सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएं हैं जो आपको साधारण अंशों के साथ आसानी से संचालित करने की अनुमति देती हैं। एलसीएम और अक्सर कई अंशों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का भाजक एक अन्य पूर्णांक Y है जिससे X बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का एक गुणज एक संख्या Y है जो बिना शेष के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3 15 का गुणज है, और 6 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी युग्म के लिए, हम उनके उभयनिष्ठ भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणक 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़े में कई भाजक और गुणक हो सकते हैं, इसलिए GCD का सबसे बड़ा भाजक और LCM का सबसे छोटा गुणक गणना में उपयोग किया जाता है। .

सबसे छोटा भाजक समझ में नहीं आता, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक होता है। सबसे बड़ा गुणक भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणकों का क्रम अनंत की ओर जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• भाजक की क्रमिक गणना, एक जोड़ी के लिए सामान्य का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• अविभाज्य कारकों में संख्याओं का अपघटन;
• यूक्लिड का एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिथम।

आज, शैक्षिक संस्थानों में, प्रमुख कारकों और यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म में अपघटन के सबसे लोकप्रिय तरीके हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने में उपयोग किया जाता है: जीसीडी की खोज को पूर्णांक में हल करने की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने की आवश्यकता होती है।

एनओसी का पता लगाना

कम से कम सामान्य गुणक भी पुनरावृत्त गणना या अविभाज्य कारकों में गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है, तो एलसीएम को खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीएम (एक्स, वाई) = एक्स × वाई / जीसीएम (एक्स, वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि gcd(15,18) = 3, तो LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90। LCM का सबसे स्पष्ट उपयोग सामान्य भाजक को खोजने के लिए है, जो कि सबसे कम सामान्य गुणक है। अंश दिए।

कोप्राइम नंबर

यदि संख्याओं के एक युग्म का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए GCM हमेशा एक के बराबर होता है, और भाजक और गुणकों के कनेक्शन के आधार पर, coprime के लिए GCM उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 सहअभाज्य हैं, क्योंकि उनके पास कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और LCM(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाती है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर से आप किसी भी संख्या में से चुनने के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना के लिए कार्य ग्रेड 5 और 6 के अंकगणित में पाए जाते हैं, हालांकि, जीसीडी और एलसीएम गणित की प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, योजनामिति और संचार बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य भाजक

कई भिन्नों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए सबसे कम सामान्य गुणक का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में 5 भिन्नों का योग करना आवश्यक है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो LCM को खोजने की समस्या को कम करता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 नंबरों का चयन करें और उपयुक्त सेल में हर का मान दर्ज करें। कार्यक्रम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम के हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेगा:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

उसके बाद, हम सभी भिन्नों को संगत अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों को आसानी से जोड़ सकते हैं और परिणाम 159/360 के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप के व्यंजक हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए एक पूर्णांक समाधान की संभावना के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें। सबसे पहले, समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम gcd (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 को विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं होते हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जाँच करें। gcd(1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है। .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाएं स्वयं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और सबसे छोटे गुणज की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

दूसरा नंबर: ख =

अंक विभाजककोई अंतरिक्ष विभाजक नहीं "´

नतीजा:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd( ए,बी)=6

एलसीएम का कम से कम सामान्य गुणक ( ए,बी)=468

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों के। चिह्नित gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) या hcf(a,b)।

आम एकाधिक(LCM) दो पूर्णांकों a और b का वह सबसे छोटा प्राकृत संख्या है जो a और b से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। चिह्नित एलसीएम (ए, बी), या एलसीएम (ए, बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं सह अभाज्ययदि उनके पास +1 और -1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

मान लीजिए कि दो धनात्मक संख्याएँ दी गई हैं ए 1 और ए 2 1) . इन संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है ए 1 और ए 2 एक ही समय में। आइए एल्गोरिथ्म का वर्णन करें।

1) इस लेख में, शब्द संख्या का अर्थ एक पूर्णांक होगा।

रहने दो ए 1 ≥ ए 2 और चलो

कहाँ पे एम 1 , ए 3 कुछ पूर्णांक हैं, ए 3 <ए 2 (डिवीजन से शेष .) ए 1 पर ए 2 कम होना चाहिए ए 2).

चलो दिखावा करते हैं कि λ विभाजित ए 1 और ए 2, फिर λ विभाजित एम 1 ए 2 और λ विभाजित ए 1 −एम 1 ए 2 =ए 3 (लेख का दावा 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता का संकेत")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 एक सामान्य भाजक है ए 2 और ए 3. इसका विलोम भी सत्य है यदि λ सामान्य भाजक ए 2 और ए 3, फिर एम 1 ए 2 और ए 1 =एम 1 ए 2 +ए 3 को भी में विभाजित किया गया है λ . इसलिए सामान्य भाजक ए 2 और ए 3 भी एक सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2. जैसा ए 3 <ए 2 ≤ए 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की समस्या का समाधान ए 1 और ए 2 संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की एक सरल समस्या में बदल गया ए 2 और ए 3 .

यदि एक ए 3 0, तब हम भाग कर सकते हैं ए 2 पर ए 3. फिर

,

कहाँ पे एम 1 और ए 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एविभाजन के 4 शेष ए 2 पर ए 3 (ए 4 <ए 3))। इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक ए 3 और ए 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के समान है ए 2 और ए 3 , और सामान्य भाजक के साथ भी ए 1 और ए 2. जैसा ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 , ... संख्याएं जो लगातार घट रही हैं, और चूंकि के बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है ए 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन के शेष एएन ओन ए n+1 शून्य के बराबर होगा ( एएन+2=0).

.

हर आम भाजक λ नंबर ए 1 और ए 2 भी संख्याओं का भाजक है ए 2 और ए 3 , ए 3 और ए 4 , .... एएन और एएन + 1। विलोम भी सत्य है, संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एएन और ए n+1 भी संख्याओं के भाजक हैं ए n−1 और एएन , .... , ए 2 और ए 3 , ए 1 और ए 2. लेकिन आम भाजक एएन और ए n+1 एक संख्या है ए n+1 , क्योंकि एएन और ए n+1 से विभाज्य हैं ए n+1 (याद रखें कि एएन+2=0). इसलिये ए n+1 भी संख्याओं का भाजक है ए 1 और ए 2 .

ध्यान दें कि संख्या ए n+1 सबसे बड़ी संख्या भाजक है एएन और ए n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से ए n+1 स्वयं है एएन + 1। यदि एक ए n + 1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ भी संख्याओं के सामान्य भाजक हैं ए 1 और ए 2. संख्या ए n+1 कहलाते हैं महत्तम सामान्य भाजकनंबर ए 1 और ए 2 .

नंबर ए 1 और ए 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिभाषित नहीं है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिड का एल्गोरिथमदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेष 196 है।
• चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेष 42 है।
• चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेष 28 है।
• चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेष 14 है।
• चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 पर, शेष भाग 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्याएं 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 की भाजक हैं।

कोप्राइम नंबर

परिभाषा 1. माना संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ए 1 और ए 2 एक के बराबर है। तब इन नंबरों को कहा जाता है सह अभाज्य संख्याजिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. यदि एक ए 1 और ए 2 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक a 1 और ए 2 भी संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक है λ और ए 2 .

प्रमाण। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म पर विचार करें ए 1 और ए 2 (ऊपर देखें)।

.

यह प्रमेय की शर्तों से निम्नानुसार है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 , और इसलिए एएन और ए n+1 है 1. यानी। एएन+1=1.

आइए इन सभी समानताओं को से गुणा करें λ , तब

.

चलो आम भाजक ए 1 λ और ए 2 is δ . फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 1 λ , एम 1 ए 2 λ और में ए 1 λ -एम 1 ए 2 λ =ए 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। आगे δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 2 λ और एम 2 ए 3 λ , और इसलिए में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 2 λ -एम 2 ए 3 λ =ए 4 λ .

इस प्रकार तर्क करने से हमें विश्वास हो जाता है कि δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए n-1 λ और एम n-1 एएन λ , और इसलिए में ए n-1 λ −एम n-1 एएन λ =एएन+1 λ . जैसा एएन+1 = 1, फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ और ए 2 .

प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. रहने दो एऔर सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

सच में। प्रमेय 1 . से एसीऔर बीके समान भाजक हैं सीऔर बी. लेकिन संख्या सीऔर बीकोप्राइम, यानी एक उभयनिष्ठ भाजक है 1. तब एसीऔर बीइसका एक उभयनिष्ठ भाजक भी है 1. अत: एसीऔर बीपरस्पर सरल।

परिणाम 2. रहने दो एऔर बीसहअभाज्य संख्याएँ और let बीविभाजित एके. फिर बीविभाजित करता है और क.

सच में। दावे की स्थिति से एकेऔर बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीऔर क. इसलिये बीविभाजित क.

कोरोलरी 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., एमी संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. फिर ए 1 ए 2 , ए 1 ए 2 · ए 3 , ..., ए 1 ए 2 ए 3 · · · ए m , संख्या के संबंध में इन संख्याओं का गुणनफल अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

इस प्रकार पहली पंक्ति में प्रत्येक संख्या दूसरी पंक्ति में प्रत्येक संख्या के संबंध में अभाज्य है। फिर उत्पाद

ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना आवश्यक है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि संख्या से विभाज्य है ए 1 , तो ऐसा लगता है एसए 1 , जहां एसकुछ संख्या। यदि एक क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2, फिर

कहाँ पे एस 1 कुछ पूर्णांक है। फिर

एक संख्याओं का कम से कम सामान्य गुणक ए 1 और ए 2 .

ए 1 और ए 2 सहअभाज्य, फिर संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ए 1 और ए 2:

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि संख्याओं का कोई भी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε और ए 3 और इसके विपरीत। मान लीजिए संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ε और ए 3 is ε एक । इसके अलावा, संख्याओं की एक बहु ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और ए 4. मान लीजिए संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ε 1 और ए 4 is ε 2. इस प्रकार, हमने पाया कि संख्याओं के सभी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी कुछ विशिष्ट संख्या के गुणकों के साथ मेल खाता है ε n , जिसे दी गई संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एएम कोप्राइम, फिर संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज ए 1 , ए 2 जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। इसके अलावा, चूंकि ए 3 अभाज्य संख्याओं के संबंध में ए 1 , ए 2, फिर ए 3 एक अभाज्य सापेक्ष संख्या है एएक · ए 2 (उपदेश 1)। अतः संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 ,ए 2 ,ए 3 एक संख्या है एएक · ए 2 · ए 3. इसी तरह से तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित अभिकथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. सह अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी उनके उत्पाद के बराबर है एएक · ए 2 · ए 3 · · · एएम ।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m भी उनके गुणनफल से विभाज्य है एएक · ए 2 · ए 3 · · · एएम ।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और नॉक क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
फेसला:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। दोबारा।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
फेसला:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
फेसला:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
फेसला:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए मिलने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात किया जाता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक सीधे उन संख्याओं के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्त्य संख्याओं a और b के गुणनफल के बराबर होता है, जो संख्याओं a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी).

प्रमाण।

रहने दो M, संख्या a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k ऐसा है कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएं लिख सकते हैं a=a 1 ·d और b=b 1 ·d, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएं होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b एक से विभाज्य है।

हमें विचाराधीन प्रमेय से दो महत्वपूर्ण उपफलों को भी लिखने की आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह सच है, क्योंकि एम संख्या ए और बी के किसी भी सामान्य गुणक को समानता एम = एलसीएम (ए, बी) टी द्वारा कुछ पूर्णांक मान टी के लिए परिभाषित किया जाता है।

सहअभाज्य धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

इस तथ्य का औचित्य बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1 इसलिए, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करने के लिए घटाया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह निम्नलिखित प्रमेय में इंगित किया गया है: a 1, a 2, …, k, m k-1 और a k के सामान्य गुणकों के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो a 1 , a 2 , …, a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

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• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का गुणज एक प्राकृत संख्या है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, इत्यादि को 5 का गुणज माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत गुणज होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज एक ऐसी संख्या है जो उनके द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाजित होती है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न हो जाए। रिकॉर्ड में गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

के(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के(6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह प्रविष्टि इस प्रकार की जाती है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, तो LCM की गणना के लिए किसी अन्य तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना आवश्यक है।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्याओं का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में भिन्न भिन्न गुणनखंड हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में, उन कारकों को रेखांकित करना चाहिए जो पहली सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में गायब हैं, और फिर उन्हें इसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल और दूसरी संख्या के गुणनखंड, जो बड़ी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं, अल्पतम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, उन सभी को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण के तौर पर, आप 16, 24, 36 संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस को बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं किया गया था (एक चौबीस के अपघटन में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि किसी एक संख्या को शेषफल के बिना दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि ऐसे सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करना आवश्यक है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम(10, 11) = 110।