हम पहले से ही जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से बनता है।

परिमेय संख्याओं को हमेशा दशमलव (परिमित या अनंत आवधिक) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं को अनंत लेकिन अनावर्ती दशमलव के रूप में लिखा जाता है।

वास्तविक संख्या $R$ के सेट में $-\infty $ और $+\infty $ तत्व भी शामिल हैं, जिसके लिए असमानताएँ $-\infty

वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों पर विचार करें।

सामान्य भिन्न

साधारण भिन्नों को दो प्राकृत संख्याओं और एक क्षैतिज भिन्नात्मक दंड का उपयोग करके लिखा जाता है। भिन्नात्मक बार वास्तव में विभाजन चिह्न को बदल देता है। रेखा के नीचे की संख्या हर (भाजक) है, रेखा के ऊपर की संख्या अंश (विभाज्य) है।

परिभाषा

एक भिन्न को उचित कहा जाता है यदि उसका अंश उसके हर से कम हो। इसके विपरीत, एक भिन्न को अनुचित कहा जाता है यदि उसका अंश उसके हर से बड़ा या उसके बराबर हो।

साधारण भिन्नों के लिए, सरल, व्यावहारिक रूप से स्पष्ट, तुलना नियम हैं ($m$,$n$,$p$ प्राकृतिक संख्याएं हैं):

1. समान हर वाले दो भिन्नों में से एक बड़ा अंश वाला बड़ा होता है, यानी $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ for $m>n$;
2. समान अंश वाले दो भिन्नों में से एक छोटा हर वाला बड़ा होता है, यानी $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ के लिए $ m
3. एक उचित भिन्न हमेशा एक से कम होता है; अनुचित भिन्न हमेशा एक से बड़ा होता है; एक भिन्न जिसका अंश हर के बराबर है एक के बराबर है;
4. कोई भी अनुचित भिन्न किसी भी उचित भिन्न से बड़ा होता है।

दशमलव संख्याएं

दशमलव संख्या (दशमलव अंश) के अंकन का रूप है: पूर्णांक भाग, दशमलव बिंदु, भिन्नात्मक भाग। एक साधारण भिन्न का दशमलव अंकन हर से अंश के "कोण" को विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। इसका परिणाम या तो एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश हो सकता है।

परिभाषा

भिन्नात्मक अंक दशमलव स्थान कहलाते हैं। इस स्थिति में, दशमलव बिंदु के बाद के पहले अंक को दसवां अंक, दूसरा - सौवां अंक, तीसरा - हजारवां अंक, आदि कहा जाता है।

उदाहरण 1

हम दशमलव संख्या 3.74 का मान निर्धारित करते हैं। हमें मिलता है: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $।

दशमलव संख्या को गोल किया जा सकता है। इस मामले में, आपको उस अंक को निर्दिष्ट करना होगा जिस पर गोलाई की जाती है।

गोल करने का नियम इस प्रकार है:

1. इस अंक के दायीं ओर के सभी अंकों को शून्य से बदल दिया जाता है (यदि ये अंक दशमलव बिंदु से पहले हैं) या छोड़े गए हैं (यदि ये अंक दशमलव बिंदु के बाद हैं);
2. यदि दिए गए अंक के बाद पहला अंक 5 से कम है, तो इस अंक का अंक नहीं बदला जाता है;
3. यदि दिए गए अंक के बाद पहला अंक 5 या अधिक है, तो इस अंक के अंक में एक की वृद्धि हो जाती है।

उदाहरण 2

1. आइए संख्या 17302 को निकटतम हजार: 17000 तक गोल करें।
2. आइए संख्या 17378 को निकटतम सौ: 17400 तक पूर्णांकित करें।
3. आइए 17378.45 से दहाई: 17380 तक की संख्या को गोल करें।
4. आइए संख्या 378.91434 को निकटतम सौवें: 378.91 पर गोल करें।
5. आइए संख्या 378.91534 को निकटतम सौवें: 378.92 पर गोल करें।

दशमलव संख्या को सामान्य भिन्न में बदलना।

मामला एक

एक दशमलव संख्या एक सांत दशमलव है।

रूपांतरण विधि निम्नलिखित उदाहरण में दिखाई गई है।

उदाहरण 2

हमारे पास है: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $।

एक आम भाजक को कम करें और प्राप्त करें:

भिन्न को कम किया जा सकता है: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $।

केस 2

एक दशमलव संख्या एक अनंत आवर्ती दशमलव है।

परिवर्तन विधि इस तथ्य पर आधारित है कि आवधिक दशमलव अंश के आवधिक भाग को अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के रूप में माना जा सकता है।

उदाहरण 4

$0,\बाएं(74\दाएं)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $। प्रगति का पहला सदस्य $a=0.74$ है, प्रगति का हर $q=0.01$ है।

उदाहरण 5

$0.5\बाएं(8\दाएं)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ । प्रगति का पहला सदस्य $a=0.08$ है, प्रगति का हर $q=0.1$ है।

एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग की गणना सूत्र $s=\frac(a)(1-q) $ द्वारा की जाती है, जहां $a$ पहला पद है और $q$ प्रगति $ का हर है \बाएं (0

उदाहरण 6

आइए अनंत आवधिक दशमलव अंश $0,\बाएं(72\दाएं)$ को एक नियमित दशमलव अंश में बदलें।

प्रगति का पहला सदस्य $a=0.72$ है, प्रगति का हर $q=0.01$ है। हमें मिलता है: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)(99) =\frac(8 )(11) $. तो $0,\बाएं(72\दाएं)=\frac(8)(11) $.

उदाहरण 7

आइए अनंत आवधिक दशमलव अंश $0.5\left(3\right)$ को एक नियमित दशमलव अंश में बदलें।

प्रगति का पहला सदस्य $a=0.03$ है, प्रगति का हर $q=0.1$ है। हम पाते हैं: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$।

तो $0.5\बाएं(3\दाएं)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $।

वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इस मामले में, हम संख्यात्मक अक्ष को एक अनंत सीधी रेखा कहते हैं, जिस पर मूल (बिंदु $O$), सकारात्मक दिशा (एक तीर द्वारा इंगित) और पैमाने (मान प्रदर्शित करने के लिए) का चयन किया जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओं और संख्यात्मक अक्ष के सभी बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है: प्रत्येक बिंदु एक एकल संख्या से मेल खाता है और, इसके विपरीत, प्रत्येक संख्या एक बिंदु से मेल खाती है। इसलिए, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय उसी तरह निरंतर और अनंत है जैसे संख्या अक्ष निरंतर और अनंत है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के कुछ उपसमुच्चय संख्यात्मक अंतराल कहलाते हैं। एक संख्यात्मक अंतराल के तत्व एक निश्चित असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्या $x\in R$ हैं। चलो $a\in R$, $b\in R$ और $a\le b$। इस मामले में, अंतराल के प्रकार निम्नानुसार हो सकते हैं:

1. अंतराल $\बाएं(ए,\;बी\दाएं)$. एक ही समय में $ a
2. खंड $\बाएं$। इसके अलावा, $a\le x\le b$।
3. आधा-खंड या आधा-अंतराल $\बाएं$। उसी समय $ a \le x
4. अनंत विस्तार, उदा. $a

बहुत महत्व का एक प्रकार का अंतराल भी है, जिसे एक बिंदु का पड़ोस कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु का पड़ोस $x_(0) \in R$ एक मनमाना अंतराल है $\left(a,\; b\right)$ इस बिंदु को अपने अंदर रखता है, यानी $a 0$ - 10 वां त्रिज्या।

संख्या का निरपेक्ष मान

एक वास्तविक संख्या $x$ का निरपेक्ष मान (या मापांक) एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या $\left|x\right|$ है, जिसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: $\left|x\right|=\left\(\ शुरू करें (सरणी) (सी) (\; \; x \; \; (\ आरएम चालू) \; \; x \ जीई 0) \\ (-x \; \; (\ आरएम चालू) \; \; एक्स

ज्यामितीय रूप से, $\left|x\right|$ का अर्थ है वास्तविक अक्ष पर बिंदुओं $x$ और 0 के बीच की दूरी।

निरपेक्ष मूल्यों के गुण:

1. यह परिभाषा से इस प्रकार है कि $\बाएं|x\दाएं|\ge 0$, $\बाएं|x\दाएं|=\बाएं|-एक्स\दाएं|$;
2. योग के मापांक के लिए और दो संख्याओं के अंतर के मापांक के लिए, असमानताएं $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ लेफ्ट|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ और $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \दाएं|$,$\ बाएं|एक्स-वाई\दाएं|\जीई \बाएं|एक्स\दाएं|-\बाएं|वाई\दाएं|$;
3. उत्पाद का मापांक और दो संख्याओं के भागफल का मापांक समानता को संतुष्ट करता है $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ और $\left |\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

एक मनमानी संख्या $a>0$ के लिए निरपेक्ष मान की परिभाषा के आधार पर, कोई भी असमानताओं के निम्नलिखित युग्मों की तुल्यता स्थापित कर सकता है:

1. अगर $ \बाएं|x\दाएं|
2. अगर $\बाएं|x\दाएं|\le a$ तो $-a\le x\le a$;
3. अगर $\बाएं|x\दाएं|>एक$ तो या तो $xa$;
4. अगर $\left|x\right|\ge a$, तो या तो $x\le -a$ या $x\ge a$।

उदाहरण 8

असमानता को हल करें $\left|2\cdot x+1\right|

यह असमानता असमानताओं के बराबर है $-7

यहाँ से हमें मिलता है: $-8

परिभाषा 1. संख्यात्मक अक्ष एक सीधी रेखा को मूल, स्केल और उस पर चुनी गई दिशा के साथ कहा जाता है।

प्रमेय 1. संख्यात्मक अक्ष के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार (आक्षेप) होता है।

जरुरत।आइए हम दिखाते हैं कि संख्यात्मक अक्ष का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है। ऐसा करने के लिए, इकाई लंबाई के पैमाने खंड को अलग रखें

बार तो उस बिंदु बिंदु के बाईं ओर स्थित होगा , और बिंदु
पहले से ही दाईं ओर। अगला खंड
से भाग
भागों और खंड को अलग रखें और बार तो उस बिंदु बिंदु के बाईं ओर स्थित होगा , और बिंदु
पहले से ही दाईं ओर। इस प्रकार, प्रत्येक चरण में, संख्या
,
... अगर यह प्रक्रिया किसी चरण में समाप्त हो जाती है, तो हमें नंबर मिल जाएगा
(बिंदु निर्देशांक संख्या रेखा पर)। यदि नहीं, तो हम किसी भी अंतराल की बाईं सीमा को "नंबर" कहते हैं एक नुकसान के साथ", और सही एक - "संख्या अधिक", या "संख्या का सन्निकटन" कमी या अधिकता के साथ, "और संख्या ही" एक अनंत गैर-आवधिक (क्यों?) दशमलव अंश होगा। यह दिखाया जा सकता है कि एक अपरिमेय संख्या के परिमेय सन्निकटन के साथ सभी संक्रियाएँ स्पष्ट रूप से परिभाषित हैं।

पर्याप्तता।आइए हम दिखाते हैं कि कोई भी वास्तविक संख्या संख्या अक्ष पर एक बिंदु से मेल खाती है। मैं

परिभाषा 2. यदि एक
, फिर संख्या अंतराल
बुलायाखंड , अगर
, फिर संख्या अंतराल बुलायामध्यान्तर , अगर
, फिर संख्या अंतराल
बुलायाअर्ध-अंतराल .

हे
परिभाषा 3. यदि खंड
नेस्टेड खंड ताकि
, ए
, तो ऐसी प्रणाली को SHS कहा जाता है (नेस्टेड खंड प्रणाली ).

परिभाषा 4. वे कहते हैं कि

(खंड की लंबाई
शून्य हो जाता है , उसे उपलब्ध कराया
), अगर।

परिभाषा 5. एसवीएस, जो
एसएसएस (अनुबंध खंडों की प्रणाली) कहा जाता है।

कैंटर-डेडेकाइंड का स्वयंसिद्ध: किसी भी SHS में, कम से कम एक बिंदु होता है जो एक ही बार में उन सभी से संबंधित होता है।

संख्या के परिमेय सन्निकटन के बाद से अनुबंध खंडों की एक प्रणाली द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, फिर एक तर्कसंगत संख्या संख्यात्मक अक्ष के एक बिंदु के अनुरूप होगा यदि अनुबंधित खंडों की प्रणाली में एक ही बिंदु है जो उन सभी से संबंधित है ( कैंटर की प्रमेय) आइए इसे उल्टा दिखाते हैं।

. रहने दो और ऐसे दो बिंदु, और
,
. टी
ठीक है कैसे,
, तब
. लेकिन दूसरी तरफ,
, और वो। कुछ नंबर से शुरू
,
किसी भी स्थिरांक से कम होगा। यह विरोधाभास साबित करता है कि क्या आवश्यक है। मैं

इस प्रकार, हमने दिखाया है कि संख्यात्मक अक्ष निरंतर है (कोई "छेद" नहीं है) और उस पर कोई और संख्या नहीं रखी जा सकती है। हालांकि, हम अभी भी नहीं जानते कि किसी भी वास्तविक संख्या (विशेष रूप से, नकारात्मक से) से जड़ें कैसे निकालें और यह नहीं जानते कि समीकरणों को कैसे हल किया जाए
. धारा 5 में हम इस समस्या के समाधान से निपटेंगे।

3. 4. चेहरों का सिद्धांत

परिभाषा 1. गुच्छा
ऊपर से सीमित (नीचे की ओर से ) यदि कोई संख्या है , ऐसा है कि
. संख्या बुलायाऊपर (नीचे ) किनारा .

परिभाषा 2. गुच्छासीमित अगर यह ऊपर और नीचे दोनों से घिरा है।

परिभाषा 3. सटीक शीर्ष किनारे वास्तविक संख्याओं का ऊपरी बाउंड सेट
बुलाया :

(वे। - ऊपरी चेहरों में से एक);

(वे। - अचल)।

टिप्पणी। किसी संख्या के बड़े ऊपरी बाउंड (TSB) सेट
लक्षित
(अक्षांश से। सर्वोच्च- सबसे छोटा सबसे बड़ा)।

टिप्पणी। TNG के लिए संगत परिभाषा ( सटीक निचला किनारा) अपने आप को दो। टीएनजी नंबर सेट
लक्षित
(अक्षांश से। इन्फिनम- सबसे छोटे में से सबसे बड़ा)।

टिप्पणी। संबंधित हो सकता है
, या शायद नहीं। संख्या ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का TNG है, और धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का TNG है, लेकिन यह किसी एक या दूसरे से संबंधित नहीं है। संख्या प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का TNG है और उन्हें संदर्भित करता है।

प्रश्न उठता है: क्या किसी भी परिबद्ध समुच्चय की सटीक सीमाएँ होती हैं, और कितनी होती हैं?

प्रमेय 1. ऊपर से परिबद्ध वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त सेट में एक अद्वितीय TVG होता है। (इसी प्रकार, टीएनजी के लिए प्रमेय स्वयं तैयार करें और सिद्ध करें)।

डिज़ाइन।गुच्छा
ऊपर से परिबद्ध वास्तविक संख्याओं का गैर-रिक्त सेट। फिर
और
. खंड को विभाजित करें

पी
डंडे और इसे एक खंड कहते हैं
एक जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

रेखा खंड
कम से कम एक बिंदु शामिल है
. (उदाहरण के लिए, डॉट );

पूरा सेट
बिंदु के बाईं ओर स्थित है , अर्थात।
.

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें CCC प्राप्त होता है
. इस प्रकार, कैंटर के प्रमेय के अनुसार, एक अद्वितीय बिंदु है , एक ही बार में सभी खंडों से संबंधित। आइए दिखाते हैं कि
.

आइए दिखाते हैं कि
(वे। किनारों में से एक)। इसके विपरीत मान लें कि
. जैसा
, तब
एक बार
,
, अर्थात।
, अर्थात।
. बिंदु चयन नियम के अनुसार
, डॉट हमेशा बाईं ओर , अर्थात।
, इसलिए, और
. लेकिन चुना जाता है ताकि सभी
, ए
, अर्थात। और
. यह विरोधाभास प्रमेय के इस भाग को सिद्ध करता है।

आइए दिखाते हैं अचलता , अर्थात।
. चलो ठीक करते हैं
और एक नंबर खोजें। अनुसार
खंड चुनने के लिए नियम 1 के साथ। हमने अभी दिखाया है कि
, अर्थात।
, या
. इस प्रकार
, या
. ■

एक अक्ष एक सीधी रेखा है जिस पर दो संभावित दिशाओं में से एक को सकारात्मक के रूप में चिह्नित किया जाता है (विपरीत दिशा को नकारात्मक माना जाता है)। सकारात्मक दिशा आमतौर पर एक तीर द्वारा इंगित की जाती है। संख्यात्मक (या समन्वय) अक्ष वह अक्ष है जिस पर प्रारंभिक बिंदु (या शुरुआत) O और स्केल यूनिट या स्केल सेगमेंट OE चुना जाता है (चित्र 1)।

इस प्रकार, संख्यात्मक अक्ष प्रत्यक्ष दिशा, मूल और पैमाने को इंगित करके दिया जाता है।

संख्या रेखा पर स्थित बिंदु वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। पूर्णांकों को बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक सकारात्मक पूर्णांक के मामले में O की शुरुआत के दाईं ओर और ऋणात्मक के मामले में बाईं ओर आवश्यक संख्या में स्केल सेगमेंट को बंद करके प्राप्त किया जाता है। ज़ीरो को शुरुआती बिंदु ओ द्वारा दर्शाया गया है (अक्षर ओ स्वयं शून्य की याद दिलाता है; यह ओरिगो शब्द का पहला अक्षर है, जिसका अर्थ है "शुरुआत")। भिन्नात्मक (तर्कसंगत) संख्याएं भी केवल अक्ष बिंदुओं द्वारा दर्शायी जाती हैं; उदाहरण के लिए, संख्या के अनुरूप एक बिंदु बनाने के लिए, तीन स्केल सेगमेंट और स्केल सेगमेंट के एक तिहाई हिस्से को O के बाईं ओर सेट किया जाना चाहिए (चित्र 1 में बिंदु A)। अंजीर में बिंदु ए के अलावा। 1 क्रमशः संख्या -2 का प्रतिनिधित्व करते हुए अधिक अंक बी, सी, डी दिखाता है; 3/2; 4.

पूर्णांकों की एक अनंत संख्या होती है, लेकिन संख्यात्मक अक्ष पर, पूर्णांकों को "शायद ही कभी" स्थित बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, अक्ष के पूर्णांक बिंदुओं को एक स्केल इकाई द्वारा पड़ोसी से अलग किया जाता है। परिमेय बिंदु अक्ष पर बहुत "घने" स्थित होते हैं - यह दिखाना आसान है कि अक्ष के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे खंड पर परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले असीम रूप से कई बिंदु हैं। हालाँकि, संख्या रेखा पर ऐसे बिंदु हैं जो परिमेय संख्याओं के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। इसलिए, यदि आप पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज OEC के कर्ण OS के बराबर वास्तविक अक्ष पर एक खंड OA का निर्माण करते हैं, तो इस खंड की लंबाई (पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, पृष्ठ 216) बराबर होगी और बिंदु A होगा एक परिमेय संख्या का प्रतिबिम्ब न बनें।

ऐतिहासिक रूप से, यह उन खंडों के अस्तित्व का तथ्य था जिनकी लंबाई एक संख्या (एक परिमेय संख्या!) द्वारा व्यक्त नहीं की जा सकती, जिसके कारण अपरिमेय संख्याओं की शुरुआत हुई।

अपरिमेय संख्याओं की शुरूआत, जो परिमेय संख्याओं के साथ मिलकर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाती है, इस तथ्य की ओर ले जाती है कि संख्या अक्ष का प्रत्येक बिंदु एक एकल वास्तविक संख्या से मेल खाता है, जिसकी छवि यह कार्य करती है। इसके विपरीत, प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्यात्मक अक्ष पर एक सुपरिभाषित बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं और संख्यात्मक अक्ष के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

चूँकि हम संख्या अक्ष को एक सतत रेखा के रूप में देखते हैं, और इसके बिंदु वास्तविक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (आइटम 6) के निरंतरता गुण के बारे में बात कर रहे हैं।

हम यह भी नोट करते हैं कि एक निश्चित अर्थ में (हम इसे निर्दिष्ट नहीं करते हैं) परिमेय संख्याओं की तुलना में अतुलनीय रूप से अधिक अपरिमेय संख्याएँ हैं।

संख्यात्मक अक्ष के किसी दिए गए बिंदु A द्वारा दर्शाई गई संख्या को इस बिंदु का निर्देशांक कहा जाता है; तथ्य यह है कि a, बिंदु A का निर्देशांक है, इस प्रकार लिखा गया है: A (a)। किसी भी बिंदु A के निर्देशांक को OA खंड के OA / OE के पैमाने खंड OE के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिससे, नकारात्मक दिशा में O की शुरुआत से स्थित बिंदुओं के लिए, एक ऋण चिह्न असाइन किया जाता है।

अब हम समतल पर आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रस्तुत करते हैं। आइए हम दो परस्पर लंबवत संख्यात्मक अक्षों ऑक्स और ओए लेते हैं, जिनमें एक सामान्य मूल ओ और समान पैमाने के खंड होते हैं (व्यावहारिक रूप से, विभिन्न पैमाने की इकाइयों के साथ समन्वय अक्ष अक्सर उपयोग किए जाते हैं)। मान लीजिए कि ये कुल्हाड़ियाँ (चित्र 3) समतल पर एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली बनाती हैं। बिंदु O को निर्देशांक की उत्पत्ति कहा जाता है, ऑक्स और ओए अक्ष समन्वय अक्ष हैं (ऑक्स अक्ष को एब्सिस्सा अक्ष कहा जाता है, ओए अक्ष कोऑर्डिनेट अक्ष कहा जाता है)। अंजीर पर। 3, हमेशा की तरह, भुज क्षैतिज है, y-अक्ष लंबवत है। जिस तल पर निर्देशांक प्रणाली दी जाती है उसे निर्देशांक तल कहा जाता है।

विमान के प्रत्येक बिंदु को संख्याओं की एक जोड़ी सौंपी जाती है - दिए गए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष इस बिंदु के निर्देशांक। अर्थात्, हम अक्ष ऑक्स और ओए पर बिंदु एम के आयताकार प्रक्षेपण लेते हैं, अक्ष ऑक्स, ओए पर संबंधित बिंदुओं को अंजीर में दर्शाया गया है। 3 के माध्यम से

बिंदु, संख्यात्मक अक्ष के एक बिंदु के रूप में, निर्देशांक (भुज) x, बिंदु, संख्यात्मक अक्ष के एक बिंदु के रूप में, निर्देशांक (निर्देशांक) y है। ये दो संख्याएँ y (दिखाए गए क्रम में लिखी गई) बिंदु M के निर्देशांक कहलाती हैं।

साथ ही वे लिखते हैं: (एक्स, वाई)।

तो, समतल के प्रत्येक बिंदु को वास्तविक संख्याओं (x, y) का एक क्रमबद्ध युग्म दिया जाता है - इस बिंदु के कार्तीय आयताकार निर्देशांक। शब्द "आदेशित जोड़ी" इंगित करता है कि किसी को जोड़ी की पहली संख्या - एब्सिस्सा और दूसरी - कोर्डिनेट के बीच अंतर करना चाहिए। इसके विपरीत, संख्याओं का प्रत्येक युग्म (x, y) एक एकल बिंदु M को परिभाषित करता है जिसके लिए x भुज है और y कोटि है। समतल में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली स्थापित करना विमान के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है।

निर्देशांक अक्ष निर्देशांक तल को चार भागों, चार चतुर्थांशों में विभाजित करते हैं। चतुष्कोणों को चित्र में दर्शाए अनुसार क्रमांकित किया गया है। 3, रोमन अंकों में।

एक बिंदु के निर्देशांक के संकेत इस पर निर्भर करते हैं कि वह किस चतुर्थांश में स्थित है, जैसा कि निम्न तालिका में दिखाया गया है:

अक्ष पर स्थित बिंदुओं की कोटि y शून्य के बराबर होती है, अक्ष पर स्थित बिंदुओं का एक भुज शून्य के बराबर होता है। मूल O के दोनों निर्देशांक शून्य के बराबर हैं: .

उदाहरण 1. समतल पर बिन्दुओं की रचना कीजिए

समाधान अंजीर में दिया गया है। 4.

यदि एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो उन बिंदुओं के निर्देशांक को इंगित करना आसान है जो अक्षों के बारे में इसके साथ सममित हैं ऑक्स, ओए और मूल: ऑक्स अक्ष के बारे में एम के साथ सममित बिंदु में एक के निर्देशांक होंगे निर्देशांक के बारे में एम के साथ सममित बिंदु, अंत में, मूल के सापेक्ष एम के साथ सममित बिंदु पर, निर्देशांक (-x, -y) होंगे।

आप निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक के संबंध में सममित बिंदुओं के एक युग्म के निर्देशांकों के बीच संबंध भी निर्दिष्ट कर सकते हैं (चित्र 5); यदि इनमें से एक बिंदु M के निर्देशांक x और y हैं, तो दूसरे भुज का y पहले बिंदु की कोटि के बराबर है, और कोटि पहले बिंदु का भुज है।

दूसरे शब्दों में, निर्देशांक कोणों के द्विभाजक के संबंध में M के साथ सममित बिंदु N के निर्देशांक होंगे, इस स्थिति को सिद्ध करने के लिए, समकोण त्रिभुज O AM और OBN पर विचार करें। वे समन्वय कोण के द्विभाजक के संबंध में सममित रूप से स्थित हैं और इसलिए समान हैं। उनके संबंधित पैरों की तुलना करते हुए, हम अपने कथन की सत्यता की पुष्टि करेंगे।

कार्तीय आयताकार निर्देशांक की प्रणाली को अक्षों की दिशा और स्केल सेगमेंट के आकार को बदले बिना इसके मूल O को एक नए बिंदु O पर ले जाकर रूपांतरित किया जा सकता है। अंजीर पर। चित्रा 6 एक ही समय में दो समन्वय प्रणालियों को दिखाता है: मूल ओ के साथ "पुराना" और मूल ओ के साथ "नया"। एक मनमाना बिंदु एम में अब निर्देशांक के दो जोड़े हैं, पुराने समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक, नए के सापेक्ष दूसरा। यदि पुरानी प्रणाली में नई शुरुआत के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है, तो बिंदु M के पुराने निर्देशांक और उसके नए निर्देशांक (x, y) के बीच संबंध सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है

इन सूत्रों को समन्वय प्रणाली हस्तांतरण सूत्र कहा जाता है; जब वे अंजीर में प्रदर्शित होते हैं। 6, बिंदु M की सबसे सुविधाजनक स्थिति चुनी जाती है, जो पुरानी और नई दोनों प्रणालियों के पहले चतुर्थांश में स्थित है।

यह देखा जा सकता है कि सूत्र (8.1) बिंदु M के किसी भी स्थान के लिए मान्य रहते हैं।

विमान पर बिंदु M की स्थिति को न केवल इसके कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक y द्वारा, बल्कि अन्य तरीकों से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए, उदाहरण के लिए, बिंदु M को मूल O (चित्र 7) से जोड़ते हैं और निम्नलिखित दो संख्याओं पर विचार करते हैं: खंड की लंबाई और इस खंड के झुकाव के कोण को अक्ष की सकारात्मक दिशा में; , यदि रोटेशन वामावर्त है, और ऋणात्मक अन्यथा, जैसा कि त्रिकोणमिति में प्रथागत है। खंड को बिंदु M का ध्रुवीय त्रिज्या कहा जाता है, कोण ध्रुवीय कोण है, संख्याओं की एक जोड़ी बिंदु M के ध्रुवीय निर्देशांक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं , बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, आपको केवल एक समन्वय अक्ष ऑक्स (इस मामले में ध्रुवीय अक्ष कहा जाता है) निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। हालांकि, एक साथ ध्रुवीय और कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक दोनों पर विचार करना सुविधाजनक है, जैसा कि अंजीर में किया गया है। 7.

एक बिंदु के ध्रुवीय कोण को एक बिंदु निर्दिष्ट करके अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है: यदि किसी बिंदु के ध्रुवीय कोणों में से एक है, तो कोई भी कोण

इसका ध्रुवीय कोण होगा। ध्रुवीय त्रिज्या और कोण निर्दिष्ट करना बिंदु की स्थिति को एक अनोखे तरीके से निर्धारित करता है। मूल O (ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली का ध्रुव कहलाता है) की त्रिज्या शून्य के बराबर है, बिंदु O को कोई निश्चित ध्रुवीय कोण नहीं दिया गया है।

एक बिंदु के कार्तीय और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच निम्नलिखित संबंध हैं:

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा से सीधे निम्नलिखित (धारा 97)। ये संबंध दिए गए ध्रुवीय निर्देशांक से कार्तीय निर्देशांक खोजना संभव बनाते हैं। निम्नलिखित सूत्र:

प्रतिलोम समस्या को हल करने की अनुमति दें: किसी बिंदु के दिए गए कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करके, इसके ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात करें।

इस मामले में, मान (या ) से, आप पहले सर्कल के भीतर कोण के दो संभावित मान पा सकते हैं; उनमें से एक को साइन कॉफ़ द्वारा चुना जाता है। आप कोण को उसके स्पर्शरेखा द्वारा भी निर्धारित कर सकते हैं: लेकिन इस मामले में, जिस तिमाही में स्थित है, वह साइन कॉफ़ या द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

इसके ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा दिए गए एक बिंदु का निर्माण (कार्टेशियन निर्देशांक की गणना के बिना) इसके ध्रुवीय कोण और त्रिज्या द्वारा किया जाता है।

उदाहरण 2. बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2 पहली डिग्री के समीकरण और असमानताएं
अध्याय 1 . से दोहराव की समस्याओं को हल करके विषय का अध्ययन शुरू करें

4. असमानताएं

संख्यात्मक असमानताएं और उनके गुण

175. संख्याओं के बीच असमानता का चिन्ह लगाएं एऔर बीयदि यह ज्ञात हो कि:
1) (ए - बी) एक सकारात्मक संख्या है;
2) (ए - बी) - एक ऋणात्मक संख्या;
3) (ए - बी) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है।

176. एक्स, अगर:
1) एक्स> 0; 2) एक्स < 0; 3) 1 < एक्स; 4) एक्स > -3,2?

177. असमानता के संकेतों का प्रयोग करते हुए लिखिए कि:
1) एक्स- सकारात्मक संख्या;
2) पर-एक नकारात्मक संख्या;
3) | ए| - गैर-ऋणात्मक संख्या;
4) दो धनात्मक संख्याओं का समांतर माध्य एऔर बीउनके ज्यामितीय माध्य से कम नहीं;
5) दो परिमेय संख्याओं के योग का निरपेक्ष मान एऔर बीशर्तों के निरपेक्ष मूल्यों के योग से अधिक नहीं।

178. संख्याओं के संकेतों के बारे में क्या कहा जा सकता है एऔर बी, अगर:

1) एक बी> 0; 2) ए / बी > 0; 3) एक बी< 0; 4) ए / बी < 0?

179. 1) निम्नलिखित संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें, उन्हें असमानता चिह्न से जोड़ते हुए: 0; -5; 2. इस प्रविष्टि को कैसे पढ़ें?

2) निम्नलिखित संख्याओं को असमानता के चिन्ह से जोड़ते हुए अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें: -10; 0.1; -2/3। इस प्रविष्टि को कैसे पढ़ें?

180. तीन अंकों की सभी संख्याओं को आरोही क्रम में लिखें, जिनमें से प्रत्येक में संख्याएँ 2 हों; 0; 5, और उन्हें एक असमानता के संकेत के साथ जोड़ दें।

181. 1) एक निश्चित लंबाई को एक बार मापते समय मैंपाया कि यह 217 सेमी से अधिक है, लेकिन 218 सेमी से कम है। इन संख्याओं को लंबाई मान की सीमाओं के रूप में लेते हुए, माप के परिणाम को रिकॉर्ड करें। मैं.

2) किसी वस्तु को तौलते समय, यह पता चला कि वह 19.5 ग्राम से अधिक भारी थी, लेकिन 20.0 ग्राम से हल्की थी। तोलने के परिणाम को सीमाओं को इंगित करते हुए लिखिए।

182. जब किसी वस्तु को 0.05 किग्रा की सटीकता के साथ तौला जाता है, तो हमें वजन प्राप्त होता है
26.4 किग्रा। इस मद के वजन की सीमा निर्दिष्ट करें।

183. जहाँ संख्या रेखा पर संख्या को निरूपित करने वाला बिंदु होता है एक्स, अगर:
1) 3 < एक्स < 10; 2) - 2 < एक्स < 7; 3) - 1 > एक्स > - 6?

184. संख्या अक्ष पर पूर्णांक मान खोजें और इंगित करें एक्स, असमानताओं को संतुष्ट करना।

1) 0,2 < एक्स <4;
2)-3 < एक्स <2;
3) 1 / 2 < एक्स< 5;
4) -1< एक्स<;3.

185. 141 और 152 के बीच 9 का गुणज क्या है? संख्या रेखा पर एक उदाहरण दीजिए।

186. निर्धारित करें कि दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी है, यदि यह ज्ञात है कि उनमें से प्रत्येक 103 से अधिक और 115 से कम है, और पहली संख्या 13 का गुणज है, और दूसरी संख्या 3 का गुणज है। एक ज्यामितीय उदाहरण दें।

187. उचित भिन्नों के बीच निकटतम पूर्ण संख्याएँ क्या हैं? क्या दो पूर्णांकों को निर्दिष्ट करना संभव है जिनके बीच सभी अनुचित अंश संलग्न हैं?

188. गणित, भौतिकी और इतिहास पर 6 किताबें खरीदीं। यदि इतिहास की तुलना में गणित में अधिक पुस्तकें खरीदी गईं, और इतिहास की तुलना में भौतिकी में कम खरीदी गईं तो प्रत्येक विषय में कितनी पुस्तकें खरीदी गईं?

189. बीजगणित पाठ में, तीन छात्रों के ज्ञान का परीक्षण किया गया था। प्रत्येक छात्र को क्या ग्रेड मिला यदि यह ज्ञात हो कि पहले वाले को दूसरे से अधिक, और दूसरे को तीसरे से अधिक, और प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त अंकों की संख्या दो से अधिक है?

190. एक शतरंज टूर्नामेंट में, शतरंज के खिलाड़ी A, B, C और D ने सबसे अच्छे परिणाम प्राप्त किए। क्या यह पता लगाना संभव है कि टूर्नामेंट में प्रत्येक प्रतिभागी ने क्या स्थान प्राप्त किया यदि यह ज्ञात हो कि A ने D से अधिक अंक प्राप्त किए हैं, और B ने कम सी से?

191. असमानता को देखते हुए ए> बी. क्या यह हमेशा ए सी> बी सी? उदाहरण दो।

192. असमानता को देखते हुए ए< बी. क्या असमानता सही है? ए > - बी?

193. क्या असमानता के चिन्ह को बदले बिना इसके दोनों भागों को व्यंजक से गुणा करना संभव है? एक्स 2 + 1, जहां एक्स- कोई परिमेय संख्या?

194. असमानता के दोनों पक्षों को कोष्ठक में दिए गए गुणनखंड से गुणा करें।

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) एक्स > 2 (एक्स);
4) ए < - 1 (ए); 5) बी < - 3 (-बी); 6)एक्स -2 > 1 (एक्स).

195. असमानता के पूरे रूप में लाओ:

196. एक समारोह दिया वाई = केएक्स, कहाँ पे क परबढ़ते तर्क के साथ एक्सअगर: 1) क> 0; 2) क < 0? Обосновать ответы.

197. एक समारोह दिया वाई = केएक्स + बी, कहाँ पे क =/= 0, बी=== 0. फ़ंक्शन मान कैसे बदलते हैं परघटते तर्क मूल्यों के साथ एक्सअगर: 1) क > 0; 2) क < 0? Обосновать ответы.

198. सिद्ध कीजिए कि यदि ए> बीऔर साथ> 0, तब ए / सी > बी / सी; अगर ए> बीऔर साथ< 0, то ए / सी < बी / सी .

199. असमानता के दोनों पक्षों को कोष्ठक में दी गई संख्याओं से विभाजित करें:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) ए < - 2ए 2 (ए);
4) ए > ए 2 (ए); 5) ए 3 > ए 2 (-ए).

200. शब्द असमानताओं के आधार पर जोड़ें:

1) 12 > 11 और 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) ए - 2 < 8 + बीऔर 5 - 2 ए < 2 - बी;
4) एक्स 2 + 1 > 2एक्सऔर एक्स - 3 < 9 - एक्स 2 .

201. सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उसके अर्धपरिमाप से छोटा होता है।

202. सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाओं का योग उसके विकर्णों के योग से कम होता है।

203. पहली से दूसरी असमानता पद से घटाएं:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2ए- 1 > 3बी; 2बी > 3.

204. सिद्ध कीजिए कि यदि | एक्स |< а , तब - ए< х < а .

205. निम्नलिखित असमानताओं को दोहरी असमानताओं के रूप में लिखें:
1) | टी |< 1; 2) | एक्स - 2 | < 2.

206. संख्या अक्ष पर सभी मानों का सेट निर्दिष्ट करें एक्सअसमानताओं को संतुष्ट करना: 1) | एक्स |< 2; 2) | एक्स | < 1; 3) | एक्स | > 3; 4) | एक्स - 1 | < 1.

207. सिद्ध कीजिए कि यदि - ए< х < а , फिर | एक्स |< ए.

208. एक संक्षिप्त संकेतन के साथ दोहरी असमानताओं को बदलें:
1) -2 < ए < 2; 2) -1 < 2पी < 1; 3) 1 < एक्स < 3.

209. अनुमानित लंबाई मैं= 24.08 (± 0.01) मिमी। लंबाई सीमा निर्धारित करें मैं.

210. मीटर रूलर का उपयोग करके समान दूरी के पांच गुना माप ने निम्नलिखित परिणाम दिए: 21.56; 21.60; 21.59; 21.55; 21.61 (एम)। माप परिणामों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए, जो निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों की सीमाओं को दर्शाता है।

211. कार्गो का वजन करते समय, पी = 16.7 (± 0.4%) किलो प्राप्त किया गया था। भार R की सीमा ज्ञात कीजिए।

212. ए≈ 16.4, सापेक्ष त्रुटि = 0.5%। पूर्ण त्रुटि खोजें
Δ एऔर उन सीमाओं को निर्धारित करें जिनके बीच अनुमानित संख्या निहित है।

213. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के अनुमानित मूल्य की सापेक्ष त्रुटि की सीमा निर्धारित करें, यदि अनुमानित मान सही अंकों की निर्दिष्ट संख्या के साथ लिया जाता है: 1) 11 / 6 तीन सही अंकों के साथ; 2) 5 चार सही अंकों के साथ।

214. मानचित्र पर दो शहरों के बीच की दूरी को मापने पर, उन्होंने पाया कि यह 24.4 सेमी से अधिक है, लेकिन 24.8 सेमी से कम है। शहरों के बीच की वास्तविक दूरी और पूर्ण गणना त्रुटि का पता लगाएं यदि नक्शा स्केल 1: 2,500,000 है।

215. गणना करें और परिणाम की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों का निर्धारण करें: एक्स = ए + बी - सी, अगर ए= 7.22 (± 0.01); 3.14< बी < 3,17; साथ= 5.4 (± 0.05)।

216. असमानताओं को पद से गुणा करें:

1) 7 > 5 और 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)ए> 2 और बी < -2.

217. असमानता को देखते हुए ए > बी. क्या यह हमेशा ए 2 > बी 2? उदाहरण दो।

218. यदि एक ए> बी > 0 और पीएक प्राकृतिक संख्या है, तो यूपी > बी. सिद्ध करना।

219. कौन सा बड़ा है: (0.3) 20 या (0.1) 10 ?

220. यदि एक ए> बी > 0 या बी< а < 0 फिर 1 / ए < 1 / बी. सिद्ध करना।

221. 437 मीटर की लंबाई और 162 मीटर की चौड़ाई के साथ एक आयताकार भूमि भूखंड के क्षेत्र की गणना करें, यदि भूखंड की लंबाई को मापते समय ± 2 मीटर की त्रुटि संभव है, और मापते समय ± 1 मीटर की त्रुटि हो सकती है चौड़ाई।