अनुदेश

जोड़ विधि।
आपको दो सख्ती से एक दूसरे के नीचे लिखने की जरूरत है:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
मनमाने ढंग से चुने गए (सिस्टम से) समीकरण में, पहले से मिले "गेम" के बजाय 11 नंबर डालें और दूसरे अज्ञात की गणना करें:

एक्स=61+5*11, एक्स=61+55, एक्स=116.
समीकरणों की इस प्रणाली का उत्तर: x=116, y=11.

ग्राफिक तरीका।
इसमें उस बिंदु के निर्देशांक की व्यावहारिक खोज शामिल है जिस पर समीकरणों की प्रणाली में गणितीय रूप से रेखाएं लिखी जाती हैं। आपको एक ही निर्देशांक प्रणाली में अलग-अलग दोनों रेखाओं के आलेख खींचने चाहिए। सामान्य दृश्य: - y \u003d kx + b। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए पर्याप्त है, और x को मनमाने ढंग से चुना जाता है।
सिस्टम दिए जाने दें: 2x - y \u003d 4

वाई \u003d -3x + 1.
एक सीधी रेखा पहले के अनुसार बनाई गई है, सुविधा के लिए इसे नीचे लिखा जाना चाहिए: y \u003d 2x-4। एक्स के लिए (आसान) मानों के साथ आओ, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, इसे हल करें, वाई खोजें। दो बिंदु प्राप्त होते हैं, जिसके साथ एक सीधी रेखा बनती है। (तस्वीर देखें।)
एक्स 0 1

वाई -4 -2
दूसरे समीकरण के अनुसार एक सीधी रेखा का निर्माण किया जाता है: y \u003d -3x + 1।
एक लाइन भी बनाएं। (तस्वीर देखें।)

1-5
ग्राफ पर दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो समीकरणों के निकाय में नहीं है - तो)।

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मददगार सलाह

यदि समीकरणों की एक ही प्रणाली को तीन अलग-अलग तरीकों से हल किया जाता है, तो उत्तर वही होगा (यदि समाधान सही है)।

स्रोत:

• बीजगणित ग्रेड 8
• ऑनलाइन दो अज्ञात के साथ एक समीकरण हल करें
• दो के साथ रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के उदाहरण

प्रणाली समीकरणगणितीय अभिलेखों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित संख्या में चर होते हैं। उन्हें हल करने के कई तरीके हैं।

आपको चाहिये होगा

• -शासक और पेंसिल;
• -कैलकुलेटर।

अनुदेश

सिस्टम को हल करने के क्रम पर विचार करें, जिसमें रैखिक समीकरण होते हैं: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। जहाँ x और y अज्ञात चर हैं और b,c मुक्त सदस्य हैं। इस पद्धति को लागू करते समय, प्रत्येक प्रणाली प्रत्येक समीकरण के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक होते हैं। सबसे पहले, प्रत्येक मामले में, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें। फिर x चर को किसी भी मान पर सेट करें। दो काफी है। समीकरण में प्लग करें और y खोजें। एक समन्वय प्रणाली बनाएं, उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। सिस्टम के अन्य भागों के लिए भी इसी तरह की गणना की जानी चाहिए।

यदि निर्मित रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, तो प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है। यह असंगत है यदि वे एक दूसरे के समानांतर हैं। और जब रेखाएं एक-दूसरे में विलीन हो जाती हैं तो इसके अनंत रूप से कई समाधान होते हैं।

यह विधि बहुत ही स्पष्ट मानी जाती है। मुख्य नुकसान यह है कि परिकलित अज्ञात के अनुमानित मान हैं। तथाकथित बीजीय विधियों द्वारा अधिक सटीक परिणाम दिया जाता है।

समीकरणों की एक प्रणाली का कोई भी समाधान जाँच के लायक है। ऐसा करने के लिए, चर के बजाय प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। आप इसका समाधान भी कई तरह से पा सकते हैं। यदि व्यवस्था का समाधान सही है तो सभी को एक समान निकलना चाहिए।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें से एक शब्द अज्ञात होता है। एक समीकरण को हल करने के लिए, आपको इन संख्याओं के साथ कुछ निश्चित क्रियाओं को याद रखने और करने की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेन या पेंसिल।

अनुदेश

कल्पना कीजिए कि आपके सामने 8 खरगोश हैं, और आपके पास केवल 5 गाजर हैं। सोचें कि आपको अधिक गाजर खरीदने की आवश्यकता है ताकि प्रत्येक खरगोश को एक गाजर मिले।

आइए इस समस्या को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें: 5 + x = 8. आइए x के लिए संख्या 3 को प्रतिस्थापित करें। वास्तव में, 5 + 3 = 8।

जब आपने x के लिए एक संख्या को प्रतिस्थापित किया, तो आप 8 में से 5 घटाने के समान कार्य कर रहे थे। इस प्रकार, खोजने के लिए अनजानपद, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

मान लीजिए कि आपके पास 20 खरगोश हैं और केवल 5 गाजर हैं। चलो रचना करते हैं। एक समीकरण एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के केवल कुछ मूल्यों के लिए होती है। जिन अक्षरों का मान आप खोजना चाहते हैं, कहलाते हैं। एक अज्ञात के साथ एक समीकरण लिखें, इसे x कहते हैं। खरगोशों के बारे में हमारी समस्या को हल करते समय, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 5 + x = 20।

आइए 20 और 5 के बीच का अंतर ज्ञात करें। घटाते समय, जिस संख्या से इसे घटाया जाता है वह कम हो जाता है। घटाई गई संख्या को कहा जाता है, और अंतिम परिणाम को अंतर कहा जाता है। तो, एक्स = 20 - 5; x = 15. आपको खरगोशों के लिए 15 गाजर खरीदने की जरूरत है।

जाँच करें: 5 + 15 = 20। समीकरण सही है। बेशक, जब इस तरह के सरल की बात आती है, तो चेक की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि, जब तीन-अंकीय, चार-अंकीय, और इसी तरह के अन्य समीकरणों की बात आती है, तो अपने काम के परिणाम के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित होने के लिए एक जाँच करना अनिवार्य है।

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मददगार सलाह

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाना आवश्यक है।

टिप 4: तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

पर्याप्त संख्या में समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हो सकते हैं। आप प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके या क्रैमर विधि का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रैमर की विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, किसी को यह मूल्यांकन करने की अनुमति देती है कि सिस्टम अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले हल करने योग्य है या नहीं।

अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि में क्रमिक रूप से एक अज्ञात दो अन्य के माध्यम से होता है और सिस्टम के समीकरणों में प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करता है। मान लीजिए कि तीन समीकरणों की एक प्रणाली सामान्य रूप में दी गई है:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

पहले समीकरण से x व्यक्त करें: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - और दूसरे और तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें, फिर दूसरे समीकरण से y को व्यक्त करें और तीसरे में स्थानापन्न करें। आपको निकाय के समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से z के लिए एक रैखिक व्यंजक प्राप्त होगा। अब "वापस" जाएं: दूसरे समीकरण में z प्लग करें और y खोजें, फिर z और y को पहले समीकरण में प्लग करें और x खोजें। प्रक्रिया को आम तौर पर चित्र में तब तक दिखाया जाता है जब तक कि z नहीं मिल जाता। इसके अलावा, सामान्य रूप में रिकॉर्ड बहुत बोझिल होगा, व्यवहार में, आप तीनों अज्ञात को आसानी से पा सकते हैं।

क्रैमर की विधि में सिस्टम के मैट्रिक्स को संकलित करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना शामिल है, साथ ही साथ तीन और सहायक मैट्रिक्स भी शामिल हैं। सिस्टम का मैट्रिक्स समीकरणों की अज्ञात शर्तों पर गुणांक से बना है। वह स्तंभ जिसमें समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ होती हैं, दाईं ओर का स्तंभ। इसका उपयोग सिस्टम में नहीं किया जाता है, लेकिन सिस्टम को हल करते समय इसका उपयोग किया जाता है।

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टिप्पणी

सिस्टम के सभी समीकरणों को अन्य समीकरणों से स्वतंत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान करनी चाहिए। अन्यथा, प्रणाली कम निर्धारित की जाएगी और एक स्पष्ट समाधान खोजना संभव नहीं होगा।

मददगार सलाह

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, पाए गए मानों को मूल प्रणाली में बदलें और जांचें कि क्या वे सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

अपने आप में समीकरणतीन . के साथ अनजानकई समाधान हैं, इसलिए अक्सर इसे दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक किया जाता है। प्रारंभिक डेटा क्या हैं, इस पर निर्भर करते हुए, निर्णय की प्रक्रिया काफी हद तक निर्भर करेगी।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

अनुदेश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें और उन्हें प्लग इन करें समीकरणतीन . के साथ अनजान. इसके साथ आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरणअज्ञात के साथ। यदि यह है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - पाया गया मान को अन्य समीकरणों में बदलें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण द्वारा घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक को या एक चर से गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक साथ कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका उपयोग करें, सबसे अधिक संभावना है, बाद का निर्णय मुश्किल नहीं होगा। यह मत भूलो कि किसी संख्या से गुणा करते समय, आपको बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को गुणा करना होगा। इसी तरह, समीकरणों को घटाते समय, याद रखें कि दाहिने हाथ को भी घटाया जाना चाहिए।

यदि पिछली विधियों ने मदद नहीं की, तो तीन . के साथ किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अनजान. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 के रूप में फिर से लिखें। अब एक्स (ए) पर गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाएं, अज्ञात (एक्स) का एक मैट्रिक्स और मुक्त लोगों का एक मैट्रिक्स (बी)। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी ए * एक्स \u003d बी मिलेगा।

मैट्रिक्स ए को घात (-1) में खोजने के बाद, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स मिलेगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर पद्धति का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक खोजें। फिर क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 खोजें, जो संबंधित कॉलम के मूल्यों के बजाय मुक्त शर्तों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। अब x खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆।

स्रोत:

• तीन अज्ञात के साथ समीकरणों के समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना शुरू करते हुए, यह पता लगाएं कि ये समीकरण क्या हैं। रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीकों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है। गैर-रेखीय समीकरण अक्सर हल नहीं होते हैं। केवल एक विशेष मामले हैं, जिनमें से प्रत्येक व्यावहारिक रूप से व्यक्तिगत है। अतः हल की विधियों का अध्ययन रैखिक समीकरणों से प्रारंभ होना चाहिए। इस तरह के समीकरणों को विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम से भी हल किया जा सकता है।

अनुदेश

दो अज्ञात एक्स और वाई के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को उन्मूलन द्वारा हल करना सीखकर सीखने की प्रक्रिया शुरू करें। a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2)। समीकरणों के गुणांकों को उनके स्थानों को दर्शाने वाले सूचकांकों द्वारा दर्शाया जाता है। तो गुणांक a21 इस तथ्य पर जोर देता है कि यह दूसरे समीकरण में पहले स्थान पर लिखा गया है। आम तौर पर स्वीकृत संकेतन में, सिस्टम एक के नीचे एक स्थित समीकरणों द्वारा लिखा जाता है, जिसे संयुक्त रूप से दाएं या बाएं एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा दर्शाया जाता है (अधिक विवरण के लिए, चित्र 1 ए देखें)।

समीकरणों की संख्या मनमानी है। सबसे सरल चुनें, जैसे कि एक जिसमें एक चर 1 के कारक से पहले होता है, या कम से कम एक पूर्णांक होता है। यदि यह समीकरण (1) है, तो आगे अज्ञात Y को X (Y को समाप्त करने की स्थिति) के रूप में व्यक्त करें। ऐसा करने के लिए, (1) को a12*Y=b1-a11*X (या a11*X=b1-a12*Y यदि X को बाहर रखा गया है) के रूप में रूपांतरित करें) और फिर Y=(b1-a11*X)/a12 . बाद वाले को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हुए a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 लिखें। X के लिए इस समीकरण को हल करें।
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) या X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21)।
Y और X के बीच पाए गए संबंध का उपयोग करते हुए, अंत में दूसरा अज्ञात Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) प्राप्त करें।

यदि सिस्टम को विशिष्ट संख्यात्मक गुणांक के साथ दिया गया था, तो गणना कम बोझिल होगी। दूसरी ओर, सामान्य समाधान इस तथ्य पर विचार करना संभव बनाता है कि, अज्ञात के लिए, वे बिल्कुल समान हैं। हाँ, और अंशों को उनके निर्माण के कुछ पैटर्न दिखाई दे रहे हैं। यदि समीकरणों के निकाय का आयाम दो से अधिक होता, तो विलोपन विधि बहुत ही जटिल गणनाओं को जन्म देती। उनसे बचने के लिए, विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम समाधान विकसित किए गए हैं। उनमें से सबसे सरल है क्रैमर का एल्गोरिथम (क्रैमर का सूत्र)। के लिए n समीकरणों के समीकरणों की सामान्य प्रणाली सीखना चाहिए।

n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का रूप है (चित्र 1a देखें)। इसमें, aij प्रणाली के गुणांक हैं,
j - अज्ञात, द्वि - मुक्त सदस्य (i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n)। ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स फॉर्म AX=B में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जा सकता है। यहां ए सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स है, एक्स अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स है, बी मुक्त शर्तों का कॉलम मैट्रिक्स है (चित्र 1 बी देखें)। क्रैमर विधि के अनुसार, प्रत्येक अज्ञात xi =∆i/∆ (i=1,2…,n)। गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक को मुख्य निर्धारक कहा जाता है, और ∆i को सहायक कहा जाता है। प्रत्येक अज्ञात के लिए, मुख्य निर्धारक के i-वें स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करके एक सहायक निर्धारक पाया जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के सिस्टम के मामले के लिए क्रैमर की विधि को अंजीर में विस्तार से प्रस्तुत किया गया है। 2.

एक प्रणाली दो या दो से अधिक समानता का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में दो या दो से अधिक अज्ञात हैं। स्कूली पाठ्यक्रम में उपयोग किए जाने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं। उनमें से एक को विधि कहा जाता है, दूसरे को जोड़ने की विधि।

दो समीकरणों के निकाय का मानक रूप

मानक रूप में, पहला समीकरण a1*x+b1*y=c1 है, दूसरा समीकरण है a2*x+b2*y=c2, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, दिए गए a1, a2, b1, b2, c1, c2 दोनों में सिस्टम के दो भागों के मामले में विशिष्ट समीकरणों में प्रस्तुत कुछ संख्यात्मक गुणांक हैं। बदले में, x और y अज्ञात हैं जिनके मूल्यों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। वांछित मान दोनों समीकरणों को एक साथ वास्तविक समानता में बदल देते हैं।

जोड़ विधि द्वारा प्रणाली का समाधान

सिस्टम को हल करने के लिए, अर्थात्, x और y के उन मानों को खोजने के लिए जो उन्हें वास्तविक समानता में बदल देंगे, आपको कुछ सरल कदम उठाने की आवश्यकता है। इनमें से पहला है किसी भी समीकरण को इस तरह बदलना कि दोनों समीकरणों में चर x या y के संख्यात्मक गुणांक निरपेक्ष मान में मेल खाते हों, लेकिन संकेत में भिन्न हों।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो समीकरणों वाला एक निकाय दिया गया है। उनमें से पहले का रूप 2x+4y=8 है, दूसरे का रूप 6x+2y=6 है। कार्य को पूरा करने के विकल्पों में से एक दूसरे समीकरण को -2 के कारक से गुणा करना है, जो इसे -12x-4y = -12 के रूप में ले जाएगा। गुणांक का सही विकल्प सिस्टम को जोड़ने की विधि द्वारा हल करने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है, क्योंकि यह अज्ञात खोजने के लिए प्रक्रिया के पूरे आगे के पाठ्यक्रम को निर्धारित करता है।

अब सिस्टम के दो समीकरणों को जोड़ना आवश्यक है। जाहिर है, समान मूल्य वाले लेकिन विपरीत चिह्न गुणांक वाले चरों का पारस्परिक विनाश इसे -10x = -4 के रूप में ले जाएगा। उसके बाद, इस सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है, जिससे यह स्पष्ट रूप से उस x = 0.4 का अनुसरण करता है।

समाधान प्रक्रिया का अंतिम चरण किसी एक चर के पाए गए मान का सिस्टम में उपलब्ध किसी भी प्रारंभिक समानता में प्रतिस्थापन है। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में x=0.4 को प्रतिस्थापित करने पर, आप 2*0.4+4y=8 व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं, जिससे y=1.8। इस प्रकार, x=0.4 और y=1.8 उदाहरण में दिखाए गए सिस्टम के मूल हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही ढंग से पाई गई हैं, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांचना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, इस मामले में, 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 के रूप की समानता प्राप्त होती है, जो सही है।

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दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + by + c = 0 होता है। इसमें a, b और c गुणांक होते हैं - कुछ संख्याएँ; और x और y चर हैं - अज्ञात संख्याएँ ज्ञात की जानी हैं।

दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण का हल संख्याओं x और y का एक युग्म है, जिसके लिए ax + by + c = 0 एक सच्ची समानता है।

दो चर (उदाहरण के लिए, 3x + 2y - 1 = 0) के साथ एक विशेष रैखिक समीकरण में समाधानों का एक सेट होता है, यानी संख्याओं के जोड़े का एक सेट जिसके लिए समीकरण सत्य होता है। दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण y = kx + m के रूप में एक रैखिक फलन में बदल जाता है, जो निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा है। इस रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल होते हैं।

यदि ax + by + c = 0 के रूप के दो रैखिक समीकरण दिए गए हैं और x और y के ऐसे मान ज्ञात करना आवश्यक है जिनके लिए दोनों के पास समाधान होंगे, तो वे कहते हैं कि यह आवश्यक है समीकरणों की प्रणाली को हल करें. समीकरणों की प्रणाली एक सामान्य घुंघराले ब्रैकेट के तहत लिखी जाती है। उदाहरण:

समीकरणों की एक प्रणाली का कोई हल नहीं हो सकता है यदि संबंधित रैखिक कार्यों के ग्राफ़ वाली रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं (अर्थात, वे एक दूसरे के समानांतर हैं)। यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि कोई हल नहीं है, यह दो चर वाले रैखिक समीकरणों को y = kx + m के रूप में बदलने के लिए पर्याप्त है। यदि दोनों समीकरणों में k समान संख्या है, तो निकाय का कोई हल नहीं है।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली में दो समान समीकरण होते हैं (जो तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकते हैं, लेकिन परिवर्तनों के बाद), तो इसके अनंत समाधान होते हैं। इस मामले में, हम अनिश्चितता के बारे में बात कर रहे हैं।

अन्य सभी मामलों में, सिस्टम का एक ही समाधान है। यह निष्कर्ष इस तथ्य से निकाला जा सकता है कि कोई भी दो गैर-समानांतर रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। यह प्रतिच्छेदन बिंदु है जो पहली पंक्ति और दूसरी दोनों पर स्थित होगा, अर्थात यह पहली और दूसरी दोनों का समाधान होगा। इसलिए, समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान होना। हालांकि, उन स्थितियों को निर्धारित करना आवश्यक है जब x और y के मूल्यों पर कुछ प्रतिबंध लगाए जाते हैं (आमतौर पर समस्या की स्थिति के अनुसार)। उदाहरण के लिए, x > 0, y > 0. इस स्थिति में, भले ही समीकरणों के निकाय का एक हल हो, लेकिन यह शर्त को पूरा नहीं करता हो, तो यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि दी गई शर्तों के तहत समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तीन तरीके हैं:

1. चयन विधि। अधिकांश समय ऐसा करना बहुत कठिन होता है।
2. ग्राफिक विधि। जब निर्देशांक तल पर दो रेखाएँ खींची जाती हैं (संबंधित समीकरणों के कार्यों के आलेख) और उनका प्रतिच्छेदन बिंदु पाया जाता है। यदि प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक भिन्नात्मक संख्याएँ हैं, तो यह विधि गलत परिणाम दे सकती है।
3. बीजगणितीय तरीके। वे बहुमुखी और विश्वसनीय हैं।

हम पहले से ही दो अज्ञात में एक रैखिक समीकरण की अवधारणा से परिचित हैं। समीकरण एक समस्या में व्यक्तिगत रूप से और कई समीकरणों में एक साथ उपस्थित हो सकते हैं। ऐसे मामलों में, समीकरणों को समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ दिया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली क्या है

समीकरणों की प्रणालीदो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके लिए उनके सभी सामान्य हल ज्ञात करना आवश्यक है। आमतौर पर, समीकरणों की एक प्रणाली को लिखने के लिए, वे एक कॉलम में लिखे जाते हैं और एक सामान्य घुंघराले ब्रैकेट बनाते हैं। रैखिक समीकरणों की प्रणाली नीचे लिखी गई है।

(4x + 3y = 6
(2x + y = 4

इस रिकॉर्ड का मतलब है कि दो चर के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। यदि निकाय में तीन समीकरण होते, तो यह तीन समीकरणों का निकाय होता। और इसलिए किसी भी संख्या में समीकरणों के लिए।

यदि निकाय में मौजूद सभी समीकरण रैखिक हैं, तो वे कहते हैं कि रैखिक समीकरणों का एक निकाय दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली अभी प्रस्तुत की गई है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सिस्टम के सामान्य समाधान हो सकते हैं। हम नीचे "सामान्य समाधान" शब्द पर चर्चा करेंगे।

क्या है हल?

दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी (x, y) है, जैसे कि यदि इन संख्याओं को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है। पहले समीकरण का हल उन सभी संख्याओं के युग्म होंगे जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दूसरे समीकरण के लिए, हल संख्याओं के जोड़े होंगे जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यदि संख्याओं का ऐसा युग्म है जो पहले और दूसरे समीकरण दोनों को संतुष्ट करता है, तो संख्याओं का यह युग्म दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों के निकाय का हल होगा।

ग्राफिक समाधान

आलेखीय रूप से, एक रैखिक समीकरण का हल तल पर किसी रेखा के सभी बिंदु होते हैं।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, हमारे पास कई रेखाएँ होंगी (समीकरणों की संख्या के अनुसार)। और समीकरणों के निकाय का हल वह बिंदु होगा जिस पर सभी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ऐसा कोई बिंदु नहीं है, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होगा। जिस बिंदु पर सभी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, वह इनमें से प्रत्येक रेखा से संबंधित है, इसलिए समाधान को सामान्य कहा जाता है।

वैसे, सिस्टम के समीकरणों को प्लॉट करना और उनका सामान्य बिंदु खोजना समीकरणों के सिस्टम को हल करने के तरीकों में से एक है। इस विधि को ग्राफिक कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके

दो चर वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के अन्य तरीके हैं। दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

हम समीकरणों की दो प्रकार की हल करने वाली प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:

1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
2. प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणाली का समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करने की आवश्यकता है:
1. हम व्यक्त करते हैं। किसी भी समीकरण से, हम एक चर को व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम व्यक्त चर, परिणामी मान के बजाय दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीजरुरत:
1. एक चर का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर के साथ एक समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक वाला एक चर x है, इसलिए यह पता चला है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
एक्स=3+10y

2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में चर x के स्थान पर 3 + 10y को प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (खुले कोष्ठक)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
वाई=-5:25
वाई=-0.2

समीकरणों की प्रणाली का समाधान ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए हमें x और y खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y होते हैं। आइए x खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था, हम वहां y को प्रतिस्थापित करते हैं।
एक्स=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

यह पहली जगह में अंक लिखने के लिए प्रथागत है, हम चर x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर चर y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।

योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. एक चर का चयन करें, मान लें कि हम x का चयन करते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांक समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल 6 का गुणांक प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. पहले समीकरण से, चर x से छुटकारा पाने के लिए दूसरे को घटाएं। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
वाई = 6.4

3. एक्स खोजें। हम पाए गए y को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, मान लें कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8 = 1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स = 4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; वाई = 6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई ग्राफिकल विधि की तुलना में अधिक विश्वसनीय।

प्रतिस्थापन विधि

हमने इस विधि का उपयोग 7वीं कक्षा में रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए किया था। 7 वीं कक्षा में विकसित किया गया एल्गोरिथ्म दो चर x और y के साथ किन्हीं दो समीकरणों (जरूरी नहीं कि रैखिक हो) की प्रणालियों को हल करने के लिए काफी उपयुक्त है (बेशक, चर को अन्य अक्षरों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जो कोई फर्क नहीं पड़ता)। वास्तव में, हमने पिछले पैराग्राफ में इस एल्गोरिथम का उपयोग किया था, जब दो अंकों की संख्या की समस्या ने गणितीय मॉडल को जन्म दिया, जो कि समीकरणों की एक प्रणाली है। हमने उपरोक्त समीकरणों की इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया है (उदाहरण 1 से 4 देखें)।

दो चर x, y के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम।

1. निकाय के एक समीकरण से y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
2. निकाय के किसी अन्य समीकरण में y के स्थान पर परिणामी व्यंजक को रखिए।
3. x के परिणामी समीकरण को हल कीजिए।
4. पहले चरण में प्राप्त व्यंजक y से x में x के स्थान पर तीसरे चरण में प्राप्त समीकरण के प्रत्येक मूल को बारी-बारी से रखें।
5. उत्तर को मानों के जोड़े (x; y) के रूप में लिखें, जो क्रमशः तीसरे और चौथे चरण में पाए गए।

4) y के प्रत्येक पाए गए मान को सूत्र x \u003d 5 - Zy में बदलें। तो अगर
5) समीकरणों की दी गई प्रणाली के जोड़े (2; 1) और समाधान।

उत्तर: (2; 1);

बीजीय जोड़ विधि

यह विधि, प्रतिस्थापन विधि की तरह, 7वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित है, जहाँ इसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया गया था। हम निम्नलिखित उदाहरण में विधि के सार को याद करते हैं।

उदाहरण 2समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
सिस्टम के दूसरे समीकरण को उसके पहले समीकरण से घटाएं:

मूल प्रणाली के दो समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ के परिणामस्वरूप, एक समीकरण प्राप्त हुआ जो दिए गए सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों की तुलना में सरल है। इस सरल समीकरण के साथ, हमें किसी दिए गए सिस्टम के किसी भी समीकरण को बदलने का अधिकार है, उदाहरण के लिए, दूसरा। तब समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक सरल प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा:

इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं कि इस व्यंजक को y के स्थान पर निकाय के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह x के पाए गए मानों को सूत्र में बदलने के लिए बना हुआ है

अगर एक्स = 2 तो

इस प्रकार, हमने सिस्टम के दो समाधान खोजे हैं:

नए चर पेश करने की विधि

आप 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में एक चर के साथ परिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि से परिचित हो गए। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का सार समान है, लेकिन तकनीकी दृष्टिकोण से कुछ विशेषताएं हैं जिनकी चर्चा हम निम्नलिखित उदाहरणों में करेंगे।

उदाहरण 3समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर सिस्टम के पहले समीकरण को सरल रूप में फिर से लिखा जा सकता है: आइए इस समीकरण को चर t के संबंध में हल करें:

ये दोनों मान स्थिति को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए चर t के साथ एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ें हैं। लेकिन इसका मतलब है कि या तो जहां से हम पाते हैं कि x = 2y, या
इस प्रकार, एक नए चर को पेश करने की विधि की मदद से, हम सिस्टम के पहले समीकरण को "स्तरीकृत" करने में सक्षम थे, जो दिखने में काफी जटिल है, दो सरल समीकरणों में:

एक्स = 2 वाई; वाई - 2x।

आगे क्या होगा? और फिर प्राप्त किए गए दो सरल समीकरणों में से प्रत्येक को समीकरण x 2 - y 2 \u003d 3 के साथ एक प्रणाली में माना जाना चाहिए, जिसे हमने अभी तक याद नहीं किया है। दूसरे शब्दों में, समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करने में समस्या कम हो जाती है:

पहली प्रणाली, दूसरी प्रणाली के लिए समाधान खोजना और उत्तर में सभी परिणामी मूल्यों के जोड़े शामिल करना आवश्यक है। आइए समीकरणों की पहली प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें, खासकर जब से यहां इसके लिए सब कुछ तैयार है: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में एक्स के बजाय एक्सप्रेशन 2y को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

चूंकि x \u003d 2y, हम क्रमशः x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 पाते हैं। इस प्रकार, दिए गए सिस्टम के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (2; 1) और (-2; -1)। आइए समीकरणों की दूसरी प्रणाली को हल करें:

आइए प्रतिस्थापन विधि का फिर से उपयोग करें: हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में y के बजाय अभिव्यक्ति 2x को प्रतिस्थापित करते हैं। पाना

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, जिसका अर्थ है कि समीकरण प्रणाली का कोई हल नहीं है। इस प्रकार, उत्तर में केवल पहली प्रणाली के समाधान शामिल किए जाने चाहिए।

उत्तर: (2; 1); (-2;-1)।

दो चर वाले दो समीकरणों के सिस्टम को हल करने में नए चरों को पेश करने की विधि का उपयोग दो संस्करणों में किया जाता है। पहला विकल्प: सिस्टम के केवल एक समीकरण में एक नया चर पेश किया जाता है और उसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण 3 में ठीक ऐसा ही हुआ। दूसरा विकल्प: सिस्टम के दोनों समीकरणों में एक साथ दो नए चर पेश किए जाते हैं और उनका उपयोग किया जाता है। उदाहरण 4 में ऐसा ही होगा।

उदाहरण 4समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए दो नए चर पेश करें:

हम सीखते हैं कि तब

यह हमें दिए गए सिस्टम को बहुत सरल रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा, लेकिन नए चर a और b के संबंध में:

ए \u003d 1 के बाद से, समीकरण a + 6 \u003d 2 से हम पाते हैं: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. इस प्रकार, चर a और b के लिए, हमें एक हल मिला:

चर x और y पर लौटने पर, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

हम इस प्रणाली को हल करने के लिए बीजीय जोड़ विधि लागू करते हैं:

तब से समीकरण 2x + y = 3 से हम पाते हैं:
इस प्रकार, चर x और y के लिए, हमें एक हल मिला:

आइए इस खंड को एक संक्षिप्त लेकिन गंभीर सैद्धांतिक चर्चा के साथ समाप्त करें। आप पहले ही विभिन्न समीकरणों को हल करने में कुछ अनुभव प्राप्त कर चुके हैं: रैखिक, वर्ग, तर्कसंगत, अपरिमेय। आप जानते हैं कि एक समीकरण को हल करने का मुख्य विचार यह है कि एक समीकरण से दूसरे में धीरे-धीरे जाना, सरल लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर। पिछले भाग में, हमने दो चरों वाले समीकरणों के लिए तुल्यता की धारणा का परिचय दिया था। इस अवधारणा का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों के लिए भी किया जाता है।

परिभाषा।

चर x और y वाले समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके समान समाधान हैं या यदि दोनों प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

इस खंड में हमने जिन तीनों विधियों (प्रतिस्थापन, बीजगणितीय जोड़ और नए चरों का परिचय) की चर्चा की है, वे तुल्यता की दृष्टि से बिल्कुल सही हैं। दूसरे शब्दों में, इन विधियों का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली को दूसरे, सरल, लेकिन मूल प्रणाली के समतुल्य से बदल देते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि

हम पहले ही सीख चुके हैं कि प्रतिस्थापन की विधि, बीजीय योग और नए चरों के परिचय जैसे सामान्य और विश्वसनीय तरीकों से समीकरणों की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए। और अब हम उस विधि को याद करते हैं जिसका अध्ययन आप पिछले पाठ में कर चुके हैं। अर्थात्, आलेखीय समाधान पद्धति के बारे में आप जो जानते हैं उसे दोहराते हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करने की विधि प्रत्येक विशिष्ट समीकरणों के लिए एक ग्राफ का निर्माण है जो इस प्रणाली में शामिल हैं और एक ही समन्वय विमान में हैं, और जहां इन ग्राफों के बिंदुओं के चौराहे को खोजने की आवश्यकता है। . समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए इस बिंदु (x; y) के निर्देशांक हैं।

यह याद रखना चाहिए कि समीकरणों की एक ग्राफिकल प्रणाली के लिए या तो एक ही सही समाधान, या अनंत संख्या में समाधान होना, या समाधान बिल्कुल नहीं होना आम बात है।

आइए अब इनमें से प्रत्येक समाधान पर करीब से नज़र डालें। और इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान हो सकता है यदि रेखाएं, जो कि सिस्टम के समीकरणों के ग्राफ हैं, प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ये रेखाएँ समानांतर हैं, तो समीकरणों की ऐसी प्रणाली का कोई हल नहीं है। प्रणाली के समीकरणों के प्रत्यक्ष रेखांकन के संयोग के मामले में, ऐसी प्रणाली आपको कई समाधान खोजने की अनुमति देती है।

खैर, अब आइए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग करके 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम पर एक नज़र डालें:

सबसे पहले, हम पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं;
दूसरा चरण दूसरे समीकरण से संबंधित एक ग्राफ तैयार करना होगा;
तीसरा, हमें रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है।
और परिणामस्वरूप, हमें प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक मिलते हैं, जो समीकरणों की प्रणाली का समाधान होगा।

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ और अधिक विस्तार से देखें। हमें हल करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

समीकरण हल करना

1. सबसे पहले, हम इस समीकरण का एक ग्राफ बनाएंगे: x2+y2=9।

लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरणों का यह ग्राफ मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त होगा, और इसकी त्रिज्या तीन के बराबर होगी।

2. हमारा अगला कदम एक समीकरण तैयार करना होगा जैसे: y = x - 3।

इस मामले में, हमें एक रेखा बनानी होगी और अंक (0;−3) और (3;0) खोजने होंगे।

3. आइए देखें कि हमें क्या मिला। हम देखते हैं कि रेखा वृत्त को उसके दो बिंदुओं A और B पर काटती है।

अब हम इन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं। हम देखते हैं कि निर्देशांक (3;0) बिंदु A के अनुरूप हैं, और निर्देशांक (0;-3) बिंदु B के अनुरूप हैं।

और इसके परिणामस्वरूप हमें क्या मिलता है?

एक वृत्त के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त संख्याएँ (3;0) और (0;−3) प्रणाली के दोनों समीकरणों के सटीक समाधान हैं। और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये संख्याएँ भी इस समीकरण प्रणाली के हल हैं।

अर्थात्, इस समाधान का उत्तर संख्याएँ हैं: (3;0) और (0;−3)।