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पूर्वावलोकन:

विषय

अंकगणितीय प्रगति

लक्ष्य :

• इसकी परिभाषा और चिह्न का उपयोग करके अंकगणितीय प्रगति को पहचानना सिखाएं;
• प्रगति के सामान्य सदस्य की परिभाषा, चिन्ह, सूत्र का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सिखाएं।

पाठ मकसद:

एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा दें, एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत साबित करें और सिखाएं कि समस्याओं को हल करने में उन्हें कैसे लागू किया जाए।

शिक्षण विधियों:

छात्रों के ज्ञान की प्राप्ति, स्वतंत्र कार्य, व्यक्तिगत कार्य, समस्या की स्थिति का निर्माण।

आधुनिक तकनीकें:

आईसीटी, समस्या-आधारित शिक्षा, विभेदित शिक्षा, स्वास्थ्य-बचत प्रौद्योगिकियां।

शिक्षण योजना

	पाठ के चरण।	कार्यान्वयन का समय।
	आयोजन का समय।	दो मिनट
	अतीत की पुनरावृत्ति	5 मिनट
	नई सामग्री सीखना	15 मिनटों
	शारीरिक शिक्षा मिनट	3 मिनट
	विषय पर असाइनमेंट पूरा करना	15 मिनटों
	गृहकार्य	दो मिनट
	सारांश	3 मिनट

कक्षाओं के दौरान:

1. पिछले पाठ में, हम "अनुक्रम" की अवधारणा से परिचित हुए।

आज हम संख्या अनुक्रमों का अध्ययन करना जारी रखेंगे, उनमें से कुछ को परिभाषित करेंगे, उनके गुणों और विशेषताओं से परिचित होंगे।

1. प्रश्नों के उत्तर दें: अनुक्रम क्या है?

क्रम क्या हैं?

आप एक क्रम कैसे स्थापित कर सकते हैं?

एक संख्या अनुक्रम क्या है?

क्या आप जानते हैं कि संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तरीके क्या हैं? किस सूत्र को पुनरावर्ती कहा जाता है?

1. संख्या क्रम दिए गए हैं:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

प्रत्येक अनुक्रम में एक प्रतिमान ज्ञात कीजिए और प्रत्येक के अगले तीन सदस्यों के नाम लिखिए।

1. ए एन = ए एन -1 +1
2. ए एन \u003d ए एन -1 + 3
3. ए एन = ए एन -1 + (-2)
4. ए एन \u003d ए एन -1 + 0.5

प्रत्येक अनुक्रम के लिए पुनरावर्ती सूत्र का नाम बताइए।

स्लाइड 1

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के बराबर होता है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है।

संख्या d को समांतर श्रेणी का अंतर कहा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, इसलिए यह बढ़ती, घटती, स्थिर हो सकती है। ऐसे अनुक्रमों के उदाहरण दीजिए, प्रत्येक प्रगति के अंतर को नाम दीजिए, निष्कर्ष निकालिए।

हम एक अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

बोर्ड पर: चलो एक 1 प्रगति का पहला सदस्य है, d इसका अंतर है, तो

ए 2 \u003d ए 1 + डी

ए 3 \u003d (ए 1 + डी) + डी \u003d ए 1 + 2 डी

ए 4 \u003d (ए 1 + 2 डी) + डी \u003d ए 1 + 3 डी

ए 5 \u003d (ए 1 + 3डी) + डी \u003d ए 1 + 4डी

ए एन \u003d ए 1 + डी (एन -1) - अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र।

समस्या हल करें: एक समांतर श्रेणी में, पहला पद 5 है, और अंतर 4 है।

इस प्रगति का 22वाँ पद ज्ञात कीजिए।

छात्र बोर्ड पर निर्णय लेता है: aएन = ए 1 + डी (एन -1)

ए 22 \u003d ए 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।

हम उठकर।

बेल्ट पर हाथ। बाएं, दाएं, (2 बार);

आगे झुकता है, पीछे (2 बार);

अपने हाथों को ऊपर उठाएं, गहरी सांस लें, अपने हाथों को नीचे करें, सांस छोड़ें। (2 बार)

उन्होंने हाथ मिलाया। धन्यवाद।

उतारा। हम सबक जारी रखते हैं।

हम एक अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के सूत्र के अनुप्रयोग पर समस्याओं का समाधान करते हैं।

छात्रों को निम्नलिखित कार्य दिए जाते हैं:

1. एक समान्तर श्रेणी में, पहला पद -2 है, d=3, aएन = 118।

एन खोजें।

1. एक समान्तर श्रेणी में, पहला पद 7 है, पंद्रहवाँ पद -35 है। अंतर खोजें।
2. यह ज्ञात है कि एक समांतर श्रेणी में d=-2, a39=83. प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

छात्रों को समूहों में बांटा गया है। कार्य 5 मिनट के लिए दिया जाता है। फिर समस्याओं को हल करने वाले पहले 3 छात्रों ने उन्हें बोर्ड पर हल किया। समाधान स्लाइड्स पर दोहराया गया है।

एक अंकगणितीय प्रगति के विशिष्ट गुणों पर विचार करें।

अंकगणितीय प्रगति में

एक एन-डी = ए (एन -1)

एन+डी=ए (एन+1)

हम इन दो समानताओं को पद दर पद से जोड़ते हैं, हमें प्राप्त होता है: 2 n=a(n+1)+a(n-1)

ए एन =(ए (एन+1) +ए (एन-1 ))/2

इसका मतलब यह है कि पहले और आखिरी को छोड़कर, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

प्रमेय:

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और अंतिम, एक परिमित अनुक्रम के मामले में) को छोड़कर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है। एक अंकगणितीय प्रगति)।

गणित और भौतिकी में कई विषयों को समझना संख्या श्रृंखला के गुणों के ज्ञान से जुड़ा है। कक्षा 9 में स्कूली बच्चे, "बीजगणित" विषय का अध्ययन करते समय, संख्याओं के महत्वपूर्ण अनुक्रमों में से एक पर विचार करें - एक अंकगणितीय प्रगति। आइए एक अंकगणितीय प्रगति (ग्रेड 9) के बुनियादी सूत्रों के साथ-साथ समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग के उदाहरण दें।

बीजीय या अंकगणितीय प्रगति

इस लेख में चर्चा की जाने वाली संख्या श्रृंखला को दो अलग-अलग तरीकों से कहा जाता है, जिसे इस पैराग्राफ के शीर्षक में प्रस्तुत किया गया है। तो, गणित में एक अंकगणितीय प्रगति को एक ऐसी संख्या श्रृंखला के रूप में समझा जाता है जिसमें एक दूसरे के बगल में खड़ी कोई भी दो संख्याएँ समान मात्रा से भिन्न होती हैं, जिसे अंतर कहा जाता है। ऐसी श्रृंखला में संख्याओं को आमतौर पर कम पूर्णांक सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, a1, a2, a3, और इसी तरह, जहां सूचकांक श्रृंखला के तत्व की संख्या को इंगित करता है।

एक अंकगणितीय प्रगति की उपरोक्त परिभाषा को देखते हुए, हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: a2-a1 =...=an-an-1=d, यहां d बीजीय प्रगति का अंतर है और n कोई पूर्णांक है। यदि d>0, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि श्रृंखला का प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से बड़ा होगा, इस मामले में हम एक बढ़ती हुई प्रगति की बात करते हैं। अगर डी

अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9)

विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला, चूंकि यह आदेश दिया गया है और एक निश्चित गणितीय कानून का पालन करता है, इसमें दो गुण हैं जो इसके उपयोग के लिए महत्वपूर्ण हैं:

सबसे पहले, केवल दो संख्याओं a1 और d को जानकर, आप अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं। यह निम्न सूत्र का उपयोग करके किया जाता है: a = a1+(n-1)*d.

दूसरे, पहले वाले के n पदों के योग की गणना करने के लिए, उन्हें क्रम में जोड़ना आवश्यक नहीं है, क्योंकि आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: Sn = n*(an+a1)/2।

पहला सूत्र समझना आसान है, क्योंकि यह इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी से समान अंतर से भिन्न होता है।

अंकगणितीय प्रगति के लिए दूसरा सूत्र यह देखकर प्राप्त किया जा सकता है कि योग a1+an योग a2+an-1, a3+an-2, और इसी तरह के बराबर है। वास्तव में, चूँकि a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, और an-1 = -d+an, फिर इन व्यंजकों को संगत योगों में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि वे वही होंगे। दूसरे सूत्र में कारक n/2 (Sn के लिए) इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि ai+1+an-i प्रकार के बिल्कुल n/2 योग हैं, यहां मैं 0 से n/2- एक तक का पूर्णांक है .

जीवित ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, Sn के योग का सूत्र सबसे पहले कार्ल गॉस (प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ) द्वारा प्राप्त किया गया था, जब उन्हें एक स्कूल शिक्षक द्वारा पहली 100 संख्याओं को जोड़ने का कार्य दिया गया था।

नमूना समस्या # 1: अंतर खोजें

कार्य जो प्रश्न को इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं: अंकगणितीय प्रगति के सूत्रों को जानना, q (d) कैसे खोजना है, सबसे सरल हैं जो केवल इस विषय के लिए हो सकते हैं।

यहां एक उदाहरण दिया गया है: एक संख्यात्मक अनुक्रम -5, -2, 1, 4, ... दिया गया है, इसके अंतर को निर्धारित करना आवश्यक है, यानी डी।

ऐसा करने के लिए नाशपाती खोलना जितना आसान है: आपको दो तत्वों को लेने और छोटे को बड़े से घटाना होगा। इस मामले में, हमारे पास है: d = -2 - (-5) = 3।

प्राप्त उत्तर के बारे में सुनिश्चित होने के लिए, शेष अंतरों की जांच करने की सिफारिश की जाती है, क्योंकि प्रस्तुत अनुक्रम बीजीय प्रगति की स्थिति को पूरा नहीं कर सकता है। हमारे पास है: 1-(-2)=3 और 4-1=3। इन आंकड़ों से संकेत मिलता है कि हमें सही परिणाम (डी = 3) मिला और साबित हुआ कि समस्या कथन में संख्याओं की श्रृंखला वास्तव में बीजगणितीय प्रगति है।

नमूना समस्या # 2: प्रगति की दो शर्तों को जानकर अंतर खोजें

एक और दिलचस्प समस्या पर विचार करें, जो इस सवाल से उत्पन्न होती है कि अंतर कैसे खोजा जाए। इस मामले में अंकगणितीय प्रगति सूत्र का उपयोग nवें पद के लिए किया जाना चाहिए। तो, कार्य: एक श्रृंखला की पहली और पांचवीं संख्या दी गई है जो बीजगणितीय प्रगति के सभी गुणों से मेल खाती है, उदाहरण के लिए, ये संख्याएं a1 = 8 और a5 = -10 हैं। डी अंतर कैसे खोजें?

आपको nवें तत्व के लिए सूत्र का सामान्य रूप लिखकर इस समस्या को हल करना शुरू करना चाहिए: a = a1+d*(-1+n)। अब आप दो तरीकों से जा सकते हैं: या तो संख्याओं को तुरंत स्थानापन्न करें और उनके साथ पहले से ही काम करें, या d व्यक्त करें, और फिर विशिष्ट a1 और a5 पर आगे बढ़ें। आइए अंतिम विधि का उपयोग करें, हमें मिलता है: a5 = a1+d*(-1+5) या a5 = 4*d+a1, जिसका अर्थ है कि d = (a5-a1)/4। अब आप स्थिति से ज्ञात डेटा को सुरक्षित रूप से प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त कर सकते हैं: d = (-10-8)/4 = -4.5।

ध्यान दें कि इस मामले में प्रगति अंतर नकारात्मक निकला, यानी संख्याओं का घटता क्रम है। समस्याओं को हल करते समय इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है ताकि "+" और "-" संकेतों को भ्रमित न करें। उपरोक्त सभी सूत्र सार्वभौमिक हैं, इसलिए उन संख्याओं के संकेत की परवाह किए बिना हमेशा उनका पालन किया जाना चाहिए जिनके साथ संचालन किया जाता है।

समस्या संख्या 3 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, अंतर और तत्व जानने के लिए

आइए समस्या की स्थिति को थोड़ा बदलें। मान लीजिए कि दो संख्याएँ हैं: अंतर d=6 और प्रगति का 9वाँ तत्व a9 = 10. a1 कैसे ज्ञात करें? अंकगणितीय प्रगति के सूत्र अपरिवर्तित रहते हैं, हम उनका उपयोग करेंगे। संख्या a9 के लिए हमारे पास निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: a1+d*(9-1) = a9। जहाँ से हम श्रृंखला का पहला तत्व आसानी से प्राप्त कर सकते हैं: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38।

समस्या #4 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, दो तत्वों को जानना

समस्या का यह संस्करण पिछले संस्करण का एक जटिल संस्करण है। सार वही है, a1 की गणना करना आवश्यक है, लेकिन अब अंतर d ज्ञात नहीं है, और इसके बजाय प्रगति का एक और तत्व दिया गया है।

इस प्रकार की समस्या का एक उदाहरण निम्नलिखित है: एक क्रम में पहली संख्या ज्ञात कीजिए जिसे अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है और जिसके 15वें और 23वें तत्व क्रमशः 7 और 12 हैं।

शर्त से ज्ञात प्रत्येक तत्व के लिए nवें पद के लिए एक व्यंजक लिखकर इस समस्या को हल करना आवश्यक है, हमारे पास है: a15 = d*(15-1)+a1 and a23 = d*(23-1)+a1। जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो रैखिक समीकरण प्राप्त हुए हैं जिन्हें a1 और d के संबंध में हल करने की आवश्यकता है। आइए इसे करते हैं: पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाएं, फिर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d। अंतिम समीकरण प्राप्त करने में, a1 के मानों को छोड़ दिया गया क्योंकि घटाए जाने पर वे रद्द हो जाते हैं। ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतर पाते हैं: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625।

अनुक्रम का पहला सदस्य प्राप्त करने के लिए किसी ज्ञात तत्व के लिए d के मान को किसी भी सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए: a15 = 14*d+a1, जहां से: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75।

आइए परिणाम की जाँच करें, इसके लिए हम दूसरी अभिव्यक्ति के माध्यम से a1 पाते हैं: a23 = d*22+a1 या a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75।

समस्या संख्या 5 को हल करने का एक उदाहरण: n तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस बिंदु तक, समाधान के लिए केवल एक अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9) का उपयोग किया गया था। अब हम एक समस्या प्रस्तुत करते हैं जिसके समाधान के लिए हमें दूसरा सूत्र जानने की जरूरत है, जो कि Sn के योग के लिए है।

संख्याओं -1.1, -2.1, -3.1,... की निम्नलिखित क्रमबद्ध श्रृंखला को देखते हुए, आपको इसके पहले 11 तत्वों के योग की गणना करने की आवश्यकता है।

इस श्रृंखला से देखा जा सकता है कि यह घट रही है, और a1 = -1.1। इसका अंतर है: d = -2.1 - (-1.1) = -1। अब 11वें पद को परिभाषित करते हैं: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1। प्रारंभिक गणना पूरी करने के बाद, आप योग के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, हमारे पास: S11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1। चूँकि सभी पद ऋणात्मक संख्याएँ थे, इसलिए उनके योग का भी संगत चिन्ह होता है।

समस्या संख्या 6 को हल करने का एक उदाहरण: n से m . तक के तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

शायद इस प्रकार की समस्या अधिकांश छात्रों के लिए सबसे कठिन होती है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें: संख्या 2, 4, 6, 8 ... की एक श्रृंखला दी गई है, आपको 7वें से 13वें पदों तक का योग ज्ञात करना होगा।

अंकगणितीय प्रगति फ़ार्मुलों (ग्रेड 9) का उपयोग ठीक उसी तरह किया जाता है जैसे पहले सभी कार्यों में किया जाता था। इस कार्य को चरणों में हल करने की अनुशंसा की जाती है:

सबसे पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके 13 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

फिर पहले 6 तत्वों के लिए इस योग की गणना करें।

फिर पहली राशि में से दूसरा घटाएं।

आइए निर्णय पर आते हैं। पिछले मामले की तरह, हम प्रारंभिक गणना करेंगे: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26।

आइए दो योगों की गणना करें: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. अंतर लें और वांछित उत्तर प्राप्त करें: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140। ध्यान दें कि इस मान को प्राप्त करते समय, यह प्रगति के 6 तत्वों का योग था जिसे सबट्रेंड के रूप में इस्तेमाल किया गया था, क्योंकि 7वां पद S7-13 के योग में शामिल है।

कक्षा: 9

पाठ का प्रकार: पाठ नई सामग्री सीखना।

पाठ का उद्देश्य: अनुक्रमों के प्रकारों में से एक के रूप में अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा का गठन, एन-वें सदस्य के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की विशेषता संपत्ति से परिचित होना। समस्या को सुलझाना।

पाठ मकसद:

• शिक्षात्मक- अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा का परिचय दें; nवें सदस्य के सूत्र; विशेषता गुण जो अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के पास है।
• शिक्षात्मक- गणितीय अवधारणाओं की तुलना करने, समानताएं और अंतर खोजने की क्षमता, निरीक्षण करने की क्षमता, नोटिस पैटर्न, सादृश्य द्वारा कारण विकसित करने की क्षमता विकसित करना; किसी वास्तविक स्थिति के गणितीय मॉडल के निर्माण और व्याख्या करने की क्षमता बनाने के लिए।
• शिक्षात्मक- गणित और उसके अनुप्रयोगों, गतिविधि, संवाद करने की क्षमता, और तर्क के साथ अपने विचारों का बचाव करने में रुचि के विकास को बढ़ावा देना।

उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, प्रस्तुति (परिशिष्ट 1)

पाठ्यपुस्तकें: बीजगणित 9, यू.एन.

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण, कार्य सेटिंग
2. ज्ञान की प्राप्ति, मौखिक कार्य
3. नई सामग्री सीखना
4. प्राथमिक बन्धन
5. पाठ को सारांशित करना
6. गृहकार्य

सामग्री के साथ काम करने की दृश्यता और सुविधा बढ़ाने के लिए, पाठ एक प्रस्तुति के साथ है। हालांकि, यह एक शर्त नहीं है, और वही पाठ उन कक्षाओं में आयोजित किया जा सकता है जो मल्टीमीडिया उपकरणों से लैस नहीं हैं। ऐसा करने के लिए, बोर्ड पर या टेबल और पोस्टर के रूप में आवश्यक डेटा तैयार किया जा सकता है।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण, कार्य निर्धारित करना।

अभिवादन।

आज के पाठ का विषय अंकगणितीय प्रगति है। इस पाठ में, हम सीखेंगे कि एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, इसका सामान्य रूप क्या है, यह पता लगाएंगे कि अंकगणितीय प्रगति को अन्य अनुक्रमों से कैसे अलग किया जाए, और उन समस्याओं को हल किया जाए जो अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग करती हैं।

द्वितीय. ज्ञान की प्राप्ति, मौखिक कार्य।

अनुक्रम () सूत्र द्वारा दिया गया है: =। इस क्रम के सदस्य की संख्या क्या है यदि यह 144 के बराबर है? 225? 100? क्या संख्याएँ 48 इस क्रम की सदस्य हैं? 49? 168?

यह अनुक्रम () के बारे में जाना जाता है कि, . इस प्रकार के अनुक्रमण को क्या कहते हैं? इस क्रम के प्रथम चार पद ज्ञात कीजिए।

यह अनुक्रम () के बारे में जाना जाता है कि । इस प्रकार के अनुक्रमण को क्या कहते हैं? खोजें अगर?

III. नई सामग्री सीखना।

प्रगति - मूल्यों का एक क्रम, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक के आधार पर संपूर्ण प्रगति के लिए कुछ सामान्य है। यह शब्द अब काफी हद तक अप्रचलित है और केवल "अंकगणितीय प्रगति" और "ज्यामितीय प्रगति" के संयोजन में होता है।

शब्द "प्रगति" लैटिन मूल का है (प्रगति, जिसका अर्थ है "आगे बढ़ना") और रोमन लेखक बोथियस (6 वीं शताब्दी) द्वारा पेश किया गया था। गणित में यह शब्द ऐसे कानून के अनुसार निर्मित संख्याओं के किसी भी क्रम को संदर्भित करता था जो इस क्रम को एक दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखने की अनुमति देता है। वर्तमान में, "प्रगति" शब्द का मूल व्यापक अर्थ में उपयोग नहीं किया जाता है। दो महत्वपूर्ण विशेष प्रकार की प्रगति - अंकगणित और ज्यामितीय - ने अपना नाम बरकरार रखा है।

संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करें:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

पहले अनुक्रम का तीसरा पद क्या है? बाद के सदस्य? पिछला सदस्य? दूसरे और पहले शब्दों में क्या अंतर है? तीसरे और दूसरे सदस्य? चौथा और तीसरा?

यदि अनुक्रम एक नियम के अनुसार बनाया गया है, तो पहले अनुक्रम के छठे और पांचवें सदस्यों के बीच क्या अंतर होगा? सातवें और छठे के बीच?

प्रत्येक अनुक्रम के अगले दो सदस्यों के नाम लिखिए। आप ऐसा क्यों सोचते हैं?

(छात्र उत्तर)

इन अनुक्रमों में क्या सामान्य संपत्ति है? इस संपत्ति को बताएं।

(छात्र उत्तर)

संख्यात्मक अनुक्रम जिनमें यह गुण होता है उन्हें अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। छात्रों को स्वयं परिभाषा तैयार करने का प्रयास करने के लिए आमंत्रित करें।

एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा: एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है:

(एक अंकगणितीय प्रगति है यदि , जहां कुछ संख्या है।

संख्या डी, यह दर्शाता है कि अनुक्रम का अगला सदस्य पिछले एक से कितना भिन्न है, इसे प्रगति का अंतर कहा जाता है:।

आइए अनुक्रमों पर एक और नज़र डालें और मतभेदों के बारे में बात करें। प्रत्येक अनुक्रम में क्या विशेषताएं हैं और वे किससे जुड़े हैं?

यदि एक समान्तर श्रेणी में अंतर धनात्मक है, तो प्रगति बढ़ रही है: 2, 6, 10, 14, 18, :। (

यदि एक समान्तर श्रेणी में अंतर ऋणात्मक है ( , तो प्रगति घट रही है: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

यदि अंतर शून्य () है और प्रगति के सभी सदस्य एक ही संख्या के बराबर हैं, तो अनुक्रम को स्थिर कहा जाता है: 5, 5, 5, 5,:।

अंकगणितीय प्रगति कैसे सेट करें? निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

काम। पहली तारीख को गोदाम में 50 टन कोयला था। महीने भर से हर दिन 3 टन कोयले से भरा ट्रक गोदाम में आता है। 30 तारीख को गोदाम में कितना कोयला होगा, अगर इस दौरान गोदाम से कोयले की खपत नहीं हुई है।

यदि हम प्रत्येक संख्या के गोदाम में कोयले की मात्रा लिखते हैं, तो हमें अंकगणितीय प्रगति प्राप्त होती है। इस समस्या को हल कैसे करें? क्या वास्तव में महीने के प्रत्येक दिन कोयले की मात्रा की गणना करना आवश्यक है? क्या इसके बिना किसी तरह करना संभव है? हम ध्यान दें कि 30 तारीख से पहले कोयले के साथ 29 ट्रक गोदाम में आएंगे। इस प्रकार, 30 तारीख को 50+329=137 टन कोयला स्टॉक में होगा।

इस प्रकार, अंकगणितीय प्रगति का केवल पहला पद और अंतर जानने के बाद, हम अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं। क्या यह हमेशा ऐसा ही होता है?

आइए विश्लेषण करें कि अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य पहले सदस्य और अंतर पर कैसे निर्भर करता है:

इस प्रकार, हमने समांतर श्रेणी के nवें सदस्य के लिए सूत्र प्राप्त किया है।

उदाहरण 1 अनुक्रम () एक अंकगणितीय प्रगति है। खोजें अगर और।

हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं ,

उत्तर : 260.

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

एक अंकगणितीय प्रगति में, सम सदस्यों को अधिलेखित कर दिया गया: 3, :, 7, :, 13: क्या खोई हुई संख्याओं को पुनर्स्थापित करना संभव है?

छात्रों द्वारा पहले प्रगति के अंतर की गणना करने और फिर प्रगति की अज्ञात शर्तों को खोजने की संभावना है। फिर आप उन्हें अनुक्रम के अज्ञात सदस्य, पिछले वाले और अगले वाले के बीच संबंध खोजने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं।

फेसला:आइए हम इस तथ्य का उपयोग करें कि एक अंकगणितीय प्रगति में पड़ोसी पदों के बीच का अंतर स्थिर है। आज्ञा देना अनुक्रम का वांछित सदस्य है। फिर

.

टिप्पणी।अंकगणितीय प्रगति का यह गुण इसका विशिष्ट गुण है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंकगणितीय प्रगति में, प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है ( . और, इसके विपरीत, कोई भी क्रम जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के अंकगणितीय माध्य के बराबर है, एक अंकगणितीय प्रगति है।

चतुर्थ। प्राथमिक बन्धन।

• नंबर 575 एबी - मौखिक रूप से
• नंबर 576 awd - मौखिक रूप से
• नंबर 577b - स्वतंत्र रूप से सत्यापन के साथ

अनुक्रम (- अंकगणितीय प्रगति। खोजें if and

आइए n-वें सदस्य के सूत्र का उपयोग करें,

उत्तर: -24.2।

समांतर श्रेणी -8 के 23वें और nवें सदस्य ज्ञात कीजिए; -6.5; :

फेसला:समांतर श्रेणी का पहला पद -8 है। आइए अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें, इसके लिए अनुक्रम के अगले सदस्य से पिछले वाले को घटाना आवश्यक है: -6.5-(-8)=1.5।

आइए nवें पद के सूत्र का उपयोग करें:

समांतर श्रेणी () का पहला पद ज्ञात कीजिए यदि .

आइए याद करते हैं हमारे पाठ की शुरुआत, दोस्तों। क्या आपने आज के पाठ के दौरान कुछ खोज करने के लिए कुछ नया सीखने का प्रबंधन किया? पाठ के उद्देश्य क्या हैं? क्या आपको लगता है कि हमने अपने लक्ष्य हासिल कर लिए हैं?

गृहकार्य।

आइटम 25, नंबर 578 ए, नंबर 580 बी, नंबर 582, नंबर 586 ए, नंबर 601 ए।

मजबूत छात्रों के लिए रचनात्मक कार्य: साबित करें कि अंकगणितीय प्रगति में किसी भी संख्या के लिए जैसे कि क समानताएं और .

सबक के लिए धन्यवाद दोस्तों। आपने आज कड़ी मेहनत की है।

पेंटिंग और कविता की तरह गणित का भी अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में बहुत ही सामान्य कार्य अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित कार्य हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति के गुणों को अच्छी तरह से जानना और उनके आवेदन में कुछ कौशल होना आवश्यक है।

आइए पहले हम एक समांतर श्रेणी के मुख्य गुणों को याद करें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करें, इस अवधारणा से जुड़े।

परिभाषा। संख्यात्मक अनुक्रम, जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, एक अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। साथ ही, संख्याप्रगति अंतर कहा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, सूत्र मान्य हैं

, (1)

कहाँ पे । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति का मुख्य गुण है: प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है और .

ध्यान दें कि इस गुण के कारण ही विचाराधीन प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) संक्षेप में इस प्रकार हैं:

(3)

राशि की गणना करने के लिएप्रथम एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यसूत्र आमतौर पर प्रयोग किया जाता है

(5) कहाँ और .

यदि हम सूत्र को ध्यान में रखते हैं (1), तब सूत्र (5) का तात्पर्य है

अगर हम नामित करते हैं

कहाँ पे । चूंकि, तब सूत्र (7) और (8) संगत सूत्रों (5) और (6) का एक सामान्यीकरण है।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह इस प्रकार है, क्या

अधिकांश छात्रों के लिए अल्पज्ञात एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति है, जिसे निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार किया गया है।

प्रमेय।तो अगर

प्रमाण।तो अगर

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, यह दिखाया जा सकता है कि

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1चलो और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। तब से और , तब या ।

उदाहरण 2तीन गुना अधिक होने दें, और भागफल में विभाजित करने पर, यह 2 और शेषफल 8 प्राप्त होता है। निर्धारित करें और।

फेसला।समीकरणों की प्रणाली उदाहरण की स्थिति से अनुसरण करती है

चूँकि , , और , तब समीकरणों के निकाय (10) से हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का हल हैं और .

उदाहरण 3खोजें अगर और।

फेसला।सूत्र (5) के अनुसार, हमारे पास या है। हालांकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

तब से और , तब समानता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4खोजें अगर।

फेसला।सूत्र (5) से हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, कोई लिख सकता है

यहाँ से और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया: । ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला।तब से । मगर इसलिए ।

उदाहरण 6चलो, और। ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि , तो या ।

चूंकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें मिलता है और .

समीकरण की प्राकृतिक जड़एक ।

उदाहरण 7खोजें अगर और।

फेसला।चूंकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समीकरणों की प्रणाली समस्या की स्थिति से अनुसरण करती है

यदि हम व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैंप्रणाली के दूसरे समीकरण में, तो हम प्राप्त करते हैं या।

द्विघात समीकरण की जड़ें हैंऔर ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. चलो, फिर। तब से और तब से।

इस मामले में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. यदि , तो , और

उत्तर: और।

उदाहरण 8ज्ञात हो कि और ढूँढ़ने के लिए ।

फेसला।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं और ।

इसका तात्पर्य समीकरणों की प्रणाली से है

यदि हम निकाय के पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

सूत्र (9) के अनुसार, हमारे पास है. इस संबंध में, (12) से यह निम्नानुसार हैया ।

तब से और तब से।

जवाब: ।

उदाहरण 9खोजें अगर और।

फेसला।चूंकि , और शर्त के अनुसार , तब या .

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । तब से ।

इसलिये , यहाँ हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

यहाँ से हम प्राप्त करते हैं और . सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें।

फेसला।दिए गए समीकरण से यह इस प्रकार है कि . आइए मान लें कि , , और । इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार हम लिख सकते हैं या ।

चूँकि समीकरण (13) का एक अद्वितीय उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11.अधिकतम मान ज्ञात कीजिए बशर्ते कि और ।

फेसला।तब से माना जाता है कि अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, अभिव्यक्ति अधिकतम मान लेती है जब यह प्रगति के न्यूनतम सकारात्मक सदस्य की संख्या होती है।

हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करते हैं, जो और। तब हमें वह मिलता है या .

क्योंकि, तब या . हालाँकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि मान , और सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं ।

जवाब: ।

उदाहरण 12.उन सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जिन्हें 6 से विभाजित करने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है।

फेसला।सभी दो-मूल्यवान प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से निरूपित करें, अर्थात्। . इसके बाद, हम समुच्चय के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय की रचना करते हैं, जिसे संख्या 6 से विभाजित करने पर, शेषफल 5 प्राप्त होता है।

इन्सटाल करना आसान, क्या । स्पष्टतः , कि सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएँ, जिसमें और।

सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) निर्धारित करने के लिए, हम मानते हैं कि . चूँकि और , तो सूत्र (1) का तात्पर्य या है। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्याओं को हल करने के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते। यह लेख किसी दिए गए विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आधुनिक तरीकों के विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है। अंकगणितीय प्रगति से संबंधित समस्याओं को हल करने के तरीकों के गहन अध्ययन के लिए अनुशंसित साहित्य की सूची का उल्लेख करना उचित है।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम .: लेनांद / URSS, 2014. - 216 पी।

3. मेडिन्स्की एम.एम. कार्यों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का एक पूरा पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम.: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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विषय: अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

कक्षा: 9

प्रशिक्षण प्रणाली: बीजगणित में किसी विषय के अध्ययन की तैयारी के लिए सामग्री और ओजीई परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रारंभिक अवस्था

लक्ष्य: अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति की अवधारणाओं का गठन

कार्य: प्रगति के प्रकारों के बीच अंतर करना सिखाएं, सही ढंग से पढ़ाएं, सूत्रों का उपयोग करें

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं के अनुक्रम को नाम दें (प्रगति के सदस्य)

जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से स्टील शब्द से भिन्न होता है, जिसे एक कदम या प्रगति अंतर भी कहा जाता है।

इस प्रकार, प्रगति का चरण और उसका पहला पद निर्धारित करके, आप सूत्र का उपयोग करके इसके किसी भी तत्व को पा सकते हैं

1) अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरी संख्या से शुरू होकर, प्रगति के पिछले और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि प्रगति के पड़ोसी विषम (सम) सदस्यों का अंकगणितीय माध्य उनके बीच खड़े सदस्य के बराबर है, तो संख्याओं का यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। इस कथन से किसी भी क्रम की जाँच करना बहुत आसान है।

साथ ही अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

यह सत्यापित करना आसान है कि क्या हम शब्दों को समान चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं

समस्याओं में गणना को सरल बनाने के लिए इसका उपयोग अक्सर अभ्यास में किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह याद रखें, यह गणनाओं में अपरिहार्य है और साधारण जीवन स्थितियों में काफी सामान्य है।

3) यदि आपको पूरी राशि नहीं, बल्कि उसके k-वें सदस्य से शुरू होने वाले अनुक्रम का एक हिस्सा खोजने की आवश्यकता है, तो निम्न योग सूत्र आपके काम आएगा

4) व्यावहारिक रुचि k-वें संख्या से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

समांतर श्रेणी 4;7;... का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

फेसला:

शर्त के अनुसार, हमारे पास है

प्रगति चरण को परिभाषित करें

प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, हम प्रगति का चालीसवाँ पद पाते हैं

अंकगणितीय प्रगति इसके तीसरे और सातवें सदस्यों द्वारा दी गई है। प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

हम दिए गए अनुक्रम के तत्वों को सूत्रों के अनुसार लिखते हैं

एक अंकगणितीय प्रगति हर और उसके सदस्यों में से एक द्वारा दी जाती है। प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए, इसके 50 पदों का योग 50 से शुरू होकर और पहले 100 का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

आइए प्रगति के सौवें तत्व का सूत्र लिखें

और पहले खोजें

पहले के आधार पर, हम प्रगति का 50वाँ पद पाते हैं

प्रगति के भाग का योग ज्ञात करना

और पहले 100 . का योग

प्रगति का योग 250 है। समांतर श्रेणी के सदस्यों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

फेसला:

हम समीकरणों को पहले पद और प्रगति के चरण के रूप में लिखते हैं और उन्हें परिभाषित करते हैं

हम योग में सदस्यों की संख्या निर्धारित करने के लिए प्राप्त मूल्यों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

सरलीकरण करना

और द्विघात समीकरण को हल करें

पाए गए दो मूल्यों में से केवल संख्या 8 समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त है। इस प्रकार, प्रगति के पहले आठ पदों का योग 111 है।

प्रश्न हल करें

1+3+5+...+x=307.

फेसला:

यह समीकरण एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। हम इसका पहला पद लिखते हैं और प्रगति का अंतर पाते हैं

हम पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए प्रगति के योग के सूत्र में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं

पिछले कार्य की तरह, हम सरलीकरण करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं

दो मानों में से अधिक तार्किक चुनें। हमारे पास यह है कि दिए गए मानों के साथ प्रगति के 18 सदस्यों का योग a1=1, d=2 Sn=307 के बराबर है।

समस्या समाधान के उदाहरण: अंकगणितीय प्रगति

कार्य 1

छात्र टीम ने 288m2 के क्षेत्र के साथ युवा क्लब के हॉल में फर्श पर सिरेमिक टाइलें बिछाने का अनुबंध किया। अनुभव प्राप्त करते हुए, छात्रों ने हर अगले दिन, दूसरे से शुरू करते हुए, पिछले एक की तुलना में 2 m2 अधिक बिछाया, और उनके पास ठीक 11 दिनों के काम के लिए पर्याप्त टाइलें थीं। उसी तरह उत्पादकता बढ़ाने की योजना बनाते हुए, फोरमैन ने निर्धारित किया कि काम पूरा करने में 5 दिन और लगेंगे। यदि 1 बॉक्स 1.2 m2 फर्श के लिए पर्याप्त है, और निम्न-गुणवत्ता वाली टाइलों को बदलने के लिए 3 बक्से की आवश्यकता है, तो उसे टाइलों के कितने बक्से ऑर्डर करने की आवश्यकता है?

फेसला

समस्या की स्थिति से, यह स्पष्ट है कि हम एक अंकगणितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं जिसमें चलो

a1=x, Sn=288, n=16

फिर हम सूत्र का उपयोग करते हैं: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg। कला।

288=(2x+2*15)*16/2

गणना करें कि 11 दिनों में कितने m2 छात्र बाहर होंगे: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145मी2 11 दिनों के काम के बाद बचा है, अर्थात। पांच दिनों के लिए

145/1,2=121(लगभग) बक्सों को 5 दिनों के लिए ऑर्डर करने की आवश्यकता है।

121+3=124 बक्सों को दोषों के साथ ऑर्डर किया जाना चाहिए

उत्तर: 124 बॉक्स

टास्क 2

कमजोर पड़ने वाले पंप पिस्टन के प्रत्येक आंदोलन के बाद, उसमें से 20% हवा बर्तन से हटा दी जाती है। आइए हम छह पिस्टन आंदोलनों के बाद बर्तन के अंदर हवा का दबाव निर्धारित करें, यदि प्रारंभिक दबाव 760 मिमी एचजी था। कला।

फेसला

चूंकि पिस्टन के प्रत्येक आंदोलन के बाद उपलब्ध हवा का 20% बर्तन से हटा दिया जाता है, 80% हवा बनी रहती है। अगले पिस्टन आंदोलन के बाद पोत में वायु दाब का पता लगाने के लिए, आपको पिछले पिस्टन आंदोलन के दबाव को 0.8 तक बढ़ाना होगा।

हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद 760 है और जिसका हर 0.8 है। पिस्टन के छह स्ट्रोक के बाद पोत में वायु दाब (मिमी एचजी में) व्यक्त करने वाली संख्या इस प्रगति का सातवां सदस्य है। यह 760*0.86=200mm Hg के बराबर है। कला।

उत्तर: 200 एमएमएचजी

एक समांतर श्रेणी दी गई है, जहाँ पाँचवाँ और दसवाँ पद क्रमशः 38 और 23 के बराबर हैं। प्रगति का पंद्रहवाँ पद और उसके पहले दस पदों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

समांतर श्रेणी 5,14,23,... के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि इसका -वाँ पद 239 के बराबर है।

फेसला:

ढूँढ़ने के लिए एक समांतर श्रेणी के पदों की संख्या 9,12,15... है, यदि इसका योग 306 . है.

फेसला:

वह x ज्ञात कीजिए जिसके लिए संख्याएँ x-1, 2x-1, x2-5 एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं

फेसला:

प्रगति के 1 और 2 सदस्यों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए:

डी = (2x-1)-(x-1)=x

प्रगति के 2 और 3 सदस्यों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

क्योंकि अंतर समान है, तो प्रगति की शर्तों को समान किया जा सकता है:

जब दोनों मामलों में जाँच की जाती है, तो एक अंकगणितीय प्रगति प्राप्त होती है

उत्तर: x=-1 और x=4 . पर

अंकगणितीय प्रगति इसके तीसरे और सातवें सदस्यों द्वारा दी गई है a3=5; ए 7 = 13। प्रगति का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप हम प्रगति चरण पाते हैं

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, इसलिए d=2

अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को खोजने के लिए पाया गया मान किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है

प्रगति के पहले दस पदों के योग की गणना करें

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

उत्तर: a1=1; S10=100

एक समान्तर श्रेणी में जिसका पहला पद -3.4 है और अंतर 3 है, पाँचवाँ और ग्यारहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

तो हम जानते हैं कि a1 = -3.4; d = 3. खोजें: a5, a11-।

फेसला।अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: a = a1+ (n – 1)d। हमारे पास है:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3.4 + 4 3 \u003d 8.6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3.4 + 10 3 \u003d 26.6।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में समाधान मुश्किल नहीं है।

समांतर श्रेणी का बारहवाँ पद 74 है, और अंतर -4 है। इस प्रगति का चौंतीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

हमें बताया गया है कि a12 = 74; d = -4, और आपको a34- खोजने की आवश्यकता है।

इस समस्या में, सूत्र a = a1 + (n – 1)d को तुरंत लागू करना संभव नहीं है, क्योंकि पहला पद a1 ज्ञात नहीं है। इस समस्या को कई चरणों में हल किया जा सकता है।

1. पद a12 और nवें पद के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, अब सरल करें और d को प्रतिस्थापित करें: a12 = a1 + 11 (-4)। इस समीकरण से हम पाते हैं a1: a1 = a12 - (-44);

हम समस्या की स्थिति से बारहवाँ पद जानते हैं, इसलिए हम बिना किसी समस्या के a1 की गणना करते हैं

a1 = 74 + 44 = 118। आइए दूसरे चरण पर चलते हैं - a34 की गणना।

2. फिर से, सूत्र a = a1 + (n - 1)d के अनुसार, क्योंकि a1 पहले से ही ज्ञात है, हम a34- निर्धारित करेंगे,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14।

उत्तर: एक समांतर श्रेणी का चौंतीसवाँ पद -14 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे उदाहरण का समाधान अधिक जटिल है। उत्तर पाने के लिए एक ही सूत्र का दो बार प्रयोग किया जाता है। लेकिन सब कुछ इतना जटिल है। अतिरिक्त सूत्रों का उपयोग करके समाधान को छोटा किया जा सकता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि समस्या में a1 ज्ञात है, तो अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य को निर्धारित करने के लिए सूत्र को लागू करना बहुत सुविधाजनक है। लेकिन, यदि शर्त में पहला पद निर्दिष्ट नहीं है, तो एक सूत्र बचाव में आ सकता है जो हमें आवश्यक n-वें शब्द और समस्या में निर्दिष्ट शब्द ak को जोड़ता है।

एक = एके + (एन - के) डी।

आइए दूसरा उदाहरण हल करते हैं, लेकिन नए सूत्र का उपयोग करते हुए।

दिया गया है: a12 = 74; घ = -4। खोजें: a34-.

हम सूत्र a = ak + (n - k)d का उपयोग करते हैं। हमारे मामले में यह होगा:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14।

समस्या का उत्तर बहुत तेजी से प्राप्त किया गया था, क्योंकि अतिरिक्त क्रियाएं करना और प्रगति के पहले सदस्य की तलाश करना आवश्यक नहीं था।

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके, आप अंकगणितीय प्रगति के अंतर की गणना के लिए समस्याओं को हल कर सकते हैं। इसलिए, सूत्र a = a1 + (n - 1)d का उपयोग करके, हम d को व्यक्त कर सकते हैं:

डी = (ए - ए 1) / (एन -1)। हालाँकि, किसी दिए गए पहले पद के साथ समस्याएँ इतनी सामान्य नहीं हैं, और उन्हें हमारे सूत्र a = ak + (n - k)d का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिससे यह देखा जा सकता है कि d = (an - ak) / (n - क)। आइए ऐसे कार्य पर विचार करें।

समांतर श्रेणी का अंतर ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि a3 = 36; ए 8 = 106।

हमारे द्वारा प्राप्त सूत्र का उपयोग करके समस्या का समाधान एक पंक्ति में लिखा जा सकता है:

डी = (ए 8 - ए 3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14।

यदि यह सूत्र शस्त्रागार में नहीं होता, तो समस्या के समाधान में अधिक समय लगता, क्योंकि दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा।

ज्यामितीय प्रगति

1. वें सदस्य का सूत्र (प्रगति का सामान्य सदस्य)।
2. प्रगति के पहले सदस्यों के योग का सूत्र:। जब यह एक अभिसरण ज्यामितीय प्रगति की बात करने के लिए प्रथागत है; इस मामले में, आप सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण प्रगति के योग की गणना कर सकते हैं।
3. "ज्यामितीय माध्य" का सूत्र: यदि , , एक ज्यामितीय प्रगति के लगातार तीन पद हैं, तो परिभाषा के आधार पर हमारे बीच संबंध है: या .