परिभाषा

अवधि- यह न्यूनतम समय है जिसके लिए एक पूर्ण दोलन आंदोलन किया जाता है।

अवधि को $T$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

जहां $\Delta t$ - दोलन समय; $N$ - पूर्ण दोलनों की संख्या।

एक स्प्रिंग लोलक के दोलन का समीकरण

सबसे सरल दोलन प्रणाली पर विचार करें जिसमें यांत्रिक दोलनों को महसूस किया जा सकता है। यह एक वसंत पर निलंबित द्रव्यमान $m$ का भार है, जिसका लोच गुणांक $k\ $(fig.1) के बराबर है। भार के ऊर्ध्वाधर संचलन पर विचार करें, जो गुरुत्वाकर्षण की क्रिया और वसंत के लोचदार बल के कारण होता है। ऐसी प्रणाली के संतुलन की स्थिति में, लोच का बल गुरुत्वाकर्षण बल के परिमाण के बराबर होता है। स्प्रिंग पेंडुलम का दोलन तब होता है जब सिस्टम को संतुलन से बाहर ले जाया जाता है, उदाहरण के लिए, स्प्रिंग को थोड़ा अतिरिक्त खींचकर, जिसके बाद पेंडुलम अपने आप में छोड़ दिया जाता है।

आइए मान लें कि भार के द्रव्यमान की तुलना में वसंत का द्रव्यमान छोटा है; दोलनों का वर्णन करते समय हम इसे ध्यान में नहीं रखेंगे। संदर्भ बिंदु को समन्वय अक्ष (X) पर एक बिंदु माना जाता है, जो भार की संतुलन स्थिति के साथ मेल खाता है। इस स्थिति में, वसंत में पहले से ही एक विस्तार होता है, जिसे हम $b$ से निरूपित करते हैं। वसंत का तनाव भार पर गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के कारण होता है, इसलिए:

यदि भार को अतिरिक्त रूप से विस्थापित किया जाता है, लेकिन हुक का नियम अभी भी पूरा होता है, तो वसंत बल बराबर हो जाता है:

हम लोड के त्वरण को लिखते हैं, यह याद करते हुए कि आंदोलन एक्स अक्ष के साथ होता है, जैसे:

भार के लिए न्यूटन का दूसरा नियम रूप लेता है:

हम खाते में समानता (2) लेते हैं, सूत्र (5) को रूप में बदल दिया जाता है:

यदि हम संकेतन का परिचय देते हैं: $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$, तो हम दोलन समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\बाएं(7\दाएं),\]

जहां $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ वसंत लोलक के दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है। समीकरण का हल (7) (यह प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित है) कार्य है:

जहां $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ पेंडुलम की चक्रीय दोलन आवृत्ति है, $A$ दोलन आयाम है; $((\omega )_0t+\varphi)$ - दोलन चरण; $\varphi $ और $(\varphi )_1$ - दोलनों के प्रारंभिक चरण।

स्प्रिंग लोलक के दोलन काल के लिए सूत्र

हमने पाया है कि स्प्रिंग लोलक के दोलनों का वर्णन कोज्या या ज्या फलन द्वारा किया जाता है। ये आवधिक कार्य हैं, जिसका अर्थ है कि विस्थापन $x$ निश्चित समान अंतराल पर समान मान लेगा, जिसे दोलन अवधि कहा जाता है। अवधि को टी अक्षर से दर्शाया गया है।

एक अन्य मात्रा जो दोलनों की विशेषता है, दोलनों की अवधि का व्युत्क्रम है, इसे आवृत्ति ($\nu $) कहा जाता है:

अवधि चक्रीय दोलन आवृत्ति से संबंधित है:

ऊपर हमने स्प्रिंग पेंडुलम के लिए $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ प्राप्त किया, इसलिए, स्प्रिंग पेंडुलम की दोलन अवधि बराबर है:

स्प्रिंग लोलक (11) की दोलन अवधि के लिए सूत्र दर्शाता है कि $T$ वसंत से जुड़े भार के द्रव्यमान और वसंत की लोच के गुणांक पर निर्भर करता है, लेकिन दोलन आयाम (A) पर निर्भर नहीं करता है। दोलनों के इस गुण को समकालिकता कहते हैं। जब तक हुक का नियम वैध है, तब तक समकालिकता संतुष्ट रहती है। वसंत के बड़े हिस्सों में, हुक के नियम का उल्लंघन होता है, आयाम पर दोलनों की निर्भरता प्रकट होती है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि स्प्रिंग लोलक की दोलन अवधि की गणना के लिए सूत्र (11) छोटे दोलनों के लिए मान्य है।

दोलन की अवधि के लिए कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम।एक स्प्रिंग लोलक ने 10 s के बराबर समय में 50 पूर्ण दोलन किए। लोलक के दोलन की अवधि क्या है? इन दोलनों की आवृत्ति क्या है?

फेसला।चूँकि लोलक को एक पूर्ण दोलन पूरा करने के लिए आवश्यक न्यूनतम समय अवधि है, हम इसे इस प्रकार पाते हैं:

अवधि की गणना करें:

आवृत्ति अवधि की पारस्परिक है, इसलिए:

\[\nu=\frac(1)(T)\बाएं(1.2\दाएं)।\]

आइए दोलन आवृत्ति की गणना करें:

\[\nu =\frac(1)(0,2)=5\ \बाएं(हर्ट्ज\दाएं)।\]

जवाब।$1)\ टी=0.2$ एस; 2) 5 हर्ट्ज

उदाहरण 2

व्यायाम।लोच गुणांक वाले दो स्प्रिंग्स $k_1$ और $k_2$ समानांतर में जुड़े हुए हैं (चित्र 2), सिस्टम से बड़े पैमाने पर $M$ जुड़ा हुआ है। परिणामी स्प्रिंग पेंडुलम की दोलन अवधि क्या है, यदि स्प्रिंग्स के द्रव्यमान की उपेक्षा की जा सकती है, तो भार पर अभिनय करने वाला लोचदार बल हुक के नियम का पालन करता है?

फेसला।आइए एक स्प्रिंग पेंडुलम की दोलन अवधि की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

जब स्प्रिंग्स समानांतर में जुड़े होते हैं, तो सिस्टम की परिणामी कठोरता इस प्रकार पाई जाती है:

इसका मतलब यह है कि स्प्रिंग पेंडुलम की अवधि की गणना के लिए सूत्र में $k$ के बजाय, हम अभिव्यक्ति के दाईं ओर (2.2) को प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है:

जवाब।$T=2\pi \sqrt(\frac(M)(k_1(+k)_2))$

जिसमें वह शुरुआती समय में मनमाने ढंग से चुने गए थे)।

सिद्धांत रूप में, यह फ़ंक्शन की अवधि की गणितीय अवधारणा के साथ मेल खाता है, लेकिन फ़ंक्शन द्वारा अर्थ भौतिक मात्रा की निर्भरता जो समय पर दोलन करती है।

इस रूप में यह अवधारणा हार्मोनिक और एनहार्मोनिक दोनों पर सख्ती से आवधिक दोलनों पर लागू होती है (और लगभग - एक सफलता या किसी अन्य के साथ - और गैर-आवधिक दोलन, कम से कम आवधिकता के करीब)।

मामले में जब हम बात कर रहे हेभिगोना के साथ एक हार्मोनिक थरथरानवाला के दोलनों के बारे में, अवधि को इसके दोलन घटक (भिगोना को अनदेखा करना) की अवधि के रूप में समझा जाता है, जो शून्य के माध्यम से दोलन मान के निकटतम मार्ग के बीच के समय अंतराल के दोगुने के साथ मेल खाता है। सिद्धांत रूप में, इस परिभाषा को कम या ज्यादा सटीक और उपयोगी रूप से कुछ सामान्यीकरण में अन्य गुणों के साथ नम दोलनों तक बढ़ाया जा सकता है।

पदनाम:दोलन की अवधि के लिए सामान्य मानक संकेतन है: $टी$(हालांकि अन्य आवेदन कर सकते हैं, सबसे आम है $\backslash tau$, कभी-कभी $\backslash \; थीटा$आदि।)।

$टी\; =\; \backslash frac(1)(\backslash nu),\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash nu\; =\; \backslash frac(1)(T).$

तरंग प्रक्रियाओं के लिए, अवधि भी स्पष्ट रूप से तरंग दैर्ध्य से संबंधित होती है $\backslash lambda$

$v\; =\; \backslash lambda\; \backslash nu,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; T\; =\; \backslash frac(\backslash lambda)(v),$

कहाँ पे $वी$तरंग प्रसार वेग है (अधिक सटीक रूप से, चरण वेग)।

क्वांटम भौतिकी मेंदोलन की अवधि सीधे ऊर्जा से संबंधित है (क्योंकि क्वांटम भौतिकी में, किसी वस्तु की ऊर्जा - उदाहरण के लिए, एक कण - अपने तरंग कार्य के दोलन की आवृत्ति है)।

सैद्धांतिक खोजएक विशेष भौतिक प्रणाली की दोलन अवधि, एक नियम के रूप में, इस प्रणाली का वर्णन करने वाले गतिशील समीकरणों (समीकरण) का समाधान खोजने के लिए कम हो जाती है। रैखिक प्रणालियों की श्रेणी के लिए (और लगभग एक रैखिक सन्निकटन में रैखिक प्रणालियों के लिए, जो अक्सर बहुत अच्छा होता है), मानक अपेक्षाकृत सरल गणितीय तरीके हैं जो इसे करने की अनुमति देते हैं (यदि भौतिक समीकरण स्वयं जो सिस्टम का वर्णन करते हैं, ज्ञात हैं) .

प्रयोगात्मक निर्धारण के लिएअवधि, घड़ियां, स्टॉपवॉच, आवृत्ति मीटर, स्ट्रोबोस्कोप, स्ट्रोब टैकोमीटर, ऑसिलोस्कोप का उपयोग किया जाता है। बीट्स का भी उपयोग किया जाता है, विभिन्न रूपों में हेटेरोडाइनिंग की एक विधि, अनुनाद के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। तरंगों के लिए, आप अप्रत्यक्ष रूप से अवधि को माप सकते हैं - तरंग दैर्ध्य के माध्यम से, जिसके लिए इंटरफेरोमीटर, विवर्तन झंझरी आदि का उपयोग किया जाता है। कभी-कभी परिष्कृत तरीकों की भी आवश्यकता होती है, विशेष रूप से एक विशिष्ट कठिन मामले के लिए विकसित (कठिनाई समय की माप दोनों हो सकती है, खासकर जब यह बहुत कम या इसके विपरीत बहुत लंबे समय की बात आती है, और उतार-चढ़ाव वाली मात्रा को देखने की कठिनाई)।

प्रकृति में दोलन की अवधि

विभिन्न भौतिक प्रक्रियाओं के दोलनों की अवधि के बारे में एक विचार लेख आवृत्ति अंतराल में दिया गया है (यह देखते हुए कि सेकंड में अवधि हर्ट्ज में आवृत्ति का पारस्परिक है)।

विभिन्न भौतिक प्रक्रियाओं की अवधियों के परिमाण का कुछ विचार विद्युत चुम्बकीय दोलनों के आवृत्ति पैमाने द्वारा भी दिया जा सकता है (देखें विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम)।

किसी व्यक्ति को सुनाई देने वाली ध्वनि के दोलन की अवधि सीमा में होती है

5 10 −5 से 0.2 . तक

(इसकी स्पष्ट सीमाएँ कुछ हद तक मनमानी हैं)।

दृश्य प्रकाश के विभिन्न रंगों के अनुरूप विद्युत चुम्बकीय दोलनों की अवधि - सीमा में

1.1 10 −15 से 2.3 10 −15 तक।

चूंकि, अत्यंत बड़ी और अत्यंत छोटी दोलन अवधि के लिए, माप के तरीके अधिक से अधिक अप्रत्यक्ष हो जाते हैं (सैद्धांतिक एक्सट्रपलेशन में एक सहज प्रवाह तक), प्रत्यक्ष रूप से मापी गई दोलन अवधि के लिए एक स्पष्ट ऊपरी और निचली सीमा का नाम देना मुश्किल है। ऊपरी सीमा के लिए कुछ अनुमान आधुनिक विज्ञान (सैकड़ों वर्ष) के अस्तित्व के समय से दिया जा सकता है, और निचले एक के लिए - अब तक ज्ञात सबसे भारी कण के तरंग कार्य की दोलन अवधि ()।

फिर भी निचली सीमाप्लैंक समय के रूप में कार्य कर सकता है, जो इतना छोटा है कि, आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, यह न केवल किसी भी तरह से भौतिक रूप से मापा जा सकता है, बल्कि यह भी संभावना नहीं है कि कम या ज्यादा निकट भविष्य में यह होगा परिमाण के और भी बड़े क्रमों के मापन तक पहुंचना संभव हो, और ऊपरी सीमा- ब्रह्मांड के अस्तित्व का समय - दस अरब से अधिक वर्ष।

सरलतम भौतिक प्रणालियों के दोलनों की अवधि

स्प्रिंग पेंडुलम

गणितीय लोलक

$टी=2\backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(l)(g))$

कहाँ पे $मैं$- निलंबन की लंबाई (उदाहरण के लिए, धागे), $जी$- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण।

1 मीटर लंबे गणितीय लोलक के छोटे दोलनों (पृथ्वी पर) की अवधि अच्छी सटीकता के साथ 2 सेकंड के बराबर होती है।

भौतिक लोलक

$टी=2\backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(J)(mgl))$

टोरसोनियल पेंडुलम

$टी\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(I)(K))$

यह सूत्र 1853 में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी डब्ल्यू थॉमसन द्वारा प्राप्त किया गया था।

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टिप्पणियाँ

लिंक

• - ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया का लेख

दोलन की अवधि को दर्शाने वाला एक अंश

रोस्तोव चुप था।
- आप क्या सोचते हो? नाश्ता भी किया? उन्हें शालीनता से खिलाया जाता है, ”टेलियानिन ने जारी रखा। - आ जाओ।
वह बाहर पहुंचा और बटुआ पकड़ लिया। रोस्तोव ने उसे रिहा कर दिया। तेल्यानिन ने पर्स लिया और उसे अपनी जांघों की जेब में रखना शुरू कर दिया, और उसकी भौहें लापरवाही से उठीं, और उसका मुंह थोड़ा खुल गया, जैसे कि वह कह रहा हो: "हाँ, हाँ, मैंने अपना पर्स अपनी जेब में रखा है, और यह बहुत है सरल, और किसी को इसकी परवाह नहीं है ”।
- अच्छा, क्या, युवक? उसने आह भरते हुए कहा और अपनी उभरी हुई भौंहों के नीचे से रोस्तोव की आँखों में देखा। आँखों से किसी तरह की रोशनी, बिजली की चिंगारी की गति से, तेल्यानिन की आँखों से रोस्तोव की आँखों तक और पीछे, पीछे और पीछे, एक पल में चली गई।
"यहाँ आओ," रोस्तोव ने तेल्यानिन को हाथ से पकड़ते हुए कहा। वह उसे लगभग खींचकर खिड़की तक ले गया। - यह डेनिसोव का पैसा है, आपने इसे लिया ... - वह उसके कान में फुसफुसाया।
“क्या?… क्या?… तुम्हारी हिम्मत कैसे हुई?” क्या? ... - तेल्यानिन ने कहा।
लेकिन ये शब्द एक वादी, हताश रोना और क्षमा के लिए एक याचना की तरह लग रहे थे। जैसे ही रोस्तोव ने आवाज की यह आवाज सुनी, उसकी आत्मा से संदेह का एक बड़ा पत्थर गिर गया। उसने आनंद महसूस किया, और उसी क्षण उसे उस दुर्भाग्यपूर्ण व्यक्ति के लिए खेद हुआ जो उसके सामने खड़ा था; लेकिन शुरू हुए काम को पूरा करना जरूरी था।
"यहाँ के लोग, भगवान जानते हैं कि वे क्या सोच सकते हैं," तेल्यानिन ने बुदबुदाया, उसकी टोपी पकड़कर एक छोटे से खाली कमरे में जा रहा था, "हमें खुद को समझाने की जरूरत है ...
"मैं इसे जानता हूं, और मैं इसे साबित करूंगा," रोस्तोव ने कहा।
- मैं…
Telyanin का भयभीत, पीला चेहरा अपनी सारी मांसपेशियों के साथ कांपने लगा; उसकी आँखें अभी भी इधर-उधर दौड़ रही थीं, लेकिन कहीं नीचे, रोस्तोव के चेहरे की ओर नहीं उठ रही थी, और सिसकती सुनाई दे रही थी।
- गिनती! ... युवक को बर्बाद मत करो ... यहाँ यह दुर्भाग्यपूर्ण पैसा है, इसे ले लो ... - उसने इसे मेज पर फेंक दिया। - मेरे पिता एक बूढ़े आदमी हैं, मेरी माँ! ...
रोस्तोव ने पैसे ले लिए, तेल्यानिन की नज़रों से बचते हुए, और बिना एक शब्द कहे कमरे से बाहर चला गया। लेकिन दरवाजे पर वह रुक गया और वापस मुड़ गया। "हे भगवान," उसने अपनी आँखों में आँसू के साथ कहा, "तुम ऐसा कैसे कर सकते हो?
"गिनती," तेल्यानिन ने कैडेट के पास जाते हुए कहा।
"मुझे मत छुओ," रोस्तोव ने दूर खींचते हुए कहा। अगर आपको इसकी जरूरत है, तो यह पैसा ले लो। उसने अपना बटुआ उस पर फेंका और सराय से बाहर भाग गया।

उसी दिन शाम को, डेनिसोव के अपार्टमेंट में स्क्वाड्रन के अधिकारियों के बीच एक जीवंत बातचीत चल रही थी।
"और मैं तुमसे कह रहा हूँ, रोस्तोव, कि आपको रेजिमेंटल कमांडर से माफी माँगने की ज़रूरत है," लंबे स्टाफ कप्तान ने कहा, भूरे बालों, विशाल मूंछों और झुर्रियों वाले चेहरे की बड़ी विशेषताओं के साथ, लाल लाल, उत्तेजित रोस्तोव को संबोधित करते हुए।
स्टाफ कप्तान कर्स्टन को सम्मान के कार्यों के लिए सैनिकों को दो बार पदावनत किया गया और दो बार ठीक किया गया।
"मैं किसी को यह नहीं कहने दूँगा कि मैं झूठ बोल रहा हूँ!" रोस्तोव रोया। उसने मुझसे कहा कि मैं झूठ बोल रहा था, और मैंने उससे कहा कि वह झूठ बोल रहा है। और ऐसा ही रहेगा। वे मुझे हर दिन ड्यूटी पर रख सकते हैं और मुझे गिरफ्तार कर सकते हैं, लेकिन कोई भी मुझसे माफी नहीं मांगेगा, क्योंकि अगर वह एक रेजिमेंटल कमांडर के रूप में खुद को मुझे संतुष्टि देने के योग्य नहीं समझता है, तो ...
- हाँ, तुम रुको, पिताजी; तुम मेरी बात सुनो, - कप्तान ने अपनी बास की आवाज में कर्मचारियों को बाधित किया, शांति से अपनी लंबी मूंछों को चिकना किया। - आप अन्य अधिकारियों के सामने रेजिमेंटल कमांडर को बताएं कि अधिकारी ने चोरी की ...
- यह मेरी गलती नहीं है कि बातचीत अन्य अधिकारियों के सामने शुरू हुई। हो सकता है कि मुझे उनके सामने बात नहीं करनी चाहिए थी, लेकिन मैं राजनयिक नहीं हूं। मैं फिर हुसरों में शामिल हो गया और यह सोचकर चला गया कि यहाँ सूक्ष्मता की आवश्यकता नहीं है, लेकिन वह मुझसे कहता है कि मैं झूठ बोल रहा हूँ ...
- यह ठीक है, कोई नहीं सोचता कि आप कायर हैं, लेकिन यह बात नहीं है। डेनिसोव से पूछें, क्या एक कैडेट के लिए रेजिमेंटल कमांडर से संतुष्टि की मांग करना कुछ ऐसा लगता है?
डेनिसोव ने अपनी मूंछों को काटते हुए, उदास नज़र से बातचीत को सुना, जाहिर तौर पर इसमें हस्तक्षेप नहीं करना चाहता था। कप्तान के स्टाफ द्वारा पूछे जाने पर उन्होंने नकारात्मक रूप से सिर हिलाया।
"आप अधिकारियों के सामने इस गंदी चाल के बारे में रेजिमेंटल कमांडर से बात कर रहे हैं," मुख्यालय के कप्तान ने जारी रखा। - बोगदानिच (बोगदानिच को रेजिमेंटल कमांडर कहा जाता था) ने आपको घेर लिया।
- उसने घेराबंदी नहीं की, लेकिन कहा कि मैं झूठ बोल रहा था।
- ठीक है, हाँ, और आपने उससे कुछ बेवकूफी भरी बात कही, और आपको माफी माँगने की ज़रूरत है।
- कभी नहीँ! रोस्तोव चिल्लाया।
"मैंने नहीं सोचा था कि यह आप से था," मुख्यालय के कप्तान ने गंभीरता और सख्ती से कहा। - आप माफी नहीं मांगना चाहते हैं, और आप, पिता, न केवल उसके सामने, बल्कि पूरी रेजिमेंट के सामने, हम सभी के सामने, आपको चारों ओर दोष देना है। और यहां बताया गया है: यदि केवल आपने सोचा और परामर्श किया कि इस मामले से कैसे निपटें, अन्यथा आप सीधे, लेकिन अधिकारियों के सामने, और थपथपाएं। रेजिमेंटल कमांडर को अब क्या करना चाहिए? क्या हमें अधिकारी पर मुकदमा चलाना चाहिए और पूरी रेजिमेंट को गड़बड़ कर देना चाहिए? एक खलनायक की वजह से पूरी रेजिमेंट को शर्मसार करना? तो आप क्या सोचते हैं? लेकिन हमारी राय में ऐसा नहीं है। और अच्छा हुआ बोगदानिच, उसने तुमसे कहा था कि तुम सच नहीं कह रहे हो। यह अप्रिय है, लेकिन क्या करें, पिता, वे स्वयं इसमें भाग गए। और अब, जैसा कि वे मामले को शांत करना चाहते हैं, इसलिए आप, किसी तरह की कट्टरता के कारण, माफी नहीं मांगना चाहते हैं, लेकिन सब कुछ बताना चाहते हैं। आप नाराज हैं कि आप ड्यूटी पर हैं, लेकिन आप एक पुराने और ईमानदार अधिकारी से माफी क्यों मांगें! Bogdanich कुछ भी हो, लेकिन सभी ईमानदार और बहादुर, पुराने कर्नल, आप बहुत नाराज हैं; और रेजिमेंट को खराब करना आपके लिए ठीक है? - कप्तान के स्टाफ की आवाज कांपने लगी। - आप, पिता, एक वर्ष के बिना एक सप्ताह के लिए रेजिमेंट में हैं; आज यहाँ, कल वे कहीं एडजुटेंट में चले गए; आप इस बात पर ध्यान न दें कि वे क्या कहेंगे: "चोर पावलोग्राद अधिकारियों में से हैं!" और हमें परवाह नहीं है। तो, क्या, डेनिसोव? सब एक जैसे नहीं?
डेनिसोव चुप रहा और हिलता नहीं था, कभी-कभी रोस्तोव को अपनी चमकदार काली आँखों से देखता था।
मुख्यालय के कप्तान ने कहा, "आपका प्रशंसक आपको प्रिय है, आप माफी नहीं मांगना चाहते हैं," लेकिन हम बूढ़े लोग, हम कैसे बड़े हुए, और भगवान ने चाहा, रेजिमेंट में मर जाएगा, इसलिए रेजिमेंट का सम्मान है हमें प्रिय है, और Bogdanich इसे जानता है। ओह, कितने प्यारे पापा! और यह अच्छा नहीं है, अच्छा नहीं है! वहां नाराज़ हो या न हो, लेकिन मैं हमेशा गर्भाशय को सच बताऊंगा। अच्छा नही!
और कप्तान का स्टाफ खड़ा हो गया और रोस्तोव से दूर हो गया।
- पीजी "अवदा, चोग" इसे ले लो! डेनिसोव चिल्लाया, कूद गया। - अच्छा, जी "कंकाल! अच्छा!
रोस्तोव, शरमाते हुए और पीला पड़ गया, पहले एक अधिकारी को देखा, फिर दूसरे को।
- नहीं सज्जनों, नहीं ... मत सोचो ... मैं अच्छी तरह से समझता हूं, आपको मेरे बारे में ऐसा नहीं सोचना चाहिए ... मैं ... मेरे लिए ... मैं रेजिमेंट के सम्मान के लिए हूं। लेकिन क्या? मैं इसे व्यवहार में दिखाऊंगा, और मेरे लिए बैनर का सम्मान ... ठीक है, यह वही है, वास्तव में, यह मेरी गलती है! .. - उसकी आंखों में आंसू थे। - मुझे दोष देना है, चारों ओर दोष है! ... ठीक है, आप और क्या चाहते हैं? ...
"यह बात है, गिनें," कप्तान चिल्लाया, उसके बड़े हाथ से कंधे पर मारते हुए, उसे घुमाया।
"मैं आपको बता रहा हूँ," डेनिसोव चिल्लाया, "वह एक अच्छा छोटा है।
"यह बेहतर है, काउंट," स्टाफ के कप्तान ने दोहराया, जैसे कि उनकी मान्यता के लिए वह उन्हें एक शीर्षक कहने लगे थे। - जाओ और क्षमा मांगो, महामहिम, हाँ एस।
"सज्जनों, मैं सब कुछ करूँगा, कोई भी मुझसे एक शब्द भी नहीं सुनेगा," रोस्तोव ने विनतीपूर्ण स्वर में कहा, "लेकिन मैं क्षमा नहीं कर सकता, भगवान द्वारा, मैं नहीं कर सकता, जैसा आप चाहते हैं!" मैं माफी माँगने के लिए, एक नन्हे की तरह, क्षमा कैसे माँगूँ?
डेनिसोव हँसे।
- यह आपके लिए और भी बुरा है। Bogdanych प्रतिशोधी है, अपनी जिद के लिए भुगतान करें, - कर्स्टन ने कहा।
- भगवान द्वारा, हठ नहीं! मैं आपको उस भावना का वर्णन नहीं कर सकता, मैं नहीं कर सकता ...
- ठीक है, तुम्हारी मर्जी, - मुख्यालय के कप्तान ने कहा। - अच्छा, यह कमीने कहाँ गया? उसने डेनिसोव से पूछा।
- उसने कहा कि वह बीमार था, zavtg "और पीजी का आदेश दिया" और बाहर करने के आदेश से, - डेनिसोव ने कहा।
"यह एक बीमारी है, अन्यथा इसे समझाया नहीं जा सकता," स्टाफ के कप्तान ने कहा।
- पहले से ही, बीमारी कोई बीमारी नहीं है, और अगर वह मेरी नज़र में नहीं आया, तो मैं तुम्हें मार डालूँगा! डेनिसोव खून से लथपथ चिल्लाया।
ज़ेरकोव ने कमरे में प्रवेश किया।
- क्या हाल है? अधिकारियों ने अचानक नवागंतुक की ओर रुख किया।
- चलो, सज्जनों। मैक ने एक कैदी के रूप में और सेना के साथ, बिल्कुल आत्मसमर्पण कर दिया।
- तुम झूठ बोल रही हो!
- मैंने इसे खुद देखा।
- कैसे? क्या आपने मैक को जिंदा देखा है? हाथ या पैर से?
- वृद्धि! अभियान! ऐसी खबरों के लिए उसे एक बोतल दें। तुम यहाँ कैसे मिला?
"उन्होंने उसे वापस रेजिमेंट में भेज दिया, शैतान के लिए, मैक के लिए। ऑस्ट्रियाई जनरल ने शिकायत की। मैंने उसे मैक के आने पर बधाई दी ... क्या आप, रोस्तोव, सिर्फ स्नानागार से हैं?
- इधर, भाई, हमारे पास दूसरे दिन ऐसी गड़बड़ी है।
रेजिमेंटल एडजुटेंट ने प्रवेश किया और ज़ेरकोव द्वारा लाई गई खबर की पुष्टि की। कल उन्हें बोलने का आदेश दिया गया था।
- जाओ सज्जनों!
- अच्छा, भगवान का शुक्र है, हम बहुत देर तक रुके रहे।

कुतुज़ोव इन (ब्रौनौ में) और ट्रुन (लिंज़ में) नदियों पर पुलों को नष्ट करते हुए, वियना से पीछे हट गए। 23 अक्टूबर को, रूसी सैनिकों ने एन्स नदी को पार किया। दिन के मध्य में रूसी गाड़ियां, तोपखाने और सैनिकों के स्तंभ एन्स शहर के माध्यम से पुल के इस और उस तरफ फैले हुए थे।

हार्मोनिक दोलन - साइन और कोसाइन के नियमों के अनुसार किए गए दोलन। निम्नलिखित आंकड़ा कोसाइन के नियम के अनुसार समय के साथ एक बिंदु के निर्देशांक में परिवर्तन का एक ग्राफ दिखाता है।

चित्र

दोलन आयाम

एक हार्मोनिक दोलन का आयाम संतुलन की स्थिति से शरीर के विस्थापन का सबसे बड़ा मूल्य है। आयाम विभिन्न मूल्यों पर ले सकता है। यह इस बात पर निर्भर करेगा कि हम समय के प्रारंभिक क्षण में संतुलन की स्थिति से शरीर को कितना विस्थापित करते हैं।

आयाम प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर को दी गई ऊर्जा। चूंकि साइन और कोसाइन -1 से 1 की सीमा में मान ले सकते हैं, इसलिए समीकरण में कारक Xm होना चाहिए, जो दोलनों के आयाम को व्यक्त करता है। हार्मोनिक कंपन के लिए गति का समीकरण:

एक्स = एक्सएम * कॉस (ω0 * टी)।

दोलन अवधि

दोलन की अवधि एक पूर्ण दोलन के लिए लगने वाला समय है। दोलन की अवधि को T अक्षर से निरूपित किया जाता है। अवधि की इकाइयाँ समय की इकाइयों के अनुरूप होती हैं। यानी SI में यह सेकंड होता है।

दोलन आवृत्ति - प्रति इकाई समय में दोलनों की संख्या। दोलन आवृत्ति को अक्षर से निरूपित किया जाता है। दोलन आवृत्ति को दोलन अवधि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

वी = 1 / टी।

एसआई 1/सेकंड में आवृत्ति इकाइयाँ। माप की इस इकाई को हर्ट्ज़ कहते हैं। 2 * pi सेकंड के समय में दोलनों की संख्या बराबर होगी:

0 = 2*pi* = 2*pi/T.

दोलन आवृत्ति

इस मान को चक्रीय दोलन आवृत्ति कहते हैं। कुछ साहित्य में वृत्ताकार आवृत्ति नाम मिलता है। एक दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति मुक्त दोलनों की आवृत्ति होती है।

प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति सामग्री के गुणों और भार के द्रव्यमान पर निर्भर करती है। वसंत की कठोरता जितनी अधिक होगी, प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी। भार का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति उतनी ही कम होगी।

ये दो निष्कर्ष स्पष्ट हैं। वसंत जितना सख्त होगा, सिस्टम के असंतुलित होने पर यह शरीर को उतना ही अधिक त्वरण प्रदान करेगा। शरीर का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, इस शरीर की गति उतनी ही धीमी होगी।

मुक्त दोलनों की अवधि:

टी = 2 * पीआई / ω0 = 2 * पीआई * √ (एम / के)

यह उल्लेखनीय है कि छोटे विक्षेपण कोणों पर, वसंत पर शरीर के दोलन की अवधि और पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करेगी।

आइए गणितीय पेंडुलम के लिए मुक्त दोलनों की अवधि और आवृत्ति के लिए सूत्र लिखें।

तो अवधि होगी

टी = 2 * पीआई * √ (एल / जी)।

यह सूत्र केवल छोटे विक्षेपण कोणों के लिए ही मान्य होगा। सूत्र से हम देखते हैं कि लोलक के धागे की लंबाई के साथ दोलन की अवधि बढ़ती जाती है। लंबाई जितनी लंबी होगी, शरीर उतना ही धीमा होगा।

दोलन की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है। लेकिन यह फ्री फॉल एक्सेलेरेशन पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे g घटता है, दोलन काल बढ़ता जाएगा। इस संपत्ति का व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, मुक्त त्वरण के सटीक मूल्य को मापने के लिए।

दोलन विशेषता

अवस्थाप्रणाली की स्थिति को निर्धारित करता है, अर्थात् समन्वय, गति, त्वरण, ऊर्जा, आदि।

चक्रीय आवृत्तिदोलन चरण के परिवर्तन की दर की विशेषता है।

थरथरानवाला प्रणाली की प्रारंभिक स्थिति की विशेषता है पहला भाग

दोलन आयाम एसंतुलन की स्थिति से सबसे बड़ा विस्थापन है

अवधि टी- यह उस समय की अवधि है जिसके दौरान बिंदु एक पूर्ण दोलन करता है।

दोलन आवृत्तिप्रति इकाई समय t में पूर्ण दोलनों की संख्या है।

आवृत्ति, चक्रीय आवृत्ति और दोलन अवधि संबंधित हैं:

कंपन के प्रकार

बंद सिस्टम में होने वाले कंपन कहलाते हैं नि: शुल्कया अपनाउतार-चढ़ाव। बाह्य बलों के प्रभाव में होने वाले कंपन कहलाते हैं मजबूर. वे भी हैं आत्म-दोलन(स्वचालित रूप से मजबूर)।

यदि हम दोलनों को बदलती विशेषताओं (आयाम, आवृत्ति, अवधि, आदि) के अनुसार मानते हैं, तो उन्हें में विभाजित किया जा सकता है लयबद्ध, लुप्त होती, बढ़ रही है(साथ ही चूरा, आयताकार, जटिल)।

वास्तविक प्रणालियों में मुक्त कंपन के दौरान, हमेशा ऊर्जा हानि होती है। यांत्रिक ऊर्जा खर्च की जाती है, उदाहरण के लिए, वायु प्रतिरोध की ताकतों को दूर करने के लिए काम करने के लिए। घर्षण बल के प्रभाव में, दोलन आयाम कम हो जाता है, और थोड़ी देर बाद दोलन बंद हो जाते हैं। यह स्पष्ट है कि आंदोलन के प्रतिरोध का बल जितना अधिक होता है, उतनी ही तेजी से दोलन बंद हो जाते हैं।

मजबूर कंपन। गूंज

जबरन दोलन अप्रकाशित हैं। इसलिए, दोलन की प्रत्येक अवधि के लिए ऊर्जा हानियों की भरपाई करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, समय-समय पर बदलते बल के साथ एक दोलनशील शरीर पर कार्य करना आवश्यक है। जबरन दोलन बाहरी बल में परिवर्तन की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ किए जाते हैं।

मजबूर कंपन

मजबूर यांत्रिक दोलनों का आयाम अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है यदि ड्राइविंग बल की आवृत्ति ऑसिलेटरी सिस्टम की आवृत्ति के साथ मेल खाती है। इस घटना को कहा जाता है गूंज.

उदाहरण के लिए, यदि आप समय-समय पर कॉर्ड को अपने स्वयं के दोलनों के साथ खींचते हैं, तो हम इसके दोलनों के आयाम में वृद्धि देखेंगे।

यदि गीली उंगली को कांच के किनारे पर ले जाया जाता है, तो कांच बजने की आवाज करेगा। हालांकि ध्यान देने योग्य नहीं है, उंगली रुक-रुक कर चलती है और कम फटने पर कांच में ऊर्जा स्थानांतरित करती है, जिससे कांच कंपन करता है।

कांच की दीवारें भी कंपन करना शुरू कर देती हैं यदि एक ध्वनि तरंग उस पर निर्देशित होती है जिसकी आवृत्ति उसके बराबर होती है। यदि आयाम बहुत बड़ा हो जाता है, तो कांच टूट भी सकता है। एफ.आई. चालियापिन के गायन के दौरान प्रतिध्वनि के कारण, झूमर के क्रिस्टल पेंडेंट कांप गए (प्रतिध्वनित)। बाथरूम में अनुनाद के उद्भव का पता लगाया जा सकता है। यदि आप विभिन्न आवृत्तियों की ध्वनियों को धीरे से गाते हैं, तो प्रतिध्वनि किसी एक आवृत्ति पर होगी।

संगीत वाद्ययंत्रों में, उनके शरीर के कुछ हिस्सों द्वारा गुंजयमान यंत्र की भूमिका निभाई जाती है। एक व्यक्ति का अपना गुंजयमान यंत्र भी होता है - यह मौखिक गुहा है, जो की गई ध्वनियों को बढ़ाता है।

अनुनाद की घटना को व्यवहार में ध्यान में रखा जाना चाहिए। कुछ स्थितियों में यह उपयोगी हो सकता है, दूसरों में यह हानिकारक हो सकता है। अनुनाद घटना विभिन्न यांत्रिक प्रणालियों को अपरिवर्तनीय क्षति का कारण बन सकती है, जैसे कि अनुचित तरीके से डिजाइन किए गए पुल। इसलिए, 1905 में, सेंट पीटर्सबर्ग में मिस्र का पुल ढह गया जब एक घुड़सवारी स्क्वाड्रन इसके माध्यम से गुजरा और 1940 में, यूएसए में टैकोमा पुल ढह गया।

अनुनाद घटना का उपयोग तब किया जाता है, जब एक छोटे बल की मदद से दोलनों के आयाम में बड़ी वृद्धि प्राप्त करना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, एक बड़ी घंटी की भारी जीभ को अपेक्षाकृत छोटे बल द्वारा घंटी की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ घुमाया जा सकता है।

हमारे चारों ओर की दोलन प्रक्रियाओं की विविधता इतनी महत्वपूर्ण है कि आप बस आश्चर्य करते हैं - क्या ऐसा कुछ है जो दोलन नहीं करता है? यह संभावना नहीं है, क्योंकि एक पूरी तरह से गतिहीन वस्तु, एक पत्थर जो हजारों वर्षों से गतिहीन है, अभी भी दोलन प्रक्रियाएं करता है - यह समय-समय पर दिन के दौरान गर्म होता है, बढ़ता है, और रात में ठंडा होता है और आकार में घट जाता है। और निकटतम उदाहरण - पेड़ और शाखाएँ - जीवन भर अथक रूप से चलते रहते हैं। लेकिन वह पत्थर है, पेड़ है। और अगर 100 मंजिला इमारत हवा के दबाव से उसी तरह से उतार-चढ़ाव करती है? उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि शीर्ष 5-12 मीटर आगे और पीछे विचलित होता है, 500 मीटर ऊंचा एक पेंडुलम क्यों नहीं और तापमान परिवर्तन से ऐसी संरचना आकार में कितनी वृद्धि करती है? मशीन निकायों और तंत्र के कंपन को भी यहां शामिल किया जा सकता है। जरा सोचिए, जिस विमान में आप उड़ रहे हैं, वह लगातार दोलन कर रहा है। उड़ान के बारे में सोच रहे हो? यह इसके लायक नहीं है, क्योंकि उतार-चढ़ाव हमारे आसपास की दुनिया का सार है, आप उनसे छुटकारा नहीं पा सकते हैं - उन्हें केवल ध्यान में रखा जा सकता है और "के लिए" लागू किया जा सकता है।

हमेशा की तरह, ज्ञान के सबसे जटिल क्षेत्रों (और वे सरल नहीं हैं) का अध्ययन सबसे सरल मॉडल के साथ परिचित होने से शुरू होता है। और एक पेंडुलम की तुलना में दोलन प्रक्रिया का कोई सरल और अधिक समझने योग्य मॉडल नहीं है। यह यहाँ है, भौतिकी कक्षा में, हम पहली बार ऐसा रहस्यमय वाक्यांश सुनते हैं - "गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि"। लोलक एक धागा और एक भार है। और यह विशेष पेंडुलम क्या है - गणितीय? और सब कुछ बहुत सरल है, इस पेंडुलम के लिए यह माना जाता है कि इसके धागे का कोई वजन नहीं है, अविभाज्य है, लेकिन आदि के प्रभाव में दोलन करता है। प्रयोग में शामिल सभी प्रतिभागी। उसी समय, प्रक्रिया पर उनमें से कुछ का प्रभाव नगण्य है। उदाहरण के लिए, यह एक स्पष्ट प्राथमिकता है कि कुछ शर्तों के तहत पेंडुलम धागे के वजन और लोच का गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि पर ध्यान देने योग्य प्रभाव नहीं पड़ता है, क्योंकि वे नगण्य हैं, इसलिए उनके प्रभाव को विचार से बाहर रखा गया है।

एक पेंडुलम की परिभाषा, शायद सबसे सरल ज्ञात, इस प्रकार है: अवधि वह समय है जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन होता है। आइए भार की गति के चरम बिंदुओं में से एक पर एक निशान बनाएं। अब, हर बार जब बिंदु बंद होता है, तो हम पूर्ण दोलनों की संख्या और समय की गणना करते हैं, मान लीजिए, 100 दोलन। एक अवधि की अवधि निर्धारित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। आइए हम निम्नलिखित स्थितियों में एक तल में दोलन करने वाले लोलक के लिए यह प्रयोग करें:

विभिन्न प्रारंभिक आयाम;

कार्गो का अलग वजन।

हमें एक परिणाम मिलेगा जो पहली नज़र में आश्चर्यजनक है: सभी मामलों में, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि अपरिवर्तित रहती है। दूसरे शब्दों में, किसी भौतिक बिंदु का प्रारंभिक आयाम और द्रव्यमान अवधि की अवधि को प्रभावित नहीं करता है। आगे की प्रस्तुति के लिए केवल एक ही असुविधा है - क्योंकि। आंदोलन के दौरान लोड की ऊंचाई बदल जाती है, फिर प्रक्षेपवक्र के साथ पुनर्स्थापना बल परिवर्तनशील होता है, जो गणना के लिए असुविधाजनक होता है। चलो थोड़ा धोखा दें - पेंडुलम को अनुप्रस्थ दिशा में भी घुमाएं - यह एक शंकु के आकार की सतह का वर्णन करना शुरू कर देगा, इसके घूर्णन की अवधि टी वही रहेगी, गति वी एक स्थिर है जिसके साथ लोड एस = 2πr चलता है , और प्रत्यानयन बल त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है।

फिर हम गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि की गणना करते हैं:

टी \u003d एस / वी \u003d 2πr / वी

यदि धागे की लंबाई l लोड के आयामों (कम से कम 15-20 गुना) से बहुत बड़ी है, और धागे के झुकाव का कोण छोटा (छोटे आयाम) है, तो हम मान सकते हैं कि पुनर्स्थापना बल P है अभिकेन्द्र बल F के बराबर:
पी \u003d एफ \u003d एम * वी * वी / आर

दूसरी ओर, पुनर्स्थापना बल और भार का क्षण बराबर होता है, और फिर

P * l = r *(m*g), जहाँ से हम प्राप्त करते हैं, यह देखते हुए कि P = F, निम्नलिखित समानता है: r * m * g/l = m*v*v/r

लोलक की गति ज्ञात करना कठिन नहीं है: v = r*√g/l।

और अब हम अवधि के लिए पहली अभिव्यक्ति को याद करते हैं और गति के मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

Т=2πr/ r*√g/l

तुच्छ परिवर्तनों के बाद, गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि का सूत्र अपने अंतिम रूप में इस तरह दिखता है:

टी \u003d 2 एल / जी

अब, भार के द्रव्यमान और आयाम से दोलनों की अवधि की स्वतंत्रता के पहले प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त परिणामों की विश्लेषणात्मक रूप में पुष्टि की गई है और ऐसा बिल्कुल भी "अद्भुत" नहीं लगता है, जैसा कि वे कहते हैं, जिसके लिए आवश्यक था साबित हो।

अन्य बातों के अलावा, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए अंतिम अभिव्यक्ति पर विचार करते हुए, गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को मापने का एक उत्कृष्ट अवसर देखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, यह पृथ्वी पर किसी भी बिंदु पर एक निश्चित संदर्भ पेंडुलम को इकट्ठा करने और इसके दोलनों की अवधि को मापने के लिए पर्याप्त है। तो, अप्रत्याशित रूप से, एक सरल और सरल पेंडुलम ने हमें पृथ्वी की पपड़ी के घनत्व के वितरण का अध्ययन करने का एक बड़ा अवसर दिया, पृथ्वी के खनिजों के भंडार की खोज तक। लेकिन यह पूरी तरह से अलग कहानी है।