विकर्ण-प्रकार के मैट्रिसेस सबसे सरल रूप से व्यवस्थित होते हैं। सवाल यह उठता है कि क्या ऐसा आधार खोजना संभव है जिसमें रैखिक संचालिका के मैट्रिक्स का विकर्ण रूप हो। ऐसा आधार मौजूद है।
मान लीजिए कि एक रैखिक स्थान R n और इसमें कार्यरत एक रैखिक संकारक A दिया गया है; इस मामले में, ऑपरेटर A, R n को अपने आप में लेता है, अर्थात A:R n → R n।

परिभाषा। एक शून्येतर सदिश x को संचालिका A का eigenvector कहा जाता है, यदि संकारक A, x को एक सदिश संरेख में रूपांतरित कर देता है, अर्थात् . संख्या को eigenvector x के संगत ऑपरेटर A का eigenvalue या eigenvalue कहा जाता है।
हम eigenvalues ​​और eigenvectors के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।
1. eigenvectors का कोई रैखिक संयोजन एक ही eigenvalue के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvector समान eigenvalue वाला एक eigenvector है।
2. आइजनवेक्टर संचालिका A, जोड़ीवार भिन्न eigenvalues ​​1 , 2 , …, m के साथ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
3. यदि eigenvalues ​​1 =λ 2 = m = , तो eigenvalue m से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से मेल नहीं खाता है।

इसलिए, यदि n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors हैं विभिन्न eigenvalues ​​​​ 1, λ 2, …, n के अनुरूप, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए, उन्हें अंतरिक्ष R n के आधार के रूप में लिया जा सकता है। आइए हम रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स के रूप को उसके आइजेनवेक्टर के आधार पर खोजें, जिसके लिए हम ऑपरेटर ए के साथ वैक्टर के आधार पर कार्य करते हैं: तब .
इस प्रकार, रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स में इसके eigenvectors के आधार पर एक विकर्ण रूप होता है, और ऑपरेटर ए के eigenvalues ​​​​विकर्ण पर होते हैं।
क्या कोई अन्य आधार है जिसमें मैट्रिक्स का विकर्ण रूप है? इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय। आधार में एक रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स (i = 1..n) में एक विकर्ण रूप होता है यदि और केवल अगर आधार के सभी वैक्टर ऑपरेटर ए के आइजेनवेक्टर हैं।

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजने के लिए नियम

चलो वेक्टर , जहां x 1 , x 2 , …, x n - आधार के सापेक्ष सदिश x के निर्देशांक और x, रेखीय संकारक A का eigenvector है, जो eigenvalue के संगत है, अर्थात । इस संबंध को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

. (*)

समीकरण (*) को x खोजने के लिए एक समीकरण के रूप में माना जा सकता है, और, अर्थात, हम गैर-तुच्छ समाधानों में रुचि रखते हैं, क्योंकि eigenvector शून्य नहीं हो सकता। यह ज्ञात है कि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के गैर-तुच्छ समाधान मौजूद हैं यदि और केवल अगर det(A - E) = 0. इस प्रकार, λ के लिए ऑपरेटर A का एक आइजनवैल्यू होना आवश्यक और पर्याप्त है कि det(A - E) ) = 0.
यदि समीकरण (*) को निर्देशांक रूप में विस्तार से लिखा जाए, तो हमें रैखिक समांगी समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है:

(1)
कहाँ पे रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स है।

सिस्टम (1) का एक गैर-शून्य समाधान है यदि इसका निर्धारक डी शून्य के बराबर है

हमें eigenvalues ​​खोजने के लिए एक समीकरण मिला है।
इस समीकरण को अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है, और इसके बाईं ओर को मैट्रिक्स (ऑपरेटर) A का विशेषता बहुपद कहा जाता है। यदि विशेषता बहुपद की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो मैट्रिक्स A में कोई आइजनवेक्टर नहीं है और इसे विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।
मान लीजिए λ 1, λ 2, …, n अभिलक्षणिक समीकरण के वास्तविक मूल हैं, और उनमें गुणज भी हो सकते हैं। इन मूल्यों को बदले में सिस्टम (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम eigenvectors पाते हैं।

उदाहरण 12. रैखिक ऑपरेटर ए कानून के अनुसार आर 3 में कार्य करता है, जहां x 1, x 2, .., x n आधार में वेक्टर के निर्देशांक हैं , , . इस ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।
फेसला। हम इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं:
.
हम eigenvectors के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली बनाते हैं:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और इसे हल करते हैं:

.
1,2 = -1, 3 = 3।
सिस्टम में = -1 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:
या
जैसा , तो दो आश्रित चर और एक मुक्त चर हैं।
मान लीजिए x 1 एक मुक्त अज्ञात है, तब हम इस प्रणाली को किसी भी तरह से हल करते हैं और इस प्रणाली का सामान्य समाधान ढूंढते हैं: समाधान की मौलिक प्रणाली में एक समाधान होता है, क्योंकि n - r = 3 - 2 = 1।
eigenvalue = -1 के अनुरूप eigenvectors के सेट का रूप है: , जहां x 1 शून्य के अलावा कोई भी संख्या है। आइए इस सेट से एक वेक्टर चुनें, उदाहरण के लिए, x 1 = 1 सेट करके: .
इसी तरह तर्क करते हुए, हम eigenvalue = 3 के अनुरूप eigenvector पाते हैं: .
अंतरिक्ष R 3 में आधार में तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर होते हैं, लेकिन हमने केवल दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजेनवेक्टर प्राप्त किए हैं, जिनसे R 3 में आधार नहीं बनाया जा सकता है। नतीजतन, एक रैखिक ऑपरेटर के मैट्रिक्स ए को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 13 एक मैट्रिक्स दिया गया .
1. सिद्ध कीजिए कि सदिश मैट्रिक्स A का एक eigenvector है। इस eigenvector के अनुरूप eigenvalue खोजें।
2. एक आधार खोजें जिसमें मैट्रिक्स A का विकर्ण रूप हो।
फेसला।
1. यदि , तो x एक eigenvector है

.
सदिश (1, 8, -1) एक eigenvector है। आइजनवैल्यू = -1।
मैट्रिक्स के आधार में एक विकर्ण रूप है जिसमें eigenvectors शामिल हैं। उनमें से एक प्रसिद्ध है। चलिए बाकी ढूंढते हैं।
हम सिस्टम से eigenvectors की तलाश कर रहे हैं:

विशेषता समीकरण: ;
(3 + )[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
1 = -3, 2 = 1, 3 = -1।
eigenvalue = -3 के अनुरूप eigenvector खोजें:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है और अज्ञात की संख्या के बराबर है, इसलिए इस प्रणाली का केवल एक शून्य समाधान x 1 = x 3 = 0 है। x 2 यहां शून्य के अलावा कुछ भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, x 2 = 1. इस प्रकार, सदिश (0,1,0) = -3 के संगत एक eigenvector है। चलो देखते है:
.
यदि = 1, तो हमें निकाय प्राप्त होता है
मैट्रिक्स की रैंक दो है। अंतिम समीकरण को पार करें।
मान लीजिए x 3 मुक्त अज्ञात है। फिर x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
x 3 = 1 मानते हुए, हमारे पास (-3,-9,1) - eigenvalue = 1 के अनुरूप एक eigenvector है। जाँच करें:

.
चूंकि eigenvalues ​​​​वास्तविक और भिन्न हैं, उनके अनुरूप वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए उन्हें R 3 में आधार के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार, आधार में , , मैट्रिक्स ए का रूप है:
.
एक रैखिक संकारक A:R n → R n के प्रत्येक मैट्रिक्स को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कुछ रैखिक ऑपरेटरों के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से कम हो सकते हैं। हालाँकि, यदि मैट्रिक्स सममित है, तो बिल्कुल m रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर गुणन m के विशेषता समीकरण की जड़ के अनुरूप हैं।

परिभाषा। एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित तत्व समान होते हैं, अर्थात जिसमें .
टिप्पणियों। 1. एक सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।
2. एक सममित मैट्रिक्स के eigenvectors जोड़े में अलग-अलग eigenvalues ​​​​के अनुरूप ऑर्थोगोनल हैं।
अध्ययन किए गए उपकरण के कई अनुप्रयोगों में से एक के रूप में, हम दूसरे क्रम के वक्र के रूप को निर्धारित करने की समस्या पर विचार करते हैं।

परिभाषा 9.3.वेक्टर एक्स बुलाया खुद का वेक्टरमैट्रिक्स लेकिनअगर ऐसी कोई संख्या है λ, कि समानता रखती है: लेकिन एक्स= λ एक्स, अर्थात्, आवेदन करने का परिणाम एक्स मैट्रिक्स द्वारा दिया गया रैखिक परिवर्तन लेकिन, संख्या से इस सदिश का गुणन है λ . नंबर ही λ बुलाया अपना नंबरमैट्रिक्स लेकिन.

सूत्रों में प्रतिस्थापन (9.3) x` j = x j ,हम eigenvector के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

. (9.5)

इस रैखिक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान तभी होगा जब इसका मुख्य निर्धारक 0 (क्रैमर का नियम) हो। इस शर्त को फॉर्म में लिखकर:

हमें eigenvalues ​​निर्धारित करने के लिए एक समीकरण मिलता है λ बुलाया विशेषता समीकरण. संक्षेप में, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

| ए-λई | = 0, (9.6)

चूँकि इसका बायाँ भाग आव्यूह का निर्धारक है ए-λई. के संबंध में बहुपद | ए-λई| बुलाया विशेषता बहुपदमैट्रिसेस ए.

विशेषता बहुपद के गुण:

1) एक रैखिक परिवर्तन की विशेषता बहुपद आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। प्रमाण। (देखें (9.4)), लेकिन इस तरह, । इस प्रकार, आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, और | ए-λई| नए आधार पर संक्रमण पर नहीं बदलता है।

2) यदि मैट्रिक्स लेकिनरैखिक परिवर्तन है सममित(वे। एक ij = एक जी), तो अभिलक्षणिक समीकरण (9.6) के सभी मूल वास्तविक संख्याएँ हैं।

eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

1) यदि हम eigenvectors में से एक आधार चुनते हैं एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 eigenvalues ​​के अनुरूप 1 , 2 , 3मैट्रिक्स लेकिन, तो इस आधार पर रैखिक परिवर्तन ए में एक विकर्ण मैट्रिक्स है:

(9.7) इस गुण का प्रमाण eigenvectors की परिभाषा से मिलता है।

2) यदि परिवर्तन eigenvalues लेकिनभिन्न हैं, तो उनके संगत eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

3) यदि आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद लेकिनतीन अलग-अलग जड़ें हैं, तो किसी आधार पर मैट्रिक्स लेकिनएक विकर्ण आकार है।

आइए मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें आइए विशेषता समीकरण बनाएं: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ - 7 λ + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

प्रत्येक पाए गए मान के अनुरूप eigenvectors के निर्देशांक खोजें λ. (9.5) से यह इस प्रकार है कि यदि एक्स (1) ={एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3) के अनुरूप आइजनवेक्टर है λ 1 = -2, तब

एक सहयोगी लेकिन अनिश्चित प्रणाली है। इसका हल इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स (1) ={ए,0,-ए), जहां a कोई संख्या है। विशेष रूप से, यदि आपको इसकी आवश्यकता है | एक्स (1) |=1, एक्स (1) =

सिस्टम में प्रतिस्थापन (9.5) λ 2 = 3, हमें दूसरे eigenvector के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली मिलती है - एक्स (2) ={y1,y2,y3}:

, कहाँ पे एक्स (2) ={बी,-बी,बी) या, प्रदान किया गया | एक्स (2) |=1, एक्स (2) =

के लिए λ 3 = 6 eigenvector खोजें एक्स (3) ={जेड1, जेड2, जेड3}:

, एक्स (3) ={सी,2सी, सी) या सामान्यीकृत संस्करण में

एक्स (3) = यह देखा जा सकता है एक्स (1) एक्स (2) = अब-अब= 0, एक्स (1) एक्स (3) = एसी-एसी= 0, एक्स (2) एक्स (3) = बीसी- 2बीसी + बीसी= 0. इस प्रकार, इस मैट्रिक्स के eigenvectors जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं।

व्याख्यान 10

द्विघात रूप और सममित मैट्रिक्स के साथ उनका संबंध। एक सममित मैट्रिक्स के eigenvectors और eigenvalues ​​​​के गुण। द्विघात रूप को विहित रूप में घटाना।

परिभाषा 10.1।द्विघात रूपवास्तविक चर एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एनइन चरों के संबंध में दूसरी डिग्री के बहुपद को कहा जाता है, जिसमें एक मुक्त शब्द और पहली डिग्री की शर्तें शामिल नहीं होती हैं।

द्विघात रूपों के उदाहरण:

(एन = 2),

(एन = 3). (10.1)

पिछले व्याख्यान में दी गई सममित मैट्रिक्स की परिभाषा को याद करें:

परिभाषा 10.2.वर्ग मैट्रिक्स को कहा जाता है सममित, यदि , अर्थात्, यदि मैट्रिक्स तत्व मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित हैं, तो समान हैं।

सममित मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

1) एक सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।

सबूत (के लिए एन = 2).

चलो मैट्रिक्स लेकिनकी तरह लगता है: . आइए विशेषता समीकरण बनाते हैं:

(10.2) विभेदक का पता लगाएं:

इसलिए, समीकरण के केवल वास्तविक मूल हैं।

2) सममित मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर ओर्थोगोनल होते हैं।

सबूत (के लिए एन= 2).

eigenvectors के निर्देशांक और समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।

व्याख्यान 9

निर्देशांक के रैखिक परिवर्तन। मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर और आइजेनवैल्यू, उनके गुण। एक मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद, इसके गुण।

हम कहेंगे कि सदिशों के समुच्चय परआरदिया गया परिवर्तन लेकिन , यदि प्रत्येक वेक्टर एक्स आर कुछ नियम के अनुसार, वेक्टर लेकिन एक्स आर.

परिभाषा 9.1.परिवर्तन लेकिन बुलाया रैखिक, यदि किसी वैक्टर के लिए एक्स और पर और किसी भी वास्तविक संख्या के लिए λ समानताएं पूरी होती हैं:

लेकिन( एक्स + पर )=लेकिन एक्स+ ए पर ,ए(λ एक्स ) = ए एक्स. (9.1)

परिभाषा 9.2.रैखिक परिवर्तन कहा जाता है सदृश, अगर यह किसी भी वेक्टर को बदल देता है एक्स अपने आप में।

पहचान परिवर्तन दर्शाया गया है उसकी एक्स= एक्स .

आधार के साथ त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें ई 1 , ई 2, ई 3 , जिसमें रैखिक परिवर्तन निर्दिष्ट है लेकिन. इसे आधार सदिशों पर लागू करने पर, हमें सदिश मिलते हैं लेकिन ई 1, लेकिन ई 2, लेकिन ई 3 इस त्रि-आयामी अंतरिक्ष से संबंधित। इसलिए, उनमें से प्रत्येक को आधार वैक्टर के संदर्भ में एक अनोखे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है:

लेकिन इ 1 = एक 11 ई 1+ एक 21 ई 2+ए 31 ई 3,

लेकिन इ 2 = एक 12 ई 1+ ए 22 ई 2+ एक 32 ई 3 ,(9.2)

लेकिन ई 3= एक 13 ई 1+ एक 23 ई 2+ एक 33 ई 3 .

आव्यूह बुलाया रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स लेकिन आधार पर ई 1 , ई 2, ई 3 . इस मैट्रिक्स के कॉलम आधार परिवर्तन के सूत्रों (9.2) में गुणांक से बने होते हैं।

टिप्पणी। जाहिर है, पहचान परिवर्तन का मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स है इ.

एक मनमाना वेक्टर के लिए एक्स = एक्स 1 ई 1+ एक्स 2 ई 2+ एक्स 3 ई 3 इसमें एक रैखिक परिवर्तन लागू करने का परिणाम लेकिनविल वेक्टर लेकिन एक्स, जिसे उसी आधार के वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता है: लेकिन एक्स =x` 1 ई 1+ एक्स` 2 ई 2+ एक्स `3 ई 3 , जहां निर्देशांकएक्स` मैंसूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एक्स1 = 1 11 x 1 + ए 12 x 2 + ए 13 x 3 ,

x` 2 = ए 21 x 1 + ए 22 x 2 + ए 23 x 3,(9.3)

एक्स` 3 = ए 31 एक्स 1 + ए 32 एक्स 2 + ए 33 एक्स 3 .

इस रैखिक परिवर्तन के सूत्रों में गुणांक मैट्रिक्स की पंक्तियों के तत्व हैं लेकिन.

रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स परिवर्तन

एक नए आधार पर जाने पर।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक रैखिक परिवर्तन ए और दो आधारों पर विचार करें: ई 1, ई 2, ई 3 और इ 1 , इ 2 , इ 3 . मैट्रिक्स सी को आधार से संक्रमण सूत्रों को परिभाषित करने दें (इ क) के आधार पर ( इ क) यदि इनमें से पहले आधार में चुना गया रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स ए द्वारा दिया जाता है, और दूसरे में - मैट्रिक्स द्वारा लेकिन, तब हम इन आव्यूहों के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात्:

ए \u003d सी -1 लेकिनसी (9.4)

दरअसल, तब लेकिन . दूसरी ओर, समान रैखिक परिवर्तन लागू करने के परिणाम लेकिनआधार पर (इ क), अर्थात। , और आधार में (इ क ): क्रमशः - मैट्रिक्स द्वारा जुड़े हुए हैं साथ में: , जहां से यह इस प्रकार है एसए = लेकिनसाथ में. इस समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करने पर साथ में-1, हमें मिलता है साथ में -1 सीए = = सी -1 लेकिनसाथ में, जो सूत्र (9.4) की वैधता को सिद्ध करता है।

मैट्रिक्स के eigenvalues ​​और eigenvectors।

परिभाषा 9.3.वेक्टर एक्स बुलाया खुद का वेक्टरमैट्रिक्स लेकिनअगर ऐसी कोई संख्या है λ, कि समानता रखती है: लेकिन एक्स= λ एक्स, अर्थात्, आवेदन करने का परिणाम एक्स मैट्रिक्स द्वारा दिया गया रैखिक परिवर्तन लेकिन, संख्या से इस सदिश का गुणन है λ . नंबर ही λ बुलाया अपना नंबरमैट्रिक्स लेकिन.

सूत्रों में प्रतिस्थापन (9.3)एक्स` जे = λ एक्स जे, हम eigenvector के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

.

यहां से

.(9.5)

यह रैखिक सजातीयसिस्टम का एक गैर-तुच्छ समाधान तभी होगा जब इसका मुख्य निर्धारक 0 (क्रैमर का नियम) हो। इस शर्त को फॉर्म में लिखकर:

हमें eigenvalues ​​निर्धारित करने के लिए एक समीकरण मिलता है λ बुलाया विशेषता समीकरण. संक्षेप में, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

| ए -λ इ | = 0,(9.6)

चूँकि इसका बायाँ भाग आव्यूह का निर्धारक है लेकिन- ई. के संबंध में बहुपद λ| ए -λ इ| बुलाया विशेषता बहुपदमैट्रिसेस ए.

विशेषता बहुपद के गुण:

1) एक रैखिक परिवर्तन का अभिलक्षणिक बहुपद आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। (देखें (9.4) के साथ), लेकिन इस तरह, । इस प्रकार, आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, और |ए-λ इ| नए आधार पर संक्रमण पर नहीं बदलता है।

2) यदि मैट्रिक्स लेकिनरैखिक परिवर्तन है सममित(वे। ए आईजेयू= एक जिओ), तो अभिलक्षणिक समीकरण (9.6) के सभी मूल वास्तविक संख्याएँ हैं।

eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

1) यदि हम eigenvectors में से एक आधार चुनते हैं एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 eigenvalues ​​के अनुरूप 1 , 2 , 3मैट्रिक्स लेकिन, तो इस आधार पर रैखिक परिवर्तन ए में एक विकर्ण मैट्रिक्स है:

(9.7) इस गुण का प्रमाण eigenvectors की परिभाषा से मिलता है।

2) यदि परिवर्तन eigenvalues लेकिनभिन्न हैं, तो उनके संगत eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

3) यदि आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद लेकिनतीन अलग-अलग जड़ें हैं, तो किसी आधार पर मैट्रिक्स लेकिनएक विकर्ण आकार है।

उदाहरण।

आइए मैट्रिक्स C के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें, विशेषता समीकरण को छोड़ दें: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ - 7 λ + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

प्रत्येक पाए गए मान के अनुरूप eigenvectors के निर्देशांक खोजें λ. (9.5) से यह इस प्रकार है कि यदि एक्स (1) ={ एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) के अनुरूप आइजनवेक्टर है λ 1 = -2, तब

एक सहयोगी लेकिन अनिश्चित प्रणाली है। इसका हल इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स (1) ={ ए,0,- ए), जहां a कोई संख्या है। विशेष रूप से, यदि आपको इसकी आवश्यकता है |एक्स (1) |=1, एक्स (1) =

सिस्टम में प्रतिस्थापन (9.5) λ 2 = 3, हमें दूसरे eigenvector के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली मिलती है-एक्स (2) ={ आप 1 , आप 2 , आप 3

निर्देशांक के रैखिक परिवर्तन। मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर और आइजेनवैल्यू, उनके गुण। एक मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद, इसके गुण।

हम कहेंगे कि सदिशों के समुच्चय पर आरदिया गया परिवर्तनलेकिन , यदि प्रत्येक वेक्टर एक्स आर कुछ नियम के अनुसार, वेक्टर लेकिनएक्स आर.

परिभाषा 9.1.परिवर्तन लेकिनबुलाया रैखिक, यदि किसी वैक्टर के लिए एक्स और पर और किसी भी वास्तविक संख्या के लिए λ समानताएं पूरी होती हैं:

लेकिन(एक्स + पर )=लेकिनएक्स + एपर ,ए(λएक्स ) =एएक्स . (9.1)

परिभाषा 9.2.रैखिक परिवर्तन कहा जाता है सदृश, अगर यह किसी भी वेक्टर को बदल देता है एक्स अपने आप में।

पहचान परिवर्तन दर्शाया गया है उसकीएक्स = एक्स .

आधार के साथ त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें इ 1 , इ 2 , इ 3 , जिसमें रैखिक परिवर्तन निर्दिष्ट है लेकिन. इसे आधार सदिशों पर लागू करने पर, हमें सदिश मिलते हैं लेकिनइ 1 , लेकिनइ 2 , लेकिनइ 3 इस त्रि-आयामी अंतरिक्ष से संबंधित। इसलिए, उनमें से प्रत्येक को आधार वैक्टर के संदर्भ में एक अनोखे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है:

लेकिनइ 1 = ए 11 इ 1 + ए 21 इ 2 +ए 31 इ 3 ,

लेकिनइ 2 = ए 12 इ 1 + ए 22 इ 2 + ए 32 इ 3 , (9.2)

लेकिनइ 3 = ए 13 इ 1 + ए 23 इ 2 + ए 33 इ 3 .

आव्यूह
बुलाया रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्सलेकिन आधार पर इ 1 , इ 2 , इ 3 . इस मैट्रिक्स के कॉलम आधार परिवर्तन के सूत्रों (9.2) में गुणांक से बने होते हैं।

टिप्पणी। जाहिर है, पहचान परिवर्तन का मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स है इ.

एक मनमाना वेक्टर के लिए एक्स =x 1 इ 1 + एक्स 2 इ 2 + एक्स 3 इ 3 इसमें एक रैखिक परिवर्तन लागू करने का परिणाम लेकिनविल वेक्टर लेकिनएक्स , जिसे उसी आधार के वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता है: लेकिनएक्स =x` 1 इ 1 + x` 2 इ 2 + x` 3 इ 3 , जहां निर्देशांक एक्स` मैंसूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एक्स` 1 = ए 11 एक्स 1 + ए 12 एक्स 2 + ए 13 एक्स 3 ,

x` 2 = ए 21 एक्स 1 + ए 22 एक्स 2 + ए 23 एक्स 3 , (9.3)

एक्स` 3 = ए 31 एक्स 1 + ए 32 एक्स 2 + ए 33 एक्स 3 .

इस रैखिक परिवर्तन के सूत्रों में गुणांक मैट्रिक्स की पंक्तियों के तत्व हैं लेकिन.

रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स परिवर्तन

एक नए आधार पर जाने पर।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक रैखिक परिवर्तन ए और दो आधारों पर विचार करें: इ 1 , इ 2 , इ 3 और इ 1 , इ 2 , इ 3 . मैट्रिक्स सी को आधार से संक्रमण सूत्रों को परिभाषित करने दें ( इ क) के आधार पर ( इ क) यदि इनमें से पहले आधार में मैट्रिक्स ए द्वारा चुना गया रैखिक परिवर्तन दिया गया है, और दूसरे में - मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है लेकिन, तब हम इन आव्यूहों के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात्:

ए \u003d सी -1 लेकिनसी (9.4)

सच में,
, तब लेकिन
. दूसरी ओर, समान रैखिक परिवर्तन लागू करने के परिणाम लेकिनआधार पर ( इ क), अर्थात। , और आधार में ( इ क ): क्रमश - एक मैट्रिक्स द्वारा जुड़ा हुआ साथ में:
, जहां से यह इस प्रकार है एसए =लेकिन साथ में. इस समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर से गुणा करने पर साथ में-1, हमें मिलता है साथ में - 1 सीए = = सी -1 लेकिन साथ में, जो सूत्र (9.4) की वैधता को सिद्ध करता है।

मैट्रिक्स के eigenvalues ​​और eigenvectors।

परिभाषा 9.3.वेक्टर एक्स बुलाया खुद का वेक्टरमैट्रिक्स लेकिनअगर ऐसी कोई संख्या है λ, कि समानता रखती है: लेकिनएक्स = λ एक्स , अर्थात्, आवेदन करने का परिणाम एक्स मैट्रिक्स द्वारा दिया गया रैखिक परिवर्तन लेकिन, संख्या से इस सदिश का गुणन है λ . नंबर ही λ बुलाया अपना नंबरमैट्रिक्स लेकिन.

सूत्रों में प्रतिस्थापन (9.3) एक्स` जे = λ एक्स जे , हम eigenvector के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

.

. (9.5)

इस रैखिक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान तभी होगा जब इसका मुख्य निर्धारक 0 (क्रैमर का नियम) हो। इस शर्त को फॉर्म में लिखकर:

हमें eigenvalues ​​निर्धारित करने के लिए एक समीकरण मिलता है λ बुलाया विशेषता समीकरण. संक्षेप में, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

| ए - λ इ| = 0, (9.6)

चूँकि इसका बायाँ भाग आव्यूह का निर्धारक है ए-λई. के संबंध में बहुपद λ | ए - λ इ| बुलाया विशेषता बहुपदमैट्रिसेस ए.

विशेषता बहुपद के गुण:

eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

यदि हम eigenvectors में से एक आधार चुनते हैं एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 eigenvalues ​​के अनुरूप λ 1 , λ 2 , λ 3 मैट्रिक्स लेकिन, तो इस आधार पर रैखिक परिवर्तन ए में एक विकर्ण मैट्रिक्स है:

(9.7) इस गुण का प्रमाण eigenvectors की परिभाषा से मिलता है।

यदि परिवर्तन eigenvalues लेकिनभिन्न हैं, तो उनके संगत eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

यदि आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद लेकिनतीन अलग-अलग जड़ें हैं, तो किसी आधार पर मैट्रिक्स लेकिनएक विकर्ण आकार है।

आइए मैट्रिक्स के eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें आइए विशेषता समीकरण बनाते हैं:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ - 7 λ + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

प्रत्येक पाए गए मान के अनुरूप eigenvectors के निर्देशांक खोजें λ. (9.5) से यह इस प्रकार है कि यदि एक्स (1) ={एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) के अनुरूप आइजनवेक्टर है λ 1 = -2, तब

एक सहयोगी लेकिन अनिश्चित प्रणाली है। इसका हल इस प्रकार लिखा जा सकता है एक्स (1) ={ए,0,-ए), जहां a कोई संख्या है। विशेष रूप से, यदि आपको इसकी आवश्यकता है | एक्स (1) |=1,एक्स (1) =

सिस्टम में प्रतिस्थापन (9.5) λ 2 = 3, हमें दूसरे eigenvector के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली मिलती है - एक्स (2) ={आप 1 , आप 2 , आप 3 }:

, कहाँ पे एक्स (2) ={बी,- बी, बी) या, प्रदान किया गया | एक्स (2) |=1,एक्स (2) =

के लिए λ 3 = 6 eigenvector खोजें एक्स (3) ={जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 }:

,एक्स (3) ={सी,2 सी, सी) या सामान्यीकृत संस्करण में

एक्स (3) =
यह देखा जा सकता है एक्स (1) एक्स (2) =अब – अब = 0,एक्स (1) एक्स (3) =एसी – एसी = 0,एक्स (2) एक्स (3) =बीसी - 2बीसी + बीसी = 0. इस प्रकार, इस मैट्रिक्स के eigenvectors जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं।