको दिए गए के बराबर भिन्न मिलता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में "6", "9", "12", आदि जैसे हर हो सकते हैं, अर्थात यह किसी भी संख्या की तरह दिख सकता है जो "3" का गुणज है। जब हम अंश और हर को "2" से गुणा करते हैं, तो हमें 4/6 का अंश मिलता है। जब हम मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करते हैं, तो हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम "4" संख्या के साथ समान क्रिया करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समीकरण में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एक ही हर में कई भिन्न कैसे लाएँ?

विचार करें कि एक ही हर में कई अंशों को कैसे कम किया जाए। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। इसे आसान बनाने के लिए, आइए उपलब्ध हरों को कारकों में विघटित करें।

भिन्न 1/2 और भिन्न 2/3 के हर का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। 7/9 के हर के दो गुणनखंड हैं 7/9 = 7/(3 x 3), भिन्न का हर 5/6 = 5/(2 x 3)। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन चारों भिन्नों के लिए कौन से गुणनखंड सबसे छोटे होंगे। चूंकि पहले अंश में हर में "2" संख्या होती है, इसका मतलब है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए, अंश 7/9 में दो त्रिगुण हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें भी हर में मौजूद होना चाहिए। उपरोक्त को देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3 = 18 के बराबर होता है।



पहले भिन्न पर विचार करें - 1/2। इसके हर में "2" है, लेकिन एक भी "3" नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो त्रिगुणों से गुणा करते हैं, लेकिन, अंश की संपत्ति के अनुसार, हमें अंश को दो त्रिगुणों से गुणा करना होगा:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18।

इसी तरह, हम शेष भिन्नों के साथ क्रिया करते हैं।

• 2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब हैं:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18।
• 7/9 या 7/(3 x 3) - हर में दो गायब हैं:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18।
• 5/6 या 5/(2 x 3) - हर में एक ट्रिपल गायब है:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18।

सब एक साथ ऐसा दिखता है:



भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलग-अलग हर के साथ अंशों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर उसी हर के साथ अंशों को घटाने के नियमों का उपयोग करना चाहिए, जिनका पहले ही वर्णन किया जा चुका है।

एक उदाहरण के साथ इस पर विचार करें: 4/18 - 3/15।

18 और 15 के गुणज ज्ञात करना:

• संख्या 18 में 3 x 2 x 3 होते हैं।
• संख्या 15 में 5 x 3 होते हैं।
• सार्व गुणक में निम्नलिखित गुणनखंड 5 x 3 x 3 x 2 = 90 होंगे।

हर के मिलने के बाद, एक कारक की गणना करना आवश्यक है जो प्रत्येक भिन्न के लिए अलग होगा, अर्थात वह संख्या जिससे न केवल हर को, बल्कि अंश को भी गुणा करना आवश्यक होगा। ऐसा करने के लिए, हम उस संख्या को विभाजित करते हैं जो हमें मिली (सामान्य गुणक) भिन्न के हर से होती है जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

• 90 को 15 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "6" 3/15 के लिए गुणक होगी।
• 90 को 18 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "5" 4/18 के लिए गुणक होगी।

हमारे समाधान में अगला कदम प्रत्येक भिन्न को हर "90" में लाना है।

हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि यह कैसे किया जाता है। आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसे लिखा जाता है:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।

यदि भिन्न छोटी संख्या के साथ हैं, तो आप सामान्य हर का निर्धारण कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।



इसी तरह उत्पादित और अलग-अलग हर वाले।

घटाव और पूर्णांक भाग होना

भिन्नों का घटाव और उनका योग, हम पहले ही विस्तार से विश्लेषण कर चुके हैं। लेकिन अगर अंश में पूर्णांक भाग है तो घटाना कैसे करें? फिर से, आइए कुछ नियमों का उपयोग करें:

• उन सभी भिन्नों को परिवर्तित करें जिनका पूर्णांक भाग अनुचित है। सरल शब्दों में, पूरे भाग को हटा दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग की संख्या को भिन्न के हर से गुणा किया जाता है, परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है। इन क्रियाओं के बाद प्राप्त होने वाली संख्या एक अनुचित भिन्न का अंश होती है। भाजक अपरिवर्तित रहता है।
• यदि भिन्नों के अलग-अलग हर हैं, तो उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए।
• एक ही हर के साथ जोड़ या घटाव करें।
• अनुचित अंश प्राप्त करते समय, पूरे भाग का चयन करें।



एक और तरीका है जिसके द्वारा आप पूर्णांक भागों के साथ भिन्न जोड़ और घटा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, क्रियाओं को अलग-अलग पूर्णांक भागों के साथ, और अलग-अलग अंशों के साथ किया जाता है, और परिणाम एक साथ दर्ज किए जाते हैं।



उपरोक्त उदाहरण में भिन्न हैं जिनका हर समान है। उस स्थिति में जब हर अलग-अलग होते हैं, उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए, और फिर उदाहरण में दिखाए गए चरणों का पालन करें।

एक पूर्ण संख्या से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के साथ क्रियाओं की एक और किस्म वह स्थिति है जब अंश से घटाया जाना चाहिए पहली नज़र में, ऐसा उदाहरण हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ काफी सरल है। इसे हल करने के लिए, एक पूर्णांक को भिन्न में बदलना आवश्यक है, और ऐसे हर के साथ, जो घटाए जाने वाले भिन्न में हो। अगला, हम समान हर के साथ घटाव के समान घटाव करते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।

इस लेख (ग्रेड 6) में दिए गए भिन्नों का घटाव अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने का आधार है, जिन पर बाद की कक्षाओं में विचार किया जाएगा। इस विषय का ज्ञान बाद में कार्यों, डेरिवेटिव आदि को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ क्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियम बहुत सरल हैं।

चरणों में भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियमों पर विचार करें:

1. हर के एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) का पता लगाएं। परिणामी LCM भिन्नों का सामान्य हर होगा;

2. भिन्नों को एक समान हर में लाएँ;

3. एक सामान्य हर में घटाई गई भिन्नों को जोड़ें।

एक सरल उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम सीखेंगे कि भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के नियमों को कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने का एक उदाहरण।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें:

1	+	5
6		12

आइए कदम से कदम तय करें।

1. हर के एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) का पता लगाएं।

संख्या 12 6 से विभाज्य है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 12 संख्याओं 6 और 12 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर: अंक 6 और 12 का अंक 12 है:

एलसीएम (6, 12) = 12

परिणामी एनओसी दो भिन्नों 1/6 और 5/12 का सामान्य हर होगा।

2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

हमारे उदाहरण में, केवल पहले अंश को 12 के एक सामान्य भाजक तक कम करने की आवश्यकता है, क्योंकि दूसरे अंश में पहले से ही 12 का हर है।

12 के आम भाजक को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें:

2 में एक अतिरिक्त गुणक है।

पहले भिन्न (1/6) के अंश और हर को 2 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

,

,

एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि इकाई से एक भिन्न को घटाना आवश्यक है जो सही है, तो इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न को घटाने का एक उदाहरण:

घटाई जाने वाली भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्ण संख्या से एक उचित अंश घटाना।

भिन्नों को घटाने के नियम -पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त अंशों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं - हम अंश में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

एक पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाना: हम एक प्राकृत संख्या को एक मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक इकाई को एक प्राकृत संख्या में लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

अंश घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित अंश 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक अंश घटाया।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCD) में लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक)प्राकृत संख्याएँ जो दी गई भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को कम किए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर मिश्रित भिन्नों का घटाव (संख्या)अलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीअंश के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग का अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग विभिन्नहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, और फिर हम पूर्णांक भाग को पूर्णांक से और भिन्न को भिन्नात्मक से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मिन्यूएंड का फ्रैक्शनल पार्ट सबट्रेंड के फ्रैक्शनल पार्ट से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम पूर्णांक भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में लाते हैं। = 18.

अंश में दाईं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में दाईं ओर से कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते हैं। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं:

भिन्न साधारण संख्याएँ हैं, इन्हें जोड़ा और घटाया भी जा सकता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि उनके पास एक भाजक है, यहां पूर्णांकों की तुलना में अधिक जटिल नियमों की आवश्यकता है।

सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक ही हर के साथ दो भिन्न हों। फिर:

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे के अंश को घटाना आवश्यक है, और फिर से हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रत्येक व्यंजक में भिन्नों के हर बराबर होते हैं। भिन्नों के जोड़ और घटाव की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है: बस अंशों को जोड़ें या घटाएं - और बस।

लेकिन इस तरह के साधारण कार्यों में भी लोग गलती करने में सफल हो जाते हैं। बहुधा वे यह भूल जाते हैं कि भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, उन्हें जोड़ते समय, वे भी जोड़ना शुरू कर देते हैं, और यह मौलिक रूप से गलत है।

हर को जोड़ने की बुरी आदत से छुटकारा पाना काफी सरल है। घटाते समय भी ऐसा ही करने की कोशिश करें। नतीजतन, हर शून्य होगा, और अंश (अचानक!) अपना अर्थ खो देगा।

इसलिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें: जोड़ने और घटाने पर, भाजक नहीं बदलता है!

साथ ही, बहुत से लोग अनेक ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय गलतियाँ करते हैं। संकेतों के साथ भ्रम है: माइनस कहां लगाना है, और कहां - प्लस।

इस समस्या का समाधान भी बहुत आसान है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि अंश चिह्न से पहले का ऋण हमेशा अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है - और इसके विपरीत। और हां, दो सरल नियमों को न भूलें:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ इन सबका विश्लेषण करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, सब कुछ सरल है, और दूसरे में, हम अंशों के अंशों में माइनस जोड़ देंगे:

क्या होगा यदि हर अलग हैं

आप भिन्न हर के साथ भिन्नों को सीधे नहीं जोड़ सकते। कम से कम, यह विधि मेरे लिए अज्ञात है। हालाँकि, मूल भिन्नों को हमेशा फिर से लिखा जा सकता है ताकि हर समान बन जाएँ।

भिन्नों को परिवर्तित करने के कई तरीके हैं। उनमें से तीन पर पाठ में चर्चा की गई है " एक आम भाजक के लिए अंश लाना", इसलिए हम यहां उन पर ध्यान नहीं देंगे। आइए कुछ उदाहरण देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, हम "क्रॉस-वाइज" विधि का उपयोग करके भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। दूसरे में, हम एलसीएम की तलाश करेंगे। ध्यान दें कि 6 = 2 3; 9 = 3 · 3। इन विस्तारों में अंतिम कारक समान हैं, और पहले वाले सहअभाज्य हैं। इसलिए, एलसीएम(6; 9) = 2 3 3 = 18।

क्या होगा यदि भिन्न में एक पूर्णांक भाग है

मैं आपको खुश कर सकता हूं: भिन्नों के विभिन्न भाजक सबसे बड़ी बुराई नहीं हैं। बहुत अधिक त्रुटियाँ तब होती हैं जब पूरे भाग को भिन्नात्मक शब्दों में हाइलाइट किया जाता है।

बेशक, ऐसे अंशों के लिए स्वयं के जोड़ और घटाव एल्गोरिदम हैं, लेकिन वे जटिल हैं और एक लंबे अध्ययन की आवश्यकता है। नीचे दिए गए सरल आरेख का बेहतर उपयोग करें:

1. पूर्णांक भाग वाले सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें। हमें सामान्य पद मिलते हैं (भले ही विभिन्न हरों के साथ), जिनकी गणना ऊपर वर्णित नियमों के अनुसार की जाती है;
2. दरअसल, परिणामी भिन्नों के योग या अंतर की गणना करें। नतीजतन, हम व्यावहारिक रूप से उत्तर पाएंगे;
3. यदि यह वह सब है जो कार्य में आवश्यक था, तो हम उलटा परिवर्तन करते हैं, अर्थात। हम इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट करते हुए, अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं।

अनुचित भिन्नों पर स्विच करने और पूर्णांक भाग को हाइलाइट करने के नियमों को "संख्यात्मक अंश क्या है" पाठ में विस्तार से वर्णित किया गया है। यदि आपको याद नहीं है, तो दोहराना सुनिश्चित करें। उदाहरण:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रत्येक व्यंजक के अंदर हर बराबर होते हैं, इसलिए यह सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलने और गिनने के लिए बना रहता है। हमारे पास है:

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने पिछले उदाहरणों में कुछ स्पष्ट चरणों को छोड़ दिया।

पिछले दो उदाहरणों के लिए एक छोटा नोट, जहां हाइलाइट किए गए पूर्णांक वाले अंशों को घटाया जाता है। दूसरे भिन्न से पहले के माइनस का अर्थ है कि यह संपूर्ण भिन्न है जिसे घटाया जाता है, न कि केवल उसका पूरा भाग।

इस वाक्य को दोबारा पढ़ें, उदाहरणों को देखें और इसके बारे में सोचें। यह वह जगह है जहाँ शुरुआती बहुत सारी गलतियाँ करते हैं। वे ऐसे कार्यों को नियंत्रण कार्य पर देना पसंद करते हैं। इस पाठ के लिए परीक्षाओं में आप उनसे बार-बार मिलेंगे, जो शीघ्र ही प्रकाशित किया जाएगा।

सारांश: कंप्यूटिंग की सामान्य योजना

अंत में, मैं एक सामान्य एल्गोरिथम दूंगा जो आपको दो या दो से अधिक अंशों का योग या अंतर खोजने में मदद करेगा:

1. यदि पूर्णांक भाग को एक या अधिक भिन्नों में हाइलाइट किया जाता है, तो इन भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें;
2. आपके लिए सुविधाजनक किसी भी तरह से सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (जब तक कि, निश्चित रूप से, समस्याओं के संकलक ने ऐसा नहीं किया);
3. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों के अनुसार परिणामी संख्याओं को जोड़ें या घटाएं;
4. हो सके तो परिणाम कम करें। यदि भिन्न गलत निकला, तो पूरे भाग का चयन करें।

याद रखें कि उत्तर लिखने से ठीक पहले, कार्य के अंत में पूरे भाग को हाइलाइट करना बेहतर है।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

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एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि इकाई से एक भिन्न को घटाना आवश्यक है जो सही है, तो इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न को घटाने का एक उदाहरण:

घटाई जाने वाली भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्ण संख्या से एक उचित अंश घटाना।

भिन्नों को घटाने के नियम -पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त अंशों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं - हम अंश में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

एक पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाना: हम एक प्राकृत संख्या को एक मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक इकाई को एक प्राकृत संख्या में लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

अंश घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित अंश 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक अंश घटाया।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCD) में लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक)प्राकृत संख्याएँ जो दी गई भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को कम किए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर मिश्रित भिन्नों का घटाव (संख्या)अलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीअंश के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग का अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग विभिन्नहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, और फिर हम पूर्णांक भाग को पूर्णांक से और भिन्न को भिन्नात्मक से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मिन्यूएंड का फ्रैक्शनल पार्ट सबट्रेंड के फ्रैक्शनल पार्ट से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम पूर्णांक भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में लाते हैं। = 18.

अंश में दाईं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में दाईं ओर से कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते हैं। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं: