"एक गणितज्ञ वह है जो जानता है कि कथनों के बीच सादृश्य कैसे खोजना है। सबसे अच्छा गणितज्ञ वह है जो प्रमाणों की सादृश्यता स्थापित करता है। सिद्धांतों की उपमाओं को जितना मजबूत देखा जा सकता है। लेकिन ऐसे लोग हैं जो उपमाओं के बीच समानताएं देखते हैं।
स्टीफन बानाच

डमी के लिए गणित के आँकड़े

सबसे अधिक बार, गणितीय आँकड़ों का अध्ययन किया जाता है संभाव्यता सिद्धांत के साथ(पाठ्यक्रम "संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी", टीवीआईएमएस)। संभाव्यता के सिद्धांत पर उपयोगी सामग्री (ऑनलाइन पाठ्यपुस्तक, कैलकुलेटर, समाधान के उदाहरण, आदि) आप।

विषय: 1. सामान्य जनसंख्या और नमूनाकरण 2. साधनों की तुलना 3. सहसंबंध और प्रतिगमन।

ऑनलाइन संसाधन

• क्लोकोव एस.ए., प्रोबेबिलिटी थ्योरी और गणितीय सांख्यिकी में समस्याएं। गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए, उत्तर के साथ समस्याएं, कुछ समाधान के साथ।
• मनिता एडी, थ्योरी ऑफ़ प्रोबेबिलिटी एंड मैथमैटिकल स्टैटिस्टिक्स। पुस्तक का उद्देश्य मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के प्राकृतिक संकायों के छात्रों के लिए है। एम.वी. लोमोनोसोव। पाठ्यपुस्तक के मुद्रित संस्करण के बारे में जानकारी के अलावा, आप इस साइट पर संक्षिप्त सांख्यिकीय तालिकाओं सहित पुस्तक का पूरा पाठ पाएंगे।

  मुख्य सामग्री अनुभाग:घटनाएँ और उनकी संभावनाएँ। असतत यादृच्छिक चर और उनके वितरण। सामान्य यादृच्छिक चर। सामान्य यादृच्छिक चर का संयुक्त वितरण। संभाव्यता सिद्धांत के सीमित नियम। गणितीय आँकड़ों के तरीकों का सर्वेक्षण। कम से कम वर्ग विधि। विश्वास अंतराल। सांख्यिकीय परिकल्पना। टेबल्स (मानक सामान्य कानून, ची-वर्ग वितरण मात्रा, छात्र का वितरण मात्रा)।

• चेर्नोवा एनआई, गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान व्याख्यान का सेमेस्टर पाठ्यक्रम। बहुत विस्तृत और स्पष्ट, अर्थशास्त्र के छात्रों के लिए अनुशंसित।
• गणितीय सांख्यिकी पर इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक।
  

  ट्यूटोरियल में शामिल हैं: 1) गणितीय सांख्यिकी पर व्याख्यान का पाठ्यक्रम: वी.वी. शेलोमोव्स्की। गणितीय सांख्यिकी (मरमंस्क: एमजीपीयू, 2005. - 128 पी।), 2) मेपल का उपयोग करके किए गए प्रयोगशाला कार्य का एक चक्र, जो आपको गणना विधियों को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति देता है, 3) ज्ञान का परीक्षण करने के लिए परीक्षणों का एक चक्र।

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ओजीई (जीआईए) उपयोग ओलंपियाड की तैयारीस्कूल पाठ्यक्रम बीजगणित विश्लेषणात्मक ज्यामिति उच्च गणित+8 ज्यामिति संयोजन लीनियर अलजेब्रा गणित के आँकड़े गणितीय विश्लेषण व्यावहारिक गणित सिद्धांत संभावनात्रिकोणमिति

6-7 साल के बच्चे स्कूली बच्चे 1-11 ग्रेडछात्र वयस्क

एम. ओज़र्नया एम. यूगो-ज़पडनया एम। कुन्त्सेवस्काया (फिलिओव्स्काया)

अलेक्जेंडर अलेक्जेंड्रोविच

विश्वविद्यालय शिक्षक अनुभव 17 वर्ष

2 000 रगड़ / घंटा . से

मुफ्त संपर्क

ट्यूटर पर

एक बहुत ही प्रभावी शिक्षक और प्रतिभाशाली शिक्षक - वह जानता है कि विश्वविद्यालय के उच्च गणित के कार्यक्रम को इस तरह से कैसे प्रस्तुत किया जाए कि एक दुःस्वप्न से गणित का पाठ्यक्रम कष्टप्रद हो जाए आवश्यकता - इस तथ्य के बावजूद कि स्कूल के पाठ्यक्रम से छात्र आत्मविश्वास से केवल 5-6 वीं कक्षा के कार्यक्रम को जानता था।सभी समीक्षाएं (46)

विश्लेषणात्मक ज्यामिति विविधताओं की गणना वेक्टर विश्लेषण +33 उच्च गणितज्यामिति डिस्क्रीट मैथ डिफरेंशियल ज्योमेट्री विभेदक समीकरणसाहचर्य लीनियर अलजेब्रा रैखिक ज्यामिति रैखिक प्रोग्रामिंग गणित के आँकड़े गणितीय भौतिकी गणितीय मॉडल गणितीय विश्लेषण इष्टतम निर्णय के तरीके अनुकूलन के तरीके इष्टतम नियंत्रण व्यावहारिक गणितसोप्रोमैट टेंसर विश्लेषण सैद्धांतिक यांत्रिकी सिद्धांत संभावनाग्राफ थ्योरी गेम थ्योरी अनुकूलन सिद्धांतसंख्या सिद्धांत टोपोलॉजी त्रिकोणमिति TFKT आंशिक अंतर समीकरण गणितीय भौतिकी के समीकरण वित्तीय गणित कार्यात्मक विश्लेषणअर्थमिति

9-11 ग्रेड के स्कूली बच्चेछात्र वयस्क

एम. दिमित्री डोंस्कॉय बुलेवार्ड

एलेक्सी वासिलीविच

विश्वविद्यालय शिक्षक अनुभव 44 वर्ष

1500 रगड़ / घंटा . से

मुफ्त संपर्क

गणितीय सांख्यिकी ट्यूटर

ट्यूटर पर

भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर। मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी (यांत्रिकी और गणित संकाय) में अग्रणी शोधकर्ता, अतिरिक्त शिक्षा विस्तार के संकाय में प्रोफेसर MGIMO, मास्को स्टेट यूनिवर्सिटी, MGIMO, MGUDT के गणित में परीक्षा समितियों के सदस्य थे।

एलेक्सी वासिलिविच ठीक वही शिक्षक है जिसकी हम लंबे समय से तलाश कर रहे हैं। वह जानता है कि छात्र के लिए एक दृष्टिकोण कैसे खोजना है और शैक्षिक सामग्री को सक्षम रूप से प्रस्तुत करना है। सभी समीक्षाएं (29)

10-11 ग्रेड के स्कूली बच्चेछात्रों

एम. रामेंकि

अलेक्सी अलेक्जेंड्रोविच

निजी शिक्षक अनुभव 11 वर्ष

1 600 रगड़ / घंटा . से

मुफ्त संपर्क

गणितीय सांख्यिकी ट्यूटर

विषयों में ओलंपियाड लोमोनोसोव 2007 के पुरस्कार विजेता - मौखिक और लिखित गणित, रचना। ओलंपियाड समस्याओं के इंटरफैकल्टी विशेष पाठ्यक्रम के प्रतिभागी का विस्तार करें मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के मेख-मैट का गणितीय विश्लेषण विभाग। छोटे फर-चटाई 2007-2012 के हलकों के संचालन में अनुभव। लिसेयुम 1553 पर वैकल्पिक गणित। 2011 में लिसेयुम 1553 में बीजगणित, ज्यामिति, कंप्यूटर विज्ञान, अंग्रेजी के शिक्षक। इंग्लैंड और माल्टा 2011-2012 में भाषा शिविरों में बच्चों की शिक्षा के साथ। सीआईएस में सबसे बड़े बैंक के केंद्रीय कार्यालय में खुदरा प्रबंधन में तीन साल का अनुभव। मैं एक Wacom ग्राफिक्स टैबलेट और एक ऑनलाइन व्हाइटबोर्ड का उपयोग करके कक्षाएं संचालित करता हूं (भुगतान किया गया है, जिसमें एक ही समय में कई लोगों का उपयोग करने की क्षमता है, एक साथ संपादन, वीडियो और ध्वनि संयुक्त हैं)। पाठ के बाद, कमरे के लिंक बने रहते हैं - छात्र के पास हमेशा पाठ में लिखी गई बातों तक पहुंच होती है और पूरे पाठ्यक्रम के लिए नोट्स तक पहुंच होती है, बोर्ड पर लिखी गई सभी सामग्री भी पीडीएफ प्रारूप में क्लाइंट को भेजी जाती है। इसका उपयोग स्काइप और ऑनलाइन रूम दोनों में संचार के लिए किया जाता है। परीक्षा के लिए तैयार छात्रों की संख्या 100 से अधिक है, ओजीई की तैयारी, एकीकृत राज्य परीक्षा, एमईपीएचआई, मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में गीत में प्रवेश। मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी मैकेनिक्स एंड मैथमेटिक्स, फिजिक्स फैकल्टी, फैकल्टी ऑफ इकोनॉमिक्स, मॉस्को स्टेट पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी, प्लेखानोव, प्रेसिडेंट के तहत फाइनेंशियल एकेडमी, MGIMO, MEPhI, आदि के विभिन्न विश्वविद्यालयों के छात्रों की परीक्षा के लिए तैयार। मैं बॉमन और मिफी, एमआईपीटी के तहत अखिल रूसी, लोमोनोसोव और वुज़ोवस्की ओलंपियाड के लिए बच्चों को तैयार करता हूं। अध्यापन मेरा मुख्य कार्य है। मैं अंग्रेजी और स्विस कॉलेजों में प्रवेश के लिए भी तैयारी करता हूं। गणित और भौतिकी में अंग्रेजी में एकीकृत ए-स्तरीय परीक्षा उत्तीर्ण करना। मैं स्कूली बच्चों को अंग्रेजी ओजीई और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा पास करने के लिए तैयार करता हूं।

मैंने अलेक्सी अलेक्जेंड्रोविच के साथ अध्ययन किया, और एक महीने में मैं उनके साथ गणितीय विश्लेषण में फिर से तैयारी करने में कामयाब रहा। मुझे विषय को स्पष्ट और स्पष्ट रूप से समझाया, विस्तृत करें उसके लिए बिना किसी समस्या के गुजर गया।सभी समीक्षाएं (52)

ओजीई (जीआईए) स्कूल पाठ्यक्रम बीजगणित का उपयोग करें विश्लेषणात्मक ज्यामिति उच्च गणितज्यामिति +12 डिस्क्रीट मैथ विभेदक समीकरण लीनियर अलजेब्रा रैखिक ज्यामिति गणित के आँकड़े गणितीय विश्लेषण अंग्रेजी में सिद्धांत संभावनाग्राफ थ्योरी गेम थ्योरी त्रिकोणमिति अर्थमिति

स्कूली बच्चे 1-11 ग्रेडछात्र वयस्क

एम. क्रास्नोग्वर्डेइसकाया

मैक्सिम अलेक्सेविच

निजी शिक्षक अनुभव 9 वर्ष

1500 रगड़ / घंटा . से

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गणितीय सांख्यिकी ट्यूटर

ट्यूटर पर, छात्र पर, दूर से

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के मेच-मैट से स्नातक। बैंकिंग क्षेत्र में एक विश्लेषक के रूप में अनुभव है, आईटी विकास के क्षेत्र में एक सिस्टम विश्लेषक के रूप में अनुभव है। ज्ञान का विस्तार प्रोग्रामिंग, रिलेशनल डेटाबेस (एसक्यूएल)। शतरंज में पहली श्रेणी। सभी श्रेणियों के छात्रों के साथ काम करने का एक सफल अनुभव है: स्कूली बच्चे (ओजीई, एकीकृत राज्य परीक्षा, अकादमिक प्रदर्शन में सुधार) छात्र (उच्च गणित और यांत्रिकी के लगभग सभी वर्ग) वयस्क (कक्षाएं "स्वयं के लिए", काम के मुद्दों के साथ मदद)।

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी का पाठ्यक्रम। सेवस्त्यानोव बी.ए.

एम.: विज्ञान। चौ. ईडी। भौतिक।-गणित। लिट।, 1982.- 256 पी।

पुस्तक मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित संकाय के गणित विभाग में कई वर्षों तक लेखक द्वारा दिए गए व्याख्यान के एक साल के पाठ्यक्रम पर आधारित है। संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं और तथ्यों को शुरू में एक परिमित योजना के लिए पेश किया जाता है। गणितीय अपेक्षा को आम तौर पर उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे लेबेस्ग इंटीग्रल, लेकिन पाठक से लेबेस्ग एकीकरण के किसी भी पूर्व ज्ञान की उम्मीद नहीं की जाती है।

पुस्तक में निम्नलिखित खंड शामिल हैं: स्वतंत्र परीक्षण और मार्कोव श्रृंखला, डी मोइवर-लाप्लास और पॉइसन सीमा प्रमेय, यादृच्छिक चर, विशेषता और उत्पन्न करने वाले कार्य, बड़ी संख्या का कानून, केंद्रीय सीमा प्रमेय, गणितीय आंकड़ों की बुनियादी अवधारणाएं, सांख्यिकीय परिकल्पना का परीक्षण, सांख्यिकीय अनुमान, विश्वास अंतराल।

संभाव्यता सिद्धांत का अध्ययन करने वाले विश्वविद्यालयों और तकनीकी कॉलेजों के स्नातक छात्रों के लिए।

प्रारूप:डीजेवीयू/ज़िप

आकार: 2.5 7 एमबी

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विषयसूची
प्रस्तावना 7
अध्याय 1 प्रायिकता स्थान 9
1. संभाव्यता के सिद्धांत का विषय 9
2. घटनाक्रम 12
3. प्रायिकता स्थान 16
§ 4. परिमित संभाव्यता स्थान। संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा 19
§ 5 ज्यामितीय संभावनाएं 23
कार्य 24
अध्याय 2. सशर्त संभावनाएं। स्वतंत्रता 26
§ 6. सशर्त संभावनाएं 26
§ 7. कुल संभावना सूत्र 28
8. बेयस फॉर्मूला 29
9. घटनाओं की स्वतंत्रता 30
10. विभाजन, बीजगणित और एक-बीजगणित की स्वतंत्रता.... 33
§ 11. स्वतंत्र परीक्षण 35
कार्य 39
अध्याय 3. यादृच्छिक चर (अंतिम योजना)। 41
§ 12. यादृच्छिक चर। संकेतक 41
13. गणितीय अपेक्षा 45
§ 14. वितरण के बहुआयामी नियम 50
§ 15. यादृच्छिक चरों की स्वतंत्रता 53
§ 10. यादृच्छिक चर का यूक्लिडियन स्थान। . . . 5 वीं
§ 17. सशर्त अपेक्षाएं 5E
§ 18. चेबीशेव की असमानता। बड़ी संख्या का नियम.... 61
कार्य 64
अध्याय 4. बर्नौली योजना में प्रमेयों को सीमित करें। 65
§ 19. द्विपद वितरण 65
20. पॉसों की प्रमेय 66
§ 21. डी मोइवर - लाप्लास की स्थानीय सीमा प्रमेय। . 70
§ 22. डी मोइवर का अभिन्न सीमा प्रमेय - लाप्लास 71
§ 23. सीमा प्रमेयों के अनुप्रयोग। 73
कार्य 76
अध्याय 5. मार्कोव चेन 77
24. मार्कोव निर्भरता परीक्षण 77
25. संक्रमण की संभावनाएं 78
26. संभावनाओं को सीमित करने पर प्रमेय 80
कार्य 83
अध्याय 6. यादृच्छिक चर (सामान्य स्थिति) 84
27. यादृच्छिक चर और उनके वितरण 84
28. बहुभिन्नरूपी वितरण 92
29. यादृच्छिक चर की स्वतंत्रता 96
कार्य 98
अध्याय 7. उम्मीद 100
30. गणितीय अपेक्षा की परिभाषा 100
31. गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए सूत्र 108
कार्य 115
अध्याय 8 निर्माण कार्य 117
32. पूर्णांक यादृच्छिक चर और उनके जनक फलन 117
33. तथ्यात्मक क्षण 118
34. गुणक गुण 120
35. निरंतरता प्रमेय 123
§ 36. ब्रांचिंग प्रक्रिया 125
कार्य 127
अध्याय 9 विशेषता कार्य 129
37. विशेषता कार्यों की परिभाषा और प्राथमिक गुण 129
38. विशेषता कार्यों के लिए उलटा सूत्र 136
§ 39. विशेषता कार्यों के सेट और वितरण कार्यों के सेट के बीच निरंतर पत्राचार प्रमेय 140
कार्य 145
अध्याय 10. केंद्रीय सीमा प्रमेय 146
§ 40. समान रूप से वितरित स्वतंत्र पदों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय 146
41. लाइपुनोव की प्रमेय 147
42. केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुप्रयोग 150
कार्य 153
अध्याय 11
43. परिभाषा और प्राथमिक गुण 154
44. रूपांतरण सूत्र 158
45. अभिलक्षणिक फलनों के लिए प्रमेयों को सीमित करें 159
46. ​​बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण और संबंधित वितरण 164
कार्य 173
अध्याय 12
47. बोरेल-कैंटेली लेम्मा। कानून "0 या 1" कोलमोगोरोव 174
48 यादृच्छिक चर के विभिन्न प्रकार के अभिसरण। . . 177
49. बड़ी संख्या का प्रबल नियम 181
कार्य 188
अध्याय 13. सांख्यिकी 189
50. गणितीय आँकड़ों के मुख्य कार्य .... 189
51. नमूनाकरण विधि 190
कार्य 194
अध्याय 14. सांख्यिकीय परीक्षण 195
52. सांख्यिकीय परिकल्पना 195
53. परीक्षण का महत्व स्तर और शक्ति 197
54. इष्टतम न्यूमैन-पियर्सन मानदंड .... 199
55. सामान्य और द्विपद वितरण के मापदंडों के बारे में परिकल्पना के परीक्षण के लिए इष्टतम मानदंड 201
56. जटिल परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए मानदंड 2E4
57. गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण 206
कार्य 211
अध्याय 15 पैरामीटर अनुमान 213
58. सांख्यिकीय अनुमान और उनके गुण 213
59. वितरण के सशर्त नियम 216
§ 60. पर्याप्त आँकड़े 220
61. आकलन की क्षमता 223
62. अनुमान खोजने के तरीके 228
कार्य 232
अध्याय 16. विश्वास अंतराल 234
§ 63. विश्वास अंतराल का निर्धारण 234
§ 64. सामान्य वितरण के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल 236
65. बर्नौली योजना 240 . में सफलता की संभावना के लिए विश्वास अंतराल
कार्य 244
समस्याओं के उत्तर 245
सामान्य वितरण तालिका 251
साहित्य 253
सूचकांक 254

संचार और सूचनाकरण के लिए रूसी संघ के मंत्रालय

दूरसंचार और सूचना विज्ञान के साइबेरियाई राज्य विश्वविद्यालय

एन. आई. चेर्नोवा

गणितीय

आंकड़े

ट्यूटोरियल

नोवोसिबिर्स्क

एसोसिएट प्रोफेसर, कैंड। भौतिक।-गणित। विज्ञान एन आई चेर्नोवा। गणितीय आँकड़े: पाठ्यपुस्तक / सिबगुटी। - नोवोसिबिर्स्क, 2009. - 90 पी।

पाठ्यपुस्तक में आर्थिक विशिष्टताओं के छात्रों के लिए गणितीय आँकड़ों पर व्याख्यान का एक अर्ध-वार्षिक पाठ्यक्रम है। पाठ्यपुस्तक विशेषता 080116 - "अर्थशास्त्र में गणितीय तरीके" में व्यावसायिक शैक्षिक कार्यक्रमों के लिए राज्य शैक्षिक मानक की आवश्यकताओं का अनुपालन करती है।

चेयर एमएमबीपी टैब। 7, चित्र - 9, लिट की सूची। - 8 नाम

समीक्षक: ए.पी. कोवालेव्स्की, पीएच.डी. भौतिक।-गणित। विज्ञान।, उच्च गणित विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर, एनएसटीयू वी। आई। लोतोव, डॉक्टर ऑफ फिजिक्स एंड मैथमेटिक्स। विज्ञान, विभाग के प्रोफेसर

संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी का सिद्धांत NSU

विशेषता के लिए 080116 - "अर्थशास्त्र में गणितीय तरीके"

एक पाठ्यपुस्तक के रूप में सिबगुटी के संपादकीय और प्रकाशन परिषद द्वारा स्वीकृत

सी साइबेरियाई राज्य विश्वविद्यालय

दूरसंचार और सूचना विज्ञान, 2009

प्रस्तावना। . . . . . . . . .
	I. गणितीय आँकड़ों की बुनियादी अवधारणाएँ। . . . . . . .
	गणितीय सांख्यिकी की समस्याएं . . . . . . . . . . . . . . . . .
	नमूना। . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	चयनित विशेषताएं. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	अनुभवजन्य वितरण समारोह के गुण। . . . . . . . .

§ 5. नमूना क्षणों के गुण. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. घनत्व के अनुमान के रूप में हिस्टोग्राम. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. प्रश्न और अभ्यास. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

दूसरा अध्याय। बिंदु अनुमान. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. बिंदु अनुमान और उनके गुण. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. क्षणों की विधि. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	क्षणों की विधि के अनुमानों के गुण. . . . . . . . . . . . . . . . .
	अधिकतम संभावना विधि। . . . . . . . . . . . . . .
	अनुमानों की स्पर्शोन्मुख सामान्यता। . . . . . . . . . . . . .
	प्रश्न और अभ्यास. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		ग्रेड तुलना. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	अनुमानों की तुलना करने के लिए मूल माध्य वर्गाकार दृष्टिकोण। . . . . . . . .
	राव-क्रैमर असमानता. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	प्रश्न और अभ्यास. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	चतुर्थ। अंतराल अनुमान. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	विश्वास अंतराल. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सिद्धांत। . . . . . . .
	प्रश्न और अभ्यास. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		सामान्य से संबंधित वितरण। . . . . . . . . .
	बुनियादी सांख्यिकीय वितरण। . . . . . . . . . . . . .
	सामान्य नमूनों का परिवर्तन। . . . . . . . . . . . . . .
	सामान्य वितरण के लिए विश्वास अंतराल। . .

§ 1. परिकल्पना और मानदंड. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. प्रश्न और अभ्यास. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

अध्याय VII। सहमति मानदंड. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. फिट मानदंड की अच्छाई का सामान्य दृष्टिकोण. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. मापदंडों के बारे में सरल परिकल्पना का परीक्षण. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. वितरण परिकल्पना के परीक्षण के लिए मानदंड. . . . . . . . 56

§ 4. पैरामीट्रिक परिकल्पना के परीक्षण के लिए मानदंड। . . . . . . . 59

§ 5. एकरूपता के परीक्षण के लिए मानदंड. . . . . . . . . . . . . . . 61

6. मानदंड 2 स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए। . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. प्रश्न और अभ्यास. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. अधिकतम संभावना विधि।. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. कम से कम वर्गों की विधि।. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

प्रस्तावना

पाठ्यपुस्तक में साइबेरियाई राज्य दूरसंचार और सूचना विज्ञान विश्वविद्यालय की विशेषता "अर्थशास्त्र में गणितीय तरीके" में अध्ययन करने वाले छात्रों के लिए गणितीय आँकड़ों पर व्याख्यान का एक पूरा कोर्स है। पाठ्यक्रम की सामग्री पूरी तरह से निर्दिष्ट विशेषता में स्नातक की तैयारी के लिए शैक्षिक मानकों का अनुपालन करती है।

गणितीय सांख्यिकी में पाठ्यक्रम संभाव्यता सिद्धांत में सेमेस्टर पाठ्यक्रम पर आधारित है और अर्थमिति में वार्षिक पाठ्यक्रम का आधार है। विषय का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, छात्रों को गणितीय आँकड़ों के विभिन्न मॉडलों के अध्ययन के गणितीय तरीकों में महारत हासिल करनी चाहिए।

पाठ्यक्रम में आठ अध्याय हैं। विषय को समझने के लिए पहला अध्याय मुख्य है। यह पाठक को गणितीय आँकड़ों की बुनियादी अवधारणाओं से परिचित कराता है। दूसरा अध्याय अज्ञात वितरण मापदंडों के बिंदु आकलन के तरीकों के लिए समर्पित है: क्षण और अधिकतम संभावना।

तीसरा अध्याय मूल माध्य वर्ग अर्थ में अनुमानों की तुलना से संबंधित है। यहां, अनुमानों की प्रभावशीलता की जाँच के साधन के रूप में राव-क्रैमर असमानता का भी अध्ययन किया जाता है।

चौथा अध्याय मापदंडों के अंतराल अनुमान से संबंधित है, जो अगले अध्याय में सामान्य वितरण के मापदंडों के लिए अंतराल के निर्माण के साथ समाप्त होता है। ऐसा करने के लिए, विशेष सांख्यिकीय वितरण पेश किए जाते हैं, जिनका उपयोग तब आठवें अध्याय में अच्छाई-की-फिट परीक्षणों में किया जाता है। अध्याय छह परिकल्पना परीक्षण सिद्धांत की आवश्यक बुनियादी अवधारणाएँ देता है, इसलिए पाठक को इसका बहुत ध्यान से अध्ययन करना चाहिए।

अंत में, अध्याय सात और आठ व्यवहार में सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले सहमति मानदंडों की एक सूची प्रदान करते हैं। नौवें अध्याय में समाश्रयण विश्लेषण के सरल प्रतिरूपों और विधियों पर विचार किया गया है और प्राप्त अनुमानों के मुख्य गुण सिद्ध किए गए हैं।

लगभग हर अध्याय अध्याय के पाठ में अभ्यासों की सूची के साथ समाप्त होता है। एप्लिकेशन में असतत और बिल्कुल निरंतर वितरण की मुख्य विशेषताओं की सूची के साथ तालिकाएँ हैं, बुनियादी सांख्यिकीय वितरण की तालिकाएँ।

प्रस्तावना

पुस्तक के अंत में एक विस्तृत सूचकांक है। संदर्भों की सूची उन पाठ्यपुस्तकों को सूचीबद्ध करती है जिनका उपयोग पाठ्यक्रम के अतिरिक्त किया जा सकता है, और व्यावहारिक अभ्यास के लिए कार्यों का संग्रह।

प्रत्येक अध्याय में अनुच्छेदों की संख्या अलग-अलग है। सूत्र, उदाहरण, कथन आदि क्रमागत रूप से गिने जाते हैं। किसी अन्य अध्याय से किसी वस्तु का संदर्भ देते समय, पाठक की सुविधा के लिए, वह पृष्ठ संख्या जिस पर वस्तु निहित है, इंगित की जाती है। एक ही अध्याय से किसी वस्तु का जिक्र करते समय केवल सूत्र की संख्या, उदाहरण, कथन दिया जाता है। सबूत के अंत के साथ चिह्नित किया गया है।

अध्याय 1

गणितीय सांख्यिकी की मूल अवधारणाएं

गणितीय सांख्यिकी संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों पर आधारित है, लेकिन अन्य समस्याओं को हल करती है। संभाव्यता सिद्धांत में, किसी दिए गए वितरण या यादृच्छिक प्रयोगों के साथ यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है, जिसके गुण पूरी तरह से ज्ञात होते हैं। लेकिन व्यावहारिक प्रयोगों में वितरण के बारे में ज्ञान कहाँ से आता है? उदाहरण के लिए, इस बात की क्या प्रायिकता है कि दिए गए सिक्के पर हथियारों का कोट दिखाई दे? इस प्रायिकता को निर्धारित करने के लिए हम सिक्के को कई बार पलट सकते हैं। लेकिन किसी भी मामले में, टिप्पणियों की एक सीमित संख्या के परिणामों से निष्कर्ष निकालना होगा। इसलिए, एक सिक्के के 10,000 उछालने के बाद हथियारों के 5,035 कोटों को देखते हुए, हथियारों के एक कोट के गिरने की संभावना के बारे में एक सटीक निष्कर्ष निकालना असंभव है: भले ही यह संभावना 0.5 से भिन्न हो, हथियारों का कोट 5035 बार गिर सकता है . वितरण के बारे में सटीक निष्कर्ष तभी निकाला जा सकता है जब अनंत संख्या में परीक्षण किए गए हों, जो संभव नहीं है। गणितीय आँकड़े प्रयोगों की एक सीमित संख्या के परिणामों के आधार पर, इन प्रयोगों में देखे गए यादृच्छिक चर के वितरण के बारे में अधिक या कम सटीक निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं।

§ 1. गणितीय आँकड़ों की समस्या

मान लीजिए कि हम उसी यादृच्छिक प्रयोग को उन्हीं परिस्थितियों में दोहराते हैं। प्रयोग के प्रत्येक दोहराव के परिणामस्वरूप, डेटा का एक निश्चित सेट (संख्यात्मक या अन्यथा) देखा जाता है।

यह निम्नलिखित प्रश्न उठाता है।

1. यदि एक यादृच्छिक चर देखा जाता है, तो कई प्रयोगों में इसके मूल्यों के एक सेट के आधार पर इसके वितरण के बारे में सबसे सटीक निष्कर्ष कैसे निकाला जा सकता है?

2. यदि दो या दो से अधिक संकेतों की अभिव्यक्ति देखी जाती है, तो देखे गए यादृच्छिक चर की निर्भरता के प्रकार और ताकत के बारे में क्या कहा जा सकता है?

प्रेक्षित वितरण या इसके गुणों के बारे में कुछ अनुमान लगाना अक्सर संभव होता है। इस मामले में, प्रयोगात्मक डेटा के अनुसार, इन मान्यताओं ("परिकल्पना") की पुष्टि या खंडन करना आवश्यक है। उसी समय, हमें यह याद रखना चाहिए कि "हां" या "नहीं" का उत्तर केवल एक निश्चित निश्चितता के साथ दिया जा सकता है, और जितना अधिक समय तक हम प्रयोग जारी रख सकते हैं, निष्कर्ष उतने ही सटीक हो सकते हैं। कभी-कभी अग्रिम रूप से उपस्थिति का दावा करना संभव है

8 अध्याय I. गणितीय सांख्यिकी की मूल अवधारणाएं

प्रेक्षित प्रयोग के कुछ गुण - उदाहरण के लिए, प्रेक्षित मात्राओं के बीच कार्यात्मक निर्भरता के बारे में, वितरण की सामान्यता के बारे में, इसकी समरूपता के बारे में, वितरण में घनत्व की उपस्थिति के बारे में या इसकी असतत प्रकृति के बारे में, आदि।

इसलिए, गणितीय आँकड़े काम करते हैं जहाँ एक यादृच्छिक प्रयोग होता है, जिसके गुण आंशिक रूप से या पूरी तरह से अज्ञात होते हैं, और जहाँ हम इस प्रयोग को समान परिस्थितियों में कुछ (या बेहतर, कोई भी) कई बार पुन: पेश कर सकते हैं।

प्रायोगिक परिणाम मात्रात्मक या गुणात्मक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, मात्रात्मक परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है। इस प्रकार, उनकी एक सार्थक विशेषता प्रेक्षणों का अंकगणितीय माध्य है। गुणात्मक परिणामों को जोड़ना व्यर्थ है, हालांकि उन्हें संख्यात्मक रूप में रखा जा सकता है। मान लें कि साक्षात्कारकर्ता के जन्म का महीना गुणात्मक है, मात्रात्मक अवलोकन नहीं है: हालांकि इसे एक संख्या के रूप में दिया जा सकता है, इन संख्याओं के अंकगणितीय माध्य में उतनी ही उचित जानकारी होती है जितनी कि यह संदेश कि औसतन, एक व्यक्ति का जन्म हुआ था। जून और जुलाई के बीच।

पहले अध्यायों में, हम मात्रात्मक अवलोकन परिणामों के साथ काम करने का अध्ययन करेंगे।

2. चयन

मान लीजिए : Ω → R एक यादृच्छिक प्रयोग में देखा गया एक यादृच्छिक चर है। समान परिस्थितियों में इस प्रयोग को n बार करने पर हमें संख्याएँ X1, X2, प्राप्त होंगी। . . , Xn - पहले, दूसरे, आदि प्रयोगों में देखे गए यादृच्छिक चर के मान। यादृच्छिक चर ξ का कुछ वितरण F है, जो हमारे लिए आंशिक या पूर्णतः अज्ञात है।

आइए हम समुच्चय X = (X1, ..., Xn) पर अधिक विस्तार से विचार करें, जिसे नमूना कहा जाता है।

पहले से किए गए प्रयोगों की एक श्रृंखला में, एक नमूना संख्याओं का एक समूह होता है। लेकिन प्रयोग किए जाने से पहले, नमूने को यादृच्छिक चर के एक सेट के रूप में मानना ​​​​समझ में आता है (स्वतंत्र और उसी तरह वितरित किया जाता है जैसे )। दरअसल, प्रयोग करने से पहले, हम यह नहीं कह सकते कि नमूने के तत्व क्या मान लेंगे: ये यादृच्छिक चर के कुछ मान होंगे। इसलिए, यह विचार करना समझ में आता है कि प्रयोग से पहले शी एक यादृच्छिक चर है जो समान रूप से के साथ वितरित किया जाता है, और प्रयोग के बाद यह वह संख्या है जिसे हम i-वें प्रयोग में देखते हैं, यानी यादृच्छिक के संभावित मूल्यों में से एक परिवर्तनीय शी।

परिभाषा 1. एक वितरण F से आकार n का एक नमूना X = (X1, ..., Xn) n स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक सेट है जिसका वितरण F है।

नमूना तत्वों को अक्सर बड़े डेटा सेट के साथ काम करने की सुविधा के लिए बदल दिया जाता है - उन्हें आदेश दिया जाता है या समूहीकृत किया जाता है।

यदि नमूने के अवयव हैं X1 , . . . , Xn आरोही क्रम में क्रमबद्ध करते हैं, हमें नए यादृच्छिक चर का एक सेट मिलता है, जिसे एक परिवर्तनशील श्रृंखला कहा जाता है:

एक्स(1) 6 एक्स(2) 6। . . 6 एक्स(एन−1) 6 एक्स(एन) ।

यहाँ X(1) = min(X1, ...., Xn ), X(n) = max(X1, .. . , Xn) है। तत्व X(k) को परिवर्तनशील श्रृंखला का k -वाँ सदस्य या k -वाँ क्रम का आँकड़ा कहा जाता है।

डेटा को समूहीकृत करते समय, नमूना तत्व मानों के कई समूहों को प्रतिष्ठित किया जाता है, प्रत्येक समूह में तत्वों की संख्या की गणना की जाती है, और उसके बाद ही इस नए डेटा सेट से निपटा जाता है। डेटा को समूहीकृत करना और क्रमबद्ध करना दोनों ही नमूने में निहित कुछ जानकारी को त्याग देते हैं।

गणितीय आँकड़ों का कार्य अज्ञात वितरण F के बारे में एक नमूने से निष्कर्ष निकालना है, जिससे इसे निकाला जाता है। वितरण एक वितरण फ़ंक्शन, घनत्व या तालिका, संख्यात्मक विशेषताओं का एक सेट द्वारा विशेषता है: E = E X1, Dξ = D X1, Eξ k = E X1 k। नमूने के आधार पर, इन सभी विशेषताओं के लिए सन्निकटन बनाने में सक्षम होना चाहिए। ऐसे अनुमानों को अनुमान कहा जाता है। "स्कोर" शब्द का असमानताओं से कोई लेना-देना नहीं है। किसी वितरण की कुछ अज्ञात विशेषता के लिए एक अनुमान एक नमूने से निर्मित एक यादृच्छिक चर है, जो कुछ अर्थों में वितरण की इस अज्ञात विशेषता का अनुमान है।

उदाहरण 1. छह भुजाओं वाले पासे को 100 बार घुमाया जाता है। पहला चेहरा 25 बार, दूसरा और पांचवां - 14 बार प्रत्येक, तीसरा - 21 बार, चौथा - 15 बार, छठा - 11 बार गिरा। हम एक संख्यात्मक नमूने के साथ काम कर रहे हैं, जिसे सुविधा के लिए, गिराए गए अंकों की संख्या से समूहीकृत किया जाता है।

प्रयोग के परिणामों के अनुसार, संभावनाओं को निर्धारित करना असंभव है p1 , । . . , p6 फेस ड्रॉप्स। हम केवल यह कह सकते हैं कि इन प्रायिकताओं के लिए संख्यात्मक अनुमान प्राप्त किए गए हैं: p1 के लिए 0.25, p2 के लिए 0.14 और p5 के लिए, आदि।

ऐसा प्रयोग किए बिना भी, हम पहले से कह सकते हैं कि अज्ञात प्रायिकता p1 का अनुमान एक यादृच्छिक चर होगा

और प्रायिकता p2 का अनुमान यादृच्छिक चर है

प्रयोगों की इस श्रृंखला में, इन यादृच्छिक चरों ने क्रमशः 0.25 और 0.14 मान लिए। एक अन्य श्रृंखला में, उनके अर्थ बदल जाएंगे।

अध्याय I. गणितीय सांख्यिकी की मूल अवधारणाएं

§ 3. चयनित विशेषताएं

संभाव्यता के सिद्धांत से, हम सभी प्रकार की गणितीय अपेक्षाओं की अनुमानित गणना के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण जानते हैं: बड़ी संख्या का नियम। यह कानून गारंटी देता है कि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित शर्तों के अंकगणितीय साधन कुछ अर्थों में एक विशिष्ट शब्द की अपेक्षा तक पहुंचते हैं (यदि, निश्चित रूप से, यह गणितीय अपेक्षा मौजूद है)।

इसलिए, अज्ञात गणितीय अपेक्षा E X1 के लिए एक अनुमान (अनुमान) के रूप में, आप सभी नमूना तत्वों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग कर सकते हैं: नमूना माध्य

एक्स 1 +। . . +Xn

E X1 k के अनुमान के रूप में, नमूना k -वें क्षण

एक्स 1 के +। . . + एक्सएन के

शी के =

और प्रसरण के लिए एक अनुमान के रूप में D X1 = E (X1 - E X1)2 = E X1 2 - (E X1)2

नमूना विचरण का उपयोग किया जाता है

एस2 =एन 1

(Xi - X)2 = X2 - X

सामान्य तौर पर, मान

जी (एक्स 1) +। . . + जी (एक्सएन)

जी (Xi) =

मात्रा E g(X1) का अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

इसी तरह, बर्नौली का बड़ी संख्या का नियम हमें विभिन्न संभावनाओं का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, किसी घटना की प्रायिकता (X1 .)< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

पी = Xi . की राशि< 3n

(संभाव्यता में) सफलता की संभावना में अभिसरण करेगा P(X1 .)< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

लेकिन अनुभवजन्य वितरण समारोह की मदद से

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• पाठ लागत: 1500 आर.-2000 आर./60 मिनट। वर्ग के आधार पर।
• सामान:गणित, कलन, रैखिक बीजगणित, संभाव्यता सिद्धांत
• शहर:मास्को
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• शिक्षा: Sverdlovsk Pedagogical Institute, विशेषता: गणित, कंप्यूटर विज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान, 1991 में स्नातक।

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• शिक्षा:मॉस्को इंस्टीट्यूट ऑफ फिजिक्स एंड टेक्नोलॉजी (एमआईपीटी), फैकल्टी ऑफ कंट्रोल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, पीएच.डी.

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• स्थिति:निजी शिक्षक
• शिक्षा:मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी एम. वी. लोमोनोसोव, भौतिकी के संकाय, भौतिकी के संकाय के लिए गणित विभाग, 1976। रूसी उद्यमिता अकादमी, 1994