वास्तविक संकेतक के साथ डिग्री की तुलना। एक प्राकृतिक संकेतक और उसके गुणों के साथ डिग्री

एक वैध संकेतक के साथ डिग्री विषय पर प्रथम वर्ष के छात्र का स्वतंत्र कार्य। वास्तविक घातांक के साथ डिग्री गुण (6 घंटे)

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संदर्भ और उपदेशात्मक सामग्री नीचे दी गई है।

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा पर

सबके कुछसामान्य

पहले के पारलौकिक कार्यों के प्रकार

पूरी तरह से सांकेतिक, खुली पहुंच

कई अध्ययन।

एल. ईलेर

तेजी से जटिल बीजगणितीय समस्याओं को हल करने और शक्तियों के साथ काम करने के अभ्यास से, एक डिग्री की अवधारणा को सामान्य बनाना और एक घातांक के रूप में शून्य, नकारात्मक और भिन्नात्मक संख्याओं को पेश करके इसका विस्तार करना आवश्यक हो गया।

15वीं शताब्दी की शुरुआत में उनके लेखन में समानता a 0 = 1 (के लिए) का इस्तेमाल किया गया था। समरकंद वैज्ञानिक अल-काशी। उसके बावजूद, शून्य सूचक को 15 वीं शताब्दी में एन शुक द्वारा पेश किया गया था। उत्तरार्द्ध ने नकारात्मक प्रतिपादकों को भी पेश किया। भिन्नात्मक प्रतिपादकों का विचार उनके में फ्रांसीसी गणितज्ञ एन. ओरेम (XIV सदी) में निहित है

काम "अनुपात का एल्गोरिदम"। हमारे संकेत के बजाय, उन्होंने लिखा, इसके बजाय उन्होंने 4 लिखा। ओरेम मौखिक रूप से डिग्री के साथ कार्यों के लिए नियम तैयार करता है, उदाहरण के लिए (आधुनिक संकेतन में): , आदि।

बाद में, जर्मन गणितज्ञ एम. स्टिफ़ेल और एस. स्टीवन द्वारा "पूर्ण अंकगणित" (1544) में भिन्नात्मक, साथ ही नकारात्मक, घातांक पाए जाते हैं। उत्तरार्द्ध लिखते हैं कि डिग्री की जड़ पीसंख्या से एडिग्री के रूप में गिना जा सकता है एअंश के साथ।

शून्य, नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतकों और आधुनिक प्रतीकों को पेश करने की समीचीनता सबसे पहले 1665 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस द्वारा लिखी गई थी। उनका काम आई। न्यूटन ने पूरा किया, जिन्होंने व्यवस्थित रूप से नए प्रतीकों को लागू करना शुरू किया, जिसके बाद उन्होंने आम उपयोग में प्रवेश किया।

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का परिचय गणितीय क्रिया की अवधारणा के सामान्यीकरण के कई उदाहरणों में से एक है। शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि कार्रवाई के समान नियम उस पर लागू होते हैं जैसे कि एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, यानी, ताकि डिग्री की मूल रूप से परिभाषित अवधारणा के मूल गुण संरक्षित रहे। , अर्थात्:

एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की नई परिभाषा एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की पुरानी परिभाषा का खंडन नहीं करती है, अर्थात, एक डिग्री के विशेष मामले के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की नई परिभाषा का अर्थ संरक्षित है। प्राकृतिक प्रतिपादक। गणितीय अवधारणाओं के सामान्यीकरण में देखे गए इस सिद्धांत को स्थायित्व (संरक्षण, स्थिरता) का सिद्धांत कहा जाता है। इसे 1830 में अंग्रेजी गणितज्ञ जे. पीकॉक द्वारा अपूर्ण रूप में व्यक्त किया गया था, और यह 1867 में जर्मन गणितज्ञ जी. हैंकेल द्वारा पूरी तरह और स्पष्ट रूप से स्थापित किया गया था। एक संख्या की अवधारणा को सामान्य बनाने और विस्तार करते समय स्थायित्व का सिद्धांत भी देखा जाता है। यह एक वास्तविक संख्या की अवधारणा के लिए है, और इससे पहले एक अंश द्वारा गुणा की अवधारणा की शुरूआत, आदि।

पावर फंक्शन औरग्राफिकसमीकरणों को हल करना औरअसमानताओं

निर्देशांक और विश्लेषणात्मक ज्यामिति की विधि की खोज के लिए धन्यवाद, 17 वीं शताब्दी से शुरू होता है। फलनों का सामान्य रूप से लागू आलेखीय अध्ययन और समीकरणों का आलेखीय समाधान संभव हो गया।

शक्तिएक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन है

जहाँ α एक अचर वास्तविक संख्या है। प्रारंभ में, हालांकि, हम खुद को α के तर्कसंगत मूल्यों तक सीमित रखते हैं और समानता के बजाय (1) हम लिखते हैं:

कहाँ पे - परिमेय संख्या। क्रमशः और परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

पर=1, वाई = एक्स।

अनुसूचीविमान पर इन कार्यों में से पहला अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है ओह,और दूसरा पहले और तीसरे समन्वय कोणों का द्विभाजक है।

जब फ़ंक्शन ग्राफ़ एक परवलय होता है . डेसकार्टेस, जिन्होंने प्रथम अज्ञात को किसके द्वारा निरूपित किया? जेड, दूसरा - के माध्यम से वाई,तीसरा - के माध्यम से एक्स:, परवलय समीकरण इस तरह लिखा: ( जेड- एब्सिस्सा)। वह अक्सर समीकरणों को हल करने के लिए परवलय का इस्तेमाल करते थे। हल करने के लिए, उदाहरण के लिए, चौथी डिग्री समीकरण

प्रतिस्थापन के माध्यम से डेसकार्टेस

दो अज्ञात के साथ द्विघात समीकरण मिला:

एक विमान में स्थित एक वृत्त का चित्रण (जेडएक्स) के साथपरवलय (4). इस प्रकार, डेसकार्टेस, दूसरे अज्ञात का परिचय देते हैं (एक्स),समीकरण (3) को दो समीकरणों (4) और (5) में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक बिंदुओं के एक निश्चित स्थान का प्रतिनिधित्व करता है। उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण (3) के मूल देते हैं।

“एक दिन राजा ने अपने दरबारियों में से अपना पहला सहायक चुनने का फैसला किया। वह सभी को एक विशाल महल में ले गया। "जो पहले इसे खोलेगा वह पहला सहायक होगा।" किसी ने महल को छुआ तक नहीं। केवल एक वजीर ने आकर ताला खोला, जो खुल गया। यह बंद नहीं था।

तब राजा ने कहा: "आपको यह पद प्राप्त होगा क्योंकि आप न केवल जो देखते और सुनते हैं उस पर भरोसा करते हैं, बल्कि अपनी ताकत पर भरोसा करते हैं और प्रयास करने से डरते नहीं हैं।"

और आज हम कोशिश करेंगे, सही निर्णय पर आने की कोशिश करेंगे।

1. शब्द किस गणितीय अवधारणा से जुड़े हैं:

आधार

संकेतक (डिग्री)

कौन से शब्द शब्दों को जोड़ सकते हैं:

परिमेय संख्या

पूर्णांक

प्राकृतिक संख्या

अपरिमेय संख्या (वास्तविक संख्या)

पाठ का विषय तैयार करें। (वास्तविक घातांक के साथ शक्ति)

- डिग्री के गुणों को दोहराएं

- भावों की गणना और सरलीकरण में डिग्री गुणों के उपयोग पर विचार करें

- कम्प्यूटेशनल कौशल का विकास।

अत: a p, जहाँ p एक वास्तविक संख्या है।

उदाहरण दें (व्यंजकों में से चुनें 5-2, , 43, ) डिग्री

- एक प्राकृतिक संकेतक के साथ

- पूर्णांक मान के साथ

- एक तर्कसंगत संकेतक के साथ

- एक तर्कहीन संकेतक के साथ

a के किन मूल्यों के लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है?

a n , जहाँ n (a कोई है)

a m , जहाँ m (और 0 के बराबर नहीं) ऋणात्मक घातांक से धनात्मक घातांक तक कैसे जाएँ?

जहां पी, क्यू (ए> 0)

डिग्री के साथ कौन सी क्रियाएं (गणितीय संचालन) की जा सकती हैं?

मैच सेट करें:

समान आधारों से घातों को गुणा करने पर

आधारों को गुणा किया जाता है, लेकिन घातांक वही रहता है

शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करते समय

आधार विभाजित हैं, लेकिन घातांक वही रहता है


तय होने के बाद की डिग्री, के बारे में बात करना तर्कसंगत है डिग्री गुण. इस लेख में, हम सभी संभावित घातांकों को स्पर्श करते हुए, किसी संख्या की घात के मूल गुण देंगे। यहां हम डिग्री के सभी गुणों का प्रमाण देंगे, और यह भी दिखाएंगे कि उदाहरणों को हल करते समय इन गुणों को कैसे लागू किया जाता है।

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प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के गुण

द्वारा एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का निर्धारण n की घात n कारकों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है। इस परिभाषा के आधार पर, और प्रयोग वास्तविक संख्या गुणन गुण, हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं और उसका औचित्य सिद्ध कर सकते हैं प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

  1. डिग्री की मुख्य संपत्ति a m ·a n =a m+n , इसका सामान्यीकरण ;
  2. समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों का गुण a m:a n =a m−n ;
  3. उत्पाद डिग्री संपत्ति (ए बी) एन =ए एन बी एन, इसका विस्तार;
  4. प्रकार में भागफल संपत्ति (a:b) n =a n:b n;
  5. घातांक (ए एम) एन =ए एम एन, इसका सामान्यीकरण (((एक एन 1) एन 2) ...) एन के =ए एन 1 एन 2 ... एन के;
  6. शून्य के साथ डिग्री की तुलना:
    • अगर a>0 , तो a n >0 किसी भी प्राकृतिक n के लिए;
    • अगर a=0 , तो a n =0 ;
    • यदि एक<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 अगर ए<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और a
  8. यदि m और n प्राकृत संख्याएँ हैं जैसे कि m>n , तो 0 . पर 0 असमानता a m >a n सत्य है।

हम तुरंत ध्यान दें कि सभी लिखित समानताएं हैं सदृशनिर्दिष्ट शर्तों के तहत, और उनके दाएं और बाएं हिस्सों को आपस में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न का मुख्य गुण a m a n = a m + n with भावों का सरलीकरणअक्सर a m+n = a m a n के रूप में उपयोग किया जाता है।

आइए अब उनमें से प्रत्येक को विस्तार से देखें।

    आइए एक ही आधार वाले दो घातों के गुणनफल के गुण से शुरू करते हैं, जिसे कहा जाता है डिग्री की मुख्य संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n सत्य है।

    आइए हम डिग्री की मुख्य संपत्ति को साबित करें। एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा के अनुसार, a m a n के समान आधार वाली शक्तियों के उत्पाद को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। गुणन के गुणों के कारण, परिणामी व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और यह उत्पाद प्राकृतिक घातांक m+n के साथ a की शक्ति है, अर्थात a m+n । यह सबूत पूरा करता है।

    आइए एक उदाहरण दें जो डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है। आइए समान आधारों 2 और प्राकृतिक शक्तियों 2 और 3 के साथ डिग्री लें, डिग्री की मुख्य संपत्ति के अनुसार, हम समानता 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 लिख सकते हैं। आइए इसकी वैधता की जांच करें, जिसके लिए हम 2 2 ·2 3 और 2 5 के भावों के मूल्यों की गणना करते हैं। पूरा घातांक, अपने पास 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32और 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, चूंकि समान मूल्य प्राप्त होते हैं, तो समानता 2 2 2 3 \u003d 2 5 सही है, और यह डिग्री की मुख्य संपत्ति की पुष्टि करता है।

    गुणन के गुणों के आधार पर डिग्री की मुख्य संपत्ति को समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ तीन या अधिक शक्तियों के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। तो किसी भी संख्या k के लिए प्राकृत संख्या n 1 , n 2 ,…, n k समता a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    उदाहरण के लिए, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    आप एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री के अगले गुण पर जा सकते हैं - समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों की संपत्ति: किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या a और मनमानी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए शर्त m>n को संतुष्ट करने के लिए, समानता a m:a n =a m−n सत्य है।

    इस संपत्ति का प्रमाण देने से पहले, आइए हम बयान में अतिरिक्त शर्तों के अर्थ पर चर्चा करें। 0 n = 0 के बाद से शून्य से विभाजन से बचने के लिए शर्त a≠0 आवश्यक है, और जब हम विभाजन से परिचित हुए, तो हम सहमत हुए कि शून्य से विभाजित करना असंभव है। शर्त m>n की शुरुआत की गई है ताकि हम प्राकृतिक घातांक से आगे न जाएं। वास्तव में, m>n के लिए घातांक a m−n एक प्राकृत संख्या है, अन्यथा यह या तो शून्य होगी (जो m−n के लिए होती है) या ऋणात्मक संख्या (जो m के लिए होती है)

    प्रमाण। भिन्न का मुख्य गुण हमें समानता लिखने की अनुमति देता है a m−n a n =a (m−n)+n =a m. प्राप्त समानता से a m−n ·a n =a m और इससे यह पता चलता है कि a m−n, m और a n की घातों का एक भागफल है। यह समान आधारों वाली आंशिक शक्तियों के गुण को सिद्ध करता है।

    आइए एक उदाहरण लेते हैं। आइए समान आधार π और प्राकृतिक घातांक 5 और 2 के साथ दो डिग्री लें, डिग्री की मानी गई संपत्ति समानता π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 से मेल खाती है।

    अब विचार करें उत्पाद डिग्री संपत्ति: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के गुणनफल की प्राकृतिक घात n, a n और b n के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात (a b) n =a n b n।

    वास्तव में, एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है . गुणन के गुणों के आधार पर अंतिम उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है , जो a n b n के बराबर है।

    यहाँ एक उदाहरण है: .

    यह संपत्ति तीन या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री तक फैली हुई है। अर्थात्, k कारकों के गुणनफल का प्राकृतिक शक्ति गुण n इस प्रकार लिखा जाता है (ए 1 ए 2 ... ए के) एन =ए 1 एन ए 2 एन ... ए के एन.

    स्पष्टता के लिए, हम इस संपत्ति को एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं। तीन कारकों के गुणनफल से 7 की घात के लिए, हमारे पास .

    अगली संपत्ति है प्राकृतिक संपत्ति: वास्तविक संख्या a और b का भागफल, b≠0 से प्राकृतिक घात n, घातों a n और b n के भागफल के बराबर है, अर्थात (a:b) n =a n:b n।

    पिछली संपत्ति का उपयोग करके सबूत किया जा सकता है। इसलिए (ए: बी) एन बी एन = ((ए: बी) बी) एन = ए एन, और समानता (a:b) n b n =a n का तात्पर्य है कि (a:b) n, a n का भागफल b n से विभाजित है।

    आइए विशिष्ट संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस गुण को लिखें: .

    अब आवाज करते हैं घातांक संपत्ति: किसी भी वास्तविक संख्या a और किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, m की घात n की शक्ति के लिए घातांक m·n के साथ a की शक्ति के बराबर है, अर्थात (a m) n =a m·n ।

    उदाहरण के लिए, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6।

    एक डिग्री में शक्ति संपत्ति का प्रमाण समानता की निम्नलिखित श्रृंखला है: .

    मानी गई संपत्ति को डिग्री के भीतर डिग्री के भीतर डिग्री तक बढ़ाया जा सकता है, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या p, q, r, और s के लिए, समानता . अधिक स्पष्टता के लिए, यहाँ विशिष्ट संख्याओं के साथ एक उदाहरण दिया गया है: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है।

    हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ शून्य और शक्ति की तुलना संपत्ति को साबित करके शुरू करते हैं।

    सबसे पहले, किसी a>0 के लिए a n >0 को उचित ठहराते हैं।

    गुणन की परिभाषा के अनुसार दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल एक धनात्मक संख्या है। यह तथ्य और गुणन के गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक संख्या को गुणा करने का परिणाम भी एक सकारात्मक संख्या होगी। और प्राकृतिक घातांक n के साथ की शक्ति, परिभाषा के अनुसार, n कारकों का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक के बराबर है। ये तर्क हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि किसी भी सकारात्मक आधार के लिए n की डिग्री एक सकारात्मक संख्या है। सिद्ध संपत्ति के आधार पर 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 और .

    यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए a=0 साथ n की डिग्री शून्य है। दरअसल, 0 n =0·0·…·0=0 । उदाहरण के लिए, 0 3 =0 और 0 762 =0 ।

    आइए नकारात्मक आधारों पर चलते हैं।

    आइए उस स्थिति से शुरू करें जब घातांक एक सम संख्या हो, इसे 2 m के रूप में निरूपित करें, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। फिर . प्रपत्र के प्रत्येक उत्पाद के लिए a·a संख्याओं के मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर है और a, इसलिए, एक धनात्मक संख्या है। इसलिए उत्पाद भी सकारात्मक होगा। और डिग्री ए 2 मी। यहां उदाहरण दिए गए हैं: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 और ।

    अंत में, जब a का आधार एक ऋणात्मक संख्या है और घातांक एक विषम संख्या 2 m−1 है, तो . सभी उत्पाद a·a धनात्मक संख्याएँ हैं, इन धनात्मक संख्याओं का गुणनफल भी धनात्मक होता है, और शेष ऋणात्मक संख्या से इसके गुणन से ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। इस गुण के कारण (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    हम एक ही प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की तुलना करने की संपत्ति की ओर मुड़ते हैं, जिसमें निम्नलिखित सूत्र होते हैं: एक ही प्राकृतिक घातांक के साथ दो डिग्री का, n उस से कम होता है जिसका आधार कम होता है, और जिसका आधार बड़ा होता है उससे अधिक होता है। आइए इसे साबित करें।

    असमानता असमानताओं के गुणअसमानता को n . के रूप में सिद्ध किया जा रहा है (2,2) 7 और .

    यह प्राकृतिक प्रतिपादकों के साथ शक्तियों के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को साबित करना बाकी है। आइए इसे तैयार करें। प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से कम समान सकारात्मक आधारों में से, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक कम है; और प्राकृतिक संकेतकों के साथ दो डिग्री और एक से अधिक समान आधार, डिग्री अधिक है, जिसका संकेतक अधिक है। हम इस संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

    आइए हम साबित करें कि m>n और 0 . के लिए 0 प्रारंभिक स्थिति के कारण m>n , जहां से यह 0 . पर चलता है

    यह संपत्ति का दूसरा हिस्सा साबित करना बाकी है। आइए हम सिद्ध करें कि m>n और a>1 के लिए, a m >a n सत्य है। कोष्ठक में से n निकालने के बाद a m −a n का अंतर a n ·(a m−n −1) का रूप ले लेता है। यह उत्पाद धनात्मक है, क्योंकि a>1 के लिए n की डिग्री एक धनात्मक संख्या है, और अंतर a m−n −1 एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि m−n>0 प्रारंभिक स्थिति के कारण, और a>1 के लिए, m−n की घात एक से अधिक होती है। इसलिए, a m - a n >0 और a m >a n , जिसे सिद्ध किया जाना था। यह गुण असमानता 3 7 >3 2 द्वारा दर्शाया गया है।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण

चूँकि धनात्मक पूर्णांक प्राकृत संख्याएँ हैं, तो धनात्मक पूर्णांक घातांक वाली घातों के सभी गुण पिछले अनुच्छेद में सूचीबद्ध और सिद्ध किए गए प्राकृतिक घातांक वाले घातों के गुणों के साथ बिल्कुल मेल खाते हैं।

पूर्णांक ऋणात्मक घातांक के साथ डिग्री, साथ ही शून्य घातांक के साथ डिग्री, हमने इस तरह से परिभाषित किया है कि समानता द्वारा व्यक्त प्राकृतिक घातांक वाले डिग्री के सभी गुण वैध रहते हैं। इसलिए, ये सभी गुण शून्य घातांक और ऋणात्मक घातांक दोनों के लिए मान्य हैं, जबकि, निश्चित रूप से, डिग्री के आधार गैर-शून्य हैं।

तो, किसी भी वास्तविक और गैर-शून्य संख्या ए और बी के साथ-साथ किसी भी पूर्णांक एम और एन के लिए, निम्नलिखित सत्य हैं पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुण:

  1. ए एम ए एन \u003d ए एम + एन;
  2. ए एम: ए एन = ए एम−एन;
  3. (ए बी) एन = ए एन बी एन;
  4. (ए: बी) एन = ए एन: बी एन;
  5. (ए एम) एन = एक एम एन;
  6. यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a बी-एन;
  7. यदि m और n पूर्णांक हैं, और m>n , तो 0 . पर 1 असमानता a m >a n पूरी होती है।

a=0 के लिए, घात a m और a n तभी समझ में आता है जब m और n दोनों धनात्मक पूर्णांक हों, अर्थात प्राकृत संख्याएँ। इस प्रकार, अभी लिखे गए गुण उन मामलों के लिए भी मान्य हैं जब a=0 और संख्या m और n धनात्मक पूर्णांक हैं।

इन गुणों में से प्रत्येक को साबित करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए प्राकृतिक और पूर्णांक घातांक के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणों की डिग्री की परिभाषाओं का उपयोग करना पर्याप्त है। एक उदाहरण के रूप में, आइए साबित करें कि सकारात्मक पूर्णांक और गैर-धनात्मक पूर्णांक दोनों के लिए शक्ति गुण धारण करता है। ऐसा करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यदि p शून्य या एक प्राकृत संख्या है और q शून्य या एक प्राकृत संख्या है, तो समानताएँ (a p) q =a p q , (a - p) q =a (−p) q, (a p ) −q =a p (−q) और (a−p)−q =a (−p) (−q). हो जाए।

सकारात्मक p और q के लिए, समानता (a p) q =a p·q पिछले उपखंड में सिद्ध हुई थी। अगर p=0 , तो हमारे पास (a 0) q =1 q =1 और a 0 q =a 0 =1 है, जहां से (a 0) q =a 0 q है। इसी तरह, यदि q=0 , तो (a p) 0 =1 और a p 0 =a 0 =1 , जहां से (a p) 0 =a p 0 । यदि दोनों p=0 और q=0 , तो (a 0) 0 =1 0 =1 और a 0 0 =a 0 =1 , जहां से (a 0) 0 =a 0 0 है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि (a −p) q =a (−p) q । एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात की परिभाषा के अनुसार, तब . अंश में भागफल के गुणधर्म से, हमारे पास है . चूँकि 1 p =1·1·…·1=1 और , तब । अंतिम व्यंजक, परिभाषा के अनुसार, a -(p q) के रूप की एक घात है, जिसे गुणन के नियमों के आधार पर a (−p) q के रूप में लिखा जा सकता है।

उसी प्रकार .

और .

उसी सिद्धांत से, एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के अन्य सभी गुणों को समानता के रूप में लिखा जा सकता है।

नीचे लिखे गए गुणों के अंत में, यह असमानता के प्रमाण पर रहने लायक है a −n >b −n , जो किसी भी नकारात्मक पूर्णांक −n और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए सही है जिसके लिए शर्त a . चूंकि शर्त के अनुसार a 0. गुणनफल a n ·b n धनात्मक संख्याओं a n और b n के गुणनफल के रूप में भी धनात्मक है। तब परिणामी भिन्न धनात्मक संख्याओं b n - a n और a n b n के भागफल के रूप में धनात्मक होता है। इसलिए, जहां से a −n >b −n , जिसे सिद्ध किया जाना था।

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री की अंतिम संपत्ति उसी तरह साबित होती है जैसे प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की अनुरूप संपत्ति।

परिमेय घातांक वाली शक्तियों के गुण

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्रीहमने इसे एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों का विस्तार करके निर्धारित किया है। दूसरे शब्दों में, भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री में पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के समान गुण होते हैं। अर्थात्:

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के गुणों का प्रमाण भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा पर और पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर आधारित होता है। आइए प्रमाण देते हैं।

एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार और, तब . अंकगणितीय मूल के गुण हमें निम्नलिखित समानताएँ लिखने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, जहां से, एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा से, हमारे पास है , और प्राप्त डिग्री के प्रतिपादक को निम्नानुसार परिवर्तित किया जा सकता है:। यह सबूत पूरा करता है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों का दूसरा गुण ठीक उसी तरह सिद्ध होता है:

शेष समानताएं समान सिद्धांतों द्वारा सिद्ध होती हैं:

हम अगली संपत्ति के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि किसी धनात्मक a और b के लिए, a बी पी। हम परिमेय संख्या p को m/n के रूप में लिखते हैं, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। शर्तें पी<0 и p>0 इस मामले में शर्तों के बराबर होगा एम<0 и m>0 क्रमशः। एम> 0 और ए . के लिए

इसी तरह, एम . के लिए<0 имеем a m >b m , कहाँ से , वह है, और a p >b p ।

यह सूचीबद्ध संपत्तियों में से अंतिम साबित करने के लिए बनी हुई है। आइए हम सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं p और q के लिए, p>q 0 . के लिए 0 - असमानता a p >a q । हम हमेशा परिमेय संख्या p और q को एक सामान्य हर में घटा सकते हैं, आइए हम साधारण भिन्न प्राप्त करें और, जहाँ m 1 और m 2 पूर्णांक हैं, और n एक प्राकृत संख्या है। इस स्थिति में, स्थिति p>q, m 1 >m 2 की स्थिति के अनुरूप होगी, जो कि से अनुसरण करती है। फिर, 0 . पर समान आधारों और प्राकृतिक घातांक के साथ शक्तियों की तुलना करने के गुण से 1 - असमानता एक एम 1>ए एम 2। जड़ों के गुणों के संदर्भ में इन असमानताओं को क्रमशः इस प्रकार लिखा जा सकता है: और . और एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा हमें असमानताओं को पारित करने की अनुमति देती है और, क्रमशः। इससे हम अंतिम निष्कर्ष निकालते हैं: p>q और 0 . के लिए 0 - असमानता a p >a q ।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण

इसे कैसे परिभाषित किया जाता है एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इसमें तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों के सभी गुण हैं। तो किसी a>0 , b>0 और अपरिमेय संख्या p और q के लिए निम्नलिखित सत्य हैं अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुण:

  1. ए पी ए क्यू = ए पी + क्यू;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (ए बी) पी = ए पी बी पी;
  4. (ए:बी) पी =ए पी:बी पी;
  5. (ए पी) क्यू = ए पी क्यू;
  6. किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए a और b , a 0 असमानता एक पी बी पी;
  7. अपरिमेय संख्याओं के लिए p और q , p>q 0 . पर 0 - असमानता a p >a q ।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a>0 के लिए किसी भी वास्तविक घातांक p और q वाली घातों के गुण समान होते हैं।

ग्रंथ सूची।

  • विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. 5 कोशिकाओं के लिए गणित Zh पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
  • मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 7 कोशिकाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
  • मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
  • मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 9 कोशिकाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
  • कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
  • गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

हम आपको याद दिलाते हैं कि इस पाठ में हम समझते हैं डिग्री गुणप्राकृतिक संकेतकों और शून्य के साथ। तर्कसंगत संकेतकों और उनके गुणों के साथ डिग्री पर ग्रेड 8 के पाठों में चर्चा की जाएगी।

एक प्राकृतिक घातांक वाले घातांक में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो आपको घातांक उदाहरणों में गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति #1
शक्तियों का उत्पाद

याद है!

जब एक ही आधार से घातों को गुणा किया जाता है, तो आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक जोड़े जाते हैं।

a m a n \u003d a m + n, जहाँ " a"- कोई भी संख्या, और" m", " n"- कोई भी प्राकृतिक संख्या।

शक्तियों का यह गुण तीन या अधिक शक्तियों के गुणनफल को भी प्रभावित करता है।

  • अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
    बी बी 2 बी 3 बी 4 बी 5 = बी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = बी 15
  • उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
    6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
  • उपाधि के रूप में प्रस्तुत करें।
    (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

जरूरी!

कृपया ध्यान दें कि संकेतित संपत्ति में यह केवल शक्तियों को गुणा करने के बारे में था एक ही आधार . यह उनके जोड़ पर लागू नहीं होता है।

आप योग (3 3 + 3 2) को 3 5 से प्रतिस्थापित नहीं कर सकते। यह समझ में आता है अगर
गणना करें (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 और 3 5 = 243

संपत्ति #2
निजी डिग्री

याद है!

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, आधार अपरिवर्तित रहता है, और भाजक के घातांक को लाभांश के घातांक से घटाया जाता है।

= 11 3 − 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
  • उदाहरण। प्रश्न हल करें। हम आंशिक डिग्री की संपत्ति का उपयोग करते हैं।
    3 8: टी = 3 4

    टी = 3 8 - 4

    उत्तर: टी = 3 4 = 81

    • गुण संख्या 1 और संख्या 2 का उपयोग करके, आप आसानी से भावों को सरल बना सकते हैं और गणना कर सकते हैं।

    • उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
      4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
    • उदाहरण। डिग्री गुणों का उपयोग करके व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
      = = = 2 9 + 2
      2 5
      = 2 11
      2 5
      = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

      जरूरी!

      कृपया ध्यान दें कि संपत्ति 2 केवल समान आधारों के साथ शक्तियों के विभाजन से संबंधित है।

      आप अंतर (4 3 −4 2) को 4 1 से नहीं बदल सकते। यह समझ में आता है अगर हम विचार करें (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , और 4 1 = 4

      ध्यान से!

      संपत्ति #3
      घातांक

      याद है!

      किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घात का आधार अपरिवर्तित रहता है, और घातांक गुणा किए जाते हैं।

      (ए एन) एम \u003d ए एन एम, जहां "ए" कोई संख्या है, और "एम", "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।


      गुण 4
      उत्पाद की डिग्री

      याद है!

      किसी उत्पाद को एक शक्ति में बढ़ाते समय, प्रत्येक कारक को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है। फिर परिणाम गुणा किया जाता है।

      (ए बी) एन \u003d ए एन बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है; "एन" - कोई भी प्राकृतिक संख्या।

      • उदाहरण 1
        (6 ए 2 बी 3 सी) 2 = 6 2 ए 2 2 बी 3 2 एस 1 2 = 36 ए 4 बी 6 एस 2
      • उदाहरण 2
        (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

      जरूरी!

      कृपया ध्यान दें कि संपत्ति संख्या 4, डिग्री के अन्य गुणों की तरह, रिवर्स ऑर्डर में भी लागू होती है।

      (ए एन बी एन) = (ए बी) एन

      अर्थात्, समान घातांक के साथ घातों को गुणा करने के लिए, आप आधारों को गुणा कर सकते हैं, और घातांक को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।

      • उदाहरण। गणना करें।
        2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
      • उदाहरण। गणना करें।
        0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

      अधिक जटिल उदाहरणों में, ऐसे मामले हो सकते हैं जब गुणन और विभाजन विभिन्न आधारों और विभिन्न घातांक वाली शक्तियों पर किया जाना चाहिए। इस मामले में, हम आपको निम्नलिखित करने की सलाह देते हैं।

      उदाहरण के लिए, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

      दशमलव भिन्न के घातांक का उदाहरण।

      4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

      गुण 5
      भागफल की शक्ति (अंश)

      याद है!

      भागफल को किसी घात तक बढ़ाने के लिए, आप इस घात के लाभांश और भाजक को अलग-अलग बढ़ा सकते हैं, और पहले परिणाम को दूसरे से विभाजित कर सकते हैं।

      (ए: बी) एन \u003d ए एन: बी एन, जहां "ए", "बी" कोई तर्कसंगत संख्या है, बी 0, एन कोई प्राकृतिक संख्या है।

      • उदाहरण। अभिव्यक्ति को आंशिक शक्तियों के रूप में व्यक्त करें।
        (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

      हम आपको याद दिलाते हैं कि भागफल को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, हम अगले पृष्ठ पर एक अंश को एक घात में बढ़ाने के विषय पर अधिक विस्तार से ध्यान देंगे।

    यह पाठ "शक्तियों और जड़ों वाले भावों का रूपांतरण" विषय का हिस्सा है।

    सार एक तर्कसंगत और वास्तविक संकेतक के साथ डिग्री के गुणों पर एक पाठ का विस्तृत विकास है। कंप्यूटर, समूह और खेल सीखने की तकनीकों का उपयोग किया जाता है।

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    पूर्वावलोकन:

    बीजगणित में एक पाठ का व्यवस्थित विकास

    गणित के शिक्षक GAU KO PO KST

    पेखोवा नादेज़्दा युरीवना

    विषय पर: "तर्कसंगत और वास्तविक प्रतिपादक के साथ डिग्री के गुण।"

    पाठ मकसद:

    • शैक्षिक: एक तर्कसंगत संकेतक और अभ्यास में उनके आवेदन के साथ डिग्री के गुणों के ज्ञान का समेकन और गहरा करना; डिग्री के विकास के इतिहास पर ज्ञान में सुधार;
    • विकासशील: आत्म और आपसी नियंत्रण के कौशल का विकास; बौद्धिक क्षमताओं, सोच कौशल का विकास,
    • शिक्षित करना: विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा, प्रदर्शन किए गए कार्य के लिए जिम्मेदारी की शिक्षा, सक्रिय रचनात्मक कार्य के माहौल के निर्माण को बढ़ावा देना।

    पाठ का प्रकार: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं में सुधार के लिए पाठ।

    संचालन के तरीके: मौखिक - दृश्य।

    शैक्षणिक प्रौद्योगिकियां: कंप्यूटर, समूह और खेल सीखने की प्रौद्योगिकियां।

    पाठ उपकरण: प्रक्षेपण उपकरण, कंप्यूटर, पाठ के लिए प्रस्तुति, कार्य

    नोटबुक, पाठ्यपुस्तकें, एक पहेली पहेली के पाठ के साथ कार्ड और एक चिंतनशील परीक्षण।

    पाठ का समय: 1 घंटा 20 मिनट।

    पाठ के मुख्य चरण:

    1. संगठनात्मक क्षण। संदेश विषय, पाठ के उद्देश्य।

    2. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति। एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों की पुनरावृत्ति।

    3. एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर गणितीय श्रुतलेख।

    4. कंप्यूटर प्रस्तुति का उपयोग कर छात्रों के संदेश।

    5. समूहों में काम करें।

    6. क्रॉसवर्ड समाधान।

    7. सारांश, ग्रेडिंग।प्रतिबिंब।

    8. गृहकार्य।

    कक्षाओं के दौरान:

    1. संगठन पल। विषय, पाठ उद्देश्यों, पाठ योजना के बारे में संदेश।स्लाइड 1, 2.

    2. बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।

    1) एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के गुणों की पुनरावृत्ति: छात्रों को लिखित गुणों को जारी रखना चाहिए - एक ललाट सर्वेक्षण।स्लाइड 3.

    2) ब्लैकबोर्ड पर छात्र - पाठ्यपुस्तक से अभ्यास का विश्लेषण (अलिमोव श.ए.): ए) नंबर 74, बी) नंबर 77।

    सी) नंबर 82-ए; बी; सी।

    नंबर 74: ए) = = ए;

    बी) + =;

    बी): = = = बी।

    नंबर 77: ए) = =;

    बी) = = = बी।

    नंबर 82: ए) = = =;

    बी) = = वाई;

    बी) () () = .

    3. पारस्परिक सत्यापन के साथ गणितीय श्रुतलेख। छात्र अपना काम साझा करते हैं, उत्तरों की तुलना करते हैं और ग्रेड देते हैं।

    स्लाइड्स 4 - 5

    4. अध्ययनाधीन विषय पर कुछ ऐतिहासिक तथ्यों के छात्रों के संदेश।

    स्लाइड 6 - 12:

    पहला छात्र: स्लाइड 6

    प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री की अवधारणा प्राचीन लोगों के बीच भी बनाई गई थी। वर्ग और घनसंख्याओं का उपयोग क्षेत्रों और आयतनों की गणना के लिए किया जाता था। प्राचीन मिस्र और बेबीलोन के वैज्ञानिकों द्वारा कुछ संख्याओं की शक्तियों का उपयोग कुछ समस्याओं को हल करने में किया जाता था।

    तीसरी शताब्दी में यूनानी विद्वान डायोफैंटस की एक पुस्तक प्रकाशित हुई थी"अंकगणित", जिसमें वर्णानुक्रमिक प्रतीकों की शुरूआत की गई थी। डायोफैंटस अज्ञात की पहली छह शक्तियों और उनके पारस्परिक प्रतीकों का परिचय देता है। इस पुस्तक में, एक वर्ग को एक चिन्ह और एक सूचकांक द्वारा दर्शाया गया है; उदाहरण के लिए, एक घन सूचकांक r, आदि के साथ चिह्न k है।

    दूसरा छात्र: स्लाइड 7

    डिग्री की अवधारणा के विकास में एक महान योगदान प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पाइथागोरस ने दिया था। उनका एक पूरा स्कूल था, और उनके सभी छात्रों को पाइथागोरस कहा जाता था। वे इस विचार के साथ आए कि प्रत्येक संख्या को अंकों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उन्होंने संख्याओं 4, 9 और 16 को वर्गों के रूप में दर्शाया।

    पहला छात्र: स्लाइड्स 8-9

    स्लाइड 8

    स्लाइड 9

    XVI सदी। इस सदी में, डिग्री की अवधारणा का विस्तार हुआ है: इसे न केवल एक विशिष्ट संख्या के लिए, बल्कि एक चर के लिए भी जिम्मेदार ठहराया जाने लगा। जैसा कि उन्होंने तब कहा था "सामान्य रूप से संख्याओं के लिए" अंग्रेजी गणितज्ञएस स्टीविन डिग्री को निरूपित करने के लिए एक संकेतन गढ़ा: अंकन 3(3)+5(2)-4 इस तरह के एक आधुनिक संकेतन को दर्शाता है 3 3 + 5 2 – 4.

    दूसरा छात्र: स्लाइड 10

    बाद में, जर्मन गणितज्ञ एम. स्टीफेल और एस. स्टीवन द्वारा "पूर्ण अंकगणित" (1544) में भिन्नात्मक और नकारात्मक घातांक पाए गए।

    एस स्टीवन ने फॉर्म के एक संकेतक के साथ डिग्री से मतलब का सुझाव दियाजड़, अर्थात् .

    पहला छात्र: स्लाइड 11

    सोलहवीं शताब्दी के अंत में, फ्रेंकोइस वियतन केवल चर, बल्कि उनके गुणांकों को भी दर्शाने के लिए पत्र पेश किए। उन्होंने संक्षेप में इस्तेमाल किया: एन, क्यू, सी - पहली, दूसरी और तीसरी डिग्री के लिए।

    लेकिन आधुनिक पदनाम (जैसे, ) 17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा पेश किया गया था।

    दूसरा छात्र: स्लाइड 12

    आधुनिक परिभाषाएंऔर शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री का अंकन अंग्रेजी गणितज्ञों के काम से उत्पन्न होता हैजॉन वालिस (1616-1703) और आइजैक न्यूटन।

    5. क्रॉसवर्ड समाधान।

    छात्रों को क्रॉसवर्ड पजल दिए जाते हैं। जोड़े में हल करें। जो जोड़ी पहले निर्णय लेती है उसे अंक मिलते हैं।स्लाइड 13-15।

    6. सामूहिक कार्य।स्लाइड 16.

    छात्र स्वतंत्र कार्य करते हैं, 4 के समूहों में काम करते हैं, एक दूसरे को सलाह देते हैं। फिर काम को समीक्षा के लिए प्रस्तुत किया जाता है।

    7. संक्षेप में, ग्रेडिंग।

    प्रतिबिंब।

    छात्रों ने एक चिंतनशील परीक्षा पूरी की। यदि आप सहमत हैं तो "+" चिह्नित करें, और अन्यथा "-" चिह्नित करें।

    चिंतनशील परीक्षण:

    1. मैंने बहुत सी नई चीजें सीखीं।

    2. यह भविष्य में मेरे लिए उपयोगी होगा।

    3. पाठ में सोचने के लिए कुछ था।

    4. मुझे (ए) पाठ के दौरान उठने वाले सभी सवालों के जवाब मिले।

    5. पाठ में, मैंने ईमानदारी से काम किया और पाठ के उद्देश्यों को प्राप्त किया।

    8. गृहकार्य: स्लाइड 17.

    1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

    2) वैकल्पिक: अध्ययन किए गए विषय की मुख्य अवधारणाओं के साथ एक पहेली पहेली बनाएं।

    सन्दर्भ:

    1. अलीमोव श.ए. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत ग्रेड 10-11, पाठ्यपुस्तक - एम।: शिक्षा, 2010।
    2. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत ग्रेड 10। उपदेशात्मक सामग्री। ज्ञानोदय, 2012।

    इंटरनेट संसाधन:

    1. शैक्षिक साइट - RusCopyBook.Com - इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तकें और GDZ
    2. साइट इंटरनेट के शैक्षिक संसाधन - स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए। http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
    3. वेबसाइट शिक्षक पोर्टल - http://www.uchportal.ru/

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