कोण गणना II

1. एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज ABCD का कोण A 126 o के बराबर है। इस चतुर्भुज का कोण C ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
2. चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB, BC, CD और AD परिबद्ध वृत्त के चापों को अंतरित करती हैं, जिनके अंश मान क्रमशः 63 o , 62 o , 90 o और 145 o हैं। इस चतुर्भुज का कोण B ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
3. एक वृत्त पर स्थित बिंदु A, B, C और D इस वृत्त को चार चापों AB, BC, CD और AD में विभाजित करते हैं, जिनके अंश मान क्रमशः 1: 4:12:19 से संबंधित हैं। कोण A ज्ञात कीजिए। चतुर्भुज ABCD का। अपना उत्तर अंशों में दें।
4. एक वृत्त पर स्थित बिंदु A, B, C और D, इस वृत्त को चार चापों AB, BC, CD और AD में विभाजित करते हैं, जिनके अंश मान क्रमशः 1: 5: 10: 20 से संबंधित हैं। कोण A ज्ञात कीजिए। चतुर्भुज ABCD का। अपना उत्तर अंशों में दें।
5. चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में अंकित है। कोण ABC 58o है, कोण CAD 43o है। कोण ABD ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
6. एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के दो कोण 25 o और 51 o हैं। शेष कोनों में से सबसे बड़ा खोजें। अपना उत्तर अंशों में दें।
7. चतुर्भुज ABCD के कोण A, B और C 1:13:17 से संबंधित हैं। यदि इस चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो कोण D ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
8. केंद्रीय कोण समान वृत्ताकार चाप पर आधारित न्यूनलिखित कोण से 45 o अधिक है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
9. केंद्रीय कोण समान वृत्ताकार चाप पर आधारित न्यूनलिखित कोण से 47 o अधिक है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
10. वृत्त को बनाने वाले चाप के आधार पर खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
11. चाप के आधार पर खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर अंशों में दें।
12. एक चाप पर आधारित एक खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 10% है। अपना उत्तर अंशों में दें।
13. एक वृत्त AC का चाप, जिसमें बिंदु B नहीं है, 180 o है। और वृत्त BC का चाप, जिसमें बिंदु A नहीं है, 45 o है। अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
14. वृत्त पर स्थित बिंदु A, B और C इसे तीन चापों में विभाजित करते हैं, जिनके अंश मान 1: 4:13 से संबंधित हैं। त्रिभुज ABC का सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
15. AC और BD केंद्र O वाले वृत्त के व्यास हैं। कोण DIA 35 o है। कोण AOD ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
16. AC और BD केंद्र O वाले वृत्त के व्यास हैं। कोण DIA 39 o है। कोण AOD ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
17. जीवा AB एक वृत्त के चाप को घटाकर 6 o कर देता है। इस जीवा और बिंदु B से जाने वाली वृत्त की स्पर्श रेखा के बीच न्यून कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दीजिए।
18. जीवा AB एक वृत्त के चाप को घटाकर 114 o कर देता है। इस जीवा और बिंदु B से जाने वाली वृत्त की स्पर्श रेखा के बीच न्यून कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दीजिए।
19. कोण C में 107 o के मान के साथ एक वृत्त अंकित है, जो कोण की भुजाओं को बिंदु A और B पर स्पर्श करता है। कोण AOB ज्ञात कीजिए, जहाँ बिंदु O वृत्त का केंद्र है। अपना उत्तर अंशों में दें।
20. केंद्र O वाले वृत्त पर बिंदु A और B पर स्पर्श रेखाएं 2 o के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ABO ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
21. कोण CDB ज्ञात कीजिए यदि अंकित कोण ADB और ADC एक वृत्त के चापों पर आधारित हैं, जिनके डिग्री मान क्रमशः 67 o और 25 o हैं। अपना उत्तर अंशों में दें।
22. एक वृत्त में अंकित एक नियमित-गोन की भुजा के बीच का कोण और इस वृत्त की त्रिज्या एक भुजा के एक कोने में खींची गई है 75 o । पाना ।
23. एक वृत्त में अंकित एक नियमित-गोन की भुजा के बीच का कोण और इस वृत्त की त्रिज्या एक भुजा के एक कोने में खींची गई है, 54 o है। पाना ।
24. एक वृत्त में अंकित एक नियमित-गोन की भुजा के बीच का कोण और इस वृत्त की त्रिज्या भुजा के किसी एक शीर्ष में खींची गई है, 30 o है। पाना ।

मध्य कोनावह कोण है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र में है।
खुदा हुआ कोणएक कोण जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ उसे काटती हैं।

यह आंकड़ा केंद्रीय और खुदा हुआ कोणों के साथ-साथ उनके सबसे महत्वपूर्ण गुणों को दर्शाता है।

इसलिए, केंद्रीय कोण का मान उस चाप के कोणीय मान के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है. इसका मतलब है कि 90 डिग्री का केंद्रीय कोण 90 डिग्री के बराबर चाप पर आधारित होगा, यानी एक सर्कल। 60° के बराबर केंद्रीय कोण 60 डिग्री के चाप पर यानी वृत्त के छठे भाग पर आधारित होता है।

खुदा हुआ कोण का मान एक ही चाप पर आधारित केंद्रीय कोण से दो गुना कम होता है.

साथ ही, समस्याओं को हल करने के लिए हमें "कॉर्ड" की अवधारणा की आवश्यकता होती है।

समान केंद्रीय कोण समान जीवाओं द्वारा समर्थित होते हैं।

1. वृत्त के व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

व्यास पर आधारित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है।

2. केंद्रीय कोण समान वृत्ताकार चाप पर आधारित न्यूनलिखित कोण से 36° अधिक है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

माना केंद्रीय कोण x है, और उसी चाप पर आधारित खुदा हुआ कोण y है।

हम जानते हैं कि x = 2y.
अत: 2y = 36 + y,
वाई = 36.

3. वृत्त की त्रिज्या 1 है। बराबर जीवा पर आधारित एक अधिक उत्कीर्ण कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

माना जीवा AB है। इस जीवा पर आधारित एक अधिक उत्कीर्ण कोण को α द्वारा दर्शाया जाएगा।
त्रिभुज AOB में, भुजाएँ AO और OB 1 के बराबर हैं, भुजा AB बराबर है। ऐसे त्रिभुज हम पहले भी देख चुके हैं। जाहिर है, त्रिभुज AOB समकोण और समद्विबाहु है, यानी कोण AOB 90 ° है।
तब चाप ASV 90° के बराबर होता है, और चाप AKB 360° - 90° = 270° के बराबर होता है।
खुदा हुआ कोण α AKB चाप पर टिका होता है और इस चाप के आधे कोणीय मान के बराबर होता है, यानी 135°।

उत्तर : 135.

4. जीवा AB वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है, जिसके अंश मान 5:7 से संबंधित हैं। यह जीवा बिंदु C से किस कोण पर दिखाई देती है, जो वृत्त के छोटे चाप से संबंधित है? अपना उत्तर अंशों में दें।

इस कार्य में मुख्य बात स्थिति की सही ड्राइंग और समझ है। आप इस प्रश्न को कैसे समझते हैं: "बिंदु C से जीवा किस कोण पर दिखाई देती है?"
कल्पना कीजिए कि आप बिंदु C पर बैठे हैं और आपको जीवा AB पर होने वाली हर चीज़ को देखना है। तो, जैसे कि तार एबी सिनेमा में एक स्क्रीन है :-)
जाहिर है, आपको कोण एसीबी खोजने की जरूरत है।
उन दो चापों का योग जिनमें जीवा AB वृत्त को विभाजित करती है, 360° है, अर्थात्।
5x + 7x = 360°
अत: x = 30°, और फिर अंकित कोण ACB 210° के चाप पर टिका हुआ है।
खुदा हुआ कोण का मान उस चाप के कोणीय मान के आधे के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है, जिसका अर्थ है कि कोण ACB 105° के बराबर होता है।

एक ही बिंदु से खींची गई दो जीवाओं द्वारा बनाए गए कोण को खुदा हुआ कोण कहा जाता है।

प्रमेय एक खुदा हुआ कोण उस चाप के आधे से मापा जाता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है।

परिणाम:

एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण बराबर होते हैं;

व्यास पर आधारित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है।

प्रमेय एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त के अंदर होता है, उसकी भुजाओं के बीच घिरे दो चापों के योग के आधे से मापा जाता है

प्रमेय एक कोण जिसका शीर्ष वृत्त के बाहर स्थित है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को काटती हैं, इसकी भुजाओं के बीच घिरे दो चापों के आधे-अंतर से मापा जाता है।

प्रमेय एक स्पर्शरेखा और एक जीवा द्वारा निर्मित कोण को कोण के भीतर निहित आधे चाप द्वारा मापा जाता है।

समाधान के साथ कार्य

1. कोण ज्ञात कीजिए एबीसी. अपना उत्तर अंशों में दें।

फेसला।

भुजा AC वाला एक वर्ग बनाइए।

तब यह देखा जा सकता है कि कोण ABC वृत्तों पर आधारित है, अर्थात 90º के चाप पर। एक खुदा हुआ कोण उस चाप का आधा होता है जिसे वह इंटरसेप्ट करता है, इसलिए

2. जीवा AB वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है, जिसके अंश मान 6:12 से संबंधित हैं। यह जीवा बिंदु C से किस कोण पर दिखाई देती है, जो वृत्त के छोटे चाप से संबंधित है? अपना उत्तर अंशों में दें।

फेसला।

एक बिंदु से सीतार अबकोण पर देखा एसीबी. माना वृत्त का सबसे बड़ा भाग 12x है, तो छोटा भाग 6x है। पूरा वृत्त 360º है।

हमें समीकरण 12x + 6x \u003d 360º मिलता है। जहां से x \u003d 20º।

इंजेक्शन डीआइएएक वृत्त के एक बड़े चाप पर टिकी हुई है, जो 12 20º=240º के बराबर है।

एक खुदा हुआ कोण उस आधे चाप के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है, जिसका अर्थ है कि एक बड़े चाप पर टिका हुआ कोण एसीबीबराबरी

उत्तर 120º

3. तार अबएक वृत्त के चाप को 84º पर घटाता है। एक कोण खोजें एबीसीइस जीवा और बिंदु B से जाने वाली वृत्त की स्पर्श रेखा के बीच में अपना उत्तर अंशों में दें।

फेसला।

इंजेक्शन एबीसीस्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण है। इसे कोने के अंदर लगे आधे चाप से मापा जाता है। कोण के अंदर का चाप 84º है

4. 36 त्रिज्या वाले वृत्त पर केंद्र से दूर एक बिंदु से 85 के बराबर दूरी पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए OA=36, OS=85. संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण त्रिभुज AOC से, हम प्राप्त करते हैं

5. एक बिंदु से वृत्त तक साथ मेंइसके बाहर खींची गई स्पर्शरेखा एसीऔर secant सीडी,एक बिंदु पर वृत्त को प्रतिच्छेद करना पर. स्पर्शरेखा और छेदक की लंबाई का योग 30 सेमी है, और छेदक का आंतरिक खंड स्पर्शरेखा से 2 सेमी छोटा है। स्पर्शरेखा और छेदक की लंबाई ज्ञात कीजिए।

रहने दो एसी = एक्स और सीडी = वाई. फिर एक्स+वाई=30, और डीबी = एसी-2=एक्स-2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x-2)=वाई-एक्स+2. प्रमेय के अनुसार, यदि वृत्त के बाहर किसी बिंदु से उस पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक खींचा जाता है, तो स्पर्शरेखा का वर्ग उसके बाहरी भाग से छेदक के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात . फिर

हमें सिस्टम मिलता है

. एक्स=80 उपयुक्त नहीं है क्योंकि पर>0 इसलिए, हम प्राप्त करते हैं

स्पर्शरेखा एसी=12, सेकंड सीडी=18.

उत्तर 12 और 18

6. छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल S ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर दें।

आइए इस ड्राइंग पर एक वर्ग बनाएं

तब यह स्पष्ट हो जाता है कि त्रिज्यखंड वृत्त का एक चौथाई है।

त्रिज्या एक वर्ग के विकर्ण का आधा है जिसकी भुजा 4 है।

फिर हम सूत्र द्वारा क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना करते हैं

तब वांछित मूल्य बराबर है

वृत्त के व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।	वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर कोण 90º रहता है, जो त्रिज्या 1 के एक वृत्त में अंकित है।
वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा को प्रतिच्छेदित करने वाला एक न्यूनकोण खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।	वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर 30º का कोण 3 त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित है।
एक जीवा द्वारा वृत्त की त्रिज्या के बराबर अंतरित एक अधिक खुदा हुआ कोण क्या होता है? अपना उत्तर अंशों में दें।	वृत्त की त्रिज्या 1 है। बराबर जीवा पर आधारित न्यूनलिखित कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
वृत्त की त्रिज्या 1 है। बराबर जीवा पर आधारित एक अधिक उत्कीर्ण कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।	त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर कोण 120º टिका है।
केंद्रीय कोण समान वृत्ताकार चाप पर आधारित न्यूनलिखित कोण से 34º अधिक है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।	उस वृत्त के चाप AC का घात मान ज्ञात कीजिए जिस पर कोण ABC स्थित है। अपना उत्तर अंशों में दें।
उस वृत्त के चाप BC का घात मान ज्ञात कीजिए जिस पर कोण BAC स्थित है। अपना उत्तर अंशों में दें।	कोण ACO 25º है, जहां O वृत्त का केंद्र है। इसकी भुजा CA वृत्त को स्पर्श करती है। इस कोण के भीतर स्थित वृत्त के छोटे चाप AB का परिमाण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।
कोण ACO ज्ञात कीजिए, यदि इसकी भुजा CA वृत्त की स्पर्शरेखा है, O वृत्त का केंद्र है, और इस कोण के भीतर वृत्त का दीर्घ चाप AD 110º है। अपना उत्तर अंशों में दें।	कोण ACB ज्ञात कीजिए यदि अंकित कोण ADB और DAE एक वृत्त के चापों पर आधारित हैं जिनके डिग्री मान क्रमशः 116º और 36º हैं। अपना उत्तर अंशों में दें।
कोण एसीबी 50º है। एक सर्कल के चाप एबी का डिग्री मान जिसमें बिंदु डी और ई शामिल नहीं है, 130º के बराबर है। कोण DAE ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।	जीवा AB एक वृत्त के चाप को 86º पर अंतरित करती है। इस जीवा और बिंदु B से जाने वाली वृत्त की स्पर्श रेखा के बीच का कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दीजिए।
जीवा AB और वृत्त पर स्पर्श रेखा BC के बीच का कोण 28º है। जीवा AB द्वारा घटाए गए छोटे चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।	स्पर्श रेखाएँ AC और BC 72º के एक वृत्ताकार चाप के सिरों A, B से खींची जाती हैं। कोण एसीबी खोजें। अपना उत्तर अंशों में दें।
वृत्त की स्पर्श रेखाएँ CA और CB, 112º के बराबर एक कोण ACB बनाती हैं। संपर्क बिंदुओं से घटाए गए छोटे चाप AB का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।	कोण ACO ज्ञात कीजिए, यदि इसकी भुजा CA वृत्त की स्पर्शरेखा है, O वृत्त का केंद्र है, और इस कोण के भीतर निहित वृत्त AB का निचला चाप 62º के बराबर है। अपना उत्तर अंशों में दें।

उत्कीर्ण कोण, समस्या सिद्धांत। मित्र! इस लेख में हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनके समाधान के लिए एक उत्कीर्ण कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, उन्हें परीक्षा में शामिल किया जाता है। उनमें से अधिकांश का समाधान बहुत ही सरलता से, एक चरण में किया जाता है।

अधिक कठिन कार्य हैं, लेकिन वे आपके लिए अधिक कठिनाई पेश नहीं करेंगे, आपको खुदा हुआ कोण के गुणों को जानने की जरूरत है। धीरे-धीरे, हम कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूं!

अब आवश्यक सिद्धांत। याद करें कि एक केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, जीवा, चाप, जिस पर ये कोण निर्भर करते हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण को के साथ एक समतल कोण कहा जाता हैइसके केंद्र में शिखर.

वृत्त का वह भाग जो समतल कोने के अंदर होता हैवृत्त का चाप कहते हैं।

एक वृत्त के चाप की डिग्री माप डिग्री माप हैसंगत केंद्रीय कोण।

एक कोण को वृत्त में अंकित कोण कहा जाता है यदि कोण का शीर्ष स्थित हैएक वृत्त पर, और कोण की भुजाएँ इस वृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं।

एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड कहलाता हैतार. सबसे लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और कहलाती हैव्यास।

वृत्त में अंकित कोणों की समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुणों को जानना होगा:

1. खुदा हुआ कोण उसी चाप पर आधारित आधे केंद्रीय कोण के बराबर होता है।

2. एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर आधारित सभी खुदे हुए कोण, जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ही तरफ स्थित होते हैं, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी युग्म, जिसके शीर्ष जीवा की विपरीत भुजाओं पर स्थित हों, 180° तक योग करते हैं।

उपफल: एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।

5. व्यास के आधार पर सभी खुदे हुए कोण सीधे होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है, यह इसका विशेष मामला है। देखो - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह विकसित कोण एक व्यास से ज्यादा कुछ नहीं है), जिसका अर्थ है कि पहली संपत्ति के अनुसार, खुदा हुआ कोण सी इसके आधे के बराबर है, यानी 90 डिग्री।

इस संपत्ति का ज्ञान कई समस्याओं को हल करने में मदद करता है और अक्सर आपको अनावश्यक गणनाओं से बचने की अनुमति देता है। इसमें महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार की आधी से अधिक समस्याओं को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। दो परिणाम जो किए जा सकते हैं:

कोरोलरी 1: यदि एक त्रिभुज एक वृत्त में अंकित है और उसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है, तो त्रिभुज समकोण होता है (समकोण का शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है)।

उपफल 2: एक समकोण त्रिभुज के परिगत वृत्त का केंद्र उसके कर्ण के मध्य बिंदु से मेल खाता है।

इस गुण और इन उपफलों का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। तथ्य को स्वयं याद रखें: यदि किसी वृत्त का व्यास एक उत्कीर्ण त्रिभुज की एक भुजा है, तो यह त्रिभुज समकोण है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सिखाने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक उत्कीर्ण कोण के लिए समस्याओं का आधा एक स्केच के साथ दिया जाता है, लेकिन बिना अंकन के। समस्याओं को हल करते समय तर्क की प्रक्रिया को समझने के लिए (नीचे लेख में), शीर्षों (कोनों) के पदनाम पेश किए गए हैं। परीक्षा में, आप ऐसा नहीं कर सकते।कार्यों पर विचार करें:

वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा को प्रतिच्छेदित करने वाला एक न्यूनकोण खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए किसी दिए गए खुदा कोण के लिए एक केंद्रीय कोण का निर्माण करें, शीर्षों को निरूपित करें:

वृत्त में अंकित कोण के गुण के अनुसार:

कोण AOB 60 0 के बराबर है, क्योंकि त्रिभुज AOB समबाहु है, और एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण DIA 30 0 है।

उत्तर: 30

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर कोण 30 0 स्थित है, जो त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित है।

यह अनिवार्य रूप से उलटा समस्या है (पिछले एक की)। आइए एक केंद्रीय कोने का निर्माण करें।

यह खुदा हुआ से दोगुना बड़ा है, यानी कोण AOB 60 0 है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज AOB समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर एक जीवा पर आधारित अधिक उत्कीर्ण कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें:

त्रिज्या और जीवा को जानकर, हम केंद्रीय कोण DIA ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन के नियम का उपयोग करके किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानकर, हम आसानी से खुदा हुआ कोण ACB पा सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, उन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना किए बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 . है – 90 0 = 270 0 .

एक खुदा हुआ कोण के गुण के अनुसार कोण DIA उसके आधे के बराबर होता है, यानी 135 डिग्री।

उत्तर: 135

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर 120 डिग्री का कोण, तीन का मूल, त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित है।

बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। आइए इसे ओ कहते हैं:

हम त्रिज्या और खुदा हुआ कोण DIA जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात करें। और फिर, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, AB परिकलित करें।

एक खुदे हुए कोण के गुण से केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक होता है) खुदा हुआ कोण के दोगुने यानी 240 डिग्री के बराबर होगा। इसका अर्थ है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 है।

कोसाइन के नियम के अनुसार:

उत्तर:3

चाप के आधार पर खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर अंशों में दें।

एक खुदा हुआ कोण के गुण से यह उसी चाप पर आधारित केंद्रीय कोण के आकार का आधा होता है, इस मामले में हम चाप AB के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसा कहा जाता है कि चाप AB परिधि का 20 प्रतिशत है। इसका मतलब है कि केंद्रीय कोण AOB भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।* एक वृत्त 360 डिग्री का कोण होता है। माध्यम,

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर: 36

एक वृत्त का चाप एसी, अंक युक्त नहीं बी, 200 डिग्री है। और वृत्त BC का चाप, जिसमें बिंदु नहीं हैं ए, 80 डिग्री है। अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए स्पष्टता के लिए उन चापों को निरूपित करें जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के अनुरूप चाप नीला है, 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, शेष सर्कल पीला है।

इस प्रकार, चाप AB (पीला) की डिग्री माप, और इसलिए केंद्रीय कोण AOB है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

खुदा हुआ कोण DAB केंद्रीय कोण AOB का आधा है, यानी 40 डिग्री के बराबर।

उत्तर: 40

वृत्त के व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

इस लेख में मैं आपको बताऊंगा कि उपयोग की जाने वाली समस्याओं को कैसे हल किया जाए।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम उन परिभाषाओं और प्रमेयों को याद करते हैं जिन्हें आपको समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए जानना आवश्यक है।

1.खुदा हुआ कोणएक कोण है जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को काटती हैं:

2.मध्य कोनावह कोण है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से मेल खाता है:

एक वृत्त के चाप की डिग्री परिमाणउस केंद्रीय कोण के मान से मापा जाता है जिस पर वह टिकी हुई है।

इस स्थिति में, AC चाप का घात मान कोण AOC के मान के बराबर होता है।

3. यदि उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण एक ही चाप पर आधारित हों, तो खुदा हुआ कोण केंद्रीय कोण का दोगुना है:

4. एक चाप पर झुके हुए सभी उत्कीर्ण कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं:

5. व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण 90° है:

हम कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

एक । टास्क B7 (#27887)

आइए केंद्रीय कोण का मान ज्ञात करें, जो एक ही चाप पर निर्भर करता है:

स्पष्ट है कि कोण AOC का मान 90° है, अतः कोण ABC 45° है

उत्तर: 45°

2. टास्क बी7 (नंबर 27888)

कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

जाहिर है, कोण AOC 270° है, तो कोण ABC 135° है।

उत्तर: 135°

3. टास्क B7 (#27890)

उस वृत्त के चाप AC का घात मान ज्ञात कीजिए जिस पर कोण ABC स्थित है। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए केंद्रीय कोण का मान ज्ञात करें, जो चाप AC पर निर्भर करता है:

कोण AOC का मान 45° है, इसलिए चाप AC का अंश माप 45° है।

उत्तर: 45°।

4. टास्क B7 (#27885)

कोण ACB ज्ञात कीजिए यदि अंकित कोण ADB और DAE एक वृत्त के चापों पर आधारित हैं, जिनके डिग्री मान क्रमशः और हैं। अपना उत्तर अंशों में दें।

कोण ADB चाप AB पर टिका हुआ है, इसलिए, केंद्रीय कोण AOB का मान 118° है, इसलिए, कोण BDA 59° है, और आसन्न कोण ADC 180°-59°=121° है।

इसी तरह, कोण डीओई 38° है और संबंधित उत्कीर्ण कोण डीएई 19° है।

त्रिभुज एडीसी पर विचार करें:

त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

कोण ASV का मान 180°- (121°+19°)=40° . है

उत्तर: 40°

5. टास्क B7 (#27872)

चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB, BC, CD और AD परिबद्ध वृत्त के चापों को अंतरित करती हैं, जिनके अंश मान क्रमशः , और , हैं। इस चतुर्भुज का कोण B ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

कोण B चाप ADC पर टिका होता है, जिसका मान चाप AD और CD के मानों के योग के बराबर होता है, अर्थात 71°+145°=216°

खुदा हुआ कोण B चाप ADC के आधे मान के बराबर है, अर्थात 108°

उत्तर: 108°

6. टास्क B7 (#27873)

एक वृत्त पर स्थित बिंदु A, B, C, D, इस वृत्त को चार चापों AB, BC, CD और AD में विभाजित करते हैं, जिनके अंश मान क्रमशः 4:2:3:6 से संबंधित हैं। चतुर्भुज ABCD का कोण A ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

(पिछले कार्य की ड्राइंग देखें)

चूँकि हमने चापों के परिमाण का अनुपात दिया है, इसलिए हम इकाई तत्व x का परिचय देते हैं। तब प्रत्येक चाप का परिमाण इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x। सभी चाप एक वृत्त बनाते हैं, अर्थात उनका योग 360° होता है।

4x+2x+3x+6x=360°, इसलिए x=24°।

कोण A चाप BC और CD पर टिका है, जिनका कुल मान 5x=120° है।

अत: कोण A 60° . है

उत्तर: 60°

7. टास्क B7 (#27874)

चतुष्कोष ऐ बी सी डीएक घेरे में अंकित। इंजेक्शन एबीसीबराबर, कोण पाजी