मास्को ऊर्जा संस्थान

(तकनीकी विश्वविद्यालय)

इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग के संकाय

विषय पर सारांश

सेवा INETIC समीकरण बी ओल्ट्समैन।

पूरा किया हुआ:

कॉर्किन एस.वी.

शिक्षक

शेरकुनोव यू.बी.

काम का दूसरा भाग काफी जटिल गणित से भरा है।. लेखक ( [ईमेल संरक्षित], [ईमेल संरक्षित]) इस शब्द के पेपर को आदर्श नहीं मानता, यह केवल एक अधिक परिपूर्ण (और समझने योग्य) काम लिखने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में काम कर सकता है। पाठ पुस्तक की प्रति नहीं है। साहित्य का समर्थन करने के लिए अंत देखें।

एक्सचेंज पेपर को EXL मार्क के साथ स्वीकार किया गया था। (काम का अंतिम संस्करण थोड़ा खो गया है। मैं अंतिम "संस्करण" का उपयोग करने का सुझाव देता हूं)।

परिचय ……………………………………………………………………… 3

प्रतीक …………………………………………………। 4

§1 वितरण समारोह।

§2 कणों का टकराव।

§3 टक्कर इंटीग्रल के प्रकार का निर्धारण

और बोल्ट्जमैन समीकरण।

4. कमजोर अमानवीय गैस के लिए गतिज समीकरण।

गैस की तापीय चालकता।

कुछ सम्मेलन:

n कणों की सांद्रता है;

d कणों के बीच की औसत दूरी है;

वी - सिस्टम की कुछ मात्रा;

P किसी घटना की प्रायिकता है;

च - वितरण समारोह;

परिचय।

भौतिकी के खंड - थर्मोडायनामिक्स, सांख्यिकीय भौतिकी और भौतिक कैनेटीक्स मैक्रोस्कोपिक सिस्टम में होने वाली भौतिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में लगे हुए हैं - बड़ी संख्या में माइक्रोपार्टिकल्स वाले निकाय। सिस्टम के प्रकार के आधार पर, ऐसे माइक्रोपार्टिकल्स परमाणु, अणु, आयन, इलेक्ट्रॉन, फोटॉन या अन्य कण हो सकते हैं। आज तक, मैक्रोस्कोपिक सिस्टम की अवस्थाओं का अध्ययन करने के लिए दो मुख्य विधियाँ हैं - थर्मोडायनामिक, जो मैक्रोस्कोपिक आसानी से मापे गए मापदंडों (उदाहरण के लिए, दबाव, आयतन, तापमान, मोल्स की संख्या या किसी पदार्थ की एकाग्रता) के माध्यम से सिस्टम की स्थिति की विशेषता है। वास्तव में, किसी पदार्थ की परमाणु और आणविक संरचना और विचाराधीन प्रणाली के परमाणु-आणविक मॉडल पर आधारित एक सांख्यिकीय पद्धति को ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस कार्य में थर्मोडायनामिक विधि पर चर्चा नहीं की जाएगी। प्रणाली के कणों के व्यवहार के ज्ञात नियमों के अनुसार, सांख्यिकीय पद्धति संपूर्ण मैक्रोसिस्टम के व्यवहार के नियमों को समग्र रूप से स्थापित करना संभव बनाती है। हल की जा रही समस्या को सरल बनाने के लिए, सांख्यिकीय दृष्टिकोण में माइक्रोपार्टिकल्स के व्यवहार के बारे में कई धारणाएँ (धारणाएँ) बनाई जाती हैं, और इसलिए, सांख्यिकीय पद्धति द्वारा प्राप्त परिणाम केवल मान्यताओं की सीमा के भीतर ही मान्य होते हैं। सांख्यिकीय विधि समस्याओं को हल करने के लिए एक संभाव्य दृष्टिकोण का उपयोग करती है; इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, सिस्टम में पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में कण होने चाहिए। सांख्यिकीय पद्धति द्वारा हल की गई समस्याओं में से एक मैक्रोस्कोपिक प्रणाली की स्थिति के समीकरण की व्युत्पत्ति है। सिस्टम की स्थिति समय के साथ अपरिवर्तित हो सकती है (संतुलन प्रणाली) या समय के साथ बदल सकती है (गैर-संतुलन प्रणाली)। ऐसी प्रणालियों में होने वाली प्रणालियों और प्रक्रियाओं की गैर-संतुलन अवस्थाओं का अध्ययन भौतिक गतिकी का विषय है।

समय में विकसित होने वाली प्रणाली की स्थिति का समीकरण एक गतिज समीकरण है, जिसका समाधान किसी भी समय प्रणाली की स्थिति को निर्धारित करता है। गतिज समीकरणों में रुचि भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उनके आवेदन की संभावना से जुड़ी है: गैस के गतिज सिद्धांत में, खगोल भौतिकी, प्लाज्मा भौतिकी, द्रव यांत्रिकी में। इस पत्र में, हम सांख्यिकीय भौतिकी और भौतिक कैनेटीक्स के संस्थापकों में से एक, 1872 में ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा प्राप्त गतिज समीकरण पर विचार करते हैं और उसका नाम रखते हैं।

§1 वितरण समारोह।

बोल्ट्जमान गतिज समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, एक एकपरमाण्विक आदर्श गैस पर विचार करें, अर्थात। विद्युत रूप से तटस्थ परमाणुओं या अणुओं से युक्त पर्याप्त रूप से दुर्लभ गैस। एक आदर्श गैस के कणों के बीच एकमात्र प्रकार की बातचीत अणुओं के बीच टकराव होती है, हालांकि, ऐसा बहुत कम होता है कि प्रत्येक अणु लगभग हर समय मुक्त रूप से चलता रहता है। गैस के कणों को शास्त्रीय मानते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति कण आयतन होता है। प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या सांद्रता है। इसका मतलब है कि कणों के बीच एक औसत दूरी होती है (यह अंतर-आणविक बलों की क्रिया की त्रिज्या की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़ी मानी जाती है d)। बोल्ट्जमान समीकरण प्राप्त करते समय, हम निम्नलिखित धारणाएँ बनाते हैं:

गैस के कण अप्रभेद्य हैं (समान);

कण केवल जोड़े में टकराते हैं (एक साथ तीन या अधिक कणों के टकराव की उपेक्षा करते हैं);

टक्कर से ठीक पहले, कण एक सीधी रेखा में एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं;

अणुओं की टक्कर एक प्रत्यक्ष केंद्रीय लोचदार प्रभाव है;

गैस का सांख्यिकीय विवरण संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन (या संभाव्यता घनत्व) द्वारा किया जाता है, और वितरण फ़ंक्शन कण टकराव क्षेत्र के क्रम की दूरी पर नहीं बदलता है। संभाव्यता घनत्व इस संभावना को परिभाषित करता है कि कुछ यादृच्छिक चर x का एक छोटे अंतराल dx के भीतर मान निम्नानुसार है। एक सीमित अंतराल में x को खोजने की संभावना एकीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है।

गैस के अणुओं का वितरण फलन उनके चरण में दिया गया है:-स्थान।

सभी अणुओं के सामान्यीकृत निर्देशांक का एक सेट है; - अणुओं के सामान्यीकृत गति का एक सेट। क्रमश

और। द्वारा निरूपित करें

अणु के चरण स्थान का आयतन तत्व। चरण स्थान के किसी दिए गए तत्व में, (औसतन) कणों की संख्या बराबर होती है (अर्थात, अणुओं पर विचार किया जाता है, जिनमें से q और p के मान चयनित अंतराल dq और dp में स्थित होते हैं)। गैस अणुओं का वितरण कार्य ऊपर चरण स्थान में परिभाषित किया गया था, हालांकि, इसे कण के सामान्यीकृत निर्देशांक और गति के अलावा अन्य चर के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। आइए फ़ंक्शन f के तर्क चुनें।

गैर-संतुलन, समय में प्रवाहित होने, व्यवस्था की स्थिति को बदलने की प्रक्रिया को ध्यान में रखते हुए, हमें स्पष्ट रूप से यह मान लेना चाहिए कि वितरण कार्य समय पर निर्भर करता है। विचाराधीन गैस कणों का एक समूह है जिस पर हम शास्त्रीय विचार करने के लिए सहमत हुए हैं।

एक शास्त्रीय कण की अनुवाद गति को निर्देशांक द्वारा वर्णित किया गया है

कण के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र और वेग वेक्टर या संवेग वेक्टर (जहाँ m कण का द्रव्यमान है)। एक मोनोएटोमिक गैस के लिए, ट्रांसलेशनल मोशन ही कण गति का एकमात्र प्रकार है; स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या तीन है। यदि कण एक बहुपरमाणुक अणु है, तो अंतरिक्ष में अणु के घूमने और अणु में परमाणुओं के कंपन से जुड़ी स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री होती है। क्वांटम यांत्रिकी के आवेदन की शर्तें छोटे द्रव्यमान और कणों की उच्च सांद्रता, साथ ही कम तापमान हैं। कम तापमान के क्षेत्र पर विचार किए बिना, हम गैस के अणुओं की घूर्णी गति को शास्त्रीय मानेंगे। किसी भी शास्त्रीय घूर्णी गति का वर्णन सबसे पहले, शरीर पर कार्य करने वाले बलों के घूर्णी क्षण द्वारा किया जाता है। एक क्षण की क्रिया के तहत, एक द्विपरमाणुक अणु क्षण वेक्टर के लंबवत समतल में घूमने लगता है। इसके अलावा, अणु की स्थिति को रोटेशन के विमान में अणु के अक्ष के रोटेशन के कोण की विशेषता है।

T = 300 K पर एक हाइड्रोजन अणु (या कोई अन्य द्विपरमाणुक अणु) पर विचार करें। समविभाजन के नियम के अनुसार, स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री (अनुवादात्मक, घूर्णी या कंपन) में औसतन समान गतिज ऊर्जा होती है।

मान लीजिए कि मैं अणु की जड़ता का क्षण हूं, एम द्रव्यमान हो, डी अणु में परमाणुओं के बीच औसत दूरी हो।

एक सेकंड में, अणु पूर्ण चक्कर लगाता है (अर्थात लगभग)। एक द्विपरमाणुक अणु के अक्ष के घूर्णन कोण में परिवर्तन की दर अधिक होती है, और घूर्णन के तल में अणु के सभी संभावित झुकाव समान रूप से संभावित होंगे। फिर, वास्तविक भौतिक समस्याओं पर विचार करते समय, वितरण फ़ंक्शन को अणु के उन्मुखीकरण से स्वतंत्र माना जा सकता है। समविभाजन कानून बहुपरमाणुक अणुओं के लिए भी मान्य है, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष में गैस अणुओं के उन्मुखीकरण से वितरण समारोह की स्वतंत्रता के बारे में की गई धारणा को बहुपरमाणु गैसों के लिए मान्य माना जा सकता है।

एक अणु के अंदर परमाणुओं की दोलन गति व्यावहारिक रूप से हमेशा परिमाणित होती है, और एक क्वांटम प्रणाली के रूप में एक अणु की स्थिति को क्वांटम मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए। सामान्य परिस्थितियों में (बहुत अधिक तापमान पर नहीं), गैस अणु मुख्य (शून्य) कंपन स्तर के अनुरूप एक असम्बद्ध अवस्था में होता है। इसलिए, सामान्य परिस्थितियों में वास्तविक गैसों में क्वांटम प्रभावों की उपेक्षा की जा सकती है। नतीजतन, एक गैर-संतुलन राज्य में एक शास्त्रीय आदर्श गैस का वितरण कार्य न केवल समय पर निर्भर करता है, बल्कि कण निर्देशांक पर भी निर्भर करता है।

आइए हम प्रतीक द्वारा निरूपित करें अणु और समय के निर्देशांक को छोड़कर, सभी चरों का समूह जिस पर वितरण कार्य निर्भर करता है। चरण आयतन के तत्व में, हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के प्राथमिक आयतन को अलग करते हैं, और इसके शेष भाग को प्रतीक dГ द्वारा निरूपित करते हैं। मात्रा dГ गति के अभिन्न अंग हैं जो दो क्रमिक टकरावों के बीच मुक्त गति के दौरान किसी भी अणु के लिए स्थिर रहते हैं। किसी भी बाहरी पिंडों या क्षेत्रों के बाहरी प्रभाव के बिना अणु की मुक्त गति होती है। एक दूसरे के साथ अणुओं की बातचीत के परिणामस्वरूप (टकराव की स्थिति में) या किसी क्षेत्र के प्रभाव में

ये मूल्य अच्छी तरह से बदल सकते हैं। एक अणु के निर्देशांक उसके मुक्त संचलन के दौरान समग्र रूप से बदल जाते हैं।

गैस कणों के स्थानिक वितरण की एकाग्रता या घनत्व को एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और एक आयतन तत्व में कणों की औसत संख्या उत्पाद द्वारा निर्धारित की जाती है। एक आयतन तत्व एक भौतिक रूप से छोटा आयतन है, अर्थात। अंतरिक्ष का एक टुकड़ा जिसका आयाम समस्या में विचार किए गए आयामों की तुलना में छोटा है। इसी समय, अणुओं के आयामों की तुलना में एक छोटी मात्रा के आयाम बड़े होते हैं। किसी दिए गए आयतन तत्व में अणु के स्थान के बारे में कथन अणु की स्थिति को निर्धारित करता है, सबसे अच्छा, केवल अणु के आयामों से अधिक दूरी तक। दो शास्त्रीय कणों के निर्देशांक का सटीक निर्धारण टकराव से पहले और बाद में, यदि कोई हो, उनके प्रक्षेपवक्र को सटीक रूप से निर्धारित करना संभव बनाता है। कणों की सटीक पारस्परिक स्थिति की अनिश्चितता उनके टकराव की समस्या को हल करने के लिए एक संभाव्य दृष्टिकोण को लागू करना संभव बनाती है। एक शास्त्रीय गैस को ध्यान में रखते हुए तात्पर्य है कि घनत्व

मैक्रोस्कोपिक मात्रा है। मैक्रोस्कोपिसिटी तभी होती है जब प्राथमिक मात्रा में पर्याप्त मात्रा में कण होते हैं (केवल तभी प्राथमिक मात्रा में कणों की संख्या में परिवर्तन विचाराधीन प्रक्रिया के दौरान छोटा होता है); इस मामले में, गैस के कब्जे वाले क्षेत्र के रैखिक आयाम औसत अंतर-आणविक दूरी से बहुत बड़े होने चाहिए।

§2 कणों का टकराव।

आइए हम अणुओं के टकराव पर विचार करें, जिनमें से कुछ में के मान दिए गए अंतराल में पड़े हैं, जबकि अन्य के अंतराल में मान हैं। टक्कर के परिणामस्वरूप, अणु क्रमशः अंतराल में Γ के मान प्राप्त करते हैं, और। नीचे, संक्षिप्तता के लिए, हम अणुओं के टकराव और संक्रमण के बारे में बात करेंगे

प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या का गुणनफल प्रत्येक अणु के निर्दिष्ट संक्रमण से टकराने की संभावना से प्रति इकाई समय प्रति इकाई आयतन ऐसे टकरावों की कुल संख्या देगा। इस तरह की घटना की संभावना (आइए हम इसे एक निश्चित फ़ंक्शन के रूप में निरूपित करें) प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या और टक्कर के बाद प्रत्येक अणु के मूल्यों के अंतराल के लिए आनुपातिक है। इस प्रकार, हम मान लेंगे कि, और प्रति इकाई समय में एक इकाई आयतन में होने वाले संक्रमण के साथ टकराव की संख्या रूप लेती है

(अभाज्य अंतिम राज्यों को इंगित करता है, अभाज्य के बिना, प्रारंभिक वाले)। टकराव की संभावना में एक महत्वपूर्ण संपत्ति होती है, जो समय के संकेत के उलट होने के संबंध में यांत्रिकी के नियमों का पालन करती है। यदि हम सुपरस्क्रिप्ट टी द्वारा समय चिह्न को उलट कर प्राप्त सभी राशियों के मूल्यों को निरूपित करते हैं, तो समानता होगी

टाइम रिवर्सल "पहले" और "बाद" राज्यों को स्वैप करता है, जिसका अर्थ है कि संभाव्यता फ़ंक्शन के तर्कों को स्वैप करना आवश्यक है। विशेष रूप से, संकेतित समानता प्रणाली के संतुलन के मामले में मान्य है, अर्थात। यह तर्क दिया जा सकता है कि संतुलन में संक्रमण के साथ टकराव की संख्या संक्रमण के साथ टकराव की संख्या के बराबर है (*). संतुलन बंटन फलन द्वारा निरूपित करें और लिखें

अंतर का उत्पाद चरण स्थान का एक तत्व है जो समय के उलट होने पर नहीं बदलता है (समानता के दोनों किनारों पर अंतर को छोड़ा जा सकता है)। अणुओं की संभावित ऊर्जा या तो नहीं बदलती है, और, परिणामस्वरूप, संतुलन (बोल्ट्ज़मैन) वितरण फ़ंक्शन, जो केवल ऊर्जा पर निर्भर करता है:

(2)

V समग्र रूप से गैस का स्थूल वेग है। दो अणुओं की टक्कर में ऊर्जा संरक्षण के नियम के आधार पर। इसलिए, हम लिख सकते हैं (3)

हम इस तथ्य पर भी ध्यान देते हैं कि संभाव्यता फलन, सिद्धांत रूप में, केवल कण टकराव की यांत्रिक समस्या को हल करके ही निर्धारित किया जा सकता है। ऊपर लिखे गए समीकरण (1), (2) और (3) संक्षेप के बाद (1) में देंगे

कथन को ध्यान में रखते हुए (*)

अंतिम समानता को एकीकृत करना (निम्नलिखित में उपयोग के लिए), हम संबंध प्राप्त करते हैं:

3 गतिज समीकरण की व्युत्पत्ति।

समय वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करें:

जब गैस के अणु बाहरी क्षेत्र की अनुपस्थिति में गति करते हैं, तो मात्रा Г, गति के अभिन्न अंग के रूप में, परिवर्तित नहीं होती है।

व्युत्पन्न के लिए व्यंजक रूप लेगा: (6)

अब गैस को अणुओं के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक पर अभिनय करने वाले बाहरी संभावित क्षेत्र में होने दें (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में)। और मान लीजिए कि क्षेत्र से कण पर लगने वाला बल F है।

समानता का दाहिना पक्ष (6) द्वारा निरूपित किया जाएगा। प्रतीक का अर्थ है

टक्करों के कारण वितरण फलन के परिवर्तन की दर, और मान

चरण मात्रा में अणुओं की संख्या के टकराव के कारण प्रति इकाई समय परिवर्तन है। फेज स्पेस में दिए गए बिंदु पर वितरण फलन में कुल परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(8)

मात्रा को टक्कर समाकलन कहा जाता है, और रूप (8) के समीकरण को गतिज समीकरण कहा जाता है। गतिज समीकरण (8) टक्कर समाकल के रूप का निर्धारण करने के बाद ही वास्तविक अर्थ ग्रहण करेगा।

§3 टक्कर समाकलन के प्रकार और बोल्ट्जमान समीकरण का निर्धारण।

अणुओं के टकराने के दौरान उन मात्राओं में परिवर्तन होता है जिन पर वितरण फलन निर्भर करता है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि सिस्टम की स्थिति के अवलोकन का समय और कणों के निर्देशांक बदलते हैं, भले ही कणों का टकराव हुआ हो या नहीं (जो केवल निर्देशांक में परिवर्तन की प्रकृति को प्रभावित करता है), यह हो सकता है तर्क दिया कि टकराने वाले अणुओं के के मान बदल जाते हैं। पर्याप्त रूप से छोटे अंतराल को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं कि टक्कर के दौरान अणु इस अंतराल से हटा दिए जाते हैं, अर्थात। "छोड़ने" के कार्य हैं। टकराने से पहले और बाद के मूल्यों के लिए दो टकराने वाले अणु पहले की तरह मेल खाते हैं (संक्षिप्तता के लिए, हम एक संक्रमण की बात करते हैं)।

उपरोक्त संक्रमण में सभी संभावित मूल्यों के साथ टकराव की कुल संख्या

किसी दिए गए के लिए, मात्रा में प्रति इकाई समय होने पर, इंटीग्रल द्वारा निर्धारित किया जाता है

उसी समय, एक अलग तरह के टकराव होते हैं (जिन्हें "आगमन" कहा जाता है) होता है, जिसके परिणामस्वरूप टक्कर से पहले दिए गए अंतराल के बाहर परिमाण वाले अणु इस अंतराल में गिरते हैं। इस तरह के संक्रमणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: (दिए गए सभी संभावित मूल्यों के साथ)। इसी तरह पहले प्रकार के संक्रमण के लिए, प्रति इकाई समय में ऐसे टकरावों की कुल संख्या है:

सभी टकरावों के परिणामस्वरूप, प्रारंभिक मात्रा में प्रति इकाई समय में अणुओं की संख्या में परिवर्तन प्रस्थान कृत्यों की संख्या और आगमन कृत्यों की संख्या के बीच के अंतर से निर्धारित होता है:

(9), जहां

टक्कर अभिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

(चरण मात्रा dVdG में प्रति इकाई समय कणों की संख्या में परिवर्तन)

संबंधों (8) और (9) से हम टक्कर समाकलन का रूप प्राप्त करते हैं

ध्यान दें कि इंटीग्रैंड के दूसरे टर्म में इंटीग्रेशन ओवर है

केवल समारोह से संबंधित है। कारक और चर पर निर्भर नहीं करते हैं। संबंध (4) का उपयोग करके इंटीग्रल के इस हिस्से को बदलने पर, हम टक्कर इंटीग्रल का अंतिम रूप प्राप्त करते हैं

और गतिज समीकरण

परिणामी समाकलन - अवकल समीकरण को बोल्ट्जमान समीकरण कहा जाता है।

बाह्य प्रभावों के अभाव में प्रणाली की संतुलन अवस्था में समय-स्वतंत्र वितरण पर विचार करें। ऐसा वितरण स्थिर है (समय पर निर्भर नहीं है) और सजातीय (सिस्टम द्वारा कब्जा किए गए स्थान के क्षेत्र में नहीं बदलता है)। अधिरोपित शर्तें समय और तीन निर्देशांकों के संबंध में वितरण फलन के अवकलज को निष्प्रभावी कर देती हैं; गतिज समीकरण का बायाँ भाग लुप्त हो जाता है। इंटीग्रैंड समानता (3) के कारण गायब हो जाता है। नतीजतन, बाहरी क्षेत्रों की अनुपस्थिति में संतुलन वितरण गतिज समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। यदि बाहरी क्षमता (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण) क्षेत्र की कार्रवाई के तहत गैस संतुलन की स्थिति में है, तो इस मामले में वितरण कार्य भी गतिज समीकरण को संतुष्ट करता है। दरअसल, संतुलन वितरण को गति के अभिन्न अंग, अणु की कुल ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जाता है। गतिज समीकरण का बायां पक्ष कुल व्युत्पन्न है, जो केवल गति के समाकलों के आधार पर किसी फलन के व्युत्पन्न के रूप में शून्य के बराबर होता है। जैसा कि पहले ही संकेत दिया गया है, समीकरण का दाहिना पक्ष शून्य है। इस प्रकार, एक बाहरी संभावित क्षेत्र में संतुलन में गैस का वितरण कार्य भी गतिज समीकरण को संतुष्ट करता है।

आइए "परिचय" में उल्लिखित मान्यताओं में एक और बात जोड़ें: अणुओं के टकराव को अंतरिक्ष के एक "बिंदु" पर होने वाले तात्कालिक कार्य के रूप में माना जाता है। गतिज समीकरण एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करता है जो टकराव की अवधि की तुलना में बहुत लंबे समय के अंतराल में होती है। इसी समय, विचाराधीन प्रणाली का क्षेत्र कण टकराव के क्षेत्र से काफी अधिक होना चाहिए, जिसमें आणविक बलों की कार्रवाई की त्रिज्या के क्रम पर आयाम होते हैं d। परिमाण के क्रम में टकराव के समय को (- गैस में अणुओं का औसत वेग) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। प्राप्त मान दूरी और समय की निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो गतिज समीकरण के अनुप्रयोग की अनुमति देते हैं। वास्तविक शारीरिक समस्याओं के लिए प्रक्रिया के इतने विस्तृत विवरण की आवश्यकता नहीं होती है; सिस्टम का आकार और अवलोकन समय आवश्यक न्यूनतम से काफी ऊपर है।

गैस में होने वाली गतिज घटनाओं के गुणात्मक विचार के लिए, टक्कर अभिन्न के मोटे अनुमानों का उपयोग दो मापदंडों के रूप में किया जाता है: माध्य मुक्त पथ और माध्य मुक्त पथ। चलते समय अणु को लंबाई की एक इकाई से गुजरने दें, इकाई लंबाई के एक सीधे सिलेंडर के आयतन और आधार के क्षेत्र (- अणु के प्रभावी क्रॉस सेक्शन) में स्थित अणुओं से टकराते हुए। इस मात्रा में अणु होते हैं।

- अणुओं के बीच औसत दूरी;

मान फ्री रन टाइम है। टक्कर अभिन्न के मोटे अनुमान के लिए, कोई इसका उपयोग कर सकता है:

अंश में लिखा गया अंतर इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि संतुलन वितरण समारोह के लिए टकराव अभिन्न गायब हो जाता है, और ऋण चिह्न इंगित करता है कि टकराव सांख्यिकीय संतुलन स्थापित करने के लिए तंत्र है, यानी। संतुलन एक से वितरण फ़ंक्शन के विचलन को कम करने के लिए (दूसरे शब्दों में, सिस्टम की न्यूनतम आंतरिक ऊर्जा के अनुरूप संतुलन राज्य से बाहर ले जाया गया और खुद को छोड़ दिया गया कोई भी सिस्टम संतुलन स्थिति में वापस आ जाता है)।

3 मैक्रोस्कोपिक समीकरणों में संक्रमण। निरंतरता का हाइड्रोडायनामिक समीकरण।

बोल्ट्जमैन का गतिज समीकरण गैस की अवस्था के विकास का सूक्ष्म विवरण देता है। लेकिन व्यवहार में, इस तरह के विस्तार से प्रक्रियाओं का वर्णन करना अक्सर आवश्यक नहीं होता है, इसलिए, हाइड्रोडायनामिक्स की समस्याओं पर विचार करते समय, अमानवीय या अत्यधिक दुर्लभ गैसों में होने वाली प्रक्रियाओं की समस्याएं, तापीय चालकता की समस्याएं और गैसों का प्रसार, और कई अन्य , कम विस्तृत (और इसलिए सरल) मैक्रोस्कोपिक समीकरणों पर आगे बढ़ना समझ में आता है। ऐसा विवरण गैस पर लागू होता है यदि उसके मैक्रोस्कोपिक गुण (तापमान, घनत्व, कण एकाग्रता, दबाव, आदि) गैस में किसी भी मनमाने ढंग से चुनी गई दिशा के साथ धीरे-धीरे पर्याप्त रूप से बदलते हैं। जिस दूरी पर मैक्रोस्कोपिक मापदंडों में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन होता है, वह अणुओं के औसत मुक्त पथ से काफी अधिक होना चाहिए।

एक उदाहरण के रूप में, हाइड्रोडायनामिक समीकरण प्राप्त करने के लिए एक विधि पर विचार करें।

अभिव्यक्ति अंतरिक्ष में गैस अणुओं के वितरण (गैस अणुओं की एकाग्रता) के घनत्व को निर्धारित करती है। एक अणु के द्रव्यमान का गुणनफल (यह माना जाता है कि गैस में समान कण होते हैं) और अणुओं का वितरण घनत्व गैस का द्रव्यमान घनत्व देता है:। आइए हम समग्र रूप से गैस के स्थूल वेग और अणुओं के सूक्ष्म वेग से निरूपित करें। मैक्रोस्कोपिक गति (द्रव्यमान के केंद्र की गति की गति) को अणुओं के सूक्ष्म वेग के औसत मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

टकराव या तो टकराने वाले कणों की संख्या या उनकी कुल ऊर्जा या गति को नहीं बदलते हैं (अणुओं की टक्कर को बिल्कुल लोचदार प्रभाव माना जाता है)। वितरण फलन में परिवर्तन का संपार्श्विक भाग इसके प्रत्येक आयतन तत्व में गैस के घनत्व, आंतरिक ऊर्जा, वेग और गैस के किसी भी अन्य मैक्रोस्कोपिक मापदंडों में परिवर्तन नहीं कर सकता है। वास्तव में, गैस के प्रति इकाई आयतन में अणुओं की कुल संख्या में परिवर्तन का संपार्श्विक भाग शून्य के बराबर पूर्णांक द्वारा दिया जाता है:

हम इस समानता की वैधता को निम्नलिखित तरीके से सत्यापित करते हैं:

एकीकरण प्रत्येक चर पर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि, अभिन्न को बदले बिना, चर का नाम बदलना संभव है, उदाहरण के लिए, दूसरे अभिन्न में:

अंतिम व्यंजक स्पष्ट रूप से शून्य के बराबर है और इसलिए, समानता (14) मान्य है।

हम गतिज समीकरण लिखते हैं और, इसके दोनों भागों को कण m के द्रव्यमान से गुणा करने के बाद, हम इसे इसके संबंध में एकीकृत करते हैं:

यहां से हम तुरंत हाइड्रोडायनामिक निरंतरता समीकरण प्राप्त करते हैं:

इस अवकल समीकरण में द्रव के घनत्व में परिवर्तन निर्धारित करके और यह मानकर कि द्रव असंपीड्य है, कोई भी द्रव में किसी भी बिंदु पर वेग दिशाओं का सदिश क्षेत्र प्राप्त कर सकता है।

4. कमजोर अमानवीय गैस। गैस की तापीय चालकता।

सभी वास्तविक भौतिक प्रक्रियाएं आवश्यक रूप से कुछ ऊर्जा हानियों के साथ आगे बढ़ती हैं (यानी, ऊर्जा अपव्यय होता है - अराजक गति की ऊर्जा में क्रमबद्ध गति की ऊर्जा का संक्रमण, उदाहरण के लिए, गैस अणुओं की तापीय गति में)। कमजोर अमानवीय गैस में विघटनकारी प्रक्रियाओं (थर्मल चालकता या चिपचिपाहट) पर विचार करने के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन का उपयोग करना आवश्यक है: गैस के एक छोटे से हिस्से में वितरण कार्य को स्थानीय रूप से संतुलन नहीं माना जाना चाहिए, जैसा कि एक सजातीय गैस के मामले में होता है। , लेकिन संतुलन से कुछ पर्याप्त रूप से छोटा (क्योंकि गैस कमजोर रूप से अमानवीय) मान से भिन्न होता है। वितरण फ़ंक्शन फॉर्म लेगा, और सुधार स्वयं फॉर्म में लिखा जाएगा। फ़ंक्शन को कुछ शर्तों को पूरा करना चाहिए। यदि गैस के कणों की संख्या, ऊर्जा और संवेग के दिए गए घनत्व

वे। संतुलन फ़ंक्शन इंटीग्रल से मेल खाता है, फिर कोई भी संतुलन फ़ंक्शन को इन मात्राओं के समान मूल्यों (इंटीग्रल्स के साथ और मेल खाना चाहिए) के लिए नेतृत्व करना चाहिए, जो केवल तब होता है जब

आइए हम गतिज समीकरण (13) में टकराव अभिन्न को रूपांतरित करें: वितरण फ़ंक्शन और सुधार के लिए भावों को प्रतिस्थापित करना, संतुलन वितरण फ़ंक्शन वाले टकराव इंटीग्रल को शून्य करना, उन शर्तों को रद्द करना जिनमें एक छोटा सुधार नहीं है। पहले आदेश की शर्तें देंगे। रैखिक इंटीग्रल ऑपरेटर को दर्शाने के लिए प्रतीक पेश किया गया था

आइए हम समीकरण के बाईं ओर तापीय चालकता की समस्या पर विचार करने के लिए तापमान प्रवणता के साथ केवल एक पद को ध्यान में रखते हुए, एक कमजोर अमानवीय गैस के लिए गतिज समीकरण (व्युत्पत्ति के बिना) लिखते हैं।

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4. एक परमाणु गैस की तापीय चालकता की गणना

गैस की तापीय चालकता की गणना करने के लिए, उपरोक्त समीकरण को तापमान प्रवणता के साथ हल करना आवश्यक है।

आज्ञा देना केवल मात्राओं का एक सदिश फलन है। फिर समीकरण () का हल फॉर्म में मांगा जाएगा। इस समाधान को समीकरण () में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक गुणक प्राप्त होता है। समीकरण () तापमान ढाल वेक्टर के पूरी तरह से मनमानी मूल्यों के लिए मान्य है, तो समानता के दोनों हिस्सों में गुणांक बराबर होना चाहिए। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है

समीकरण में तापमान प्रवणता नहीं होती है और इसलिए निर्देशांक पर स्पष्ट निर्भरता नहीं होती है। फ़ंक्शन को आवश्यक रूप से पहले निर्दिष्ट शर्तों () को पूरा करना चाहिए। पहली दो शर्तें स्पष्ट रूप से संतुष्ट हैं (समीकरण () में कोई वेक्टर पैरामीटर नहीं है जिसके साथ निरंतर वेक्टर इंटीग्रल को निर्देशित किया जा सकता है

और)। तीसरा समाकलन फलन g पर एक अतिरिक्त शर्त है। यदि गतिज समीकरण को हल किया जाता है और फलन

निर्धारित किया जाता है, तो ऊर्जा प्रवाह की गणना करके तापीय चालकता गुणांक निर्धारित करना संभव है, अधिक सटीक रूप से, इसका अपव्यय भाग, संवहनी ऊर्जा हस्तांतरण से संबंधित नहीं है (हम ऊर्जा प्रवाह के इस हिस्से को निरूपित करते हैं)। गैस में मैक्रोस्कोपिक गति की अनुपस्थिति में, क्यू कुल ऊर्जा प्रवाह क्यू के साथ मेल खाता है, जिसे अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

यदि प्रणाली संतुलन में है, तो गैस में सभी संभावित दिशाओं पर एकीकरण के कारण यह अभिन्न शून्य के बराबर है। जब () में प्रतिस्थापित किया जाता है

घटकों में

संतुलन गैस माध्यम की आइसोट्रॉपी के कारण, इसमें कोई चुनी हुई दिशा नहीं होती है, और टेंसर को केवल यूनिट टेंसर के माध्यम से ही व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात। एक अदिश को कम कर देता है

इस प्रकार, ऊर्जा प्रवाह के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां मूल्य तापीय चालकता का अदिश गुणांक है

प्रवाह क्यू को तापमान ढाल के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाना चाहिए, और मूल्य क्रमशः सकारात्मक होना चाहिए, जो स्वचालित रूप से गतिज समीकरण () द्वारा प्रदान किया जाता है। एकपरमाणुक गैसों में, वेग v एकमात्र सदिश है जिस पर फ़ंक्शन g निर्भर करता है (बहुपरमाण्विक गैसों में, g न केवल वेग v पर निर्भर करता है, बल्कि क्षण M पर भी निर्भर करता है)। मोनोआटोमिक गैसों के लिए, फ़ंक्शन g का रूप है:

.

§5. गतिज समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

गैस के अणु काफी जटिल कानूनों के अनुसार परस्पर क्रिया करते हैं। यह वास्तविक बहुपरमाणुक गैसों के लिए विशेष रूप से सच है। गैस अणुओं के व्यवहार की प्रकृति के बारे में की गई धारणाएं तर्क को सरल बनाना संभव बनाती हैं (या सिद्धांत रूप में भी इसे संभव बनाती हैं), लेकिन कुछ हद तक हमें वास्तविकता से दूर कर देती हैं। आणविक अंतःक्रिया के जटिल नियम जो टकराव समाकलन में कार्य को निर्धारित करते हैं, विशिष्ट गैसों के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को सटीक रूप में लिखने की अनुमति भी नहीं देते हैं। आणविक अंतःक्रिया की प्रकृति के सरलीकरण के साथ भी, गतिज समीकरण की गणितीय संरचना काफी जटिल बनी हुई है, और विश्लेषणात्मक रूप में इसका समाधान खोजना मुश्किल है। गैसों के गतिज सिद्धांत में, विशेष, एक विश्लेषणात्मक समाधान के प्रयास से अधिक प्रभावी, बोल्ट्जमैन समीकरण के अनुमानित समाधान के तरीकों का उपयोग किया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, एक मोनोएटोमिक गैस और गर्मी चालन की समस्या पर विचार करें।

और संतुलन वितरण फलन का रूप लेता है

समीकरण () के अनुमानित समाधान के लिए एक प्रभावी विधि पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल कार्यों की एक पूरी प्रणाली के संदर्भ में वांछित कार्यों के विस्तार पर आधारित है। ऐसे कार्यों के रूप में, हम सूत्रों द्वारा परिभाषित सोनिन बहुपदों पर विचार करते हैं:

इस सूत्र में, r मनमाना है, और s एक धनात्मक पूर्णांक या शून्य है। ईमानदारी से

किसी दिए गए सूचकांक r और विभिन्न सूचकांकों s के लिए इन बहुपदों की ऑर्थोगोनैलिटी संपत्ति इस प्रकार है

हम निम्नलिखित विस्तार के रूप में समीकरण के हल की तलाश करते हैं:

विस्तार में s=0 वाले पद को छोड़ने पर, हमें एक ऐसा व्यंजक प्राप्त होता है जो () को संतुष्ट करता है (विभिन्न s वाले बहुपदों की लंबकोणीयता के कारण समाकलन गायब हो जाता है)। बाईं ओर कोष्ठक में व्यंजक ()

वहाँ है। समीकरण () रूप लेता है

अंतिम अभिव्यक्ति के लिए, संकेतन

एल = 0 के साथ कोई समीकरण नहीं है, क्योंकि संवेग के संरक्षण के कारण

तापीय चालकता गुणांक की गणना अभिव्यक्ति () को अभिन्न () में प्रतिस्थापित करके की जाती है। शर्त () को ध्यान में रखते हुए, अभिन्न (सी) के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं

सोनोन बहुपदों में विस्तार का उपयोग करते हुए संख्यात्मक विधि की प्रभावशीलता को दाहिनी ओर की सादगी () और अंतिम अभिव्यक्ति () से आंका जा सकता है। समाधान के दौरान प्राप्त रैखिक बीजीय समीकरणों की अनंत प्रणाली कृत्रिम काट-छाँट के बाद हल की जाती है।

निष्कर्ष।

बोल्ट्जमान गतिज समीकरण को प्राप्त करने के लिए माना गया तरीका भौतिक दृष्टिकोण से काफी संतोषजनक है। हालांकि, गतिज समीकरण गैस कणों की गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है। 1946 में, ऐसा निष्कर्ष, जिसे डायनेमिक कहा जाता है, एन.एन. बोगोलीबॉव द्वारा दिया गया था। बोगोलीबॉव विधि न केवल बोल्ट्जमैन समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देती है, बल्कि इसमें सुधार भी करती है, अर्थात। छोटे गैस सामग्री पैरामीटर में अगले आदेश की शर्तें। उदाहरण के लिए, उपरोक्त व्युत्पत्ति केवल दो अणुओं के एक साथ टकराव को ध्यान में रखती है और मानती है कि टक्कर एक बिंदु पर होती है, अर्थात। स्थानीय हैं, और तीन, चार या अधिक कणों के समूहों के टकराव को ध्यान में रखते हुए कमोबेश कोई स्पष्ट नुस्खा नहीं है। इस बीच, यह स्पष्ट है कि घनी गैसों पर विचार करते समय इस तरह के टकरावों को ध्यान में रखना मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। इस संबंध में, गतिज समीकरण की व्युत्पत्ति और इसके संभावित सामान्यीकरण के लिए अधिक कठोर दृष्टिकोण अपनाना समीचीन है। Bogolyubov विधि हमें ध्यान में रखने की अनुमति देती है

व्युत्पत्ति के दौरान दिखाई देने वाले कुछ सुधार शब्दों की मदद से दो से अधिक कणों के टकराव और टकराव का "गैर-स्थानीयता"। सुधारों की उपेक्षा करने से गतिज समीकरण सरलतम स्थिति में प्राप्त रूप में कम हो जाता है।

ग्रंथ सूची।

1. ईएम लिफ्शिट्स, एल.पी. पिटेव्स्की। शारीरिक कैनेटीक्स। विज्ञान, एम।, 1979

2. यू.बी.रुमर, एम.एस.रिवकिन। थर्मोडायनामिक्स, सांख्यिकीय भौतिकी और कैनेटीक्स।

बोल्ट्जमैन गतिज समीकरण- पूर्णांक-अंतर। उर-टियन, क्रॉम गैर-संतुलन एकल-कण को ​​संतुष्ट करता है वितरण कार्यबड़ी संख्या में कणों की प्रणाली, उदाहरण के लिए, वेग और निर्देशांक के संदर्भ में गैस के अणुओं के वितरण का कार्य आर, एक धातु में, एक क्रिस्टल में, आदि में इलेक्ट्रॉनों के वितरण के कार्य। के। पर। बी - मुख्य। उर-टियन सूक्ष्म। गैर-संतुलन प्रक्रियाओं का सिद्धांत ( भौतिक गतिकी), विशेष रूप से गैसों का गतिज सिद्धांत. क. पर. बी संकीर्ण अर्थ में कहा जाता है। एल। बोल्ट्जमैन (एल। बोल्ट्जमैन) गतिज द्वारा व्युत्पन्न। छोटी गैसों के लिए उर-टियन, अणुओं को-रिख शास्त्रीय का पालन करते हैं। यांत्रिकी क. पर. बी. के लिए अर्ध-कणक्रिस्टल में, उदाहरण के लिए। धातु में इलेक्ट्रॉनों के लिए, कहा जाता है। गतिज भी। उर-नियामी या उर-नियामी स्थानांतरण।

क. पर. बी चरण मात्रा के एक तत्व में कणों की संख्या (अधिक सटीक, कणों की स्थिति को दर्शाने वाले बिंदु) के संतुलन के लिए एक समीकरण है; डॉ == dxdydz) और इस तथ्य को व्यक्त करता है कि कण वितरण में परिवर्तन समय के साथ कार्य करता है टीबाहरी क्रिया के तहत कणों की गति के कारण होता है। बलों और उनके बीच संघर्ष। एक ही प्रकार के कणों से युक्त गैस के लिए, K. at. बी जैसा दिखता है

प्रति इकाई समय में चरण आयतन के एक तत्व में कणों की संख्या के घनत्व में परिवर्तन कहाँ होता है, एफ == एफ(आर,टी)- कण पर कार्य करने वाला बल (गति पर भी निर्भर हो सकता है), - टकराव (टक्कर अभिन्न) के कारण वितरण समारोह में परिवर्तन। समीकरण के दूसरे और तीसरे सदस्य (1) सम्मान की विशेषता रखते हैं। अंतरिक्ष में कणों की गति और एक्सट की क्रिया के परिणामस्वरूप वितरण कार्य में परिवर्तन। ताकतों। कण टकराव के कारण इसका परिवर्तन, तथाकथित चरण मात्रा तत्व से कणों के प्रस्थान के साथ जुड़ा हुआ है। प्रत्यक्ष टकराव और "रिवर्स" टकराव का अनुभव करने वाले कणों द्वारा वॉल्यूम की पुनःपूर्ति। यदि आप शास्त्रीय के नियमों के अनुसार टकराव की गणना करते हैं। यांत्रिकी और मान लें कि गतिशील के बीच कोई संबंध नहीं है। अणुओं के टकराने की अवस्था, तब

टक्कर से पहले कणों की गति, - टक्कर के बाद समान कणों की गति, - मान को संदर्भित करता है। टकराने वाले कणों की गति, - अंतर। प्रभाव कण प्रकीर्णन अनुप्रस्थ काट प्रयोगशाला में एक ठोस कोण में। समन्वय प्रणाली, - रिश्तेदार के बीच का कोण। केंद्रों की गति और रेखा। उदाहरण के लिए, एक त्रिज्या के साथ कठोर लोचदार क्षेत्रों के लिए आर, = , केंद्र के नियम के अनुसार परस्पर क्रिया करने वाले कणों के लिए। ताकतों, ( बी- प्रभाव पैरामीटर, - केंद्रों की रेखा का अज़ीमुथ कोण)।

क. पर. बी अणुओं के बीच केवल जोड़ी टकराव को ध्यान में रखता है; यह मान्य है बशर्ते कि मुक्त पथ लंबाईअणु उस क्षेत्र के रैखिक आयामों से बहुत बड़े होते हैं जिसमें टकराव होता है (लोचदार कणों की गैस के लिए, यह क्षेत्र कण व्यास के क्रम का होता है)। इसलिए, के। एट। बी बहुत घनी गैसों के लिए लागू नहीं। नहीं तो अन्याय होगा। यह धारणा कि टकराने वाले कणों की अवस्थाओं (आणविक अराजकता की परिकल्पना) के बीच कोई संबंध नहीं है। यदि प्रणाली सांख्यिकीय में है संतुलन, तो टक्कर अभिन्न (2) गायब हो जाता है और K. u का समाधान होता है। बी is मैक्सवेल वितरण.

K. at के निर्माण के लिए अधिक कठोर दृष्टिकोण के साथ। बी. से आते हैं लिउविल समीकरणचरण अंतरिक्ष में सभी गैस अणुओं के वितरण घनत्व के लिए, जिसमें से एक, दो, आदि अणुओं के वितरण कार्यों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है ( बोगोलीबॉव समीकरण). समीकरणों की इस श्रृंखला को सहसंबंध कमजोर सीमा स्थिति का उपयोग करके कण घनत्व की शक्तियों में विस्तार करके हल किया जाता है, जो आणविक अराजकता परिकल्पना को प्रतिस्थापित करता है।

के. का निर्णय। बी. डीकंप पर। कणों के बीच परस्पर क्रिया की शक्तियों के बारे में धारणाएँ - गतिज का विषय। गैसों का सिद्धांत, जो आपको गणना करने की अनुमति देता है गतिज गुणांकऔर मैक्रोस्कोपिक प्राप्त करें। स्थानांतरण प्रक्रियाओं के लिए उर-शन ( चिपचिपाहट, प्रसार, तापीय चालकता).

क्वांटम गैसों के लिए, eff का मान। क्रॉस सेक्शन की गणना समान कणों की अप्रभेद्यता और इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि टकराव की संभावना न केवल टकराने वाले कणों के वितरण कार्यों के उत्पाद पर निर्भर करती है, बल्कि टक्कर के बाद कणों के वितरण कार्यों पर भी निर्भर करती है। इसके परिणामस्वरूप फर्मियन के लिए टक्कर की संभावना कम हो जाएगी, और बोसोन के लिए यह बढ़ जाएगी। क्वांटम मामले में टक्कर ऑपरेटर रूप लेता है

जहां ऋण चिह्न से मेल खाता है फर्मी - डिराक सांख्यिकी, और धन चिह्न है बोस - आइंस्टीन सांख्यिकी, जी- आँकड़ा। राज्य वजन (जी = एल शून्य स्पिन वाले कणों के लिए, और जी = 2स्पिन वाले कणों के लिए), कण की गति है। कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है ताकि वे cf का प्रतिनिधित्व करें। एक बिंदु में कणों की संख्या। फर्मी और बोस वितरण के संतुलन कार्य टकराव ऑपरेटर (3) को गायब कर देते हैं।

के. का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला। B. गतिज है। न्यूट्रॉन, टू-राई के लिए उर-टियन बिखरे हुए हैं और माध्यम के नाभिक द्वारा धीमा कर दिए गए हैं। इस मामले में, एक्सट। कोई बल नहीं हैं और समीकरण में (1) यह डालना आवश्यक है एफ = 0. न्यूट्रॉन का संख्या घनत्व आमतौर पर कम होता है, ताकि उनके बीच टकराव की उपेक्षा की जा सके और केवल माध्यम के नाभिक के साथ उनके टकराव को ही ध्यान में रखा जा सके (चित्र 1 देखें)। न्यूट्रॉन प्रसार, न्यूट्रॉन मॉडरेशन).

एक धातु में इलेक्ट्रॉनों की गति से जुड़ी स्थानांतरण प्रक्रियाओं की जांच भी K. at की सहायता से की जा सकती है। B. जाली की अनुपस्थिति में, इलेक्ट्रॉन धातु में स्वतंत्र रूप से फैलते हैं और जाली अवधि के साथ संशोधित और निर्भर करते हुए वर्णित हैं क; और ऊर्जावान संख्या। जोन मैं. जाली परमाणुओं की तापीय गति आवधिकता का उल्लंघन करती है और इलेक्ट्रॉन बिखरने (इलेक्ट्रॉनों और फोनोन के बीच टकराव) की ओर ले जाती है। इलेक्ट्रॉन वितरण समारोह एन (के, एल, टी) के. को संतुष्ट करता है। बी प्रकार (1), क्रोमो में एफ = (इ और एच - विद्युत वोल्टेज। और मैग्न। खेत, इ- इलेक्ट्रॉन), और टक्कर अभिन्न का रूप है

जहां एन = एन ( क ,एल), - टक्कर से पहले और बाद में तरंग वैक्टर और क्षेत्रों की संख्या, एन = = एन ( एफ, एस)- फोनन वितरण समारोह, एफ और एस- तरंग वेक्टर और फोनन का ध्रुवीकरण, - भीख। और ऊर्जा के साथ एक फोनन के उत्तेजना पर एक इलेक्ट्रॉन की अंतिम ऊर्जा - डेल्टा-एफ-टियन, - राज्य से इलेक्ट्रॉन संक्रमण के मैट्रिक्स तत्व क, मैंएक राज्य में , टू-राई परिभाषा के आधार पर मूल्यांकन करते हैं। जाली के साथ इलेक्ट्रॉनों की बातचीत के तंत्र के बारे में परिकल्पना। अभिव्यक्ति (4) इस धारणा के तहत प्राप्त की गई थी कि इलेक्ट्रॉनों का औसत मुक्त पथ टकराव के समय की अनिश्चितता से बहुत अधिक है। विद्युत चालकता का सिद्धांत, थर्मोइलेक्ट्रिक। और गैल्वेनो-चुंबक। धातुओं और अर्धचालकों में परिघटना K. at के विलयन पर आधारित होती है। बी।

कुछ मामलों में, कंडेनसर। सिस्टम, जब थर्मल गति की प्रकृति ज्ञात होती है, तो K. का निर्माण संभव है। बी। प्राथमिक उत्तेजनाओं (क्वासिपार्टिकल्स) के लिए। उदाहरण के लिए, क्रिस्टल-लिच में ऊर्जा हस्तांतरण प्रक्रियाओं का सिद्धांत। जाली इस प्रकार के समीकरण पर आधारित है। यदि पॉट के लिए अभिव्यक्ति में। यदि परमाणुओं के विस्थापन के संबंध में जाली ऊर्जा द्विघात शब्दों तक सीमित है, तो क्रिस्टल में परमाणुओं की तापीय गति को जाली के सामान्य कंपन के क्वांटा - फोनन को स्वतंत्र रूप से प्रचारित करके वर्णित किया जाता है। तीसरी डिग्री की शर्तों के लिए लेखांकन से फोनन के बीच टकराव की संभावना होती है। नतीजतन, फोनन वितरण समारोह एन (एफ, एस) गतिज के अनुसार समय में बदल जाएगा। उर-निउ

गुणक घन के साथ संभावनाओं के विस्तार के संदर्भ में। संतुलन की स्थिति से परमाणुओं के विचलन के अनुसार क्रिस्टल की ऊर्जा घनत्व है। समीकरण (5) दो फोनोन के विनाश और एक के उत्पादन (और उनकी व्युत्क्रम प्रक्रियाओं) के साथ फोनोन के ट्रिपल टकराव का वर्णन करता है। यह समूह वेग के साथ चलने वाले और एक दूसरे से टकराने वाले फोनन के संतुलन के लिए समीकरण है। गैर-संचालन क्रिस्टल का सिद्धांत सांख्यिकीय से छोटे विचलन के साथ समीकरण (5) के समाधान पर आधारित है। संतुलन।

क. पर. बी उन प्रक्रियाओं पर भी लागू होता है जिनमें कण परस्पर परिवर्तन से गुजरते हैं, उदाहरण के लिए, ब्रह्मांडीय हिट होने पर बनने वाली वर्षा के सिद्धांत में। वातावरण में उच्च ऊर्जा कण। इस मामले में, गतिज शुल्क के लिए शेष राशि के ur-tions की प्रणाली के रूप में ur-tions संकलित किए जाते हैं। ऊर्जा और संवेग के दिए गए अंतराल में कण और फोटॉन। ये समीकरण इस तथ्य को व्यक्त करते हैं कि वितरण फलन में परिवर्तन (प्रकीर्णन प्रभावों को छोड़कर) आवेश युग्मों के बनने के कारण होता है। फोटॉन द्वारा कण और आवेश का उत्सर्जन। नाभिक के क्षेत्र में रूप में फोटॉन के कण।

वर्षा का कैस्केड सिद्धांत इन समीकरणों के समाधान पर आधारित है।

ज्योतिर्मय. लेख के तहत देखें काइनेटिक गैस सिद्धांत. काइनेटिक्स भौतिक। डी. हां जुबरेव.

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बोल्ट्जमान समीकरण (गतिज बोल्ट्जमान समीकरण) के नाम पर एक समीकरण है लुडविग बोल्ट्ज़मान, जिन्होंने पहले इसे माना, और वर्णन किया सांख्यिकीय वितरणएक गैस या तरल में कण। सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों में से एक है भौतिक गतिकी(क्षेत्र सांख्यिकीय भौतिकी, जो उन प्रणालियों का वर्णन करता है जो थर्मोडायनामिक संतुलन से दूर हैं, उदाहरण के लिए, तापमान प्रवणता की उपस्थिति में और विद्युत क्षेत्र) बोल्ट्जमान समीकरण का उपयोग ऊष्मा के स्थानांतरण का अध्ययन करने के लिए किया जाता है और आवेशमें तरल पदार्थऔर गैसों, और परिवहन गुण इससे प्राप्त होते हैं, जैसे इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी , हॉल प्रभाव , श्यानताऔर ऊष्मीय चालकता. समीकरण दुर्लभ प्रणालियों के लिए लागू होता है, जहां कणों के बीच बातचीत का समय छोटा होता है ( आणविक अराजकता परिकल्पना).

शब्दों

बोल्ट्जमान समीकरण वर्णन करता है क्रमागत उन्नतिसमय के भीतर ( टी) वितरण कार्य घनत्व एफ(एक्स, पी, टी) एक कण में चरण स्थान, कहाँ पे एक्सऔर पी - समन्वयऔर धड़कनक्रमश। वितरण को परिभाषित किया गया है ताकि

$f(\backslash mathbf(x),\backslash mathbf(p),t)\backslash ,d^3x\backslash ,d^3p$

चरण मात्रा में कणों की संख्या के आनुपातिक डेक्स डीपीउस समय पर टी. बोल्ट्जमान समीकरण

\frac(\partial f)(\partial t) + \frac(\partial f)(\partial \mathbf(x)) \cdot \frac(\mathbf(p))(m) + \frac(\partial f) )(\आंशिक \mathbf(p)) \cdot \mathbf(F) = \left. \frac(d f)(d t) \right|_(\mathrm(col)).यहां एफ(एक्स, टी) एक तरल या गैस में कणों पर कार्य करने वाले बलों का क्षेत्र है, और एमकणों का द्रव्यमान है। समीकरण के दायीं ओर के पद को कणों के बीच टकराव के लिए जोड़ा जाता है और इसे कहा जाता है टक्कर अभिन्न. यदि यह शून्य है, तो कण आपस में नहीं टकराते हैं। इस मामले को अक्सर एक-कण मामले के रूप में जाना जाता है। लिउविल समीकरण. यदि बलों का क्षेत्र एफ(एक्स, टी) वितरण फ़ंक्शन के आधार पर एक उपयुक्त स्व-संगत क्षेत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $एफ$, तो हमें मिलता है व्लासोव समीकरण, जो एक स्व-संगत क्षेत्र में आवेशित प्लाज्मा कणों की गतिशीलता का वर्णन करता है। शास्त्रीय बोल्ट्ज़मान समीकरण भौतिकी में प्रयोग किया जाता है प्लाज्मासाथ ही भौतिकी में अर्धचालकोंऔर धातु (गतिज घटना का वर्णन करने के लिए, अर्थात आवेश या ऊष्मा का स्थानांतरण, in .) ई तरल).

$\backslash hat(\backslash mathbf(L))\_\backslash mathrm(GR)=\backslash sum\_\backslash alpha\; p^\backslash alpha\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^\backslash alpha)-\backslash sum\_(\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma)\backslash \; गामा^(\backslash alpha)()\_(\backslash beta\backslash gamma)p^\backslash beta\; p^\backslash gamma\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; p^\backslash alpha),$

टक्कर अभिन्न

कणों के बीच टकराव से उनके वेग में परिवर्तन होता है। यदि एक $W(\backslash mathbf(v),\backslash mathbf(v)^\backslash prime)d^3v^\backslash prime\; dt$एक वेग के साथ एक राज्य से एक कण के बिखरने की संभावना को निर्दिष्ट करता है $\backslash mathbf(v)$गति की स्थिति में $\backslash mathbf(v)^\backslash prime$, तो शास्त्रीय कणों के लिए टक्कर समाकलन के रूप में लिखा जाता है

$\backslash बाएं।$.

कण आँकड़ों की क्वांटम प्रकृति के मामले में, यह अभिव्यक्ति दो कणों के समान क्वांटम संख्या वाले राज्य में होने की असंभवता से जटिल है, और इसलिए कब्जे वाले राज्यों में बिखरने की असंभवता को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

विश्राम समय सन्निकटन

बोल्ट्ज़मान समीकरण एक जटिल आंशिक अंतर पूर्णांक-अंतर समीकरण हैं। इसके अलावा, टक्कर अभिन्न कणों और अन्य कारकों के बीच बातचीत के प्रकार पर, विशिष्ट प्रणाली पर निर्भर करता है। गैर-संतुलन प्रक्रियाओं की सामान्य विशेषताओं को खोजना कोई आसान काम नहीं है। हालांकि, यह ज्ञात है कि थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में टक्कर अभिन्न शून्य के बराबर है। वास्तव में, बाहरी क्षेत्रों की अनुपस्थिति में एक सजातीय प्रणाली में संतुलन की स्थिति में, बोल्ट्जमान समीकरण के बाईं ओर सभी व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए टकराव अभिन्न भी शून्य के बराबर होना चाहिए। संतुलन से छोटे विचलन के लिए, वितरण फलन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

$f\; =\; f\_0\; +\; f\_1$,

कहाँ पे $f\_0(\backslash mathbf(v))$संतुलन वितरण फलन है, केवल कण वेगों पर निर्भर करता है और ऊष्मागतिकी से जाना जाता है, और $f\_1$- मामूली विचलन।

इस मामले में, एक टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन के संबंध में टकराव अभिन्न का विस्तार कर सकता है $f\_1$, और इसे फॉर्म में लिखें:

$-\; \backslash frac(f\_1)(\backslash tau)\; =\; -\; \backslash frac(f-f\_0)(\backslash tau)$,

यह सभी देखें

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साहित्य

• सेर्सिग्नानी के.बोल्ट्जमान समीकरण का सिद्धांत और अनुप्रयोग। - एम।: मीर, 1978. - 495 पी।

बोल्ट्जमैन काइनेटिक समीकरण की विशेषता वाला एक अंश

मानव की असंख्य मनमानी से उत्पन्न मानव की गति निरंतर चलती रहती है।
इस आंदोलन के नियमों की समझ इतिहास का लक्ष्य है। लेकिन लोगों की सभी मनमानी के योग के निरंतर आंदोलन के नियमों को समझने के लिए, मानव मन मनमाना, असंतत इकाइयों को स्वीकार करता है। इतिहास की पहली विधि निरंतर घटनाओं की एक मनमानी श्रृंखला लेना और इसे दूसरों से अलग मानना ​​​​है, जबकि किसी भी घटना की शुरुआत नहीं हो सकती है और नहीं हो सकती है, और हमेशा एक घटना लगातार दूसरी से आती है। दूसरी चाल यह है कि एक व्यक्ति, राजा, सेनापति की कार्रवाई को लोगों की मनमानी का योग माना जाए, जबकि लोगों की मनमानी का योग कभी भी एक ऐतिहासिक व्यक्ति की गतिविधि में व्यक्त नहीं किया जाता है।
ऐतिहासिक विज्ञान अपने आंदोलन में लगातार छोटी और छोटी इकाइयों को विचार के लिए स्वीकार करता है, और इस तरह सत्य तक पहुंचने का प्रयास करता है। लेकिन इतिहास चाहे कितनी भी छोटी इकाइयाँ स्वीकार करें, हमें लगता है कि एक इकाई की दूसरे से अलग होने की धारणा, किसी घटना की शुरुआत की धारणा, और यह धारणा कि सभी लोगों की मनमानी एक ऐतिहासिक व्यक्ति के कार्यों में व्यक्त की जाती है। , अपने आप में झूठे हैं।
इतिहास का कोई भी निष्कर्ष, आलोचना की ओर से थोड़े से प्रयास के बिना, धूल की तरह अलग हो जाता है, कुछ भी पीछे नहीं छोड़ता है, केवल इस तथ्य के परिणामस्वरूप कि आलोचना अवलोकन की वस्तु के रूप में एक बड़ी या छोटी असंतत इकाई को चुनती है; जिस पर उसका हमेशा अधिकार होता है, क्योंकि ली गई ऐतिहासिक इकाई हमेशा मनमानी होती है।
केवल अवलोकन के लिए एक असीम रूप से छोटी इकाई को अनुमति देकर - इतिहास का अंतर, यानी लोगों की सजातीय ड्राइव, और एकीकृत करने की कला हासिल करने के बाद (इन अतिसूक्ष्म लोगों के योग लेते हुए), क्या हम इतिहास के नियमों को समझने की उम्मीद कर सकते हैं .
यूरोप में उन्नीसवीं सदी के पहले पंद्रह वर्ष लाखों लोगों के एक असाधारण आंदोलन का प्रतिनिधित्व करते हैं। लोग अपने सामान्य व्यवसाय छोड़ देते हैं, यूरोप के एक तरफ से दूसरी तरफ भागते हैं, लूटते हैं, एक-दूसरे को मारते हैं, जीत और निराशा होती है, और जीवन का पूरा पाठ्यक्रम कई वर्षों तक बदल जाता है और एक तीव्र आंदोलन का प्रतिनिधित्व करता है, जो पहले बढ़ता जाता है, फिर कमजोर। इस आंदोलन का कारण क्या है या यह किन कानूनों के अनुसार हुआ? मानव मन पूछता है।
इतिहासकार, इस प्रश्न का उत्तर देते हुए, हमें पेरिस शहर की एक इमारत में कई दर्जन लोगों के कार्यों और भाषणों का वर्णन करते हैं, इन कार्यों और भाषणों को क्रांति शब्द कहते हैं; फिर वे नेपोलियन और कुछ सहानुभूतिपूर्ण और शत्रुतापूर्ण लोगों की विस्तृत जीवनी देते हैं, इनमें से कुछ लोगों के दूसरों पर प्रभाव के बारे में बात करते हैं, और कहते हैं: यही कारण है कि यह आंदोलन आया, और ये इसके कानून हैं।
लेकिन मानव मन न केवल इस स्पष्टीकरण पर विश्वास करने से इनकार करता है, बल्कि सीधे कहता है कि व्याख्या की विधि सही नहीं है, क्योंकि इस स्पष्टीकरण में सबसे कमजोर घटना को सबसे मजबूत का कारण माना जाता है। मानवीय मनमानी के योग ने क्रांति और नेपोलियन दोनों को बनाया, और इन मनमानी के योग ने ही उन्हें सहन किया और नष्ट कर दिया।
“परन्तु जब कभी विजय हुई, तो विजेता थे; जब भी राज्य में तख्तापलट हुआ, वहां महान लोग थे, ”इतिहास कहता है। वास्तव में, जब भी विजेता होते थे, युद्ध भी होते थे, मानव मन उत्तर देता है, लेकिन इससे यह साबित नहीं होता है कि विजेता युद्धों के कारण थे और एक व्यक्ति की व्यक्तिगत गतिविधि में युद्ध के नियमों को खोजना संभव था। जब भी, अपनी घड़ी को देखता हूं, मैं देखता हूं कि हाथ दस के करीब पहुंच गया है, तो मैं सुनता हूं कि पड़ोसी चर्च में सुसमाचार प्रचार शुरू हो रहा है, लेकिन इस तथ्य से कि हर बार हाथ दस बजे आता है जब सुसमाचार प्रचार शुरू होता है, मैं यह निष्कर्ष निकालने का कोई अधिकार नहीं है कि तीर की स्थिति घंटियों की गति का कारण है।
हर बार जब मैं एक लोकोमोटिव चाल देखता हूं, मुझे सीटी की आवाज सुनाई देती है, मुझे एक वाल्व खुलते हुए और पहिये चलते हुए दिखाई देते हैं; लेकिन इससे मुझे यह निष्कर्ष निकालने का कोई अधिकार नहीं है कि सीटी और पहियों की गति लोकोमोटिव की गति के कारण हैं।
किसानों का कहना है कि देर से वसंत ऋतु में एक ठंडी हवा चलती है क्योंकि ओक की कली खुलती है, और वास्तव में, हर वसंत में एक ठंडी हवा चलती है जब ओक सामने आता है। लेकिन यद्यपि मैं ओक के खुलने के दौरान बहने वाली ठंडी हवा का कारण नहीं जानता, मैं किसानों से सहमत नहीं हो सकता कि ठंडी हवा का कारण ओक की कली का खुलना है, केवल हवा के बल के कारण कली के प्रभाव से परे है। मैं केवल उन स्थितियों का संयोग देखता हूं जो हर जीवन घटना में मौजूद हैं, और मैं देखता हूं कि, चाहे कितना भी और कितना भी विस्तृत हो, मैं घड़ी के हाथ, भाप इंजन के वाल्व और पहियों और इंजन की कली का निरीक्षण करता हूं। ओक, मैं ब्लागोवेस्ट का कारण, भाप लोकोमोटिव की गति और वसंत हवा का कारण नहीं जानूंगा। । ऐसा करने के लिए, मुझे अपने अवलोकन के बिंदु को पूरी तरह से बदलना होगा और भाप, घंटियों और हवा की गति के नियमों का अध्ययन करना होगा। इतिहास को भी ऐसा ही करना चाहिए। और ऐसा करने के प्रयास पहले ही किए जा चुके हैं।
इतिहास के नियमों का अध्ययन करने के लिए, हमें अवलोकन की वस्तु को पूरी तरह से बदलना होगा, राजाओं, मंत्रियों और सेनापतियों को अकेला छोड़ देना चाहिए, और सजातीय, असीम तत्वों का अध्ययन करना चाहिए जो जनता का मार्गदर्शन करते हैं। इस तरह से इतिहास के नियमों की समझ हासिल करने के लिए किसी व्यक्ति को कितना समय दिया जाता है, यह कोई नहीं कह सकता; लेकिन यह स्पष्ट है कि इस रास्ते पर केवल ऐतिहासिक कानूनों को पकड़ने की संभावना है, और इस रास्ते पर मानव मन ने अभी तक इतिहासकारों द्वारा विभिन्न राजाओं, सेनापतियों और मंत्रियों के कार्यों का वर्णन करने के लिए दस लाखवां प्रयास नहीं किया है। इन कर्मों के अवसर पर अपने विचार प्रस्तुत करते हुए।।

यूरोप की बारह भाषाओं की सेना रूस में टूट गई। स्मोलेंस्क और स्मोलेंस्क से बोरोडिनो तक टकराव से बचने के लिए रूसी सेना और आबादी पीछे हट गई। फ्रांसीसी सेना, तेजी से बढ़ती ताकत के साथ, अपने आंदोलन के लक्ष्य की ओर मास्को की ओर दौड़ती है। लक्ष्य की ओर बढ़ते हुए उसके तेज की ताकत पृथ्वी के पास आते ही गिरते हुए पिंड की गति में वृद्धि की तरह बढ़ जाती है। एक हजार मील के भूखे, शत्रुतापूर्ण देश के पीछे; लक्ष्य से अलग होकर दर्जनों मील आगे। यह नेपोलियन सेना के प्रत्येक सैनिक द्वारा महसूस किया जाता है, और आक्रमण केवल तेजता के बल से ही आगे बढ़ रहा है।
जैसे ही रूसी सेना पीछे हटती है, दुश्मन के खिलाफ क्रोध की भावना अधिक से अधिक भड़क उठती है: पीछे हटना, यह ध्यान केंद्रित करता है और बढ़ता है। बोरोडिनो के पास एक टक्कर होती है। न तो सेना विघटित होती है, लेकिन रूसी सेना टक्कर के तुरंत बाद पीछे हट जाती है, जैसे कि एक गेंद आवश्यक रूप से लुढ़कती है, दूसरी गेंद से टकराती है जो उस पर अधिक तेजी से दौड़ती है; और जैसा आवश्यक हो (हालांकि टक्कर में अपनी सारी ताकत खो चुके हैं), आक्रमण की तेजी से बिखरी हुई गेंद कुछ और जगह पर लुढ़कती है।

मास्को ऊर्जा संस्थान

(तकनीकी विश्वविद्यालय)

इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग के संकाय

विषय पर सारांश

BOLTZMANN का गतिज समीकरण।

पूरा किया हुआ:

कॉर्किन एस.वी.

शिक्षक

शेरकुनोव यू.बी.

काम का दूसरा भाग काफी जटिल गणित से भरा है। लेखक ( [ईमेल संरक्षित], [ईमेल संरक्षित]) इस शब्द के पेपर को आदर्श नहीं मानता, यह केवल एक अधिक परिपूर्ण (और समझने योग्य) काम लिखने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में काम कर सकता है। पाठ पुस्तक की प्रति नहीं है। साहित्य का समर्थन करने के लिए अंत देखें।

एक्सचेंज पेपर को EXL मार्क के साथ स्वीकार किया गया था। (काम का अंतिम संस्करण थोड़ा खो गया है। मैं अंतिम "संस्करण" का उपयोग करने का सुझाव देता हूं)।

परिचय ……………………………………………………………………… 3

प्रतीक …………………………………………………। 4

§1 वितरण समारोह।

§2 कणों का टकराव।

§3 टक्कर इंटीग्रल के प्रकार का निर्धारण

और बोल्ट्जमैन समीकरण।

4. कमजोर अमानवीय गैस के लिए गतिज समीकरण।

गैस की तापीय चालकता।

कुछ सम्मेलन:

n कणों की सांद्रता है;

d कणों के बीच की औसत दूरी है;

वी - सिस्टम की कुछ मात्रा;

P किसी घटना की प्रायिकता है;

च - वितरण समारोह;

परिचय।

भौतिकी के खंड - थर्मोडायनामिक्स, सांख्यिकीय भौतिकी और भौतिक कैनेटीक्स मैक्रोस्कोपिक सिस्टम में होने वाली भौतिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में लगे हुए हैं - बड़ी संख्या में माइक्रोपार्टिकल्स वाले निकाय। सिस्टम के प्रकार के आधार पर, ऐसे माइक्रोपार्टिकल्स परमाणु, अणु, आयन, इलेक्ट्रॉन, फोटॉन या अन्य कण हो सकते हैं। आज तक, मैक्रोस्कोपिक सिस्टम की अवस्थाओं का अध्ययन करने के लिए दो मुख्य विधियाँ हैं - थर्मोडायनामिक, जो मैक्रोस्कोपिक आसानी से मापे गए मापदंडों (उदाहरण के लिए, दबाव, आयतन, तापमान, मोल्स की संख्या या किसी पदार्थ की एकाग्रता) के माध्यम से सिस्टम की स्थिति की विशेषता है। वास्तव में, किसी पदार्थ की परमाणु और आणविक संरचना और विचाराधीन प्रणाली के परमाणु-आणविक मॉडल पर आधारित एक सांख्यिकीय पद्धति को ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस कार्य में थर्मोडायनामिक विधि पर चर्चा नहीं की जाएगी। प्रणाली के कणों के व्यवहार के ज्ञात नियमों के अनुसार, सांख्यिकीय पद्धति संपूर्ण मैक्रोसिस्टम के व्यवहार के नियमों को समग्र रूप से स्थापित करना संभव बनाती है। हल की जा रही समस्या को सरल बनाने के लिए, सांख्यिकीय दृष्टिकोण में माइक्रोपार्टिकल्स के व्यवहार के बारे में कई धारणाएँ (धारणाएँ) बनाई जाती हैं, और इसलिए, सांख्यिकीय पद्धति द्वारा प्राप्त परिणाम केवल मान्यताओं की सीमा के भीतर ही मान्य होते हैं। सांख्यिकीय विधि समस्याओं को हल करने के लिए एक संभाव्य दृष्टिकोण का उपयोग करती है; इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, सिस्टम में पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में कण होने चाहिए। सांख्यिकीय पद्धति द्वारा हल की गई समस्याओं में से एक मैक्रोस्कोपिक प्रणाली की स्थिति के समीकरण की व्युत्पत्ति है। सिस्टम की स्थिति समय के साथ अपरिवर्तित हो सकती है (संतुलन प्रणाली) या समय के साथ बदल सकती है (गैर-संतुलन प्रणाली)। ऐसी प्रणालियों में होने वाली प्रणालियों और प्रक्रियाओं की गैर-संतुलन अवस्थाओं का अध्ययन भौतिक गतिकी का विषय है।

समय में विकसित होने वाली प्रणाली की स्थिति का समीकरण एक गतिज समीकरण है, जिसका समाधान किसी भी समय प्रणाली की स्थिति को निर्धारित करता है। गतिज समीकरणों में रुचि भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उनके आवेदन की संभावना से जुड़ी है: गैस के गतिज सिद्धांत में, खगोल भौतिकी, प्लाज्मा भौतिकी, द्रव यांत्रिकी में। इस पत्र में, हम सांख्यिकीय भौतिकी और भौतिक कैनेटीक्स के संस्थापकों में से एक, 1872 में ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा प्राप्त गतिज समीकरण पर विचार करते हैं और उसका नाम रखते हैं।

§1 वितरण समारोह।

बोल्ट्जमान गतिज समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, एक एकपरमाण्विक आदर्श गैस पर विचार करें, अर्थात। विद्युत रूप से तटस्थ परमाणुओं या अणुओं से युक्त पर्याप्त रूप से दुर्लभ गैस। एक आदर्श गैस के कणों के बीच एकमात्र प्रकार की बातचीत अणुओं के बीच टकराव होती है, हालांकि, ऐसा बहुत कम होता है कि प्रत्येक अणु लगभग हर समय मुक्त रूप से चलता रहता है। गैस के कणों को शास्त्रीय मानते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति कण आयतन होता है। प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या सांद्रता है। इसका मतलब है कि कणों के बीच एक औसत दूरी होती है (यह अंतर-आणविक बलों की क्रिया की त्रिज्या की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़ी मानी जाती है d)। बोल्ट्जमान समीकरण प्राप्त करते समय, हम निम्नलिखित धारणाएँ बनाते हैं:

गैस के कण अप्रभेद्य हैं (समान);

कण केवल जोड़े में टकराते हैं (एक साथ तीन या अधिक कणों के टकराव की उपेक्षा करते हैं);

टक्कर से ठीक पहले, कण एक सीधी रेखा में एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं;

अणुओं की टक्कर एक प्रत्यक्ष केंद्रीय लोचदार प्रभाव है;

गैस का सांख्यिकीय विवरण संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन (या संभाव्यता घनत्व) द्वारा किया जाता है, और वितरण फ़ंक्शन कण टकराव क्षेत्र के क्रम की दूरी पर नहीं बदलता है। संभाव्यता घनत्व इस संभावना को परिभाषित करता है कि कुछ यादृच्छिक चर x का एक छोटे अंतराल dx के भीतर मान निम्नानुसार है। एक सीमित अंतराल में x को खोजने की संभावना एकीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है।

गैस के अणुओं का वितरण फलन उनके चरण में दिया गया है:-स्थान।

सभी अणुओं के सामान्यीकृत निर्देशांक का एक सेट है; - अणुओं के सामान्यीकृत गति का एक सेट। क्रमश

और। द्वारा निरूपित करें

अणु के चरण स्थान का आयतन तत्व। चरण स्थान के किसी दिए गए तत्व में, (औसतन) कणों की संख्या बराबर होती है (अर्थात, अणुओं पर विचार किया जाता है, जिनमें से q और p के मान चयनित अंतराल dq और dp में स्थित होते हैं)। गैस अणुओं का वितरण कार्य ऊपर चरण स्थान में परिभाषित किया गया था, हालांकि, इसे कण के सामान्यीकृत निर्देशांक और गति के अलावा अन्य चर के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। आइए फ़ंक्शन f के तर्क चुनें।

गैर-संतुलन, समय में प्रवाहित होने, व्यवस्था की स्थिति को बदलने की प्रक्रिया को ध्यान में रखते हुए, हमें स्पष्ट रूप से यह मान लेना चाहिए कि वितरण कार्य समय पर निर्भर करता है। विचाराधीन गैस कणों का एक समूह है जिस पर हम शास्त्रीय विचार करने के लिए सहमत हुए हैं।

एक शास्त्रीय कण की अनुवाद गति को निर्देशांक द्वारा वर्णित किया गया है

कण के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र और वेग वेक्टर या संवेग वेक्टर (जहाँ m कण का द्रव्यमान है)। एक मोनोएटोमिक गैस के लिए, ट्रांसलेशनल मोशन ही कण गति का एकमात्र प्रकार है; स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या तीन है। यदि कण एक बहुपरमाणुक अणु है, तो अंतरिक्ष में अणु के घूमने और अणु में परमाणुओं के कंपन से जुड़ी स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री होती है। क्वांटम यांत्रिकी के आवेदन की शर्तें छोटे द्रव्यमान और कणों की उच्च सांद्रता, साथ ही कम तापमान हैं। कम तापमान के क्षेत्र पर विचार किए बिना, हम गैस के अणुओं की घूर्णी गति को शास्त्रीय मानेंगे। किसी भी शास्त्रीय घूर्णी गति का वर्णन सबसे पहले, शरीर पर कार्य करने वाले बलों के घूर्णी क्षण द्वारा किया जाता है। एक क्षण की क्रिया के तहत, एक द्विपरमाणुक अणु क्षण वेक्टर के लंबवत समतल में घूमने लगता है। इसके अलावा, अणु की स्थिति को रोटेशन के विमान में अणु के अक्ष के रोटेशन के कोण की विशेषता है।

T = 300 K पर एक हाइड्रोजन अणु (या कोई अन्य द्विपरमाणुक अणु) पर विचार करें। समविभाजन के नियम के अनुसार, स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री (अनुवादात्मक, घूर्णी या कंपन) में औसतन समान गतिज ऊर्जा होती है।

मान लीजिए कि मैं अणु की जड़ता का क्षण हूं, एम द्रव्यमान हो, डी अणु में परमाणुओं के बीच औसत दूरी हो।

एक अणु के घूर्णन की औसत गतिज ऊर्जा;

एक सेकंड में, अणु पूर्ण चक्कर लगाता है (अर्थात लगभग)। एक द्विपरमाणुक अणु के अक्ष के घूर्णन कोण में परिवर्तन की दर अधिक होती है, और घूर्णन के तल में अणु के सभी संभावित झुकाव समान रूप से संभावित होंगे। फिर, वास्तविक भौतिक समस्याओं पर विचार करते समय, वितरण फ़ंक्शन को अणु के उन्मुखीकरण से स्वतंत्र माना जा सकता है। समविभाजन कानून बहुपरमाणुक अणुओं के लिए भी मान्य है, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष में गैस अणुओं के उन्मुखीकरण से वितरण समारोह की स्वतंत्रता के बारे में की गई धारणा को बहुपरमाणु गैसों के लिए मान्य माना जा सकता है।

एक अणु के अंदर परमाणुओं की दोलन गति व्यावहारिक रूप से हमेशा परिमाणित होती है, और एक क्वांटम प्रणाली के रूप में एक अणु की स्थिति को क्वांटम मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए। सामान्य परिस्थितियों में (बहुत अधिक तापमान पर नहीं), गैस अणु मुख्य (शून्य) कंपन स्तर के अनुरूप एक असम्बद्ध अवस्था में होता है। इसलिए, सामान्य परिस्थितियों में वास्तविक गैसों में क्वांटम प्रभावों की उपेक्षा की जा सकती है। नतीजतन, एक गैर-संतुलन राज्य में एक शास्त्रीय आदर्श गैस का वितरण कार्य न केवल समय पर निर्भर करता है, बल्कि कण निर्देशांक पर भी निर्भर करता है।

आइए हम प्रतीक द्वारा निरूपित करें अणु और समय के निर्देशांक को छोड़कर, सभी चरों का समूह जिस पर वितरण कार्य निर्भर करता है। चरण आयतन के तत्व में, हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के प्राथमिक आयतन को अलग करते हैं, और इसके शेष भाग को प्रतीक dГ द्वारा निरूपित करते हैं। मात्रा dГ गति के अभिन्न अंग हैं जो दो क्रमिक टकरावों के बीच मुक्त गति के दौरान किसी भी अणु के लिए स्थिर रहते हैं। किसी भी बाहरी पिंडों या क्षेत्रों के बाहरी प्रभाव के बिना अणु की मुक्त गति होती है। एक दूसरे के साथ अणुओं की बातचीत के परिणामस्वरूप (टकराव की स्थिति में) या किसी क्षेत्र के प्रभाव में

ये मूल्य अच्छी तरह से बदल सकते हैं। एक अणु के निर्देशांक उसके मुक्त संचलन के दौरान समग्र रूप से बदल जाते हैं।

गैस कणों के स्थानिक वितरण की एकाग्रता या घनत्व को एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और एक आयतन तत्व में कणों की औसत संख्या उत्पाद द्वारा निर्धारित की जाती है। एक आयतन तत्व एक भौतिक रूप से छोटा आयतन है, अर्थात। अंतरिक्ष का एक टुकड़ा जिसका आयाम समस्या में विचार किए गए आयामों की तुलना में छोटा है। इसी समय, अणुओं के आयामों की तुलना में एक छोटी मात्रा के आयाम बड़े होते हैं। किसी दिए गए आयतन तत्व में अणु के स्थान के बारे में कथन अणु की स्थिति को निर्धारित करता है, सबसे अच्छा, केवल अणु के आयामों से अधिक दूरी तक। दो शास्त्रीय कणों के निर्देशांक का सटीक निर्धारण टकराव से पहले और बाद में, यदि कोई हो, उनके प्रक्षेपवक्र को सटीक रूप से निर्धारित करना संभव बनाता है। कणों की सटीक पारस्परिक स्थिति की अनिश्चितता उनके टकराव की समस्या को हल करने के लिए एक संभाव्य दृष्टिकोण को लागू करना संभव बनाती है। एक शास्त्रीय गैस को ध्यान में रखते हुए तात्पर्य है कि घनत्व

मैक्रोस्कोपिक मात्रा है। मैक्रोस्कोपिसिटी तभी होती है जब प्राथमिक मात्रा में पर्याप्त मात्रा में कण होते हैं (केवल तभी प्राथमिक मात्रा में कणों की संख्या में परिवर्तन विचाराधीन प्रक्रिया के दौरान छोटा होता है); इस मामले में, गैस के कब्जे वाले क्षेत्र के रैखिक आयाम औसत अंतर-आणविक दूरी से बहुत बड़े होने चाहिए।

§2 कणों का टकराव।

आइए हम अणुओं के टकराव पर विचार करें, जिनमें से कुछ में के मान दिए गए अंतराल में पड़े हैं, जबकि अन्य के अंतराल में मान हैं। टक्कर के परिणामस्वरूप, अणु क्रमशः अंतराल में Γ के मान प्राप्त करते हैं, और। नीचे, संक्षिप्तता के लिए, हम अणुओं के टकराव और संक्रमण के बारे में बात करेंगे

प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या का गुणनफल प्रत्येक अणु के निर्दिष्ट संक्रमण से टकराने की संभावना से प्रति इकाई समय प्रति इकाई आयतन ऐसे टकरावों की कुल संख्या देगा। इस तरह की घटना की संभावना (आइए हम इसे एक निश्चित फ़ंक्शन के रूप में निरूपित करें) प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या और टक्कर के बाद प्रत्येक अणु के मूल्यों के अंतराल के लिए आनुपातिक है। इस प्रकार, हम मान लेंगे कि, और प्रति इकाई समय में एक इकाई आयतन में होने वाले संक्रमण के साथ टकराव की संख्या रूप लेती है

(अभाज्य अंतिम राज्यों को इंगित करता है, अभाज्य के बिना, प्रारंभिक वाले)। टकराव की संभावना में एक महत्वपूर्ण संपत्ति होती है, जो समय के संकेत के उलट होने के संबंध में यांत्रिकी के नियमों का पालन करती है। यदि हम सुपरस्क्रिप्ट टी द्वारा समय चिह्न को उलट कर प्राप्त सभी राशियों के मूल्यों को निरूपित करते हैं, तो समानता होगी

टाइम रिवर्सल "पहले" और "बाद" राज्यों को स्वैप करता है, जिसका अर्थ है कि संभाव्यता फ़ंक्शन के तर्कों को स्वैप करना आवश्यक है। विशेष रूप से, संकेतित समानता प्रणाली के संतुलन के मामले में मान्य है, अर्थात। यह तर्क दिया जा सकता है कि संतुलन में संक्रमण के साथ टकराव की संख्या संक्रमण (*) के साथ टकराव की संख्या के बराबर है। संतुलन बंटन फलन द्वारा निरूपित करें और लिखें

अंतर का उत्पाद चरण स्थान का एक तत्व है जो समय के उलट होने पर नहीं बदलता है (समानता के दोनों किनारों पर अंतर को छोड़ा जा सकता है)। अणुओं की संभावित ऊर्जा या तो नहीं बदलती है, और, परिणामस्वरूप, संतुलन (बोल्ट्ज़मैन) वितरण फ़ंक्शन, जो केवल ऊर्जा पर निर्भर करता है:

(2)

V समग्र रूप से गैस का स्थूल वेग है। दो अणुओं की टक्कर में ऊर्जा संरक्षण के नियम के आधार पर। इसलिए, हम लिख सकते हैं (3)

हम इस तथ्य पर भी ध्यान देते हैं कि संभाव्यता फलन, सिद्धांत रूप में, केवल कण टकराव की यांत्रिक समस्या को हल करके ही निर्धारित किया जा सकता है। ऊपर लिखे गए समीकरण (1), (2) और (3) संक्षेप के बाद (1) में देंगे

कथन को ध्यान में रखते हुए (*)

अंतिम समानता को एकीकृत करना (निम्नलिखित में उपयोग के लिए), हम संबंध प्राप्त करते हैं:

3 गतिज समीकरण की व्युत्पत्ति।

समय वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करें:

जब गैस के अणु बाहरी क्षेत्र की अनुपस्थिति में गति करते हैं, तो मात्रा Г, गति के अभिन्न अंग के रूप में, परिवर्तित नहीं होती है।

(व्युत्पन्न के व्यंजक में अंतिम पद शून्य पर सेट है, क्योंकि)

(नाबला ऑपरेटर)

व्युत्पन्न के लिए व्यंजक रूप लेगा: (6)

अब गैस को अणुओं के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक पर अभिनय करने वाले बाहरी संभावित क्षेत्र में होने दें (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में)। और मान लीजिए कि क्षेत्र से कण पर लगने वाला बल F है।

समानता का दाहिना पक्ष (6) द्वारा निरूपित किया जाएगा। प्रतीक का अर्थ है

टक्करों के कारण वितरण फलन के परिवर्तन की दर, और मान

चरण मात्रा में अणुओं की संख्या के टकराव के कारण प्रति इकाई समय परिवर्तन है। फेज स्पेस में दिए गए बिंदु पर वितरण फलन में कुल परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(8)

मात्रा को टक्कर समाकलन कहा जाता है, और रूप (8) के समीकरण को गतिज समीकरण कहा जाता है। गतिज समीकरण (8) टक्कर समाकल के रूप का निर्धारण करने के बाद ही वास्तविक अर्थ ग्रहण करेगा।

§3 टक्कर समाकलन के प्रकार और बोल्ट्जमान समीकरण का निर्धारण।

अणुओं के टकराने के दौरान उन मात्राओं में परिवर्तन होता है जिन पर वितरण फलन निर्भर करता है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि सिस्टम की स्थिति के अवलोकन का समय और कणों के निर्देशांक बदलते हैं, भले ही कणों का टकराव हुआ हो या नहीं (जो केवल निर्देशांक में परिवर्तन की प्रकृति को प्रभावित करता है), यह हो सकता है तर्क दिया कि टकराने वाले अणुओं के के मान बदल जाते हैं। पर्याप्त रूप से छोटे अंतराल को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं कि टक्कर के दौरान अणु इस अंतराल से हटा दिए जाते हैं, अर्थात। "छोड़ने" के कार्य हैं। टकराने से पहले और बाद के मूल्यों के लिए दो टकराने वाले अणु पहले की तरह मेल खाते हैं (संक्षिप्तता के लिए, हम एक संक्रमण की बात करते हैं)।

उपरोक्त संक्रमण में सभी संभावित मूल्यों के साथ टकराव की कुल संख्या

किसी दिए गए के लिए, मात्रा में प्रति इकाई समय होने पर, इंटीग्रल द्वारा निर्धारित किया जाता है

उसी समय, एक अलग तरह के टकराव होते हैं (जिन्हें "आगमन" कहा जाता है) होता है, जिसके परिणामस्वरूप टक्कर से पहले दिए गए अंतराल के बाहर परिमाण वाले अणु इस अंतराल में गिरते हैं। इस तरह के संक्रमणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: (दिए गए सभी संभावित मूल्यों के साथ)। इसी तरह पहले प्रकार के संक्रमण के लिए, प्रति इकाई समय में ऐसे टकरावों की कुल संख्या है:

सभी टकरावों के परिणामस्वरूप, प्रारंभिक मात्रा में प्रति इकाई समय में अणुओं की संख्या में परिवर्तन प्रस्थान कृत्यों की संख्या और आगमन कृत्यों की संख्या के बीच के अंतर से निर्धारित होता है:

(9), जहां

टक्कर अभिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

(चरण मात्रा dVdG में प्रति इकाई समय कणों की संख्या में परिवर्तन)

संबंधों (8) और (9) से हम टक्कर समाकलन का रूप प्राप्त करते हैं

ध्यान दें कि इंटीग्रैंड के दूसरे टर्म में इंटीग्रेशन ओवर है

केवल समारोह से संबंधित है। कारक और चर पर निर्भर नहीं करते हैं। संबंध (4) का उपयोग करके इंटीग्रल के इस हिस्से को बदलने पर, हम टक्कर इंटीग्रल का अंतिम रूप प्राप्त करते हैं

और गतिज समीकरण

परिणामी समाकलन - अवकल समीकरण को बोल्ट्जमान समीकरण कहा जाता है।

बाह्य प्रभावों के अभाव में प्रणाली की संतुलन अवस्था में समय-स्वतंत्र वितरण पर विचार करें। ऐसा वितरण स्थिर है (समय पर निर्भर नहीं है) और सजातीय (सिस्टम द्वारा कब्जा किए गए स्थान के क्षेत्र में नहीं बदलता है)। अधिरोपित शर्तें समय और तीन निर्देशांकों के संबंध में वितरण फलन के अवकलज को निष्प्रभावी कर देती हैं; गतिज समीकरण का बायाँ भाग लुप्त हो जाता है। इंटीग्रैंड समानता (3) के कारण गायब हो जाता है। नतीजतन, बाहरी क्षेत्रों की अनुपस्थिति में संतुलन वितरण गतिज समीकरण को समान रूप से संतुष्ट करता है। यदि बाहरी क्षमता (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण) क्षेत्र की कार्रवाई के तहत गैस संतुलन की स्थिति में है, तो इस मामले में वितरण कार्य भी गतिज समीकरण को संतुष्ट करता है। दरअसल, संतुलन वितरण को गति के अभिन्न अंग, अणु की कुल ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जाता है। गतिज समीकरण का बायां पक्ष कुल व्युत्पन्न है, जो केवल गति के समाकलों के आधार पर किसी फलन के व्युत्पन्न के रूप में शून्य के बराबर होता है। जैसा कि पहले ही संकेत दिया गया है, समीकरण का दाहिना पक्ष शून्य है। इस प्रकार, एक बाहरी संभावित क्षेत्र में संतुलन में गैस का वितरण कार्य भी गतिज समीकरण को संतुष्ट करता है।

आइए "परिचय" में उल्लिखित मान्यताओं में एक और बात जोड़ें: अणुओं के टकराव को अंतरिक्ष के एक "बिंदु" पर होने वाले तात्कालिक कार्य के रूप में माना जाता है। गतिज समीकरण एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करता है जो टकराव की अवधि की तुलना में बहुत लंबे समय के अंतराल में होती है। इसी समय, विचाराधीन प्रणाली का क्षेत्र कण टकराव के क्षेत्र से काफी अधिक होना चाहिए, जिसमें आणविक बलों की कार्रवाई की त्रिज्या के क्रम पर आयाम होते हैं d। परिमाण के क्रम में टकराव के समय को (- गैस में अणुओं का औसत वेग) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। प्राप्त मान दूरी और समय की निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो गतिज समीकरण के अनुप्रयोग की अनुमति देते हैं। वास्तविक शारीरिक समस्याओं के लिए प्रक्रिया के इतने विस्तृत विवरण की आवश्यकता नहीं होती है; सिस्टम का आकार और अवलोकन समय आवश्यक न्यूनतम से काफी ऊपर है।

गैस में होने वाली गतिज घटनाओं के गुणात्मक विचार के लिए, टक्कर अभिन्न के मोटे अनुमानों का उपयोग दो मापदंडों के रूप में किया जाता है: माध्य मुक्त पथ और माध्य मुक्त पथ। चलते समय अणु को लंबाई की एक इकाई से गुजरने दें, इकाई लंबाई के एक सीधे सिलेंडर के आयतन और आधार के क्षेत्र (- अणु के प्रभावी क्रॉस सेक्शन) में स्थित अणुओं से टकराते हुए। इस मात्रा में अणु होते हैं।

- अणुओं के बीच औसत दूरी;

मान फ्री रन टाइम है। टक्कर अभिन्न के मोटे अनुमान के लिए, कोई इसका उपयोग कर सकता है:

अंश में लिखा गया अंतर इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि संतुलन वितरण समारोह के लिए टकराव अभिन्न गायब हो जाता है, और ऋण चिह्न इंगित करता है कि टकराव सांख्यिकीय संतुलन स्थापित करने के लिए तंत्र है, यानी। संतुलन एक से वितरण फ़ंक्शन के विचलन को कम करने के लिए (दूसरे शब्दों में, सिस्टम की न्यूनतम आंतरिक ऊर्जा के अनुरूप संतुलन राज्य से बाहर ले जाया गया और खुद को छोड़ दिया गया कोई भी सिस्टम संतुलन स्थिति में वापस आ जाता है)।

3 मैक्रोस्कोपिक समीकरणों में संक्रमण। निरंतरता का हाइड्रोडायनामिक समीकरण।

बोल्ट्जमैन का गतिज समीकरण गैस की अवस्था के विकास का सूक्ष्म विवरण देता है। लेकिन व्यवहार में, इस तरह के विस्तार से प्रक्रियाओं का वर्णन करना अक्सर आवश्यक नहीं होता है, इसलिए, हाइड्रोडायनामिक्स की समस्याओं पर विचार करते समय, अमानवीय या अत्यधिक दुर्लभ गैसों में होने वाली प्रक्रियाओं की समस्याएं, तापीय चालकता की समस्याएं और गैसों का प्रसार, और कई अन्य , कम विस्तृत (और इसलिए सरल) मैक्रोस्कोपिक समीकरणों पर आगे बढ़ना समझ में आता है। ऐसा विवरण गैस पर लागू होता है यदि उसके मैक्रोस्कोपिक गुण (तापमान, घनत्व, कण एकाग्रता, दबाव, आदि) गैस में किसी भी मनमाने ढंग से चुनी गई दिशा के साथ धीरे-धीरे पर्याप्त रूप से बदलते हैं। जिस दूरी पर मैक्रोस्कोपिक मापदंडों में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन होता है, वह अणुओं के औसत मुक्त पथ से काफी अधिक होना चाहिए।

एक उदाहरण के रूप में, हाइड्रोडायनामिक समीकरण प्राप्त करने के लिए एक विधि पर विचार करें।

अभिव्यक्ति अंतरिक्ष में गैस अणुओं के वितरण (गैस अणुओं की एकाग्रता) के घनत्व को निर्धारित करती है। एक अणु के द्रव्यमान का गुणनफल (यह माना जाता है कि गैस में समान कण होते हैं) और अणुओं का वितरण घनत्व गैस का द्रव्यमान घनत्व देता है:। आइए हम समग्र रूप से गैस के स्थूल वेग और अणुओं के सूक्ष्म वेग से निरूपित करें। मैक्रोस्कोपिक गति (द्रव्यमान के केंद्र की गति की गति) को अणुओं के सूक्ष्म वेग के औसत मूल्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

टकराव या तो टकराने वाले कणों की संख्या या उनकी कुल ऊर्जा या गति को नहीं बदलते हैं (अणुओं की टक्कर को बिल्कुल लोचदार प्रभाव माना जाता है)। वितरण फलन में परिवर्तन का संपार्श्विक भाग इसके प्रत्येक आयतन तत्व में गैस के घनत्व, आंतरिक ऊर्जा, वेग और गैस के किसी भी अन्य मैक्रोस्कोपिक मापदंडों में परिवर्तन नहीं कर सकता है। वास्तव में, गैस के प्रति इकाई आयतन में अणुओं की कुल संख्या में परिवर्तन का संपार्श्विक भाग शून्य के बराबर पूर्णांक द्वारा दिया जाता है:

हम इस समानता की वैधता को निम्नलिखित तरीके से सत्यापित करते हैं:

एकीकरण प्रत्येक चर पर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि, अभिन्न को बदले बिना, चर का नाम बदलना संभव है, उदाहरण के लिए, दूसरे अभिन्न में:

अंतिम व्यंजक स्पष्ट रूप से शून्य के बराबर है और इसलिए, समानता (14) मान्य है।

हम गतिज समीकरण लिखते हैं और, इसके दोनों भागों को कण m के द्रव्यमान से गुणा करने के बाद, हम इसे इसके संबंध में एकीकृत करते हैं:

यहां से हम तुरंत हाइड्रोडायनामिक निरंतरता समीकरण प्राप्त करते हैं:

इस अवकल समीकरण में द्रव के घनत्व में परिवर्तन निर्धारित करके और यह मानकर कि द्रव असंपीड्य है, कोई भी द्रव में किसी भी बिंदु पर वेग दिशाओं का सदिश क्षेत्र प्राप्त कर सकता है।

4. कमजोर अमानवीय गैस। गैस की तापीय चालकता।

सभी वास्तविक भौतिक प्रक्रियाएं आवश्यक रूप से कुछ ऊर्जा हानियों के साथ आगे बढ़ती हैं (यानी, ऊर्जा अपव्यय होता है - अराजक गति की ऊर्जा में क्रमबद्ध गति की ऊर्जा का संक्रमण, उदाहरण के लिए, गैस अणुओं की तापीय गति में)। कमजोर अमानवीय गैस में विघटनकारी प्रक्रियाओं (थर्मल चालकता या चिपचिपाहट) पर विचार करने के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन का उपयोग करना आवश्यक है: गैस के एक छोटे से हिस्से में वितरण कार्य को स्थानीय रूप से संतुलन नहीं माना जाना चाहिए, जैसा कि एक सजातीय गैस के मामले में होता है। , लेकिन संतुलन से कुछ पर्याप्त रूप से छोटा (क्योंकि गैस कमजोर रूप से अमानवीय) मान से भिन्न होता है। वितरण फ़ंक्शन फॉर्म लेगा, और सुधार स्वयं फॉर्म में लिखा जाएगा। फ़ंक्शन को कुछ शर्तों को पूरा करना चाहिए। यदि गैस के कणों की संख्या, ऊर्जा और संवेग के दिए गए घनत्व

वे। संतुलन फ़ंक्शन इंटीग्रल से मेल खाता है, फिर कोई भी संतुलन फ़ंक्शन को इन मात्राओं के समान मूल्यों (इंटीग्रल्स के साथ और मेल खाना चाहिए) के लिए नेतृत्व करना चाहिए, जो केवल तब होता है जब

आइए हम गतिज समीकरण (13) में टकराव अभिन्न को रूपांतरित करें: वितरण फ़ंक्शन और सुधार के लिए भावों को प्रतिस्थापित करना, संतुलन वितरण फ़ंक्शन वाले टकराव इंटीग्रल को शून्य करना, उन शर्तों को रद्द करना जिनमें एक छोटा सुधार नहीं है। पहले आदेश की शर्तें देंगे। रैखिक इंटीग्रल ऑपरेटर को दर्शाने के लिए प्रतीक पेश किया गया था

यह अभिन्न प्रपत्र के कार्यों के लिए गायब हो जाता है

आइए हम समीकरण के बाईं ओर तापीय चालकता की समस्या पर विचार करने के लिए तापमान प्रवणता के साथ केवल एक पद को ध्यान में रखते हुए, एक कमजोर अमानवीय गैस के लिए गतिज समीकरण (व्युत्पत्ति के बिना) लिखते हैं।

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4. एक परमाणु गैस की तापीय चालकता की गणना

गैस की तापीय चालकता की गणना करने के लिए, उपरोक्त समीकरण को तापमान प्रवणता के साथ हल करना आवश्यक है।

आज्ञा देना केवल मात्राओं का एक सदिश फलन है। फिर समीकरण () का हल फॉर्म में मांगा जाएगा। इस समाधान को समीकरण () में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक गुणक प्राप्त होता है। समीकरण () तापमान ढाल वेक्टर के पूरी तरह से मनमानी मूल्यों के लिए मान्य है, तो समानता के दोनों हिस्सों में गुणांक बराबर होना चाहिए। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है

समीकरण में तापमान प्रवणता नहीं होती है और इसलिए निर्देशांक पर स्पष्ट निर्भरता नहीं होती है। फ़ंक्शन को आवश्यक रूप से पहले निर्दिष्ट शर्तों () को पूरा करना चाहिए। पहली दो शर्तें स्पष्ट रूप से संतुष्ट हैं (समीकरण () में कोई वेक्टर पैरामीटर नहीं है जिसके साथ निरंतर वेक्टर इंटीग्रल को निर्देशित किया जा सकता है

और)। तीसरा समाकलन फलन g पर एक अतिरिक्त शर्त है। यदि गतिज समीकरण को हल किया जाता है और फलन

निर्धारित किया जाता है, तो ऊर्जा प्रवाह की गणना करके तापीय चालकता गुणांक निर्धारित करना संभव है, अधिक सटीक रूप से, इसका अपव्यय भाग, संवहनी ऊर्जा हस्तांतरण से संबंधित नहीं है (हम ऊर्जा प्रवाह के इस हिस्से को निरूपित करते हैं)। गैस में मैक्रोस्कोपिक गति की अनुपस्थिति में, क्यू कुल ऊर्जा प्रवाह क्यू के साथ मेल खाता है, जिसे अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

यदि प्रणाली संतुलन में है, तो गैस में सभी संभावित दिशाओं पर एकीकरण के कारण यह अभिन्न शून्य के बराबर है। जब () में प्रतिस्थापित किया जाता है

घटकों में

संतुलन गैस माध्यम की आइसोट्रॉपी के कारण, इसमें कोई चुनी हुई दिशा नहीं होती है, और टेंसर को केवल यूनिट टेंसर के माध्यम से ही व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात। एक अदिश को कम कर देता है

इस प्रकार, ऊर्जा प्रवाह के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां मूल्य तापीय चालकता का अदिश गुणांक है

प्रवाह क्यू को तापमान ढाल के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाना चाहिए, और मूल्य क्रमशः सकारात्मक होना चाहिए, जो स्वचालित रूप से गतिज समीकरण () द्वारा प्रदान किया जाता है। एकपरमाणुक गैसों में, वेग v एकमात्र सदिश है जिस पर फ़ंक्शन g निर्भर करता है (बहुपरमाण्विक गैसों में, g न केवल वेग v पर निर्भर करता है, बल्कि क्षण M पर भी निर्भर करता है)। मोनोआटोमिक गैसों के लिए, फ़ंक्शन g का रूप है:

.

§5. गतिज समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

गैस के अणु काफी जटिल कानूनों के अनुसार परस्पर क्रिया करते हैं। यह वास्तविक बहुपरमाणुक गैसों के लिए विशेष रूप से सच है। गैस अणुओं के व्यवहार की प्रकृति के बारे में की गई धारणाएं तर्क को सरल बनाना संभव बनाती हैं (या सिद्धांत रूप में भी इसे संभव बनाती हैं), लेकिन कुछ हद तक हमें वास्तविकता से दूर कर देती हैं। आणविक अंतःक्रिया के जटिल नियम जो टकराव समाकलन में कार्य को निर्धारित करते हैं, विशिष्ट गैसों के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को सटीक रूप में लिखने की अनुमति भी नहीं देते हैं। आणविक अंतःक्रिया की प्रकृति के सरलीकरण के साथ भी, गतिज समीकरण की गणितीय संरचना काफी जटिल बनी हुई है, और विश्लेषणात्मक रूप में इसका समाधान खोजना मुश्किल है। गैसों के गतिज सिद्धांत में, विशेष, एक विश्लेषणात्मक समाधान के प्रयास से अधिक प्रभावी, बोल्ट्जमैन समीकरण के अनुमानित समाधान के तरीकों का उपयोग किया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, एक मोनोएटोमिक गैस और गर्मी चालन की समस्या पर विचार करें।

एक मोनोएटोमिक गैस के लिए, ऊष्मा क्षमता। समीकरण () रखने पर हम रूप देंगे

टक्कर इंटीग्रल () के अनुरूप रैखिक इंटीग्रल ऑपरेटर को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

और संतुलन वितरण फलन का रूप लेता है

समीकरण () के अनुमानित समाधान के लिए एक प्रभावी विधि पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल कार्यों की एक पूरी प्रणाली के संदर्भ में वांछित कार्यों के विस्तार पर आधारित है। ऐसे कार्यों के रूप में, हम सूत्रों द्वारा परिभाषित सोनिन बहुपदों पर विचार करते हैं:

इस सूत्र में, r मनमाना है, और s एक धनात्मक पूर्णांक या शून्य है। ईमानदारी से

किसी दिए गए सूचकांक r और विभिन्न सूचकांकों s के लिए इन बहुपदों की ऑर्थोगोनैलिटी संपत्ति इस प्रकार है

हम निम्नलिखित विस्तार के रूप में समीकरण के हल की तलाश करते हैं:

विस्तार में s=0 वाले पद को छोड़ने पर, हमें एक ऐसा व्यंजक प्राप्त होता है जो () को संतुष्ट करता है (विभिन्न s वाले बहुपदों की लंबकोणीयता के कारण समाकलन गायब हो जाता है)। बाईं ओर कोष्ठक में व्यंजक ()

वहाँ है। समीकरण () रूप लेता है

इसे दोनों तरफ से गुणा करें और एकीकृत करें। हमें बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिसे कंप्यूटर पर हल किया जा सकता है:

अंतिम अभिव्यक्ति के लिए, संकेतन

एल = 0 के साथ कोई समीकरण नहीं है, क्योंकि संवेग के संरक्षण के कारण

तापीय चालकता गुणांक की गणना अभिव्यक्ति () को अभिन्न () में प्रतिस्थापित करके की जाती है। शर्त () को ध्यान में रखते हुए, अभिन्न (सी) के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं

सोनोन बहुपदों में विस्तार का उपयोग करते हुए संख्यात्मक विधि की प्रभावशीलता को दाहिनी ओर की सादगी () और अंतिम अभिव्यक्ति () से आंका जा सकता है। समाधान के दौरान प्राप्त रैखिक बीजीय समीकरणों की अनंत प्रणाली कृत्रिम काट-छाँट के बाद हल की जाती है।

निष्कर्ष।

बोल्ट्जमान गतिज समीकरण को प्राप्त करने के लिए माना गया तरीका भौतिक दृष्टिकोण से काफी संतोषजनक है। हालांकि, गतिज समीकरण गैस कणों की गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है। 1946 में, ऐसा निष्कर्ष, जिसे डायनेमिक कहा जाता है, एन.एन. बोगोलीबॉव द्वारा दिया गया था। बोगोलीबॉव विधि न केवल बोल्ट्जमैन समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देती है, बल्कि इसमें सुधार भी करती है, अर्थात। छोटे गैस सामग्री पैरामीटर में अगले आदेश की शर्तें। उदाहरण के लिए, उपरोक्त व्युत्पत्ति केवल दो अणुओं के एक साथ टकराव को ध्यान में रखती है और मानती है कि टक्कर एक बिंदु पर होती है, अर्थात। स्थानीय हैं, और तीन, चार या अधिक कणों के समूहों के टकराव को ध्यान में रखते हुए कमोबेश कोई स्पष्ट नुस्खा नहीं है। इस बीच, यह स्पष्ट है कि घनी गैसों पर विचार करते समय इस तरह के टकरावों को ध्यान में रखना मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। इस संबंध में, गतिज समीकरण की व्युत्पत्ति और इसके संभावित सामान्यीकरण के लिए अधिक कठोर दृष्टिकोण अपनाना समीचीन है। Bogolyubov विधि हमें ध्यान में रखने की अनुमति देती है

व्युत्पत्ति के दौरान दिखाई देने वाले कुछ सुधार शब्दों की मदद से दो से अधिक कणों के टकराव और टकराव का "गैर-स्थानीयता"। सुधारों की उपेक्षा करने से गतिज समीकरण सरलतम स्थिति में प्राप्त रूप में कम हो जाता है।

ग्रंथ सूची।

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विज्ञान, एम।, 1972

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